Profs.: Bruno Correia da Nbrega QueirozJos Eustquio Rangel de QueirozMarcelo Alves de Barros

ErrosClculo NumricoMdulo III

*Erros - Roteiro Existncia

Tipos

Propagao

Premissa

Impossibilidade de obteno de solues analticas para vrios problemas de Engenharia.

Consequncia

Emprego de mtodos numricos na resoluo de inmeros problemas do mundo real.

Erros - Existncia I

*Erro Inerente

Erro sempre presente nas solues numricas, devido incerteza sobre o valor real.

Ex. 01: Representao intervalar de dados (50,3 0,2) cm(1,57 0,003) ml(110,276 1,04) KgCada medida um intervalo e no um nmero.Erros - Existncia II

Mtodo NumricoMtodo adotado na resoluo de um problema fsico, mediante a execuo de uma sequncia finita de operaes aritmticas.

Consequncia

Obteno de um resultado aproximado, cuja diferena do resultado esperado (exato) denomina-se erro .Erros - Existncia III

Natureza dos Erros I

Erros inerentes ao processo de aquisio dos dados

Relativos impreciso no processo de aquisio/entrada, externos ao processo numrico.Erros - Existncia IV

Erros Inerentes aos DadosProvenincia Processo de aquisio/entrada (medidas experimentais)

Sujeitos s limitaes/aferio dos instrumentos usados no processo de mensurao

Erros inerentes so inevitveis!

Natureza dos Erros II

Erros inerentes ao modelo matemtico adotado

Relativos impossibilidade de representao exata dos fenmenos reais a partir de modelos matemticos

Necessidade de adotar condies que simplifiquem o problema, a fim de torn-lo numericamente solvel Erros - Existncia V

Erros Inerentes ao ModeloProvenincia Processo de modelagem do problema

Modelos matemticos raramente oferecem representaes exatas dos fenmenos reais

Equaes e relaes, assim como dados e parmetros associados, costumam ser simplificados

Factibilidade e viabilidade das solues

Natureza dos Erros III

Erros de truncamento

Substituio de um processo infinito de operaes por outro finito

Em muitos casos, o erro de truncamento precisamente a diferena entre o modelo matemtico e o modelo numrico.Erros - Existncia VII

Natureza dos Erros IV

Erros de arredondamento

Inerentes estrutura da mquina e utilizao de uma aritmtica de preciso finitaErros - Existncia VII

Fontes de Erros IErros - Existncia VIII

Fontes de Erros IIErros - Existncia IX

Representao Numrica em Mquinas Digitais I

Discreta Conjunto finito de nmeros em qualquer intervalo [a, b] de interesse

Implicao imediata Possibilidade de comprometimento da preciso dos resultados, mesmo em representaes de dupla precisoErros - Existncia X

Resultado na Sada

Incorporao de todos os erros do processo Quo confivel o resultado aproximado?

Quanto erro est presente no resultado?

At que ponto o erro presente no resultado tolervel?Erros - Existncia XI

Acurcia (ou Exatido)

Quo prximo um valor computado/mensurado se encontra do valor real (verdadeiro)

Preciso (ou Reproducibilidade)

Quo prximo um valor computado/ mensurado se encontra de valores previamente computados/mensuradosErros - Existncia XII

Inacurcia (ou Inexatido)

Desvio sistemtico do valor real

Impreciso (ou Incerteza)

Magnitude do espalhamento dos valoresErros - Existncia XIII

Erros - Existncia XIVExatido x Preciso

Erros - Existncia XVIndicador de Preciso de um Resultado

Nmero de algarismos significativos

Algarismos significativos (as)

Algarismos que podem ser usados com confiana

Erros - Existncia XVIAs de um nmero I

Exemplo 02: Considerem-se os seguintes valores de mdias obtidas em um experimento estatstico

= 138 0 casas decimais (cd)

= 138,7 1 cd

= 138,76 2 cd

= 138,76875 5 cd

= 138, 7687549 7 cd

= 138, 768754927 9 cd

Erros - Existncia XVIIAs de um nmero II

Exemplo 02: Os valores das mdias podem ser representadas como:

