Công thøc Stokes: Tóm t›t bài gi£nghqvu/Stokes.pdf · · 2018-01-13N‚u có mºt hàm tuy‚n tính f0„x”: Rn!Rm sao cho có mºt qu£ cƒu B„x; ... g f „x”= J

Công thức Stokes: Tóm tắt bài giảng

Huỳnh Quang Vũ

Ngày 15 tháng 10 năm 2017

∫M

dω =∫∂M

ω

2

Đây khởi đầu là bài giảng cho môn cao học “Giải tích trên đa tạp” dựa trên bài giảng của R.Sjamaar [Sja15]. Tham gia đánh máy một phần bản đầu trong các năm 2015, 2016 có Phan ĐìnhHiếu (học viên cao học Toán Giải tích khóa 2014), Lê Chiêu Hoàng Nguyên (sinh viên ngành Toánkhóa 2012), Phan Văn Phương (học viên cao học Toán Giải tích khóa 2012).

Bài giảng đang được xây dựng để phục vụ cho sinh viên đại học năm cuối và học viên cao học,nhằm trình bày đề tài dạng vi phân một cách tương đối đơn giản, ngắn gọn, và đi kèm với ứng dụng.

Tài liệu này có trên web ở địa chỉ:http://www.math.hcmus.edu.vn/∼hqvu/Stokes.pdf

Huỳnh Quang Vũ, Khoa Toán-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc giaThành phố Hồ Chí Minh, email: [email protected]

http://www.math.hcmus.edu.vn/~hqvu/Stokes.pdf

mailto:[email protected]

Mục lục

1 Dạng vi phân trong không gian Euclid 71.1 Định nghĩa dạng vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Không gian Euclid và đạo hàm trong không gian Euclid . . . . . . . . . . . 71.1.2 Những dạng vi phân cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.3 Dạng vi phân tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Tính chất và phép toán cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1 Tính đan dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2 Phép nhân của dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.3 Đạo hàm của dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.4 Đổi biến trên dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.5 Tích phân của dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.6 Mối quan hệ giữa thể tích và định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Dạng vi phân và tích phân trên đa tạp 212.1 Đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1 Không gian tiếp xúc và đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.2 Định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.3 Đa tạp có biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Dạng vi phân trên đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.1 Phiếm hàm đa tuyến tính trên không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.2 Định thức trên không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.3 Dạng vi phân trên đa tạp và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.4 Dạng thể tích của đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3 Tích phân trên đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3.1 Định nghĩa địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.2 Định nghĩa toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4 Công thức Stokes cho đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Ứng dụng 453.1 Ứng dụng trong Giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.1 Miền với biên trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.1.2 Các công thức Green và tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.1.3 Ứng dụng trong phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2 Định lý điểm bất động Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3 Dạng khớp và dạng đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3.1 Bổ đề Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3

4 MỤC LỤC

Mở đầu

Trong phép tính vi tích phân hàm nhiều biến ta xét những tích phân như∬D

x2y3dxdy hay∬D

x2ydA.Ở đó dxdy hay dA được gọi là “phần tử diện tích”. Chúng ta cũng thấy những biểu thức như

∫γ

xdy+

ydx hay∫γ

ds với ds là “phần tử chiều dài”, hay∬S

dS với dS là “phần tử diện tích mặt”. Chúng chưađược định nghĩa rõ ràng.

Các dạng vi phân mà ta đã thấy dx, dxdy, dxdydz, dA, dV , ds, dS không tách rời các tích phân.Các dạng này khi nằm cạnh các hàm thực chỉ loại tích phân có thể lấy. Chúng đều liên quan tới việclấy tích phân và đo thể tích. Chẳng hạn, nếu D là một tập con của R2 thì hệ thức sau phải được thỏa∬

D

1dxdy = diện tích(D).

Lý thuyết về dạng vi phân nhằm đưa ra một cách hiểu và các cách làm việc thống nhất và tổngquát cao trên các đối tượng này.

Các công thức Newton–Leibniz, Green, Stokes, Gauss–Ostrogradsky trong phép tính vi tích phânhàm nhiều biến được xây dựng cho không gian 1, 2, hay 3 chiều, gồm đường và mặt. Khóa học nàynhằm thảo luận việc tổng quát hóa các công thức này lên không gian nhiều chiều. Chúng ta sẽ khảosát dạng vi phân, đa tạp – tổng quát hóa của đường và mặt, và tích phân trên đó.

Chúng ta sẽ xét vài ứng dụng, như ứng dụng trong Phương trình đạo hàm riêng, và đối đồng điềude Rham trong Tôpô.

5

6 MỤC LỤC

Chương 1 Dạng vi phân trong không gianEuclid

1.1 Định nghĩa dạng vi phân

1.1.1 Không gian Euclid và đạo hàm trong không gian EuclidNgười đọc có thể xem lại nội dung này trong môn Vi tích phân hàm nhiều biến, hoặc [Lan97]. Trongmôn này khi nói đến không gian Rn, n ∈ Z+, thì ta dùng cấu trúc tuyến tính, chuẩn, khoảng cách, vàtích trong Euclid, cụ thể nếu x = (x1, x2, . . ., xn) ∈ Rn thì chuẩn (tức chiều dài) của x là

‖x‖ = (x21 + x2

2 + · · ·+ x2n)

1/2,

khoảng cách giữa x và y = (y1, y2, . . ., yn) ∈ Rn là

‖x− y‖ =((x1− y1)

2+ (x2− y2)2+ · · ·+ (xn − yn)2

)1/2,

và tích trong giữa x và y là〈x, y〉 = x1y1+ x2y2+ · · ·+ xnyn.

Cho D là một tập con của Rn, x là một điểm trong của D. Nhắc lại kí hiệu e1 = (1,0,0, . . .,0),e2 = (0,1,0, . . .,0), . . ., en = (0, . . .,0,1) là các vectơ tạo thành cơ sở tuyến tính chuẩn tắc của Rn. Đạohàm riêng của f : D→ R theo biến thứ i tại x được định nghĩa là số thực

∂ f∂xi(x) = lim

h→0

f (x+ hei)− f (x)h

.

Đây chính là đạo hàm một biến của hàm f khi xem f chỉ là hàm theo biến xi , là tỉ lệ, hay tốc độ thayđổi của giá trị của hàm so với giá trị của biến thứ i tại điểm đang xét.

Tổng quát hơn xét hàm f : D→ Rm. Nếu tất cả các đạo hàm riêng của các hàm thành phần củaf tồn tại và liên tục tại x thì ta nói f khả vi liên tục (continuously differentiable) hay trơn (smooth)tại x. Ma trận các đạo hàm riêng của f tại x được gọi là ma trận Jacobi của f tại x, kí hiệu làJf (x) =

(∂ fi∂x j(x)

)1≤i≤m, 1≤ j≤n

.

Ví dụ 1.1.1. Khi m = 1 ma trận Jacobi Jf (x) chính là vectơ gradient

∇ f (x) =( ∂ f∂x1(x), . . .,

∂ f∂xn(x)

).

Nếu có một hàm tuyến tính f ′(x) : Rn → Rm sao cho có một quả cầu B(x, ε) ⊂ D và một hàmr : B(x, ε) → Rm thỏa mãn:

f (x+ h) = f (x)+ f ′(x)(h)+ r(h), ∀h ∈ B(x, ε)

và limh→0r(h)|h | = 0, thì ánh xạ f ′(x) (còn được kí hiệu là df (x)) được gọi là đạo hàm (derivative -

dẫn xuất) của f tại x. Vậy đạo hàm cho một xấp xỉ tuyến tính của hàm:

f (x+ h) ≈ f (x)+ f ′(x)(h).

7

8 CHƯƠNG 1. DẠNG VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN EUCLID

Rõ ràng nếu hàm có đạo hàm (khả vi) thì nó liên tục.Nếu f khả vi liên tục tại x thì f có đạo hàm tại x, và ánh xạ tuyến tính f ′(x) có thể biểu diễn

trong cơ sở tuyến tính chuẩn tắc của Rn bởi ma trận Jacobi Jf (x), tức là f ′(x)(h) = Jf (x) · h, trongđó phép nhân bên vế phải là phép nhân ma trận.

Cần nhấn mạnh rằng theo quan điểm tổng quát thì đạo hàm tại một điểm là một ánh xạ tuyếntính chứ không phải là một số thực hay một ma trận.

Nếu v là một vectơ đơn vị (tức vectơ có chiều dài bằng 1) thì ta suy ra ngay

f ′(x)(v) = limt→0

f (x+ tv)− f (x)t

.

Vậy f ′(x)(v) là đạo hàm theo hướng của f tại x theo hướng v, đo tỉ lệ thay đổi của f theo hướng v

tại x.Cho U, V , W là tập mở của Rk , Rl , Rp theo thứ tự đó, cho f : U→V and g : V→W có đạo hàm

khi đó ta có công thức đạo hàm hàm hợp

(g f )′(x) = g′( f (x)) f ′(x).

Nếu viết theo ma trận biểu diễn thì công thức này cho

Jg f (x) = Jg( f (x)) · Jf (x).

1.1.2 Những dạng vi phân cơ sởDạng vi phân gắn bó chặt chẽ với đạo hàm và tích phân. Các tính chất của dạng vi phân và sự quantrọng của nó là từ điều này.

Với hàm thực f : Rn→ R thì một đại diện cho dạng vi phân là df phải liên quan khắng khít vớiđạo hàm của f . Nhắc lại tại mỗi điểm x ∈ Rn thì đạo hàm của f tại x được kí hiệu là df (x) là mộtánh xạ tuyến tính từ Rn vào R:

df (x) : Rn→ Rv 7→ df (x)(v) = ∇ f (x) · v.

dx là gì?Trên R xét ánh xạ đồng nhất. Nếu gọi x là tên biến thì đây là ánh xạ x 7→ x. Nếu đặt luôn tên hàmnày là x thì dx chính là ánh xạ đạo hàm của hàm này. Ở đây d chính là toán tử đạo hàm.

Vì đạo hàm của ánh xạ đồng nhất tại mỗi điểm là ánh xạ đồng nhất, nên tại mỗi x ∈ R thì

(dx)(x) : R→ Rv 7→ v.

Vì lẽ đó với bất kì tên biến nào khác như y, u, t, thì dy, du, dt là cùng một ánh xạ: mang mỗi số thựcthành ánh xạ đồng nhất trên tập hợp các số thực.

dxi là gì?Trên Rn, lấy tên biến là x = (x1, x2, . . ., xn), và gọi luôn xi là ánh xạ tương ứng mỗi điểm x với thànhphần xi , tức là

xi : Rn→ R(x1, x2, . . ., xn) 7→ xi

thì dxi là đạo hàm của ánh xạ này, như đã xét trong đạo hàm của hàm nhiều biến.Vì ∇xi = ei nên dxi là ánh xạ từ Rn vào (Rn)∗ sao cho với mỗi x ∈ Rn thì dxi(x) = e∗i trong

đó e∗i là ánh xạ tuyến tính từ Rn vào R được biễu diễn bởi ei , tức là với v = (v1,v2, . . .,vn) thìe∗i ((v1,v2, . . .,vn)) = ei · v = vi . Tóm lại với mỗi x ∈ Rn:

dxi(x) : Rn→ Rv = (v1,v2, . . .,vn) 7→ dxi(x)(v) = (∇xi) (x) · v = ei · v = e∗i (v) = vi .

Như vậy dxi là một ánh xạ cho tương ứng mỗi điểm với một phiếm hàm tuyến tính.

1.1. ĐỊNH NGHĨA DẠNG VI PHÂN 9

dxi1 dxi2 · · ·dxik là gì?Định nghĩa 1.1.2. TrênRn thì dxi1 dxi2 · · ·dxik cho tương ứng x ∈Rn với phiếm hàm dxi1 dxi2 · · ·dxik (x)xác định trên (Rn)k bởi

dxi1 dxi2 · · ·dxik (x)(v1,v2, . . .,vk) = det©«

vi1,1 vi1,2 . . . vi1,kvi2,1 vi2,2 . . . vi2,k...

......

...vik,1 vik,2 . . . vik,k

ª®®®®¬. (1.1.3)

Ở đây mỗi vectơ vi được viết trong cơ sở như vi =∑n

j=1 vj,iej . Viết cách khác:

dxi1 dxi2 · · ·dxik (x)(v1,v2, . . .,vk) = det(vi j,l

)1≤ j≤k,1≤l≤k

= det(dxi j (x)(vl)

)1≤ j≤k,1≤l≤k

= det(e∗i j (vl)

)1≤ j≤k,1≤l≤k

.

Ghi chú 1.1.4. Vì giá trị của dạng dxi1 dxi2 · · ·dxik không phụ thuộc vào điểm x nên để kí hiệu giốngnhư truyền thống đôi khi ta sẽ bỏ qua điểm x trong kí hiệu.

Ví dụ 1.1.5. Trong R2 thì dxdy là ánh xạ cho tương ứng mỗi (x0, y0) ∈ R2 với ánh xạ

dxdy(x0, y0) : R2×R2→ R

(v,w) 7→ dxdy(x0, y0)(v,w) = det(

dx(x0, y0)(v) dx(x0, y0)(w)dy(x0, y0)(v) dy(x0, y0)(w)

)= det

(v1 w1v2 w2

)= det(v,w).

Ngắn gọn hơn:∀(x, y) ∈ R2,dxdy(x, y) = det .

Hay gọn hơn nữa: dxdy = det.

Ví dụ 1.1.6. Tương tự trên Rn thì

dx1dx2 · · ·dxn(x)(v1,v2, . . .,vn) = det(v1,v2, . . .,vn).

Ngắn gọn hơn:dx1dx2 · · ·dxn = det .

Ví dụ 1.1.7. Trong R3 thì

dxdy(x, y, z)(v,w) = det(

dx(x, y, z)(v) dx(x, y, z)(w)dy(x, y, z)(v) dy(x, y, z)(w)

)= det

(v1 w1v2 w2

).

1.1.3 Dạng vi phân tổng quátĐịnh nghĩa 1.1.8. Cho U là một tập mở trong Rn. Trong Rn với x = (x1, ..., xn). Khi đó với k ∈ Z+

thìdxi1 dxi2 · · ·dxik , 1 ≤ i1, i2, · · · , ik ≤ n

là một dạng bậc k. Một tổ hợp tuyến tính của các dạng này là một ánh xạ α cho bởi một tổng hữuhạn

x 7→ α(x) =∑

(i1,i2,...,ik )∈1,2,...,nkf(i1,i2,...,ik )(x)dxi1 dxi2 · · ·dxik (x)

trong đó f(i1,i2,...,ik )(x) là một số thực, do đó f(i1,i2,...,ik ) là một hàm thực trên U.


Có thể viết tắt một dạng α bất kì là ∑f dxi1 dxi2 · · ·dxik

Ở đây để kí hiệu đơn giản hơn ta ngầm hiểu tổng được lấy trên mọi bộ (i1, i2, . . ., ik) ∈ 1,2, . . .,nk ,với f phụ thuộc vào bộ này có thể có giá trị 0. Tại mỗi x tổng này là tổng của hữu hạn hàm giá trịthực, nên được xác định.

Ta nói α là một dạng vi phân hay một dạng trơn nếu mỗi hàm f là một hàm trơn. Nhắc lại, choU ⊂ Rk một tập mở, một ánh xạ f từ U vào R được gọi là trơn nếu nếu tất cả các đạo hàm riêng mọicấp tồn tại và liên tục (do đó bản thân f cũng liên tục). Vì ta sẽ chỉ làm việc với dạng trơn nên về sauta có thể chỉ gọi tắt là dạng.

Dạng bậc không (0-dạng) là một hàm thực f : U ⊂ Rn→ R.Với mỗi bậc k có một dạng 0 là dạng mà giá trị tại mỗi điểm là hàm hằng bằng số thực 0.Tập hợp tất cả các dạng vi phân bậc k trên U với k ∈ N được kí hiệu là Ωk(U).

Ví dụ 1.1.9. Trong R2 một dạng bậc 1 được cho bởi Pdx +Qdy trong đó P,Q : U ⊂ R2→ R. CònPdxdy+Qdydx là một dạng bậc 2.

Ví dụ 1.1.10. Trong R3 thì xdxdy+ (xy+1)dxdz là một dạng bậc 2.

Ví dụ 1.1.11. Trong Rn thì dx1,dx2, . . .,dxn, 2dx1+3dx2, x21 x2dx1+ x3dx4 là các dạng bậc 1.

Ta có thể cộng dạng và nhân số thực với dạng như các phép toán quen thuộc trên hàm thực. Cụthể hơn nếu ω1 và ω2 là hai dạng cùng bậc trên cùng một tập con của Rn và c là một số thực thì tađịnh nghĩa các phép toán:

(ω1+ω2)(x) = ω1(x)+ω2(x),

(cω)(x) = c(ω(x)).

Với mỗi k ≥ 0 tập hợp Ωk(U) tất cả các dạng vi phân bậc k trên U là một không gian vectơ trêntrường số thực.

Ghi chú 1.1.12. Ta không thể cộng trừ hai dạng khác bậc, vì tại mỗi điểm chúng là những hàm cómiền xác định khác nhau. Chẳng hạn ta không thể xét một biểu thức như Pdx+Qdy+Rdxdy, vì nókhông có nghĩa.

1.2 Tính chất và phép toán cơ bản

1.2.1 Tính đan dấuTừ định nghĩa (1.1.3) ta thấy ngay nếu đổi chổ hai thành phần dxir và dxis bất kì thì dạng bị đổi dấu:

dxi1 · · ·dxir · · ·dxis · · ·dxik = −dxi1 · · ·dxis · · ·dxir · · ·dxik .

Người ta gọi đây là tính chất đan dấu hay phản đối xứng (alternating, skew-symmetric, anti-commutative), thể hiện tóm tắt bởi công thức

dxdy = −dydx.

Ví dụ 1.2.1. Trong R2 thì dxdy = −dydx. Một hệ quả là dxdx = −dxdx, nên dxdx = 0.

Ví dụ 1.2.2. Trong R3:dxdydz = −dxdzdy = dydzdx,

dxdzdx = −dxdxdz = 0.

Một hệ quả đơn giản của tính đan dấu là mọi k-dạng với k > n đều bằng dạng 0. Vì vậy ta chỉquan tâm tới dạng bậc k ≤ n.

1.2. TÍNH CHẤT VÀ PHÉP TOÁN CƠ BẢN 11

1.2.2 Phép nhân của dạngNgười ta định nghĩa được một phép nhân trên các dạng vi phân, thường được kí hiệu bởi ∧ (wedge -chèn, nêm) và được gọi là phép nhân ngoài, nhưng ở đây ta bỏ qua kí hiệu đó cho đơn giản hơn.

Định nghĩa 1.2.3. Cho α =∑

f dxi1 dxi2 · · ·dxik là một k-dạng, β =∑

gdxj1 dxj2 · · ·dxjl là một

l-dạng. Ta định nghĩa tích của α với β, kí hiệu αβ là∑

f gdxi1 dxi2 · · ·dxik dxj1 dxj2 · · ·dxjl , là một(k + l)-dạng.(∑

f dxi1 dxi2 · · ·dxik) (∑

gdxj1 dxj2 · · ·dxjl)=

∑f gdxi1 dxi2 · · ·dxik dxj1 dxj2 · · ·dxjl .

Ví dụ 1.2.4. Giờ ta có thể hiểu dxdy = (dx)(dy).

Ví dụ 1.2.5. Trong R3, ω1 = dx là một 1-dạng; ω2 = dydz là một 2-dạng, và ω1ω2 = (dx)(dydz) =dxdydz là một 3-dạng.

Rõ ràng phép nhân có những tính chất sau:

• Phép nhân của dạng rõ ràng có tính kết hợp: (ω1ω2)ω3 = ω1(ω2ω3) = ω1ω2ω3.

• Phép nhân có phần tử không, chính là hàm hằng bằng số thực 0: ω0 = 0ω = 0.

• Phép nhân của dạng rõ ràng cũng có tính phân phối: (ω1+ω2)ω3 = ω1ω3+ω2ω3.

Ví dụ 1.2.6. dx(dy+ dz) = dxdy+ dxdz.

Mệnh đề 1.2.7. Nếu ω1 là một k-dạng và ω2 là một l-dạng thì

ω1ω2 = (−1)klω2ω1.

Chứng minh. Vớiω1 =

∑f dxi1 dxi2 · · ·dxik

vàω2 =

∑gdxj1 dxj2 · · ·dxjl

thì

ω1ω2 =∑( f dxi1 dxi2 · · ·dxik )(gdxj1 dxj2 · · ·dxjl )

=∑

f g(−1)kdxj1 (dxi1 dxi2 · · ·dxik )(dxj2 · · ·dxjl )

=∑(−1)2kdxj1 dxj2 (dxi1 dxi2 · · ·dxik )(dxj3 · · ·dxjl )

=∑(−1)kl(dxj1 dxj2 · · ·dxjl )(dxi1 dxi2 · · ·dxik ) = (−1)klω2ω1.

