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Modèle biomécanique pour les muscles et les tendons de l'index humain

Rafic Younès, Sahar Fayyad Université Libanaise, Faculté de Génie,

Equipe de recherche 3M Beyrouth, Liban

[email protected]

Fethi Ben Ouezdou Université de Versailles Saint Quentin en Yvelines,

Laboratoire LIRIS, Versailles, France;

[email protected]

Abstract — This paper treats the development of biomechanical model for human index. In our system, the adopted model permits the tensions estimation for the seven muscles and tendons. This model can be offer a best biomechanical and neuromuscular behavior comprehension to our system. So, we will have a simulation tool for the chirurgical reparation acts in the handicap domain. This work permits to: - calculate the joints torques, - correlate between the muscular forces and the joints torques, - estimate the resultant forces using a nonlinear static optimization method. Simple gestures such as the grasp are also simulated. Résumé — Ce papier traite le développement d'un modèle biomécanique pour l'index humain. Le modèle adopté permet l'estimation des tensions dans les sept muscles et tendons du système étudié. Grâce à ce modèle, une meilleure compréhension du comportement biomécanique et neuromusculaire du système est visée. Cela permettra, dans le cadre de l'handicap, de disposer à terme d’un outil pour la simulation des actes de chirurgie réparatrice (transfert de tendon). Le papier permet de : - calculer les couples articulaires, - relier les forces musculaires aux couples articulaires. - estimer les forces résultantes, responsables d'un mouvement dynamique de l'index en employant une méthode d'optimisation statique non linéaire. Des gestes simples tel que le pincement sont simulés.

I. INTRODUCTION Le but de notre étude est de reproduire, grâce à un

ordinateur, des mouvements naturels et des gestes précis de l’index humain. Cependant, le mouvement de l’index est actionné avec les corps musculaires par l’intermédiaire des tendons (le tendon est l'élément intermédiaire agissant comme courroie de transmission entre le corps musculaire et l'os). Donc, pour reproduire un certain geste, on doit maîtriser les relations reliant les efforts musculaires au mouvement des os.

Notre problème peut se décomposer en trois parties :

- Calculer les couples articulaires,

- Relier les forces musculaires aux couples articulaires.

Estimer les forces résultantes, responsables d'un mouvement dynamique de l'index.

II. OS ET ARTICULATIONS DE L’INDEX L’index est constitué d’un os métacarpien MC et de trois

Phalanges [5] : la première phalange P1 (phalanx proximalis), la deuxième phalange P2 (phalanx média) et la troisième phalange P3 (phalanx distalis). Ces quatre os sont mobilisés autour de trois articulations (figure 1) : L’articulation métacarpophalengienne (MCP) lie l’os métacarpien à la première phalange grâce à une articulation «condylienne asymétrique», l’articulation interphalengienne proximale (PIP) et l’articulation interphalengienne distale (DIP) lient la première, la deuxième et la troisième phalange.

L’index possède sept muscles, trois muscles intrinsèques et quatre muscles extrinsèques, qui activent les trois articulations a quatre degrés de liberté.

1-First Dorsal Interosseous ou FDI : ce muscle fléchit l’articulation MCP de l’index et contribue aussi à son abduction.

2- First Palmar Interosseous ou FPI : c’est un muscle intrinsèque dont le point d’insertion proximale se situe sur le métacarpe de l’index. Son point d’insertion distale se situe sur la base ulnaire de la phalange proximale (Figure 1). Sa fonction primaire est de fléchir l’articulation MCP de l’index. Il joue aussi un rôle dans l’adduction de cette articulation, ainsi que dans l’extension des articulations interphalangiennes distale et proximale (IPD te IPP).

3- Extensor Digitorum Commun ou EDC : c’est un muscle extrinsèque dont le point d’insertion proximale se situe sur la surface latérale de l’humérus. Sa première insertion est située au niveau du poignet. Il se décompose ensuite en quatre tendons pour s’insérer sur les phalanges des quatre doigts longs (Figure 2). Pour l’index, son point d’insertion distale se situe sur la base de la phalange secondaire. Il appartient au mécanisme d’extension de l’index. Sa fonction est d’étendre les articulations MCP, IPP et IPD.

4- Flexor Digitorum Profundus ou FDP : c’est un muscle extrinsèque dont le point d’insertion proximale se situe sur la surface antérieure et radiale de l’ulna. Son premier point d’insertion distale se situe au niveau du poignet. Il se décompose ensuite en quatre tendons pour s’insérer sur les phalanges des quatre doigts longs (Figure 2). Pour l’index son point d’insertion distale se situe sur la base de la phalange

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distale. Sa fonction consiste à fléchir les articulations MCP, IPP et IPD.

