Cómo Planck introdujo la constante h: una interpretación.

Víctor Romero RochínInstituto de Física, UNAM

Clase de IFC10 de agosto de 2018

MAX PLANCK

(1858 – 1947)

• Nació en Kiel, Alemania.

• Estudio bajo Kirchhoff y Helmholtz.

• Profesor de la Universidad de Berlín.

• Descubre h en 1900.

• Premio Nobel 1918 por “el establecimiento y desarrollo de la teoría de los cuantos elementales”.

TERMODINAMICA (1840�s)

... Carnot, Helmholtz, Mayer, Kelvin, Clausius

E W QD = +

Trabajo CalorQ T S= D

Temperatura S ENTROPIA

2a LEY: La entropía NO disminuye en ningúnproceso de un cuerpo aislado.

1a LEY: Conservación de la energía

¿Qué es la entropía?

Ludwig Boltzmann 1872

lnS k W=

Número de estados “microscópicos”POSIBLES de un estado “macroscópico”.

... resultado estadístico!

2a LEY: S (CASI) nunca disminuye ...

... a muchos no les gustó, incluyendo a Planck.

RADIACION DE CUERPO NEGROGustav Kirchhoff 1859

Un cuerpo a temperatura T en equilibrio termodinámico con radiación electromagnética

¡UNIVERSAL e independiente del material!

cantidad de energía de radiación, por volumen,con frecuencia n y a temperatura T

CUERPO NEGRO: absorbancia = 1. Toda la radiación que( , )v Trabsorbe la emite y es igual a

( , )Tr n =

( , )absorbancia

emisividadTr n=

LA LEY DE WIEN 1893

Con argumentos puramente de termodinámica y electrodinámica:

3( , ) ( )T v fTnr n =

... con algunos datos experimentales y con la observación quea mayor temperatura un cuerpo emite a más altas frecuencias

Wilhelm Wien

3( , ) TT enb

r n an-

!“Ley de desplazamiento” de Wien ... verificada aprox. en 1897

Ley de desplazamiento de Wien

T2 > T1

r(n,T) = a n3 e- b n / TT2

T1

r(n,T)

n

... entra Planck en la escena: Desde 1890 en adelante decideestudiar el problema del cuerpo negro.

Su meta es deducir la irreversibilidad (2a Ley de la Termo)con el problema del cuerpo negro, usando sólo mecánicay electrodinámica.

Usando el resultado de Kirchhoff de que la emisividad nodepende del material que compone al cuerpo, introduce elMODELO en el que supone que el cuerpo está compuestopor osciladores independientes.

Osciladores = “resortitos” de masa m y frecuencia n

... Boltzmann le señala el “error” en su trabajo inicial! (1897)Insiste que debe hacerse un tratamiento estadístico.

¡La fórmula crucial! Junio de 1899

Siguiendo la sugerencia de que el problema del equilibriotermodinámico entre la radiación y los osciladores del cuerponegro es estadístico, Planck deduce:

Energía promedio de un oscilador de frecuencia n a temperatura T

... El “truco” es ahora concentrarse en calcular

y “olvidarse” de la radiación!

2

3 ( ,, ) )8( vTc

u Tn pr n=

( , )u Tn

PRIMER INTENTO ... Junio de 1899

Planck se propone deducir la fórmula de Wien

3( , ) TT enb

r n an-

!

Usando la “fórmula crucial” y el resultado termodinámico

1 sT u

¶=¶

“Postula” (no sabe como deducirlo!): ln 1u usabn n

é ù= - -ê úë û

Planck nota lo siguiente: 2

2

1 0su u¶

= - <¶

... y sale la ley de Wien!

(2a LEY)

Apéndice: “Deducción” de la Ley de Wien.

ln 1u usabn n

é ù= - -ê úë û1) De la entropía:

2) Calculamos la temperatura:

1 sT u

¶=¶

1 ln uabn n

= - Tu a enb

n-

=Þ

3) Sustituimos en la fórmula crucial:2

3

8( , ) vT ucpr n =

Þ 3

8 acpa =3( , ) TT e

nbr n an

-= donde

LOS EXPERIMENTOS ... Octubre de 1900

Lummer y Pringsheim, y Rubens y Kurlbaum realizan experimentos a frecuencias bajas(longitud de onda largas) y hallan que la fórmula de Wien es incorrecta! Su resultado indica

2( , )T A Tr n n»... para n bajas

... El “chisme” es que Rubens se lo platica a Planck en una comidael domingo 7 de octubre, y desde ese mismo día empieza Planck su trabajo hacia la introducción de h.

Aparato de Rubens y Kurlbaum para medirla intensidad de la radiación de cuerpo negro.

LA INTERPOLACION ... Octubre 19 de 1900

3( , ) TT enb

r n an-

= Wien. Debe ser correcta en algúnlímite ... frecuencias grandes.

2( , )T A Tr n n» Resultado experimental correctoa frecuencias pequeñas.

