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Traitement Analogique du Signal( ELE103 )
Christophe OdetProfesseur INSA de Lyon
Hugues Benoit-CattinMaître de Conférences INSA de Lyon
CNAM
2005-2006
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
2
Objectif, plan et organisation
• Maîtriser le signal analogique et les moyens analogiques (électroniques) de le traiter
• Plan du cours– I- Signaux et systèmes, Transformé de Fourier, corrélation (5h)– II - Rappels de probabilité, signaux aléatoires (4h)– III - Filtrage analogique (9h)– IV - Modulation analogique (6h)
• Organisation– 24h de cours– 21h de TD (Hugues Benoit-Cattin)– 1 interrogation écrite intermédiaire– Contrôle final
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
3
Ressources complémentaires
• Travail personnel: 2H par heure de cours ou de TD• Bibliographie, ouvrages de référence• Association des élèves et anciens élèves du CNAM
– Anciens sujet d ’examen– Polycopiés des cours du Professeur B.Fino du CNAM Paris
• Ce document disponible en version électroniquehttp://www.creatis.insa-lyon.fr/~chris/TSanalogique.pdf
• Contact avec les enseignants– Email, RDV…
• Site web du cnam : www.cnam.fr• Etc...
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
4
Introduction
• Pourquoi traiter les signaux– Générer, Mettre en forme, Adapter, Moduler, Analyser,
Extraire l’information…
• Signaux déterministes et aléatoires– Information et hasard– Bruit et signal utile
• Fonctions de traitement– Générer, amplifier, filtrer, moduler, échantillonner, convertir
• Analogique vs. Numérique– avantages et inconvénients des deux approches– domaines d’utilisation
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
5
I - Signaux et systèmes, Transformée de Fourier, corrélation
– Signaux continus, échantillonnés, quantifiés, numériques– Énergie et puissance– Signaux utiles– Système linéaire invariant (SLI), convolution– Analyse harmonique, Transformée de Fourier– Réponse en fréquence des SLI– Corrélation de signaux transitoires
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
6
I-1 Signaux continus, échantillonnés, quantifiés, numériques
• Signal continu x(t)
• Signal échantillonné
• Signal quantifié
• Signal numérique (échantillonné+quantifié)– ex: suite de valeur entière
t
x(t)
][
)(][)(
kx
kTtkTxtxe ∑+∞
∞−
−= δ
Tt
tionquantificadepasentiertnavectntx
∆∆= )(,)()(
,...78,2,34,6,5,3,1...,][ →kx
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
7
I-2 Énergie et puissance
• Énergie moyenne normalisée
• Puissance moyenne normalisée
• Énergie totale
• Puissance totale
• Signaux à énergie finie (signaux réels)
• Signaux à puissance finie (modéles…)
∫=2
1
)(),( 221
t
tdttxttW
∫−=
2
1
)(1
),( 2
1221
t
tdttx
ttttP
∫+∞
∞−= dttxW )(2
∫∞→=
TTdttx
TP )(
1lim 2
0=⇒∞< PW
∞→⇒∞< WP
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
8
I-3 Signaux utiles
• Signe Sgn(t) =t / |t|, -1 pour t<0, +1 pour t>0
• Echelon unité u(t)=(1+Sgn(t))/2
• Rampe
• Rectangle ∫ ∞−
==t
tutdssutr )(.)()(
)()()( 21
21 −−+= tututRect
1
-1
1
-1/2 1/2
1
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
9
• Triangle
• Signaux de largeur et de position quelconque
• Impulsion de Dirac (Théorie des Distribution)
– « Impulsion » de largeur nulle et de hauteur infinie !– Ce n’est pas un signal physique.
[ ] −∈−
=0
1,1,1)(
tttTri
nconvolutiotRecttRecttTri == *)(*)()(
-1 1
1
T
A
t0
)(. 0
Ttt
RectA−
)(tδ1
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
10
• Dirac: Formules fondamentales
• Exercice: démontrer la formule précédente
• Dirac: Relation avec les signaux usuels
∫∫ ∫
∞+
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
−=−==−
===
)()(*)(),()(*)(),()()(
)()0()()(),0()()(,1)(
0000 ttxtttxtxttxtxtttx
txttxxdtttxdtt
δδδ
δδδδ
...)(1lim)(1lim)(
)21()
21()(
)()(
),()(
00===
−−+=
==
→→
∞−∫
TtTri
TTtRect
Tt
ttdt
tdRect
tdt
tduunitééchelontudvv
TT
t
δ
δδ
δδ
)(21
)()(1
)( fta
at δπ
ωδδδ =⇒=
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11
• Sinus cardinalx
xSinxSinc
ππ )(
)( =
∫+∞
∞−=1)( dxxSinc
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12
• Exercices:
– Représenter
– Représenter
– Montrer que
– Calculer et représenter
– Montrer que (T. de Fourier)
– Montrer que
)( KTt
Tri −
)(*)()(.Tt
RectTt
RectTt
TriT =
)(*)( 00
Ttt
RectT
ttRect
−−
∫+∞
∞−−= dtftjtRectfSinc )2exp()()( π
)( 0
Ttt
Tri−
∫+∞
∞−−= dfftjfftfj )2exp()()2exp( 00 πδπ
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
13
I-4 Système linéaire invariant (SLI) convolution
• Système linéaire
– si e1(t) (resp. e2(t)) produit s1(t) (resp. s2(t)) en sortie alorsa.e1t()+b.e2(t) produit a.s1(t)+b.s2(t)
• Système invariant– si e(t) produit s(t) alors e(t-t0) produit s(t-t0), le fonctionnement ne
dépend pas de l ’instant d ’observation
• Convolution
h(t) est la réponse impulsionnelle (à un Dirac)Elle caractérise entièrement le fonctionnement linéaire du système.
e(t) s(t)
∫+∞
∞−−== τττ dthetethts )()()(*)()(
δ(t) h(t)
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
14
• Exercices:– Quelle est la réponse impulsionnelle h(t) d ’un SLI tel que
s(t)=e(t) ?
– Soit un SLI de rép. Imp. h(t)=Rect(t). Calculer la sortie pour une entrée e(t)=Rect(t).
– Soit un circuit RC initialement au repos. Le signal d ’entrée est u(t) échelon unité. Que vaut la sortie s(t)? En déduire et représenter la réponse impulsionnelle du circuit RC.
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
15
• Fonction de transfert– H(p) transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle– H(p) est en général une fraction polynomiale– Stabilité si les pôles de H(p) sont à partie réelle négative
donc situés dans la partie gauche du plan de Laplace
• Exercices: étudier les fonctions de transfert suivantes et si possible, déterminer la réponse impulsionnelle
321
)(
21
)(
22
1
−++
=
+=
ppp
pH
ppH
541
)(
)1)(2(1
)(
24
3
++=
++=
pppH
pppH
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
16
I-5 Analyse harmonique Transformée de Fourier
• Soit un signal x(t) de durée T respectant les conditions de Dirichlet
• En dehors de la durée T, le signal est périodisé:Décomposition en série de Fourier
• Remarque: si x(t) est réel (*:conjugué)
• Puissance moyenne
∫
∑
−=
=+∞
∞−
Tn
n
dtTt
njtxT
X
Tt
njXtx
)2exp()(1
)2exp()(
π
πDécomposition d ’un signal enune somme de fonction sinus et cosinus
Spectre de Raies séparéesde 1/T
*nn XX =−
∑∫+∞
∞−
=22 )(
1nT
XdttxT
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
17
• Quand
• C ’est la Transformée de Fourier (T.F.) directe et inverse
• X(f) est en général complexe: module, phase, représentation de Bode , représentation vectorielle…
• Exemple:
∞→T
∫∫∞+
∞−
+∞
∞−
=
−=
dfftjfXtx
dtftjtxfX
)2exp()()(
)2exp()()(
π
π
)()( fXtx F→←
)()( fSinctRect F→←
-1/2 1/2
1
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
18
• Propriétés et formules utiles
)()()()(
)(1
)(
)(*)()()2exp()(
)2exp()()(
)(*)()()(
)()()(*)(
)()2()(
)()()()(
)()(
000
00
**
fxtXalorsfXtxsi
af
Xa
atx
fffXffXtfjtx
ftjfXttx
fYfXtytx
fYfXtytx
fXfjdt
txd
fbYfaXtbytax
fXtx
FF
F
F
F
F
F
nFn
n
F
F
−→←→←
→←
−=−→←
−→←−
→←
→←
→←
+→←+
−→←
δπ
π
π
Linéarité
SLI, filtrage…
Modulation
Théorème du Retard
Modulation
Compression/dilatation
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
19
• Cas très courant:– Module de X(f) pair, phase impaire– Partie réelle de X(f) paire, partie imaginaire impaire
• Exemple/exercice– Calculer et représenter (module et phase) la T.F. de Rect(t-1/2)
)()()( * fXfXréelesttxsi =−
Module |X(f)| Phase Arg(X(f))
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
20
• T.F. des signaux usuels (exercices)
)2/(12/)()(
)/(1)Sgn(
)()2exp(
)2exp()(
)(1
1)(
))()((2
)2(
))()((21
)2(
)()(
)()/(
)()(
00
00
000
000
fjftu
fjt
fftfj
ftjtt
f
t
ffffj
tfSin
fffftfCos
fRecttSinc
TfTSincTtRect
fSinctRect
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
πδ
π
δπ
πδ
δ
δ
δδπ
δδπ
+→←
→←
−→←
−→←−
→←
→←
−−+→←
−++→←
→←
→←
→←