Figure1. Muscles intrinsèques des doigts longs

5- Lumbrical de l’index ou IL : c’est un muscle intrinsèque dont le point d’insertion proximale se situe sur la surface radiale du tendon du FDP de l’index.

Une des propriétés spécifiques aux lumbricaux est relative au fait qu’ils s’insèrent sur les tendons des autres muscles et non pas sur des os (Figure 1). Le point d’insertion distale de l’IL se situe sur le mécanisme d’extension de l’index ainsi que sur la partie dorsale du tendon de l’interosseux. Sa fonction est de fléchir l’articulation MCP et d’étendre les articulations IPP et IPD de l’index.

6- Flexor Digitorum Superficialis ou FDS : c’est un muscle extrinsèque dont le point d’insertion proximale se situe sur la base de l’ulna et sur la base du radius. Comme pour le muscle FDP, le tendon de ce muscle se décompose en quatre tendons qui viennent s’insérer sur les phalanges des quatre doits longs (Figure 2). Pour l’index son point d’insertion distale se situe sur la base de la phalange proximale. Sa fonction consiste à fléchir les articulations MCP et IPP.

Figure 2. Muscles extrinsèques des doigts longs

7- Extensor Indicis ou EI : c’est un muscle extrinsèque dont le point d’insertion proximale se situe au milieu de l’ulna. Son point d’insertion distale se situe sur la base de la phalange intermédiaire et il appartient au mécanisme d’extension de l’index (figure 2). Ce muscle se situe en dessous de l’Extensor Carpi Ulnaris. Sa fonction est d’étendre les articulations MCP, IPP et IPD. C’est un extenseur propre à l’index. En fait, parmi les doigts longs, seulement l’index et l’auriculaire possèdent un extenseur propre à chacun.

Pour faciliter le travail, on peut schématiser tous les muscles de l’index par la figure 3 ci-dessous :

Figure 3: Muscles de l’index.

III. MODELISATION DE L’EFFORT MUSCULAIRE Le modèle du tendon représenté ci-dessous (figure 4), a été établi par Martin Lamontagne de l’université de Montréal (Lamontagne, 1900), et ceci pour étudier les propriétés mécaniques et le comportement viscoélastique tendineux.

Figure 4 : Modèle du tendon

Comme ce papier est limité au travail statique et n’étudie pas la dynamique, donc la force dans le tendon FT est considérée comme une force élastique pure de raideur KT, et elle est calculée en utilisant la formule ci-dessous :

( )TOTTT LLKF −= Avec LT0 est la longueur du tendon au repos [An et al]

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Tendon Longueur au repos (mm) FDP 29.4 FDS 27.5 EDC 32.2

EI 21.7 LUM 7 FDI 5 FPI 4

Tableau 1 Longueur des tendons au repos

La représentation mécanique du modèle macroscopique du muscle (Figure 5), a été initialement établie par [7]. Le modèle utilisé est composé d’un ressort linéaire représentant le tendon en pennation associé à un modèle de Hill pour le muscle. La différence entre le modèle de Zajac et celui de Hill est l’angle de pennation (Figure 5).

Figure 5. Modèle musculotendineux de Zajac [7]

En se basant sur une étude géométrique du système, la relation entre la force tendineuse et la force musculaire peut s’écrire :

( )αcosmT FF = Avec FT étant la force tendineuse, Fm la force musculaire et α est l’angle de pennation qui existe entre les fibres musculaires et le tendon. L’angle de pennation change en fonction de la longueur des fibres musculaires, [8]. Il est donné par la formule suivante :

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅= )(arcsin)( 0

0 tLLt αα

Avec L(t) la longueur des fibres musculaires à l’instant t, α0 est l’angle de pennation à la longueur optimale l0 des fibres musculaires. La longueur optimale est la longueur du muscle au repos. Le muscle développe une force maximale à cette longueur et pour une activation égale à l’unité. La valeur de la longueur optimale de chaque muscle est donnée dans le tableau suivant, [3]; La force musculaire est fonction de trois variables, l’activation, la déformation et la vitesse de contraction. Les formules représentatives de l’effort musculaire utilisées dans cette étude sont celles développées par Hill [2]. Elles prennent en compte les raideurs des ressorts et les différentes propriétés physiologiques du muscle. La forme générale de l’équation représentant la force musculaire en fonction des variables physiologiques est :

( )[ ])()()(max εε fpvfcftaFFm +⋅⋅= Où Fm est la force musculaire, Fmax est la force maximale qu’un muscle peut exercer, a(t) est l’activation musculaire, f(ε) et fp(ε) sont des fonctions reliant la force à la déformation des fibres musculaires, fc(v) est une fonction reliant la force a la vitesse de contraction v du muscle.