1.2.3 Đạo hàm của dạngTrước hết ta định nghĩa đạo hàm của dạng bậc 0.

Định nghĩa 1.2.8. Cho U ⊂ Rn mở và f là một dạng trơn bậc 0 trên U, tức f : U→ R là một hàmtrơn. Đạo hàm của dạng bậc 0 này được định nghĩa là

df =n∑i=1

∂ f∂xi

dxi .

Đây không gì khác hơn là đạo hàm của ánh xạ f trong phép tính vi phân hàm nhiều biến. Như vậyđạo hàm của một dạng bậc 0 là một dạng bậc 1.


Ví dụ 1.2.9. Cho U ⊂ Rn mở và f là một hàm hằng trên U thì df là dạng 0.

Ví dụ 1.2.10. Trên R, nếu f là hàm của biến x thì df = f ′dx.Ví dụ với hàm u(x) = x2 thì đạo hàm của dạng u là du = 2xdx. Chú ý là ta viết 2x để chỉ hàm

mang mỗi số thực thành hai lần số thực đó, chứ không phải để chỉ một số thực nào. Cách lạm dụngkí hiệu này trước nay ta vẫn hay làm, chẳng hạn khi viết tắt “cho hàm u(x) = x2 ” thay vì viết “ chohàm u xác định bởi qui tắc u(x) = x2 ”.

Ví dụ 1.2.11. Với

f : R2→ R

(x, y) 7→ f (x, y)

thìdf =

∂ f∂x

dx+∂ f∂y

dy.

Trên là đạo hàm của 0-dạng, bây giờ ta nói về đạo hàm của k-dạng.

Định nghĩa 1.2.12. Ta định nghĩa đạo hàm của một dạng bậc k là một dạng bậc (k +1) cho bởi

d(∑

f dxi1 · · ·dxik)=

∑(df )dxi1 · · ·dxik .

Nhiều tài liệu gọi đây là đạo hàm ngoài (exterior derivative).

Ví dụ 1.2.13. Trên R2, với dạng Pdx+Qdy, ta có

d(Pdx+Qdy) = (dP)dx+ (dQ)dy =(∂P∂x

dx+∂P∂y

dy)

dx+(∂Q∂x

dx+∂Q∂y

dy)

dy

=∂P∂y

dydx+∂Q∂x

dxdy =(∂Q∂x−∂P∂y

)dxdy.

Ví dụ 1.2.14. Trên R3, với dạng Pdydz+Qdzdx+Rdxdy thì

d(Pdydz+Qdzdx+Rdxdy) = (dP)dydz+ (dQ)dzdx+ (dR)dxdy

=

(∂P∂x

dx+∂P∂y

dy+∂P∂z

dz)

dydz+(∂Q∂x

dx+∂Q∂y

dy+∂Q∂z

dz)

dzdx+(∂R∂x

dx+∂R∂y

dy+∂R∂z

dz)

dxdy

=

(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z

)dxdydz.

Trong Vi tích phân hàm nhiều biến, với trường F = (P,Q,R) thì hàm∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z

được gọi là

div F (divergence).

Ví dụ 1.2.15. Trên R3, với dạng Pdx+Qdy+Rdz thì

d(Pdx+Qdy+Rdz) = (dP)dx+ (dQ)dy+ (dR)dz

=

(∂P∂x

dx+∂P∂y

dy+∂P∂z

dz)

dx+(∂Q∂x

dx+∂Q∂y

dy+∂Q∂z

dz)

dy+(∂R∂x

dx+∂R∂y

dy+∂R∂z

dz)

dz

=

(∂Q∂x−∂P∂y

)dxdy+

(∂R∂y−∂Q∂z

)dydz+

(∂P∂z−∂R∂x

)dzdx.

Trong Vi tích phân hàm nhiều biến, với trường F = (P,Q,R) thì trường(∂Q∂x−∂P∂y,∂R∂y−∂Q∂z,∂P∂z−∂R∂x

)được gọi là curl F.

Ví dụ 1.2.16. Một dạng bậc 1 trên R là f dx. Đạo hàm của dạng này là

d( f dx) = (df )dx = ( f ′dx)dx = f ′dxdx = 0.

Tổng quát hơn, đạo hàm của một dạng bậc n bất kì trên Rn là một dạng bậc (n+1) trên Rn, nên bằng0.


Mệnh đề 1.2.17. Đạo hàm dạng có những tính chất sau:

(a) tính tuyến tính: d(aα+ bβ) = adα+ bdβ với a và b là số thực và α và β là dạng cùng bậc.

(b) đạo hàm của tích:

d(αβ) = (dα)β+ (−1)kαdβ (1.2.18)

trong đó k là bậc của α.

Chứng minh. Viết α =∑

f dxi1 dxi2 · · ·dxik và β =∑gdxj1 dxj2 · · ·dxjl thì

αβ =∑

f gdxi1 dxi2 · · ·dxik dxj1 dxj2 · · ·dxjl .

Ta có

d(αβ) =∑

d( f g)dxi1 dxi2 · · ·dxik dxj1 dxj2 · · ·dxjl

=∑ (∑

s

(∂ f∂xs

g+ f∂g

∂xs

)dxs

)dxi1 dxi2 · · ·dxik dxj1 dxj2 · · ·dxjl

=∑ [(∑

s

∂ f∂xs

dxs

)dxi1 dxi2 · · ·dxik gdxj1 dxj2 · · ·dxjl+

+(−1)k f dxi1 dxi2 · · ·dxik

(∑s

∂g

∂xsdxs

)dxj1 dxj2 · · ·dxjl

]= (dα)β+ (−1)kαdβ.

Ví dụ 1.2.19. Với dạng bậc 0 thì công thức đạo hàm của tích trở thành d( f g) = (df )g+g(df ), chínhlà công thức Leibniz cho đạo hàm của tích của hàm thực. Mặt khác trong chứng minh trên ta cũngđã dùng công thức Leibniz.

Mệnh đề 1.2.20. Đạo hàm của đạo hàm của một dạng bất kì bằng 0, nghĩa là với dạng ω bất kì thìd(dω) = 0, hay ngắn gọn hơn:

d2 = 0. (1.2.21)

Chứng minh. Lấy ω = f dxi1 · · ·dxik , ta có

d(dω) = d((df )dxi1 · · ·dxik

)= d

((∑i

∂ f∂xi

dxi

)dxi1 · · ·dxik

)=

(∑i

d(∂ f∂xi

)dxi

)dxi1 · · ·dxik =

(∑i

∑j

(∂

∂xj

(∂ f∂xi

)dxj

)dxi

)dxi1 · · ·dxik

=

(∑i, j

∂2 f∂xj∂xi

dxjdxi

)dxi1 · · ·dxik

=

(∑i

∂2 f∂xi∂xi

dxidxi

)dxi1 · · ·dxik +

(∑i< j

(∂2 f

∂xj∂xi−

∂2 f∂xi∂xj

)dxjdxi

)dxi1 · · ·dxik = 0.

Ở bước cuối ta đã dùng tính chất dxidxj = −dxjdxi và ∂2 f∂x j∂xi

=∂2 f

∂xi∂x j.

Ví dụ 1.2.22. d(dx) = 0. Ta có thể giải thích d(dx) = d(1 · dx) = d(1)dx = 0dx = 0.

Ví dụ 1.2.23. Trong R2 cho α = f , một dạng bậc 0. Ta có df =∂ f∂x

dx+∂ f∂y

dy, và

d(df ) =(∂2 f∂x∂y

−∂2 f∂y∂x

)dxdy = 0.


Ví dụ 1.2.24. Trong R3 cho α = Pdx+Qdy+Rdz. Như trên

dα =(∂Q∂x−∂P∂y

)dxdy+


)dydz+


)dzdx.

Do đó

d(dα) = d((∂Q∂x−∂P∂y

)dxdy+


)dydz+


)dzdx

)= d


)dxdy+ d


)dydz+ d


)dzdx

=

(∂2Q∂x2 dx+

∂2Q∂x∂y

dy+∂2Q∂x∂z

dz−∂2P∂y∂x

dx−∂2P∂y2 dy−

∂2P∂y∂z

dz)

dxdy+

+

(∂2R∂y∂x

dx+∂2R∂y2 dy+

∂2R∂y∂z

dz−∂2Q∂z∂x

dx−∂2Q∂z∂y

dy−∂2Q∂z2 dz

)dydz+

+

(∂2P∂z∂x

dx+∂2P∂z∂y

dy+∂2P∂z2 dz−

∂2R∂x2 dx−

∂2R∂x∂y

dy−∂2R∂x∂z

dz)

dzdx.

=∂2Q∂x∂z

dzdxdy−∂2P∂y∂z

dzdxdy+∂2R∂y∂x

dxdydz−∂2Q∂z∂x

dxdydz+∂2P∂z∂y

dydzdx−∂2R∂x∂y

dydzdx

= 0.

1.2.4 Đổi biến trên dạngTrên R ta thường đổi biến trong tích phân như sau. Xét tích phân

∫f (u)du. Đặt u = u(x), khi đó

du = u′(x)dx, f (u)du = f (u(x))u′(x)dx, và∫ b

a

f (u(x))u′(x)dx =∫ ϕ(b)

ϕ(a)f (u)du.

Ví dụ 1.2.25. Tính∫ π/2

0sin2 t cos tdt. Đổi biến u = sin t thì du = cos tdt, do đó∫ π/2

0sin2 t cos tdt =

∫ 1

0u2du =

u3

3

10=

13.

Mục đích chính của phần này là chuẩn bị để tổng quát hóa công thức trên. Câu hỏi đặt ra là: Giảsử ω là một dạng theo biến y, nếu đổi biến y = ϕ(x) thì ω được viết theo biến x ra sao? Nói cáchkhác câu hỏi đặt ra là trên U có dạng nào “tương ứng” với ω hay không? Dưới đây ta xây dựng dạngtương ứng đó, gọi là dạng kéo lui của dạng ω.

U V

xyϕ

ω

Định nghĩa 1.2.26. Giả sử U là một tập mở trong Rm, V là một tập mở trong Rn, và

ϕ = (ϕ1, . . ., ϕn) : U→ V

x 7→ y

là một hàm trơn. Giả sử ω =∑

f dyi1 · · ·dyik là một dạng vi phân trên V . Kéo lui (pull-back) củadạng ω, kí hiệu ϕ∗ω, là dạng trên U cho bởi

ϕ∗ω =∑

f ϕdϕi1 · · ·dϕik .


Chúng ta có thể hiểu đơn giản là ϕ∗ω nhận được bằng cách thay y bởi ϕ(x). Để viết cụ thể hơnta nhớ lại rằng

dϕi =n∑j=1

∂yi∂xj

dxj .

Nói theo cách của vi tích phân hàm nhiều biến thì nếu ω là một dạng theo biến y thì khi đổi sangbiến x chỉ cần viết lại mọi phần tử theo biến x.

Ví dụ 1.2.27. Trên R xét dạng f du. Nếu

ϕ : R→ Rx 7→ u = ϕ(x)

thì ϕ∗( f du) = ( f ϕ)dϕ = ( f ϕ)ϕ′dx. Chi tiết hơn thì

(ϕ∗( f du))(x) = f (ϕ(x))ϕ′(x)(dx)(x) = f (u(x))u′(x)dx(x).

Ta có thể viết tắt rằng nếu đổi biến u = u(x) thì f (u)du trở thành f (u(x))u′(x)dx, giống hình thứccủa công thức đổi biến trong tích phân hàm một biến.

Ví dụ 1.2.28. Cho ánh xạ γ : R→ R2, γ(t) = (x(t), y(t)). Cho dạng bậc một ω = Pdx+Qdy xác địnhtrên một tập mở của R2 chứa ảnh của γ. Ta có

γ∗ω = γ∗(Pdx+Qdy) = P γdγ1+Q γdγ2

= (P γ)γ′1dt + (Q γ)γ′2dt

= (P(x, y)x ′+Q(x, y)y′)dt.

Ví dụ 1.2.29. Xét ϕ : U ⊂ R2→ V ⊂ R2, (x, y) 7→ (u,v).

Với dạng du thì ϕ∗(du) = dϕ1 =∂u∂x

dx+∂u∂y

dy.

Với dạng dudv thì

ϕ∗(dudv) = dϕ1dϕ2 =

(∂u∂x

dx+∂u∂y

dy) (∂v

∂xdx+

∂v

∂ydy

)=

(∂u∂x

∂v

∂y−∂u∂y

∂v

∂x

)dxdy

=det©«∂u∂x

∂u∂y

∂v

∂x∂v

∂y

ª®®¬dxdy = (det Jϕ)dxdy =∂(u,v)∂(x, y)

dxdy,

dấu bằng cuối cùng dùng kí hiệu trong vi phân hàm nhiều biến.

Ví dụ 1.2.30. Trong Rn, với dạng ω = du1du2 · · ·dun, với u = ϕ(x) thì

ϕ∗(du1du2 · · ·dun) = dϕ1dϕ2 · · ·dϕn =

(n∑i=1

∂ϕ1∂xi

dxi

) (n∑i=1

∂ϕ2∂xi

dxi

)· · ·

(n∑i=1

∂ϕn∂xi

dxi

)=

∑(i1,i2,...,in)∈1,...,nn

∂ϕ1∂xi1

∂ϕ2∂xi2· · ·

∂ϕn∂xin

dxi1 dxi2 · · ·dxin

=∑σ∈Sn

∂ϕ1∂xσ(1)

∂ϕ2∂xσ(2)

· · ·∂ϕn∂xσ(n)

dxσ(1)dxσ(2) · · ·dxσ(n)

=∑σ∈Sn

∂ϕ1∂xσ(1)

∂ϕ2∂xσ(2)

· · ·∂ϕn∂xσ(n)

sign(σ)dx1dx2 · · ·dxn

=det

©«

∂ϕ1∂x1

. . .∂ϕ1∂xn

∂ϕ2∂x1

. . .∂ϕ2∂xn

......

...∂ϕn∂x1

. . .∂ϕn∂xn

ª®®®®®®®®®¬dx1dx2 · · ·dxn = det Jϕdx1dx2 · · ·dxn.


Ở trên Sn là nhóm các hoán vị trên n phần tử. Từ đó:

ϕ∗ ( f du1du2 · · ·dun) = f ϕdet Jϕdx1dx2 · · ·dxn. (1.2.31)

Mệnh đề 1.2.32. Tính chất của kéo lui:

(a) ϕ∗(aω1+ bω2) = aϕ∗ω1+ bϕ∗ω2, với a,b ∈ R (tính tuyến tính).

(b) ϕ∗(ω1ω2) = (ϕ∗ω1)(ϕ

∗ω2) (kéo lui của tích bằng tích của kéo lui).

(c) (ψ ϕ)∗ω = ϕ∗(ψ∗ω), hay ngắn gọn hơn,

(ψ ϕ)∗ = ϕ∗ ψ∗. (1.2.33)

(tính “tự nhiên”).

(d) ϕ∗(dω) = d(ϕ∗ω), hay ngắn gọn hơn,

ϕ∗d = dϕ∗ (1.2.34)

(đạo hàm và kéo lui giao hoán).

Chứng minh. Hai tính chất đầu được để trong phần bài tập.

(c) Ta kiểm bằng cách tính toán ra công thức tường minh. Viết xϕ7→ y

ψ7→ z. Trước tiên cho một

hàm thực f theo biến x ta có ngay ϕ∗(ψ∗( f )) = ϕ∗( f ψ) = ( f ψ) ϕ = f (ψ ϕ) = (ψ ϕ)∗( f ).Do kéo lui của tích bằng tích của kéo lui, ta chỉ cần kiểm tra công thức (1.2.33) cho kéo lui của

một dạng dzi . Theo công thức đạo hàm của hàm hợp:

ϕ∗(ψ∗dzi) = ϕ∗(∑

j

∂ψi∂yj

dyj

)=

∑j

∂ψi∂yjϕdϕj =

∑j

(∂ψi∂yjϕ

) ∑k

∂ϕj

∂xkdxk

=∑k

(∑j

(∂ψi∂yjϕ

)∂ϕj

∂xk

)dxk =

∑k

∂(ψi ϕ)

∂xkdxk =

∑k

∂(ψ ϕ)i∂xk

dxk

= d(ψ ϕ)i = (ψ ϕ) (dzi).

(d) Trước hết nếu ω = f là một dạng bậc 0 thì ta kiểm được ϕ∗(df ) = d( f ϕ) = d(ϕ∗ f ) bằng mộtlý luận dùng công thức đạo hàm hàm hợp giống hệt ở phần (c). Bây giờ giả sử ω = f dxi1 · · ·dxik . Tacó

ϕ∗(dω) = ϕ∗((df )dxi1 · · ·dxik

)= ϕ∗(df )dϕi1 · · ·dϕik = d( f ϕ)dϕi1 · · ·dϕik .

Mặt khác

d(ϕ∗ω) = d(f ϕdϕi1 · · ·dϕik

)= d( f ϕ)dϕi1 · · ·dϕik + f ϕd

(dϕi1 · · ·dϕik

)= d( f ϕ)dϕi1 · · ·dϕik +0 = ϕ∗(dω).

Ở bước cuối ta đã dùng công thức đạo hàm của tích (1.2.18), và d2 = 0.

1.2.5 Tích phân của dạngĐịnh nghĩa 1.2.35. Cho f dx1 · · ·dxn là một dạng bậc n trên D ⊂ Rn. Ta định nghĩa∫

D

f dx1 · · ·dxn =∫D

f

trong đó tích phân∫D

f là tích phân Lebesgue.


Từ định nghĩa trên tích phân của dạng lập tức có tính tuyến tính thừa hưởng từ tính tuyến tính củatích phân Lebesgue.

Nhắc lại công thức đổi biến trong tích phân Lebesgue: Nếu U,V là hai tập mở trongRn, ϕ : U→Vlà một phép đổi biến (một vi đồng phôi), và f khả tích trên V , thì∫

V

f (x)dx1dx2 · · ·dxn =∫U

f (ϕ(u))| det Jϕ |du1du2 · · ·dun. (1.2.36)

Có một sự khác biệt về dấu của định thức của đạo hàm giữa công thức đổi biến của tích phân (1.2.36)với công thức đổi biến của dạng (1.2.31). Sự khác biệt đó sẽ mất đi nếu ta chỉ xét các phép đổi biếnbảo toàn định hướng (orientation-preserving), là các phép đổi biến có định thức của Jacobi luôndương.

Mệnh đề 1.2.37 (tích phân dạng không đổi qua phép đổi biến bảo toàn định hướng). Nếu U,Vlà hai tập mở trong Rn, ϕ là một phép đổi biến bảo toàn định hướng từ U lên V , và ω là một dạngbậc nkhả tích trên V , thì ∫

V

ω =

∫U

ϕ∗ω.

Ví dụ 1.2.38. Nhớ lại công thức đổi biến trong tích phân hàm hai biến (xem chẳng hạn [Vugt3]):∬V

f (u,v)dudv =∬

U

f (u(x, y),v(x, y)) ∂(u,v)∂(x, y)

dxdy.

Nếu đặt biến đổi (x, y) 7→ (u,v) là ϕ thì dạng f (u(x, y),v(x, y)) ∂(u,v)∂(x,y)dxdy chỉ khác dạng kéo lui của

dạng f (u,v)dudv qua phép đổi biến ϕ bởi dấu trị tuyệt đối. Nếu ∂(u,v)∂(x,y) luôn dương thì ta có thể tránh

được dấu trị tuyệt đối, và nếu đặt ω = f dudv thì công thức đổi biến của tích phân rất đơn giản:∬V

ω =

∬U

ϕ∗ω.

1.2.6 Mối quan hệ giữa thể tích và định thứcVai trò quan trọng của dạng định thức có nguyên do từ sự gắn bó của định thức với thể tích trong Rn:

Mệnh đề 1.2.39. Độ đo Lebesgue của hình bình hành sinh bởi n vectơ v1, . . .,vn trong Rn bằng| det(v1, . . .,vn)|.

a

b

Hình 1.2.1: Diện tích hình bình hành sinh bởi a và b bằng | det(a,b)|.

Quan hệ này giữa độ đo Lebesgue và định thức là một phần then chốt của công thức đổi biếntrong tích phân Lebesgue (1.2.36). Một kết quả tổng quát hơn được chứng minh ở [Rud86, tr. 54]bằng cách dùng sự duy nhất của độ đo Lebesgue. Dưới đây là một chứng minh trực tiếp dựa theo[Lan97, tr. 584]. Có thể đọc thêm phần thảo luận liên quan trong [Sja15, tr. 91].