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
21
I-6 Réponse en fréquence des SLI
• La réponse en fréquence d ’un SLI est la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle
• H(f) gain en fréquence, module, phase, diagramme de Bode ( en dB 20log(|H(f)| )
e(t) s(t)h(t)
)()()()(*)()(
)()(
)()(
)()(
fHfEfSthtets
fHth
fSts
fEte
F
F
F
F
=→←=
→←
→←
→←
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
22
• Exercice– Soit un circuit RC initialement au repos. Le signal d ’entrée
est Rect(t-1/2). • Que vaut le gain en fréquence H(f)?• En déduire spectre S(f) du signal de sortie s(t). • Pour RC=0.1, représenter rapidement le signal de sortie
s(t)
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
23
• Relation entre Fourier et Laplace– Fourier = axe imaginaire du plan de Laplace
– Exemplefjp
pHfHπ2
)()(=
=
11
)( 2 ++=
pppH
23
21
,23
21
: jjpôles −−+−
)(
)(
fH
pH
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
24
I-7 Corrélation de signaux transitoires(à énergie finie)
• Produit scalaire, inter-corrélation
• Interprétation: orthogonalité
• Signaux réels
)(
)()()(),()(*
**
τ
τττ
−=
+=+= ∫+∞
∞−
yx
xy
C
dttytxtytxC
)(
)()()(),()(
τ
τττ
−=
+=+= ∫+∞
∞−
yx
xy
C
dttytxtytxC
0=xyC
réelle
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
25
• Autocorrélation x(t)=y(t)
• Énergie• Fonction paire si x(t) est réel• Inégalité de Schwarz
– La fonction d ’autocorrélation est maximale en τ=0
)(
)()()(),()( **
τ
τττ
x
xx
Cnoté
dttxtxtxtxC ∫+∞
∞−+=+=
)()( ττ −= xx CCxx WxxC == ,)0( *
)0()( xx CC ≤⇒ τ
)10
(.10)10
( . tTri
tRect AutoCorr →
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
26
• Autocorrélation d ’un bruit
• Relation avec la convolution
Implantation de la corrélation par filtrage (SLI), filtre adapté
)(*)()( * τττ yxCxy −=
y(t) s(t)=Cxy(t)h(t)=x*(-t)
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
27
• Densité spectrale d ’énergie (DSE)
– Énergie
– DSE réelle, positive ou nulle, indépendante de la phase– Exemple/exercice
2)(
)2exp()())(.(.)(
fX
dtftjtCtCFTfDSE xxx
=
−== ∫+∞
∞−π
∫∫∞+
∞−
∞+
∞−===
=
dffDSEdttxCW
en
xx )()()0(
02
τ
)()( 20 fSincttRect DSE →−
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
28
• SLI, corrélation et DSE
– Filtrage
– Identification
• Bruit blanc en entrée, identification par intercorrélation entrée sortie
e(t) s(t)h(t)
)()()(
)(*)(
)(*)(*)(*)()(*)()(
2 fDSEfHfDSE
tCtC
thtethtetststC
es
eh
s
=
=−−=−=
)(*)()(*)(*)()(*)()( tCthtethtetstetC ees =−=−=
)()()()( thtCttC ese =⇒= δ
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
29
II - Rappels de probabilités. Processus et signaux aléatoires
– Fréquence relative, probabilité– Probabilités combinées– Probabilités conditionnelles, indépendance– Variables aléatoires, fonction de répartition, densité de
probabilité– Moments statistiques, moyenne, variance…– Corrélation et covariance– Processus aléatoire– Stationnarité, ergodicité– Densité spectrale de puissance– Filtrage des processus aléatoires
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
30
II-1 Fréquence relative, probabilité
• N expériences, événement A réalisé M fois:– Fréquence relative
• Probabilité• Exemple: 10 jets de dé à 6 face: 1,5,3,4,2,5,6,5,3,4
F(1)=1/10 F(2)=1/10 F(3)=2/10F(4)=2/10 F(5)= 3/10 F(6)=1/10
Intuitivement (dé non pipé!) Prob(i)=P(i)=1/6• Valeur non démontrable, souhaitée, jamais réalisée exactement(sauf par hasard), valeur moyenne des fréquences relativesparamètres statistiques du processus aléatoire associé
NM
AF =)(
1)(0,lim)( ≤≤=∞→
AProbNM
AProbN
∑=
=6
1
1)(i
iF
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31
II-2 Probabilités combinées
• Événements s ’excluant mutuellement– P(A ∪ B)=P(A ou B)=P(A)+P(B)– ex: jeu de dé: P(1 ∪ 2 ∪ 3 ∪ 4 ∪ 5 ∪ 6) = 6 x 1/6 = 1
• Événements non disjoints, non exclusifs– A∩B=Ø P(A ∪ B)=P(A)+P(B)-P(A,B)
P(A,B)=P(A ∩B) A et B en même tempssi A∩B=0 P(A,B)=0
– ex: P( pair ou >4) ? • Par énumération complète (souvent irréalisable)
P(2 ou 4 ou 5 ou 6)=2/3 • P(Pair)+P(>4)-P(Pair et >4)= 1/2 + 2/6 - 1/6 = 2/3
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
32
II-3 Probabilités conditionnelles, indépendance
• Événements A et B non exclusifs, N expériences, A se produit M(A) fois, B M(B) fois et A et B ensembles M(A,B).– F(A)=M(A)/N– F(B)=M(B)/N– F(A et B)=M(A,B)/N– M(A,B)/M(B) = fréquence d ’apparition de A lorsque B est
aussi réalisé– A la limite P(A/B)=P(A,B)/P(B)
Prob A sachant B– Théorème de Bayes: P(A,B)= P(A/B)P(B)
= P(B/A)P(A)
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
33
• Ex: Jeu de dé: P(2/pair) ? (intuitivement 1/3)P(pair)=1/2, P(2,pair)=P(2)=1/6
P(2/pair)P(pair)=P(pair/2)P(2)=P(2,pair)
P(2/pair)=(1/6) / (1/2) = 1/3 P(pair/2)=(1/6) / (1/6) = 1 (Trivial !)
• Prob(A1, A2,... AN)=Prob(A1).Prob(A2/ A1)…Prob(AN/ A1... AN-1)
• Événements indépendantsP(A/B)=P(A) et P(B/A)=P(B)P(A,B)=P(A)P(B)
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34
Votepour A
Votepour B
Population 1 0,459 0,441
Population 2 0,051 0,049
Exemple:
P(vote A)=0,459+0,051 = 0,51P(vote A/pop.1)=P(vote A et pop.1)/P(pop.1)
=0,459/(0,459+0,441) = 0,51
donc P(vote A) = P(vote A/pop.1) donc indépendance.
Le vote pour Aou B dépend ilde la population ?
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
35
II-4 Variables aléatoires, fonction de répartition, densité de probabilité
• Valeurs dépendant du hasard, loi de probabilité =distribution définie par: fonction de répartition F(x)
densité de probabilité p(x)• Fonction de répartition: variable aléatoire X
– F(x)=Prob (X ≤ x) , fonction non décroissante– F(-∞)=0, F(+ ∞)=1
• Densité de probabilité
∫∫
∫=−=≤<=
=≥=
∞+
∞−
∞−
b
a
x
dxxpaFbFbXaProbdxxp
duupxFxpdx
xdFxp
)()()()(,1)(
)()(,0)(,)(
)(
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
36
• Variable aléatoire discrète (VAD)– valeurs distinctes en nombre fini ou dénombrable– Fonction de répartition en escalier, – Densité de probabilité en Diracs– ex: jeu de dé
• Exercice: somme de deux dés
1 2 3 4 5 6
1
1/6
F(x)
1 2 3 4 5 6
1/6
p(x)
x x
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
37
• Variable aléatoire continue (VAC)– ex: Loi normale, Gaussienne
Densité de probabilité Fonction de répartition
e( )−( )−x 3 2
πp(x)=
+ 1
2( )erf −x 3
1
2
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
38
Histogramme, estimation de la densité de probabilité p(x)
• Événement se produit M(xi,∆x) fois en N expériences
• Densité de probabilité estimée (VAD ou VAC approchée par une VAD)
22x
xxx
x ii
∆+≤≤
∆−
xxxpN
xxMavecxxp i
ii ∆∆=
∆∆ ).,(~),(
),(~
NxxMx
xxx
xProbdxxp i
Nii
xx
xx
i
i
),(lim)
22()(2
2
∆=
∆+≤≤
∆−=
∞→
∆+
∆−∫
x
∆x
xi
),(~ xxp i ∆
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
39
II-5 Moments statistiques, moyenne, variance…
• VAD– valeur moyenne expérimentale
– Espérance mathématique = moyenne statistique
• VAC
N
Nx
N
Nxx i
ii
ii
iii ∑
∑∑
==La valeur xi est apparueNi fois sur N expériences
∑===∞→
iii
Nx xProbxxXE )(.lim)(µ
∫+∞
∞−== dxxpxXEx )(.)(µ
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
40
• Moments d ’ordre n
• Moments centrés
• Valeur quadratique moyenne mx,2
• Variance
• Écart-type (déviation standard)
• Inégalité de Tchebycheff
))((,,n
nxnx XEmcm µµ −==−
)(,n
nx XEm =
∑∫
−=
−=−==+∞
∞−−
iii
xx
VADxprobx
VACdxxpxXEm
)()()(
)()()())((2
222,
2
µ
µµσ µ
xσ 222, xxxm µσ +=
2
2
2
2
)(
1)(
εσ
εµ
εσ
εµεµ
xx
xxx
Xprob
Xprob
≤≥−
−≥+<<−
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
41
• Fonction f(X) d ’une variable aléatoire X
• Exercices– Moyenne et variance du jeu de dé– Calculer moyenne et variance de la loi normale
• Rappel
– Moyenne de la somme de deux dés
)()()(
)()()())((
VADxprobxf
VACdxxpxfXfE
ii
ni
nn
∑∫
=
=+∞
∞−
2
2)(
2)(
2
2
s
exp
smx
π
−−
=
)(2
0
2
xerfdtex
t =∫ −
π
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
42
• Signal gaussien (loi normale)moyenne m=0 (volt)écart-type s=1 (volt)
– Probabilité que le signal dépasse 2 (volt) ?
