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Araraquara 2011
Maria Helena S. S. Bizelli Sidinéia Barrozo
CÁLCULO
para um Curso de Química Volume 2
Prefácio
Este material foi elaborado para ser o material de apoio aos alunos que cursam a disciplina Cálculo Diferencial e Integral II, ministrada no segundo semestre dos cursos de Licenciatura e Bacharelado em Química da Unesp, Campus de Araraquara. Estes cursos, assim como os demais cursos de Química da Unesp, concentram o conteúdo de Cálculo Diferencial e Integral em dois semestres, o que os diferenciam da maioria dos cursos da área de exatas, que normalmente distribui tal conteúdo ao longo de quatro semestres, tratando do Cálculo de uma variável nos dois primeiros semestres e do Cálculo de duas variáveis nos dois semestres subsequentes. Esta particularidade sugere um material mais específico, que contemple os tópicos que devam ser trabalhados e, ao mesmo tempo, os apresentem em uma sequência lógica e harmoniosa, focando a compreensão e a aplicação dos conteúdos. Além disso, é mais motivador ao aluno um material que apresente aplicações voltadas para a área, favorecendo a apreensão do conhecimento adquirido. Assim, com esse intuito, desenvolvemos este material, o qual vem sendo utilizado e reformulado ao longo dos últimos anos e apresentando bons resultados. Esperamos que possa ser útil também a outros cursos de Química.
Gostaríamos de observar que, seguindo a sequência programática da disciplina, este volume contém o estudo de técnicas de integração, equações diferenciais ordinárias, funções de duas variáveis, derivadas parciais, integração múltipla e uma introdução ao estudo do cálculo vetorial, enfatizando a integral de linha.
Maria Helena S.S. Bizelli
Sidinéia Barrozo
5 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Sumário
Capítulo 1 – Alguns Métodos de Integração ............................... 09
Integrais Imediatas ..................................................................... 11
Mudança de Variáveis ....................................................... 13
Outras Substituições .................................................... 15
Integração por Partes ............................................................ 19
Integração de Potências e Funções Trigonométricas ............ 25
Integração por Substituições Trigonométricas ........................... 44
Integração por Frações Parciais .................................................. 52
Exercícios Extras .......................................................................... 59
Capítulo 2 – Equações Diferenciais Ordinárias ......................... 63
Introdução ............................................................................. 64
Equações Diferenciais de Primeira ordem ................................. 66
Problemas de Valor Inicial .......................................................... 69
Equações de Primeira Ordem Separáveis................................... 72
Aplicações .................................................................................... 79
Equações de Primeira Ordem Lineares ............................... .. 101
Aplicações ............................................................................ ... 105
Campo de direções .................................................... 114
Exercícios Extras .................................................................... 135
Capítulo 3 – Funções de Várias Variáveis ................................ 140
Introdução........................................................................... 141
Sistema Tridimensional de Coordenadas ................................. 142
A fórmula da distância no espaço ............................................. 147
A equação de uma esfera .......................................................... 149
Funções de Duas Variáveis ....................................................... 155
Gráfico de uma Função de Duas Variáveis ............................. 161
Curvas de Nível ......................................................................... 164
Exercícios Extras .................................................................... 176
Capítulo 4 – Derivadas Parciais ............................................... 188
Introdução........................................................................... 189
Derivadas Parciais .................................................................... 190
Aplicações das Derivadas Parciais .......................................... 195
Cálculo de Derivadas Parciais ................................................. 198
Função Composta – Regra da Cadeia ................................ 205
Interpretação Geométrica ..................................................... 218
Derivadas Parciais de Segunda Ordem .............................. 223
Extremos de Funções de Duas Variáveis ................................ 229
Teste da Segunda Derivada ...................................................... 235
Diferencial de uma Função de Duas Variáveis ................ 250
Derivação Implícita .................................................................. 273
Exercícios Extras .................................................................... 276
Capítulo 5 – Integrais Múltiplas ............................................... 284
Introdução .................................................................................. 285
Integrais Duplas ................................................................. 285
Integral Dupla sobre uma Região ........................................ 292
Aplicações das Integrais Duplas .......................................... 309
Integrais Triplas ...................................................................... 318
Coordenadas Polares ................................................................. 324
Integrais Duplas em Coordenadas Polares ........................ 329
Coordenadas Cilíndricas e Esféricas........................................ 333
Exercícios Extras .................................................................... 346
Capítulo 6 – Cálculo Vetorial .................................................... 352
Vetor .................................................................................. 353
Operações com Vetores ......................................................... 362
O Produto Escalar ou Produto Interno ............................... 368
O Produto Vetorial ................................................................. 374
Equações Paramétricas de Retas ......................................... 378
Campo Vetorial ......................................................................... 386
Derivada Direcional .................................................................. 388
Integral de Linha ....................................................................... 400
Algumas Aplicações ................................................................. 418
Exercícios Extras .................................................................... 446
Apêndice ......................................................................................... 456
Referências Bibliográficas .......................................................... 464
Respostas dos Exercícios ............................................................ 466
Sobre as Autoras .......................................................................... 511
9 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Capítulo 1
Alguns Métodos de Integração
O QUE VOCÊ VAI ESTUDAR:
• Como determinar a integral indefinida através de outras mudanças de variáveis.
• Como determinar a integral indefinida através do método de integração por partes.
• Como determinar a integral indefinida através do método de potências de funções trigonométricas.
• Como determinar a integral indefinida através do método de substituições trigonométricas.
• Como determinar a integral indefinida através do método das frações parciais.
10 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Alguns Métodos de Integração
No curso de Cálculo Diferencial e Integral I fizemos uma introdução à integração, onde foram trabalhadas as funções que possuem integrais imediatas ou que podem ser calculadas através de uma substituição simples da variável. Faremos uma breve revisão aqui, a fim de situar o leitor a esse respeito.
O cálculo integral consiste em, conhecendo-se a derivada de uma função, encontrar a função primitiva (ou antiderivada) da qual ela provém; ou seja, significa encontrar uma função F(x) cuja derivada seja conhecida. Assim, se a derivada é representada por f(x), a sua primitiva F(x) deverá satisfazer F´(x) = f(x) para qualquer x onde f esteja definida e seja contínua. Assim, por exemplo, uma primitiva da função f(x) = cos x é F(x) = sen x, pois F´(x) = cos x = f(x). É importante lembrar que a primitiva não é única, pois se tomarmos F(x) = sen x + C, onde C é um número real qualquer, ainda teremos F´(x) = cos x = f(x).
Uma primitiva (ou antiderivada) de uma função y = f (x) será denominada também de integral indefinida de f e representada por
( ) ( ) .f x dx F x C= +∫
A função f(x) a ser integrada é denominada de integrando, x é a variável de integração, dx é um símbolo que indica em relação a qual variável a função está sendo integrada e C é a constante de
integração.
A tabela a seguir mostra as primitivas consideradas imediatas, ou seja, que não demandam de cálculos para serem obtidas.
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 11
Integrais Imediatas
1dx dx x C= = +∫ ∫
( )1
11
nn x
x dx C nn
+
= + ≠ −+∫
1lndx x C
x= +∫
sen cosx dx x C= − +∫ cos sen x dx x C= +∫
2sec tg x dx x C= +∫ 2cossec cotg x dx x C= − +∫
sec tg secx x dx x C⋅ = +∫ cossec cotg cossec x x dx x C⋅ = − +∫
( )1
0 e 1ln
x xa dx a C a aa
= + > ≠∫
x xe dx e C= +∫
Propriedades
1. ( ) ( )a f x dx a f x dx⋅ =∫ ∫ onde a é uma constante.
2. ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx ± = ± ∫ ∫ ∫
LEMBRETE: A integral do produto não é o produto das integrais, assim como a integral do quociente também não é o quociente das integrais, ou seja, em geral temos
12 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) e ( )
( )
f x dxf x
f x g x dx f x dx g x dx dxg x
g x dx≠ × ≠
∫∫ ∫ ∫ ∫
∫
Observamos que nem toda função possui primitiva, ou seja, existem algumas funções para as quais não conseguimos escrever suas integrais indefinidas em termos de funções elementares. Um
exemplo clássico desse tipo de funções é 2
( ) xf x e= que, embora
pareça ser uma função bem simples, só pode ser integrada numericamente. Todavia, para calcular as primitivas daquelas funções que são integráveis, nos valemos de vários métodos, cada um deles adequado a um tipo de função. Existem vários deles, porém trataremos aqui somente daqueles que julgamos mais necessários para o desenvolvimento das teorias seguintes, como resolução de Equações Diferenciais, por exemplo. O estudante que tiver necessidade de resolver alguma integral que não tenha sido abordada nesse material, poderá recorrer à bibliografia indicada ou às tabelas de integração apresentadas no final deste material. Observamos ainda que a abordagem dada neste capítulo é mais técnica, preparando o estudante com ferramentas matemáticas que serão utilizadas na resolução de problemas futuros.
Inicialmente faremos uma rápida revisão da mudança de variável estudada no Cálculo I, seguida de outras possibilidades de substituições e, na sequência, estudaremos os métodos de integração por partes, de potências de funções trigonométricas, por meio de substituições trigonométricas e por meio de frações parciais.
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
Mudança de Variáveis
Este método consiste em tomar uma parte da função a ser integrada e representá-la por outra letra, digamos, a letra uexpressão geralmente é uma parte do integrando cuja derivada, ou o produto dela por uma constante, também aparece no integrando, multiplicando dx. Com esta mudança, o integrando passa a ser função de u e a integral torna-se simples de ser calculada. Vejamos alguns exemplos:
EXEMPLO 1 Calcule 2
.x
x e dx∫ Solução
Observe que a função a ser integrada possui o termo xderivada, 2x, também aparece no integrando, multiplicando menos da constante 2. Este é, portanto, um caso típico de função cuja integral se resolve pelo método de mudança de variável, pois fazendo
2u x= , obtemos 1
22 2
dudu x dx x dx du= ⇒ = = ,
ou seja, mudamos adequadamente a variável x para u e, com isso, obtemos uma integral mais simples de ser calculada, agora na variável u:
2xx e dx∫ =
1 1
2 2u ue du e C= +∫ .
Todavia, não queremos a resposta em u, pois nossa função original é função da variável x. Para retornarmos à variável x, basta substituirmos a variável u da resposta pela sua expressão em seja, basta fazermos a substituição de u por x2 na resposta final obtida. Assim, teremos
2xx e dx∫ =
21
2xe C+ .
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 13
Este método consiste em tomar uma parte da função a ser u. Esta
expressão geralmente é uma parte do integrando cuja derivada, ou o produto dela por uma constante, também aparece no integrando,
. Com esta mudança, o integrando passa a ser Vejamos
x2, cuja , também aparece no integrando, multiplicando dx, a
típico de função cuja integral se resolve pelo método de mudança de variável, pois
e, com isso, obtemos uma integral mais simples de ser calculada, agora na
, pois nossa função original é , basta
da resposta pela sua expressão em x, ou na resposta final
14 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
EXEMPLO 2 Calcule 2tg secx x dx∫ por dois meios diferentes:
(i) Fazendo tgu x= ;
(ii) Fazendo secu x= .
Explique a diferença entre os resultados. Solução
(i) 2tg secu x du x dx= ⇒ = .
2 2
2 tgtg sec
2 2
u xx x dx u du C C∴ = = + = +∫ ∫ .
(ii) sec sec tgu x du x x dx= ⇒ = . 2 2
2 sectg sec sec sec tg .
2 2
u xx x dx x x x dx u du C C∴ = = = + = +∫ ∫ ∫
Observamos que para cada escolha de u obtivemos uma solução diferente para a integral. No entanto, um olhar mais cuidadoso para as soluções, sugere que elas estão relacionadas de algum modo, pois trata-se de potências de funções trigonométricas e sabemos ser
verdadeira a identidade 2 2tg 1 secx x+ = , para todo x. Assim,
dividindo ambos os lados desta equação por 2 , obtemos 2 2tg 1 sec
2 2 2
x x+ = ,
o que implica que 2 2tg sec 1
2 2 2
x x− = − ,
ou seja, a função 2tg
( )2
xf x = difere da função
2sec( )
2
xg x = por
uma constante. Logo, ambas são primitivas de função dada, já que duas primitivas de uma mesma função se diferem apenas por uma constante, conforme visto no Cálculo 1.
por dois meios diferentes:
tg sec sec sec tg .x x dx x x x dx u du C C∴ = = = + = +
obtivemos uma solução diferente para a integral. No entanto, um olhar mais cuidadoso para
que elas estão relacionadas de algum modo, pois se de potências de funções trigonométricas e sabemos ser
. Assim,
por
uma constante. Logo, ambas são primitivas de função dada, já que duas primitivas de uma mesma função se diferem apenas por uma
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
Outras substituições
As mudanças de variáveis vistas acima foram trabalhadas noCálculo 1 e apresentadas aqui apenas com o intuito de relembrar um pouco esta técnica. Porém, a situação descrita acima não é a única em que a mudança de variável simplifica a função a ser integrada. Existem outras possibilidades de mudanças de variáveis facilitam muito o cálculo da integral e, dentre elas, citamos os casos onde aparecem raízes de funções no integrando. A idéia, nestas situações, é fazer uma mudança que possibilite a troca da raiz por um polinômio, uma vez que os polinômios são facilmeintegráveis. Os exemplos abaixo ilustrarão como isso ocorre.
EXEMPLO 3 Calcule 2 1t t dt+∫ .
Solução
Observe que não estamos no caso típico de mudança de variável visto no Cálculo 1. Porém, é possível substituir o integrando por uma expressão que não contenha a raiz quadrada, considerando
1 + t = u2. Com isso, teremos
2 21 1 e 2u t t u dt u du= + ⇒ = − = .
Substituindo no integrando temos
( ) ( )2 4 2 6 4 2
7 5 3
1 2 2 1 2 2
22 .
7 5 3
t t dt u u u u du u u u du
u u uC
+ = − + = − + =
= − + +
∫ ∫ ∫
Para retornarmos à variável t, basta substituir a variável solução, pela sua expressão em t, ou seja, por (1 + t )1/2, obtendo
2 7/2 5/2 3/22 4 21 (1 ) (1 ) (1 )
7 5 3t t dt t t t C+ = + − + + + +∫
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 15
As mudanças de variáveis vistas acima foram trabalhadas no Cálculo 1 e apresentadas aqui apenas com o intuito de relembrar um pouco esta técnica. Porém, a situação descrita acima não é a única em que a mudança de variável simplifica a função a ser integrada. Existem outras possibilidades de mudanças de variáveis que facilitam muito o cálculo da integral e, dentre elas, citamos os casos onde aparecem raízes de funções no integrando. A idéia, nestas situações, é fazer uma mudança que possibilite a troca da raiz por um polinômio, uma vez que os polinômios são facilmente
de variável orém, é possível substituir o integrando por
considerando
t t dt u u u u du u u u du+ = − + = − + =
a variável u, da , obtendo
t t dt t t t C .
16 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
EXEMPLO 4 Calcule 5 2 4x x dx+∫ .
Solução
Por se tratar de uma raiz quadrada, aplicaremos o mesmo procedimento adotado no Exemplo 3, ou seja, faremos x2 + 4 = com o objetivo de eliminar a raiz do integrando. Com isso teremos
2 2 2 24 4 2 2u x x u x dx u du x dx u du= + ⇒ = − ⇒ = ⇒ =
Substituindo no integrando temos
5 2 2 2 2 2 24 ( ) 4 ( 4)x x dx x x x dx u uu du+ = + = − =∫ ∫ ∫
7 5 34 2 2 6 4 2( 8 16) ( 8 16 ) 8 16
7 5 3
u u uu u u du u u u du C− + = − + = − + + =∫ ∫
2 7/2 2 5/2 2 3/2( 4) ( 4) ( 4)8 16
7 5 3
x x xC
+ + += − + + .
EXEMPLO 5 Calcule 31
xdx
x+∫ .
Solução
Observe que agora o integrando contém uma raiz quadrada e uma raiz cúbica e seria interessante fazermos uma mudança de variável que eliminasse as duas raízes ao mesmo tempo. Para isso, basta tomarmos para expoente da nova variável, digamos u, o mínimo múltiplo comum entre os índices das raízes que aparecem na função, ou seja, basta fazermos x = u6, já que 6 = mmc(2,3). Assim, teremos
6 56x u dx u du= ⇒ = .
Substituindo no integrando obtemos:
de uma raiz quadrada, aplicaremos o mesmo + 4 = u2
com o objetivo de eliminar a raiz do integrando. Com isso teremos
u x x u x dx u du x dx u du
u u u du u u u du C− + = − + = − + + =
Observe que agora o integrando contém uma raiz quadrada e uma raiz cúbica e seria interessante fazermos uma mudança de variável que eliminasse as duas raízes ao mesmo tempo. Para isso, basta
, o mínimo iplo comum entre os índices das raízes que aparecem na função,
, já que 6 = mmc(2,3). Assim,
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
3 5 8
2 23
66 .
1 11
x u u udx du du
u ux= =
+ ++∫ ∫ ∫
Aqui temos um novo problema: como calcular a integral resultante acima. Para resolver este problema precisamos nos lembrar que se
( )( )
( )P x
H xQ x
=
onde P e Q são polinômios reais e o grau de Q é menor ou igual que o grau de P, então H é dita uma função racional imprópria. PaH se torne uma função racional própria é necessário dividir Paté que o grau do numerador seja menor que o do denominador. Assim, teremos
86 4 2
2 2
11
1 1
uu u u
u u= − + − +
+ +
e, substituindo na integral acima, obtemos:
6 4 223
7 5 3
7/6 5/6 3/61/6 1/6
16 1
11
6 arctg7 5 3
6 arctg .7 5 3
xdx u u u du
ux
u u uu u C
x x xx x C
= − + − + =
++
= − + − + + =
= − + − + +
∫ ∫
OBS: Note que, ao longo da resolução, nos deparamos com a integral
2
1
1du
u+∫
que ainda não aprendemos como resolver. Sempre que isso ocorrer, consulte uma tabela de integração, como a apresentada no final desse livro.
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 17
como calcular a integral resultante acima. Para resolver este problema precisamos nos lembrar que se
é menor ou igual que é dita uma função racional imprópria. Para que
P por Q até que o grau do numerador seja menor que o do denominador.
6 arctg .x x C= − + − + +
Note que, ao longo da resolução, nos deparamos com a
como resolver. Sempre que isso ocorrer, consulte uma tabela de integração, como a
18 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
EXERCÍCIOS 1.1
1. Calcule as seguintes integrais:
a) 2 8(2 3 )x x dx+∫ b) 3
4
xdx
x
+
+∫
c) 4
t
t
e dt
e +∫ d) cos(5 2)x dx−∫
e) 2 1x x dx+∫ f) ∫ + dxxx 1
g) 4t t dt−∫ h) 2tg( )x x dx∫
i) dxx
xx∫
+−−
3
214 43
j) 3
3 2 4
xdx
x +∫
k) 3
1dx
x x+∫ l) 3 9x x dx+∫
m) 5 3 2
xdx
x +∫ n) 1
( 1) 2dx
x x+ −∫
o) 3 1x xe e dx+∫
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
Integração por Partes
Quando estamos interessados em calcular integrais que se
apresentam na forma ( ) ( )f x g x dx∫ , onde f é uma função que pode
ser derivada repetidamente e g é uma função que pode ser integrada repetidamente, ambas sem dificuldades, podemos nos valer de uma técnica denominada Integração por Partes. Este nome se dá pelo fato de que o método consiste em separar o integrando em duas partes, digamos, u = f(x) e dv = g(x) dx e, em seguida, aplicar a fórmula
( ) ( )f x g x dx u dv uv v du= = −∫ ∫ ∫ ,
a qual é denominada “fórmula da integração por partes” .
Observe que devemos fazer uma escolha sobre qual parte iremos chamar de u e qual parte iremos chamar de dv e esta escolha, embora nem sempre seja fácil, muitas vezes é decisiva para o sucesso da resolução. Não existe uma receita para isso, mas uma boa dica é sempre chamar de dv a parte do integrando mais complicada que possa ser prontamente integrada. E não se esqueça de incluir no termo que chamou de dv. Após feita a escolha, é necessário calcular a diferencial de u para obter du e a integral de dv para obter v, ambos presentes na fórmula. O exemplo abaixo ilustrará melhor o que está sendo dito:
EXEMPLO 1 Calcule 2 xx e dx∫ .
Solução
O primeiro passo é sempre a escolha da parte que será chamada de e daquela que será chamada de dv. Temos várias possibilidades para dv:
dx, x2 dx, ex dx ou x2 ex dx.
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 19
Quando estamos interessados em calcular integrais que se
é uma função que pode
é uma função que pode ser integrada repetidamente, ambas sem dificuldades, podemos nos valer de uma técnica denominada Integração por Partes. Este nome se dá pelo fato
r o integrando em duas partes, e, em seguida, aplicar a fórmula
Observe que devemos fazer uma escolha sobre qual parte e esta escolha,
embora nem sempre seja fácil, muitas vezes é decisiva para o sucesso da resolução. Não existe uma receita para isso, mas uma boa
a parte do integrando mais complicada a ser prontamente integrada. E não se esqueça de incluir dx
. Após feita a escolha, é necessário para obter melhor o
O primeiro passo é sempre a escolha da parte que será chamada de u . Temos várias possibilidades para
20 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Dentre estas, a mais complexa que sabemos integrar imediatamente é ex dx. Portanto, fazemos:
2
1
2
.x x
u x du xdx
dv e dx v e C
= ⇒ =
= ⇒ = +
Substituindo na fórmula de integração por partes, obtemos:
2 21 1
2 2 21 1
( ) 2 ( )
( ) 2 2 .
x x x
x x x x
x e dx x e C e C xdx
x e C C x xe dx x e xe dx
= + − + =
+ − − = −
∫ ∫
∫ ∫
Para resolver esta nova integral, aplicamos novamente o método, tomando agora
2 .xx
du dxu x
v e Cdv e dx
== ⇒
= +=
Com isso, obtemos: 2 2 2
2 2
22 2
2 2 ( ) ( )
2 2 2 2 .
x x x x x x
x x x
x e dx x e e xdx x e x e C e C dx
x e xe xC e xC C
= − = − + − + =
= − − + + +
∫ ∫ ∫
( )2 2 2 2x xx e dx e x x C∴ = − + +∫ .