Chứng minh. Kí hiệu nv1,v2, . . .,vno là hình bình hành sinh bởi các vectơ v1, . . .,vn, tức là tập∑n

i=1 tivi | ti ∈ [0,1]. Đặt

vol(v1,v2, . . .,vn) =

m(nv1,v2, . . .,vno), (v1, . . .,vn) định hướng dương,−m(nv1,v2, . . .,vno), (v1, . . .,vn) định hướng âm,0 (v1, . . .,vn) phụ thuộc tuyến tính,


trong đó m là độ đo Lebesgue (hoặc thể tích trong tích phân Riemann). Đây là thể tích có dấu củahình bình hành.

Ta sẽ chứng tỏ rằng vol là hàm tuyến tính theo từng biến.Ta kiểm vol(cv1,v2, . . .,vn) = c vol(v1,v2, . . .,vn) với c ∈ R theo từng bước như sau.Ví dụ khi c = 2, ta viết được

n2v1,v2, . . .,vno = nv1,v2, . . .,vno∪(v1+nv1,v2, . . .,vno)bởi vì

t12v1+ t2v2+ · · ·+ tnvn =

2t1v1+ t2v2+ · · ·+ tnvn, 0 ≤ t1 ≤ 1

2,

v1+ (2t1−1)v1+ · · ·+ tnvn, 12 ≤ t1 ≤ 1.

Phần giao nv1,v2, . . .,vno∩ (v1+nv1,v2, . . .,vno) là hình bình hành (n− 1)-chiều v1 + nv2, . . .,vno, tacó thể kiểm được là tập có độ đo không (xem Hình 1.2.2). Theo cộng tính của độ đo

m(n2v1,v2, . . .,vno) = m(nv1,v2, . . .,vno)+m (v1+nv1,v2, . . .,vno) .Mặt khác m(v1+nv1,v2, . . .,vno) =m(nv1,v2, . . .,vno) do tính bất biến của độ đo Lebesgue dưới phéptịnh tiến. Từ đó m(n2v1,v2, . . .,vno = 2m(nv1,v2, . . .,vno).

v1

v2

2v1

2v1 + v2

v1 + v2

Hình 1.2.2:

Trường hợp tổng quát c ∈ Z+ có thể thu được nhờ lý luận qui nạp.Với số hữu tỉ p

q > 0 thì

m(

pqv1,v2, . . .,vn

)= pm

(1qv1,v2, . . .,vn

),

và

qm(

1qv1,v2, . . .,vn

)= m (nv1,v2, . . .,vno),

nên

m(

pqv1,v2, . . .,vn

)=

pq

m (nv1,v2, . . .,vno) .

Với số vô tỉ c > 0 thì với mọi ε > 0 có hai số hữu tỉ dương α và β sao cho c− ε < α < c < β < c+ ε .Suy ra

αm (nβv1,v2, . . .,vno) = m (nαv1,v2, . . .,vno) ≤ m (ncv1,v2, . . .,vno) ≤ m (nβv1,v2, . . .,vno)= βm (nv1,v2, . . .,vno),

từ đây có thể suy ra ngay m (ncv1,v2, . . .,vno)= cm (nv1,v2, . . .,vno). Cuối cùng vì vol(−v1,v2, . . .,vn)=−vol(v1,v2, . . .,vn) nên ta được vol(cv1,v2, . . .,vn) = c vol(v1,v2, . . .,vn) với mọi c ∈ R.

Bây giờ ta kiểm tính chất vol(v1 + v′1,v2, . . .,vn) = vol(v1,v2, . . .,vn)+ vol(v′1,v2, . . .,vn). Viết v′1

trong cơ sở (v1, . . .,vn) và dùng tính chất vừa có được ở trên ta thấy vấn đề đưa về kiểm tra rằng


vol(v1+ vi,v2, . . .,vn) = vol(v1,v2, . . .,vn) với 1 ≤ i ≤ n. Ta viết chứng minh cho i = 2. Ta có phân tíchnv1,v2, . . .,vno = A1∪ A2 với

A1 =

n∑i=1

tivi | ti ∈ [0,1], t1 ≥ t2

,

và

A2 =

n∑i=1

tivi | ti ∈ [0,1], t1 ≤ t2

.

Tương tự ta cũng có phân tích nv1+ v2,v2, . . .,vno = B1∪B2 với

v1

v2

v1 + v2

v1 +2v2

A1

A2 = B1

B2 = v2 + A1

B1 =

t1(v1+ v2)+ t2v2+

n∑i=3

tivi | ti ∈ [0,1], t1+ t2 ≤ 1

,

và

B2 =

t1(v1+ v2)+ t2v2+

n∑i=3

tivi | ti ∈ [0,1], t1+ t2 ≥ 1

.

Chú ý rằng B1 = A2 còn B2 = v2+ A1, ta được điều phải chứng minh.Vậy vol là tuyến tính theo từng biến. Ta chú ý rằng nếu hoán vị hai biến thì vol sẽ bị đổi dấu, và

vol bằng 0 nếu có hai biến có cùng giá trị. Dùng các tính chất này ta viết được:

vol(v1, · · · ,vk) = vol©«n∑

j1=1vj1,1ej1, . . .,

n∑jn=1

vjn,nejnª®¬

=∑

1≤ j1,..., jn≤nvj1,1 · · ·vjn,n vol(ej1, · · · , ejn )

=∑

σ∈S(n)

vσ(1),1 · · ·vσ(n),n vol(eσ(1), · · · , eσ(n))

=∑

σ∈S(n)

vσ(1),1 · · ·vσ(n),n(−1)sign(σ) vol(e1, · · · , en)

=∑

σ∈S(n)

(−1)sign(σ)vσ(1),1 · · ·vσ(n),n

= det (v1, . . .,vn) .

Vậyvol = det .

Bài tập1.2.40. Cho α = xdx+ ydz, β = xdydz+ ydzdx. Tính αβ, βα, αα, ββ, dα, dβ.


1.2.41. Cho α = x1x2x3dx2 + x3x24 dx4, β = x1x4dx2dx3 + x2x3dx3dx4. Tính αβ, βα, αα, ββ, dα, dβ.

1.2.42. Kiểm tra Mệnh đề 1.2.17.

1.2.43. Chứng tỏ nhân một dạng bậc lẻ với chính nó thì được dạng 0. Điều này có đúng hay không với dạng bậcchẳn?

1.2.44. Chứng tỏ một dạng bậc chẳn thì giao hoán với mọi dạng. Tức là nếu α là một dạng bậc chẳn thì với mọidạng β ta có αβ = βα.

1.2.45. Trên R2 \ (0,0) cho dạngω =

xx2 + y2 dx+

y

x2 + y2 dy.

Tính dω.

1.2.46. Cho φ(x1, x2, x3) = (x1x2, x2x3, x3x1). Tính(a) φ∗(dy1), φ∗(dy2), φ∗(dy3).(b) φ∗(y2

1 dy2dy3).

1.2.47. Gọi ϕ là phép đổi biến sang tọa độ cực (r, θ) 7→ (x, y) = (r cosθ,r sinθ). Tính ϕ∗(dxdy). Nói theo cáchcủa vi tích phân hàm nhiều biến là hãy viết dxdy theo r và θ.

1.2.48. Trên R2 \ (0,0) cho dạngω =

−y

x2 + y2 dx+x

x2 + y2 dy.

(a) Tính dω.(b) Tìm biến đổi của ω khi đổi biến sang tọa độ cực, để thấy vì sao dạng này thường được gọi là dạng góc.

1.2.49. Gọi ϕ là phép đổi biến sang tọa độ trụ (r, θ, z) 7→ (x, y, z) = (r cosθ,r sinθ, z). Tính ϕ∗(dxdydz).

1.2.50. Gọi ϕ là phép đổi biến sang tọa độ cầu (ρ, φ, θ) 7→ (x, y, z) = (ρsinφcosθ, ρsinφ sinθ, ρcosφ). Tínhϕ∗(dxdydz).

1.2.51. Trên R2 xét phép đổi biến

u =x− x0

a

v =y− y0

b.

Tìm kéo lui của dạng dxdy.

1.2.52. Đặt u = 5x−2y và v = 3x−4y. Tìm dudv, chính xác hơn là tìm kéo lui của dạng này.

1.2.53. Trong mặt phẳng R2 một phép quay quanh gốc tọa độ một góc α có thể được cho bởi ánh xạ(xy

)7→

(uv

)=

(cosα −sinαsinα cosα

)·

(xy

).

Hãy tìm dudv.

1.2.54. Một ma trận n×n là trực giao nếu các vectơ cột của nó tạo thành một cơ sở trực chuẩn của Rn. Nói cáchkhác ma trận A là trực giao nếu AT A = I trong đó AT là ma trận chuyển vị của A. Có thể chứng minh rằng bấtkì một phép dời hình nào cũng có dạng y = ϕ(x) = A · x+ b trong đó A là một ma trận n×n trực giao và b ∈ Rn

Ví dụ, trong mặt phẳng một phép dời hình bất kì là một hợp của các phép tịnh tiến, phép quay, và phép lấy đốixứng qua một đường thẳng. Tính biến đổi của dạng dx1dx2 · · ·dxn qua phép dời hình ϕ.

1.2.55. Kiểm tính chất của kéo lui ở Mệnh đề 1.2.32.

1.2.56. Tiếp tục bài 1.2.48, tổng quát hơn, trên Rn \ 0, với m ∈ Z, cho dạng

ω =

n∑i=1(−1)i−1 xi

‖x‖mdx1 · · ·dxi−1 dxidxi+1 · · ·dxn .

(a) Tính dω.(b) Với m nào thì dω = 0?

1.2.57. Cho α =∑ni=1 fidxi là dạng trơn bậc 1 sao cho dα = 0. Xét hàm g : Rn→ R cho bởi

g(x) =∫ x1

0f1(t, x2, x3, . . ., xn)dt +

∫ x2

0f2(0, t, x3, . . ., xn)dt + · · ·+

∫ xn

0fn(0,0, . . .,0, t)dt .

Chứng tỏ dg = α. Chú ý tích phân bên vế phải chính là một tích phân đường trên một đường gấp khúc đi từ điểm0 tới điểm x.

Chương 2 Dạng vi phân và tích phân trênđa tạp

2.1 Đa tạpỞ phần này chúng ta muốn nhanh chóng trình bày khái niệm đa tạp trơn để thảo luận dạng vi phân.Một số kết quả của phần này được phát biểu mà không có chứng minh, chi tiết hơn có thể xem chẳnghạn ở [Vutopo] và chỉ dẫn tài liệu ở đó.

Để định nghĩa đạo hàm tại một điểm trong Rn chỉ cần hàm được xác định trong một lân cận củađiểm đó. Có thể bàn tới tính vi phân trên không gian tổng quát hơn Rn nếu mỗi điểm trong khônggian đó có một lân cận “giống” một lân cận trong không gian Rn. Một đa tạp vi phân trong Rk chínhlà một không gian con của Rk mà mỗi điểm có một lân cận “vi đồng phôi” với một lân cận trong Rn,theo nghĩa chính xác dưới đây.

Nhắc lại, cho U ⊂ Rk một tập mở, một ánh xạ f từ U vào Rl được gọi là trơn nếu nếu tất cảcác đạo hàm riêng mọi cấp tồn tại và liên tục (do đó bản thân f cũng liên tục). Tổng quát hơn, choX ⊂ Rk là một tập con bất kỳ thì một ánh xạ f : X→ Rl được gọi là trơn nếu với mỗi x ∈ X tồn tạitập mở U ⊂ Rk chứa x và ánh xạ trơn F : U→ Rl sao cho F trùng với f trên U ∩ X .

Dễ thấy nếu f : X→ Y và g : Y → z là trơn thì ánh xạ hợp g f : X→ Z là trơn.Một ánh xạ f : X → Y được gọi là một phép vi đồng phôi hay một phép vi phôi (diffeomor-

phism) nếu f là một song ánh và cả f và f −1 đều trơn. Khi đó ta nói X là vi đồng phôi, hay vi phôi,với Y .

Định nghĩa 2.1.1. Một tập con M ⊂ Rk được gọi là một đa tạp trơn m-chiều, m ∈ Z+, trong Rk nếumỗi x ∈ M có một lân cận W ⊂ Rk sao cho W ∩M vi đồng phôi với một tập mở U ⊂ Rm. Một phépvi đồng phôi ϕ : U→W ∩M được gọi là một tham số hóa địa phương (local parametrization) củavùng W ∩M . Phép vi đồng phôi ngược ϕ−1 : W ∩M → U được gọi là một hệ tọa độ địa phương(local coordinates, local chart) trên W ∩M .

Có thể hiểu một đa tạp được miêu tả bởi một tập bản đồ (atlas) phẳng mà mỗi tờ bản đồ miêu tảmột địa phương trên đa tạp. Tính trung thực của tờ bản đồ được thể hiện bởi tính vi đồng phôi.

21

22 CHƯƠNG 2. DẠNG VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN TRÊN ĐA TẠP

ϕ(u)ϕ

u

Rm

Rk

M

U

W

W ∩M

Hình 2.1.1: Tham số hóa địa phương của đa tạp.

Ta định nghĩa đa tạp với số chiều 0 là một tập điểm rời rạc trong Rk : M là đa tạp 0-chiều nếu mỗix ∈ M có một tập mở W của Rk sao cho W ∩M chỉ chứa mỗi x.

Ghi chú 2.1.2. Có một tiếp cận trừu tượng hơn không cần giả thiết đa tạp phải nằm trong khônggian Euclid. Đổi lại tính vi phân được thể hiện qua mối quan hệ giữa các tờ bản đồ của các vùngchồng lấn. Trong môn học này ta chọn cách tiếp cận coi đa tạp là tập con của không gian Euclid vìnó dễ hiểu hơn, cụ thể hơn. Một định lý của H. Whitney nói rằng một đa tạp trừu tượng bất kì có thểnhúng được vào một không gian Euclid nào đó.

Ví dụ 2.1.3. Một tập mở của Rm là một đa tạp trơn m-chiều.

Ví dụ 2.1.4 (đồ thị). Đồ thị của một hàm trơn f : D→ R, với D ⊂ Rk là một tập mở, là một đatạp trơn k-chiều trong Rk+1. Thực vậy đặt G = (x, f (x)) | x ∈ D ⊂ Rk+1 là đồ thị của f . Ánh xạx 7→ (x, f (x)) từ D lên G là trơn. Ánh xạ ngược là phép chiếu (x, y) 7→ x, hạn chế của phép chiếu từRk+1 xuống Rk , là trơn.

Ví dụ 2.1.5 (đường). Đồ thị của hàm trơn y = f (x) với x ∈ (a,b) là một đa tạp trơn 1-chiều được gọilà một đường trơn.

Ví dụ 2.1.6 (mặt). Đồ thị của hàm trơn z = f (x, y) với (x, y) ∈ D, với D là một tập mở trong R2 làmột đa tạp trơn 2-chiều, gọi là một mặt trơn.

Ví dụ 2.1.7 (đường tròn). Cho S1 = (x, y) ∈ R2 | x2+ y2 = 1. Nó được phủ bởi bốn lân cận là cácnửa đường tròn tương ứng với các điểm (x, y) ∈ S1 với x > 0, x < 0, y > 0 và y < 0. Mỗi lân cậnđó vi đồng phôi với (−1,1). Chẳng hạn xem phép chiếu U = (x, y) ∈ S1 | x > 0 → (−1,1) cho bởi(x, y) 7→ y. Ánh xạ (x, y) 7→ y là trơn trên R2, nên trơn trên U. Ánh xạ ngược y 7→ (

√1− y2, y) là trơn

trên (−1,1). Vậy phép chiếu là một vi đồng phôi.

Ví dụ 2.1.8 (mặt cầu). Mặt cầu đơn vị S2 = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1 là một đa tạp trơn 2-chiều. Ta có các vi đồng phôi: (x, y) 7→ (x, y,

√1− x2− y2), với x2+ y2 < 1, tham số hóa miền z > 0 của

S2; (x, y) 7→ (x, y,−√

1− x2− y2), với x2+ y2 < 1, tham số hóa miền z < 0; (x, z) 7→ (x, z,√

1− x2− z2),với x2 + z2 < 1, tham số hóa miền y > 0; (x, z) 7→ (x, z,−

√1− x2− z2), với x2 + z2 < 1, tham số

hóa miền y < 0; (y, z) 7→ (y, z,√

1− y2− z2), với y2 + z2 < 1, tham số hóa miền x > 0; (y, z) 7→(y, z,−

√1− y2− z2), với y2+ z2 < 1, tham số hóa miền x < 0.

Tổng quát hơn mặt cầu Sn−1 = (x1, . . ., xn) ∈Rn | x21+ . . .+ x2

n = 1 là một đa tạp trơn (n−1)-chiềutrong Rn.

Tính trơn của hàm ngược có thể khó khảo sát. Dùng định lý hàm ngược của phép tính vi phânhàm nhiều biến, ta có kết quả sau, mà một số tài liệu như [Sja15] lấy làm định nghĩa của đa tạp:

Mệnh đề 2.1.9. Một không gian con M của Rk là một đa tạp trơn m-chiều nếu và chỉ nếu với mỗix ∈ M tồn tại một lân cận mở V của x trong M , một tập mở U trong Rm, và một song ánh ϕ : U→Vsao cho

2.1. ĐA TẠP 23

(a) ϕ là liên tục và ánh xạ ngược là liên tục (một phép đồng phôi),

(b) ϕ là trơn,

(c) dϕ(u) : Rm→ Rk là đơn ánh với mọi u ∈ U.

Tính đơn ánh của ánh xạ đạo hàm của tham số hóa trong trường hợp đường và mặt thường đượcgọi là tính chính qui.

Ví dụ 2.1.10. Xét tọa độ cầu trên mặt cầu S2:

ϕ : [0, π]× [0,2π] → S2

(φ, θ) 7→ (x, y, z) = (sinφcosθ, sinφ sinθ,cosφ)

Xét ánh xạ

ϕ = ϕ|(0,π)×(0,2π) : (0, π)× (0,2π) → S2 \ (x, y, z) ∈ S2 | y = 0, x ≥ 0.

Giả sử U ⊂ (0, π) × (0,2π) là tập mở của R2. Vì ([0, π] × [0,2π]) \U là tập đóng, do đó compắc, nênảnh của nó qua ϕ là compắc, do đó đóng. Dùng việc ϕ là song ánh, ta có thể kiểm tính chất thuầntúy tập hợp là ϕ(U) = S2 \ (([0, π]×[0,2π]) \U), do đó ϕ(U) là tập mở trong S2. Suy ra ϕ là một songánh mang tập mở thành tập mở, do đó là một phép đồng phôi.

Tính trực tiếp ta có ϕφ × ϕθ luôn khác 0, do đó dϕ là đơn ánh tại mọi điểm. Theo 2.1.9 thìS2 \ (x, y, z) ∈ S2 | y = 0, x ≥ 0 là một đa tạp 2-chiều và ϕ là một tham số hóa của nó.

2.1.1 Không gian tiếp xúc và đạo hàmĐịnh nghĩa 2.1.11. Cho M ⊂ Rk là một đa tạp trơn m-chiều và x ∈ M . Điểm x có một lân cận đượctham số hóa bởi ϕ, với ϕ(u) = x. Ta định nghĩa không gian tiếp xúc của M tại x, kí hiệu là TxM hayT Mx , là không gian vector con m-chiều của Rk sinh bởi các vectơ ∂ϕ

∂ui(u), 1 ≤ i ≤ m. Các phần tử của

không gian vector TxM được gọi là các vector tiếp xúc của M tại x.

Có thể chứng tỏ không gian tiếp xúc TxM = dϕu(Rm) là một không gian vectơ m-chiều khôngphụ thuộc vào cách chọn tham số hóa địa phương.

ϕ(u)ϕ

u

Rm

Rk

TxM

Hình 2.1.2: Không gian tiếp xúc.

Cho M,N là các đa tạp trơn và f : M → N là ánh xạ trơn. Khi đó đạo hàm của f , kí hiệu bằngdfx hay df (x), là ánh xạ đi từ TxM vào Tf (x)N mang mỗi vectơ tiếp xúc của M tại x có dạng dϕu(v)thành vectơ d( f ϕ)u(v) tiếp xúc với N tại f (x). Có thể kiểm được dfx là một ánh xạ tuyến tính.

Ví dụ 2.1.12. Nếu M = Rm và N = Rn thì đạo hàm của f : M→ N chính là đạo hàm của hàm nhiềubiến đã biết.


f (x)

N

f

x

γ′(t)

f γ

dfx(γ′(t))γ

M

Hình 2.1.3: Ánh xạ đạo hàm.