π2)(
2)( 2x
exp
−
=
[ [ ] ])2(1)2(
)()(),22,(2
2
FF
dxxpdxxpxprob
−+−=
+=−∞∪∞−∈ ∫∫+∞−
∞−
9545.0)2(
)1)2
((21
)(,2
)(2
2
)(2
2
=
+−
==
−−
erf
smx
erfxFs
exp
s
mx
π0,0455 (environ 1/20)
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
43
• Signal sinusoïdal à phase aléatoire
u variable aléatoire uniformément réparti en 0 et 2πdensité de probabilité
Rappel: moyenne temporelle nulle et variance temporelle a2/2 ( Valeur efficace au carré)
– moyenne et variance de x(t) au sens statistique
00 1)2sin(.),( fTutfautx =+= π
[ [ππ
2,0,21
)( ∈= uup
∫∫
∫∫
=+=−=
=+==
∞+
∞−
+∞
∞−
π
π
ππ
µσ
ππ
µ
2
0
2
02
222
2
00
2)2(cos
2)()),((
0)2cos(21
)(),(
aduutf
aduuputx
duutfaduuputx
∫∫ −==TT
dtmtxT
dttxT
m0
22
0))((
1)(
1σ
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
44
II-6 Corrélation et covariance• Variables aléatoires X et Y• Statistique du second ordre, moments conjoints• Corrélation statistique
• Covariance
• Indépendance• Coefficient de corrélation
– dé-corrélation si– relation linéaire entre X et Y si
• Somme de deux variables aléatoires Z=X+Y
∑∫∫
=
==
),(
),(..)(
iiii
xy
yxprobyx
dxdyyxpyxXYER
yxxyyxxy RYXEC µµµµ −=−−= )))(((
)()(),(,0 ypxpyxpCxy ==⇒
11 ≤=≤−yx
xyxy
C
σσρ
0=xyρ1±=xyρ
xyyxz C2222 ++= σσσ
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
45
II-7 Processus aléatoire
• Ensemble de signaux dépendants de (au moins) deux variables
• u dépend des lois du hasard • Description d ’un processus aléatoire par des lois de
probabilité
),( utxX =
u1
u2
u3
t
t1 t2
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
46
• Variables aléatoires• Fonction de répartition, densité de probabilité,
moyenne, variance…au sens statistique.(a ne pas confondre avec les mêmes notions temporelles sur un signal
particulier x(t,ui)
• Statistiques d ’ordre 1: loi de probabilité de l ’amplitude d ’un signal à l ’instant ti.
• Statistiques d ’ordre 2: loi de probabilité conjointes des amplitudes d ’un signal à deux instants ti et tj
– fonctions de répartition conjointe, densité de probabilitéconjointe, corrélation, covariance...
– Fonction d ’autocorrélation statistique– Fonction d ’autocovariance
),().....,(),,( 21 utxutxutx i
))()((),( 2121 tXtXEttRx =
)()(),(
)))()())(()(((),(
2121
221121
ttttR
ttXttXEttC
xxx
xxx
µµ
µµ
−=
−−=
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
47
• Signal sinusoïdal àphase aléatoire
0
0
1
)2sin(.),(
fT
utfautx
=
+= π
t1 t2
))(2cos(2
))2)(2(cos(21
))(2cos(21
))2)(2cos(21
))(2cos(21
(
))2sin()2sin((
),(),(
120
2
1201202
1201202
1010
2121
ttfa
uttfEttfa
uttfttfEa
utfautfaE
ttRttC xx
−=
++−−=
++−−=
++=
=
π
ππ
ππ
ππ
Rem: Dépend de t2-t1
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
48
II-8 Stationnarité, ergodicité
• Stationnarité: invariance temporelle des propriétés statistiques– Stationnarité au sens largevaleur moyenne et fonction d’autocorrélation invariante
dépendante de l ’écart τ=t2-t1
• Ergodicité: propriétés « moyennes » temporelles égales au propriétés statistiques
221
21
)()(),(
)(),(
xxxx
xx
RCttC
RttR
µττ
τ
−==
=
∫∫−
∞→
∞+
∞−
====2
2
)(1
lim)()(.)(
T
TTx dttx
TtxdxxpxXEµ
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
49
• Ergodicité(suite)– Puissance– Variance = valeur efficace au carré– Auto corrélation
• Conséquence pratique– Étude statistique = étude temporelle– Stationnarité et ergodicité sont souvent supposées vraies
sur une certaine durée– voir propriétés de l ’autocorrélation dans le chapitre I
22 )()( txPXE x ==
∫ +=+=∞→ TTx dttxtxtXtXER )()(lim))()(()( τττ
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
50
II-10 Densité spectrale de puissance• Comportement fréquentiel des processus aléatoires
(à puissance finie)– Densité spectrale de puissance
– Dans la pratique, estimation
– Théorème de Wiener-Khintchine
– Voir les notions correspondantes pour les signaux déterministes.
=
∞→ TTfX
EfDSP i
Tx
2),(lim)(
),()().(),( . TfXTt
RecttxTtx iFourierT
ii →=
∑=
=N
i
ix T
TfXN
fDSP1
2),(1)(
~
)()( . fDSPR xFourierT
x →τ
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
51
• Bruit blancDSP constanteX(t1) non corrélé avec X(t2) pour t1 différend de t2• Bruit blanc à bande limitée
Puissance
)()()(1
τδτ ARAfDSP TF = →=−
<<
=ailleurs
fffAfDSP
0)( 21
∫+∞
∞−−==== )(2)()0( 21
2 ffAdffDSPRP σ
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
52
II-11 Filtrage des processus aléatoires
• Action d’un opérateur g sur un processus aléatoire XY=g(X) px(x) densité de probabilité de X
• Exemple: signal sinusoïdal à phase aléatoire (à t=0)
∑ ==
=
kk
xx
kxy xgyderacinesxavec
dxxdg
xpyp
k
)(,)(
)()(
[ [ πππ 21)(,,),sin()( =−∈== xpxxaxgy x
1),arcsin(1: xay
xRacines −= π
)(sin1)cos()( 2 xaxa
dxxdg
−==
22
1)(
yayf y
−=
π.../...
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
53
• SLI et DSP
• Exemple: bruit blanc filtré par circuit RC fc=1/(2πRC)
X(t,u) Y(t,u)h(t)
)()()()(*)()(2
fDSPfHfDSPtCtCtC xyxhy ==
2)(1
1)(
cff
fH+
=2
1
)(,)(
+
==
c
yx
ff
AfDSPAfDSP
A
X(t) Y(t)0 50 100 150 200
-4
-2
0
2
4
0 50 100 150 200-4
-2
0
2
4
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
54
III - FILTRAGE ANALOGIQUE
– Avant-propos: relations de Bayard-Bode– Généralités sur le filtrage
• Les étapes de la réalisation d ’un filtre
– Modélisation des filtres– Filtre idéal– Fonctions de réponse normalisées du 1er et du 2nd ordre– Transposition des fonctions de réponse– Fonctions d’approximations– Synthèse des filtres analogiques– Structures de filtres actifs– Exemple complet de calcul d’un filtre– Introduction aux problèmes de sensibilité
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
55
III-1 Avant propos: relations de Bayard-Bode– signal réel causal déterminé par sa partie paire ou impaire
– Transformée de Fourier signal réel causal• partie réelle paire, partie imaginaire impaire
02
)()(,
2)(
)(
00)(2
)()()(,2
)()()(
)()()(
≥==
<=
−−=−+=
+=
xpourxf
xfxf
xf
xpourxfcausalsignal
xfxfxfxfxfxf
xfxfxf
IP
IP
IP
∫∫∞∞
−==
+ →←
00
..