OBS:
1. Note que as constantes de integração, C1 e C2, que
surgiram ao integrar dv e dv , foram canceladas ao longo do desenvolvimento dos cálculos. É possível provar que os termos que contêm estas constantes sempre se anularão neste método e, por isso, não será necessário considerar tal constante quando integrar dv. Assim, daqui por diante, a constante de integração de dv será omitida neste texto.
Dentre estas, a mais complexa que sabemos integrar imediatamente
ral, aplicamos novamente o método,
= − = − + − + =
, que
, foram canceladas ao longo do desenvolvimento dos cálculos. É possível provar que os termos que contêm estas constantes sempre se anularão neste método e, por isso, não será necessário considerar tal
. Assim, daqui por diante, a
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 21
2. Se no início dos cálculos tivéssemos escolhido u = ex e dv = x2 dx, teríamos obtido:
32
3
xx du e dx
u ex
dv x dx v
= =
⇒ = =
e, portanto, a integral se tornaria: 3
2 31
3 3x x xx
x e dx e x e dx= −∫ ∫
que leva a uma integral mais complexa que a original, o que nos indicaria que esta não teria sido uma boa escolha. Do mesmo modo, se decidíssemos mudar a escolha no meio do exercício, ou seja, se ao aplicarmos o método pela segunda vez tivéssemos optado por inverter a escolha das funções, teríamos chego a um resultado inconclusivo, como podemos observar a seguir:
2
2 22 2
2 2 2 2
2
22 2
.
xx
x x x x
x x x x
du e dxu e
xdv xdx v
x xx e dx x e e e dx
x e dx x e x e x e dx
= =
⇒ = =
⇒ = − −
∴ = − +
∫ ∫
∫ ∫
Observamos novamente, com este exemplo, que o sucesso da resolução depende, muitas vezes, da escolha de u e dv. Todavia, nem sempre acertamos na primeira tentativa. A experiência adquirida ao longo dos estudos certamente nos auxiliará nesta tarefa.
22 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
3. Observe que não se trata de uma mudança de variáveis, mas apenas de um recurso intermediário para escrever a integral em uma outra forma, mais fácil de ser calculada. Mantemos a mesma variável independente ao longo de todo o processo, utilizando u, v, du e dv apenas para mudar a forma de escrever a integral.
Este método foi desenvolvido a partir da derivada do produto
de duas funções, conforme podemos ver abaixo.
Observe que se u e v são duas funções diferenciáveis na variável x, então
[ ]( ) ( ) ( ) ( )d dv du
u x v x u x v xdx dx dx
= + .
Integrando ambos os lados em relação à x, obtemos:
[ ]( ) ( ) ( ) '( ) ( ) '( )d
u x v x dx u x v x dx v x u x dxdx
= +∫ ∫ ∫ ,
de onde segue que:
( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )u x v x dx u x v x v x u x dx= −∫ ∫ .
Quando esta equação é escrita na notação de diferenciais, obtemos:
u dv uv vdu= −∫ ∫ ,
a qual é denominada, como já fora dito, fórmula da integração por partes . Assim, para calcular a integral de uma função que se apresenta na forma f(x) g(x) dx, fazemos u = f(x), dv = g(x) dx e aplicamos a fórmula acima.
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
EXEMPLO 2 Calcule lnx x dx∫ .
Solução
Como não sabemos calcular a integral de ln x, não devemos escolhêla para compor dv, ou seja, fazemos
2
1ln
,2
du dxu x xdv xdx x
v
==
⇒ = =
já que x é uma função fácil de ser integrada e ln x é uma função fácil de ser derivada. Substituindo na fórmula de integração por partes, obtemos:
2 2 2
2 2
1ln ln ln
2 2 2 2
ln .2 4
x x x xx x dx x dx x dx
x
x xx C
= − = − =
= − +
∫ ∫ ∫
EXEMPLO 3 Calcule 3sec x dx∫ .
Solução
Neste caso, uma boa estratégia é escrever a integral na forma 2sec secx x dx∫ , uma vez que a função sec2 x pode ser facilmente
integrada. Assim, tomando
2
sec sec tg
tgsec
u x du x x dx
v xdv x dx
= = ⇒
==
e aplicando a fórmula de integração por partes, obtemos: 3 2sec sec tg sec tg .x dx x x x x dx= −∫ ∫
Para efetuarmos o cálculo desta última integral, conforme veremos bem detalhado na próxima seção, substituímos o termo tg2 x por uma expressão equivalente, através das identidades trigonométricas
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 23
, não devemos escolhê-
é uma função fácil de ser derivada. Substituindo na fórmula de integração por partes,
Neste caso, uma boa estratégia é escrever a integral na forma
pode ser facilmente
Para efetuarmos o cálculo desta última integral, conforme veremos por uma
expressão equivalente, através das identidades trigonométricas
24 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
conhecidas, a fim de transformar a função dada em uma outra que propicie alguma facilidade nos cálculos. Assim, fazendo
2 2tg sec 1x x= − , obtemos
3 2sec sec tg sec (sec 1)x dx x x x x dx= − − =∫ ∫
= 3sec tg sec secx x x dx x dx+ −∫ ∫ .
Assim, somando o termo 3sec x dx∫ em ambos os lados da
igualdade, obtemos
312 sec sec tg ln sec tg x dx x x x x C= + + +∫ ,
ou
3 1sec sec tg ln sec tg
2x dx x x x x C = + + + ∫ ,
onde 1
2
CC = .
OBS: A integral sec x dx∫ pode ser encontrada na tabela de
integração, que se encontra no Apêndice desse livro, ou pode ser facilmente calculada, após a utilização de um artifício nada óbvio, como podemos ver abaixo:
sec tg sec sec
sec tg
ln ln sec tg ,
x xx dx x dx
x x
duu C x x C
u
+= =
+
= = + = + +
∫ ∫
∫
onde 2sec tg e, consequentemente, (sec tg sec ) .u x x du x x x dx= + = +
conhecidas, a fim de transformar a função dada em uma outra que propicie alguma facilidade nos cálculos. Assim, fazendo
em ambos os lados da
pode ser encontrada na tabela de
, ou pode ser facilmente calculada, após a utilização de um artifício
sec tg e, consequentemente, (sec tg sec ) .u x x du x x x dx
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 25
EXERCÍCIOS 1.2
1) Calcule as seguintes integrais:
a) ln x dx∫ b) 2 lnx x dx∫ c) 2senx x dx∫
d) senxe x dx∫ e) 3cossec x dx∫ f) ∫− dxex x2
g) senx x dx∫ h) arctg x dx∫ i) lnx x dx∫
j)
(sen ) ln(cos )x x dx∫ k)
sec tgx x x dx∫ l)
3 xx e dx−
∫
m) cos5x x dx∫ n) 2 3xx e dx∫ o) 2 cosx x dx∫
2) A velocidade (no instante t) de um ponto que se move ao longo
de uma reta é dada por 2( ) / tv t t e= m/s. Se o ponto está na origem
quanto t = 0, ache sua posição em um instante t qualquer.
Integração de potências de funções trigonométricas
O cálculo de integrais de funções envolvendo potências de
funções trigonométricas geralmente é feito a partir da substituição
da função por uma equivalente a ela, através das identidades
trigonométricas conhecidas, fazendo com que a nova integral possa
ser resolvida mais facilmente, na maioria das vezes por meio de uma
mudança de variável.
26 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Não trataremos de todos os casos aqui por entendermos que
alguns tipos de integrais raramente serão usadas por um estudante de
Química, porém, os casos omissos poderão ser encontrados nas
tabelas de integrais e nos livros constantes da referência
bibliográfica.
O estudo será dividido em casos, de acordo com o tipo da
função e do expoente. Porém, antes de iniciá-lo, relembraremos as
identidades trigonométricas mais conhecidas, uma vez que a
aplicação deste método exige o seu uso constante e certamente
muitas delas já caíram no esquecimento de uma boa parte dos
estudantes. São elas:
2 2sen cos 1x x+ = 2 1 cos2
cos2
xx
+=
2 1 cos2sen
2
xx
−= 2 2cotg 1 cossecx x+ =
2 2tg 1 secx x+ = 2 2cos(2 ) cos senx x x= −
sen(2 ) 2sen cosx x x= [ ]1
sen cos sen( ) sen( )2
x y x y x y= − + +
[ ]1
sen sen cos( ) cos( )2
x y x y x y= − − +
[ ]1
cos cos cos( ) cos( )2
x y x y x y= − + +
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 27
1º Caso – Potências de Senos e Cossenos:
sen cosm nx x dx∫
onde m e n são inteiros não negativos.
Existem várias possibilidades para uma integral deste tipo, o
que pode ser notado variando as características de m e n, por
exemplo. Assim, o fato destes expoentes serem par ou ímpar
influencia substancialmente no modo de proceder a busca por uma
solução, conforme pode ser visto a seguir.
A) Se a potência do cosseno é ímpar, independente da potência do
seno, a sugestão é guardar um fator do cosseno e usar
2 2cos 1 senx x= −
para expressar os fatores remanescentes em termos de seno. Observe
que isso sempre é possível, uma vez que o expoente, sendo ímpar,
possibilita escrevermos a função de modo a deixar um termo cos(x)
separado e multiplicando o restante, que terá expoente par e,
consequentemente, pode ser escrito como potência de 2. Este termo,
cos2x, é que será substituído, conforme sugestão acima. Esta nova
maneira de escrever possibilita o cálculo da integral através da
mudança de variável
u = sen x fl du = cos x dx.
OBS: Note que esta regra poderá ser utilizada sempre que
houver uma potência ímpar do cosseno, estando ele sozinho
ou multiplicado por qualquer potência positiva de seno.
28 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
EXEMPLO 1 Calcule 5cos x dx∫ .
Solução
Como o expoente é ímpar, o primeiro passo é separar um fator cos
no integrando, fazendo com que o restante seja potência de dois:
( )25 4 2cos cos cos cos cosx dx x x dx x x dx= =∫ ∫ ∫ .
Agora, substituindo cos2x por (1 - sen2x), obtemos
5 2 2cos (1 sen ) cosx dx x x dx= −∫ ∫ ,
cuja integral resultante é facilmente resolvida através do método de
mudança de variáveis. Portanto, fazendo
u = sen x obtemos du = cos x dx e, substituindo na integral, temos:
3 52 2 2 4(1 ) (1 2 ) 2
3 5
u uu du u u du u C− = − + = − + + =∫ ∫
3 52 1sen sen sen
3 5x x x C− + + .
EXEMPLO 2 Calcule 4 3sen cosx x dx∫ .
Solução
Utilizando os mesmos procedimentos do Exemplo 1, teremos
4 3 4 2 4 2sen cos sen cos cos sen (1 sen )cosx x dx x x x dx x x x dx= = − =∫ ∫ ∫
5 74 2 4 6 5 71 1(1 ) ( ) sen sen
5 7 5 7
u uu u du u u du C x x C− = − = − + = − +∫ ∫
sendo que novamente foi usada a mudança de variável u = sen x.
imeiro passo é separar um fator cos x
cuja integral resultante é facilmente resolvida através do método de
e, substituindo na integral, temos:
sen cos sen cos cos sen (1 sen )cosx x dx x x x dx x x x dx= = − =
u u du u u du C x x C− = − = − + = − + ,
.
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
EXEMPLO 3 Calcule 3 5sen cosx x dx∫ .
Solução
Como temos uma potência ímpar de cos x, continuamos com o
mesmo procedimento:
3 5 3 4 3 2 2
3 2 2 3 2 4
4 6 83 5 7
4 6 8
sen cos sen cos cos sen (1 sen ) cos
(1 ) (1 2 )
( 2 ) 24 6 8
1 1 1sen sen sen .
4 3 8
x x dx x x x dx x x x dx
u u du u u u du
u u uu u u du C
x x x C
= = − =
= − = − + =
= − + = − + + =
= − + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
B) Se a potência do seno é ímpar, independente da potência do
cosseno, você pode guardar um fator do seno e usar
2 2sen 1 cosx x= − para expressar os fatores remanescentes em
termos de cosseno. O raciocínio é exatamente o mesmo aplicado no
caso A), porém a mudança de variável para resolver a integral
resultante, neste caso, será u = cos x fl du = -sen x dx. Vejamos
alguns exemplos.
EXEMPLO 1 Calcule 3sen x dx∫ .
Solução
Neste caso, o procedimento é análogo aos exemplos anteriores,
lembrando apenas de separar um fator sen x na expressão da
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 29
, continuamos com o
3 5 3 4 3 2 2sen cos sen cos cos sen (1 sen ) cosx x dx x x x dx x x x dx= = − =
= − + = − + + =
, independente da potência do
cosseno, você pode guardar um fator do seno e usar
para expressar os fatores remanescentes em
termos de cosseno. O raciocínio é exatamente o mesmo aplicado no
porém a mudança de variável para resolver a integral
. Vejamos
Neste caso, o procedimento é análogo aos exemplos anteriores,
na expressão da
30 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
função, a fim de sobrar um fator com expoente par, o qual será
substituído por (1 – cos2x). Assim,
3 2 2
32 3
sen sen sen (1 cos ) sen
1(1 ) cos cos
3 3
x dx x x dx x x dx
uu du u C x x C
= = − =
= − − = − + = − +
∫ ∫ ∫
∫
sendo que a mudança de variável u = cos x foi utilizada.
EXEMPLO 2 Calcule 3 2sen cosx x dx∫ .
Solução
3 2 2 2
2 2
5 322 4 2
5 3
sen cos sen cos sen
(1 cos )cos sen
(1 ) ( )5 3
cos cos.
5 3
x x dx x x x dx
x x x dx
u uu u du u u du C
x xC
= =
= − =
= − − = − = − + =
= − +
∫ ∫
∫
∫ ∫
EXEMPLO 3 Calcule 3 3sen cosx x dx∫ .
Solução
Neste caso, tanto o critério de expoente ímpar de cossenos como de
senos pode ser aplicado para solucionar o problema. Inicialmente
vamos resolvê-lo utilizando o expoente ímpar do seno. Então, a
integral pode ser escrita como
função, a fim de sobrar um fator com expoente par, o qual será
= − − = − = − + =
Neste caso, tanto o critério de expoente ímpar de cossenos como de
senos pode ser aplicado para solucionar o problema. Inicialmente
lo utilizando o expoente ímpar do seno. Então, a
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
3 3 2 3
6 42 3 5 3
6 4
sen cos (1 cos ) cos sen
(1 ) ( )6 4
1 1cos cos
6 4
x x dx x x x dx
u uu u du u u du C
x x C
= − =
= − − = − = − + =
= − +
∫ ∫
∫ ∫
novamente com a mudança de variável u = cos x.
OBS : A escolha de qual termo será substituído por um
equivalente a ele, não é única. Você poderá optar, em muitos
casos, por substituir o seno ou o cosseno, de acordo com sua
preferência ou conveniência. Assim, também poderíamos ter
resolvido o Exemplo 3 considerando potência ímpar de
cosseno, cuja resolução seria:
3 3 2 3 2 3
6 45 3
6 4
sen cos (1 sen ) sen cos (1 )
( )6 4
1 1sen sen
6 4
x x dx x x x dx u u du
u uu u du C
x x C
= − = − =
= − + = − + + =
−= + +
∫ ∫ ∫
∫
com a mudança de variável u = sen x.
Exercício: Verifique que ambas as resoluções estão corretas
calculando suas derivadas ou mostrando que as duas soluções
diferem por uma constante.
C) Se as potências de seno e cosseno são pares, usamos as
identidades:
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 31
A escolha de qual termo será substituído por um
equivalente a ele, não é única. Você poderá optar, em muitos
casos, por substituir o seno ou o cosseno, de acordo com sua
preferência ou conveniência. Assim, também poderíamos ter
iderando potência ímpar de
x x dx x x x dx u u du= − = − =
Verifique que ambas as resoluções estão corretas
calculando suas derivadas ou mostrando que as duas soluções
, usamos as
32 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
2 1 cos2sen
2
xx
−= e 2 1 cos2
cos2
xx
+=
OBS: Note que se a função apresenta potências pares e
ímpares de senos e cossenos, a escolha de qual critério será
usado (potência par ou potência ímpar) fica a cargo do
estudante. Todavia, como neste critério de potência par surge
cosseno de arco duplo, uma mudança de variável a mais será
necessária durante a resolução. Portanto, uma boa dica é usar
este procedimento somente quando apenas expoentes pares de
senos e/ou cossenos aparecerem no integrando. Nestes casos,
todos os termos contendo potências pares devem ser
substituídos. Vejamos alguns exemplos destes casos.
EXEMPLO 1 Calcule 4sen x dx∫ .
Solução
Para podermos utilizar a identidade indicada acima, inicialmente
escrevemos o integrando como uma potência de sen2x. Em seguida,
reescrevemos a função em termos de cossenos e procedemos como
nos casos anteriores. Assim, teremos:
Note que se a função apresenta potências pares e
ímpares de senos e cossenos, a escolha de qual critério será
usado (potência par ou potência ímpar) fica a cargo do
estudante. Todavia, como neste critério de potência par surge
mudança de variável a mais será
necessária durante a resolução. Portanto, uma boa dica é usar
este procedimento somente quando apenas expoentes pares de
senos e/ou cossenos aparecerem no integrando. Nestes casos,
evem ser
Para podermos utilizar a identidade indicada acima, inicialmente
. Em seguida,
evemos a função em termos de cossenos e procedemos como
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 33
( )2
24 2
2
21
21
1 cos 2sen sen
2
1(1 2cos 2 cos 2 )
41 1 1
cos 2 cos 24 2 41 1 1
cos cos ,4 4 8
xx dx x dx dx
x x dx
x C x dx x dx
x C y dy y dy
− = = =
= − + =
= + − + =
= + − +
∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
onde a mudança de variável y = 2x foi introduzida para simplificar
a integral dos dois últimos termos. Observe que as integrais
resultantes são mais simples, porém a última ainda não é imediata e,
para resolvê-la, nos valemos novamente deste método de potências
pares, agora de cossenos. Vamos resolvê-la separadamente a fim de
facilitar a compreensão:
2
2
2 3
1 cos2 1cos (1 cos2 )
2 2
1 1cos
2 41 1
sen2 ,2 4
yy dy dy y dy
y C z dz
y C y C
+ = = + =
= + + =
= + + +
∫ ∫ ∫
∫
onde a mudança z = 2y foi utilizada no cálculo da última integral.
Retomando agora a integral inicial, teremos
4 1 1 1sen ( sen ) sen 2 ,
4 8 2 4
yx dx x y y C
= − + + + ∫
onde C engloba todas as constantes que surgiram ao longo dos
cálculos. Substituindo y por 2x teremos o resultado final esperado:
34 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
4 1 1 2 1sen ( sen 2 ) sen 4
4 8 2 4
3 1 1sen2 sen4 .
8 4 32
xx dx x x x C
x x x C
= − + + + =
= − + +
∫
EXEMPLO 2 Calcule 4 2sen cosx x dx∫ .
Solução
Neste caso, os dois expoentes são pares e, portanto, fazemos as
substituições em ambos os termos. Assim, a integral torna-se:
( )
( )
24 2
2 3
2 3
1 cos2 1 cos 2sen cos
2 2
11 cos2 cos 2 cos 2
81
1 cos cos cos ,16
x xx x dx dx
x x x dx
y y y dy
− + = =
= − − + =
= − − +
∫ ∫
∫
∫
onde a mudança de variável y = 2x fl dx = dy/2 foi utilizada.
A nova integral obtida é a soma de quatro parcelas, sendo que as
duas primeiras são facilmente integráveis e as duas últimas são
potências de cosseno, necessitando portando, dos métodos vistos
acima para calculá-las. Para simplificar o entendimento, novamente
vamos resolvê-las separadamente:
21
1 cos2 1cos sen2
2 2 4
y yy dy dy y C
+ = = + +
∫ ∫ .
pares e, portanto, fazemos as
A nova integral obtida é a soma de quatro parcelas, sendo que as
primeiras são facilmente integráveis e as duas últimas são
itando portando, dos métodos vistos
las. Para simplificar o entendimento, novamente
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
( )
3 2
32 3
2 2
cos (1 sen ) cos
11 sen sen ,
3 3
y dy y y dy
zz dz z C y z C
= − =
= − = − + = − +
∫ ∫
∫
onde a mudança de variável z = sen y foi utilizada .
Retomando do ponto onde havíamos interrompido temporariamente
os cálculos, temos
( )4 2 2 3
3
3
1sen cos 1 cos cos cos
161 1 1
sen sen2 sen sen16 2 4 3
1 1 1sen2 sen
16 2 4 3
x x dx y y y dy
yy y y y y C
yy y C
= − − + =
= − − − + − + =
= − − + =
∫ ∫
3
3
1 2 1 1sen 4 sen 2
16 2 4 3
1 1 1sen 4 sen 2 ,
16 4 3
xx x C
x x x C
= − − + =
= − − +
onde C = C1 + C2 + C3, sendo que C3 é a constante correspondente à
primeira parte da integral.
2º Caso – Potências de Tangentes e
Secantes:
tg secm nx x dx∫
onde m e n são inteiros não negativos.
Análogo ao caso dos senos e cossenos, o fato dos expoentes
serem par ou ímpar interferem fortemente no processo de calcular a
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 35
1 sen sen ,
Retomando do ponto onde havíamos interrompido temporariamente
3y y y y y C
= − − − + − + =
é a constante correspondente à
Potências de Tangentes e
Análogo ao caso dos senos e cossenos, o fato dos expoentes
serem par ou ímpar interferem fortemente no processo de calcular a
36 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
integral. Por isso, serão novamente divididos em casos. Vale
ressaltar que os procedimentos adotados para trabalhar com
tangentes, cotangentes, secantes e cossecantes são todos análogos
aos utilizados para trabalhar com senos e cossenos.
A) Se a tangente aparece sozinha no integrando, independente de
seu expoente ser par ou ímpar, separe um fator tg2x e escreva-o em
termos de sec2x, através da identidade 2 2tg sec 1x x= − ; em
seguida, utilize a mudança de variável 2tg secu x du x dx= ⇒ =
para resolver o problema.