Cho f : M→ N là một ánh xạ trơn giữa hai đa tạp. Nếu dfx không là toàn ánh thì x được gọi làmột điểm dừng, hay điểm tới hạn (rest point, critical point) của f , và f (x) được gọi là một giá trịdừng.

Ví dụ 2.1.13. Nếu U là một tập mở trong Rn và f : U→ R là trơn thì x ∈U là điểm dừng của f nếuvà chỉ nếu ∇ f (x) = 0.

Định lý 2.1.14 (tập mức là đa tạp). Nếu y không phải là một giá trị dừng của f : M → N thìphương trình f (x) = y xác định một đa tạp trơn có số chiều bằng dim(M)−dim(N).

Định lý này là một công cụ thường dùng để kiểm một tập mức hay nói cách khác một phươngtrình dạng ẩn xác định một đa tạp trơn. Định lý có thể được chứng minh bằng cách vận dụng định lýhàm ẩn của phép tính vi phân hàm nhiều biến.

R

R

f (x, y) = 0

y = g(x)y0

x0U

V

(∂ f∂x ,

∂ f∂y

)(x0, y0)

Hình 2.1.4: Tập mức là đa tạp.

Ví dụ 2.1.15. Xét mặt cầu S2 ⊂ R3. Đặt f (x, y, z) = x2 + y2 + z2. Hàm này là trơn trên R3 với điểmdừng duy nhất là (0,0,0) và giá trị dừng duy nhất là 0. Vậy f −1(1) = S2 là một đa tạp trơn 2-chiều.

2.1.2 Định hướngMột định hướng (orientation) trên một không gian vectơ n-chiều trên trường số thực là một cáchchọn một bộ có thứ tự n vectơ độc lập tuyến tính, tức chọn một cơ sở tuyến tính. Hai cơ sở tuyến tínhđược coi là xác định cùng một định hướng nếu ma trận chuyển cơ sở có định thức dương.

Ví dụ 2.1.16. Định hướng chuẩn tắc của Rm được cho bởi cơ sở

(e1 = (1,0, . . .,0), e2 = (0,1,0, . . .,0), . . ., em = (0, . . .,0,1)).

2.1. ĐA TẠP 25

x

y

y

x

Hình 2.1.5: Hai định hướng trái nhau trên mặt phẳng.

Ví dụ 2.1.17. Định hướng cho bởi cơ sở ((0,−1), (−1,0)) trái với định hướng chuẩn tắc của R2.

Cho T : V →W là một đẳng cấu giữa hai không gian vectơ hữu hạn chiều trên trường số thựcđược định hướng. Nếu T mang một cơ sở có định hướng dương của V thành một cơ sở có định hướngdương của W , tức ma trận biễu diễn của T theo hai cơ sở này có định thức dương, thì ta nói T làbảo toàn định hướng (orientation-preserving). Nếu ngược lại ta nói T là đảo ngược định hướng(orientation-reversing).

Vắn tắt, một đa tạp là được định hướng (oriented) nếu không gian tiếp xúc tại mỗi điểm đượcđịnh hướng và định hướng này thay đổi trơn trên đa tạp. Định nghĩa chính xác là:

Định nghĩa 2.1.18. Một đa tạp m-chiều M được gọi là được định hướng nếu với mỗi điểm x khônggian tiếp xúc TxM một định hướng được chọn và có một tham số hóa địa phương ϕ sao cho ánh xạđạo hàm dϕu : Rm→ T Mϕ(u) là bảo toàn định hướng với mọi u.

Định hướng của T Mϕ(u) được cho bởi cơ sở(∂ϕ∂u1(u), ∂ϕ∂u2

(u), . . ., ∂ϕ∂um(u)

)với ∂ϕ

∂ui(u) = dϕu(ei).

Nếu đa tạp có thể được định hướng thì ta nói đa tạp là định hướng được (orientable).

Ví dụ 2.1.19. Nếu một đa tạp có thể được phủ bởi chỉ một tham số hóa địa phương thì đa tạp là địnhhướng được. Đặc biệt, bất kì một tập mở nào của Rm cũng là một đa tạp định hướng được. Cũng vìlí do đó đồ thị của một hàm trơn xác định trên một tập mở cũng là một đa tạp định hướng được.

Trong trường hợp đặc biệt đa tạp (k − 1)-chiều trong Rk thì tại mỗi điểm có hai vectơ đơn vịvuông góc với không gian tiếp xúc tại điểm đó. Ta có một tiêu chuẩn trực quan cho tính định hướngđược:

Mệnh đề 2.1.20. Một đa tạp (k−1)-chiều trong Rk là định hướng được nếu tồn tại một trường vectơpháp tuyến đơn vị xác định trơn trên đa tạp đó.

Hệ quả 2.1.21. Nếu f : Rk → R là trơn và a không là một giá trị dừng của f thì f −1(a) là một đatạp định hướng được.

Chứng minh. Từ 2.1.14 ta biết f −1(a) là một đa tạp (k−1)-chiều. Với mọi x ∈ f −1(a) thì ∇ f (x) kháckhông.

Một sự kiện hình học đặc biệt là vectơ gradient luôn vuông góc với tập mức. Thực vậy lấy c là mộtđường đi trơn trong f −1(a) qua điểm x = c(0) thì với mọi t ta có f (c(t))= a, suy ra ∇ f (c(t)) ·c′(t)= 0,do đó ∇ f (c(t)) ⊥ c′(t), đặc biệt ∇ f (x) ⊥ c′(0). Vì c′(0) là một vectơ tiếp xúc bất kì của f −1(a) nênta có ∇ f (x) ⊥ T f −1(a)x .

Như vậy ∇ f chính là một trường vectơ pháp tuyến khác không trên f −1(a), và ∇ f‖∇ f ‖ là một trường

vectơ pháp tuyến đơn vị trơn trên f −1(a). Ta có thể áp dụng Mệnh đề 2.1.20.

Ví dụ 2.1.22. Mặt cầu x2+ y2+ z2 = 1 là định hướng được.

Mặt xuyến(√

x2+ y2− b)2+ z2 = a2, a < b, là định hướng được (xem Bài tập 2.4.7).

Có thể chứng minh được rằng mặt được miêu tả trong hình vẽ, gọi là mặt Mobius, là không địnhhướng được.

Cho hai đa tạp được định hướng M và N và ánh xạ f : M→ N . Ta nói f là bảo toàn định hướngnếu tại mỗi điểm x ∈ M thì ánh xạ đạo hàm dfx là ánh xạ tuyến tính bảo toàn định hướng, và nói flà đảo ngược định hướng nếu tại mỗi điểm x ∈ M thì ánh xạ đạo hàm dfx là ánh xạ tuyến tính đảongược định hướng.


Hình 2.1.6: Mặt Mobius.

2.1.3 Đa tạp có biênNửa không gian trên đóng Hm = (x1, x2, . . ., xm) ∈ Rm | xm ≥ 0 ⊂ Rm mà biên tôpô là ∂Hm =

(x1, x2, . . ., xm) ∈ Rm | xm = 0 là mô hình cho đa tạp có biên.

Định nghĩa 2.1.23. Một không gian con M của Rk được gọi là một đa tạp có biên m-chiều nếu mỗiđiểm trong M có một lân cận vi phôi với Rm hoặc Hm.

Tập hợp các điểm có lân cận vi phôi với Rm được gọi là phần trong (đa tạp) của M .Nếu một điểm thuộc M có một lân cận vi phôi với Hm qua một phép vi phôi mang một điểm đó

vào ∂Hm thì điểm đó được gọi là một điểm biên của M . Tập hợp tất cả các điểm biên của M đượcgọi là biên (đa tạp) của M , kí hiệu là ∂M .

Ghi chú 2.1.24. Đôi khi thuật ngữ “đa tạp” được dùng để chỉ chung đa tạp và đa tạp có biên. Mộtđa tạp có biên vẫn có thể có biên bằng rỗng, khi đó nó được gọi là một đa tạp không có biên. Khicần làm rõ ta phát biểu cụ thể “đa tạp không có biên” và “đa tạp có biên”.

Ghi chú 2.1.25. Biên đa tạp có thể khác với biên tôpô.

Mệnh đề 2.1.26. Phần trong của một đa tạp m-chiều có biên là một đa tạp m-chiều không có biên.Biên của một đa tạp m-chiều có biên là một đa tạp (m−1)-chiều không có biên.

Định lý 2.1.27 (tập dưới mức là đa tạp). Cho M là một đa tạp m-chiều. Cho f : M → R là mộthàm trơn. Nếu y không là một giá trị dừng của f thì bất phương trình f (x) ≤ y xác định một đa tạpm-chiều có biên xác định bởi phương trình f (x) = y.

Rõ ràng kết quả tương tự cũng có cho tập trên mức f (x) ≥ y, tức là tập f −1([y,∞)).

Ví dụ 2.1.28. Đĩa đóng Dn là một đa tạp n-chiều với biên là mặt cầu Sn−1, một đa tạp (n−1)-chiềukhông có biên. Thực vậy, lấy f : Rn→ R, f (x) = ‖x‖2, vì 1 không phải là một giá trị dừng của f ,tập dưới mức Dn = f −1((−∞,1]) là một đa tạp n-chiều với biên là f −1(1) = Sn−1.

Ví dụ 2.1.29. Lấy f là hàm chiều cao trên S2, f (x, y, z) = z. Vì 0 là một giá trị chính qui của f nêntập hợp f −1([0,∞)), chính là nửa mặt cầu trên x2 + y2 + z2 ≥ 0, là một đa tạp 2-chiều với biên làf −1(0), vi đồng phôi với S1.

Các khái niệm khác như không gian tiếp xúc, đạo hàm, định hướng cho đa tạp có biên giống nhưcho đa tạp, kể cả tại các điểm biên.

Giả sử M là một đa tạp có biên m-chiều được định hướng và x ∈ ∂M . Vì dim∂M = dim M − 1nên có một vectơ đơn vị duy nhất n(x) ∈ T Mx sao cho n(x) ⊥ T(∂M)x và dϕx(n(x)) · (−em) > 0 vớimột hệ tọa độ địa phương ϕ của M ở x. Có thể kiểm được là n(x) không phụ thuộc vào cách chọnhệ tọa độ địa phương. Vectơ n(x) được gọi là vectơ pháp tuyến đơn vị ngoài.

Chọn định hướng cho T(∂M)x bằng một cơ sở c(x) sao cho bộ (n(x),c(x)) cho định hướng dươngcủa T Mx . Đây được gọi là định hướng pháp tuyến ngoài đứng đầu (outer normal first) của biên.

2.2. DẠNG VI PHÂN TRÊN ĐA TẠP 27

−em∂Hm

Hm

R

M

∂M

x

T(∂M)x

n(x)

dϕx(n(x))

ϕ

Hình 2.1.7: Định hướng pháp tuyến ngoài đứng đầu của biên.

Ví dụ 2.1.30 (∂Hm = (−1)mRm−1). Định hướng chuẩn tắc của Hm là định hướng chuẩn tắc của Rm.Theo định nghĩa thì định hướng tại một điểm x của biên ∂Hm được cho bởi một cơ sở f gồm (m−1)vectơ của Tx(∂H

m) = Rm−1×0 ⊂ Tx(Hm) = Rm sao cho bộ (−em, f ) cho định hướng chuẩn tắc của

Rm. Nếu lấy f = (e1, . . ., em−1) thì

det(−em, e1, . . ., em−1) = (−1)m.

Suy ra định hướng biên của ∂Hm thì trùng với định hướng chuẩn tắc của Rm−1 nếu m là chẳn và

−em∂Hm

Hm

R

Hình 2.1.8: ∂Hm = (−1)mRm−1.

ngược nếu m là lẻ.

Ví dụ 2.1.31. Đĩa đóng D2 có định hướng của R2. Biên S1 của nó nhận định hướng pháp tuyến ngoàiđầu tiên, chính là định hướng ngược chiều kim đồng hồ.

Mặt cầu S2 nhận định hướng biên từ quả cầu D3. Như thế mặt cầu được định hướng ngược chiềukim đồng hồ nếu nhìn từ bên ngoài.

2.2 Dạng vi phân trên đa tạpMỗi không gian tiếp xúc TxM là một không gian vectơ hữu hạn chiều. Ta muốn xây dựng khái niệmdạng trên đó, tương tự như ta đã làm trên Rn. Một vấn đề cần xem xét là sự phụ thuộc khái niệm vàocách chọn một cơ sở tuyến tính cho không gian vectơ.

2.2.1 Phiếm hàm đa tuyến tính trên không gian vectơCho V là một không gian vectơ n-chiều trên R. Ánh xạ T : Vk → R, k ∈ Z+, được gọi là một phiếmhàm k-tuyến tính trên V nếu nó tuyến tính theo từng biến, tức là với mọi x = (x1, . . ., xk) ∈ Vk ,


y = (y1, . . ., yk) ∈ Vk , với mỗi 1 ≤ i ≤ k, c ∈ R, thì

T(x1, . . ., xi−1, xi + cyi, xi+1, . . ., xk) =T(x1, . . ., xi−1, xi, xi+1, . . ., xk)+

+ cT(x1, . . ., xi−1, yi, xi+1, . . ., xk).

Ví dụ 2.2.1. Trên một không gian vectơ V bất kì thì:

• Hàm hằng bằng 0 trên Vk là k-tuyến tính.

• Một phiếm hàm tuyến tính trên V là 1-tuyến tính.

• Một tích trong trên V là 2-tuyến tính, còn gọi là song tuyến tính.

Định nghĩa 2.2.2. Một phiếm hàm đa tuyến tính T được gọi là đan dấu (alternating) nếu luôn có

T(x1, . . ., xi, . . ., xj, . . ., xk) = −T(x1, . . ., xj, . . ., xi, . . ., xk).

Tức là nếu đổi chỗ hai biến thì giá trị bị đổi dấu.

Mệnh đề 2.2.3. Một phiếm hàm k-tuyến tính đan dấu trên không gian tuyến tính n-chiều với k > nthì phải bằng 0.

Vậy ta chỉ cần khảo sát phiếm hàm k-tuyến tính đan dấu với k ≤ n.

Chứng minh. Khi k > n thì với k vectơ x1, . . ., xk phải có hai vectơ xi và xj với i , j mà xi = xj . Khiđó

T(x1, . . ., xi, . . ., xj, . . ., xk) = −T(x1, . . ., xj, . . ., xi, . . ., xk) = −T(x1, . . ., xi, . . ., xj, . . ., xk) = 0.

Ví dụ 2.2.4. • Phiếm hàm 0 được coi là đan dấu.

• Do logic và qui ước, các 1-phiếm hàm là đan dấu.

• Một tích trong trên V thì song tuyến tính nhưng không đan dấu, vì 〈x, y〉 = 〈y, x〉.

• Trong R3, tích có hướng a× b là song tuyến tính đan dấu.

Ví dụ 2.2.5. Trong R2 nếu a = (a1,a2) và b = (b1,b2) thì det(a,b) = det(a1 b1a2 b2

)là “diện tích có dấu”

của hình bình hành sinh bởi hai vectơ a và b. Ta nhận ra định thức là một phiếm hàm song tuyến tínhđan dấu.

Ví dụ 2.2.6. Trong R3 cho ba vectơ a = (a1,a2,a3), b = (b1,b2,b3) và c = (c1,c2,c3). Ta biết tích(a×b) · c là “thể tích có dấu” của hình bình hành sinh bởi a, b, c. Về mặt đại số (a×b) · c là định thứccủa ma trận mà các cột là các tọa độ của a, b, c:

(a× b) · c = det©«a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3

ª®¬ = det(a,b,c).

Từ cả hình học lẫn đại số ta thấy nếu đổi chỗ hai vectơ thì tích sẽ đổi dấu. Vậy tích này là một phiếmhàm 3-tuyến tính đan dấu.

Ví dụ 2.2.7. Bây giờ ta có thể nhận ra là trên Rn với cơ sở chuẩn tắc thì định thức

det : Rn→ R(v1, . . .,vn) 7→ det(v1, . . .,vn).

là một phiếm hàm n-tuyến tính đan dấu. Đó là “thể tích có dấu” của hình bình hành sinh bởi n vectơ.


Giả sử e = (ei)1≤i≤n là một cơ sở của V . Giả sử v = (vi)1≤i≤n ∈ Vk . Viết vi =∑n

j=1 vj,iej . Gọi e∗i

là phiếm hàm tuyến tính đối ngẫu của ei , cho bởi e∗i (ej) =

1, i = j0, i , j .

. Ta xét ánh xạ được kí hiệu là

e∗i1 · · · e∗ik

từ Vk vào R cho bởi

e∗i1 · · · e∗ik(v1, · · · ,vk) = det

©«vi1,1 vi1,2 . . . vi1,kvi2,1 vi2,2 . . . vi2,k...

......

...vik,1 vik,2 . . . vik,k

ª®®®®¬= det

(vi j,l

)j,l= det

(e∗i j (vl)

)1≤ j≤k,1≤l≤k

.

(2.2.8)Rõ ràng e∗i1 · · · e

∗ik

là một phiếm hàm k-tuyến tính đan dấu trên V . Chú ý sự liên quan giữa công thứcnày với Công thức (1.1.3) trong Rn.

Ví dụ 2.2.9. Ta tính được

e∗1 · · · e∗n(v1, · · · ,vn) = det

(e∗i (vj)

)i, j = det

(vi, j

)i, j = det[v]e = det(v1, . . .,vn).

Vậy trong cơ sở (e1, . . ., en) thì e∗1 · · · e∗n = det.

Bổ đề 2.2.10. Cho một cơ sở (e1, . . ., en) của V thì các phần tử e∗i1 · · · e∗ik

với 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ ntạo thành một cơ sở tuyến tính cho không gian vectơ tất cả các phiếm hàm k-tuyến tính đan dấu trênV .

Chứng minh. Giả sử T là một phiếm hàm k-tuyến tính đan dấu trên V . Cho k vectơ v1, . . .,vk trên V .Mỗi vi được viết trong cơ sở như vi =

∑nj=1 vj,iej . Dùng tính đan dấu của T ta có

T(v1, · · · ,vk) = T( n∑j1=1

vj1,1ej1, . . .,n∑

jk=1vjk,kejk

)=

∑1≤ j1,..., jk ≤n

vj1,1 · · ·vjk,kT(ej1, . . ., ejk )

=∑

1≤ j1< · · ·< jk ≤n

∑σ∈S(k)

vjσ(1),1 · · ·vjσ(k),kT(ejσ(1), · · · , ejσ(k) )

=∑

1≤ j1< · · ·< jk ≤n

∑σ∈S(k)

vjσ(1),1 · · ·vjσ(k),k(−1)sign(σ)T(ej1, · · · , ejk )

=∑

1≤ j1< · · ·< jk ≤nT(ej1, · · · , ejk )

∑σ∈S(k)

(−1)sign(σ)vjσ(1),1 · · ·vjσ(k),k

=∑

1≤ j1< · · ·< jk ≤nT(ej1, · · · , ejk )det

(vji,l

)1≤i,l≤k

=∑

1≤ j1< · · ·< jk ≤nT(ej1, · · · , ejk )(e

∗j1· · · e∗jk )(v1, . . .,vk).

Vậy ta được

T =∑

1≤ j1< · · ·< jk ≤nT(ej1, · · · , ejk )(e

∗j1· · · e∗jk ).

Trong trường hợp V = Rn và (e1, . . ., en) là cơ sở chuẩn tắc của Rn, thì kết quả này chỉ ra rằngcác dạng bậc k trên Rn như đã định nghĩa ở Định nghĩa 1.1.8chính các tương ứng mỗi điểm với mộtphiếm hàm k-tuyến tính đan dấu trên Rn, viết được là

ω(x) =∑

f (x)dxj1 · · ·dxjk (x).


2.2.2 Định thức trên không gian vectơGiả sử e = (ei)1≤i≤n và f = ( fi)1≤i≤n là hai cơ sở của V . Giả sử ej =

∑nk=1 ek, j fk , ta có

vi =∑j

vj,i∑k

ek, j fk =∑k

(∑j

ek, jvj,i

)fk .

Điều này cho thấy ngay nếu ta kí hiệu ma trận (vj,i)i, j = [v]e, (ek, j)k, j = [e] f thì [v] f = [e] f · [v]e, dođó det[v] f = det[e] f · det[v]e. Như vậy chú ý là định thức phụ thuộc vào cách chọn cơ sở tuyến tínhcho không gian tuyến tính. Khi ta cố định một cơ sở, thì định thức của ma trận các tọa độ của n vectơviết trong cơ sở này là một phiếm hàm n-tuyến tính đan dấu.