)2sin()()Im(,)2cos()()Re(
)Im()Re()(
dtfttffdtfttff
fjftf FT
ππ
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
56
• TF inverse
– partie imaginaire nulle
– Re(f) paire et Im(f) impaire
• Relation entre Re(f) et Im(f): Bayard-Bode
– Relation entre module et phase– Filtres spécifiés par le gain (module) en fréquence
( )
)()(
)2sin()Im()2cos()(
)Im()()( 2
tftf
dfftfdfftfRe
dfefjfRetf
IP
ftj
+=
−
=+=
∫ ∫
∫∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
ππ
π
∫∫∞∞
−====00
)2sin()Im(4)2cos()(4)(2)(2)( dfftfdfftfRetftftf IP ππ
∫∫∞∞
−−=
−=
022
022
)(2)Im(,
)Im(2)( dy
yfyRef
fdyyfyy
fReππ
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
57
III - 2 Généralités sur le filtrage
• Opérations– Multiplication en temps, Convolution en fréquence :
• échantillonnage, fenêtrage, modulation
– Convolution en temps, Multiplication en fréquence: • filtrage
• Filtrage– Séparer, modifier, éliminer, amplifier, atténuer …
les composantes fréquentielles d ’un signal en module et/ou en phase
– Intervalles de fréquences éliminées: • Bandes coupées BC
– Intervalles de fréquence conservées: • Bandes passantes BP
– Intervalles intermédiaires : • Bandes de transition BT f
H(f)
BP BT BC1
0
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
58
• Synthèse de filtre– En fonction d ’une réponse fréquentielle souhaitée (gabarit),
construire un circuit qui possède cette réponse• Circuits (LC, RC..) passifs• Filtres actifs utilisant des éléments amplificateurs• Simulation de filtre LC avec composants actifs
– Gyrateurs, NIC,…
• Filtres à capacités commutés– intermédiaires entre le numérique et l ’analogique
• Filtres numériques
?Gabarit
f
|H(f)|+
C
CR2
R1
Ve
Vs+
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
59
• Les étapes de la synthèse d ’un filtre– Cahier des charges, spécifications de filtrage, gabarit
• module, phase, réponse impulsionnelle, indicielle
– Approximation: Calcul de la fonction de transfert respectant le gabarit
• normalisation, transposition, optimisation, calcul de l ’ordre….
– Choix d ’une structure électronique– Calcul des composants, calcul de sensibilité– Simulation du circuit– Câblage, test
• Il est souvent nécessaire de revenir en arrière pour obtenir un résultat satisfaisant
• Ces étapes sont réalisables +/- automatiquement par des outils logiciels (utilisez les!)
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
60
III - 3 Modélisation des filtres• Filtre (linéaire) = système linéaire invariant
– Fonction de transfert, gain en fréquence
– Affaiblissement
e(t) s(t)h(t)
)()()()(
)(,2,)()(
)( fjefHfEfS
fHfjppEpS
pH φπ ====
))(log(20)(,)(
1)()(
)( fHGainAfffAfHfS
fEfA dBdBdB −=−====
Gabaritd ’affaiblissement
f
A(f)dB
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
61
• Propriétés de H(p), H(f)– fraction réelle de deux polynômes à coefficients réels– pôles et zéros de H(p) sont réels ou par paires complexes
conjuguées– pôles à partie réelle strictement négative (partie gauche du plan de
Laplace) pour stabilité– En analogique, degré du numérateur inférieur ou égal au degré du
dénominateur– Dans le contexte temporel, relation de Bayard-Bode valables, filtre
causal réel
– Réponse en fréquence continue, pas de passage « brusque » de la bande passante (BP) à la bande coupée (BC)présence obligatoire de bandes de transition (BT) « progressives »
f
H(f)
BP BT BC1
0 f
H(f)
BP BC1
0
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
62
• Zéros d ’affaiblissement• Pôles d ’affaiblissement
– zéros de transmission,zéros de H(p) imaginaires purs
• Forme générale– pk: pôles– zn: zéros– K facteur d ’échelle (gain) réel– En général, on choisit K tel qu’il y ait le maximun de zéros
d ’affaiblissement (gain =1 (0dB)) car la sensibilité des filtres aux variations des composants est nulle aux zéros d ’affaiblissement (théorème).
• Degré du dénominateur=ordre du filtre
dBfAf idBi 0)(/ =
0)(
)(/
=
∞→
j
jdBj
fH
dBfAf
∏∏
−
−=
kk
nn
pp
zpKpH
)(
)()(
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
63
Filtre elliptique passe-bas,ordre 3, BP 3dB, BC 20dB,fc=0.16
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-1
-0.5
0
0.5
1
Real Part
Imag
inar
yP
art
Plan de Laplace, pôles (x) et zéros (o)
|H(f)|
+ .2542 p2 .3938
+ + + p3 .591 p2 1.0031 p .3938H(p)=
AdB(f)
GaindB(f)
Zéros 0.0000 + 1.2446i0.0000 - 1.2446i
pôles -0.0842 + 0.9617i-0.0842 - 0.9617i-0.4226
k = 0.2542
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
64
• Synthèse en cascade (filtre actifs)– filtre d ’ordre N pair: N/2 cellules d ’ordre 2– filtre d ’ordre N impair : N/2 cellules d ’ordre 2, une cellule
d ’ordre 1
– Problème de l ’ordre des cellules ?– Problème de la répartition des pôles et des zéros dans
chaque cellule ?
• Synthèse additive par décomposition en éléments simples– peu utilisée en analogique
01
01
12
0 0,1,2
2,
0,1,2
2, .)(dpdcpc
apapabpbpb
pH
N
k kkk
kkk
++
++++
= ∏−
=
Celluleordre 2
Celluleordre 2
Celluleordre 2
Celluleordre 1
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
65
III - 4 Filtre idéal • Peut -on réaliser un filtre passe-bas idéal ?
• Réponse impulsionnelle non causale, bande de transition de largeur nulle
filtre idéal irréalisable• Filtre non idéal:
– approximation du filtre idéal– déphasage non nul– Oscillations (Sinc(t)), dues à la transition raide, gênantes– Besoins réels moins draconiens pour les applications
)2
()(cf
fRectfH =
-fc 0 fc f
H(f)1
)2(2)( tfSincfth cc=
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
66
III - 5 fonctions de réponse normalisées• Normalisation de H(p)
– dans les formules, apparaît systématiquement une pulsation particulière caractéristique ωp
– s : variable de Laplace normalisée– Ω : pulsation ou fréquence normalisée, SANS DIMENSION– La forme normalisée permet de travailler sur une expression
INDEPENDANTE des fréquences réelles (de coupure,…)
• Exemple: circuit passe-bas RC, fc=1/2πRC
– Tous les passe-bas du premier ordre ont les mêmes fonctions de transfert et réponses en fréquence NORMALISEES
fjrjrp πω 2+=+=
Ω+=+=+== jr
ff
jr
jr
sp
pppppp ωωωω
ωω
Ω+=Ω
+=
+==
+=
jH
ssH
ppH
RCRCppH
pp 1
1)(,
11
)(,1
1)(,
1,
11
)(ω
ω
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
67
• Fonction du premier ordre (passe-bas)– pôle s=-1 (p=-wp)– Diagramme de Bode (asymptote -6dB/octave, -20dB/décade)
-3dB à Ω =1 (ω=ωp)
ssH
+=
11
)(
|H(Ω)|échelles linéaires7,0
21 ≈
Module(dB)
Phase(radians)π/4
π/2
−3Ω
ΩΩ
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
68
– Réponse impulsionnelle normalisée
– Réponse impulsionnelle dénormalisée
τττ −= → euhsH inverseLaplaceT )()()( .
tp
inverseLaplaceT petuthpH ωω −= → )()()( .
ωp
1/ωpconstante de temps
t
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
69
III - 6 Transposition des fonctions de réponse
• Passe-bas Passe-hautPasse-bandeRéjecteur/coupe-bande
– Simplifier les procédures de calcul des filtres– L ’étude des filtres passe-bas est suffisante
• Transposition passe-bas/passe-haut– Symétrie (en échelle log) autour du point
– est en général situé dans la bande de transition
ω
ω
ωω p
p
jjj
js
s −↔Ω
↔Ω↔ ,1
,1
pωω ==Ω ,1
pωω ==Ω ,1
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
70
– Exemple: Fonction du premier ordre
p
p
j
j
jj
ss
ss
ωω
ωω
+=
Ω+Ω
+=
+↔
+ 11,
111
11
1
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
71
• Exercice: Fonction passe-haut du second ordre
481
4)( 2
2
pp
ppH
++=
•Vérifier que cette fonction correspond bien à un passe-haut
•Tracer rapidement la module de laréponse en fréquence (voir ci-dessous)
•Choisir la pulsation ωp et normaliser la fonction•Transposer la fonction normalisée pour obtenir
une fonction passe-bas•Vérifier que la fonction obtenue a un
comportement passe-bas
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
72
• Transposition passe-bas/passe-bande– Décalage de Ω=0 en Ω=1
– B = bande passante relative (à 3dB), ωp fréquence centrale du passe-bande
)(),1
(),1
(1
ω
ω
ωω
ω p
pBj
jBj
js
sB
s −↔Ω
−Ω↔Ω+↔
ω1 ωp ω2
)3(2
1dB−
pp fff
B 1212 −=
−=
ωωω
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
73
– Fonction du premier ordre
22 1,
111
Ω−Ω+Ω
++↔
+ jBjB
sBsBs
s
1051
===
BBB
dB
! Ordre x 2
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
74
• Transposition passe-bas/coupe-bande
– Ex: premier ordre
1)1
(1
12 +
=+
↔s
sB
ss
B
s
2
2
2
2
11
,1
11
1Ω−Ω+
Ω−++
+→
+ jBBsss
s
dB1051
===
BBB
Gain nul pour Ω=1
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
75
III - 7 Fonctions d’approximations• Fonction du premier ordre
– voir étude précédente…
• Fonction du 2eme ordre– Q coefficient de qualité,
ou de surtension– z, coefficient d ’amortissement
s+11
zQ
d
sdssH
211
1)( 2
==
++=
211
)(Ω−Ω+
=Ωjd
jH1)2(
1)(
224 +−Ω+Ω=Ω
djH
)1
())(( 2Ω−Ω−
=Ωd
ArctgjHArg
7.02
1,2
2100
)( 2
≈><−±=Ω⇒=Ω
ΩQdsi
detpourmaximum
djHd
M
Q
Q
Q
dd
jHH MM >−
=
−
=Ω=
2
2
411
41
1)(
1)0()1(
=−=
jHjQjH
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
76
• Fonction du 2eme ordre (suite)
QHQdSi MM ≈≈Ω>><< ,1,1,1
π−=Ω−
≈Ω>>Ω ArgjH ,1
)(,12
Asymptote -40dB/déc.