EXEMPLO 1 Calcule 5tg .x dx∫
Solução
5 3 2 3 2
3 2 3
3 2 2
3 2 2
4 23
4 2
tg tg tg tg (sec 1)
tg sec tg
tg sec tg (sec 1)
tg sec tg sec tg
tg ln sec4 2
1 1tg tg ln sec ,
4 2
x dx x x dx x x dx
x x dx x dx
x x dx x x dx
x x dx x x dx x dx
u uu du u du x dx x C
x x x C
= = − =
= − =
= − − =
= − − =
= − − = − − + =
= − − +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
sendo que a mudança de variável u = tg x foi utilizada.
integral. Por isso, serão novamente divididos em casos. Vale
ressaltar que os procedimentos adotados para trabalhar com
ecantes são todos análogos
, independente de
o em
; em
u x du x dx
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
EXEMPLO 2 Calcule 4tg .x dx∫
Solução
4 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
32 2
4 2
tg tg tg tg (sec 1)
tg sec tg
tg sec (sec 1)
tg sec sec
sec tg 3
1 1tg tg ln sec ,
4 2
x dx x x dx x x dx
x x dx x dx
x x dx x dx
x x dx x dx dx
uu du x dx dx x x C
x x x C
= = − =
= − =
= − − =
= − + =
= − + = − + + =
= − − +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
onde a novamente a mudança de variável u = tg x foi utilizada.
B) Se a potência da secante é par, independente do expoente da
tangente, você pode guardar um fator de x2sec e usar
2 2tg 1 secx x+ = para expressar os fatores remanescentes em termos
de tangente. Isso possibilitará calcular a integral pelo método de
mudança de variáveis, a exemplo dos casos anteriores, uma vez que
2(tg ) secd
x xdx
= . Vejamos os exemplos abaixo.
EXEMPLO 1 Calcule 4sec x dx∫ .
Solução
4 2 2 2 2sec sec sec (1 tg ) secx dx x x dx x x dx= = + =∫ ∫ ∫
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 37
foi utilizada.
, independente do expoente da
e usar
para expressar os fatores remanescentes em termos
de tangente. Isso possibilitará calcular a integral pelo método de
mudança de variáveis, a exemplo dos casos anteriores, uma vez que
38 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
32 31
(1 ) tg tg3 3
uu du u C x x C+ = + + = + +∫ ,
onde a mudança de variável u = tg x foi utilizada.
EXEMPLO 2 Calcule 5 4tg secx x dx∫ .
Solução
( )5 4 5 2 2 5 2 2
6 85 2 5 7 6 8
tg sec tg sec sec tg 1 tg sec
1 1(1 ) ( ) tg tg ,
6 8 6 8
x x dx x x x x x x dx
u uu u du u u du C x x C
= = + =
+ = + = + + = + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
onde a mudança de variável u = tg x foi utilizada.
EXEMPLO 3 Calcule 4 4tg secx x dx∫ .
Solução
4 4 4 2 2
5 74 2 5 7
tg sec tg (1 tg )sec
1 1(1 ) = tg tg ,
5 7 5 7
x x dx x x x dx
u uu u du C x x C
= + =
+ = + + + +
∫ ∫
∫
onde a mudança de variável u = tg x foi utilizada.
C) Se a potência da tangente é ímpar e ela aparece multiplicando
a secante, independente do expoente da secante, você pode guardar
um fator de sec tgx x e usar 2 2tg sec 1x x= − para expressar os
fatores remanescentes em termos de secante. Neste caso, use a
mudança de variável sec sec tg .u x du x x dx= ⇒ =
(1 ) ( ) tg tg ,u u du u u du C x x C
= = + =
e ela aparece multiplicando
a secante, independente do expoente da secante, você pode guardar
para expressar os
fatores remanescentes em termos de secante. Neste caso, use a
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
EXEMPLO 1 Calcule 5 3tg sec .x x dx∫
Solução
5 3 2 2 2
2 2 2
2 2 2 6 4 2
7 5 3
7 5 3
tg sec (tg ) sec tg sec
(sec 1) sec tg sec
( 1) ( 2 )
27 5 31 2 1
sec sec sec ,7 5 3
x x dx x x x x dx
x x x x dx
u u du u u u du
u u uC
x x x C
= =
= − =
= − = − + =
= − + + =
= − + +
∫ ∫
∫
∫ ∫
onde a mudança de variável u = sec x foi utilizada.
EXEMPLO 2 Calcule 5 4tg sec .x x dx∫
Solução
5 4 2 2 3
2 2 3
2 2 3 7 5 3
8 6 4
8 6 4
tg sec (tg ) sec tg sec
(sec 1) sec tg sec
( 1) ( 2 )
28 6 41 1 1
sec sec sec ,8 3 4
x x dx x x x x dx
x x x x dx
u u du u u u du
u u uC
x x x C
= =
= − =
= − = − + =
= − + + =
= − + +
∫ ∫
∫
∫ ∫
onde a mudança de variável u = sec x foi utilizada.
OBS: Note que esta última integral já foi calculada pelo
procedimento sugerido no item B), apresentando a resposta
em termos de tg x. Isso ocorre pela mudança de variável
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 39
Note que esta última integral já foi calculada pelo
, apresentando a resposta
. Isso ocorre pela mudança de variável
40 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
escolhida. No entanto, ambas as respostas estão corretas,
conforme você pode verificar, derivando-as. Este é um caso
típico onde podemos escolher qual procedimento usar na hora
de resolver a integral.
D) Se a potência da tangente é par e da secante é ímpar ou se
potência da secante é ímpar e ela aparece sozinha, utilize
integração por partes.
EXEMPLO 1 Calcule 3sec x dx∫ .
Solução
Este exemplo já foi feito quando estudamos o método de integração
por partes, porém, como esta integral aparecerá muitas vezes daqui
por diante, entendemos ser válido relembrar sua resolução. Note que
se escrevermos a integral na forma 2sec secx x dx∫ , e utilizarmos
2
sec sec tg
tgsec
u x du x x dx
v xdv x dx
= = ⇒
==
teremos, pela fórmula de integração por partes: 3 2sec sec tg sec tg .x dx x x x x dx= −∫ ∫
Para efetuarmos o cálculo desta última integral, fazemos 2 2tg sec 1x x= − , e teremos
3 2
3
sec sec tg sec (sec 1)
sec tg sec sec .
x dx x x x x dx
x x x dx x dx
= − − =
= + −
∫ ∫
∫ ∫
escolhida. No entanto, ambas as respostas estão corretas,
as. Este é um caso
típico onde podemos escolher qual procedimento usar na hora
ou se a
utilize
Este exemplo já foi feito quando estudamos o método de integração
por partes, porém, como esta integral aparecerá muitas vezes daqui
por diante, entendemos ser válido relembrar sua resolução. Note que
Para efetuarmos o cálculo desta última integral, fazemos
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
Assim, somando o termo 3sec x dx∫ em ambos os lados da
igualdade, obtemos 3
12 sec sec tg ln sec tg x dx x x x x C= + + +∫ ,
ou
3 1sec sec tg ln sec tg
2x dx x x x x C = + + + ∫ , onde C = C1
EXEMPLO 2 Calcule 2 3tg secx x dx∫ .
Solução
Análogo ao que foi feito no Exemplo 1, precisamos reescrever a
função a ser integrada de modo que ela se apresente em uma forma
que seja fácil visualizar qual termo chamaremos de u
chamaremos de dv. Lembre-se que u deve ser facilmente derivável e
dv deve ser facilmente integrável. Assim, segundo estes critérios,
podemos fazer
22 3
2 3 5
sen 1 sentg sec sen .
cos cos cos
x xx x dx dx x dx
x x x= =∫ ∫ ∫
Fazendo agora a escolha
5 4
sen cos
sen 1
cos 4 cos
u x du x dx
xdv dx v
x x
= ⇒ =
= ⇒ =
e aplicando a fórmula de integração por partes, teremos
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 41
em ambos os lados da
1/2.
Análogo ao que foi feito no Exemplo 1, precisamos reescrever a
função a ser integrada de modo que ela se apresente em uma forma
e qual
deve ser facilmente derivável e
deve ser facilmente integrável. Assim, segundo estes critérios,
tg sec sen .x x dx dx x dx
42 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
2 34 4
4 3
34
4
4
sen 1 costg sec
4cos 4 cossen 1 1
4cos 4 cossen 1
sec4cos 4sen 1 1
sec tg ln sec tg4cos 4 2sen 1
sec tg ln sec tg .4cos 8
x xx x dx dx
x xx
dxx x
xxdx
xx
x x x x Cx
xx x x x C
x
= − =
= − =
= − =
= − + + + =
= − + + +
∫ ∫
∫
∫
OBS: Todos estes procedimentos utilizados para tangentes e
secantes também se aplicam, de modo análogo, à cotangentes
e cossecantes, conforme veremos nos exemplos a seguir.
EXEMPLO 1 Calcule 3 4cotg cossec .x x dx∫
Solução
3 4 3 2 2
3 2 2
3 2 5 3
6 4 6 4
cotg cossec cotg cossec cossec
cotg (cotg 1) cossec
( 1) ( )
cotg cotg,
6 4 6 4
x x dx x x x dx
x x x dx
u u du u u du
u u x xC C
= =
= + =
= − + = − + =
= − − + = − − +
∫ ∫
∫
∫ ∫
onde a mudança de variável u = cotg x, du = -cossec2x dx foi
utilizada.
= − + + + =
Todos estes procedimentos utilizados para tangentes e
secantes também se aplicam, de modo análogo, à cotangentes
foi
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
EXEMPLO 2 Calcule 4cotg .x dx∫
Solução
4 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
32 2
cotg cotg cotg (cossec 1) cotg
cossec cotg cotg
cossec cotg (cossec 1)
cotgcossec cotg ,
3
x dx x x dx x x dx
x x dx x dx
x x dx x dx
xu du x dx dx x x C
= = − =
= − =
= − − =
= − − + = − + + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫ onde novamente a mudança de variável u = cotg x, du = -cossec
dx foi utilizada.
EXEMPLO 3 Calcule 3cossec .x dx∫
Solução
Procedemos de modo inteiramente análogo ao que foi feito no
cálculo da integral de sec3x:
3 2
2
2
3
cossec cossec cossec
cossec cotg cossec cotg
cossec cotg cossec (cossec 1)
cossec cotg cossec cossec .
x dx x x
x x x x dx
x x x x dx
x x x dx x dx
= =
= − − =
= − − − =
= − − +
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫Assim,
3
3
2 cossec cossec cotg ln cossec cotg ,
ou seja,
1cossec cossec cotg ln cossec cotg ,
2
x dx x x x x C
x dx x x x x C
= − + − +
= − + − +
∫
∫
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 43
cossec cotg ,u du x dx dx x x C
= = − =
= − − + = − + + +
cossec2x
Procedemos de modo inteiramente análogo ao que foi feito no
cossec cotg cossec (cossec 1)
cossec cotg cossec cossec .
x x x x dx
x x x dx x dx
= − − − =
2 cossec cossec cotg ln cossec cotg ,
cossec cossec cotg ln cossec cotg ,
x dx x x x x C
x dx x x x x C = − + − +
44 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
sendo que inicialmente fizemos u = cossec x e dv = cossec2x
para utilizar o método de integração por partes e depois, cotg2x
cossec2x – 1.
EXERCÍCIOS 1.3
1) Calcule as seguintes integrais:
a) 4sen cosx x dx∫ b) 2 4sen cosx x dx∫
c) 3 5cotg cossecx x dx∫ d) 5 2sen cosx x dx∫
e) 3sen cosx x dx∫ f) 6tg x dx∫
g) 3cos senx x dx∫ h) 4 6tg secx x dx∫
i) 3 2tg secx x dx∫ j) 2(tg cotg )x x dx+∫
k) 3cos x dx∫ l)
2 3cotg cossecx x dx∫
Integração por substituições trigonométricas
Se o integrando contém uma expressão da forma
2 2 2 2,a x a x− + ou 2 2x a− , ou mesmo apenas os quadrados
perfeitos aparecem no radicando, onde a > 0, então é possível, na
maioria das vezes, efetuarmos a integração através de uma
dx
x =
Se o integrando contém uma expressão da forma
, ou mesmo apenas os quadrados
0, então é possível, na
maioria das vezes, efetuarmos a integração através de uma
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 45
substituição trigonométrica, conforme veremos abaixo, a qual
possibilitará a eliminação da raiz e o cálculo facilitado da integral.
1º Caso: 2 2a x− , a > 0 , x a≤ .
Neste caso fazemos a seguinte mudança de variável:
sen cosx a dx a dθ θ θ= ⇒ = ,
tomando 0 / 2θ π≤ ≤ para 0x ≥ e / 2 0π θ− ≤ ≤ para 0x ≤ ,
uma vez que cos 0θ ≥ neste intervalo e isso, juntamente com a
hipótese sobre a, nos permitirá eliminar a raiz sem a presença do
módulo. Assim, com essa mudança, a expressão da função se torna
bem mais simples para ser integrada. Veja:
2 2 2 2 2 2 2 2 2sen (1 sen ) cos cosa x a a a a aθ θ θ θ− = − = − = = ,
já que a > 0 e cos 0θ ≥ para / 2 / 2π θ π− ≤ ≤ .
2 2 cosa x a θ∴ − = , sendo arcsenx
aθ = , uma vez que f(x) = sen x
é inversível em [ ]/ 2, / 2π π− .
Se posicionarmos estas variáveis em um triângulo retângulo,
visualizaremos a mudança de variável com mais facilidade, uma vez
que sabemos, da trigonometria dos triângulos retângulos, que
cateto opostosen
hipotenusa
x
aθ = = .
46 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Essa visualização geométrica é fundamental para fazermos o retorno da variável q para x.
EXEMPLO 1 Calcule ∫− 22 xa
dx.
Solução
Considere sen cosx a dx a dθ θ θ= ⇒ = , / 2 / 2π θ π− ≤ ≤
Substituindo na integral e aproveitando os cálculos realizados logo
acima, obtemos:
2 2
cosarcsen .
cos
dx a xd d C C
a aa x
θθ θ θ
θ= = = + = +
−∫ ∫ ∫
Caso particular: 2
arcsen1
dxx C
x= +
−∫ .
EXEMPLO 2 Calcule .
Solução
Considere a = 3 e 3 sen , / 2 / 2.x θ π θ π= − ≤ ≤
Então, temos que 3cosdx dθ θ= e a integral torna-se:
2 2 2
2 2 2
9 9 9sen 1 9cos3 cos cos
9sen 3 sen
xdx d d
x
θ θθ θ θ θ
θ θ
− −= = =∫ ∫ ∫
∫−
dxx
x2
29
/ 2 / 2
os cálculos realizados logo
= = =
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
22 2 2
2
coscotg (cossec 1) cossec
send d d d d
θθ θ θ θ θ θ θ θ
θ= = = − = − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫
29cotg arcsen
3
x xC C
xθ θ
− −= − − + = − + .
OBS: Observe que o retorno de q para x foi feito a partir da observação do triângulo retângulo ilustrado acima, uma vez que
2cateto adjascente 9cotg
cateto oposto
x
xθ
−= = .
Já a expressão para q é conseqüência imediata de
3sen sen arcsen .3 3
x xx θ θ θ= ⇒ = ⇒ =
EXEMPLO 3 Calcule 3
216
xdx
x−∫ .
Solução
Considere a = 4, 4 sen , / 2 / 2x θ π θ π= − ≤ ≤ .
Então temos 4cosdx dθ θ= e a integral torna-se:
3 3 3
2 2
3 2
64 sen 4cos sen cos64
cos16 16 16sen
64 sen 64 (1 cos ) sen
xdx d d
x
d d
θ θ θ θθ θ
θθ
θ θ θ θ θ
= = =− −
= = − =
∫ ∫ ∫
∫ ∫
2 3164 sen 64 64 cos cos
3d u du Cθ θ θ θ
= − = − − + = ∫ ∫
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 47
d d d d dθ θ θ θ θ θ θ θ= = = − = − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫
foi feito a partir da observação do triângulo retângulo ilustrado acima, uma vez
é conseqüência imediata de
dx d dθ θ= = =
= = − =
48 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
2 2 3 2216 1 ( 16 ) 32
64 164 3 64 3
x x xC x C
− − − − −= + + = − +
.
2º Caso: 2 2a x+ , a > 0 .
Neste caso fazemos tgx a θ= 2secdx a dθ θ⇒ = , tomando
0 / 2θ π≤ < para 0x ≥ e / 2 0π θ− < ≤ para 0x ≤ , pelos motivos
já apresentados no 1° Caso.
No triângulo retângulo teremos então:
e com esta mudança, a raiz torna-se:
2 2 2 2 2 2 2 2 2tg (1 tg ) sec sec ,a x a a a a aθ θ θ θ+ = + = + = =
já que a > 0 e sec 0θ ≥ para 2 2
π πθ− < < .
2 2 seca x a θ∴ + = , sendo arctgx
aθ = ,
uma vez que f(x) = tg x é inversível em ,2 2
π π −
.
EXEMPLO 1 Calcule .
Solução ∫ + dxx 52
.
, tomando
, pelos motivos
tg (1 tg ) sec sec ,θ θ θ θ
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
Considere 5a = , 5 tg , / 2 / 2x θ π θ π= − < < .
Então,
θθ ddx 2sec5=
e a integral torna-se:
2 25 5 sec 5 secx dx dθ θ θ+ = =∫ ∫
3 55 sec sec tg ln sec tg
2d Cθ θ θ θ θ θ = = + + + = ∫
2 25 5 5ln .
2 5 5 5 5
x x x xC
+ + = + + +
EXEMPLO 2 Calcule .
Solução
Considere tg ,2 2
x aπ π
θ θ= − < < . Então, 2secdx a dθ θ=
integral torna-se:
2
2 2 2 2
sec 1 1 1arctg
sec
dx a xd d C C
a x a a a a a
θθ θ θ
θ= = = + = +
+∫ ∫ ∫
Caso particular: 2arctg
1
dxx C
x= +
+∫ .
3º Caso: , a > 0 , a x≤ .
∫ + 22 xa
dx
22 ax −
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 49
dx a dθ θ e a
d d C C .
50 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Neste caso, fazemos secx a θ= sec tgdx a dθ θ θ⇒ =
sendo que 02
πθ≤ < para ax ≥ e
3
2
ππ θ≤ < para ax −≤ .
No triângulo retângulo agora temos
e, com esta mudança, a raiz torna-se:
2 2 2 2 2 2 2 2 2sec (sec 1) tg tgx a a a a a aθ θ θ θ− = − = − = = ,
levando em conta que:
0a > e tg 0θ ≥ para 3
0, , .2 2
xπ π
π
∈ ∪
2 2 tgx a a θ∴ − = ,
sendo arcsecx
aθ = , uma vez que ( ) secf x x= é inversível para
todo 3
0, , .2 2
xπ π
π
∈ ∪
EXEMPLO 1 Calcule .
Solução
Considere
∫− 22 axx
dx
dx a dθ θ θ ,
θ θ θ θ ,
para
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
sec sec tgx a dx a dθ θ θ θ= ⇒ = , 3
θ 0, ,2 2
π ππ
∈ ∪
.
Substituindo na integral, obtemos:
2 2
sec tg 1 1 1arcsec .
sec tg
dx a xd d C C
a a a a a ax x a
θ θθ θ θ
θ θ= = = + = +
−∫ ∫ ∫
Caso particular: 2 2
arcsec1
dxx C
x x= +
−∫ .
EXEMPLO 2 ∫− 923 xx
dx
Considere
3sec 3sec tgx dx dθ θ θ θ= ⇒ = , (0, / 2) ( ,3 / 2)θ π π π∈ ∪
Substituindo na integral, obtemos:
33 2
22
3 sec tg
27sec 3 tg91 1 1
cos27 sec 27
dxd
x x
d d
= =−
= = =
∫ ∫
∫ ∫
θ θθ
θ θ
θ θ θθ
[ ]
1 (1 cos2 ) 1 1sen 2
27 2 54 2
12 sen cos
54
d C
C
+ = = + + =
= + + =
∫θ
θ θ θ
θ θ θ
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 51
.
arcsec .dx a x
d d C Ca a a a a a
= = = + = +
(0, / 2) ( ,3 / 2) .
= = + + =
52 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
2
2
2
1 9 3arcsen
54 3
1 3 9arcsen
54 3
x xC
x x
x xC
x
−= + + =
−= + +
.
EXERCÍCIOS 1.4
1) Calcule as seguintes integrais:
a) 24
dx
x+∫ b) 2 3
dx
x x +∫ c)
2 16
dx
x −∫
d) 29t te e dt−∫ e) 2 225x x dx−∫ f) 2
2
1xdx
x
−∫
2) Mostre, utilizando integrais, que a área da região delimitada pela
elipse 2 2
2 21
x y
a b+ = é A = pab.
3) Mostre, utilizando integrais, que a área de um círculo de raio R
2A Rπ= .
Integração por Frações Parciais
Este método é utilizado quando desejamos integrar uma função racional (quociente de duas funções polinomiais), cuja expressãnão permite sua integração por um método mais simples, como os vistos anteriormente.
.
Mostre, utilizando integrais, que a área da região delimitada pela
R é
Este método é utilizado quando desejamos integrar uma função racional (quociente de duas funções polinomiais), cuja expressão não permite sua integração por um método mais simples, como os
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 53
Inicialmente relembramos que se ( )( )
( )P x
H xQ x
= onde P e Q são
polinômios reais e o grau de Q é menor ou igual que o grau de P, então H é dita uma função racional imprópria. Para que H se torne uma função racional própria é necessário dividir P por Q até que o grau do numerador seja menor que o do denominador.
Se tomarmos, por exemplo, a função
4 2
2
10 3 1( )
4
x x xH x
x
− + +=
−
observamos que é uma função racional imprópria. Porém, ao dividirmos o polinômio do numerador pelo do denominador, obtemos uma nova forma de representar a mesma função, agora composta por um termo polinomial somado a uma fração própria, como podemos ver abaixo.