Ví dụ 2.2.11. Do Bổ đề 2.2.10, khi cố định e thì ta được T = T(e1, . . ., en)det. Điều này có nghĩa làmột phiếm hàm n-tuyến tính đan dấu trên một không gian vectơ n-chiều phải là một bội của địnhthức.

Trong nhiều trường hợp về sau, trên không gian đang xét không có sẵn một cơ sở, mà có sẵn mộttích trong. Ta có thể biểu diễn định thức thông qua tích trong như sau. Từ tích trong 〈·, ·〉 ta xây dựngđược một một cơ sở trực chuẩn (orthonormal) e. Vì

⟨vi,vj

⟩=

⟨n∑

k=1vk,iek,

n∑l=1

vl, jel

⟩=

⟨∑k

vk,iek,∑l

vl, jel

⟩=

∑k

vk,ivk, j

nên (⟨vi,vj

⟩)i, j= [v]Te · [v]e .

Do đó det(⟨vi,vj

⟩)i, j= det[v]Te ·det[v]e = (det[v]e)2 . Suy ra

| det(v1, . . .,vn)| = | det[v]e | =√

det(⟨vi,vj

⟩)1≤i, j≤n. (2.2.12)

Chú ý là công thức trên không phụ thuộc vào cách chọn e. Sau cùng, để thoát khỏi dấu trị tuyệt đối,chỉ cần biết dấu của det[v]e, tức là biết v và e có cùng định hướng hay trái định hướng. Tiếp cận khácđi, cho V một định hướng, khi đó chỉ cần biết v theo định hướng dương hay âm. Vậy

det(v1, . . .,vn) =

√

det(⟨vi,vj

⟩)1≤i, j≤n, (v1, . . .,vn) định hướng dương

−

√det

(⟨vi,vj

⟩)1≤i, j≤n, (v1, . . .,vn) định hướng âm.

(2.2.13)

Công thức này chỉ phụ thuộc vào tích trong và định hướng của không gian vectơ, không phụ thuộcvào cách chọn cơ sở trực chuẩn.

2.2.3 Dạng vi phân trên đa tạp và tính chất

Phát triển từ trường hợp Rn, một dạng trên đa tạp là một ánh xạ trên đa tạp cho tương ứng mỗi điểmvới một phiếm hàm k-tuyến tính đan dấu trên không gian tiếp xúc tại điểm đó.

Định nghĩa 2.2.14. Trên đa tạp N xét một dạng ω tương ứng mỗi điểm y ∈ N với một phiếm hàmk-tuyến tính đan dấu trên không gian vectơ TyN . Cho f : M→ N là hàm trơn trên đa tạp M . Kéo luicủa ω qua f , kí hiệu f ∗ω, là dạng bậc k trên M được định nghĩa bởi tại x ∈ M , với v1, . . .,vk ∈ TxMthì

( f ∗ω)(x)(v1,v2, . . .,vk) = ω( f (x))(dfx(v1), . . .,dfx(vk)). (2.2.15)


Ví dụ 2.2.16. Chú ý rằng định nghĩa này tương thích với định nghĩa kéo lui trên Rn trước đây ở Địnhnghĩa 1.2.26. Thực vậy trên Rn thì ϕ(x) = y, ω =

∑f dyi1 · · ·dyik , và

ω(ϕ(x))(dϕx(v1), . . .,dϕx(vk)) =∑

f (ϕ(x))dyi1 · · ·dyik (ϕ(x))(dϕx(v1), . . .,dϕx(vk))

=∑

f (ϕ(x))det(dyi j (ϕ(x))(dϕx(vl)

)j,l

=∑

f (ϕ(x))det(d(yi j ϕ)x(vl)

)j,l

=∑

f (ϕ(x))det(d(ϕi j )x(vl)

)j,l

=∑

f (ϕ(x))dϕi1 · · ·dϕik (x)(v1, . . .,vl)

= (ϕ∗ω)(x)(v1, . . .,vl).

Dễ thấy kéo lui vẫn có tính tuyến tính vì phép cộng của dạng là phép cộng của ánh xạ, nghĩa làcộng giá trị ở từng điểm.

Bổ đề 2.2.17. Kéo lui vẫn có tính tự nhiên như trên Rn.

Chứng minh. Giả sử f : M→ N và g : N→ P là các hàm trơn và ω là một dạng bậc k trên P. Ta cótừ đạo hàm của hàm hợp:

(g f )∗ω(x)(v1, . . .,vk) = ω((g f )(x))(d(g f )x(v1), . . .,d(g f )x(vk))

= ω(g( f (x))(dgf (x)(df x(v1)), . . .,dgf (x)(df x(vk)))

= (g∗ω)( f (x))(df x(v1), . . .,df x(vk))

= f ∗(g∗(ω))(x)(v1, . . .,vk).

Vậy (g f )∗ = f ∗ g∗.

Mệnh đề 2.2.18. Giả sử với mỗi tham số hóa địa phương (Uϕ, ϕ) của đa tạp có biên M có một dạngωϕ xác định trên Uα. Nếu với mọi tham số hóa địa phương ϕ,ψ ta có (ψ−1 ϕ)∗ωψ = ωϕ , thì tồn tạiduy nhất một dạng ω trên M sao cho ϕ∗ω = ωϕ , tức ω = (ϕ−1)∗(ωϕ).

Nói ngắn gọn, nếu các dạng địa phương tương thích qua phép đổi biến thì chúng xác định duynhất một dạng trên đa tạp.

Chứng minh. Giả sử (Uϕ, ϕ) là một tham số hóa của một lân cận của một điểm trên M , ta đặt theocách không thể khác là ω = (ϕ−1)∗ωϕ . Ta kiểm ω không phụ thuộc vào cách chọn ϕ. Giả sử (Uψ,ψ)là một tham số hóa khác cho một lân cận của điểm này. Vì ωψ = (ϕ−1 ψ)∗ωϕ , nên

(ψ−1)∗ωψ = (ψ−1)∗

((ϕ−1 ψ)∗ωϕ

)=

((ϕ−1 ψ) ψ−1

)∗ωϕ = (ϕ

−1)∗ωϕ .

Vậy ω không phụ thuộc vào cách chọn tham số hóa địa phương.

Nhờ mệnh đề này ta có thể làm việc với dạng trên đa tạp bằng cách làm việc với các biễu diễnđịa phương của chúng trên không gian Euclid.

Ta nói một dạng trên đa tạp là trơn nếu biễu diễn địa phương bất kì của nó là dạng trơn. Kéo luiϕ∗ω là một tương ứng mỗi điểm của U ⊂ Rn với một phiếm hàm k-tuyến tính đan dấu trên Rn. TừBổ đề 2.2.10, một tương ứng như vậy phải bằng∑

1≤i1<···<ik ≤n

f(i1,...,ik )dxi1 · · ·dxik .

Dạng vi phân, hay dạng trơn, chính là những tương ứng như vậy mà có các hệ số f(i1,...,ik ) là các hàmtrơn. Tính trơn của dạng không phụ thuộc cách chọn tham số hóa địa phương. Cho ϕ và ψ là haitham số hóa địa phương. Nếu ω là một dạng trơn ứng với ϕ thì ϕ∗(ω) =

∑f dxi1 · · ·dxik với f trơn.

Khi đó (ϕψ)∗(ω) = ψ∗(ϕ∗(ω)) =∑

f ψdψi1 · · ·dψik là một dạng vi phân trơn trên một tập mở củaRn, vậy ω cũng trơn ứng với ψ.


Định nghĩa 2.2.19. Ta nói một ánh xạ tương ứng mỗi điểm trên đa tạp với một phiếm hàm k-tuyếntính đan dấu trên không gian tiếp xúc là một dạng vi phân trên đa tạp nếu kéo lui của ánh xạ đóqua một tham số hóa địa phương bất kì của đa tạp là một dạng vi phân trên tập mở của Rn.

Ví dụ 2.2.20. Nếu đa tạp là Rn hay tập mở của Rn thì có thể lấy tham số hóa ϕ là ánh xạ đồng nhất,và dạng trên đa tạp chính là dạng trên Rn, thống nhất với phần trước.

Ví dụ 2.2.21. Nếu M ⊂ RN thì một dạng vi phân trên RN hạn chế xuống M là một dạng vi phântrên M .

Tích của dạng được định nghĩa thông qua tích của biễu diễn địa phương của chúng. Cụ thể, giảsử ω1 và ω2 là dạng trên M và ϕ là một tham số hóa địa phương thì trên lân cận đó ta định nghĩaω1ω2 = (ϕ

−1)∗(ϕ∗(ω1)ϕ∗(ω2)), tức là (ω1ω2)ϕ = ϕ

∗(ω1)ϕ∗(ω2). Tính độc lập với cách chọn tham số

hóa được kiểm bởi

(ψ−1 ϕ)∗(ψ∗(ω1)ψ∗(ω2)) =

[(ψ−1 ϕ)∗(ψ∗(ω1))

] [(ψ−1 ϕ)∗(ψ∗(ω2))

]=

[ϕ∗ (ψ−1)∗(ψ∗(ω1))

] [ϕ∗ (ψ−1)∗(ψ∗(ω2))

]= (ϕ∗ω1)(ϕ

∗ω2).

Với định nghĩa này ta cũng kiểm được f ∗(ω1ω2) = ( f ∗ω1)( f ∗ω2). Thực vậy

ϕ∗ ( f ∗(ω1ω2)) = ( f ϕ)∗(ω1ω2) = (( f ϕ)∗ω1) (( f ϕ)∗ω2) .

Ta định nghĩa đạo hàm của dạng theo cách (dω)ϕ = d(ϕ∗ω). Tính độc lập với cách chọn tham sốhóa được kiểm bởi

(ϕ−1 ψ)∗(d(ϕ∗ω)) = d[(ϕ−1 ψ)∗(ϕ∗ω)

]= d

[ψ∗ (ϕ−1)∗(ϕ∗ω)

]= d(ψ∗ω).

Đạo hàm và kéo lui cũng giao hoán. Thực vậy,

f ∗(dω) = f ∗[(ϕ−1)∗d(ϕ∗ω)

]= f ∗

[d((ϕ−1)∗(ϕ∗ω)

]= f ∗(dω).

Tóm lại, tất cả các tính chất vốn có trong Rn ở 1.2.32 đều đúng cho dạng tổng quát trên đa tạp.

2.2.4 Dạng thể tích của đa tạpXét một đa tạp có biên M được định hướng có số chiều n. Điều này có nghĩa là mỗi không gian tiếpxúc TxM được định hướng và định hướng này trơn theo x. Giả sử trên TxM có một tích trong, vàtích trong này trơn theo x. Đây được gọi là một mêtríc Riemann (tên gọi này vì tích trong sẽ sinhra chuẩn, và chuẩn sẽ sinh ra mêtríc). Chẳng hạn nếu M nằm trong RN thì ta có thể lấy tích trongEuclid sẵn có của RN .

Trên TxM xét dạng det trong Công thức (2.2.13). Giả sử ϕ là một tham số hóa địa phương bảotoàn định hướng trong một lân cận của x. Kéo lui của dạng det về Rn qua ϕ phải bằng một n-dạngf dt1 · · ·dtn của Rn. Nếu (v1, . . .,vn) có định hướng dương của Rn thì phải có

(ϕ∗ det)(t)(v1, . . .,vn) = det(dϕt (v1), . . .,dϕt (vn)) =√

det(⟨

dϕt (vi),dϕt (vj)⟩)

1≤i, j≤n

= f (t) (dt1 · · ·dtn) (t)(v1, . . .,vn),

với f là một hàm thực trơn. Lấy v chính là cơ sở chuẩn tắc e của Rn thì ta xác định được

f (t) =√

det(⟨

dϕt (ei),dϕt (ej)⟩)

1≤i, j≤n.

Người ta thường đặt

gi j(t) =⟨dϕt (ei),dϕt (ej)

⟩=

⟨∂ϕ

∂ti(t),

∂ϕ

∂tj(t)

⟩, (2.2.22)

2.3. TÍCH PHÂN TRÊN ĐA TẠP 33

gọi là các hệ số của mêtríc Riemann. Chú ý rằng đó chính là các phần tử của ma trận Jϕ(t)T Jϕ(t).Như thế biểu diễn qua tham số hóa địa phương của dạng det trên đa tạp ngắn gọn là

ϕ∗ det =√

det(gi, j

)1≤i, j≤ndt1 · · ·dtn =

√det

(Jϕ(t)T Jϕ(t)

)dt1 · · ·dtn.

Công thức này cho thấy đây là một dạng trơn. Từ ý nghĩa hình học của định thức, ta sẽ gọi đây làdạng thể tích của đa tạp, thường được kí hiệu là dµ, dvol, hay dV . Theo cách viết dạng trên đa tạpthì

dV =√

det(gi, j)1≤i, j≤ndx1 · · ·dxn. (2.2.23)

Ví dụ 2.2.24. Nếu đa tạp là Rn hay tập mở của Rn thì có thể lấy tham số hóa ϕ là ánh xạ đồng nhất,và dạng thể tích sẽ là

dV = dx1 · · ·dxn,

thống nhất với phần trước.

Ví dụ 2.2.25. Giả sử một đường C trong Rn là một đa tạp một chiều được tham số hóa bởi ánh xạγ : [a,b] → Rn. Kí hiệu ds là dạng thể tích trên C, trong trường hợp này được gọi là dạng chiều dàiđường. Cho f là một hàm trơn trên C thì f ds là một dạng bậc 1 trên C. Ta có

γ∗( f ds) = f (γ(t))√

det(γ′(t)T · γ′(t)

)dt = f (γ(t))

√|γ′(t)|2dt = f (γ(t))|γ′(t)|dt .

Đặc biệt:γ∗ds = |γ′(t)|dt .

Ví dụ 2.2.26. Giả sử một đa tạp 2-chiều S trong R3 được tham số hóa bởi chỉ một ánh xạ ϕ : U→R3,(u,v) 7→ (x, y, z). Đây được gọi là một mặt. Gọi dS là dạng thể tích trên S, trong trường hợp này đượcgọi là dạng diện tích mặt. Ta có

ϕ∗dS =√

det(JTϕ · Jϕ

)dudv.

Ở đây

Jϕ =©«

xu xvyu yvzu zv

ª®¬,do đó

JTϕ · Jϕ =(

x2u + y

2u + z2

u xu xv + yuyv + zuzvxu xv + yuyv + zuzv x2

v + y2v + z2

v

),

nêndet

(JTϕ · Jϕ

)= |ϕu |

2 |ϕv |2−(ϕu · ϕv)

2 = |ϕu ×ϕv |2.

Vậyϕ∗dS = |ϕu ×ϕv |dudv.

Tương tự, với một dạng bậc 1 được viết là f dS thì

ϕ∗( f dS) = f ϕ|ϕu ×ϕv |dudv.

2.3 Tích phân trên đa tạpCho một dạng ω bậc m trên đa tạp có biên được định hướng M có số chiều m ta sẽ xây dựng tíchphân

∫Mω của ω trên M . Ta làm việc này theo hai bước: đầu tiên xét trường hợp đa tạp chỉ cần đúng

1 tham số hóa địa phương, rồi sau đó xét trường hợp đa tạp cần nhiều tham số hóa địa phương.


2.3.1 Định nghĩa địa phươngTrong trường hợp địa phương thì từ những thảo luận trên ta có thể thấy cách định nghĩa tích phân làthông qua kéo lui về Rm. Tuy nhiên để đảm bảo tích phân Lebesgue của kéo lui tồn tại thì người tathường yêu cầu tập con của Rm trên đó ta lấy tích phân là compắc. Gọi giá (support) của dạng ω làsupp(ω) = x ∈ M | ω(x) , 0, ta sẽ giả thiết supp(ω) là compắc.

Định nghĩa 2.3.1. Cho đa tạp có biên được định hướng M có số chiều m và cho một dạng ω bậcm có giá compắc sao cho supp(ω) ⊂ ϕ(U) với ϕ : U ⊂ Rm→ M là một tham số hóa bảo toàn địnhhướng thì tích phân của ω trên M là ∫

M

ω :=∫U

ϕ∗ω.

Chú ý rằng giả thiết dạng có giá compắc đảm bảo dạng là khả tích, tức là tích phân tồn tại và bằngmột số thực.

Bổ đề 2.3.2. Định nghĩa này độc lập với cách chọn tham số hóa bảo toàn định hướng.

Chứng minh. Cho ψ : V ⊂ Rm→M là một tham số hóa bảo toàn định hướng khác sao cho supp(ω) ⊂ψ(V). Ta có thể giả sử ϕ(U) = ψ(V), vì có thể thay U bởi ϕ−1(ϕ(U)∩ψ(V)) và thay V bởi ψ−1(ϕ(U)∩ψ(V)). Dùng công thức đổi biến ở Mệnh đề 1.2.37 và tính chất của kéo lui ở Mệnh đề 1.2.32 ta được∫

V

ψ∗ω =

∫U

(ψ−1 ϕ)∗ (ψ∗ω) =

∫U

ϕ∗ (ψ−1

)∗ψ∗(ω)

=

∫U

(ϕ (ψ−1 ψ)

)∗(ω) =

∫U

ϕ∗ω.

Ví dụ 2.3.3. Nếu đa tạp là Rn hay tập mở của Rn thì có thể lấy tham số hóa ϕ là ánh xạ đồng nhất,và tích phân của dạng trên đa tạp trùng với tích phân của dạng trên tập mở của Rn, thống nhất vớiphần trước.

Ví dụ 2.3.4 (tích phân đường loại 1). Tiếp tục Ví dụ 2.2.25, cho một đường C trong Rn là một đatạp một chiều được tham số hóa bởi ánh xạ γ : [a,b] → Rn. Kí hiệu ds là dạng chiều dài đường trênC. Cho f là một hàm trơn trên C thì f ds là một dạng bậc 1 trên C. Ta có∫

C

f ds =∫ b

a

γ∗( f ds) =∫ b

a

f (γ(t))√

det(γ′(t)T · γ′(t)

)dt

=

∫ b

a

f (γ(t))√|γ′(t)|2dt =

∫ b

a

f (γ(t))|γ′(t)|dt.

Đây chính là định nghĩa của tích phân đường loại 1 trong môn Vi tích phân hàm nhiều biến, xemchẳng hạn ở [Vugt3]. Đặc biệt, chiều dài của đường C được cho bởi

`(C) =∫C

ds =∫ b

a

|γ′(t)|dt.

Ví dụ 2.3.5 (tích phân đường loại 2). Cho một đường C trong Rn là một đa tạp một chiều đượctham số hóa bởi ánh xạ γ : [a,b]→ Rn. Cho dạng bậc một ω = F1dx1+ · · ·+Fndxn xác định trên mộttập mở của Rn chứa C, tương ứng với trường vectơ trơn F = (F1, . . .,Fn). Ta có

γ∗ω = γ∗(F1dx1+ · · ·+Fndxn) = F1 γdγ1+ · · ·+Fn γdγn= (F1 γ)γ

′1dt + · · ·+ (Fn γ)γ

′ndt =

((F1 γ)γ

′1+ · · ·+ (Fn γ)γ

′n

)dt .

Do đó ∫C

ω =

∫ b

a

γ∗ω =

∫ b

a

((F1 γ)γ

′1+ · · ·+ (Fn γ)γ

′n

)dt .

2.3. TÍCH PHÂN TRÊN ĐA TẠP 35

Viết theo kí hiệu trong Vi tích phân hàm nhiều biến thì∫C

F · d®s =∫ b

a

(F1(γ(t))γ′1(t)+ · · ·+Fn(γ(t))γ′n(t)

)dt =

∫ b

a

F(γ(t)) · γ′(t)dt,

chính là tích phân đường loại 2.

Ví dụ 2.3.6 (tích phân mặt loại 1). Tiếp tục Ví dụ 2.2.26, cho một mặt S trong R3 là một đa tạp haichiều được tham số hóa bởi ánh xạ ϕ : U ⊂ R2→ R3. Kí hiệu dS là dạng diện tích mặt trên S, cho flà một hàm trơn trên S thì f dS là một dạng bậc 2 trên S. Ta có∫

S

f dS =∫U

ϕ∗( f dS) =∫U

f ϕ√

det(JTϕ Jϕ

)dudv =

∫U

f ϕ|ϕu ×ϕv |dudv.

Đây chính là định nghĩa của tích phân mặt loại 1 trong môn Vi tích phân hàm nhiều biến. Đặc biệt,diện tích của mặt S được cho bởi ∫

U

|ϕu ×ϕv |dudv.