= 138 = 0,138 . 103

= 138,7 = 0,1387 .103

= 138,76 = 0,13876 . 103

= 138,76875 = 0,13876875 . 103

= 138, 7687549 = 0,1387687549 . 103

= 138, 768754927 = 0,138768754927 . 103

Erros - Existncia XVIIIAs de um nmero III

Exemplo 02:

= 0,138 x 103 3 as

= 0,1387 x 103 4 as

= 0,13876 x 103 5 as

= 0,13876875 x 103 8 as

= 0,1387687549 x 103 10 as

= 0,138768754927 x 103 12 as

Erros nos Mtodos I Mtodo Numrico

Aproximao da soluo de um problema de Matemtica

Truncamento de uma soluo em srie, considerando apenas um nmero finito de termos

Exemplo 03: exp(x)

Erros nos Mtodos IIExemplo 03: Determinao do valor de e.

Lembrar que . Logo:

um truncamento no sexto termo gera:

Erros nos Mtodos IIIExemplo 03:

Ento, o erro de truncamento, ET , ser:

Erros nos Mtodos IVExemplo 04: Determinao do nmero de termos para a aproximao de cos(x) com 8 as, considerando x=/3.

Lembrar que:

Erros nos Mtodos VExemplo 04: Ento

Observe-se que o segundo as no mais se alterar.

Erros nos Mtodos VIExemplo 04: E que o quarto as no mais se alterar a partir de:

nem o sexto as a partir de:

nem o oitavo as a partir de:

Erros nos Mtodos VIIExemplo 04:

Assim sendo, o nmero de termos para a aproximao de cos(x) com 8 as igual a 7 (incluindo o termo de ordem 0, igual a 1)

Erros nos Mtodos VIIIExerccio 01: Determinar o nmero de termos para a aproximao de

log(1+x) com 8 as, considerando x = 0,09

sen(x) com 6 as, considerando x= 4/3

exp(x) com 7 as, considerando x= 1/3

Qual a concluso a que se chega a partir destes clculos?

*Erros - Existncia XIXErro de Representao x Erro de Truncamento de Dgitos

Erro de Representao

Associado converso numrica entre bases (representao humana e de mquina) ou realizao de operaes aritmticas

Erro de Truncamento de Dgitos

Associado quantidade de informao que a mquina pode conter sob a forma de um nmero

*Representao dos nmeros reais com um nmero finito de dgitos (aproximao)

Ex. 05: Clculo da rea de uma circunferncia de raio 100 mPossveis resultados:

(1) A = 31400 m2

(2) A = 31416 m2

(3) A = 31415,92654 m2Erro de Representao no tem representao finita - 3,14 (1), 3,1416 (2) e 3,141592654 (3)Erros - Existncia XX

*Representao dos nmeros reais com um nmero finito de dgitos (aproximao)

Dependncia da representao numrica da mquina utilizadaUm nmero pode ter representao finita em uma base e no finita em outraErros - Existncia XXIErro de RepresentaoOperaes com dados imprecisos ou incertos acarretam a propagao do erro.0,110 = 0,00011001100110011...2

*Erros - Existncia XXIIEx. 06:Determinar

a partir de uma calculadora e um computador, para xi = 0,5 e xi = 0,1

xiCalculadoraComputador0,5S= 1500S= 15000,1S= 300S=300,00909424 (preciso simples)S=299,999999999999720 (preciso dupla)

*Erros - Existncia XXIIIEx. 07:Converso de 0,110 para a base 2.

0,110 = 0,00011001100110011...2

0,110 no tem representao exata na base 2A representao de um nmero depende da base em uso e do nmero mximo de dgitos usados em sua representao.