dB
3,2,5.0,1.0=d
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
77
• Fonction du 2eme ordre (suite)Phase
Rem: si d>2, H(s) équivalent à deux filtres du premier ordre en cascade. Ce n’est plus un VRAI 2eme ordre!
3,2,5.0,1.0=d
)(1
)(1
)(21 Ω−Ω−
=ss
sH2
11
Ω=Ωcoupuredepulsations
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
78
• Fonction du 2eme ordre (suite)– Passe-haut:
symétrie des courbes précédentes par rapport à Ω=1
– Passe-bande:
A faire en exercice… et voir transp.73
2
2
1)(,
1sds
ssH
ss
++=→
21)(
sdsds
sH++
=
dB
3,2,5.0,1.0=d
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
79
• Fonction de Butterworth– filtre d ’ordre n
– …on montre:• H(s) pôles sur le cercle unité
nn jH21
1)(
Ω+=Ω
niinn
js iiii ,1),12(2
),sin()cos( =−+=+=π
ϕϕϕ
2/,1),cos(2
,1
11
1)(
,1
1)(
2/)1(
12
2/
12
nid
impairnpoursdss
sH
pairnpoursds
sH
ii
n
i i
n
i i
=−=+++
=
++=
∏
∏−
=
=
ϕ
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
80
• Fonction de Butterworth (suite)
– Fonctions passe-bas H(s)
n=1234
Pente -n20db/déc.
-3dB
322
2
2211
11
11
3
2112
111
ssssssn
ssn
sn
+++=
+++=
++=
+=
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
81
• Choix de l ’ordre n d’un filtre de Butterworth– Gabarit passe-bas normalisé d’affaiblissement:ATTENTION: la courbe doit passer par 3dB à Ω=1
• 4 paramètresAbp,Abc Ωbp Ωbc
– Il faut respecter: f
A(f)dB
Abp
Abc
Ωbp Ωbc
nN
A
A
bcnbc
bpnbp
<⇒
−<Ω+
−>Ω+
min
210
210
)1
1(log20
)1
1(log20
K
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
82
• Exemple: 1dB, 40 dB, 0.8, 2…/… 6.64<n
Mauvais choix de Ωbp et Ωbc ? Dans la pratique, seul le rapport (sélectivité) k=Ωbp/ Ωbc intervient
ex: 0.872, 2.18 5.9<nn=6 suffisant !Il faut résoudre
7 6
bcnbp
bpnbp
Ak
A
−=Ω+
−=Ω+
))(1
1(log20
)1
1(log20
210
210
Marges ?
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
83
…. Ce qui conduit à:
Les pulsations Ωbp et Ωbc doivent être placées correctement (dans la plage de réglage disponible).
Pour l ’exemple, on obtient n=5,76. On choisira donc n=6.
)/1log(2)110log()110log( 1010
kn
bpbc AA
−−−=
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
84
• Autres fonctions d ’approximation
– Filtres polynomiaux: • Butterworth
– sélectif, optimisation de la réponse en amplitude
• Legendre (Papoulis)– Très sélectif, avec atténuation continûment décroissante
• Chebychev– Les plus sélectifs, ondulation dans la bande passante
• Bessel (Thomson)– Peu sélectif, optimisation de la réponse en phase
– Filtres elliptiques (Cauer)– Présence de zéros de transmission dans la bande coupée, encore
plus sélectif que Chebychef, mais atténuation limitée en bande coupée
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
85
• Filtres de Chebychev– Ondulation dans la bande passante ( ER :Equal Ripple filters)
Polynômes de Chebychev
– Exemples: n=3 et n=4, b=1
)(1
1)(
22 Ω+=Ω
n
nTb
jH
2110 2,,1 −− −Ω=Ω== nnn TTTTT
21
1
b+
Ω
Ω
dB
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
86
• Filtres de Chebychev (suite)– … on montre: pôles situés sur une ellipse dans le plan de
Laplace– La fonction de transfert H(s) dépend de l ’ordre n ET de b
(b définit l’ondulation en bande passante)– ex: b=1 ondulation de 3dB en bande passante– ex: H(s) pour n=2 et 3, pour 1 dB d ’ondulation
– Tables (techniques de l ’ingénieur,…)– Logiciels (Matlab,…)
)0058.14971.01)(0235.21(1
907.09957.011
2
2
sss
ss
+++
++
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
87
• Filtres de Cauer– présence de zéros de transmission dans la bande coupée
coupure très raide, bande de transition étroite, forte sélectivité
– comportement de Chebychev dans la bande passante– mais…réalisation et réglages délicats– Fonction de transfert de base d ’ordre 2:
– Gain (asymptote) en BF : b/c– Gain (asymptote) en HF : a– Passe-haut (b/c<a) ou passe-bas (b/c>a)– Zéros de transmission (gain nul, atténuation infinie)
– Dénominateur: résonance à environ Ωm=1 (cf. étude du 2nd ordre)
– Grande sélectivité pour mais avec d faible (risque d’instabilité) et (faible différence entre BP et BC)
– On peux étudier la forme simplifiée avec c=1, a=1 (passe-haut avec b<a) ou b=1 (passe-bas avec b>a)
cdssbas
sH++
+= 2
2
2 )(
ab
=Ω∞
∞Ω≈Ωm
ba ≈
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
88
a=0.1 , b=1 , d=1 a=0.9, b=1, d=0.2
a=1, b=0.1, d=0.9 a=1, b=1, d=0.2
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
89
• Filtres de Cauer (suite)– Ordre > 2 : mise en cascade (produit) de N fonctions d’ordre 2
∏=
∞
++
+=
N
i
mimi
i
pd
p
p
pH1
2
2
2
2
1
1)(
ωω
ω
mi
i
ωω∞ : Zéros de transmission dans la BC
: Position approximative des maximas dans la BP
1221 ∞∞ ωωωω mm
a
p
ω
ω ...2211 === ∞∞ ωωωωωω mmap
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
90
• Fonctions passe-tout– Module |H(f)|= 1, action sur la phase
)1
(211
)(
)(211
)(
22
2
2
1
Ω−Ω
−=+++−
=
Ω−=+−
=
ba
arctgphasebsasbsas
sH
arctgphasess
sH
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
91
III - 8 Synthèse des filtres analogiques
• Obtenir le circuit électronique réalisant une fonction de transfert donnée
• Critères de choix– Domaine de fréquence– Coût, nombre de composants, précision– stabilité– sensibilité aux variations de valeurs des composants– Dynamique – Amplification nécessaire– Impédances d’entrée et de sortie
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
92
• Solutions– Filtres passifs
• LC, en HF, Q élevé difficile à obtenir en BF• RC, pôles réels, pas de surtension donc pas de forte sélectivité
– Filtres actifs• Présence d ’éléments amplificateurs• Utilisation en BF (limite de bande passante des composants)• Source d ’énergie nécessaire• Dynamique limitée (saturation)• Structures
– Classique à amplificateur contre-réactionné– Simulation de LC (NIC, Gyrateurs,….)
– Filtres a capacités commutées• Fonctionnement échantillonné• Structure de filtres actifs classiques
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
93
III - 9 Structures des filtres actifs
• Filtres RC actifs (pas d ’inductance)• H(p) : fraction de deux polynômes d ’ordre N et M
• Factorisation des polynômes
• Regroupement des pôles et zéros complexes conjugués en fonctions du second (et premier) ordre
MM
NN
papapapbpbpbb
pH++++++++
=...1...