Ví dụ 2.3.7 (tích phân mặt loại 2). Cho một mặt S trong R3 là một đa tạp hai chiều được tham sốhóa bởi ánh xạ ϕ : U ⊂ R2→ R3, ϕ(u,v) = (x, y, z). Cho F = (P,Q,R) là một trường vectơ trơn trênmột tập mở của R3 chứa S, tương ứng với dạng ω = Pdydz+Qdzdx+Rdxdy, một dạng bậc 2. Ta có

ϕ∗ω = P ϕdϕ2dϕ3+Q ϕdϕ3dϕ1+Rϕdϕ1dϕ2

= (P ϕ)(∂ϕ2∂u

du+∂ϕ2∂v

dv) (∂ϕ3∂u

du+∂ϕ3∂v

dv)+ (Q ϕ)

(∂ϕ3∂u

du+∂ϕ3∂v

dv) (∂ϕ1∂u

du+∂ϕ1∂v

dv)+

+ (Rϕ)(∂ϕ1∂u

du+∂ϕ1∂v

dv) (∂ϕ2∂u

du+∂ϕ2∂v

dv)

=

[(P ϕ)

∂(ϕ2, ϕ3)

∂(u,v)+ (Q ϕ)

∂(ϕ3, ϕ1)

∂(u,v)+ (Rϕ)

∂(ϕ1, ϕ2)

∂(u,v)

]dudv.

Ở đây ta dùng kí hiệu phổ biến trong Vi tích phân hàm nhiều biến:

∂(x, y)∂(u,v)

= det( ∂x∂u

∂x∂v

∂y∂u

∂y∂v

).

Vậy ∫S

ω =

∫U

ϕ∗ω =

∫U

[(P ϕ)

∂(ϕ2, ϕ3)

∂(u,v)+ (Q ϕ)

∂(ϕ3, ϕ1)

∂(u,v)+ (Rϕ)

∂(ϕ1, ϕ2)

∂(u,v)

]dudv.

Chú ý rằng

ϕu ×ϕv =

(∂(y, z)∂(u,v)

,∂(z, x)∂(u,v)

,∂(x, y)∂(u,v)

),

ta có thể viết theo kí hiệu trong Vi tích phân hàm nhiều biến:∬S

F · d ®S =∬

S

(Pdydz+Qdzdx+Rdxdy) =∬

U

F(ϕ(u,v)) · (ϕu(u,v)×ϕv(u,v))dudv,

chính là tích phân mặt loại 2.

2.3.2 Định nghĩa toàn cụcBây giờ xét trường hợp tổng quát mà đa tạp được phủ bởi một tập bản đồ. Ta dùng một công cụ đặcbiệt là “phân hoạch đơn vị”. Một phân hoạch đơn vị (partition of unity) là một họ các hàm có giá trịthực, không âm, mỗi hàm bằng 0 bên ngoài một tập mở cho trước, và tổng giá trị của hàm này tạimọi điểm luôn bằng 1. Một công dụng của phân hoạch đơn vị là đưa một đối tượng địa phương thànhmột đối tượng toàn cục. Cách xây dựng tích phân trên đa tạp từ tích phân trên lân cận địa phương ởphần tiếp theo sẽ là một minh họa tiêu biểu cho cách sử dụng phân hoạch đơn vị.


Mệnh đề 2.3.8. Cho O là một phủ mở bất kì của đa tạp compắc M thì tồn tại một họ các hàm( fi)1≤i≤k thỏa fi : M→ R là trơn, 0 ≤ fi ≤ 1, có U ∈ O sao cho supp( fi) = x ∈ M | fi(x) , 0 ⊂ U,và

∑ki=1 fi = 1.

Chứng minh sự tồn tại của phân hoạch đơn vị là một việc tương đối khó nhưng thú vị và bổ ích(Bài tập 2.4.19). Trong những tài liệu nâng cao hơn giả thiết compắc cho đa tạp có thể được giảmnhẹ đi, hoặc thay bằng giả thiết về sự compắc của giá của dạng.

Cho M là một đa tạp có biên, compắc, m-chiều, được định hướng, và ω là một dạng trơn bậcm trên M . Xét một họ O các lân cận được tham số hóa bảo toàn định hướng của M . Lấy mộtphân hoạch đơn vị (pi)1≤i≤k ứng với O. Chú ý rằng piω có supp(piω) chứa trong một phần tửU ∈O, do đó

∫M

piω =∫U

piω đã được xác định từ bước xây dựng địa phương. Vì∑

1≤i≤k pi = 1 nên

ω =(∑k

i=1 pi)ω =

∑ki=1 piω. Từ đây ta nhận thấy có thể định nghĩa tích phân trên cả đa tạp như là

tổng của các tích phân trên các địa phương.

Định nghĩa 2.3.9. Ta định nghĩa tích phân của dạng trên đa tạp là∫M

ω =

k∑i=1

∫M

piω.

Phân hoạch đơn vị có vai trò như một bộ trọng số, giúp các tích phân trên các địa phương vốn cóchồng lấn đóng góp lượng thích hợp vào giá trị tổng thể của tích phân toàn cục.

Bổ đề 2.3.10. Định nghĩa này không phụ thuộc cách chọn phân hoạch đơn vị.

Chứng minh. Giả sử (qj)1≤ j≤l là một phân hoạch đơn vị ứng với một phủ của M bởi các lân cậnđược tham số hóa. Ta có∑

i

∫M

piω =∑i

∫M

(∑j

qj

)(piω) =

∑i

∫M

∑j

qjpiω =∑i, j

∫M

piqjω.

Ở trên, vì supp(piqjω) là tập con của supp(pi)∩ supp(qj) chứa trong một lân cận được tham số hóa,nên theo Bổ đề 2.3.2 đại lượng

∫M

piqjω được xác định và∫M

∑j qjpiω =

∑j

∫M

piqjω.Tương tự ∑

j

∫M

qjω =∑i, j

∫M

piqjω.

Vậy∑

i

∫M

piω =∑

j

∫M

qjω.

Định nghĩa 2.3.11. Thể tích của đa tạp compắc M được định nghĩa là

vol(M) =∫M

dV .

Mệnh đề 2.3.12. Tích phân của dạng có tính tuyến tính.

Chứng minh. Giả sử ω1 và ω2 là hai dạng trên đa tạp M có bậc bằng số chiều của đa tạp, và M cómột phân hoạch đơn vị (pi)1≤i≤k ứng với một phủ của M bởi các lân cận được tham số hóa. Theođịnh nghĩa: ∫

M

(ω1+ω2) =∑i

∫M

pi(ω1+ω2) =∑i

∫M

(piω1+ piω2).

Gọi (Ui, ϕi) là một tham số hóa địa phương của một tập mở trên M chứa supp(pi), dùng tính tuyếntính của tích phân trên không gian Euclid, ta có∑

i

∫M

pi(ω1+ω2) =∑i

∫Ui

ϕ∗i [pi(ω1+ω2)] =∑i

∫Ui

[ϕ∗i (pi(ω1))+ϕ

∗i (pi(ω2))

]=

∑i

∫Ui

[ϕ∗i (pi(ω1))+

∫Ui

ϕ∗i (pi(ω2))

]=

∑i

[∫M

pi(ω1)+

∫M

pi(ω2)

]=

∑i

∫M

pi(ω1)+∑i

∫M

pi(ω2) =

∫M

ω1+

∫M

ω2.

2.4. CÔNG THỨC STOKES CHO ĐA TẠP 37

Tổng quát hóa trường hợp không gian Euclid, tích phân không thay đổi qua phép đổi biến:

Mệnh đề 2.3.13. Nếu f : M → N là một vi đồng phôi bảo toàn định hướng và ω là một dạng trênN có bậc bằng với số chiều của N thì ∫

M

f ∗ω =∫N

ω.

Chứng minh. Lấy một phân hoạch đơn vị (pi)1≤i≤k ứng với một phủ O của M bởi các lân cận đượctham số hóa. Ta có∫

M

f ∗ω =∑i

∫M

pi f ∗ω =∑i

∫Ui

ϕ∗i (pi f ∗ω) =∑i

∫Ui

(pi ϕi)ϕ∗i ( f∗ω)

=∑i

∫Ui

(pi ϕi)ϕ∗i ( f∗ω) =

∑i

∫Ui

(pi ϕi)( f ϕi)∗ω

=∑i

∫Ui

((pi f −1) ( f ϕi)

)( f ϕi)∗ω =

∑i

∫Ui

( f ϕi)∗((pi f −1)ω

).

Chú ý rằng (Ui, f ϕi) là tham số hóa địa phương của một phần tử của phủ f (V) | V ∈ O của N ,và (pi f −1)1≤i≤k là một phân hoạch đơn vị của N ứng với phủ này, ta được∑

i

∫Ui

( f ϕi)∗((pi f −1)ω

)=

∑i

∫N

(pi f −1)ω =

∫N

ω.

Trong tính toán thì các định nghĩa của tích phân trên đa tạp khó dùng vì khó viết ra một côngthức cụ thể cho phân hoạch đơn vị của đa tạp. Để tính toán có một phương pháp cơ bản là chia đatạp thành các phần có phần chung “không đáng kể”, tính tích phân trên mỗi phần, rồi cộng lại. Trongtrường hợp đặc biệt, một phần của đa tạp có thể được tham số hóa chỉ bằng một tham số hóa địaphương, với phần còn thiếu “không đáng kể”, và tích phân trên đa tạp bằng với tích phân trên phầnđược tham số hóa. Dưới đây là một ví dụ.

Mệnh đề 2.3.14. Cho M là một đa tạp có biên m-chiều, D ⊂ Rm mở bị chặn, ϕ : D→ M là toànánh trơn, ϕ|D là một tham số hóa địa phương, ω là dạng bậc m trên M . Khi đó∫

M

ω =

∫ϕ(D)

ω.

2.4 Công thức Stokes cho đa tạpĐịnh lý 2.4.1 (công thức Stokes). Cho M là một đa tạp có biên compắc được định hướng m-chiềucó biên, cho ω là một dạng bậc (m−1) trên M , thì∫

M

dω =∫∂M

ω. (2.4.2)

Lưu ý ta hiểu tích phân của dạng trên biên như sau. Trước hết biên ∂M luôn nhận định hướngbiên từ M . Gọi i : ∂M → M là ánh xạ nhúng (ánh xạ chứa trong) x 7→ x, thì ta định nghĩa∫

∂Mω :=

∫∂M

i∗ω.

Nếu ∂M = ∅ thì ta đặt∫∂M

ω = 0.Dàn ý của chứng minh như sau: trước hết ta chứng minh cho trường hợp địa phương, sau đó dùng

phân hoạch đơn vị để chứng minh toàn cục.Trong trường hợp địa phương ta có hai khả năng: lân cận không chứa biên và lân cận chứa biên.

Trong cả hai khả năng trên, dùng kéo lui ta đưa bài toán về trên Rn, và công thức Stokes nhận được từcông thức Fubini áp dụng cho hình hộp, cùng với công thức Newton–Leibniz (tức công thức Stokes1-chiều!). Vậy chúng ta chứng minh bổ đề sau.


Bổ đề 2.4.3 (công thức Stokes địa phương). Cho (U, ϕ) là một tham số hóa bảo toàn định hướngcủa một tập mở của M với U bị chặn. Cho ω là một dạng bậc (m− 1) trên M với supp(ω) ⊂ ϕ(U).Khi đó:

(a) Nếu ϕ(U)∩ ∂M = ∅ thì ∫M

dω = 0.

(b) Nếu ϕ(U)∩ ∂M , ∅ thì ∫M

dω =∫∂M

ω.

Chứng minh. Theo định nghĩa tích phân và do tính giao hoán của đạo hàm và kéo lui, ta có∫M

dω =∫U

ϕ∗(dω) =∫U

d(ϕ∗ω).

Trong khi đó ∫∂M

ω =

∫U∩∂Hm

ϕ∗ω.

Như vậy trong cả hai trường hợp vấn đề đưa về trường hợp tập mở U trong Rm hoặcHm. Đặt α = ϕ∗ω.Khi đó có

α =

m∑i=1

fidx1 · · ·dxi−1 dxidxi+1 · · ·dxm,

và

dα =

(m∑i=1(−1)i−1 ∂ fi

∂xi

)dx1 · · ·dxm.

Ta cần chứng minh ∫U

dα =∫U∩∂Hm

α.

Vì U bị chặn nên ta có thể đặt U vào một hình chữ nhật I =∏m

i=1[ai,bi] trong Rm (nếu U mở

trong Rm) hoặc Hm (nếu U mở trong Hm), chú ý lấy I đủ lớn để supp(α) ⊂

I . Phần còn lại của lýluận này chỉ là áp dụng công thức Fubini cho I và α.

Trường hợp U là tập mở trong Rn: Vì U∩∂Hm = ∅ nên∫U∩∂Hm α = 0. Đối với

∫U

dα, dùng côngthức Fubini cho hình hộp I, chú ý α = 0 trên ∂I, do đó fi(bi) = fi(ai) = 0:∫

U

dα =∫I

dα =m∑i=1(−1)i−1

∫I

∂ fi∂xi

dx1 · · ·dxm

=

m∑i=1(−1)i−1

∫∏m

j=1, j,i [a j,b j ]

(∫ bi

ai

∂ fi∂xi

dxi

)dx1 · · ·dxi−1 dxidxi+1 · · ·dxm

=

m∑i=1(−1)i−1

∫∏m

j=1, j,i [a j,b j ]

( fi(bi)− fi(ai))dx1 · · ·dxi−1 dxidxi+1 · · ·dxm

= 0.

Trường hợp U là tập mở trong Hm với U ∩ ∂Hm , ∅: Trong trường hợp này thì∏m−1

i=1 [ai,bi] ⊂∂Hm và am = 0. Dùng công thức Fubini cho hình hộp I, với các chỉ số 1 ≤ i ≤ m−1 kết quả vẫn như


trường hợp trên, còn với i = m thì fm(x1, . . ., xm−1,bm) = 0:∫U

dα =∫I

dα =m∑i=1(−1)i−1

∫I

∂ fi∂xi

dx1 · · ·dxm

=

m−1∑i=1(−1)i−1

∫I

∂ fi∂xi

dx1 · · ·dxm+ (−1)m−1∫I

∂ fm∂xm

dx1 · · ·dxm

= 0+ (−1)m−1∫I

∂ fm∂xm

dx1 · · ·dxm

= (−1)m−1∫

∏m−1i=1 [a j,b j ]

(∫ bn

an

∂ fm∂xm

dxm

)dx1 · · ·dxm−1

= (−1)m−1∫

∏m−1i=1 [a j,b j ]

( fm(x1, . . ., xm−1,bm)− fm(x1, . . ., xn−1,am))dx1 · · ·dxm−1

= (−1)m∫

∏m−1i=1 [a j,b j ]

fm(x1, . . ., xm−1,0)dx1 · · ·dxm−1.

∂Hm = Rm−1 × 0

bm

xm

am = 0U

I

Xét∫U∩∂Hm α. Đa tạp ∂Hm được tham số hóa bởi ánh xạ chứa trong i : Rm−1 → ∂Hm = Rm−1 ×

0, i(x1, . . ., xm−1) = (x1, . . ., xm−1,0). Ánh xạ này bảo toàn định hướng nếu m là chẳn và đảo ngượcđịnh hướng nếu m là lẻ, xem Ví dụ 2.1.30. Chú ý rằng i∗α = ( fm i)dx1 · · ·dxm−1 (nói tắt là do trênI ∩ ∂Hm thì dxm = 0). Do đó∫

U∩∂Hm

α = (−1)m∫i−1(U∩∂Hm)

i∗α

= (−1)m∫

∏m−1i=1 [a j,b j ]

fm(x1, . . ., xm−1,0)dx1 · · ·dxm−1.

Vậy∫U

dα =∫U∩∂Hm α.

Chứng minh công thức Stokes 2.4.1. Bây giờ ta xét vấn đề toàn cục. Với mỗi x ∈ M lấy một tham sốhóa (Ux, ϕx) của một lân cận của x với Ux bị chặn. Lấy một phân hoạch đơn vị pi | 1 ≤ i ≤ k ứngvới phủ (ϕx(Ux))x∈M . Theo định nghĩa∫

M

dω =∑

1≤i≤kpi

∫M

dω =∫M

∑1≤i≤k

pi(dω).

Chú ý rằng∑

1≤i≤k pidω =∑

1≤i≤k d(piω). Thực vậy∑1≤i≤k

d(piω) =∑

1≤i≤k(d(pi)ω+ pidω) =

( ∑1≤i≤k

d(pi)

)ω+

∑1≤i≤k

pidω

= d

( ∑1≤i≤k

pi

)ω+

∑1≤i≤k

pidω = d(1)ω+∑

1≤i≤kpidω

= 0+∑

1≤i≤kpidω =

∑1≤i≤k

pidω.


Từ đó: ∫M

dω =∫M

∑1≤i≤k

pidω =∫M

∑1≤i≤k

d(piω) =∑

1≤i≤k

∫M

d(piω).

Ở đây piω là dạng có giá chứa trong một lân cận được tham số hóa nên Bổ đề 2.4.3 có thể áp dụngđược: ∫

M

d(piω) =∫∂M

piω.

Thay vào ta được ∫M

dω =∑

1≤i≤k

∫M

d(piω) =∑

1≤i≤k

∫∂M

piω

=

∫∂M

∑1≤i≤k

piω =∫∂M

( ∑1≤i≤k

pi

)ω =

∫∂M

ω.

Ví dụ 2.4.4. Nếu M không có biên, tức ∂M = ∅, thì∫M

dω = 0 với mọi dạng ω bậc (n−1).

Hệ quả 2.4.5. Các công thức sau là các trường hợp riêng của công thức Stokes tổng quát:

• Công thức Newton–Leibniz: ∫ b

a

f ′(x)dx = f (b)− f (a).

• Công thức cơ bản của tích phân đường:∫ B

A

∂ f∂x1

dx1+ · · ·+∂ f∂xn

dxn = f (B)− f (A).

• Công thức Green: ∫∂D

Pdx+Qdy =∬

D


)dxdy.

• Công thức Stokes trong R3:∫∂S

Pdx+Qdy+Rdz =∬

S


)dxdy+


)dydz+


)dzdx.

• Công thức Gauss–Ostrogradsky:∬∂E

Pdydz+Qdzdx+Rdxdy =∭

E


)dxdydz.

Bài tập2.4.6. Chứng tỏ phương trình x6 + y4 + z2 = 1 xác định một đa tạp hai chiều trơn trong R3, là biên của đa tạpba chiều xác định bởi bất phương trình x6 + y4 + z2 ≤ 1.

2.4.7. Chứng tỏ mặt xuyến (Hình 2.2.9), cho bởi phương trình(√

x2 + y2 − b)2+ z2 = a2 (Hình 2.4.2), là một

đa tạp trơn hai chiều, biên của khối xuyến(√

x2 + y2 − b)2+ z2 ≤ a2, là một đa tạp trơn ba chiều.

2.4.8. Tìm điều kiện đủ để phương trình ax2 + by2 + cz2 = d xác định một đa tạp 2-chiều trong R3.

2.4.9. Chứng tỏ phương trình sau xác định một đa tạp 2-chiều trong R3:

x2 + y2 + z2 + x4y4 + x4z4 + y4z4 −9z = 21.


Hình 2.4.1: Mặt xuyến.

φ

θ

yab

x

O

z

Hình 2.4.2: Mặt xuyến có phương trình(√

x2+ y2− b)2+ z2 = a2, với 0 < a < b.

2.4.10. Trong Hình 2.4.3, định hướng nào là định hướng chuẩn tắc của R3?

2.4.11. Phép đổi biến sang tọa độ cầu

ϕ : (0,∞)×(0, π)× (0,2π) → R3 \ (x, y, z) ∈ R3 | y = 0, x ≥ 0(ρ, φ, θ) 7→ (x, y, z) = (ρsinφcosθ, ρsinφ sinθ, ρcosφ)

là bảo toàn định hướng hay đảo ngược định hướng?Nếu cố định bán kính ρ = 1, thì tham số hóa của mặt cầu

(0, π)× (0,2π) → S2 \ (x, y, z) ∈ S2 | y = 0, x ≥ 0(φ, θ) 7→ (x, y, z) = (sinφcosθ, sinφ sinθ,cosφ)

là bảo toàn hay đảo ngược định hướng chuẩn của mặt cầu S2?

2.4.12. Cho ánh xạ

c : (0,1)2 → R4

(t1, t2) 7→ (t21, t2, t1t2, t1 +1).

(a) Chứng tỏ tập ảnh S = c((0,1)2) là một đa tạp 2 chiều trong R4.

(b) Cho dạng α = x1dx3 + x1x4dx2. Tính∫S

dα.

(c) Gọi µ là dạng thể tích trên S. Tính kéo lui c∗µ. Thiết lập công thức tích phân bội để tính diện tích của S.Hãy ước lượng diện tích này.