Muscles L0 cm Muscles L0 cm FPL 5.9 SPI 1.7 EPL 5.7 FDSR 7.3 APB 3.7 FDPR 6.8 AP 3.6 RL 6

EPB 4.3 TPI 1.5 FPB 3.6 FDMi 1.5 APL 4.6 ADMi 1.5 OP 2.4 FDSS 7 FDI 2.5 EDMI 5.5 IO1 2.5 FDPS 6.2 FPI 1.5 FCR 5.2

FDSI 7.2 FCU 4.2 FDPI 6.6 ECRL 9.3

IL 5.5 ECRB 6.1 EI 5.5 ECU 4.5

EDC 5.7 PQ 3 SDI 1.4 PT 5.1 TDI 1.5 SUP 2.7

FDSM 7 BBI 14.2 FDPM 6.6 BRA 10.2

ML 6.6 BRR 27 FoDI 1.5 AC 1.7

TBI 12.1 Tableau 2. Longueur optimale des fibres musculaires

IV. CALCUL DU COUPLE ARTICULAIRE L’équation d’équilibre entre les couples articulaires et les efforts tendineux s’écrit sous la forme suivante [6]:

[ ] [ ] [ ]τα =+⋅⋅ Tm FFTlt cos Avec Fm étant la force musculaire, Ft la force tendineuse et α est l’angle de pennation. L’intégration de l’angle de pennation complique le calcul. Cependant une étude réalisée par Scott [4], montre qu’il vaut mieux négliger l’angle de pennation au lieu de le prendre constant. En effet, dans ce dernier cas, l’erreur engendrée est trop importante. Cette étude ne prendra pas en compte l’angle de pennation. Le modèle inverse consiste à déduire les efforts tendineux à partir des couples articulaires donnés. Etant donné un mouvement prédéfini, le modèle dynamique implémenté dans le simulateur SHARMES donne comme résultats les couples articulaires nécessaires pour la réalisation d’un tel mouvement. Les tensions dans les tendons, devant accomplir ce mouvement, seront calculées par le modèle inverse.

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Etant donné la nature redondante du problème (le nombre de muscles dans le système est largement supérieur au nombre de degrés de liberté), le problème possède une infinité de solutions. Le modèle inverse sera résolu alors par une technique d’optimisation afin de trouver une solution optimale au problème. En général, la technique d’optimisation consiste à calculer les efforts tendineux qui produisent le mouvement désiré, tout en minimisant une fonction coût judicieusement choisie. La méthode de calcul débute en isolant les os les plus éloignés, les phalanges distales. Ensuite on procède en suivant la convention suivante : « chaque tendon qui s’insère sur un os affectera toutes les articulations en amont de son insertion ». Pour illustrer la technique permettant de calculer les éléments de cette matrice, un exemple est détaillé dans ce qui suit. Pour ce faire, le système sur la figure 6 (l’index) est considéré.

Figure 6 : Modélisation de l’index

Ce système est composé de trois articulations de centres de rotation respectifs O1, O2 et O3. On a trois insertions de trois forces extérieures, la première insertion est au milieu de la phalange distale, la deuxième est au milieu de la phalange secondaire et la troisième est au milieu de la phalange proximale. On débute le calcul en isolant tout d’abord la phalange distale. On obtient donc un moment M1 au centre de l’articulation O1, calculé par la relation suivante :

11 11 FIOM ∧= Où le symbole ^ représente le produit vectoriel. 11IO est le vecteur du point d’insertion de la force extérieure 1F au centre de rotation de l’articulation. La deuxième étape est de calculer le moment 2M au centre de l’articulation O2, donné par : 1222 122 FIOFIOM ∧+∧= On isole la phalange distale et la phalange secondaire. 22 IO est le vecteur du point d’insertion de la force extérieure 2F au centre de rotation de l’articulation O2, 12 IO est le vecteur du point d’insertion de la force 1F au centre de l’articulation O2.