)( 221
2210
∏
∏−
=
−
=
−
−= 1
0
1
0
)(
)()( M
jj
N
ii
pp
zppH
∏∏ ==++
++
kk
kpapaa
pbpbb pHpHkkk
kkk )()( 2210
2210
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
94
• Hk(p): fraction de polynômes de degré 2 à coefficients réels
• Synthèse en cascade (voir III-3)
• Problèmes d ’impédance d ’entrée et de sortie des structures électroniques en cascade
• Filtres actifs en tension (cellule à transfert de tension)
– impédances d’entrée forte– impédances de sortie faible
• Filtres actifs en courrant– impédance d’entrée faible– impédance de sortie forte
• Filtres passif– Adaptation d ’impédance Ze=Zs– Transfert de puissance
ZeZs
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
95
• Structure/cellule biquadratique
– valeurs de a,b,c : passe-bas, passe-haut, passe-bande, réjecteur (coupe-bande)
• Réalisation de la structure biquadratique– Structures universelles
• Passe-bas, passe-haut,… par choix/réglage des valeurs des composants et/ou choix de la sortie du montage
• Delyannis-Friend, Fleisher-Tow, réseau à variable d’état…
– Structures à 1 amplificateur (opérationnel)• A contre-réaction simple• de Rausch, ou à contre-réactions multiples • de Sallen et Key, ou à source contrôlée• à convertisseur d ’impédance (NIC) (généralement deux
amplificateurs)
– Simulation d’inductance, gyrateur– etc….(autres solutions moins intéressantes)
1)( 2
2
++++
=dss
cbsassH
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
96
• Exemple de cellule universelle– simulation de H(s) par intégration
– a,c,d>0– ad>b (sauf pour passe-bande)– Passe-bas: a=b=0, enlever R2 et R3
– Passe-haut: b=c=0, enlever R1
– Passe-bande: a=c=0, enlever R1 et R3 et R2=R/b
-+
-+
-+
R RR/d
R RCC
R1=R/c R2=R/(ad-b) R3=R/aue
us
1)()(
2
2
++++
−=dss
cbsassusu
e
s
1)()(
2 ++=
dssbs
susu
e
s
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
97
• Structure à contre-réaction simple
– Z1 et Z2 quadripôles complexes définis par leur trans-résistance (Is/Ve) en sortie court-circuitée
– Sur la borne - de l ’ampli-op (parfait) , courant nul, donc:
Is(s) pour Z1 = - Is(s) pour Z2
-+
Z1(s) Z2(s)
)()(
)(1
2
sZsZ
sH −=
IsVe )(
)()(
sIsV
sZs
e=
)()(
)()(
)(1
2
sZsZ
sVsV
sHe
s −==
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
98
• Exemple/exercice:
• Structure de Sallen et Key
-+
C2
RR RR C1C1
221
2221
1)(
pCCRpRCpH
++−=
Z2
Z4
Z3Z1
K
)())1(()(
4312431
42
ZZZZZKZZZKZ
pH+++−+
=
-+
R1 R2
1
21RR
K +=
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
99
• Filtre passe-bas
– Cas particulier K=1 (amplificateur monté en suiveur)
C2
C1
RR
K
210
21
21
221221
2
200
2
1,
)1(2,
))1(2(11
1)(
CCRCCCKC
dKA
pRCCCKCpRK
ppd
Asds
AsH
=−+
==
+−++=
++=
++=
ω
ωω
210
2
1
22121
2
200
2
1,2,1
211
11
)(
CCRCC
dA
pRCCRCpppd
Asds
AsH
===
++=
++=
++=
ω
ωω
!!! Instabilité si d=0
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
100
• Structure de Rausch (contre-réactions multiples)Admittances Yi
ex: Y1=1/R1,Y2=C2p,Y3=1/R3,Y4=1/R2,Y5=C1pPasse-bas
-+
Y1
Y4 Y5
Y3Y2
4354321
31
)()(
YYYYYYYYY
pH++++
−=
32212
321
321
1
2
)(1
1)(
RRCCpRRRRR
pCRR
pH++++
−=
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
101
• Convertisseur d ’impédance négative (NIC)
ZRR
IV
Z i1
2−==-+
IR2
R1Z
V
-+
r
Kr
R2
entrée
C2
sortie
R1C1
2211212
2211
12
)(1
1)(
CRCRpKCRCRCRp
CpRK
pH
+−++−
=
Ex: Passe-bande
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
102
III -10 Exemple complet de calcul d’un filtre
• Réalisation d ’un filtre passe-haut Chebyshev
• Etapes:
– normalisation– (transposition passe-bas)– recherche H(s), vérification (tables, abaques, logiciel…)– factorisation, pôles-zéros, organisation en cellules du
second ordre– (transposition passe-haut)– dé-normalisation– choix structure électronique, calcul des composants– test,...
10 18 f(kHz)
A(dB)40
1
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
103
• Normalisation– choix de la fréquence de normalisation f0 ?– attention aux propriétés de la fonction d ’approximation
choisie et d’une éventuelle marge par rapport au gabarit– On choisit ici f0=18kHz, avec une ondulation (Chebyshev)
inférieure à 1dB, soit 0.5 dB, pour garder une marge sur le gabarit en limite et dans la bande passante
kHzfff
180
0
=
=Ω
1/1.8 1 Ω
A(dB)40
1
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
104
• Transposition (pas nécessaire si les outils permettent de travailler directement sur un passe-haut)
• Recherche de Hpb(s)– Ordre ?
• À titre indicatif, Butterworth (transp. 83) n=8.98, ordre 9 ou 10• Matlab: Chebyshev type 1, ondulation 0.5 dB
>> cheb1ord(1, 1.8, 0.5, 40, ’s ’) ----> n=6
Ω→Ω
1
1 1.8 Ω
A(dB)40
1
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
105
• Recherche de H(s) (suite)
– Vérification (ex: Matlab)>>[b,a]=cheby1(6,0.5,1,'s')
b = 0 0 0 0 0 0 0.0895a = 1.0000 1.1592 2.1718 1.5898 1.1719 0.4324 0.0948
>> freqs(b,a)---> observation de la courbe, zoom...
0.0948 0.4324 1.1719 1.5898 2.17181592.10895.0
)( 23456 ++++++=
sssssssH pb
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
106
• factorisation, pôles-zéros, organisation en cellules du second ordre (synthèse en cascade)>>[z,p,k]=cheby1(6,0.5,1,'s')
z =[ ]p = -0.2898 + 0.2702i , -0.2898 - 0.2702i
-0.2121 + 0.7382i , -0.2121 - 0.7382i-0.0777 + 1.0085i , -0.0777 - 1.0085i
k = 0.0895>>zp2sos(z,p,k)
• Transposition passe-bas / passe-haut
1.0230)0.15530.5900)(0.4243 0.1570)(0.5796 (0.0895
)( 222 ++++++=
sssssssH pb
ss 1→
1.0230)0.155310.5900)(0.4243 10.1570)(0.5796 (10.0895
)( 222
6
sssssss
sH++++++
=
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
107
• Dénormalisation
– Pulsation de résonance de la cellule i
– Coefficient de qualité Qi=1/di
– On choisit a priori
00
2
020
2
0
20
2
2
0
2
02
2
2,1
)(
1)()(
fpcpb
pKpH
scsbsKsHsH
iii
i
i i ii
ii
πω
ωω
ω=
++=
++==
∏
∏ ∏
=
= =
kHzf
KKK
18
0895.0
0
210
==
iri c
0ωω ≈
i
i
ii
cb
Qd ==
1
4473.00895.033
2
0
=== ∏=i
ii KK
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
108
• Calcul des composants– Structure de Rausch passe-haut
– Par identification, pour la cellule i
– Résolution: par exemple, choix de R2, calcul de R1,C1,C2– Dans certains cas, on tombe sur des impossibilités qui
nécessitent de revenir en arrière (choix R2, Ki, structure…)
-+
C1
C2 R2
C1R1
21212
211
212
12
)2(1)(
RRCCpCCpRRRCp
pH+++
−=
212120
2110
212
120
)2( RRCCc
CCRb
RRCK iii =+==
ωωω
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
109
• Résultats– Cellule 0: bi=0.5796 ci=0.1570 choix R2=1kΩ
• R1=135.8Ω C1=16nF C2=5.63nF
– Cellule 1: bi=0.4243 ci=0.59 choix R2=10kΩ• R1=365.3Ω C1=3.09nF C2=4.08nF
– Cellule 2: bi=0.1553 ci=1.023 choix R2=50kΩ• R1=146.7Ω C1=2.18nF C2=4.99nF
-+
16nF 5.63nF 1kΩ
16nF135Ω
-+
3.09nF 4.08nF 10kΩ
3.09nF365Ω
-+
2.18nF 4.99nF 50kΩ
2.18nF146Ω
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
110
• Si les valeurs obtenues sont incohérentes (trop petites, trop grandes…), retour sur choix de R2,Ki,structure…
• Problème de dynamique– Gain des cellules dans la bande passante
• Cellule 0 : 2.8• Cellule 1 : 0.76• Cellule 2 : 0.436
– Facteur de qualité (résonance)• Cellule 0 : 0.67• Cellule 1 : 1.83• Cellule 2 : 6.5
…. Choix de l ’ordre des cellules, modifications des Ki
2
1
CC
cK
i
i =
Cellule 2
Cellule 1Cellule 0
Réponse totale
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111
• Vérification par simulation
• Câblage, test, problème de précision des composants
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112
III - 11 Introduction aux problèmes de sensibilité
• Sensibilité d’un paramètre a (fréquence de coupure, gain, …)
en fonction d’un composant b (résistance, capa…):
• En général:
– Plus Q est grand, une petite variation d’un composant entraînera une grande variation de Q. Risque d’instabilité,gabarit non respecté...
bba
Saab
dbda
S ab
ab ∆=∆= ,
QS Q ∝
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
113
• Ex: Sallen-Key passe-bas
– Si C1 varie(augmente) de 10%, ω0 varie(diminue) de 5%
• Exercice: pour la structure de sallen key passe-bas, montrer que:
Que peut-on en déduire ?Que devient l ’expression pour K=1 ?