2.4.13. Cho ánh xạ

ϕ : (0,1)× (0,2π) → R6

(r, θ) 7→ (r cosθ,r sinθ,r2 cos2θ,r2 sin2θ,r4 cos4θ,r4 sin4θ).

Có thể biểu diễn ánh xạ này dùng số phức, viết C = R2:

ψ : z ∈ C | |z | ≤ 1 → C3

z 7→ (z, z2, z4).

Ánh xạ ϕ chẳng qua là hợp của ψ với phép đổi biến sang tọa độ cực.


z

y

y

x

z

y

x yz

x

z

x

Hình 2.4.3:

(a) Chứng tỏ ψ là một phép đồng phôi lên ảnh của nó. Từ đó suy ra ϕ là một phép đồng phôi lên ảnh S củanó. (Gợi ý: z ∈ C | |z | ≤ 1 là compắc, và xét tập đóng thay vì tập mở.)

(b) Kiểm tra rằng dϕ(r, θ) là đơn ánh. Từ đó kết luận S là một đa tạp 2-chiều và ϕ là một tham số hóa của nó.

(c) Cho dạng ω = dx1dx2 + dx3dx4 + dx5dx6 trên R6. Tính kéo lui ϕ∗ω.

(d) Tính∫Sω.

2.4.14. Cho D = (u,v,w) ∈ [0,1]3 | u+ v+w ≤ 1. Cho ánh xạ

ϕ : D→ R4

(u,v,w) 7→ (uv,u− v,u2 + v2,w2).

(a) Chứng tỏ ϕ là một phép đồng phôi lên ảnh của nó.

(b) Chứng tỏ dϕ là đơn ánh tại mỗi điểm trên phần trongD của D.

(c) Chứng tỏ M = ϕ(D) là một đa tạp 3-chiều với tham số hóa ϕ.

(d) Tính ∫M

x3dx1dx2dx4 + x2dx1dx3dx4.

2.4.15. Trong R3 cho S1 là nửa mặt cầu dưới x2 + y2 + z2 = 1, z ≥ 0; cho S2 là mặt paraboloid z = 1− x2 − y2,z ≥ 0. Cho ω là một dạng bậc 1 trên R3. Chứng tỏ∫

S1dω = ±

∫S2

dω,

với dấu tùy định hướng của S1 và S2. Hãy đưa ra một tổng quát hóa cho điều này.

2.4.16 (thể tích quả cầu nhiều chiều). Tọa độ cầu trong Rn, n ≥ 2, được cho bởi:

x1 =r cosϕ1, r > 0, 0 < ϕ1 < π

x2 =r sinϕ1 cosϕ2, 0 < ϕ2 < π

...

xi =r sinϕ1 sinϕ2 · · · sinϕi−1 cosϕi, 0 < ϕi < π...

xn−1 =r sinϕ1 sinϕ2 · · · sinϕn−2 cosϕn−1, 0 < ϕn−1 < 2πxn =r sinϕ1 sinϕ2 · · · sinϕn−2 sinϕn−1.

Hãy dùng tọa độ cầu để kiểm công thức sau cho thể tích của quả cầu Bn(R) = (x1, x2, . . ., xn) ∈ Rn | x21 + x2

2 +

· · ·+ x2n < R2:

vol(Bn(R)) =

2(2π)(n−1)/2

1 ·3 · · ·nRn, nếu n lẻ

(2π)n/2

2 ·4 · · ·nRn, nếu n chẳn.

Nếu dùng hàm Gamma,

Γ(z) =∫ ∞

0tz−1e−t dt, z ∈ R+,

một mở rộng của hàm giai thừa lên tập hợp các số thực, thỏa Γ(z+1) = zΓ(z) và Γ( 12 ) =√π, thì có thể viết

vol(Bn(R)) =π

n2

Γ( n2 +1)Rn .


Ba bài tập tiếp theo là về phân hoạch đơn vị.

2.4.17. Xét hàm đặc biệt sau:

f (x) =

e−1/x, if x > 00, if x ≤ 0.

(a) Chứng tỏ f (n)(x) = e−1/xPn(1/x) với x > 0, ở đây Pn là một đa thức. Chứng tỏ f là trơn.

(b) Cho a < b. Đặt f1(x) = f (x− a) f (b− x). Khi đó f1 là trơn, f1(a,b) > 0 , f1

R\(a,b) ≡ 0 .

(c) Đặt

f2(x) =

∫ x

−∞f1(x)dx∫ ∞

−∞f1(x)dx

,

thì f2 là trơn 0 ≤ f2 ≤ 1, f2(b,∞) ≡ 1 , f2

(−∞,a) ≡ 0 .

(d) Hàm

f3(x) =f (x− a)

f (x− a)+ f (b− x)

cũng có các tính chất trên của f2.

(e) Trong Rn, đặt f4(x) = f3(‖x‖2). Chứng tỏ 0 ≤ f4 ≤ 1, f4B(0,√a) ≡ 1 , ϕi

Rn\B(0,√b) ≡ 0 . Đây là một

hàm trơn có giá trị 1 bên trong quả cầu nhỏ hơn, giá trị 0 bên ngoài quả cầu lớn hơn, và giá trị giữa 0 và1 giữa hai quả cầu. Hãy viết một công thức tường minh cho hàm này.

2.4.18. Cho M là một đa tạp trơn n chiều, A ⊂ U ⊂ M với A là compắc và U là mở trong M . Ta sẽ chứng tỏ cóhàm trơn ϕ : M→ R thỏa 0 ≤ ϕ ≤ 1, ϕ |A ≡ 1 , ϕ

M\U ≡ 0 .

(a) Chứng tỏ có một họ các tham số hóa địa phương (ψi)1≤i≤k và một họ các quả cầu (B(xi, εi))1≤i≤k trongRm sao cho

⋃ki=1ψi (B(xi, εi)) ⊃ A và ψi (B(xi,2εi)) ⊂ U.

(b) Lấy ϕi : Rn→ R trơn, 0 ≤ ϕi ≤ 1, ϕiB(xi,εi ) ≡ 1 , ϕi

Rn\B(xi,2εi ) ≡ 0 . Đặt ϕ′i = ϕi ψ

−1i trên ψi(Rm) và

ϕ′i

M\U ≡ 0 . Đặt ψ =

∑ki=1 ϕ

′i . Chứng tỏ ψ |A > 0 , ψ

M\U ≡ 0 .

(c) Đặt c =minAψ. Gọi h là hàm trơn sao cho 0 ≤ h ≤ 1, h(−∞,0] ≡ 0 , h

[c,∞) ≡ 1 . Đặt ϕ = h ψ thì đây là

hàm cần tìm.

2.4.19 (phân hoạch đơn vị). Cho M là một đa tạp trơn compắc. Cho O là một phủ mở bất kì của M . Tasẽ chứng tỏ tồn tại một họ các hàm ( fi)1≤i≤k sao cho fi : M → R là trơn, 0 ≤ fi ≤ 1, có U ∈ O sao chosupp( fi) = x ∈ M | fi(x) , 0 ⊂ U, và

∑1≤i≤k fi = 1.

(a) Với mỗi x ∈ M , chứng tỏ có các tập mở Vx , Wx và U ∈ O sao cho x ∈ Vx ⊂ V x ⊂Wx ⊂Wx ⊂ U.

(b) Họ (Vx)x∈M là một phủ mở của M nên có phủ con hữu hạn (Vi)1≤i≤k , và với mỗi i có hàm ϕi : M→ Rthỏa 0 ≤ ϕi ≤ 1, ϕi

Vi ≡ 1 , supp(ϕi) ⊂W i ⊂ U với một U ∈ O.

(c) Đặt fi =ϕi∑ki=1ϕi

thì ( fi)1≤i≤k là họ cần tìm.


Chương 3 Ứng dụng

3.1 Ứng dụng trong Giải tích

3.1.1 Miền với biên trơnTrong Giải tích toán học người ta thường xét Ω ⊂ Rn là một tập mở với "biên trơn" (domain withsmooth boundary). Các tài liệu trình bày điều này theo các cách khác nhau hoặc không trình bày cụthể (xem chẳng hạn [Eva97, tr. 626], [Bre11, tr. 272]), nhưng thường giả thiết "biên trơn" có nghĩalà Ω có tính chất sao cho công thức Stokes áp dụng được cho cặp (Ω, ∂Ω) trong đó ∂Ω là biên tôpôcủa Ω và Ω = Ω∪ ∂Ω là bao đóng tôpô của Ω. Theo thiết lập của công thức Stokes ở đây, một điềukiện đủ để điều này xảy ra là Ω là một đa tạp n-chiều có biên, với biên đa tạp của Ω trùng với biêntôpô của Ω. Ta sẽ lấy đây làm định nghĩa của miền mở với biên trơn. (Một số tài liệu trong ngànhGiải tích yêu cầu thêm tính liên thông cho miền.)

Ví dụ 3.1.1. Một ví dụ điển hình cho miền mở với biên trơn trong Rn là nửa không gian trênRn+ = (x1, . . ., xn) ∈ Rn | xn > 0.

Ví dụ 3.1.2. Quả cầu mở B(a,r) là một miền mở với biên trơn.

Xét Ω ⊂ Rn là một tập mở với biên trơn ∂Ω. Vì ∂Ω trùng với biên đa tạp của Ω nên ∂Ω có kháiniệm pháp tuyến đơn vị ngoài.

Định lý 3.1.3 (công thức Stokes cho miền với biên trơn). Cho Ω ⊂ Rn là một miền mở bị chặn vớibiên trơn. Gọi n là vectơ pháp tuyến đơn vị ngoài của ∂Ω. Nếu trường vectơ F trơn trên Ω thì∫

Ω

div F dx =∫∂Ω

F · n dS. (3.1.4)

Ở đây dS là dạng thể tích của biên ∂Ω, có khi được viết là µ∂Ω.Ta được công thức Stokes trên ngay bằng cách áp dụng công thức Stokes tổng quát 2.4.1 cho

dạng bậc (n−1) trên Ω là

n∑i=1(−1)i−1Fidx1 · · ·dxi−1 dxidxi+1 · · ·dxn.

và dùng bổ đề sau:

Bổ đề 3.1.5. Gọi n là vectơ pháp tuyến đơn vị ngoài của biên của một miền và F = (F1, . . .,Fn) làmột trường vectơ trơn trên đó thì

F · ndS =n∑i=1(−1)i−1Fidx1 · · ·dxi−1 dxidxi+1 · · ·dxn.

Chứng minh. Giả sử ψ :Hn→Ω là một tham số hóa địa phương của một lân cận của một điểm biêncủaΩ. Đặt ϕ(t1, . . ., tn−1)=ψ(t1, . . ., tn−1,0) thì ϕ là một tham số hóa địa phương của ∂Ω. Ta có thể giảsử ϕ bảo toàn định hướng của ∂Ω. Pháp tuyến đơn vị ngoài tại x là vectơ đơn vị n sao cho nϕ⊥ ∂ϕ

∂ti

45

46 CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG

với mọi 1 ≤ i ≤ n−1 và det(n ϕ, ∂ϕ∂t1 ,

∂ϕ∂2, . . .,

∂ϕ∂tn−1

)> 0. Đặtω=

∑ni=1(−1)i−1Fidx1 · · ·dxi−1dxidxi+1 · · ·dxn,

ta tính được

ϕ∗ (ω) =

n∑i=1(−1)i−1Fi ϕdϕ1 · · ·dϕi−1dϕidϕi+1 · · ·dϕn

=

n∑i=1(−1)i−1Fi ϕdet

(∂ϕk∂tl

)1≤k≤n,k,i,1≤l≤n−1

dt1 · · ·dtn−1

= det(F ϕ,

∂ϕ

∂t1,∂ϕ

∂t2, . . .,

∂ϕ

∂tn−1

)dt1 · · ·dtn−1.

Tới đây ta phân tích F thành tổng của hai thành phần vuông góc: F = (F · n)n+ (F − (F · n)n). Vìn ϕ vuông góc với các vectơ ∂ϕ

∂tinên (F − (F · n)n) ϕ thuộc không gian vectơ sinh bởi các vectơ

∂ϕ∂ti

, tức là không gian tiếp xúc Tx∂Ω, ta được

det(F ϕ,

∂ϕ

∂t1,∂ϕ

∂t2, . . .,

∂ϕ

∂tn−1

)dt1 · · ·dtn−1 = det

(((F · n)n) ϕ,

∂ϕ

∂t1,∂ϕ

∂t2, . . .,

∂ϕ

∂tn−1

)dt1 · · ·dtn−1

= (F · n) ϕdet(n ϕ,

∂ϕ

∂t1,∂ϕ

∂t2, . . .,

∂ϕ

∂tn−1

)dt1 · · ·dtn−1.

Dùng công thức (2.2.12) ta được

det(n ϕ,

∂ϕ

∂t1,∂ϕ

∂t2, . . .,

∂ϕ

∂tn−1

)=

√det

(⟨∂ϕ

∂ti,∂ϕ

∂tj

⟩)1≤i≤n,1≤ j≤n

.

Vậy

ϕ∗(ω) = (F · n) ϕ

√det

(⟨∂ϕ

∂ti,∂ϕ

∂tj

⟩)1≤i≤n,1≤ j≤n

dt1 · · ·dtn−1 = ϕ∗(F · ndS).

Điều này dẫn tới ω = F · ndS.

Ví dụ 3.1.6. Với n = 3, với F = (P,Q,R) ta có

F · ndS = Pdydz−Qdxdz+Rdxdy = Pdydz+Qdzdx+Rdxdy.

Vì vậy công thức Gauss-Ostragradsky:∫∂E

Pdydz+Qdzdx+Rdxdy =∫E


)dxdydz

thường được viết theo kí hiệu cổ điển là∬∂E

F · n dS =∭

E

div F dV .

Ở cách viết này ta thấy rõ hơn ý nghĩa vật lý của vế trái là thông lượng (flux) của trường ra khỏi bềmặt khối, do đó div miêu tả mức độ phát tán (divergence) của trường.

Lấy F = n trong Bổ đề 3.1.5, ta được một biễu diễn của dạng thể tích biên dS:

Hệ quả 3.1.7. Gọi n = (n1, n2, . . ., nn) là vectơ pháp tuyến đơn vị ngoài của biên của một miền, thìdạng thể tích biên là

dS =n∑i=1(−1)i−1nidx1 · · ·dxi−1 dxidxi+1 · · ·dxn.

3.1. ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TÍCH 47

Ví dụ 3.1.8. Cho D là miền phẳng và F là một trường trên D sao cho ta có thể áp dụng công thứcGreen. Giả sử ∂D được tham số hóa theo chiều dương bởi C(t)= (x(t), y(t)). Vectơ vận tốc của đườngbiên là C ′ = (x ′, y′). Vectơ pháp tuyến ngoài n của ∂D tại điểm (x, y) là

n =1|C ′ |(y′,−x ′) =

1√x ′2+ y′2

(y′,−x ′).

Ta giải thích cách chọn chiều sau đây. Vectơ (−y′, x ′) vuông góc (x ′, y′), vậy n cùng phương với(−y′, x ′). Chiều của n được xác định theo nguyên tắc chiều từ pháp tuyến ngoài sang tiếp tuyến phảicùng chiều với chiều dương chuẩn của mặt phẳng, tức là chiều từ (1,0) sang (0,1). Do đó định thứccủa ma trận gồm hai vectơ n và C ′ phải dương và ta xác định được được chính xác công thức của nnhư trên.

D

∂D

C(t)

C′(t)n(C(t))

Trên mặt phẳng, biên là một đường, dạng thể tích biên là dạng chiều dài ds. Ta có

C∗(n1dy− n2dx) =y′√

x ′2+ y′2y′dt −

−x ′√x ′2+ y′2

x ′dt =√

x ′2+ y′2dt = C∗ds.

Vậyds = n1dy− n2dx.

Cho trường F = (P,Q) thìF · nds = Pdy−Qdx.

Áp dụng công thức Stokes ta được∫∂D

F · nds =∫∂D

Pdy−Qdx =∬

D

(∂P∂x+∂Q∂y

)dxdy =

∬D

div FdA.

Đây thường được gọi là dạng thông lượng của công thức Green.

Ghi chú 3.1.9. NếuΩ ⊂ Rn là một miền mở bị chặn với biên trơn thì biên tôpô ∂Ω có độ đo Lebesguen-chiều không. Điều này có thể được giải thích tóm tắt như sau. Vì ∂Ω chính là biên đa tạp của Ωnên nó là một đa tạp (n−1)-chiều compắc. Nó có thể được phủ bởi hữu hạn lân cận địa phương màtrên mỗi lân cận địa phương đó do định lý hàm ẩn nó là đồ thị của một hàm trơn, do đó mỗi lân cậnđịa phương đó có độ đo Lebesgue n-chiều không. Vì điều này mà trong các tài liệu giải tích thay vìlấy tích phân trên Ω người ta chỉ cần lấy tích phân trên Ω, và thường viết công thức Stokes là∫

Ω

div F dx =∫∂Ω

F · n dS.

3.1.2 Các công thức Green và tích phân từng phầnCác hệ quả sau của công thức Stokes (2.4.2) thường được gọi là các công thức Green.

Định lý 3.1.10. Nếu hàm thực f và g trơn trên Ω thì


(a) ∫Ω

∂ f∂xi

dx =∫∂Ω

f ni dS. (3.1.11)

(b) Tích phân từng phần: ∫Ω

∂ f∂xi

g dx =∫∂Ω

f gni dS−∫Ω

f∂g

∂xidx. (3.1.12)

(c) Viết∂ f∂n= ∇ f · n là đạo hàm của f theo hướng n. Toán tử Laplace ∆ được cho bởi ∆ f =

∇ ·∇ f =∑n

i=1∂2 f

∂x2i

thì ∫Ω

∆ f dx =∫∂Ω

∂ f∂n

dS. (3.1.13)

(d) ∫Ω

∇ f · ∇g dx =∫∂Ω

f∂g

∂ndS−

∫Ω

f∆g dx. (3.1.14)

(e) ∫Ω

( f∆g−g∆ f ) dx =∫∂Ω

(f∂g

∂n−g

∂ f∂n

)dS. (3.1.15)

3.1.3 Ứng dụng trong phương trình đạo hàm riêngTrong phần này chúng ta minh họa ứng dụng trong môn phương trình đạo hàm riêng. Một trongnhững loại phương trình đạo hàm riêng quan trọng là phương trình Poisson −∆u = f , với phươngtrình Laplace ∆u = 0 là một trường hợp riêng. Trong nhiều trường hợp người ta có thể xây dựng đượcnghiệm của phương trình Poisson. Ở đây ta dùng công thức Green để xét sự duy nhất nghiệm củaphương trình với điều kiện biên.

Mệnh đề 3.1.16. Cho Ω là tập mở bị chặn liên thông với biên ∂Ω trơn. Khi đó phương trình−∆u = f trên Ω

u = g trên ∂Ω. (3.1.17)

có nhiều nhất một nghiệm trơn trên Ω.

Chứng minh. [Eva97, tr. 42] Giả sử u là một nghiệm nữa và đặt w = u− u. Khi đó ∆w = 0 trên Ω vàw = 0 trên ∂Ω, nên công thức Green (3.1.14) cho∫

Ω

|∇w |2dx =∫∂Ω

w∂w

∂ndS−

∫Ω

w∆w dx = 0−0 = 0.

Vậy ∇w = 0 trên Ω, và do Ω liên thông nên trên Ω thì w là hàm hằng. Vì w liên tục trên Ω và w = 0trên ∂Ω nên w = 0 trên Ω. Vậy u = u trên Ω.

3.2 Định lý điểm bất động BrouwerCho M là một đa tạp và A ⊂ M . Một phép rút trơn (retraction) từ M lên A là một ánh xạ trơnr : M→ A sao cho r |A = idA.

Mệnh đề 3.2.1. Nếu M là một đa tạp compắc định hướng được có biên khác rỗng thì không tồn tạimột phép rút trơn từ M lên biên ∂M .

3.3. DẠNG KHỚP VÀ DẠNG ĐÓNG 49

Chứng minh. Gọi m là số chiều của M ⊂ Rk . Giả sử tồn tại một phép rút trơn r từ M lên ∂M . Chọnmột định hướng cho M . Gọi β là dạng thể tích của ∂M . Đặt α = r∗β. Áp dụng công thức Stokes choα: ∫

M

dα =∫∂M

α.

Vì số chiều của ∂M là (m−1) và β là dạng bậc (m−1) trên đó nên dβ = 0. Suy ra dα = dr∗β =r∗dβ = r∗0 = 0, do đó

∫M

dα = 0.Mặt khác vì α |∂M = r |∗

∂Mβ = id|∗

∂Mβ = β, nên∫

∂Mα =

∫∂M

β = vol(∂M).