4 22
2 2
10 3 1 3 23( ) 6
4 4fração imprópria fração própria
x x x xH x x
x x
− + + −= = − +
− −
OBS: Para integrar uma função racional (quociente de duas funções polinomiais), devemos primeiro verificar se ela é uma fração própria. Caso não seja, devemos antes transformá-la em uma fração própria e, só depois, integrar. Por exemplo:
2 22 2
3 23 3 23( ) ( 6 ) ( 6)
4 4este é o nosso problema !!
x xH x dx x dx x dx dx
x x
− −= − + = − +
− −∫ ∫ ∫ ∫
54 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
O método das frações parciais permite escrever uma função racional própria em uma soma de frações mais simples, que possam ser integradas pelos métodos já conhecidos. Para isso, em uma fração do tipo
( )( )
P x
Q x,
Q(x) deve ser escrito como um produto de fatores lineares ou quadráticos irredutíveis (que não possuem raízes reais). Isso sempre é possível devido ao Teorema Fundamental da Álgebra, que garante que qualquer polinômio com coeficientes reais pode ser expresso como um produto de fatores lineares e quadráticos irredutíveis, de tal forma que cada um dos fatores tenha coeficientes reais. É o que conhecemos por fatoração.
Método das frações parciais
Seja (x – a) um fator linear de Q(x). Se (x – a)m for o termo de maior potência de (x – a) que divide Q(x), então devemos atribuir, a cada fator linear distinto, a soma de m frações parciais escritas do seguinte modo:
( ) ( ) ( )1 2 1
1 2m m
m m
A A A A
x ax a x a x a−
−+ + + +
−− − −⋯ .
Agora, se 2x bx c+ + for um fator quadrático irredutível de
Q(x) e se ( )2 nx bx c+ + for o termo de maior potência de
2x bx c+ + que divide Q(x), então devemos atribuir, a cada fator quadrático distinto, a soma de n frações parciais escritas do seguinte modo:
( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1
1 2 22 2 2
n n n nn n
B x C B x C B x C B x C
x bx cx bx c x bx c x bx c
− −
−
+ + + ++ + + +
+ ++ + + + + +⋯ .
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
Os exemplos a seguir facilitarão o entendimento:
EXEMPLO 1 Calcule 3 2
1
2
xdx
x x x
−
− −∫ .
Solução
Inicialmente verificamos se o integrando é uma fração própria. Como o maior expoente do denominador é 3 e o do numerador é 1, concluímos que a fração é própria e, portanto, podemos passar para o passo seguinte, que é a aplicação do método em si.
O primeiro passo é fatorar o denominador para que ele fique na forma de produto de fatores lineares ou quadráticos irredutíveis. Com isso nossa integral torna-se:
3 2
1 1
2 ( 2)( 1)
x xdx dx
x x x x x x
− −=
− − − +∫ ∫ .
Agora tomamos o integrando e usamos o método descrito acima para transformar a fração dada em uma soma de frações mais simples. Como os fatores são todos lineares e não se repetem, atribuímos a cada um deles uma constante no numerador e efetuamos a soma das frações resultantes, como mostrado abaixo:
1 2 3
21 2 3
21 2 3 2 1 3 1
1
( 2)( 1) 2 1
( 2) ( 1) ( 2)
( 2)( 1)
( ) ( 2 ) 2.
( 2)( 1)
x A A A
x x x x x x
A x x A x x A x x
x x x
A A A x A A A x A
x x x
−= + + =
− + − +
− − + + + −= =
− +
+ + + − − −=
− +
Comparando o primeiro termo da igualdade com o último, notamos que as duas frações são iguais se, e somente se, os numeradores são iguais, ou seja, quando
21 2 3 2 1 3 1( ) ( 2 ) 2 1A A A x A A A x A x+ + + − − − = −
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 55
Inicialmente verificamos se o integrando é uma fração própria. Como o maior expoente do denominador é 3 e o do numerador é 1, concluímos que a fração é própria e, portanto, podemos passar para
o passo é fatorar o denominador para que ele fique na forma de produto de fatores lineares ou quadráticos irredutíveis.
Agora tomamos o integrando e usamos o método descrito acima transformar a fração dada em uma soma de frações mais
simples. Como os fatores são todos lineares e não se repetem, atribuímos a cada um deles uma constante no numerador e efetuamos a soma das frações resultantes, como mostrado abaixo:
.
Comparando o primeiro termo da igualdade com o último, notamos que as duas frações são iguais se, e somente se, os numeradores são
( ) ( 2 ) 2 1+ + + − − − = − ,
56 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
o que é equivalente a
1 2 3 22 3
1 2 3 1
2 3 31
1101 622 1
3 2222 1
2 3
A A A AA AA A A A
A A AA
+ + = =+ = − − + − = ⇒ = ⇒ ⇒ − = = −− = −
Dessa forma, encontramos os valores para as constantes A1, A2 e de maneira que:
31 21 1 1 2
( 2)( 1) 2 1 2 6( 2) 3( 1)
AA Ax
x x x x x x x x x
−= + + = + −
− + − + − +.
Logo,
3 2
1 1 1 1 1 2 1
2 2 6 2 3 1
xdx dx dx dx
x x x x x x
−= + − =
− − − +∫ ∫ ∫ ∫
= 1 1 2
ln ln 2 ln 12 6 3
x x x C+ − − + + .
EXEMPLO 2 Calcule 3
2 3
( 1)
( 2)
xdx
x x
−
−∫ .
Solução
Observando que a fração é própria e usando o mesmo procedimento do exemplo 1, porém notando que agora os fatores lineares se repetem, fazemos
332 1 2 1
2 3 2 3 2
( 1)
( 2) ( 2) ( 2) ( 2)
BA A B Bx
x x x x x x x
−= + + + + =
− − − −
3 3 2 2 2 22 1 3 2 1
2 3
( 2) ( 2) ( 2) ( 2).
( 2)
A x A x x B x B x x B x x
x x
− + − + + − + −=
−
Igualando os numeradores, obtemos
e A3
( 2)( 1) 2 1 2 6( 2) 3( 1).
fração é própria e usando o mesmo procedimento do exemplo 1, porém notando que agora os fatores lineares se
.
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
3 3 2 4 3 2 22 1 3
3 2 4 3 22 1
4 31 1 2 1 2 1
22 1 3 2 1 2 1 2
1 ( 6 12 8) ( 6 12 8 )
( 2 ) ( 4 4 )
( ) ( 6 4 )
( 6 12 2 4 ) (12 8 ) 8 .
x A x x x A x x x x B x
B x x B x x x
A B x A A B B x
A A B B B x A A x A
− = − + − + − + − + +
+ − + − + =
= + + − + − +
+ − + + − + + − −
Assim,
2
2 1 3 2 11
2 1 2 1
1 1 3
2 1
22
1
1
836 12 2 4 0
166 4 17
04
12 8 0 58 1 4
3
16
A
A A B B B AA A B B
A B B
A ABA
B
=
− + + − + = =
− + − = + = ⇒ =
− =
= − = −
− =
.
Portanto,
3
2 3
2 3 2
( 1)
( 2)
1 3 7 5 3
8 16 4 ( 2) 4 ( 2) 16 2
xdx
x x
dx dx dx dx dx
x x x x x
−=
−
= + + + − =− − −
∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2
2
1 3 7 5 3ln ln 2
8 16 8( 2) 4( 2) 16
3 1 1 7 5ln .
16 2 4 2 2( 2) ( 2)
x x Cx x x
xC
x x x x
−= + − − − − + =
− −
= − + + +
− − −
EXEMPLO 3 Calcule 3 2
2 2
5 3 7 3
( 1)
x x xdx
x
− + −
+∫ .
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 57
3 3 2 4 3 2 22 1 3
2 1 3 2 1 2 1 2( 6 12 2 4 ) (12 8 ) 8 .
x A x x x A x x x x B x
A A B B B x A A x A
− = − + − + − + − + +
+ − + + − + + − −
8 16 4 ( 2) 4 ( 2) 16 2
dx dx dx dx dx= + + + − =
= + − − − − + =
58 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Solução
Como neste caso temos um fator quadrático irredutível no denominador, o qual se repete, colocamos um fator linear no numerador de cada fração parcial, e procedemos como nos exemplos anteriores:
3 2
2 2 2 2 2
5 3 7 3.
( 1) ( 1) ( 1)
x x x Ax B Cx D
x x x
− + − + += +
+ + +
Resolvendo esta soma de frações e igualando os numeradores, chegamos à seguinte igualdade:
3 2 2
3 2
5 3 7 3 ( ) ( 1)
( ) ,
x x x Ax B Cx D x
Cx Dx A C x B D
− + − = + + + + =
= + + + + +
de onde concluímos que:
A = 2, B = 0, C = 5 e D = −3. Assim,
3 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
22
5 3 7 3 2 5 3
( 1) ( 1) ( 1)
2 5 3
( 1) 1 1
1 5ln( 1) 3arctg .
1 2
x x x x xdx dx dx
x x x
x xdx dx dx
x x x
x x Kx
− + − −= + =
+ + +
= + − =+ + +
= − + + − ++
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
EXERCÍCIOS 1.5
1. Calcule as seguintes integrais:
a) 2
6 7
( 2)
xdx
x
+
+∫ b) 2 1
( 1)( 2)( 3)
xdx
x x x
+
− − −∫
c) 2
3 2
4 13 9
2 3
x xdx
x x x
+ −
+ −∫ d) ∫ +dx
xx
x2
32
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 59
e) 2 2
2 4
( 1)( 1)
xdx
x x
− +
+ −∫ f) 3
3
9 3 1x xdx
x x
− +
+∫
g) 2
2
2 7
6 9
x xdx
x x
+
+ +∫ h) 2
2 1
2 3 2
xdx
x x
+
+ −∫
EXERCÍCIOS EXTRAS
1. Calcule as seguintes integrais, utilizando os métodos estudados.
1) 2
2
5 4
2 1
x xdx
x x
+ +
− +∫ 2)
4 2
4dx
x x−∫
3) 2
3
19t dt
t
+
∫ 4)
2
1
9dx
x x +∫
5)2
2
sec
(1 tg )
xdx
x+∫ 6) 2 2tg cossecx x dx∫
7) ∫ +−dx
xx
dxx22 )1()1(
8)
cos
2 sen
xdx
x−∫
9) 216
dx
x+∫ 10)
2tg (5 )x dx∫
11) 2
2
3 3dt
t +∫ 12) 2
9
1dx
x−∫
13)
12
2y dy
y
−
∫ 14)
1
2
1xe dx
x∫
60 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
15) 3 2
3
6 3 16
4
x x xdx
x x
+ + +
+∫ 16)
4 2
1
3dx
x x −∫
17)
2 3sen (2 ) cos (2 ) dθ θ θ∫ 18) 3 2
2
2 4
2 2
x xdx
x
+ +
+∫
19) 2 2 2cos ( 1)x xe e dx−∫ 20) ( 1) xx e dx−−∫
21) 6cossec x dx∫ 22)
2
2
2 25 33
( 1) ( 5)
x xdx
x x
− −
+ −∫
23)
22 7
sen 22
cosx x
e dxx x
− +
∫ 24)
2
1
4
xdx
x
+
−∫
25)
2 2(16 )
xdx
x−∫ 26) cos2
x xe dx∫
27) 25 xx e dx∫ 28)
2sec
cotg
xdx
x∫
29)2 2
1
( 2 3)
xdx
x x
−
+ +∫
30) 2( 1)secx x dx−∫
2. Seja f contínua em [a, b] e R a região delimitada pelo gráfico de f,
pelo eixo-x e pelas retas verticais x = a e x = b. O volume do sólido
de revolução gerado pela revolução de R em torno do eixo-x é dado
por [ ]2
( )b
aV f x dxπ= ∫ . Sabendo disso, calcule o volume dos
sólidos gerados pelas funções abaixo, em torno do eixo-x, nos
intervalos especificados:
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 61
a) ln ; [0, ]y x x e= ∈ b) 2cos ; [0,2 ]y x x π= ∈
c) 2 1/2( 25) ; [0,5]y x x x−= + ∈
3. A velocidade (no instante t) de um ponto em movimento sobre
uma reta coordenada é dada por 2cos tπ m/s. Qual é a distância
percorrida pelo ponto em 5 segundos?
4. A aceleração (no instante t) de um ponto em movimento sobre
uma reta coordenada é dada por 2sen cost t m/s2. Em t = 0 o ponto
está na origem e sua velocidade é 10 m/s. Determine sua posição no
instante t.
5. Encontre a área da região delimitada pelo gráfico de
3 2 1/2(10 )y x x −= − , pelo eixo-x e pela reta 1.x =
Capítulo 2
Equaçoes Diferenciais Ordinárias
O QUE VOCÊ VAI ESTUDAR:
• Como resolver equações diferenciais ordinárias separáveis.
• Como resolver equações diferenciais ordinárias lineares de primeira ordem.
• Como modelar e resolver problemas que envolvam as equações diferenciais estudadas.
64 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Equações Diferenciais
Introdução
Ao ensinar Cálculo para alunos de outras áreas é fundamental motivar, mostrando-lhes a importância do que estão aprendendo para os problemas de suas especialidades. Assim, podemos perguntar qual é a razão para se estudar equações diferenciais? As equações diferenciais estão presentes na formulação de modelos relacionados a vários fenômenos estudados nas ciências, dentre os quais muitos deles dizem respeito a relações que se estabelecem entre quantidades que variam. Vimos no curso de Cálculo Diferencial e Integral 1, de que maneira as taxas de variação são representadas matematicamente através das derivadas. Nesse curso, iremos estudar como alguns fenômenos são expressos em termos de equações diferenciais.
A seguir apresentamos dois exemplos de aplicações das equações diferenciais.
Problemas de Mistura
Corrente i em um circuito RL
dyV QC Qy
dt= −
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 65
0
diL iR
dtε+ =
Existem vários outros exemplos de aplicação das equações diferenciais: variação de temperatura, modelo presa-predador (em Biologia), decaimento radioativo, crescimento e decrescimento populacional e muitos outros.
Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função incógnita (desconhecida) e suas derivadas. Assim, resolver uma equação diferencial é encontrar uma função que satisfaça identicamente aquela equação. Todavia, análogo às equações algébricas, existem muitos tipos de equações diferenciais e, portanto, para cada tipo, existe uma técnica para determinar sua solução, quando esta existe. Fazendo novamente um paralelo com as equações algébricas, lembramos que nem toda equação possui solução analítica, sendo que em muitos casos, somente métodos numéricos são capazes de fornecer as soluções procuradas. Todavia, quando as soluções analíticas existem, as operações inversas são normalmente utilizadas para obtê-las, ou seja, assim como em uma equação envolvendo soma, utilizamos a subtração na sua resolução, em uma equação envolvendo multiplicação, utilizamos a divisão, e assim por diante, para resolver uma equação envolvendo diferenciais, utilizaremos algum tipo de integração.
A existência e a unicidade de soluções de equações diferenciais são garantidas mediante a satisfação de algumas hipóteses, através de teoremas específicos para isso. Contudo, estes teoremas não serão
66 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
abordados neste texto, uma vez que o objetivo aqui é estudar alguns métodos de resolução, partindo da premissa de que tal solução exista. Assim, este material só tratará de equações cujas soluções existam analiticamente.
É importante observar que as equações diferenciais compõem um grande grupo, o qual é dividido, inicialmente, em dois subgrupos: o de equações diferenciais ordinárias (EDO) e o de equações diferenciais parciais (EDP). Dizemos que uma equação diferencial é ordinária se a função que se deseja determinar depende de uma única variável, por exemplo, y = f(t). Se a função incógnita depender de duas ou mais variáveis, por exemplo, u = f(x,y), a equação é denominada equação diferencial parcial.
Dentro de cada um desses subgrupos, as equações se classificam por ordem, assim como os polinômios, porém a ordem neste caso está associada à ordem da maior derivada que aparece na equação. Assim, uma equação diferencial é dita de primeira ordem se apenas a primeira derivada e a função estiverem presentes na equação. Se a segunda derivada estiver presente e nenhuma outra de maior ordem, dizemos que ela é uma equação de segunda ordem, e assim por diante. E dentro de cada ordem, existem vários tipos, porém o estudo completo de todos eles demandaria muito tempo e foge dos objetivos deste material.
Equações Diferenciais de Primeira Ordem
Nesse texto estaremos trabalhando apenas com dois tipos de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem: as separáveis e as lineares. Isso se deve ao fato de que ambas são muito utilizadas para descrever fenômenos químicos, físicos e biológicos, tais como a descrição de vários tipos de reações químicas, de decaimentos radioativos, transferência de calor, concentração de substâncias em
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
uma solução, crescimento populacional, dentre muitas outras situações. Novamente lembramos que o estudante que necessitar aprofundar seus estudos e/ou trabalhar com outros tipos de equações, poderá fazê-lo através das referências bibliográficas citadas.
Inicialmente vejamos alguns exemplos de EDOs, a fim de ilustrar algumas das classificações feitas anteriormente.
EXEMPLOS
(1 ( ))dy
k y tdt
= − equação diferencial ordinária de primeira ordem
2
23 4 0
d y dyy
dx dx− + =
equação diferencial ordinária de segunda ordem
´ 0y y− =
equação diferencial ordinária de primeira ordem
'' ' 3y y y+ + =
equação diferencial ordinária de segunda ordem
OBS: Observe que as duas últimas equações estão expressas utilizando a notação “linha”, que não explicita qual é a variável independente. De maneira geral, a equação ou o contexto no qual ela se apresenta nos dirá de que maneira deveremos interpretar y’
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 67
uma solução, crescimento populacional, dentre muitas outras e o estudante que necessitar
aprofundar seus estudos e/ou trabalhar com outros tipos de lo através das referências bibliográficas
, a fim de
equação diferencial ordinária de primeira ordem
equação diferencial ordinária de segunda ordem
ordem
equação diferencial ordinária de segunda ordem
Observe que as duas últimas equações estão expressas utilizando a notação “linha”, que não explicita qual é a
De maneira geral, a equação ou o contexto no qual ela se apresenta nos dirá de que maneira
68 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Soluções de Equações Diferenciais de Primeira Ordem
Dizemos que uma função y = y(x) é uma solução de uma equação diferencial, num intervalo aberto I, se a equação estiver satisfeita identicamente em I quando y e suas derivadas forem substituídas na equação. O exemplo abaixo nos auxilia a entender melhor o conceito de solução de uma equação diferencial.
EXEMPLO A função ( ) ty t e= é uma solução da equação
diferencial ( ) 0dy
y tdt
− = no intervalo ( , )I = −∞ +∞ , pois
substituindo y e a sua derivada no lado esquerdo dessa equação obtemos
( ) [ ] 0t t t tdy dy t e e e e
dt dt− = − = − =
para todos os valores reais de t. Note que esta não é a única solução no intervalo I. A função
C ty e= também é uma solução da equação dada, para qualquer
valor real da constante C, pois
( ) [ ] 0.t t t tdy dy t Ce Ce Ce Ce
dt dt− = − = − =
OBS: Observe que na solução C ty e= aparece uma constante
C, que é a constante de integração. Isso significa que para cada valor da constante C, temos uma solução diferente e, por isso, a solução encontrada não é única e é denominada solução geral
EDO. Agora, quando a solução é apresentada para alguns valores específicos da constante C, como é o caso da função
Soluções de Equações Diferenciais de
de uma , num intervalo aberto I, se a equação estiver
e suas derivadas forem O exemplo abaixo nos auxilia a entender
é uma solução da equação
, pois
e a sua derivada no lado esquerdo dessa equação
. A função
também é uma solução da equação dada, para qualquer
aparece uma constante
. Isso significa que para cada , temos uma solução diferente e, por isso, a
solução geral da ndo a solução é apresentada para alguns
, como é o caso da função y =
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 69
et do exemplo anterior, esta é dita solução particular da EDO.
Problemas de Valor Inicial
Quando um fenômeno é modelado matematicamente por uma equação diferencial, existem condições que permitem determinar valores específicos para as constantes de integração que aparecem na solução geral desta. É importante lembrar que na solução geral de
uma equação diferencial de ordem n, *,n ∈ℕ aparecem n constantes
de integração e, nesse caso, iremos precisar de n condições para determinar os valores de todas elas.
No caso de uma equação diferencial de primeira ordem, necessitamos de apenas uma condição (informação acerca do
70 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
problema estudado) que nos possibilite encontrar a única constante de integração C. Esta condição, denominada de condição inicial, no caso de EDOs de primeira ordem, é o valor que a função assume em um ponto qualquer de seu domínio e, quando isso ocorre, dizemos que temos um problema de valor inicial (PVI). A solução de um PVI é, portanto, a única solução da EDO que passa pelo ponto dado.
Por exemplo, suponha que queiramos resolver a EDO
( ) 0dy
y tdt
− = , sujeita à restrição y(0) = 1. Então temos um PVI
(problema de valor inicial):
( ) 0
(0) 1
dyy t
dty
− =
=
cuja solução é ( ) ty t e= , pois quando substituímos t = 0 e y = 1 na
solução geral y = Cet da equação dada, encontramos C = 1.
OBS: Geometricamente, a condição inicial y(x0) = y0 tem o efeito de destacar, da família de curvas solução de uma equação diferencial, a curva que passa pelo ponto (x0,y0).
) que nos possibilite encontrar a única constante , no
caso de EDOs de primeira ordem, é o valor que a função assume em de seu domínio e, quando isso ocorre, dizemos
). A solução de um que passa pelo ponto
EDO
PVI
= 1 na
tem o efeito de destacar, da família de curvas solução de uma
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
EXEMPLO A solução geral da equação diferencial dy
edt
+ =
é y(t) = −et + C, para qualquer valor real da constante C. Para obtermos a solução do problema de valor inicial
0
(0) 2
tdye
dty
+ =
=
basta substituir a condição inicial t = 0, y = 2 na solução geral para encontrar o valor da constante C. Obtemos então:
2 = − e 0 + C = −1 + C Assim, C = 3, e a solução do problema de valor inicial é
( ) 3ty t e= − + .
Podemos representar graficamente esta solução, através de uma curva integral que passa pelo ponto (0,2).