*Erros - Tipos IAbsoluto

Diferena entre o valor exato de um nmero e o seu valor aproximado (em mdulo)

*Erros - Tipos IIRelativo

Razo entre o erro absoluto e o valor exato do nmero considerado (em mdulo)

Erro Percentualx = ERx . 100%

*Erros - Tipos IIIRelativo

Este tipo de erro utilizado em processos iterativos pois, sendo o processo convergente, a cada iterao o valor atual est mais prximo mais do valor exato do que o valor anterior

*Erros - Tipos IVErro Absoluto - Consideraes I

EAx s poder ser determinado se x for conhecido com exatido

Na prtica, costuma-se trabalhar com um limitante superior para o erro, ao invs do prprio erro (|E | < , sendo o limitante)

Ex. 08: Para (3,14; 3,15)

*Erros Tipos VErro Absoluto - Consideraes IIEx. 08: Sejam a = 3876,373 e b = 1,373

Considerando-se a parte inteira de a (a) o erro absoluto ser:

e a parte inteira de b (b) , o erro absoluto ser:

*Erros Tipos VIErro Absoluto - Consideraes III

Obviamente, o resultado do erro absoluto o mesmo nos dois casos

Entretanto, o peso da aproximao em b maior do que em a

*Erros Tipos VIIErro Relativo - Considerao

O erro relativo pode, entretanto, traduzir perfeitamente este fato, pois:

*Ex. 09: Clculo do erro relativo na representao dos nmeros a = 2112,9 e e = 5,3, sendo |EA| < 0,1

|ERa| = |a - |/|a| = 0,1/2112,9 4,7 x 10-5 |ERe| = |e - |/|e| = 0,1/5,3 0,02

Concluso:a representado com maior preciso do que eErros - Tipos VIII

*Arredondamento

Truncamento de DgitosQuanto menor for o erro, maior ser a preciso do resultado da operao.Erros Tipos IX

*Erros Tipos XArredondamento I

Ex. 10: Clculo de utilizando uma calculadora digital

Valor apresentado: 1,4142136

Valor real: 1,41421356...

*Erros Tipos XIArredondamento II

Inexistncia de forma de representao de nmeros irracionais com uma quantidade finita de algarismos

Apresentao de uma aproximao do nmero pela calculadora

Erro de arredondamento

*Erros Tipos XIITruncamento de Dgitos

Descarte dos dgitos finais de uma representao exata por limitaes de representao em vrgula flutuante

Ex. 11: Representao truncada de em vrgula flutuante com 7 dgitos

Valor apresentado: 1,4142135

Valor real: 1,41421356...

*x = 0,2345 . 103 + 0,7 . 10-1fx = 0,2345gx = 0,7Erros de Truncamento e Arredondamento - Demonstrao

Em um sistema que opera em ponto flutuante de t dgitos na base 10, e seja x:

x = fx.10e + gx.10e-t (0,1 fx 1 e 0,1 gx 1)

Para t = 4 e x = 234,57, ento:Arredondamento e Truncamento I

*Erros - TruncamentoNo truncamento, gx.10e-t desprezado e

visto que |gx|

*No arredondamento simtrico (forma mais utilizada):

, se (gx desprezado)

, se(soma 1 ao ltimo dgito de fx)Erros Arredondamento I

*Erros - Arredondamento IISe , ento:

*Erros Arredondamento IIISe , ento:

e

*Erros de Truncamento e Arredondamento

Sistema operando em ponto flutuante - Base 10

Erro de Truncamento e

Erro de Arredondamento

eArredondamento e Truncamento Ie - n de dgitos inteirost - n de dgitos

*Arredondamento e Truncamento IISistema de aritmtica de ponto flutuante de 4 dgitos, preciso dupla

Ex. 12:Seja x = 0,937.104 e y = 0,1272.102. Calcular x+y.

Alinhamento dos pontos decimais antes da somax = 0,937. 104 e y = 0,001272. 104, x+y = 0,938272. 104 Resultado com 4 dgitos

Arredondamento:x+y = 0,9383.104

Truncamento:x+y = 0,9382.104

*Arredondamento e Truncamento IIISistema de aritmtica de ponto flutuante de 4 dgitos, preciso dupla

Ex. 12:Seja x = 0,937.104 e y = 0,1272.102. Calcular x.y.