211
, 0
1
0
121
00
1
1
0 −=⇒== ωω ωω
ωCC
SCCR
CdCd
S
10RCdK
S dK ω
−=
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
114
IV - MODULATION ANALOGIQUE- Introduction, généralités- Modulation d’amplitude
– avec porteuse– sans porteuse– Bande latérale unique– Bande latérale résiduelle– Modulateurs– Démodulateurs– Performance en présence de bruit
- Modulation angulaire (Fréquence,Phase)– Modélisation, contenu spectral– Règle de Carson– Comportement en présence de bruit– Modulateurs– Démodulateurs
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
115
IV-1 Introduction, généralités
• Cadre général de la modulation
• Buts:– Transposition/adaptation en fréquence– Multiplexage fréquentiel, partage du support– Amplification, faible bruit– Modification du spectre, codage, confidentialité– Domaine d’application principal : Télécommunications
Modulation DémodulationTransmissionStockageAmplification
Signal démodulé
Signal modulant
Porteuseauxiliaire
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
116
• Classification des techniques de modulation
– modulation analogiques, signaux modulants analogiques• porteuse sinusoïdale
– Modulation d ’amplitude (AM)– Modulation angulaire
» Modulation de fréquence (FM)» Modulation de phase (PM)
– Combinaison AM / FM ou PM• porteuse impulsionnelle (modulation d ’impulsion) (suite
d ’impulsions périodiques)– en amplitude (PAM)– en durée (PDM)– en position (PPM)– en fréquence (PFM) (proche PPM)
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
117
Modulations analogiques à porteuse sinusoïdale
AMPLITUDE
FREQUENCE
PHASE
AMPLITUDE et PHASE
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
119
• Modulation par Déplacement d’Amplitude MDA– (Amplitude Shift Keying ASK)
• Modulation par Déplacement de Phase MDP– (Phase Shift Keying PSK)
• Modulation par Déplacement de Phase Différentiel MDPD– (Differential Phase Shift Keying DPSK)
• Modulation d’Amplitude de deux porteuses en quadrature MAQ– (Quadrature Amplitude Modulation QAM)
• Modulation par Déplacement de Fréquence MDF– (Frequence Shift Keying FSK)
- modulations numériques, représentation numérique des signauxmodulants quantifiés
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
120
modulations numériques
AMPLITUDE
FREQUENCE
PHASE
AMPLITUDE et PHASE
1 0 1 0 1 1
Modulant :
Porteuse :
Alphabet fini (ex. binaire)
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
121
IV-2 Modulation d ’amplitude• Modulation avec porteuse (AM, MDBAP, DSB)
– Signalmodulant g(t)
– Signalmodulé s(t)
– Indice de modulation
• si m>1 il y a sur-modulation
)2cos())(
1()2cos())(()(
))(max(,)(
pppppp tfBUAtg
mtfUtgBts
tgAAtgA
απαπ ++=++=
=<<−
BA
m =m<1 m=1
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
122
• AM, aspect fréquentiel
)]()([2
)]()([2
)(
)2cos())(()()(.).(,)(
ppp
ppp
pp
ffGffGU
ffffBU
fS
tfUtgBtsfGFTspectreAtgA
−+++−++=
+=<<−
δδ
π
Bande latérale supérieure (BLS)
-fp 0 fp f G(f)
Bande latérale inférieure (BLI)
!! Information dupliquée en BLI et BLS
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
123
• AM, rendement (puissance de l ’émetteur ?)
– pour g(t) signal sinusoïdal amplitude APg=A2/2
– Puissance porteusePp=Up
2/2– Dans le signal modulé, puissance totale
Ptot= Up2A2/8 + Up
2A2/8 + B2Up2/2
– Rendement (Up
2A2/8 + Up2A2/8 ) / Ptot = m2/(m2+2)
– maximum, sans sur-modulation m=1, rendement 33% !• Seule la moitié est utile...
• Mauvais rendement, mais démodulation simple par détection d ’enveloppe
• Améliorer le rendement en éliminant la porteuse, m>>1 , d ’ou….
modulation sans porteuse
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
124
• Modulation sans porteuse (AM-P, MDBSP,DBSSC)
)]()([2
)(
)2cos()()()(.).(,)(
ppp
pp
ffGffGU
fS
tfUtgtsfGFTspectreAtgA
−++=
=<<−
π
-fp 0 fp f G(f)
Bande latérale inférieure (BLI)
Bande latérale supérieure (BLS)
Rendement 100% mais seulela moitié est utile !
Et démodulation plus difficile
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
125
• Modulation à bande latérale unique (BLU, SSB)– Filtrage d ’une des deux bandes latérales (difficile, filtre très
sélectif)– Réalisation par modulateur spécial– Bande passante réduite d ’un facteur 2
– Pour un signal modulant sinusoidal de fréquence f0, le signal modulé est un signal sinusoidal pur de fréquence fp+f0
-fp 0 fp f G(f)
Bande latérale unique (BLU)
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
126
• Modulation à bande latérale résiduelle (BLR, VSB)– Transmission des très basses fréquences (vidéo,…)– Modulation AM puis filtrage spécifique de la BLU– En présence d ’une porteuse, démodulation d ’enveloppe
avec une distorsion acceptable
-fp 0 fp f G(f)
Bande latérale unique (BLU)
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
127
• Modulateurs AM– Multiplieur analogique, transconductance variable
– Amplification à gain variable=multiplication
T
Ct
T
BEB
T
BEBB
TBE
B
BE
Ct
UI
y
UV
IUV
II
mVq
kTU
VI
VI
y
=
≈−=
==∂∂
=∂∂
=
))(exp()1)(exp(
26,
00
β
E
Ic(t)
e(t)
s(t)
)()()()()( tetIUR
tVRytIRts CT
BEtC ∂−=∂−=∂−=∂
)()(
)(11
tIUR
thR
tG cT
−=−=β
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
128
– Modulation par non-linéarité (inter-modulation)• Système à relation entrée-sortie non linéaire
• Ex: système quadratique s(t)=e2(t)
∑=
=N
n
nn teats
0
)()(
)4cos(2
)2cos()(2)(2
)(
)2cos()()(2
22
tfU
tfUtgtgU
ts
tfUtgte
pp
ppp
pp
ππ
π
+++=
+=
0 fp 2fp f
G(f)Fmax 2Fmax
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
129
• Démodulateurs analogiques AM– Démodulation synchrone: multiplication et filtrage passe-bas
• ex: en modulation sans porteuse
– Problème: connaître fp: AM avec porteuse, reconstitution(PLL...)
– En BLU ou BLR, démodulation isochrone sinon distorsion
[ ])cos()()4cos()(2
)(
)2cos()()(:
)2cos()()(:
ddpdp
dpd
pp
tgtftgUU
td
tfUtstdonDémodulati
tfUtgtsModulation
ϕϕπ
ϕπ
π
++=
+=
=
Modulation AM à 2fp éliminée parfiltrage passe-bas
Signal g(t) démoduléDémodulation isochronesi ϕd=0
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
130
– Démodulation par détection d’enveloppe, AM avec porteuse• , détecteur de crête, redressement et filtrage passe-bas
• Fréquence de coupure du passe-bas fc=1/2πRC
R CSignal AM e(t) Signal démodulé s(t)
Pour éviter les distorsions, on montre:
a) τ ≈ τHF
p(t)
s(t)
c) τBF >> τ >> τHF
p(t)
s(t)
b) τ ≈ τBF
p(t)
s(t)
21
21
m
fmRC
f mp
−>>>
π
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
131
Performances en présence de bruit (AM avec porteuse)
• Dans la bande de réception du signal (filtre passe-bande largeur 2F)– Puissance du bruit = 4FN0
– Puissance du signal (g(t) sinusoïdal amplitude A) =Up2A2/4
– Puissance porteuse = B2Up2/2
– Rapport Signal/Bruit
Filtrepasse bande
Démodulateur Filtrepasse bas
Bruit blanc(DSP constante : N0)
0
222
16
)2(
FN
ABURSB p
HF
+=
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
132
• Après démodulation– Puissance du bruit = 4FN0
– Puissance du signal = A2Up2/2
– Rapport Signal/Bruit
• Gain en RSB
– Maximum 2/3 pour m=1, c ’est à dire diminution du RSB !