Planck nota:

(a)

(b)

2

2

1su u¶

= -¶

2

2 2

s Au u¶

= -¶

Þ (a) Þ (b)

Propone:2

2 2 ( )su u g u

gn

¶= -

¶ +( ) 0g n ® si 0n ®( )g n ®¥ si n ®¥

ln( ) ( )

s uu g u g

gn n

¶= -

¶ +Þ 1

T=

... resolviendo para u( )( )

1gT

gue

ng

n=

-

... Usando la “fórmula crucial”2

3

8( , )T ucpnr n =

2

( )3

8 ( )( , )1

gT

gTc

eng

pn nr n =

-

... Pero la ley de Wien:Þ

3( , ) ( )T fTnr n n=

3

3

8 1( , )1T

aTc e

nb

p nr n =-

Þ ( )g avn =

Þ

El 19 de octubre Planck reporta su resultado ante la AcademiaPrusiana de Ciencias ... esa misma noche Rubens verifica que lafórmula de Planck ajusta los resultados experimentales mejor quecualquier otra fórmula, y al día siguiente se lo comunica a Planck

Planck inicia lo que luego llamará “el trabajo más extenuantede mi vida” para encontrar una deducción correctade la entropía de un oscilador que de lugar a su fórmulainterpolada.

... Recurre de nuevo a las ideas estadísticas de Boltzmann!

... de nuevo:2

3 ( ,, ) )8( vTc

u Tn pr n=

energía PROMEDIO de un oscilador de frecuencia n

Considere N osciladores de frecuencia n y suponga que tienen energía total dada U Þ ( , )u T U

Nn =

¿ cómo obtenemos la dependencia en la temperatura T ?

Boltzmann ... lnS k W=Número total de estados “microscópicos” de los N osciladores cuyaenergía total sea igual a U

entropía

entonces 1T U

S¶=¶

W = ?

LA HIPOTESIS CUANTICA, 14 de diciembre de 1900

La idea es calcular el número de maneras diferentes de repartir la energía U entre los N osciladores. Planck divide la energía total Uen P pedacitos iguales (CUANTOS!) de energía e

U Pe=W = número de maneras de repartir P pedacitos en N osciladores

( 1)!( 1)! !NNPP

W + -=

-... en lnS k W=

Þ 1 ln 1 lnU U US UN N N N

kNe e e e

é ùæ ö æ ö= + + -ç ÷ ç ÷ê úè ø è øë û

(... se usó la fórmula de Stirlings ln ! lnN N N N» - para N grande)

... usamos termodinámica:1T U

S¶=¶

como ( , )u T UN

n = Þ ( , )1Tk

u Tee

en =-

... en la “fórmula crucial”

Þ2

3

8( , )1kT

Tc e

e

pn er n =-

2

3

8( , ) ( , )T u Tcpnr n n=

Planck halló:

2

3

8( , )1kT

Tc e

e

pn er n =-

LA CONSTANTE h

pero ... la Ley de Wien debe obedecerse3( , ) ( )T fTnr n n=

Por lo tanto he n= he n= Þ

La distribuciónde Planck:

3

3

8 1( , )1

hkT

hTc e

n

p nr n =-

“Sobre la teoría de laley de la distribuciónde la energía delespectro normal”

COMENTARIOS FINALES

• ¿Por qué Planck no tomó el límite 0e ® ?

si lo hubiera tomado hubiera hallado la fórmula de frecuenciasbajas (seguro lo hizo!), que no ajusta el espectro.

• Planck se aferró a h porque estaba de acuerdo al experimento... esperaba que h tuviera un significado en la teoría de la radiaciónelectromagnética clásica. A hn le llamó el “cuanto de la energía”.

•Tardó muchos años en “reconocer” que había descubierto lamecánica cuántica y que es irreconciliable con la clásica.

•La expresión a bajas frecuencias es ahora conocida como lafórmula de Rayleigh (1900)-Jeans (1905). No es claro siPlanck la conocía, pero si sí, no la quiso usar.

• De cualquier manera, entendió que tanto h como k (ahora llamadaconstante de Boltzmann) eran constantes fundamentales:

• Con la constante k, la constante Rde los gases, y la constante Faraday F:

230 6.175 10N » ´

104.69 10e -» ´ esu161.38 10k -= ´ erg/K 276.63 10h -= ´ erg.sec

230 6.023 10N = ´ 104.80 10e -= ´ esu

Max Planck: Un revolucionario renuente

30 años después, Planck describió así esos días como “un actode desesperación ...había luchado con el problema por seis años(desde 1894) sin éxito; sabía que el problema era de importanciafundamental para la física; yo conocía la fórmula que reproducíala distribución de la energía en el espectro normal; una interpretaciónteórica tenía que ser hallada a cualquier costo, por alto que fuera”

Se describe a si mismo capaz de sacrificar todas sus conviccionesexcepto las dos leyes de la termodinámica ... cuando halló que lahipótesis de los cuantos de la energía eran la salvación, la consideró“una suposición meramente formal, y no le di demasiada atención,excepto por lo siguiente: yo tenía que obtener un resultado positivo,bajo cualquier circunstancia y a cualquier costo”.