La troisième étape est de calculer le moment M3 au centre de l’articulation O3, donné par:

12333 13233 FIOFIOFIOM ∧+∧+∧= Dans cette étape on isole les trios phalanges: distale,

secondaire et proximale. 33IO est le vecteur du point d’insertion de la force extérieure 3F au centre de rotation de

l’articulation O3, 23IO est le vecteur du point d’insertion de la

force extérieure 2F au centre de rotation de l’articulation O2, 13IO est le vecteur du point d’insertion de la force extérieure

1F au centre de rotation de l’articulation O3.

V. PROBLEME A RESOUDRE Nous proposons pour notre problème de choisir comme critère d’optimisation la somme des efforts musculaires, [10] :

F=∑=

7

1)(

i

pFi , p>0

On choisit donc la fonction coût à optimiser comme étant la somme du carré de l’effort musculaire, elle est représentée par la formule suivante :

F=∑=

7

1

2)(i

Fi

Et comme ce travail est fait sur l’index donc on a 7 muscles, alors le problème est réduit à trouver la solution du système ci-dessous en cherchant à résoudre :

Min de F=∑=

7

1

2)(i

Fi

Sous les trois contraintes suivantes: 1-[Tlt].[Fm+ k.X] = [τ] avec [Tlt] est une matrice qui dépend de l’anatomie du système et de la configuration instantanée de la main et donc du vecteur des positions articulaires q(t). Les termes de la matrice [Tlt] sont homogènes à des distances représentant les bras de levier entre le point d’insertion de la force tendineuse et le centre de rotation de l’articulation concernée. Pour le cas étudié cette matrice est de dimension (4x7). Fm+K.X est un vecteur de longueur 7, il représente la somme de la force musculaire et de la force tendineuse. 2-Fmi > [0 0 0 0 0 0 0 ], les sept forces musculaires sont positives.

3-Xi > [0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0 0.1 0], Xi représente l’allongement de chacun des sept tendons de la main.

VI. RESULTATS ET DISCUSSION Dans cette partie on a traité quatre cas de configurations, cela signifie qu’on a changé les trois angles articulaires quatre fois. Les angles articulaires de l’index sont les suivants : θDIP (Articulation Interphalangienne distale), θPIP (Articulation Interphalangienne Proximale), θMP (Articulation Métacarpophalangienne). On a passé de la configuration verticale vers la configuration où l’index est plié le maximum

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pour pouvoir prendre une idée sur les allongements minimaux et maximaux des tendons de l’index.

A. Premier cas de configuration : En se basant sur l’étude faite par K. N. An, E. Y. Chao, W. P. Cooney, et R. L. Linscheid [1] sur les forces de la main durant différentes fonctions, les valeurs des charges extérieures ainsi que les angles des différentes articulations sont choisis, pour ce premier cas. On a: F1=109N, F2=38N, F3=73N, θDIP =23°, θPIP =48°, θMP =62°. Les couples articulaires seront calculés en utilisant la méthodologie du paragraphe 4. Tout calcul fait on est arrivé au résultat suivant : τ = [0 946.6 488.8 130.6] N.cm En optimisant par Matlab, on a pu dessiner les déformations des tendons de l’index en fonction de leurs raideurs ainsi que la force tendineuse et musculaire de FDP en fonction de la raideur encore. Les graphes des résultats obtenus pour ce cas de configuration sont les suivants :

On constate que EI (extensor indicis) a la plus grande élongation. Elle est de 2.3mm lorsque la raideur est de 200N/cm. La force tendineuse augmente avec l’augmentation de la raideur tandis que la force musculaire diminue de la même valeur.

B. deuxième cas de configuration ; Dans ce cas on aura les valeurs suivantes des angles articulaires :

θDIP =30°, θPIP =60°, θMP =62°. On garde les mêmes valeurs des charges extérieures. Tout calcul fait, on obtient comme couple articulaire pour ce nouveau cas de configuration : τ = [0 793.8 514.517 136] N.cm

L’allongement de l’estensor indicis est arrivé jusqu’à 7 mm tandis que celui de l’extensor digitorium common est arrivé jusqu’à 4 mm. Le graphe représentant les deux forces musculaires et tendineuses en fonction de la raideur du flexor digits profondus est ci-dessus.