Alinhamento dos pontos decimais antes da somax.y = (0,937.104).(0,1272.102)x.y = (0,937.0,1272).106 x.y = 0,1191864.106

Resultado com 4 dgitos

Arredondamento:x.y = 0,1192.106

Truncamento:x.y = 0,1191.106

*Consideraes

Ainda que as parcelas ou fatores de uma operao possam ser representados exatamente no sistema, no se pode esperar que o resultado armazenado seja exato.

x e y tinham representao exata, mas os resultados x+y e x.y tiveram representao aproximada.Arredondamento e Truncamento IV

*Arredondamento e Truncamento VEx. 13:Seja x = 0,7237.104 , y = 0,2145.10-4 e z = 0,2585.10. Efetuar a operao x + y + z e calcular o erro relativo do resultado, supondo x, y e z exatamente representados.

x+y+z = 0,7237.104 + 0,2145.10-4+ 0,2585.10 =0,7237.104 + 0,000000002145.104 + 0,0002585.104 = 0,723958502.104

Resultado com 4 dgitos

Arredondamento:x+y+z = 0,7240.104

Truncamento: x+y+z = 0,7239.104

*Arredondamento e Truncamento VIErro relativo (no arredondamento):

*Arredondamento e Truncamento VIISistemas de Vrgula Flutuante (VF )

Um sistema VF(b, p, q) constitudo por todos os nmeros reais X da forma:

, em que

e ainda X = 0

*Arredondamento e Truncamento VIIISistemas de Vrgula Flutuante (VF )

Portanto,

na qual

p um nmero finito de dgitos para a mantissa;q um nmero finito de dgitos para o expoente;b a base do sistema.

*Arredondamento e Truncamento IXSistemas de Vrgula Flutuante (VF )

Considera-se que a mantissa normalizada, i.e., d 0, exceto a representao do zero.

Representam-se na forma VF(b, p, q, Y), onde Y determina qual mtodo o sistema adota:Caso Y = A Arredondamento;Caso Y = T Truncamento de Dgitos.

*Arredondamento e Truncamento XSistemas de Vrgula Flutuante (VF )

Unidade de arredondamento (u): majorante do erro relativo na representao de um nmero num dado sistema VF(b, p, q), tal que:

em VF(b, p, q, A)

em VF(b, p, q, T),

*Arredondamento e Truncamento XIEx. 14:Determine as razes da equao x2 + 0,7341x + 0,600.10-4 = 0 no sistema VF(10, 4, 2, T), considerando que no existem dgitos de guarda no processamento das operaes em ponto flutuante.

a)A partir da expresso utilizada na resoluo de equaes quadrticas, calcule o erros absolutos e relativos (EAx1, EAx2 , ERx1 e ERx2).

Arredondamento e Truncamento XIIb)Justifique a origem do erro relativo obtido na menor raiz (em mdulo), sugerindo uma forma de melhoria numrica para a resoluo de tal problema.

Soluo:a)

*Arredondamento e Truncamento XIIISoluo:a)

Arredondamento e Truncamento XIVSoluo:a) Primeira raiz:

Arredondamento e Truncamento XVSoluo:a) Segunda raiz:

O cancelamento subtrativo (ou catastrfico) ocorre quando se subtraem nmeros muito prximos em sistemas de vrgula flutuante.

Arredondamento e Truncamento XVISoluo:a)Para calcular os erros cometidos em FP, necessrio conhecer os valores exatos das razes.

Considerando um dgito a mais do que a representao da mantissa no sistema, i.e., 5 dgitos, obtm-se:

e

Arredondamento e Truncamento XVIISoluo:a)Assim sendo, os erros absolutos e relativos sero:

Arredondamento e Truncamento XVIIISoluo:a)Constatao:

Apesar dos erros absolutos serem praticamente iguais, a segunda raiz apresenta um erro relativo quatro ordens de grandeza maior do que o erro relativo cometido no clculo da primeira raiz.

Arredondamento e Truncamento XIXSoluo:b)O problema do erro relativo cometido no clculo da segunda raiz deve-se ao cancelamento subtrativo, verificado quando nmeros muito prximos se subtraem em aritmtica de vrgula flutuante.