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 71
0te+ =
. Para
= 2 na solução geral para
Podemos representar graficamente esta solução, através de uma
72 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Equações de Primeira Ordem Separáveis
Dizemos que uma equação diferencial de primeira ordem é do tipo separável se for possível escrever os termos envolvendo a função e sua derivada, de um lado da equação, onde a derivada aparece multiplicando, e o termo envolvendo a variável e as constantes, do outro lado da equação. Observamos que normalmente as equações não aparecem nesta forma e, para sabermos se uma equação é, de fato, uma equação separável, precisamos fazer alguns cálculos algébricos a fim de comprovarmos, ou não, tal característica. Com os exemplos a seguir, iremos aprender a reconhecer uma equação diferencial do tipo separável e, também, como proceder para resolvê-la. EXEMPLO 1 Encontre as possíveis soluções da equação
4 2 0x dyy e
dx+ = .
Equações de Primeira Ordem Separáveis
Dizemos que uma equação diferencial de primeira ordem é do os termos envolvendo a
função e sua derivada, de um lado da equação, onde a derivada aparece multiplicando, e o termo envolvendo a variável e as constantes, do outro lado da equação. Observamos que normalmente
sabermos se uma equação é, de fato, uma equação separável, precisamos fazer alguns cálculos algébricos a fim de comprovarmos, ou não, tal característica. Com os exemplos a seguir, iremos aprender a
mbém,
soluções da equação
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 73
Solução
Note que à primeira vista não dá para saber se a equação é do tipo separável ou não. Para verificar tal fato, precisamos reescrever a equação diferencial de modo que as expressões envolvendo x permaneçam de um lado e as expressões envolvendo y e sua derivada, fiquem do outro lado da equação.
Assim, o primeiro passo é subtrair dos dois lados da equação o termo contendo a variável x, a fim de que ele “passe” para o lado direito da igualdade:
4 2 .xdyy e
dx= −
Agora, dividindo ambos os lados da igualdade por y4 conseguimos deixar as expressões envolvendo y do lado esquerdo da equação, multiplicando a derivada, e as expressões envolvendo a variável x, do lado direito:
24
1.xdy
ey dx
= −
Isso mostra que a equação diferencial dada é do tipo separável.
Agora, para resolver a equação, basta integrarmos ambos os lados em relação à x, que é a variável independente, e fazermos os cálculos necessários para isolarmos y em função de x, que é a função que procuramos como solução da equação dada. Procedemos, então, como segue:
2 24 4
1 1,x xdy
dx e dx dy e dxy dx y
= − ⇒ = −∫ ∫ ∫ ∫
onde usamos a notação de diferencial '( ) ou dy
dy y x dx dy dxdx
= =
na integral do lado esquerdo. Com esta notação de diferenciais,
74 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
temos uma integral em x e outra em y para resolver. Efetuando estes cálculos, obtemos
2
1 23
1
3 2
xeC C
y− + = − + ⇒
2
2 13
1
3 2
xeC C
y− = − + −
⇒ 2
1 23
1
3 2
xeC C
y= + − ⇒
21 2
3
3 6( )1
2
xe C C
y
+ −= ⇒
1
33
1 22 2
2 2 , onde 6( ).
3 3x xy y C C C
e C e C
= ⇒ = = − + +
OBS:
1. Observe que na solução
1
3
2
2
3 xy
e C
= +
aparece uma
constante C, que é a constante de integração. Isso significa que para cada valor da constante C, temos uma solução diferente e, por isso, a solução encontrada não é única e é denominada solução geral da equação diferencial. A figura a seguir, mostra o gráfico das soluções para vários valores da constante C.
estes
aparece uma
, que é a constante de integração. Isso significa , temos uma solução
diferente e, por isso, a solução encontrada não é única e é da equação diferencial. A figura
mostra o gráfico das soluções para vários valores
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 75
2. Note que no cálculo da integral acima, após adotar a notação de diferenciais, os integrandos tomaram a forma
24
1 xdy e dxy
= − , a partir da forma original 24
1.xdy
ey dx
= −
Olhando para estas expressões temos a impressão de que multiplicamos a equação por dx. Embora não tenha ocorrido isso, pois dy/dx denota uma derivada e não um quociente, na prática, após efetuarmos a integração em relação à x e escrevermos a derivada de y em termos de diferenciais, sempre teremos uma expressão igual à que teríamos se multiplicássemos a equação por dx. Por isso muitos livros trazem este procedimento, ou seja, passa a equação para a notação de diferenciais logo no início dos cálculos, como se estivesse efetuando a multiplicação por dx. Faremos isso no próximo exemplo.
76 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
EXEMPLO 2 Encontre a única solução do PVI 2
2 1
3 3
(1) 0
dy x
dx y
y
−=
− =
Solução
Inicialmente executamos as operações necessárias para ver se é possível deixar y e suas derivadas de um lado e a variável x do outro lado da equação dada. Sendo possível, integramos.
2(3 3) 2 1dy
y xdx
− = − ⇒ 2(3 3) (2 1)y dy x dx− = −
⇒ 2(3 3) (2 1)y dy x dx− = −∫ ∫
2 3 21 2(3 3) (2 1) 3y dy x dx y y C x x C− = − ⇒ − + = − +∫ ∫
3 2 3 0y y x x C⇒ − − + + = onde C = C2 – C1
que é a solução geral da equação dada. Observe que neste caso difícil isolar y em função de x e, portanto, dizemos que a solução geral é dada implicitamente pela equação acima. Considerando a condição inicial y(1) = 0, obtemos C = 0 e a solução do PVI é dada
implicitamente por 3 23 0.y y x x− − + = A curva descrita por esta
equação é mostrada na ilustração abaixo:
Integrar os dois lados da igualdade.
2 1
3 3.
−
−
Inicialmente executamos as operações necessárias para ver se é do outro
que é a solução geral da equação dada. Observe que neste caso é e, portanto, dizemos que a solução
pela equação acima. Considerando a é dada
A curva descrita por esta
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Note que a curva como um todo não é gráfico de função e, portanto, a função y(x), que é a solução procurada do PVI dado, é apenas a
parte da curva que está acima da reta y = −1 e passa pelo ponto (1,0).
EXERCÍCIOS 2.1
1. O que você entende por uma equação diferencial? O que você entende por uma solução de uma equação diferencial? Quantas soluções existem para uma determinada equação diferencial?
Mostre que 3
2 xy e−= + é uma solução da equação diferencial2 2' 3 6 .y x y x+ =
2. Verifique que 2 ln x
yx
+= é uma solução para o problema de
valor inicial x2y’ + xy = 1 com y(1) = 2.
3. Geometricamente, qual a sua compreensão sobre impor uma condição inicial y(t0) = y0 para uma equação diferencial qualquer?
4. (a) Mostre que cada uma das funções 2
2
x
y Ce= é uma solução para
a equação diferencial y’ = xy.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 77
Note que a curva como um todo não é gráfico de função e, portanto, dado, é apenas a
1 e passa pelo ponto (1,0).
você entende por uma equação diferencial? O que você Quantas
soluções existem para uma determinada equação diferencial?
é uma solução da equação diferencial
é uma solução para o problema de
Geometricamente, qual a sua compreensão sobre impor uma para uma equação diferencial
é uma solução para
78 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
(b) Ilustre a parte (a) desenhando várias funções da família de soluções no mesmo plano cartesiano.
5. Resolva a equação diferencial por separação de variáveis e, sempre que possível, explicite a solução como uma função de x.
a) 2
21
dy x
dx y=
+ b) , (0) 2
dyy y
dx= =
c) 23 4 2
, (0) 12( 1)
dy x xy
dx y
+ += = −
− d)
2
2, (0) 2
dy xy
dx y x y= = −
+
e) 2
cos, (0) 1
1 2
dy y xy
dx y= =
+ f)
2
3(1 )
dy x
dx y x=
+
g) x
y
dy x e
dx y e
−−=
+ h) 2'( ) 0y x xy+ =
i) 2dyy
dx= j)
2
34
xdy e
dx y=
k) y y’ = x l) '2 ln
xyy
y=
6. Encontre a solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial dada.
a) 2 1 , (1) 0dy
y ydx
= + = b) , (0) 1t dxxe t x
dt− = =
7. Para quais valores não nulos de k a função y = sen(kt) satisfaz a equação diferencial y’’+9y = 0?
8. Resolva o problema de valor inicial y’ = 2y2 + xy2 ; y(0) = 1
e determine onde a solução atinge seu valor mínimo.
9. Considere o problema de valor inicial
(4 )
´3
t y yy
−= ; y(0) = y0
(a) Determine o comportamento da solução quando t → +∞.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 79
(b) Suponha que y0 = 0,5. Encontre o instante T no qual a solução atinge, pela primeira vez, o valor 3,98.
10. Resolva o problema de valor inicial2
04
xdy e
dx
−
− = , y(0) = 0. O
que acontece com y quando x assume valores muito grandes?
Aplicações Crescimento e decrescimento populacional
O problema de valor inicial
0 0, ( )dy
ky y t ydt
= =
onde k é uma constante de proporcionalidade, apesar de ser um dos modelos matemáticos mais simples que conhecemos, ocorre em muitas teorias físicas, químicas e biológicas, envolvendo crescimento ou decrescimento de uma população. Esse modelo está baseado no fato de que quando uma determinada população (bactérias, por exemplo) não está limitada por restrições ambientais, esta tende a crescer (ou decrescer) a uma taxa proporcional ao tamanho da população.
Por exemplo, na Química, a quantidade remanescente de uma substância durante certas reações pode ser descrita pelo PVI (problema de valor inicial) acima. Na Física, este PVI proporciona um modelo para o cálculo aproximado da quantidade remanescente de uma substância que está sendo desintegrada através de radioatividade, bem como para determinar a temperatura de um corpo em resfriamento. Na Biologia, frequentemente é observado que a taxa de crescimento de certas bactérias é proporcional ao
80 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
número de bactérias presentes no dado instante. Durante um curto período de tempo, a população de pequenos animais, tais como roedores, pode ser antecipada com alto grau de precisão pela solução
da equação diferencial dy
kydt
= .
A seguir iremos ilustrar como uma equação desse tipo pode ser
resolvida. Observamos que a equação dy
kydt
= é visivelmente do
tipo separável e, portanto, para resolvê-la, usamos os procedimentos já conhecidos. Assim, temos:
dyky
dt= ⇒
dykdt
y= ⇒
dykdt
y=∫ ∫
⇒ 1 2ln y C kt C+ = + ⇒ ln y kt C= + , onde C = C2 – C1
⇒ (t) = kt C kt C kty e e e Me+ = = , onde M = eC.
Considerando t0 = 0, obtemos y(0) = M. Assim, o tamanho da
população em um instante t qualquer é dado por ( ) (0) kty t y e= ,
onde y(0) representa a população no instante inicial do experimento.
OBSERVE que o módulo de y foi tirado, pois y é uma quantidade positiva.
Integrar os dois lados da igualdade.
Separar as variáveis
Explicitar y como função de t
Resolver a Integral
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
OBS: i) Se k = 0, então a taxa de crescimento é nula e, portanto, a quantidade considerada se mantém constante e igual ao seu tamanho inicial, ou seja,
( ) (0)y t y= para todo tempo t.
ii) Se k > 0, então a quantidade cresce muito rápido (modelo de crescimento exponencial). Assim, este modelo se adéqua somente a populações que possuem esta característica, como colônias de bactérias ou roedores na ausência de predadores, por exemplo.
iii) Se k < 0, então a quantidade decresce rapidamente a partir de seu tamanho inicial (modelo de decrescimento ou decaimento exponencial). Este modelo é muito utilizado para representar o decaimento radioativo de elementos químicos. EXEMPLO Suponha que uma cultura de bactérias se inicie com 500 bactérias e cresça a uma taxa proporcional ao seu tamanho. Depois de 3 horas existem 8.000 bactérias. a) Determine o número de bactérias após 4 horas. b) Após quanto tempo existirão 30.000 bactérias?
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 81
cultura de bactérias se inicie com 500 bactérias e cresça a uma taxa proporcional ao seu tamanho.
82 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Solução
a) Seja y(t) o número de bactérias no instante t. Então temos:
( ), (0) 500dy
ky t ydt
= =
e, portanto, ( ) 500 k ty t e=
Mas, qual é o valor de k ? Para obtê-lo utilizamos a informação de que y(3) = 8.000, ou seja, fazemos:
3 3 8.0008000 500 16
500ln16
3 ln16 0,924196.3
k ke e
k k
= ⇒ = =
⇒ = ⇒ = ≅
Assim, o número de bactérias em um instante t qualquer é dado por
( ) 0,924196500 ty t e= .
Agora, para determinar o número de bactérias, após 4 horas, basta
substituir t por 4 na função ( ) 0,924196500 ty t e= e iremos obter
( )4 20.159y = bactérias.
b) Queremos determinar o valor de t que faz com que y(t) seja igual a 30.000, ou seja, precisamos resolver a equação:
0,924196 0,92419630.000 = 500 60
ln 60 4,43 horas.
0,924196
t te e
t
⇒ =
⇒ = ≅
Logo, existirão 30.000 bactérias após aproximadamente 4 horas e 26 minutos.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
OBS: Como a função exponencial cresce muito rápido, uma pequena mudança na variável independente implica em uma variação muito grande no valor da função. Por isso, devemos evitar arredondamentos com poucas casas decimais quando estamos lidando com exponenciais. Apesar de mais trabalhoso, se quisermos um resultado mais confiável, devemos manter os números com o máximo de casas decimais possível.
Reações químicas de primeira ordem
A desintegração de uma substância radioativa é chamada reação de primeira ordem e pressupõe que se as moléculas de uma substância A se decompõem em moléculas menores, então a taxa na qual essa decomposição ocorre é proporcional à quantidade da primeira substância que não tenha se submetido à conversão. Isso quer dizer que, se X é a quantidade de substância A que não
participa da reação, em qualquer tempo, então dX
kXdt
= onde a
constante k é negativa, pois X é decrescente.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 83
Como a função exponencial cresce muito rápido, uma pequena mudança na variável independente implica em uma variação muito grande no valor da função. Por isso, devemos evitar arredondamentos com poucas casas decimais quando
Apesar de mais trabalhoso, se quisermos um resultado mais confiável, devemos manter os números com o máximo de casas decimais
Reações químicas de primeira ordem
desintegração de uma substância radioativa é chamada e pressupõe que se as moléculas de uma
se decompõem em moléculas menores, então a taxa na qual essa decomposição ocorre é proporcional à quantidade da primeira substância que não tenha se submetido à conversão. Isso
que não
onde a
84 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Um exemplo de uma reação química de primeira ordem é a conversão de t-cloreto butílico em t-álcool butílico:
(CH3)3CCl + NaOH ö (CH3)3COH + NaCl.
É importante observar que apenas a concentração de t-cloreto butílico controla a taxa de reação.
Meia-Vida Na Física, meia-vida é uma medida da estabilidade de uma
substância radioativa. A meia-vida é o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade inicial A0 se desintegrar ou se transmutar em átomos de outro elemento. Quanto maior a meia-vida de uma substância, mais estável ela é. Por exemplo, o isótopo de urânio mais comum, U-238, tem uma meia-vida de aproximadamente 4.500.000.000 de anos. Nesse tempo, metade de uma quantidade de U-238 é transformada em chumbo, Pb-206. EXEMPLO Um reator converte urânio 238 em isótopo de plutônio 239. Após 15 anos, foi detectado que 0,043% da quantidade inicial A0 de plutônio se desintegrou. Encontre a meiavida desse isótopo, se a taxa de desintegração é proporcional à quantidade remanescente. Solução
Seja A(t) a quantidade de plutônio remanescente no instante t. Como já visto anteriormente, a solução para o problema de valor inicial é
0( ) A ktA t e=
Assim, se 0,043% dos átomos de A0 se desintegrou, então 99,957% da substância permaneceu. Para calcular k, usamos 0,99957 A0
A(15), ou seja,
150 00,99957 15 ln(0,99957) 0,00002867kA A e k k= ⇒ = ⇒ = −
Portanto,
é a
cloreto
é uma medida da estabilidade de uma é o tempo gasto para metade dos
se desintegrar ou se transmutar vida de uma
substância, mais estável ela é. Por exemplo, o isótopo de urânio vida de aproximadamente
4.500.000.000 de anos. Nesse tempo, metade de uma quantidade de
Um reator converte urânio 238 em isótopo de plutônio 239. Após 15 anos, foi detectado que 0,043% da
de plutônio se desintegrou. Encontre a meia-vida desse isótopo, se a taxa de desintegração é proporcional à
. Como ção para o problema de valor inicial é
se desintegrou, então 99,957%
0 =
0,99957 15 ln(0,99957) 0,00002867 .
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
0,000028670( ) A tA t e−= .
Agora, considerando que a meia-vida é o tempo t no qual
( ) 0A
2A t = e calculando o valor de t nesta equação, temos que:
0,00002867 0,0000286700
1
2 21
0,00002867 ln 24.235,92.2
t tAA e e
t t
− −= ⇒ =
⇒ − = ⇒ =
Portanto, a meia-vida do isótopo de plutônio é de aproximadamente 24.236 anos.
Determinação da idade por radiocarbono
Uma importante ferramenta na pesquisa arqueológica é a determinação da idade por radiocarbono. Este é um modo de determinar a idade de certos restos de madeira e plantas, além de ossos humanos, de animais ou de artefatos encontrados nos mesmos níveis. O procedimento foi desenvolvido pelo químico Willard Libby no início dos anos 50 e isso lhe conferiu o prêmio Nobel de Química em 1960. A teoria da cronologia do carbono baseiafato de que o isótopo do carbono 14 é produzido na atmosfera pela ação de radiações cósmicas no nitrogênio. A razão entre a quantidade de C-14 para carbono ordinário na atmosfera parece suma constante e, como consequência, a proporção da quantidade do isótopo presente em todos os organismos vivos é a mesma proporção da quantidade na atmosfera. Quando um organismo morre, a absorção de C-14, através da respiração ou alimentação, cessa. Logo, comparando a quantidade proporcional de Cpresente, digamos em um fóssil, com a razão constante encontrada
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 85
no qual
que:
0,00002867 ln 24.235,92.
vida do isótopo de plutônio é de aproximadamente
Determinação da idade por
Uma importante ferramenta na pesquisa arqueológica é a determinação da idade por radiocarbono. Este é um modo de
de certos restos de madeira e plantas, além de ossos humanos, de animais ou de artefatos encontrados nos mesmos níveis. O procedimento foi desenvolvido pelo químico Willard Libby no início dos anos 50 e isso lhe conferiu o prêmio Nobel de
A teoria da cronologia do carbono baseia-se no fato de que o isótopo do carbono 14 é produzido na atmosfera pela ação de radiações cósmicas no nitrogênio. A razão entre a
14 para carbono ordinário na atmosfera parece ser ência, a proporção da quantidade do
isótopo presente em todos os organismos vivos é a mesma proporção da quantidade na atmosfera. Quando um organismo
14, através da respiração ou alimentação, tidade proporcional de C-14
presente, digamos em um fóssil, com a razão constante encontrada
86 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
na atmosfera, é possível obter uma razoável estimativa da idade do fóssil. Como a meia-vida do carbono 14 é longa (aproximadamente 5.745 anos), quantidades mensuráveis de carbono 14 estão presentes após muitos milhares de anos, o que possibilita a determinação da idade de objetos muito antigos.
EXEMPLO Suponha que um pedaço de tecido tenha sido descoberto, contendo 74% de carbono 14 radioativo em relação às plantas terrestres nos dias atuais. Sabendo-se que a meia-vida do carbono 14 é de aproximadamente 5.745 anos, estime a idade do pedaço do tecido. Solução
Seja C() a concentração de carbono 14 remanescente no tecido no instante t. Como observado anteriormente, C(t) satisfaz a equação
( )dC
kC tdt
= , cuja solução, já vimos que é dada por ( ) 0 .ktC t C e=
Com a informação da meia-vida do elemento, obtemos o valor de k
5745 5745(0) 1(0)
2 21
5745 ln( ) 0,00012072
k kCC e e
k k
= ⇒ =
⇒ = ⇒ ≅ −
0,0001207 ( ) (0) .tC t C e−∴ =
Por outro lado, queremos determinar t de tal modo que, neste instante, a concentração de carbono 14 seja 0,74 da concentração original. Para isso, procedemos do seguinte modo:
0,0001207 0,0001207(0) 0,74 (0) 0,74 t 2.494,7t tC e C e− −= ⇒ = ⇒ ≅
Portanto, a partir destes cálculos, concluímos que o tecido tem aproximadamente 2.500 anos.
na atmosfera, é possível obter uma razoável estimativa da idade do vida do carbono 14 é longa (aproximadamente
veis de carbono 14 estão presentes após muitos milhares de anos, o que possibilita a determinação da
Suponha que um pedaço de tecido tenha sido descoberto, contendo 74% de carbono 14 radioativo em relação às
vida do carbono 14 é de aproximadamente 5.745 anos, estime a idade do
) a concentração de carbono 14 remanescente no tecido no ) satisfaz a equação
.
k :
de tal modo que, neste instante, a concentração de carbono 14 seja 0,74 da concentração
(0) 0,74 (0) 0,74 t 2.494,7 .
Portanto, a partir destes cálculos, concluímos que o tecido tem
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 87
Crescimento populacional com capacidade suporte
O modelo estudado para representar crescimento populacional, como já observado, é representativo apenas de populações que crescem muito rapidamente, o que é raro, pois o próprio meio geralmente regula o tamanho das populações. Isso se dá pelo fato de que, mesmo na ausência de predadores, se uma população vive em um determinado ambiente, limitado em termos de espaço, ela cresce muito e certamente faltará alimento, o que fará com que seus componentes comecem a morrer ou migrar-se. Essa limitação do meio é usualmente conhecida como capacidade suporte, ou seja, uma população cresce até atingir a capacidade suporte do meio em que vive. A partir daí, começa a decrescer. Este fenômeno foi representado pela primeira vez pelo matemático-biólogo P.F. Verhulst, em 1840, quando propôs um modelo matemático para previsão de populações humanas de vários países. Seu modelo considera que, se P(t) é o tamanho de uma população no instante t, α >0 é sua taxa de crescimento e K é a capacidade suporte do meio, então P(t) satisfaz a seguinte equação diferencial (conhecida como equação logística):
( ) ( ) 1
dP P tP t
dt Kα
= −
.