Một lý luận đơn giản giúp ta khẳng định thể tích của một đa tạp khác rỗng phải khác 0. Điều này dẫntới mâu thuẫn.

Định lý 3.2.2 (Định lý điểm bất động Brouwer). Mọi ánh xạ trơn từ đĩa Dn vào chính nó đều cóđiểm bất động.

Chứng minh. Giả sử hàm trơn f : Dn → Dn không có điểm bất động, nghĩa là f (x) , x với mọix ∈ Dn. Đường thẳng từ f (x) tới x sẽ cắt biên ∂Dn tại một điểm g(x).

f (x)

x g(x)

Có thể kiểm được g là trơn (Bài tập 3.3.25). Ta có g |∂Dn = id∂Dn . Vậy g : Dn → ∂Dn là mộtphép rút, mâu thuẫn với kết quả đã biết ở Mệnh đề 3.2.1.

Định lý điểm bất động thường được dùng để chứng minh phương trình có nghiệm. Định lý điểmbất động Brouwer có nhiều ứng dụng, trong đó có chẳng hạn ứng dụng vào chứng minh Định lý cơbản của Đại số, hay chứng minh định lý về sự tồn tại điểm cân bằng Nash trong Tối ưu, và là cơ sởcho nhiều định lý điểm bất động khác.

3.3 Dạng khớp và dạng đóngDạng α được gọi là một dạng khớp (exact) nếu có dạng β sao cho dβ = α. Một dạng khớp là đạohàm của một dạng khác, tương tự như một hàm có nguyên hàm.

Ví dụ 3.3.1. Cho α là một dạng bậc một trên R thì α = f dx và αlà khớp khi và chỉ khi có hàm Fsao cho dF = f dx tức là F ′dx = f dx, tức là F ′ = f . Như vậy F phải là một nguyên hàm của f .

Ví dụ 3.3.2. Trong R2 xét dạng α = Pdx +Qdy. Dạng α là khớp khi và chỉ khi tồn tại hàm F saocho dF = α, tương đương với

∂F∂x

dx+∂F∂y

dy = Pdx+Qdy ⇐⇒ ∇F = (P,Q).

Trong vi tích phân hàm nhiều biến, trường (P,Q) mà có hàm F sao cho ∇F = (P,Q) thì được gọi làmột trường bảo toàn và hàm F được gọi là một hàm thế của trường.

Nếu một dạng có đạo hàm bằng dạng 0 thì ta nói dạng là một dạng đóng (closed form).Giả sử α là một dạng khớp thì có dạng β sao cho dβ = α, nên d(α) = d(dβ) = 0 do tính chất

d2 = 0. Vậy:


Mệnh đề 3.3.3. Một dạng khớp thì đóng.

Vậy đóng là điều kiện cần để khớp.

Ví dụ 3.3.4. Nếu α = Pdx +Qdy thì dα =(∂Q∂x−∂P∂y

)dxdy. Như vậy α là đóng khi và chỉ khi

∂Q∂x=∂P∂y

.

Ví dụ 3.3.5. Nếu α = Pdx+Qdy+Rdz thì

dα =(∂Q∂x−∂P∂y

)dxdy+


)dydz+


)dzdx,

do đó dα = 0 khi và chỉ khi Ry = Qz

Pz = Rx

Qx = Py .

3.3.1 Bổ đề PoincaréMột đa tạp M được gọi là là thắt được (contractible) (trơn) nếu nó đồng luân trơn với một khônggian chỉ gồm một phần tử, tức là có x0 ∈ M và có một hàm trơn

φ : M ×[0,1] → M

sao cho với mọi x ∈ M thì φ(x,0) = x, φ(x,1) = x0.Ta có thể nghĩ tới phép đồng luân φ như một quá trình theo thời gian t, và viết φt (x) = φ(x, t) để

thể hiện điều này, khởi đầu với ánh xạ đồng nhất φ0 = id, và kết thúc bằng ánh xạ hằng φ1 = x0.

Ví dụ 3.3.6. Không gian Rn là thắt được bằng cách kéo mọi điểm về 0 qua đường thẳng, cụ thể bằngphép đồng luân φ(x, t) = (1− t)x. Tương tự, một quả cầu trong Rn cũng là thắt được về tâm của nó.

Một tập D ⊂ Rn được gọi là một miền hình sao (star-shaped region) nếu có một điểm x0 ∈ Dsao cho với mọi điểm x ∈ D thì đoạn thẳng nối x0 và x được chứa trong D.

Ví dụ 3.3.7. Không gian Rn là một miền hình sao. Một tập con lồi của Rn là một miền hình sao.Không khó để thấy Rn trừ đi một điểm không là miền hình sao.

Bằng lý luận như trường hợp Rn, dùng phép đồng luân kéo điểm x bất kì về tâm x0, cụ thểφ(x, t) = (1− t)x+ t x0, ta thấy một miền hình sao là thắt được.

Định lý 3.3.8 (bổ đề Poincaré). Mọi dạng đóng bậc lớn hơn 0 trên đa tạp thắt được đều khớp.

Chứng minh. Giả sử M ⊂ Rn là một đa tạp thắt được, do đó có x0 ∈ M và có phép đồng luânφ : M ×[0,1] → M sao cho với mọi x ∈ M thì φ0(x) = φ(x,0) = x, φ1(x) = φ(x,1) = x0. Xét hai ánhxạ nhúng i0, i1 : M→M×[0,1] với i0(x)= (x,0) và i1(x)= (x,1), thì φ0 = φi0 = id và φ1 = φi1 = x0.

Xét toán tửF :Ωk+1 (M ×[0,1]) →Ωk (M)

cho bởi: vớiγ =

∑I

fI (x, t)dxI +∑J

gJ (x, t)dtdxJ

trong đó I là bộ (k +1) chỉ số, J là bộ k chỉ số, k > 0, thì

Fγ =∑I

(∫ 1

0gJ (x, t)dt

)dxJ .

Ta chứng minh i∗1γ− i∗0γ = Fdγ+ dFγ, tức là

i∗1 − i∗0 = Fd+ dF . (3.3.9)

Ta chỉ chứng minh cho kéo lui thông qua tham số hóa địa phương.


Trường hợp γ = f (x, t)dxI : Khi đó Fγ = 0 (do γ không chứa dt), nên dFγ = 0. Trong khi đó

dγ =(∂ f∂t

dt)

dxI +

(n∑i=1

∂ f∂xi

dxi

)dxI,

suy ra

Fdγ =(∫ 1

0

∂ f∂t(x, t)dt

)dxI = [ f (x,1)− f (x,0)]dxI .

Ta lại có

i∗1γ− i∗0γ = i∗1 f dxI + i∗0 f dxI = [ f i1− f i0]dϕI = [ f (x,1)− f (x,0)]dxI .

Vậy i∗1γ− i∗0γ = Fdγ+ dFγ.

Trường hợp γ = g (x, t)dtdxJ : Ta có Fγ =(∫ 1

0 g(x, t)dt)

dxJ , suy ra

dFγ =

(n∑i=1

∂

∂xi

(∫ 1

0g(x, t)dt

)dxi

)dxJ =

[n∑i=1

(∫ 1

0

∂g

∂xi(x, t)dt

)dxi

]dxJ .

Mặt khác

dγ = d (gdtdxJ ) =

(n∑i=1

∂g

∂xi(x, t)dxi

)dtdxJ = −

n∑i=1

∂g

∂xi(x, t)dtdxidxJ .

Suy ra

Fdγ = −n∑i=1

(∫ 1

0

∂g

∂xi(x; t)dt

)dxidxJ .

Từ đó ta có Fdγ+ dFγ = 0. Mặt khác

i∗1γ− i∗0γ = i∗1 (gdtdxJ )− i∗0 (gdtdxJ ) = 0,

do i∗1dt = i∗0dt = 0. Vậy i∗1γ− i∗0γ = Fdγ+ dFγ.

Áp dụng công thức (3.3.9) cho γ = φ∗α ta được

φ∗1α−φ∗0α = i∗1γ− i∗0γ = Fdγ+ dFγ = Fdφ∗α+ dFφ∗α = Fφ∗dα+ dFφ∗α. (3.3.10)

Đây thường được gọi là Công thức đồng luân. Chú ý dα = 0, φ∗0 = id, φ∗1 = 0, ta được α = d(−Fφ∗α).Bổ đề Poincaré được chứng minh xong.

Ví dụ 3.3.11. Trên R2, xét α = ydx+ xdy. Với phép đồng luân

φ (x, y, t) = (1− t) (x, y) = ((1− t)x, (1− t)y)

ta tính được

φ∗α = (1− t)yd ((1− t)x)+ (1− t)xd ((1− t)y) = (1− t)y (−xdt + (1− t)dx)+ (1− t)x ((1− t)dy− ydt)

= (1− t)2ydx+ (1− t)2xdy−2(1− t)xydt,

và

Fφ∗α =∫ 1

0−2(1− t)xydt = −xy.

Ta kiểm được ngay d(−Fφ∗α) = d(xy) = α, do đó α là khớp.


Bài tập3.3.12. Giả sử có một điện tích q tại một điểm O. Theo định luật Coulomb, điện trường gây bởi điện tích q nàytại một điểm bất kì trong không gian R3 có vị trí cho bởi vectơ ®r đi từ điểm mang điện tích q tới điểm đang xétlà:

F(®r) =q

4πε0 |®r |3®r .

Đáng chú ý là điện trường có độ lớn tỉ lệ nghịch với |®r |2, do đó định luật Coulomb thường được gọi là một luậtnghịch đảo bình phương (inverse-square law). Ta biết trọng trường cũng được cho bởi một luật nghịch đảo bìnhphương:

F(®r) = −mMG|®r |3

®r .

Chứng tỏ rằng một trường có dạng F = k ®r| ®r |m

(được gọi là một trường xuyên tâm, radial) thì có div = 0 khi vàchỉ khi m = 3, tức là trường được cho bởi một luật nghịch đảo bình phương.

3.3.13. Cho Ω ⊂ Rn là một tập mở với biên trơn ∂Ω. Chứng minh công thức

vol(Ω) =1n

n∑i=1(−1)i−1

∫∂Ω

xidx1 · · ·dxi−1 dxidxi+1 · · ·dxn .

3.3.14 (dạng thể tích của mặt cầu). Gọi Sn(R), n ≥ 1, là mặt cầu n-chiều tâm 0 với bán kính R, biên của quảcầu Bn+1(R) tâm 0 bán kính R. Chứng tỏ dạng thể tích của Sn(R) là

dS =1R

n+1∑i=1(−1)i−1xidx1 · · ·dxi−1 dxidxi+1 · · ·dxn+1.

3.3.15 (dạng góc tổng quát). Tiếp tục Bài tập 1.2.56, trên Rn \ 0 xét dạng

ω =

n∑i=1(−1)i−1 xi

‖x‖ndx1 · · ·dxi−1 dxidxi+1 · · ·dxn .

Chứng tỏ dạng ω là đóng nhưng không khớp.

3.3.16 (thể tích mặt cầu). Hãy dùng (3.1.4) với F(x) = x, hoặc bài 3.3.13, tham khảo bài 2.4.16, để được côngthức thể tích n chiều của mặt cầu n chiều:

vol(Sn(R)) =n+1

Rvol(Bn+1(R)) =

2(2π)n/2

1 ·3 · · · (n−1)Rn, n chẳn

(2π)(n+1)/2

2 ·4 · · · (n−1)Rn, n lẻ (nếu n = 1 hiểu là không có chia)

=2π

n+12

Γ( n+12 )

Rn .

3.3.17. Dùng Công thức Stokes, hãy chứng tỏ dạng thể tích của một đa tạp không có biên, được định hướng,compắc là đóng nhưng không khớp.

3.3.18. Dùng Bổ đề Poincaré, hãy chứng tỏ rằng đa tạp không có biên, định hướng được, compắc là không thắtđược.

3.3.19. Xét phép đổi biến

ϕ : Sn−1→ S(0,r)x 7→ r x.

Chứng tỏϕ∗(dS(0,r)) = rn−1dSn−1.

3.3.20. Chứng minh công thức sau:∫S(0,r)

f (x)dS(0,r) =∫Sn−1

rn−1 f (r x)dSn−1.


3.3.21. Cho f là hàm trơn trên quả cầu đóng B′(0,R).(a) Đặt

ω =

(∫ 1

0rn−1 f (r x)dr

)dSn−1.

Tính trực tiếp để chứng tỏ

dω =[∫ 1

0

ddt

[tn f (t x)

]dt

]dx1 · · ·dxn = f (x)dx1 · · ·dxn .

(b) Chứng minh công thức sau, còn được gọi là công thức tích phân trong tọa độ cực:∫B(0,1)

f (x)dx1 · · ·dxn =∫Sn−1

(∫ 1

0rn−1 f (r x)dr

)dSn−1.

3.3.22. Chứng tỏ nếu u là hàm điều hòa (harmonic) nghĩa là ∆u = 0, thì∫∂Ω∇u · ndS = 0, nghĩa là tổng thông

lượng của dòng của u qua một mặt biên bất kì chứa trong miền phải bằng 0.

3.3.23 (giá trị trung bình). Cho f là một hàm liên tục trên một lân cận của điểm x ∈ Rn. Gọi B(x,r) là quảcầu đóng tâm tại x với bán kính r . Chứng tỏ:

limr→0

1vol(B(x,r))

∫B(x,r)

f dy = f (x),

vàlimr→0

1vol(∂B(x,r))

∫∂B(x,r)

f dS = f (x).

3.3.24 (công thức giá trị trung bình cho hàm điều hòa). Nếu u là hàm trơn điều hòa trên Ω ⊂ Rn thì

u(x) =1

vol(B(x,r))

∫B(x,r)

udy =1

vol(∂B(x,r))

∫∂B(x,r)

udS

với mọi quả cầu B(x,r) ⊂ Ω. Ta có thể thấy điều này theo các bước sau [Eva97, tr. 25].

(a) Đổi biến z = 1r (y− x):

φ(r) =1

vol(∂B(x,r))

∫∂B(x,r)

u(y)dS(y) =1

vol(∂B(x,r))

∫∂B(0,1)

u(x+ rz)rn−1dS(z)

=1

vol(∂B(0,1))

∫∂B(0,1)

u(x+ rz)dS(z).

(b) Lấy đạo hàm theo r:

φ′(r) =1

vol(∂B(0,1))

∫∂B(0,1)

∇u(x+ rz) · zdS(z) =1

vol(∂B(0,1))

∫∂B(0,1)

∇u(x+ rz) · ndS(z)

=1

vol(∂B(x,r))

∫∂B(x,r)

∇u(y) · ndS(y).

(c) Từ Bài tập 3.3.22 kết luận φ là hàm hằng.

(d) Dùng công thức đổi biến ∫B(x,r)

udy =∫ r

0

(∫∂B(x,t)

udS)

dt .

3.3.25. Kiểm tra rằng hàm g trong chứng minh của Định lý điểm bất động Brouwer 3.2.2 là trơn.

(a) Giải phương trình giao điểm giữa tia f (x)+ t(x− f (x)), t > 0 với mặt cầu để tìm t.

(b) Chứng tỏ t là trơn theo x.

3.3.26. Cho α và β là dạng đóng. Chứng tỏ αβ cũng là dạng đóng.

3.3.27. Cho α là dạng đóng và β là dạng khớp. Chứng tỏ αβ là dạng khớp.

3.3.28 (công thức đồng luân). Cho φ : M ×[0,1] → N là một phép đồng luân từ φ0 tới φ1. Với α là một dạngbậc (k +1) trên N thì

φ∗0α−φ∗1α = Fφ∗dα+ dFφ∗α. (3.3.29)


Đề tài đọc thêm(a) Định lý điểm bất động Brouwer và Schauder (giải tích) [Eva97].

(b) Các phương trình Maxwell về điện từ viết bằng dạng vi phân (toán lý) [Sja15, tr. 30].

(c) Dạng symplectic và ứng dụng (cơ học) [Arn89, tr. 201–205].

(d) Đối đồng điều de Rham (tôpô) [Sja15], [Lee13], [GP74].

(e) Đa tạp trừu tượng và dạng vi phân trên đa tạp trừu tượng (tôpô, hình học) [Lee13].

(f) Toán tử Hodge và toán tử Laplace trên đa tạp (giải tích, tôpô, hình học) [Sja15], [Lee13],[War83],[Jost08].

(g) Hàm điều hòa và nguyên lý cực đại (phương trình đạo hàm riêng) [Eva97].

Tài liệu tham khảo

[Arn89] V. I. Arnold. Mathematical Methods of Classical Mechanics. Springer, 2nd edition, 1989.

[Bre11] Haim Brezis. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations.Springer, 2011.

[Eva97] Lawrence C. Evans. Partial Differential Equations. American Mathematical Society, 1997.

[GP74] Victor Guillemin and Alan Pollack. Differential Topology. Prentice-Hall, 1974.

[Jost08] Jurgen Jost, Riemannian geometry and geometric analysis, Springer, 5th edition, 2008.

[Lan97] Serge Lang, Undergraduate analysis, 2nd ed., Springer, 1997, a revision of Analysis I,Addison-Wesley, 1968.

[Lee13] John M. Lee, Introduction to smooth manifolds, 2nd ed., Springer, 2013.

[LS08] Tạ Lê Lợi và Đỗ Nguyên Sơn, Giải tích 3, Đại học Đà Lạt, 2008. Ngoài tài liệu này còn cómột số tài liệu khác bằng tiếng Việt trình bày dạng vi phân, như bản dịch các quyển sáchcủa H. Cartan, M. Spivak, nhưng khó tìm được.

[Rud86] Walter Rudin. Real and Complex Analysis. McGraw Hill, 3 edition, 1986.

[Sja15] Reyer Sjamaar. Manifolds and Differential Forms. 2015. Cornell University. Có bản củatác giả để trên mạng.

[Spi65] Michael Spivak. Calculus on Manifolds. Addison-Wesley, 1965. Một giáo trình nổi tiếngdành cho bậc đại học.

[Vugt3] Huỳnh Quang Vũ, Bài giảng Giải tích 3: Tích phân bội và Giảitích vectơ, Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh,http://www.math.hcmus.edu.vn/∼hqvu/teaching/gt3.pdf.

[Vutopo] Huỳnh Quang Vũ, Lecture notes on Topology, Ho Chi Minh City University of Science,http://www.math.hcmus.edu.vn/∼hqvu/teaching/n.pdf

[War83] Frank Warner, Foundations of Differentiable manifolds and Lie groups, Springer, 1983.

55

http://www.math.hcmus.edu.vn/~hqvu/teaching/gt3.pdf

http://www.math.hcmus.edu.vn/~hqvu/teaching/n.pdf

Chỉ mục

Định lý điểm bất động Brouwer, 49đạo hàm, 12, 23định hướng, 24định hướng pháp tuyến ngoài đứng đầu, 26đảo ngược định hướng, 25được định hướng, 25đa tạp

biên, 26có biên, 26phần trong, 26

điểm dừng, 24điểm tới hạn, 24

bảo toàn định hướng, 25

công thức đồng luân, 51

dạng, 9dạng đóng, 49dạng chiều dài đường, 33dạng diện tích mặt, 33dạng góc, 20dạng góc tổng quát, 52dạng khớp, 49dạng thể tích của đa tạp, 33dạng trơn, 10dạng vi phân, 10dạng vi phân trên đa tạp, 32

giá (support), 34giá trị dừng, 24

hình sao, 50hàm điều hòa, 53hàm thế, 49hệ tọa độ địa phương, 21

kéo lui, 14, 30không gian tiếp xúc, 23khả vi liên tục, 7

mêtríc Riemann, 32hệ số, 33

ma trận Jacobi, 7miền mở với biên trơn, 45multilinear

functional, 27multilinear functional

alternating, 28

phép đồng luân, 50phép đổi biến bảo toàn định hướng, 17phép rút, 48phép vi đồng phôi, 21phép vi phôi, 21phiếm hàm k-tuyến tính, 27

tích dạng, 11tích phân của dạng trên đa tạp, 36tích phân dạng trên đa tạp

địa phương, 34thắt được, 50thể tích, 36tham số hóa địa phương, 21trơn, 7, 10, 21trường bảo toàn, 49

vectơ gradient, 7vectơ pháp tuyến đơn vị ngoài, 26vector tiếp xúc, 23

56

Documents

Công thøc Stokes: Tóm t›t bài gi£nghqvu/Stokes.pdf · · 2018-01-13N‚u có mºt hàm tuy‚n tính f0„x”: Rn!Rm sao cho có mºt qu£ cƒu B„x; ... g f „x”= J