Sans porteuse (AMP-P) (exercice à démontrer)
Exercice: Calculer GRSB en modulation AM BLU avec et sans porteuse
0
22
8FN
UARSB p
BF =
2
2
22
mm
RSBRSB
GHF
BFRSB +
==
2=RSBG
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
133
IV-3 Modulation angulaire (Fréquence,Phase)
• Modèle général
– Modulation de phase (PM) si
– Modulation de fréquence (FM) si
• Modèle simplifié– Modulation de phase
– Modulation de fréquence
))(2cos()( ppp ttfUts απ +∆Φ+=
)()( tmkt =∆Φ
dttd
tmk
duumktt
))((21
)(
)(2)(0
∆Φ=
=∆Φ ∫
π
π
))(2cos()(0∫+=t
pp duumtfUts π
))(2cos()( tmtfUts pp += π
Fréquenceinstantanée
dttd
ftf pi
)(21
)(∆Φ
+=π
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
134
• … d ’où équivalence :
Modulationde Phase
m(t) s(t) Modulationde Fréquence
m(t) s(t)d/dt⇔
Modulationde Fréquence
m(t) s(t) Modulationde Phase
m(t) s(t)∫ dt⇔
Modulation de Phase (PM) Modulation de Fréquence (FM)
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
135
• Propriétés principales des modulations angulaires
– Indépendance du niveau de signal démodulé par rapport au signal reçu…
– ... ce qui implique une meilleure immunité au bruit qu’en modulation d’amplitude
– Bonne résistance aux perturbations si l’indice de modulation est élevé
– Largeur de bande du canal de transmission élevée
– La modulation FM possède une immunité au bruit supérieure à la modulation PM
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
136
• Spectre des signaux modulés– forme générale
– Complexe à calculer dans le cas général– Différent de zéro uniquement au « voisinage » de la porteuse
• Modulation à bande étroite NFM (faible niveau)
[ ][ ]
)(!
))(()2exp()(
))(exp()2exp()(
)2sin())(sin()2cos())(cos()(
0
fSn
tjtfjReUts
tjtfjReUts
tfttftUts
TF
n
n
pp
pp
ppp
→←
∆Φ=
∆Φ=
∆Φ−∆Φ=
∑∞
=
π
π
ππ
π<<∆Φ )(t
[ ]
[ ])()()()(4
)(
)2sin()()2cos()(2
ppppp
ppp
ffDSPffDSPffffU
fDSP
tfttfUts
++−+++−=
∆Φ−=
ΦΦδδ
ππ Analogue à modulationd ’amplitude
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
137
• NFM - Réalisation par chaîne d ’Armstrong
– Le signal est aussi faiblement « modulé en amplitude »
Déphaseurπ/2
Porteuse X +
Signal modulant m(t)
Signal modulés(t)
Signal modulant
Porteuse, signal modulé
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
138
• Signal modulant sinusoïdal
– en PM
– en FM
– Indice de modulation
– en FM
)2cos()( tfUtm mm π=
)2sin()2sin()(
21
)(
)2cos()2cos()()(
max
max
tfftffkUdt
tdtf
tftfkUtkmt
mmmmi
mmm
πππ
ππ
∆==∆Φ
=∆
∆Φ===∆Φ
)2cos()2cos()(
21
)(
)2sin()2sin()(2)(
max
max
tfftfkUdt
tdtf
tftff
Ukdttmkt
mmmi
mmm
m
πππ
πππ
∆==∆Φ
=∆
∆Φ===∆Φ ∫
mffmax∆
=β
))2sin(2cos(
))(22cos()(
tftfU
duumktfUts
mpp
t
pp
πβπ
ππ
+=
+= ∫ ∞−
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
139
• Signal modulant sinusoïdal en FM– on montre (décomposition en série de Fourier)
– Jn(β) désigne la fonction de Bessel de 1ère espèce d’ordre n– Densité spectrale de s(t): spectre de raies (s(t) périodique)
))(2cos()()( tnffJUts mpn
np += ∑+∞
−∞=
πβ
[ ]∑+∞
−∞=
−−+++=n
mpmpnp
s nfffnfffJU
fDSP )()()(4
)( 22
δδβ
J0 J1 J2 J3
Fonctionsglobalement décroissantes
quand n augmenteLe spectre est donc « borné »pour une valeur de β donnée
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
140
fp=30fm=1β =10
fp=30fm=1β =5
fp=30fm=2β=5
fp=20fm=1β=5
Exemples de DSPs(f)
Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet
141
Exemples de DSPs(f) en NFM β<<1
• Il ne reste plus que 3 raies: la porteuse et deux raies latéralesà fp-fm et fp+fm, (analogie avec AM faible)
• Le signal modulé s(t) est quasiment sinusoïdal.
fp=20fm=1β=0.5
fp=20fm=1β=0.1
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142
• Règle de Carson (signal quelconque)
– largeur du spectre du signal modulé
Fp
Bs
mfBs )1(2 +≈ β
• Exemple:Porteuse à 20 Mhz, FMFréquence max du
signal modulant 20 kHz (audio)pour β=2
Bs=120 kHzpour β=0.1
Bs=40 kHz (identique à AM)
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143
• Comportement en présence de bruit– pour un RSB en entrée supérieur à 5dB
– … donc, augmenter l ’indice de modulation β pour améliorer le RSB en sortie...
– … au prix d ’une augmentation de la largeur de bande Bs
– Bruit basse-fréquence en sortie du démodulateur FM
– … pré-accentuation (amplification) des HF avant modulation
entréesortie RSBRSB 23β=
223
)( fRSBBs
PfB
entrée
entréeBF =
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144
• Modulateurs FM• β<<1 (NFM)
– Chaîne d ’armstrong– VCO (Voltage Controlled Oscillators)
• Oscillateur à Quartz accordable par diode varicap
• … mais variation de fréquence faible (β<<1) pour conserver une bonne linéarité
• β>1 (WFM)– Il est difficile d’obtenir une porteuse stable et une grande
excursion de fréquence– Modulateurs plus complexes
u
ii
u
Comportement capacitif de la diode bloquée
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145
• Multiplication de fréquence et mélangeur
• VCO + PLL (Phased Locked Loop, boucle à verrouillage de phase)
Oscillateur à quartzdiviseur par R
Comparateurde phase
Filtre passe-basfc << Fmin
fx/R
f/N
fx
Diviseur par Nprogrammable
VCOs(t)
m(t)
v0
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146
• Démodulateurs FM• Discriminateur en quadrature
– Fréquence instantanée fi(t)
– Signal modulé e(t)
– Signal modulant m(t) PM:
FM:
Multiplieure(t)
Filtre passe-basfc << fpx(t)
y(t)
s(t)signal BFDéphaseur
))((2 pi ftfr −+π
dttd
ftf pi
)(21
)(∆Φ
+=π
)()( ttmk ∆Φ=
dttd
tmk))((
21
)(∆Φ
=π
))(cos())(2cos()( tUttfUte HFppp Θ=∆Φ+= π
))(2
)(cos()( tmkrtUtx HFp ++Θ=π
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147
• …/...
++++Θ=
Θ++Θ==
))(2
cos())(2
)(2cos(2
))(cos())(2
)(cos()()()(
2
tmkrtmkrtU
tUtmkrtUtetxty
HFp
HFpHFp
ππ
π
Terme HF (2fp) Terme BFéliminé par filtrage passe-bas
[ ]
))(2
)(1)(
))(sin(2
))(2
cos(2
)(
2
22
tmkrU
tstmkrgénéralen
tmkrU
tmkrU
ts
p
pp
−≈⇒<<
−=
+= π
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148
• Exemple de réalisation: circuit accordé sur fp
bobi
ne
Multiplieur
e(t)L C R
C0
Filtre passe-basfc << fpx(t)
y(t)
s(t)signal BF
Exemple pour fp = 10,7 MHz, fréquence intermédiaire des récepteurs FMC = 100pF, C0 = 5pF, L = 2.1mH et R = 1kΩ
Gain
Phase10.7MHz 10.7MHz
Autour de fpdéphasage:
))((2 pi ftfr −+π
Pente r
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149
• Démodulateur à PLL
– Quand la PLL est verrouillée, les phases de e(t) et v(t) sont égales:
– En FM:
Comparateurde phase
Filtre passe-basfc << Fi
VCO v(t)
Sortie du démodulateur s(t)
e(t)
))(2cos()( ttfUte pp ∆Φ+= π
))(2cos()( ∫+= dttsgtfAtv pπ
Équation du VCO
)(2
)())((
21
)( tmg
kts
dttd
tmkπ
π=⇒
∆Φ=
)())((
)()( tsgdt
tddttsgt =
∆Φ⇔=∆Φ ∫
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150
• Exemple/exercice (bande FM)– Porteuse fp= 100 Mhz– Déviation de fréquence maximale ±75kHz– Signal modulant audio, fréquence min 50Hz,
fréquence max 15kHz
– Calculer les indices de modulation maxi et mini– En déduire les largeurs de bande Bs maxi et mini– Etudier et critiquer les schémas de modulation
• Chaîne d ’Armstrong• Chaîne d ’Armstrong et multiplieur• Chaîne d ’Armstrong, multiplieur et mélangeur
• Exercice– Signal modulant m(t)=2Rect(t/T) - 1, avec T=1ms– Porteuse FM à 10Mhz, Largeur de bande Bs = 20kHz– Quel indice de modulation proposez-vous ?