Observe que se P(t) < K, então 0dP
dt> , o que significa que P(t)
cresce. Por outro lado, se P(t) > K, então 0dP
dt< , significando que a
população decresce após atingir a capacidade suporte. Finalmente,
quando P(t) = K, temos 0dP
dt= , o que significa que a população está
88 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
estacionada (constante). Por isso dizemos que esta equação representa bem o crescimento populacional com capacidade suporte.
No último caso, ou seja, quando a taxa de crescimento é nula, a solução P(t) = K é denominada solução de equilíbrio da equação, a qual pode ser estável ou instável, conforme aprenderemos quando estudarmos campos de direções. Do ponto de vista físico, dizemos que uma solução de equilíbrio é estável se após uma pequena perturbação em seu valor, o mesmo retorna para o equilíbrio, e dizemos que ela é instável se isso não ocorre.
Neste momento estamos interessados em encontrar uma
solução para a equação ( )
( ) 1dP P t
P tdt K
α
= −
e, a partir desta
solução, visualizar seu gráfico. O fenômeno de estabilidade assintótica da solução P(t) = K será observado graficamente e algebricamente, a partir da solução.
É fácil ver que a equação é do tipo separável:
1
1 1
1 1
1 .
1 1
dPdP dt
P PdtP P
K K
dPdP dt t C
P PP P
K K
α α
α α
= ⇒ =
− −
⇒ = ⇒ = +
− −
∫ ∫ ∫
A integral acima se resolve por frações parciais. Fazendo
( )1
P K PP K PP P
K K K
−− − = =
concluímos que:
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 89
( )1
1
KP P K P
PK
=−
−
.
Assim, aplicando o método das frações parciais, verificamos que:
1 1
( )
K A B
P K P P K P P K P= + = = +
− − −⋯
2 2 ln ln ln .1
dP dP dP PP K P C C
P P K P K PP
K
∴ = + = − − + = +− −
−
∫ ∫ ∫
Voltando à equação original, obtemos:
33 4ln t C tP P
t C e C eK P K P
α αα += + ⇒ = =− −
,
onde C3 = C1 – C2 e 34
CeC = .
Agora, para “tirarmos” o módulo, necessitamos analisar dois casos:
Caso 1: P < K
4 4
4 4
4 4
44 4
( )
(1 )
1 ( ) ,
1 1
( ) .1
t t
t t
t
t t t
t
PP K C e P K P C e
K P
P C e KC e
KC e KC KP t C
CC e C e Ce
KP t
Ce
α α
α α
α
α α α
α
− −
−
< ⇒ = ⇒ = −−
⇒ + =
⇒ = = = =+ + +
∴ =+
90 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Supondo t0 = 0, obtemos C : (0)
(0) 1 (0)
K K PP C
C P
−= ⇒ =
+
Aqui vale a pena algumas observações:
1) lim ( )t
P t K→∞
= , ou seja, se o tamanho inicial da população for
menor que a capacidade suporte do meio, então, segundo este modelo, ao longo do tempo, a população crescerá até se aproximar da capacidade suporte e se estabilizará neste tamanho (P(t) = Kuma solução assintoticamente estável). 2) O gráfico de P(t) é denominado de curva logística e é conhecido como sigmóide devido ao seu formato de S. 3) O ponto de inflexão da curva logística ocorre, exatamente, no instante em que o tamanho da população é igual à metade da sua
capacidade suporte, ou seja, em ( )2
KP t = .
De fato,
( ) ( )( )
( )( )
2
' 1P tP t
P t P t P tK K
αα α
= − = −
(0)
, ou seja, se o tamanho inicial da população for
menor que a capacidade suporte do meio, então, segundo este modelo, ao longo do tempo, a população crescerá até se aproximar
K é
e é conhecido
3) O ponto de inflexão da curva logística ocorre, exatamente, no instante em que o tamanho da população é igual à metade da sua
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 91
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2
'' ' 2 ' ' 1 0P t
P t P t P t P t P tK K
αα α
⇒ = − ⋅ = − =
( )
( )( )
' , 0
21
2P t
P t KP t
Kα >
⇔ = ⇔ =
e ( ) ( )
( ) ( )
'' 0 se2
'' 0 se2
KP t P t
KP t P t
> <
< >
Isso significa que a taxa de crescimento começa a diminuir quando a população atinge metade de sua capacidade de suporte, e continua diminuindo até zerar, ao atingir a capacidade de suporte. Nesse estágio dizemos que a taxa de crescimento atingiu seu equilíbrio.
4) O modelo logístico também é utilizado para analisar a capacidade de crescimento de empresas e a velocidade de algumas reações químicas.
Caso 2: P > K
4 4
4 4
4 4
44 4
( )
(1 )
1 ( ) ,
1 1
( ) .1
t t
t t
t
t t t
t
PP K C e P P K C e
P K
P C e KC e
KC e KC KP t C
CC e C e Ce
KP t
Ce
α α
α α
α
α α α
α
− −
−
> ⇒ = ⇒ = −−
⇒ − = −
⇒ = = = =− − −
∴ =−
92 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Supondo t0 = 0, obtemos C :
(0)(0)
1 (0)
K P KP C
C P
−= ⇒ =
−
Aqui novamente observamos que lim ( )t
P t K→∞
= , mostrando que
de fato, a solução ( )P t K= é uma solução de equilíbrio
assintoticamente estável, ou seja, ao longo do tempo, independente do tamanho da população inicial, ela se estabilizará em torno da capacidade suporte do meio.
Lembramos que se inicialmente tivermos P = K, então a
equação original torna-se 0dP
dt= e, portanto, P(t) = P(0), para todo
t, ou seja, a população mantém-se constante, já que a taxa de crescimento é nula. EXEMPLO Biólogos colocaram 400 peixes em um lago e estimaram a capacidade suporte como sendo 10.000. O número de peixes triplicou no primeiro ano.
, mostrando que,
é uma solução de equilíbrio
, ou seja, ao longo do tempo, independente do tamanho da população inicial, ela se estabilizará em torno da
, então a
(0), para todo
se constante, já que a taxa de
Biólogos colocaram 400 peixes em um lago e estimaram a capacidade suporte como sendo 10.000. O número de
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
a) Assumindo que o tamanho da população de peixes satisfaça a equação logística, encontre uma expressão para a quantidade de peixes no lago após t anos.
b) Quanto tempo levará para que se tenha 5.000 peixes no lago?Solução
a) Temos P(0) = 400 e K = 10.000. Portanto, pela hipótese de que a população satisfaz a equação logística e pelos cálculos realizados
anteriormente, sabemos que 10.000 400
24400
C−
= = e que a
quantidade de peixes em um tempo t qualquer será dada por
10.000( )
1 24 tP t
e α−=
+.
Para encontrar α basta observarmos que P(1) = 3 P(0) = 1.200. Substituindo na função, obtemos
10.0001.200 1.200 28.800 10.000 1,1856
1 24e
eα
αα−
−= ⇒ + = ⇒ ≅
+Portanto,
1,1856
10.000( )
1 24 tP t
e−=
+.
b) Queremos encontrar t tal que P(t) seja igual a 5.000. Para isso,
basta resolver a equação:
1,1856
10.0005.000 2,68
1 24 tt
e−= ⇒ ≅
+.
Portanto, depois de aproximadamente 2 anos e 8 meses, o lago terá 5.000 peixes.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 93
Assumindo que o tamanho da população de peixes satisfaça a equação logística, encontre uma expressão para a quantidade de
Quanto tempo levará para que se tenha 5.000 peixes no lago?
= 10.000. Portanto, pela hipótese de que a população satisfaz a equação logística e pelos cálculos realizados
e que a
qualquer será dada por
(0) = 1.200.
1.200 1.200 28.800 10.000 1,1856
) seja igual a 5.000. Para isso,
2 anos e 8 meses, o lago terá
94 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Reações químicas de segunda ordem
Uma reação química de segunda ordem envolve a interação (colisão) de uma molécula de uma substância P com uma molécula de uma substância Q, a fim de produzir uma molécula de uma nova substância X. A notação usual para esse tipo de equação é
P Q X+ → .
Suponha que p e q sejam as concentrações iniciais das substâncias P e Q, respectivamente, e seja x(t) a concentração de no tempo t. Então, p – x(t) e q – x(t) são as concentrações de P e no tempo t, e a velocidade com que a reação ocorre é descrita pela equação
( )( )dx
p x q xdt
α= − −
onde α é uma constante positiva.
Um exemplo de uma reação química de segunda ordem é
CH3Cl +NaOH ö CH3OH + NaCl
onde para cada molécula de cloreto metílico, uma molécula de hidróxido de sódio é consumida, formando assim uma molécula de álcool metílico e uma molécula de cloreto de sódio. Nesse caso, a taxa na qual a reação se processa é proporcional ao produto das concentrações remanescentes de CH3Cl e de NaOH. Na notação da equação, x denota a quantidade de CH3OH formada e p e q são as quantidades dadas dos dois primeiros compostos químicos. EXEMPLO 1 a) Se x(0) = 0, resolva a equação geral dada acima. b) Faça o mesmo quando as substâncias P e Q são as mesmas, ou
seja, 2( )dx
p xdt
α= − .
envolve a interação com uma molécula
a fim de produzir uma molécula de uma nova
sejam as concentrações iniciais das ) a concentração de X
e Q , e a velocidade com que a reação ocorre é descrita pela
onde para cada molécula de cloreto metílico, uma molécula de ormando assim uma molécula de
álcool metílico e uma molécula de cloreto de sódio. Nesse caso, a taxa na qual a reação se processa é proporcional ao produto das
Cl e de NaOH. Na notação da são as
são as mesmas, ou
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 95
Solução
a) A EDO dada é do tipo separável e, portanto, para resolvê-la fazemos:
( )( )
dxdt
p x q xα=
− −∫ ∫ .
Pelo método das frações parciais, temos: 1
( )( )
A B
p x q x p x q x= +
− − − −,
de onde obtemos as constantes 1
Aq p
=−
e 1
Bq p
−=
−,
as quais estão definidas somente quando p q≠ .
Assim, por um lado, temos:
1
1
1
1 1
( )( )
1 1ln ln
1 ln ln
1ln
dx dx dx
p x q x q p p x q p q x
p x q x Cq p q p
q x p x Cq p
q xC
q p p x
= − =− − − − − −
−= − + − + =
− −
= − − − + = −
−= +
− −
∫ ∫ ∫
e, por outro lado, sabemos que 2dt t Cα α= +∫ .
Portanto,
96 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
3
3 3
( )( ) ( )
1ln ln ( )( )
,q p t C q p t
q x q xt C q p t C
q p p x p x
q xe Ce
p xα α
α α
− + −
− −= + ⇒ = − + ⇒
− − −
−⇒ = =
−
onde C3 = C2 – C1 e 3( )C q pC e −= .
Como x(0) = 0, segue que q
Cp
=
e como p – x > 0 e q – x > 0
(representam as concentrações remanescentes de p e respectivamente), podemos eliminar o módulo, fazendo com que a equação acima se torne:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
1 1
1 .
q p t q p t
q p t q p t
q p t
q p t
q x q qe q x p x e
p x p p
qx e q e
p
pq ex
qe p
α α
α α
α
α
− −
− −
−
−
−= ⇒ − = −
−
⇒ − = −
−⇒ =
−
Portanto, ( )( )
( )
1( )
q p t
q p t
pq ex t
qe p
α
α
−
−
−=
−, para p q≠ .
b) Fica como exercício. EXEMPLO 2 Um composto C é formado quando dois compostos químicos A e B são combinados. A reação resultante entre os dois compostos é tal que, para cada grama de A, 4 gramas de B são usados. É observado que 30 gramas do composto C são formados em 10 minutos. Determine a quantidade de C em qualquer instante se a taxa de reação é proporcional às quantidades de A e
,
> 0
e q, módulo, fazendo com que a
1 1
é formado quando dois compostos são combinados. A reação resultante entre os dois
são são formados
em qualquer instante e B
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 97
remanescentes e se inicialmente havia 50 gramas de A e 32 gramas de B. Qual a quantidade do composto C que estará presente após 15 minutos? Interprete a solução quando t ö ∞. Solução
Seja x(t) a quantidade, em gramas, do composto C, presente em qualquer instante. Claramente, x(0) = 0 e x(10) = 30. Se chamarmos de a a quantidade usada do composto A e de b a quantidade usada do composto B, teremos a + b = x e b = 4 a. Um simples cálculo nos fornece a = x/5 e b = (4x)/5. Isso significa que, para cada x gramas de C devemos usar x/5 gramas de A e (4x)/5 gramas de B.
As quantidades remanescentes de A e B em qualquer instante são, respectivamente,
450 e 32
5 5
xx− −
Sabemos que a taxa na qual o composto C é formado satisfaz
450 32 .
5 5
dx xx
dt
− − ∼
Para simplificar, fatoramos 1/5 do primeiro termo e 4/5 do segundo, e os incluímos na constante de proporcionalidade:
( )( )250 40 .dx
k x xdt
= − −
Separando as variáveis e usando frações parciais, podemos escrever
( )( ) ( ) ( )1 1
250 40 210 250 210 40
dxkdt dx dx kdt
x x x x= ⇒ − + =
− − − −
2101 2
250 250 ln 210 .
40 40k tx x
k t c c ex x
− −⇒ = + ⇒ =
− −
Quando t = 0, temos que x = 0 e, portanto, c2 = 25/4. Usando x = 30 em t = 10, encontramos
98 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
1 88210 ln 0,1258.
10 25k = =
Com estas informações, explicitamos x: 0,1258
0,1258
1( ) 1000 .
25 4
t
t
ex t
e
−
−
−=
−
Calculando o limite de x(t), quando t ö ∞, vemos que após um longo período de tempo, x ö 40, ou seja, haverá se formado 40 g do composto C, deixando 42 g de A (50 – (1/5) 40) e 0 g de B (32 – (4/5) 40).
O gráfico de x(t) é mostrado na figura abaixo:
EXERCÍCIOS 2.2
1. Uma célula está em um líquido contendo um soluto, por
exemplo, potássio, de concentração constante C . Se C(t) é a concentração do soluto dentro da célula no instante t, então o princípio de Fick da difusão passiva através da membrana da célula afirma que a taxa à qual a concentração varia é proporcional ao
gradiente de concentração C-C(t). Determine C(t) se C(0) = 0.
2. O isótopo radioativo tório 234 desintegra-se numa taxa proporcional à quantidade presente. Se 100 miligramas deste
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 99
material são reduzidos a 82,04 miligramas em uma semana, ache a expressão para a quantidade presente em qualquer tempo (medido em dias). Ache também o intervalo de tempo necessário para a massa decair à metade de seu valor original. 3. O isótopo radioativo plutônio 241 decai de modo a satisfazer a equação diferencial '( ) 0,0525Q t Q= − , onde Q é medido em
miligramas e t em anos. (a) Determine a meia-vida do plutônio 241. (b) Se temos 50 miligramas de plutônio hoje, quanto restará em 10 anos?
4. Suponha que se descubram restos arqueológicos em que a quantidade residual de carbono 14 seja 20% da quantidade original. Determine a idade destes restos.
5. Suponha que, numa determinada reação química, a substância P se transforme numa substância X. Seja p a concentração inicial de P e x(t) a concentração de X no tempo t. Então p – x(t) é a concentração de P em t. Suponha ainda que a reação seja autocatalítica, isto é, a reação é estimulada pela substância que está sendo produzida. Deste modo, dx/dt é proporcional a ambos, x e p – x, satisfazendo a equação diferencial '( ) ( )x t x p xα= − , onde α é
uma constante positiva. Se x(0) = x0, determine x(t).
6. Uma teoria matemática das epidemias foi desenvolvida através das seguintes linhas: assuma que exista uma comunidade com n habitantes contendo p indivíduos infectados e q indivíduos não infectados, porém suscetíveis, onde p + q = n. Ou ainda, seja x a proporção de indivíduos doentes e y a proporção de indivíduos sadios. Logo, x = p/n, y = q/n e x + y = 1. Se n é grande, é razoável supor x e y contínuas; assim, a taxa na qual doença se expande é dx/dt. Se fizermos a hipótese razoável de que a doença se espalha pelo contato de indivíduos sadios com os doentes da comunidade, então dx/dt será proporcional ao número de contatos. Se membros
100 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
dos dois grupos se movem livremente entre eles, o número de contatos é proporcional ao produto de x e y. Chegamos assim à equação diferencial
dxxy
dtβ= ou (1 )
dxx x
dtβ= − ,
onde β é um fator positivo de proporcionalidade. Supondo que em
t = 0 a quantidade de indivíduos infectados seja x0, determine a quantidade de infectados em um tempo t qualquer. Faça uma análise
deste valor quando t → ∞. Você acha este modelo realístico? Por quê?
7. A população de bactérias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao número de bactérias no instante t. Após 3 horas, observou-se a existência de 400 bactérias. Após 9 horas, 2.500 bactérias. Qual era o número inicial de bactérias? 8. Dois compostos químicos A e B são combinados para formar um terceiro composto C. A taxa ou velocidade da reação é proporcional à quantidade instantânea de A e B não convertida em C. Inicialmente há 40 g de A e 50 g de B e, para cada grama de B, 2 gramas de A são usados. É observado que 10 g de C são formados em 5 minutos. Quanto é formado em 20 minutos? Qual é a quantidade limite de C após um longo período de tempo? Qual é a quantidade remanescente de A e B depois de um longo período de tempo?
9. O número de supermercados C(t) no país que estão usando um sistema computadorizado é descrito pelo problema de valor inicial
(1 0,0005 ), (0) 1dC
C C Cdt
= − = , sendo 0t ≥ .
Quantos supermercados estarão usando sistemas computadorizados quando t = 10? Quantas companhias estarão adotando este novo sistema depois de um longo período de tempo?
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 101
EDOs Lineares
Uma equação diferencial ordinária é dita linear se puder ser expressa na forma
( ) ( ) ( )dy
p t y t q tdt
+ = ,
onde p e q são funções contínuas em um determinado intervalo. Para resolver esta equação precisamos encontrar uma função auxiliar,
( )tµ , tal que
[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )dy d
t p t y t t y tdt dt
µ µ
+ = , (*)
pois, uma vez determinada esta função, teremos:
[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 ( ) ( ) ( )
( )
dt y t t q t t y t t q t dt C
dt
y t t q t dt Ct
µ µ µ µ
µµ
= ⇒ = +
∴ = +
∫
∫
que é a solução procurada. Mas quem é )(tµ ?
Da equação (*) temos que:
1( ) ( )
1
( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( )
'( ) ( ) ( ) '( ) ( )
( )
( ) ln ( ) ( ) ,p t dt C p t dt
t y t t p t y t t y t t y t
tt p t t p t
t
p t dt C t t e Ae
µ µ µ µ
µµ µ
µ
µ µ+
+ = +
⇒ = ⇒ =
∫ ∫⇒ + = ⇒ = =∫
onde A=eC1.
Portanto, todas as funções do tipo ( )
( )p t dt
t Aeµ ∫= podem ser
utilizadas na obtenção da solução y(t).
102 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Observe que a constante A não influencia na solução da equação diferencial e, portanto, podemos sempre utilizar a função
( ) ( )( )
p t d tt eµ ∫= como auxiliar na resolução de EDOs lineares de
primeira ordem. Esta função ( )tµ é chamada fator integrante
EDO e y(t) é, então, dada por
1( ) ( ) ( )
( )y t t q t dt C
tµ
µ = + ∫ .
Método do Fator Integrante
Passo 1: Determine o fator integrante ( )
( ) .p t dt
t eµ ∫= Como
qualquer µ será suficiente, podemos considerar a constante de integração igual a zero.
Passo 2: Multiplique ambos os lados da equação
( ) ( ) ( )dy
p t y t q tdt
+ = por ( )tµ e expresse o resultado como
[ ]( ) ( ) ( ) ( ).d
t y t t q tdt
µ µ=
Passo 3: Integre ambos os lados da equação obtida no passo 2 e, em seguida, resolva para y. Não se esqueça de acrescentar uma constante de integração nesse passo.
EXEMPLO 1 Encontre a solução do PVI
21( 1) , 1
1
(0) 2
dyy x x
dx x
y
− = + > − +
=
.
não influencia na solução da equação diferencial e, portanto, podemos sempre utilizar a função
como auxiliar na resolução de EDOs lineares de
da
Como
será suficiente, podemos considerar a constante de
Multiplique ambos os lados da equação
Integre ambos os lados da equação obtida no passo 2 e, em . Não se esqueça de acrescentar uma
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Solução
Neste caso temos 1
( )1
p tx
= −+
e 2( ) ( 1)q t x= + .
Assim, o fator integrante é dado por
11
ln( 1) ln( 1)1 1( )
1
dxx xxx e e e
xµ
−−
− + ++∫= = = =
+
Multiplicando ambos os lados da equação por ( )xµ obtemos:
( ) ( )(2
2
1 1 1 1( 1) 1
1 1 11
dy dy x y x
x dx x dx xx
− = + ⇒ = + + + + +
Integrando ambos os lados dessa equação em relação a x, obtemos
21
1 2
xy x C
x= + +
+
Como y(0) = 2, segue que C = 2 e, portanto, a solução do PVI é dada por:
3 23( ) 3 2
2 2
x xy x x= + + + .
EXEMPLO 2 Encontre a solução do PVI 2
(0) 3
tdyy e
dty
−+ =
=
Solução
Temos que p(t) = 2 e q(t) = e – t Logo,
2 2( )
dt tt e eµ ∫= =
OBSERVEconsideramosconstante de integração igual a zero.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 103
( )( 1) 1y x y x= +
, obtemos
= 2 e, portanto, a solução do PVI é dada
OBSERVE que consideramos a constante de integração igual a
104 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
e y(t) é dada por:
2 2 2
2
( ) ( )
( ) .
t t t t t t t
t t
de y t e e e e y t e dt e C
dt
y t e Ce
−
− −
= = ⇒ = = +
∴ = +
∫
Como y(0) = 3, segue que C = 2 e assim, a solução do PVI é dada
por 2( ) 2t ty t e e− −= + .