C. Troisième cas de configuration : L’index est dans la position verticale ce qui conduit aux valeurs suivantes pour les angles articulaires : θDIP =0°, θPIP =0°, θMP =0° Le vecteur couple articulaire aura comme valeur : τ = [0 915 456.25 136.25] N.cm et ceci pour les mêmes valeurs de charge extérieure que les deux cas précédents. La déformation des tendons de l’index en fonction de sa raideur est donnée dans le graphe ci-dessous :

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D. Quatrième cas de configuration : Dans ce cas, l’index est plié le maximum possible : θDIP =80°, θPIP =120°, θMP=20° avec les mêmes charges extérieures que précédemment. Le couple articulaire calculé dans ce cas a comme valeur : τ =[ 0 98.39 327.14 136.24].

Dans cette partie on garde les mêmes angles articulaires et on fait varier les charges extérieures en deux cas : Premier cas de la charge extérieure : Dans ce cas on aura les valeurs suivantes des angles articulaires :θDIP =30°, θPIP =60°, θMP =62° . On garde les mêmes valeurs des charges extérieures, F1=109N F2=38N F3=73N. Tout calcul fait, on obtient comme couple articulaire pour ce nouveau cas de configuration : τ = [0 793.8 514.517 136] N.cm

Deuxième cas de la charge extérieure : On divise chacune des charges extérieures par deux, donc le couple articulaire sera divisé à son tour par deux ; et par suite l’allongement des tendons diminue.

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Troisième cas de charge : Les charges extérieures seront divisées par trois, donc le couple articulaire divisé sera divisé par trois, tout calcul fait on obtient les résultats suivants :

.

VII. CONCLUSION 1-Lors du mouvement de la prise de force, le grasp, les

deux forces des deux muscles le Lumbrical et le first palmar

indicis sont nulles. C'est-à-dire les deux forces musculaires et tendineuses sont nulles. Donc ces deux muscles ne travaillent pas pendant le grasp.

2- La force musculaire diminue avec l’augmentation des raideurs des tendons tandis que la force tendineuse augmente sachant que leur somme reste constante.

3-L’allongement des tendons diminue avec l’augmentation des raideurs. En effet Ft=K.X, la raideur et l’allongement sont inversement proportionnels.

4-L’allongement des tendons varie de 1mm à 7mm dans ce cas étudié.

5-la force musculaire et la force tendineuse sont symétriques par rapport à un axe parallèle à x’x qui est l’axe des raideurs des tendons.

6-lorsque les charges extérieures diminuent, les allongements des tendons diminuent et inversement lorsque les charges extérieures augmentent, les allongements des tendons augmentent.

Il est cependant important de prévoir en perspective à ce travail des essais sur des tendons réels permettant de déterminer la raideur avec une précision évoluée.

REFERENCES

[1] An K.N., Chao E.Y., Cooney W.P. & Linscheid R.C., "Forces in the normal and abnormal hand". Raven press, New York, 3:202-211, 1985.

[2] Hill A.V., "the heat of shortening and the dynamic constants of muscle". Proceedings of the Royal Society of London, Serie B. 136-195, 1938.

[3] Lieber R.L., "Skeletal muscle is a biological example of a linear electro-active actuator". Proceedings of SPIE's 6th Annual International Symposium on Smart Structures and Materials. 3669-03. 1999, San Diego, Ca, USA.

[4] Scott S.H. & Winter D.A., "A comparison of three muscle pennation assumptions and their effect on isometric and isotonic foce". Journal of Biomechanics, 24:163-167, 1991.

[5] Chalfoun J., "Prédiction des efforts musculaires dans le système main avant-brat: Modélisation, simulation, optimisation et validation". Thèse de doctorat, Université de Versailles, 2005.

[6] J. Chalfoun, M. Renault, R. Younes, F.B. Ouezdou, “Muscle Forces Prediction of the Human Hand and Forearm System in Highly Realistic Simulation”. IROS 2004, Japan.

[7] Zajac F.E., "Muscle and tendon: properties, models, scaling, and application to biomechanics and motor control". Critical Reviews in Biomedical Engineering, 17:359-411, 1989.

[8] Lloyd G.D. & Besier F.T., "An EMG-driven mussculoskeletal model to estimate muscle forces and knee joint moments in vivo". J. Biomechanics, 36:765-776, 2003.

[9] Lamontagne, M. Développement méthodologique pour la mesure in vivo de la tension dans le tendon rotulien chez l'humain. Doctoral Thesis, École Polytechnique de l'Université de Montréal, Montréal. (1986).

[10] Sereig A. & Arvikar R., "Biomechanical analysis of the musculoskeletal structure for medecine and sports". Hemisphere Publishing Corporation, 1989,