Arredondamento e Truncamento XXSoluo:b)Para evitar o cancelamento subtrativo, 2 opes conduzem ao mesmo resultado, a saber:

Manipulao da frmula para a determinao dos zeros

Arredondamento e Truncamento XXISoluo:

Manipulao da frmula para a determinao dos zeros

Assim:

Manipulao simblica da equao genrica de segundo grau

ou

*Erros Propagao IPropagao dos Erros

Durante as operaes aritmticas de um mtodo, os erros dos operandos produzem um erro no resultado da operao

Propagao ao longo do processo

Determinao do erro no resultado final obtido

*Erros Propagao IIEx. 14:Sejam as operaes a seguir, processadas em uma mquina com 4 dgitos significativos e fazendo-se: a = 0,3491.104 e b = 0,2345.100.

(b+a)a=(0,2345.100+0,3491.104)0,3491.104=0,3491.1040,3491.104 = 0,0000

b+(aa)=0,2345.100+(0,3491.1040,3491.104)=0,2345+0,0000= 0,2345

*Erros Propagao IIIOs dois resultados so diferentes, quando no deveriam ser.

(b + a) a = 0,0000 e b + (a a) = 0,2345

Causa

Arredondamento da adio (b + a), a qual tem 8 dgitos Cancelamento subtrativo de (b + a) a devido representao de mquina com 4 dgitosA distributividade uma propriedade da adio.

*Erros Propagao IVResoluo numrica de um problema

Importncia do conhecimento dos efeitos da propagao de erros

Determinao do erro final de uma operao

Conhecimento da sensibilidade de um determinado problema ou mtodo numrico

*Erros Propagao VEx. 15: Dados a = 50 3 e b = 21 1, calcular a + b.

Variao de a 47 a 53 Variao de b 20 a 22

Menor valor da soma 47 + 20 = 67

Maior valor da soma 53 + 22 = 75

a + b = (50 + 21) 4 = 71 4 67 a 75

*Erros Propagao VIEx. 16: Dados a = 50 3 e b = 21 1, calcular a - b.

Variao de a 47 a 53 Variao de b 20 a 22

Menor valor da diferena 47 20 = 25

Maior valor da diferena 53 22 = 33

a b = (50 21) 4 = 29 4 25 a 33Na subtrao, os erros absolutos se somam, pois sempre se admite o pior caso.

*Erros Propagao VIIEx. 17: Dados a = 50 3 e b = 21 1, calcular a.b.

Variao de a 47 a 53 Variao de b 20 a 22

Menor valor do produto 47 . 20 = 940

Maior valor da produto 53 . 22 = 1166

a . b = (50 3) x (21 1) 1050 (3.21 + 50.1) 1050 113 937 a 1163

*Erros Propagao VIIEx. 18: Dados a = 50 3 e b = 21 1, calcular a.b.

Consideraes Despreza-se o produto 3.1, por ser muito pequeno diante de (3.21 + 50.1 ) = 113

Ligeiramente diferente do verdadeiro intervalo, por conta da desconsiderao do produto 3.1, assumido como desprezvel

*Erros Propagao XAnlise dos Erros Absoluto e Relativo

Expresses para o determinao dos erros nas operaes aritmticas

Erros presentes na representao das parcelas ou fatores, assim como no resultado da operao

Supondo um erro final arredondado, sendo x e y, tais que:e

*Erros Propagao XIAdio

Erro Absoluto

Erro Relativo

*Erros Propagao XIISubtrao

Erro Absoluto

Erro Relativo

*Erros Propagao XIIIMultiplicao

Erro Absoluto

Erro Relativomuito pequeno

*Erros Propagao XIIIDiviso

Erro Absoluto

Erro RelativoSimplificao:(desprezam-se os termos de potncia >1)

*Erros Anlise IEAx=EAy= 0, EAx+y=0Ex. 19: Clculo de ER(x+y)Como x e y so exatamente representados, ERx+y se resume ao Erro Relativo de Arredondamento (RA) no resultado da soma.

*Erros Anlise IISistema de aritmtica de ponto flutuante de 4 dgitos, preciso dupla I

Ex. 20: Seja x = 0,937.104, y = 0,1272.102 e z = 0,231.101, calcular x+y+z e ER(x+y+z), sabendo que x, y e z esto exatamente representados.