EXEMPLO 3 Encontre a solução do PVI ' 2 1
(0) 1
y xy
y
− =
= .
Solução
Neste caso, p(x) = − 2x e q(x) = 1. Logo, 22
( )x dx xx e eµ
− −∫= =
y(x) é dada por:
2 2 2 2
( ) ( )x x x xde y x e e y t e dx C
dx− − − − = ⇒ = +
∫ .
Todavia, esta última integral não pode ser expressa em termos de funções elementares e, portanto, o PVI não possui uma solução analítica.
= 2 e assim, a solução do PVI é dada
2x e
Todavia, esta última integral não pode ser expressa em termos de funções elementares e, portanto, o PVI não possui uma solução
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
O exemplo anterior nos indica que, muitas vezes, equações simples possuem soluções complexas enquanto que equaçõesaparentemente complicadas podem ter soluções bem simples. Vejamos o próximo exemplo: EXEMPLO 4 Encontre a solução da equação
'( ) ( )cotg( ) cossec( ).y x y x x x+ =
Solução
Temos p(x) = cotg(x) e q(x) = cossec(x). Então,
cot ( ) ln(sen( ))( ) sen( )g x dx xx e e xµ ∫= = = ,
para todo x tal que sen (x) > 0 e
[ ]1
sen( ) ( ) sen( ) 1 sen( ) ( ) sen( )
( ) .sen( )
dx y x x x y x x C
dx x
x Cy x
x
= = ⇒ = +
+⇒ =
Aplicações
Misturas
Na mistura de dois fluidos, normalmente se deseja determinar a concentração de um deles em cada instante de tempo. Quando existe fluxo, ou seja, entrada e saída de uma substância, então a taxa de variação da concentração desta substância num determinado instante é dada pela taxa de entrada menos a taxa de saída desta substância, neste instante.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 105
O exemplo anterior nos indica que, muitas vezes, equações simples possuem soluções complexas enquanto que equações aparentemente complicadas podem ter soluções bem simples.
sen( ) ( ) sen( ) 1 sen( ) ( ) x y x x x y x x C= +
Na mistura de dois fluidos, normalmente se deseja determinar a concentração de um deles em cada instante de tempo. Quando existe
substância, então a taxa de variação da concentração desta substância num determinado instante é dada pela taxa de entrada menos a taxa de saída desta substância,
106 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
EXEMPLO 1 Considere um tanque contendo, no tempo t = 0, Qkg de poluentes dissolvidos em 100 litros de água. Suponha que água contendo ¼ kg de poluentes por litro esteja entrando no tanque numa taxa de 3ℓ/min e que a solução, bem misturada, sai do tanque na mesma taxa. Encontre uma expressão para a quantidade de poluentes no tanque num instante t qualquer. Solução
Seja Q(t) a quantidade de poluentes no tanque no instante t. Então a taxa de variação desta quantidade (kg/min) é dada pela diferença entre a quantidade que entra e a que sai:
kg 1 kg ( ) kg3 3
min 4 min min 100
dQ l l Q t
dt l l
= × − ×
ou
3 3 3( ) 0,03 ( )
4 100 4
dQ dQQ t Q t
dt dt= − ⇒ + = ,
que é uma equação linear.
Então, considerando0,03 0,03( )
dt tt e eµ ∫= = , Q(t) é dada por:
0,03 0,033( )
4t td
e Q t edt =
donde segue que:
0,030,03 0,03
0,03
( ) 0,75 0,750,03
( ) 25 .
tt t
t
ee Q t e dt C
Q t Ce−
= = +
∴ = +
∫
Como Q(0) = Q0, segue que 0 025 25Q C C Q= + ⇒ = − .
Substituindo na solução, obtemos:
Q0 s dissolvidos em 100 litros de água. Suponha que
água contendo ¼ kg de poluentes por litro esteja entrando no tanque ão, bem misturada, sai do tanque
na mesma taxa. Encontre uma expressão para a quantidade de
. Então a taxa de variação desta quantidade (kg/min) é dada pela diferença
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
0,030( ) 25 ( 25) tQ t Q e−= + − ou 0,03 0,03
0( ) 25(1 )t tQ t e Q e− −= − +
Observe que quando , ( ) 25t Q t→ +∞ → , o que significa que após
um longo período de tempo, a quantidade de poluentes no tanque se estabilizará em 25 kg . EXEMPLO 2 Uma solução de glicose é administrada por via intravenosa na corrente sanguínea a uma taxa de 0,7 mg/s. À medida que a glicose é adicionada, ela é convertida em outras substâncias e removida da corrente sanguínea à uma taxa de 0,01 mg/s. Determine a concentração de glicose na corrente sanguínea em um instante qualquer. Solução
Seja ( )C t a concentração de glicose na corrente sanguínea no
instante t. A medida da variação da concentração da glicose na corrente sanguínea em cada instante é feita através da medida do quanto entra menos o quanto sai. O que entra, neste caso é fixo, ou seja, 0,7 mg/seg e o que sai é uma proporção do que existe naquele instante, ou seja, 0,01 C(t). Assim, a taxa de variação é dada por:
0,7 0,01 ( )dC
C tdt
= − ou '( ) 0,01 ( ) 0,7C t C t+ = ; (0)C C
O fator integrante é dado por
0,01 0,01( )dt tt e eµ ∫= =
Logo,
0,01 0,01( ) 0,7 t tde C t e
dt =
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 107
0,03 0,030
t tQ t e Q e− − .
, o que significa que após
um longo período de tempo, a quantidade de poluentes no tanque se
Uma solução de glicose é administrada por via intravenosa na corrente sanguínea a uma taxa de 0,7 mg/s. À medida
ose é adicionada, ela é convertida em outras substâncias e removida da corrente sanguínea à uma taxa de 0,01 mg/s. Determine a concentração de glicose na corrente sanguínea em um instante t
a concentração de glicose na corrente sanguínea no
. A medida da variação da concentração da glicose na corrente sanguínea em cada instante é feita através da medida do quanto entra menos o quanto sai. O que entra, neste caso é fixo, ou
7 mg/seg e o que sai é uma proporção do que existe naquele ). Assim, a taxa de variação é dada por:
0(0)C C=
108 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
0,01 0,01 0,01
0,01
0,7 ( ) 0,7
0,01
( ) 70
t t t
t
e C t e dt e c
C t ce−
⇒ = = +
∴ = +
∫
Como 0(0)C C= , segue que C = C0 −70.
Portanto, a concentração de glicose na corrente sanguínea em um
instante t qualquer é dada por ( ) 0,010( ) 70 70 tC t C e−= + − .
Lei de resfriamento de Newton
A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação da temperatura T(t) de um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura atual do corpo T(t) e a temperatura constante do meio ambiente Tm. Portanto, a equação que representa o problema é dada por
( )m
dTk T T
dt= − ,
que é uma equação tanto separável quando linear. Sua característica linear se torna mais visível quando a escrevemos assim:
'( ) mT t kT kT− = − .
Vamos utilizar o procedimento de equações lineares para resolvê-la. Para isso, considere o fator integrante
( ) .kdt ktt e eµ
− −∫= =
Assim, temos:
Portanto, a concentração de glicose na corrente sanguínea em um
A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação da ) de um corpo é proporcional à diferença entre a
) e a temperatura constante do meio . Portanto, a equação que representa o problema é dada
que é uma equação tanto separável quando linear. Sua característica linear se torna mais visível quando a escrevemos assim:
Vamos utilizar o procedimento de equações lineares para la. Para isso, considere o fator integrante
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
( ) ( )
( ) ( ) .
k t k t k t k t mm m
k t k t k tm m
kT ede T t kT e e T t kT e dt C
dt k
e T t T e C T t T Ce
− − − −
− −
− = − ⇒ = − = + −
∴ = + ⇒ = +
∫
EXEMPLO Suponha que uma xícara de café esteja a 90 o
após ser coado e, um minuto depois, passa para 85 oC, em uma cozinha a 25 oC. a) Determine a temperatura do café em função do tempo. b) Quanto tempo levará para o café chegar a 60 oC ? Solução Utilizando a equação acima para resolver o problema, podemos dizer que a temperatura do café, após t minutos que foi coado, será
dada por ( ) .ktmT t T Ce= + Considerando que T(0) = 90 e Tm
substituindo na solução, temos 90 25 65C C= + ⇒ = .
Considerando agora que T(1) = 85, obtemos k = − 0,080043. Substituindo na solução, obtemos
0,080043( ) 25 65 .tT t e−= +
b) Substituindo T(t) por 60 encontramos o tempo que levará para a temperatura do café chegar a 60 oC. Assim, temos:
0,080043 0,080043 60 2560 25 65
65 0,080043 0,619039
7,73.
t te e
t
t
− − −= + ⇒ =
⇒ − = −
∴ ≅
Logo, levará aproximadamente 7 minutos e 44 segundos para a temperatura do café chegar a 60 oC.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 109
k tmkT e
e T t kT e e T t kT e dt Cdt k
−
= − = +−
oC logo C, em uma
Utilizando a equação acima para resolver o problema, podemos minutos que foi coado, será
Tm = 25,
0,080043.
) por 60 encontramos o tempo que levará para a
0,080043 0,619039
Logo, levará aproximadamente 7 minutos e 44 segundos para a
110 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Circuito em série
Em um circuito em série contendo um resistor e um indutor, a segunda lei de Kirchhoff diz que a soma da queda de tensão no indutor (L . (di/dt)) e da queda de tensão no resistor (iR) é igual à voltagem (E(t)) no circuito. Logo, obtemos a equação diferencial linear para a corrente i(t) :
( )di
L Ri E tdt
+ =
onde L e R são constantes conhecidas como a indutância e a resistência, respectivamente.
A queda de potencial em um capacitor com capacitância C
dada por ( )q t
C, em que q é a carga no capacitor. Então, para um
circuito em série, a segunda lei de Kirchhoff nos dá:
1( ).Ri q E t
c+ =
Mas a corrente i e a carga q estão relacionadas por dq
idt
=
Logo, esta última equação torna-se
1( ).
dqR q E t
dt c+ =
EXEMPLO Uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância é de ½ henry e a resistência, 10 ohms. Determine a corrente i(t), se a corrente inicial é zero. Solução
Substituindo os dados na equação da corrente, temos
Em um circuito em série contendo um resistor e um indutor, a segunda lei de Kirchhoff diz que a soma da queda de tensão no
) é igual à )) no circuito. Logo, obtemos a equação diferencial
são constantes conhecidas como a indutância e a
C é
é a carga no capacitor. Então, para um
dq
dt.
Uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância é de ½ henry e a resistência, 10 ohms.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
110 12, (0) 0.
2
dii i
dt+ = =
Como podemos observar, trata-se de uma equação linear, porém não se encontra na forma adequada para calcularmos o fator integrante. Para que isso ocorra, dividimos a equação dada por ½ e assim, a equação resultante será
20 24, di
idt
+ =
cujo fator integrante é, então, dado por 20 20( ) .
dt tt e eµ ∫= =
Logo, teremos:
20 20 20t 20 2024 6
24 e ( ) = .20 5
t t t tde i e i e C i t Ce
dt = ⇒ = + ⇒ +
Considerando que i(0) = 0, segue que c = −6/5, e assim, a corrente i(t) é dada por
( )206( ) 1 .
5ti t e−= −
EXERCÍCIOS 2.3
1. Resolva as seguintes EDOs:
a) 2
(0) 1
dyxy x
dxy
− =
=
b) 2
2 cos, 0
( ) 0
dy xy x
dx x xy π
+ = >
=
c) 2'( ) 3 xy x y x e−+ = + d) 2 2' 2 xy y x e− =
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 111
se de uma equação linear, porém não se encontra na forma adequada para calcularmos o fator integrante. Para que isso ocorra, dividimos a equação dada por ½ e assim, a
20 20 20t 20 2024 e ( ) = .t t t te i e i e C i t Ce−
6/5, e assim, a
, 0+ = >
112 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
e) ' 3cos(2 )y
y xx
+ = f) 2' 2 , (0) 1xy y xe y− = =
g) 3 2dy x y
dx x
−= h) ( )2' 2 , 1 0xy y xe y−+ = =
2. Um tanque contém inicialmente 100 litros de água e 100 gramas de sal. Então, uma mistura de água e sal na concentração de 5 gramas de sal por litro é bombeada para o tanque a uma taxa de 4 litros por minuto. Simultaneamente, a solução (bem misturada) é retirada do tanque na mesma taxa. a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante t, onde t é contado a partir do início do processo.
b) Determine a concentração limite de sal no tanque quando t → ∞ .
3. Considere um tanque usado em determinadas experiências de hidrodinâmica. Após uma experiência, o tanque contém 200 litros de uma solução corante com uma concentração de 1 grama por litro. Para preparar a próxima experiência, o tanque deve ser lavado com água limpa, fluindo numa taxa de 2 litros por minuto. A solução bem homogeneizada é drenada na mesma taxa. Ache o intervalo de tempo decorrente até que a concentração do corante no tanque atinja 1% do seu valor original.
4. Se uma pequena barra de metal , cuja temperatura inicial é de 20°C, é colocada em um vasilhame de água em ebulição, quanto tempo levará para a temperatura da barra atingir 90°C se é fato conhecido que sua temperatura aumenta 2°C em 1 segundo? Quanto tempo levará para a temperatura da barra chegar a 98°C?
5. Um termômetro é retirado de dentro de uma sala e colocado do lado de fora, em que a temperatura é de 5°C. Após 1 minuto, o termômetro marcava 20°C; após 5 minutos, 10°C. Qual a temperatura da sala?
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 113
6. Uma força eletromotriz de 30 volts é aplicada em um circuito em
série L−R no qual a indutância é de 0,5 henry e a resistência, 50 ohms. Encontre a corrente i(t), se i(0) = 0. Determine a corrente
quando t → ∞.
7. Uma força eletromotriz de 100 volts é aplicada a um circuito R−C em série no qual a resistência é de 200 ohms e a capacitância, 10-4 farad. Encontre a carga q(t) no capacitor, se q(0) = 0. Encontre a corrente i(t).
114 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Campo de Direções
Nem sempre é possível resolver uma equação diferencial no sentido de conseguir uma fórmula explícita para a solução. Apesar disso, podemos obter informações a respeito de uma solução, utilizando uma abordagem gráfica, através do campo de direções.
Vamos então introduzir o conceito de campo de direções (ou campo de inclinações) utilizando para isso um problema concreto. Observe que no problema de valor inicial
(0) 1
dyy x
dxy
= +
=
a equação diferencial não é do tipo separável e, portanto, ainda não temos condições de encontrar a solução deste. Nesse caso, podemos construir o gráfico da solução (denominado de curva-solução) utilizando informações obtidas a partir da equação diferencial dada.
Mas como fazer isso? O primeiro passo é observar que a
equação dy
y xdx
= + nos diz que a inclinação1 da curva-solução em
qualquer ponto (x,y) é igual a y + x. Ou seja, a inclinação em qualquer ponto (x,y) no gráfico é igual a soma das coordenadas x e y no ponto. Por exemplo, a inclinação da curva-solução no ponto P(0,1) é igual a 1 + 0 = 1. Isso significa que a reta tangente à curva-solução no ponto P(0,1) possui coeficiente angular igual a 1.
1 Inclinação: a inclinação de uma curva em um ponto P é dada pelo
coeficiente angular da reta tangente a essa curva nesse ponto.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Observe que, se considerarmos um pedaço da curva-solução próximo do ponto (0,1), a curva se confunde com o segmento de reta que passa pelo ponto (0,1) e tem coeficiente angular igual a 1.
Assim, o campo de direções pode ser visualizado pelo desenho de pequenos segmentos de reta num conjunto representativo de pontos, sobre a curva-solução, no plano xy. Com isso, para desenhar o campo de direções da equação diferencial, basta desenhar pequenos segmentos de retas tangentes em alguns pontos (x,y), com inclinaçãy + x. (veja ilustração a seguir).
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 115
solução próximo do ponto (0,1), a curva se confunde com o segmento de reta que passa pelo ponto (0,1) e tem coeficiente angular igual a 1.
Assim, o campo de direções pode ser visualizado pelo desenho de nos segmentos de reta num conjunto representativo de pontos,
Com isso, para desenhar o da equação diferencial, basta desenhar pequenos
), com inclinação
116 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
É necessário observar que quanto mais pontos você utilizar para desenhar o campo de direções, melhor será a descrição das curvassolução.
É necessário observar que quanto mais pontos você utilizar para desenhar o campo de direções, melhor será a descrição das curvas-
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 117
Agora, para esboçar a curva-solução que passa pelo ponto (0,1), seguindo o campo de direções, basta desenhar a curva de maneira a torná-la paralela aos segmentos de reta vizinhos (veja ilustração a seguir).
No caso do nosso exemplo, a solução da equação diferencial
dyy x
dx= +
é a função
( ) 1 xy x x Ce= − − + ,
onde C é uma constante arbitrária (verifique esse fato). Assim, a partir dessa equação, podemos obter uma família de curvas-solução
118 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
para a equação diferencial atribuindo alguns valores para a constante C.
OBS:
Vimos que quanto mais segmentos de reta desenharmos no campo de direções, mais fácil traçaremos os gráficos das curvas-solução. Contudo, seria bastante cansativo e trabalhoso calcular inclinações e desenhar manualmente segmentos de reta para um número muito grande de pontos. Assim, iremos utilizar o computador para nos auxiliar nessa tarefa.
EXEMPLO
(a) Na figura abaixo é dado o campo de direções da equação
diferencial dy
ydx
= . Use o campo de direções para encontrar a
curva-solução que passa pelo ponto (0,1).
para a equação diferencial atribuindo alguns valores para a constante
Vimos que quanto mais segmentos de reta desenharmos no campo de direções, mais fácil traçaremos os gráficos das
solução. Contudo, seria bastante cansativo e trabalhoso calcular inclinações e desenhar manualmente segmentos de
o grande de pontos. Assim, iremos
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 119
(b) Use o campo de direções dado para estudar o
comportamento das soluções de dy
ydx
= quando x → +∞.
(c) Determine a solução geral da equação, esboce o gráfico de algumas curvas-solução e confirme as conclusões obtidas no item (b).
Solução
(a) A partir do ponto (0,1) dado, devemos traçar uma curva tangente aos segmentos de reta que estiverem mais próximos daquele que passa por este ponto.
120 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Com esse procedimento, obtemos o gráfico da curva-solução da equação diferencial dada que passa pelo ponto (0,1).
(b) O campo de direções sugere que, quando os valores de x aumentam indefinidamente algumas soluções crescem indefinidamente, outras decrescem indefinidamente e uma delas permanece constante. Observe que o comportamento das curvas-solução depende da condição inicial do problema.
(c)
ln x
dy dy dyy dx dx
dx y y
y x C y ke
= ⇒ = ⇒ =
⇒ = + ⇒ =
∫ ∫
é a solução geral da equação.
Utilizando um CAS (sistema algébrico computacional) desenhamos algumas curvas-solução para a equação dada.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Podemos observar que o comportamento das curvas-solução é o mesmo que o descrito na análise do item (b).
Vamos agora, considerar equações diferenciais da forma
( )dy
g ydx
=
onde g é uma função independente da variável x. Uma equação desse tipo é denominada de equação diferencial autônoma.
A equação diferencial ( )dy
g ydx
= é do tipo separável e a
expressão
( )
dyx C
g y= +∫
fornece a família de soluções para ela. Contudo, pode ser muito difícil calcular a integral do lado esquerdo da igualdade, mesmo que a função g(y) seja relativamente simples. Assim, iremos aprecomo utilizar uma abordagem gráfica para estudar o comportamento das soluções desse tipo de equação.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 121
solução é o
Vamos agora, considerar equações diferenciais da forma
. Uma equação
é do tipo separável e a
fornece a família de soluções para ela. Contudo, pode ser muito difícil calcular a integral do lado esquerdo da igualdade, mesmo que
) seja relativamente simples. Assim, iremos aprender como utilizar uma abordagem gráfica para estudar o comportamento
122 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Uma solução de equilíbrio (ou estacionária) de uma equação
diferencial autônoma é uma solução para a qual 0dy
dx= , ou seja, é
uma solução constante. Assim, para determinarmos as soluções de equilíbrio de uma equação diferencial autônoma, basta resolver a equação g(y) = 0.
OBS: Observe que o gráfico de uma solução de equilíbrio é uma reta horizontal.
EXEMPLO 1 Determine as soluções de equilíbrio da equação
diferencial (3 )dy
y ydx
= − .
Solução
Nesse caso, g(y) = y(3 – y). Resolvendo a equação y(3-y) = 0, obtemos y1 = 0 e y2 = 3 como as duas soluções de equilíbrio (soluções constantes) para a equação diferencial dada.
CUIDADO: Não se esqueça que y1 e y2 são funções e, portanto,
1 0y = e 2 3y = significa que y1 (x) = 0 e y2 (x) = 3 para todo x
domínio de y, cujos gráficos são retas paralelas ao eixo-x, cruzando o eixo-y em y = 0 e y = 3, respectivamente, conforme mostrado no gráfico a seguir.
) de uma equação
, ou seja, é
solução constante. Assim, para determinarmos as soluções de equilíbrio de uma equação diferencial autônoma, basta resolver a
Observe que o gráfico de uma solução de equilíbrio é
soluções de equilíbrio da equação
) = 0, = 3 como as duas soluções de equilíbrio
são funções e, portanto, no
, cruzando = 3, respectivamente, conforme mostrado no
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 123
OBS:
Observe que no exemplo anterior, as soluções de equilíbrio y = 0 e y = 3 dividem o plano xy em três faixas horizontais e que qualquer solução não constante está contida inteiramente em uma dessas faixas. Observe ainda que uma solução é decrescente se estiver nas faixas correspondentes a y < 0 e y > 3, e é crescente se estiver na faixa correspondente a 0 < y < 3. Este fato segue do estudo do sinal da função g(y) = y(3 – y) cujo gráfico é uma parábola com concavidade voltada para baixo (o sinal de y2 é negativo). Analisando o sinal da parábola, observamos o seguinte:
• para y < 0 ou y > 3, temos que g(y) < 0
e, portanto, dy
dx< 0, indicando que a
solução ( )y f x= é uma função
decrescente.