Soluo:

Alinhando as vrgulas decimais:

x = 0,937000.104y = 0,001272.104 ez = 0,000231.104

*Erros Anlise IIIEx. 20: Seja x = 0,937.104, y = 0,1272.102 e z = 0,231.101, calcular x+y+z e ER(x+y+z), sabendo que x, y e z esto exatamente representados.

Soluo:

A soma feita por partes: (x+y)+z

x+y = 0,9383 . 104x+y+z = 0,9383 . 104 + 0,000231 . 104x+y+z = 0,938531. 104x+y+z = 0,9385. 104 (aps o arredondamento)

*Erros Anlise IVSoluo:EAz=0, ERz=0

*Erros Anlise VSoluo:

*Erros Anlise VIEx. 21:Supondo que u representado em um computador por , que obtido por arredondamento. Obter os limites superiores para os erros relativos de v = 2. e w = + .

*Erros Anlise VIIEx. 21:

Soluo:

*Erros Anlise VIIIEx. 21:

Soluo:

*Erros Sumrio IErro Relativo da AdioSoma dos erros relativos de cada parcela, ponderados pela participao de cada parcela no total da soma.

Erro Relativo da SubtraoSoma dos erros relativos do minuendo e do subtraendo, ponderados pela participao de cada parcela no resultado da subtrao.

*Erros Sumrio IIErro Relativo da MultiplicaoSoma dos erros relativos dos fatores.

Erro Relativo da DivisoSoma dos erros relativos do dividendo e do divisor.

*Erros Exerccio ISeja um sistema de aritmtica de ponto flutuante de 4 dgitos, base decimal e com acumulador de preciso dupla. Dados os nmeros x = 0,7237.104, y = 0,2145.10-3 e z = 0,2585.101, efetuar as seguintes operaes e obter o erro relativo nos resultados, supondo que x, y, e z esto exatamente representados.

a) x+y+zb) xyzc) x/y d) (x.y)/ze) x.(y/z)f) (x+y).z

*Erros Exerccio II

*Erros Exerccios III

*Erros Exerccio IVUm computador armazena nmeros reais utilizando 1 bit para o sinal do nmero, 7 bits para o expoente e 8 bits para a mantissa. Admitindo que haja truncamento, como ficaro armazenados os seguintes nmeros decimais?

a) n1 = 25,5 b) n2 = 120,25c) n3 = 2,5 d) n4 = 460,25e) n5 = 24,005

*Erros Exerccios VConsiderando o sistema de vrgula flutuante F(10, 4, 2, T):

e a inexistncia de dgitos de guarda (o processador pode ter mais dgitos do que a memria, sendo os dgitos adicionais denominados dgitos de guarda) no processamento das operaes em ponto flutuante.

*Erros Exerccios VIa)Determinar os zeros da equao a partir da frmula resolvente;

b)Calcular os erros absolutos cometidos nos clculos dos dois zeros;

c)Explicar a origem do erro relativo resultante do clculo da menor raiz (em mdulo), sugerindo uma forma de melhoria numrica para a resoluo deste problema.

*Erros - BibliografiaRuggiero, M. A. Gomes & Lopes, V. L. da R. Clculo Numrico: Aspectos tericos e computacionais. MAKRON Books, 1996, 2 ed.

Asano, C. H. & Colli, E. Clculo Numrico: Fundamentos e Aplicaes. Departamento de Matemtica Aplicada IME/USP, 2007.

Sanches, I. J. & Furlan, D. C. Mtodos Numricos. DI/UFPR, 2006.

Paulino, C. D. & Soares, C. Erros e Propagao de Erros, Notas de aula, SE/ DM/ IST [Online] http://www.math.ist.utl.pt/stat/pe/qeb/semestre_1_2004-2005/PE_erros.pdf [ltimo acesso 07 de Junho de 2007].

*Erros - BibliografiaPaulino, C. D. & Soares, C. Erros e Propagao de Erros, Notas de aula, SE/ DM/ IST [Online] http://www.math.ist.utl.pt/stat/pe/qeb/semestre_1_2004-2005/PE_erros.pdf [ltimo acesso 08 de Setembro de 2011].

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