• para 0 < y < 3, temos que g(y) > 0 e,
portanto, dy
dx> 0, indicando que a solução
( )y f x= é uma função crescente.
Observamos ainda que à medida que x aumenta, as soluções não-
124 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
constantes se aproximam da solução de equilíbrio y = 3 e se afastam da solução de equilíbrio y = 0. Estas soluções não-constantes são obtidas resolvendo a equação original
(3 )dy
y ydx
= − , que é uma EDO separável. Ao fazer isso,
obtemos:
3
3
3, para 0 ou 3
1( )3
, para 0 3,1
x
x
y yCey x
yCe
−
−
< > −
= < < +
de onde notamos que y Ø 3 quando x Ø ∞, o que explica o comportamento gráfico observado.
Uma solução de equilíbrio y = y0, de uma equação diferencial
autônoma ( )dy
g ydx
= , é dita ser assintoticamente estável se
( )0' 0g y < e é instável se ( )0' 0g y > . O termo assintoticamente
estável vem do fato da solução y = y0, cujo gráfico é uma reta horizontal, ser uma assíntota horizontal para os gráficos das soluções não-constantes, quando a variável independente x cresce muito.
No exemplo anterior, temos que:
( ) ( ) ( )3 ' 3 2g y y y g y y= − ⇒ = −
e as soluções da equação são: 1 20 e 3.y y= = Assim, temos que:
( ) ( ) ( )1 1' ' 0 3 0 0g y g y x= = > ⇒ ≡ é uma solução instável
( ) ( ) ( )2 2' ' 3 3 0 3g y g y x= = − < ⇒ ≡ é uma solução
assintóticamente estável
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Por isso, as soluções se afastam de 1 0y = e se aproximam de
2 3,y = conforme podemos observar no gráfico.
As soluções assintóticamente estáveis são denominadas de atratoras. EXEMPLO2 Determine as soluções de equilíbrio da equação
diferencial ( 3)dy
y ydx
= − e verifique a estabilidade dessas soluções.
Solução Nesse caso temos g(y) = y (y - 3) e facilmente notamos que anula para y = 0 e y = 3 (soluções de equilíbrio). Para testar a estabilidade das soluções de equilíbrio, calculamos a derivada deg(y).
'(0) 3 0
'( ) 2 3 '(3) 3 0
gg y y
g
= − <= − ⇒
= >
Portanto, a solução de equilíbrio y = 0 é assintoticamente estávelsolução de equilíbrio y = 3 é instável.
EXERCÍCIOS 2.4
Resolva os exercícios abaixo usando um computador. Sugerimos os programas Graphmatica ou Winplot.
1. a) Faça um esboço do campo de direções para a equação
diferencial 21( 1)
2
dyy
dx= − .
b) Analisando o campo de direções obtido, quais são as soluções constantes (denominadas de soluções de equilíbrio) da equação
diferencial 21( 1)
2
dyy
dx= − ?
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 125
e se aproximam de
As soluções assintóticamente estáveis são denominadas de
Determine as soluções de equilíbrio da equação
verifique a estabilidade dessas soluções.
facilmente notamos que g(y) se ). Para testar a
estabilidade das soluções de equilíbrio, calculamos a derivada de
assintoticamente estável e a
Sugerimos
a) Faça um esboço do campo de direções para a equação
b) Analisando o campo de direções obtido, quais são as soluções ) da equação
126 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
c) Analisando o campo de direções, o que acontece com os gráficos das funções soluções, y = f(x), da equação diferencial
21( 1)
2
dyy
dx= − , em relação as soluções de equilíbrio, a medida que
a variável independente assume valores positivos ou valores negativos muito grandes?
d) Analisando o campo de direções, o que acontece com a função?
e) Mostre que todo membro da família de funções 1
1
t
t
cey
ce
+=
−é
uma solução da equação diferencial 21( 1)
2
dyy
dx= − .
f) Encontre uma solução da equação diferencial 21( 1)
2
dyy
dx= −
que satisfaça a condição inicial y(0) = 2 e esboce o seu gráfico.
g) Encontre uma solução da equação diferencial 21( 1)
2
dyy
dx= −
que satisfaça a condição inicial y(0) = -2 e esboce o seu gráfico no mesmo plano cartesiano da solução anterior.
h) Encontre uma solução da equação diferencial 21( 1)
2
dyy
dx= −
que satisfaça a condição inicial y(0) = 0 e esboce o seu gráfico no mesmo plano cartesiano das soluções anteriores.
2. Denotamos por N(t) a quantidade de substância (ou população) em processo de crescimento ou decrescimento, onde a variável t está representando o tempo (esta equação aparece em diversos sistemas de Química tais como decaimento radioativo e consumo de certos reagentes em um meio reacional mantido a temperatura constante). Sabendo que a taxa de variação da quantidade de substância é proporcional à quantidade de substância presente, formule um modelo matemático para esta situação. Em seguida, escolha um
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 127
valor qualquer para a constante de proporcionalidade e faça um esboço do campo de direções da equação diferencial obtida. A partir do campo de direções obtido, determine a(s) solução(ões) de equilíbrio (soluções constantes) e faça uma análise do comportamento das curvas soluções (não constantes).
3. Desenhe um campo de direções para a equação diferencial 3' 4y y y= − . A partir da imagem obtida determine as soluções de
equilíbrio (se existirem). Faça uma análise do comportamento das curvas soluções. Considerando y(0) = k uma condição inicial, para
quais valores de k, o limite lim ( )t
y t→∞
existe? Quais são os possíveis
valores para esse limite? Resolva a equação diferencial e verifique se suas observações gráficas estão corretas.
4. A função y(t) é solução da equação diferencial
4 3 26 5dy
y y ydx
= − + . Descreva o campo de direções para esta
equação diferencial. Analisando esse campo responda as questões a seguir. (a) Quais são as soluções constantes da equação? Descreva com palavras sua compreensão acerca destas. (b) Para quais valores de y as soluções estão aumentando? Descreva com palavras sua compreensão acerca deste fato. (c) Para quais valores de y as soluções estão diminuindo? Descreva com palavras sua compreensão acerca deste fato.
5. (a) Encontre a solução geral da equação diferencial 26
2 cos
dy x
dx y y=
+.
(b) Descreva o campo de direções para esta equação diferencial e procure analisar qual é o comportamento das soluções da equação diferencial através deste campo de direções.
128 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
(c) Esboce o gráfico de algumas curvas soluções atribuindo valores para a constante C: 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3.
6. Suponha que uma população cresce de acordo com o modelo
logístico 0,0015 16000
dP PP
dt
= −
.
(a) Use o campo de direções (descrito na figura abaixo) para esboçar a curva solução para a população inicial de 1000 indivíduos. O que você pode dizer sobre a concavidade dessa curva? Qual o significado do ponto de inflexão? (b) Use o programa Graphmatica para calcular a população depois de 50 anos. (c) Se a população inicial for 1000, escreva uma fórmula para a população depois de t anos. Use-a para calcular a população depois de 50 anos e compare com o valor encontrado na parte (b). (d) Plote a solução encontrada na parte (d), no mesmo plano em que você esboçou o campo de direções, e compare com a curva solução que você esboçou na parte (a).
Dado: 1
ln( )
du uC
u a bu a a bu= +
+ +∫
) Esboce o gráfico de algumas curvas soluções atribuindo
Suponha que uma população cresce de acordo com o modelo
(a) Use o campo de direções (descrito na figura abaixo) para esboçar . O que
você pode dizer sobre a concavidade dessa curva? Qual o
) Use o programa Graphmatica para calcular a população depois
) Se a população inicial for 1000, escreva uma fórmula para a a para calcular a população depois
) Plote a solução encontrada na parte (d), no mesmo plano em que ção
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 129
7. Explore graficamente a equação diferencial dy
x ydx
= + ,
( )7
010
y = − ; -4 ≤ x ≤ 4, -4 ≤ y ≤ 4 seguindo os passos indicados
para isso.
(a) Trace um campo de direções para a equação diferencial especificando os intervalos de variação de x e de y.
(b) Faça uma análise do campo de direções descrito no item (a).
(c) Existem soluções de equilíbrio? Justifique sua resposta a partir da equação diferencial dada e do campo de direções.
(d) Determine a solução geral da equação diferencial dada.
(e) Trace os gráficos das soluções para os valores da constante arbitrária C = -2, -1, 0, 1, 2 sobrepostos ao seu campo de direções.
(f) Determine e trace a solução que satisfaz a condição inicial especificada ao longo do intervalo [0,1].
8. A equação diferencial 1
ln2
dyy y
dx
= −
não possui solução
explícita em termos de funções elementares. Explore graficamente a equação diferencial dada, através de seu campo de direções, tirando todas as informações possíveis a respeito do comportamento das curvas soluções, ou seja, do comportamento de y como uma função de x.
9. Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se inicialmente há 100 miligramas e se, após dois anos, 5% do material decaiu, determine:
(a) a expressão para a massa m(t) em um instante t qualquer;
(b) o tempo necessário para o decaimento de 10% do material.
(c) Esboce o campo de direções para a equação diferencial obtida e o gráfico da função m(t), obtida anteriormente.
130 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
10. Esboce o campo de direções para a equação diferencial ' 1y y= − e use-o para fazer uma conjectura sobre o comportamento
das soluções, quando .x → +∞ Confirme a sua conjectura examinando a solução geral da equação.
11. Use o campo de direções para fazer uma conjectura sobre o efeito de y(0) no comportamento da solução do problema de valor
inicial ' 2y y x= − , ( ) 00y y= quando x → +∞ , e verifique a sua
conjectura examinando a solução do problema de valor inicial.
12. Esboce o campo de direções para a equação diferencial 'x
yy
= −
e use-o para estimar o valor de 1
2y
para a solução que satisfaça a
condição inicial y(0) = 1. Compare a sua estimativa com o valor
exato de 1
2y
.
13. Desenhe um campo de direções para a equação diferencial
(3 )dy
ty ydt
= − e faça um esboço do gráfico de diversas curvas
soluções. Descreva como as curvas soluções parecem se comportar quando t cresce e como esse comportamento depende do valor inicial y0.
14. (a) Dado o campo de direções para uma equação diferencial, esboce o gráfico das soluções que satisfazem as condições iniciais dadas: (i) y(0) = 1 (ii) y(0) = 3.
(b) Se a condição inicial for y(0) = C, para quais valores de C
lim ( )t
y t→∞
é finito? Quais são as soluções de equilíbrio?
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
15. A quantidade de sal Q(t) em um tanque, no instante
satisfaz uma equação diferencial do tipo dQ Q
Bdt A
+ = , está descrita
no campo de direções ao lado. (a) À medida que o tempo passa o que acontece com a quantidade de sal no tanque? Este valor depende da quantidade inicial de sal no tanque? Justifique sua resposta. (b) Faça agora uma análise do comportamento da quantidade de sal no tanque (à medida que o tempo passa), levando em conta a quantidade inicial de sal.
16. Associe cada uma das equações diferenciais dadas a seu campo de direções e justifique sua escolha, da melhor maneira para se fazer entender.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 131
) em um tanque, no instante t, que
, está descrita
(a) À medida que o tempo passa o que acontece com a quantidade de sal no tanque? Este valor depende da quantidade inicial de sal no
comportamento da quantidade de sal tempo passa), levando em conta a
Associe cada uma das equações diferenciais dadas a seu campo de direções e justifique sua escolha, da melhor maneira para se fazer
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 133
17. Verifique se o campo de direções, descrito na figura abaixo, está relacionado com a equação diferencial y’ = 2y – x. Dê as razões para sua resposta. Esboce o gráfico das soluções que satisfazem cada uma das condições iniciais: y(1) = 1, y(0) = -1 e y(-1) = 0.
18. Associe a equação diferencial com o campo de direções, e explique o seu raciocínio.
(a) 1
'yx
= (b) 1
'yy
=
(c) 2
' xy e−= (d) 2' 1y y= −
1)
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 135
EXERCÍCIOS EXTRAS
1. Determine o valor de a para que as funções dadas sejam soluções das respectivas equações:
a) 22
( ) ; ' 03
y t y t yt
α= + =
− b) 2
2( ) ; ' 6 0
1y t y t y
t
α= − =
+
2. Resolva os PVIs abaixo:
a) ' (1 2 )
(0) 2
xy x y xe
y
− + − =
= b)
2(1 ) ' 0
(0) 1 / 2
x y xy
y
+ − =
=
c) 32' 3
(0) 2
t ty t y e
y
− + + =
= d)
2 1 (2 ) ' 0
(2) 4
y y xy y
y
− − + =
=
e) 2 sen ' (cos )
(0) 2
t ty t y te
y
+ − =
= f)
544 4 5'
(0) 1
x
y x y x e
y
+ = =
g) 2( 9) ' 0
(4) 3
x y xy
y
+ + =
= h)
' 2
(1) 0
xy y x
y
+ =
=
3. Resolva o PVI 4 40' 5 ; (0) .y x y x y y+ = =
a) Para que valores de y0 a solução é crescente e para que valores de y0 a solução é decrescente?
b) Qual o limite de y(x) quando x →¶ ? O limite depende de y0 ?
4. Resolva o PVI 20( 9) ' 0; (5) .x y xy y y− + = =
a) Qual o intervalo onde a solução é válida?
b) Qual o limite de y(x) quando x →¶ ? O limite depende de y0 ?
5. Considere a equação ( ) 0.dy
p t ydt
+ =
136 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
a) Mostre que se y1(t) e y2(t) são soluções da equação, então
( ) ( ) ( )1 2y t y t y t= + também o é.
b) Mostre que se y1(t) é solução da equação, então y(t) = c y1(t) também o é para qualquer constante c.
6. Resolva o PVI
2
2 1; (0) 0.
3 3
dy xy
dx y
+= =
−
Em seguida, determine os pontos onde a solução tem um extremo local.
7. Em um pedaço de madeira é encontrado 1/500 da quantidade original de carbono 14. Determine sua idade.
8. Num tanque há 100 litros de salmoura contendo 30 gramas de sal em solução. Água limpa (sem sal) entra no tanque numa vazão de 6 litros por minuto e a mistura se escoa à razão de 4 litros por minuto, conservando-se a concentração uniforme por agitação. Determine quanto sal há no tanque após 50 minutos.
9. Um tanque contém 100 litros de uma solução a uma concentração de 1 grama por litro. Uma solução com uma concentração de
1
1002t
t e−
gramas por litro entra no tanque a uma taxa de 1 litro por
minuto, enquanto a solução bem misturada sai à mesma taxa.
a) Determine a quantidade da substância no tanque em cada instante t, onde t é contado a partir do início do processo.
b) Calcule a concentração da substância no tanque (gramas por litro) 10 minutos após o início do processo.
10. Num processo químico, uma substância se transforma em outra numa taxa proporcional à quantidade de substância não transformada. Se esta quantidade é 48 ao fim de 1 hora e 27 ao fim de 3 horas, qual a quantidade inicial da substância?
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 137
11. Em uma cultura, inicialmente há N0 bactérias. Uma hora depois, o número de bactérias passa a ser 3N0/2. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes, determine o tempo necessário para que o número de bactérias triplique.
12. Quando um bolo é retirado do forno, sua temperatura é de 300°F. Três minutos depois, sua temperatura passa para 200°F. Determine uma função que forneça a temperatura do bolo em um instante t qualquer, se a temperatura do meio em que ele foi colocado for de 70°F. Faça o gráfico da solução e, a partir dele, determine quanto tempo levará para a sua temperatura chegar a 70°F.
13. A população de uma cidade cresce a uma taxa proporcional à população em qualquer tempo. Sua população inicial de 500 habitantes aumenta 15% em 10 anos. Qual será a população em 30 anos?
14. O isótopo radioativo de chumbo Pb-209 decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente em qualquer tempo. Sua meia-vida é de 3,3 horas. Se i grama de chumbo está presente inicialmente, quanto tempo levará para 90% de chumbo desaparecer?
15. Um termômetro é removido de uma sala em que a temperatura é de 70°F e colocado do lado de fora, onde a temperatura é de 10°F. Após ½ minuto o termômetro marcava 50°F. Qual a temperatura marcada no termômetro após 1 minuto de ter sido removido? Quanto tempo levará o termômetro para marcar 15°F?
16. Suponha que um circuito R-C em série tenha uma resistência variável. Se a resistência no instante t é dada por R = k1 + k2 t, em que k1 > 0 e k2 > 0 são constantes, então a equação diferencial para a
carga torna-se 1 21
( ) ( ).dq
k k t q E tdt C
+ + = Mostre que, se E(t) = E0 e
138 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
q(0) = 0, então a carga em um tempo t qualquer é dada por
2
1
10 0 0
1 2
( ) ( )Ckk
q t E C q E Ck k t
= + −
+ .
17. Uma força eletromatriz dada por 120, 0 20
( )0 , 20
tE t
t
≤ ≤=
> é
aplicada a um circuito L-R em série no qual a indutância é de 20 henrys e a resistência, 2 ohms. Encontre a corrente i(t), se i(0) = 0.
18. Um marcapasso consiste em uma bateria, um capacitor e o coração como resistor. O capacitor é carregado e descarregado periodicamente, enviando um impulso elétrico ao coração. Durante esse tempo, a voltagem E aplicada ao coração é dada por
1 21
, ,dE
E t t tdt RC
= − < < em que R e C são constantes. Determine
E(t) se E(t1) = E0.
19. A equação diferencial '( ) ( cos ) ,P t k t P= em que k é uma
constante positiva, é frequentemente usada como um modelo de uma população sujeita à flutuações sazonais. Encontre P(t) e faça um gráfico da solução. Suponha P(0) = P0.
20. Suponha que um estudante infectado por um vírus da gripe retorne a uma faculdade isolada no campus onde se encontram 1000 estudantes. Presumindo que a taxa na qual o vírus se espalha é proporcional não somente à quantidade x de alunos infectados, mas também à quantidade de alunos não infectados, determine o número de alunos infectados após 6 dias se ainda é observado que depois de 4 dias haviam 50 alunos infectados.
140 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Capítulo 3
Funções de Várias Variáveis
O QUE VOCÊ VAI ESTUDAR:
• Sistema Tridimensional de Coordenadas
• A Fórmula da Distância no Espaço.
• A equação de uma Esfera.
• Como plotar o gráfico de funções de duas variáveis em um sistema tridimensional de coordenadas.
• Como determinar o valor de uma função de duas variáveis.
• Como determinar o domínio de uma função de duas variáveis.
• Como determinar e interpretar uma curva de nível e um mapa de contorno.
141 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Funções de Várias Variáveis
Introdução
No curso de Cálculo Diferencial e Integral I, estudamos algumas propriedades relacionadas com funções de uma variável independente, do tipo y = f(x). Contudo, a maioria dos fenômenos que ocorrem na natureza está relacionada com a influência mútua de duas ou mais grandezas. Por exemplo, podemos considerar que a quantidade de água em um reservatório dependa das chuvas e do consumo realizado pelos habitantes; ou então que a freqüência de um circuito sintonizador dependa da sua capacitância, da sua indutância e da sua resistência; ou ainda que a pressão de um gás dependa da sua temperatura e de seu volume, e assim por diante.
Na Química, quando a equação de estado de um gás ideal é
escrita na forma ( , , )nRT
V f P T nP
= = , quer dizer que em qualquer
estado do sistema, o valor do volume V (variável dependente) é determinado pelos valores da pressão P, da temperatura T e da quantidade de substância n (variáveis independentes), uma vez que R é uma constante universal.
Particularmente, na Físico-Química, existem inúmeras funções de várias variáveis independentes. Por exemplo, as propriedades termodinâmicas de um sistema fluido simples de uma componente e uma fase, são funções de três variáveis independentes. Se escolhermos temperatura (T), volume (V) e número de mols (n) como nossas variáveis independentes, então outra propriedade tal como a pressão (P), é a variável dependente. Escrevemos então,
( ), ,P f T V n= . Na Termodinâmica também existem quantidades
que dependem de mais de uma variável, como por exemplo: o volume molar Vm depende da pressão P e da temperatura T, ou seja,
142 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
( ),mV f P T= ; a entalpia H de um sistema pode também ser
pensada como uma função da pressão e da temperatura
( ),H f P T= .
Na equação que descreve o movimento retilíneo uniformemente acelerado
20 0
1
2s s v t at= + +
o espaço s é uma função de duas variáveis independentes, ou seja,
( ),s s a t= onde a é a aceleração do movimento, t é o tempo e as
grandezas s0 (espaço inicial) e v0 (velocidade inicial), são dois parâmetros, constantes para cada tipo de movimento.
Na maioria das vezes, os resultados que se estabelecem para as funções de duas variáveis, estendem-se para funções de mais variáveis independentes, com o mesmo tipo de raciocínio. Assim, fixaremos nossa atenção nas funções de duas variáveis e só consideraremos funções de três ou mais variáveis, quando houver necessidade.
Sistema Tridimensional de Coordenadas
Iremos aprender aqui como descrever e localizar um ponto no espaço tridimensional. Vimos em estudos anteriores que o plano cartesiano é constituído a partir de duas retas perpendiculares, denominadas de eixo x e eixo y que, juntamente com o ponto de interseção (a origem), definem um sistema bidimensional de coordenadas que possibilita especificar a localização de todos os pontos do plano. Representamos o sistema bidimensional por
2ℝ = ℝ ×ℝ =(x,y): x∈ℝ e y∈ℝ .
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 143
Seguindo essa mesma linha de raciocínio, para descrever a localização de um ponto no espaço precisamos inserir, no sistema bidimensional, uma terceira dimensão.
Para isso, a partir do plano cartesiano, definimos um eixo-z (perpendicular ao plano cartesiano) passando pela origem e que, juntamente com o eixo-x e o eixo-y, irá constituir nosso sistema
tridimensional de coordenadas.
A figura a seguir, mostra a parte positiva dos três eixos do
sistema de coordenadas. Observe que, tomados aos pares, os eixos determinam três planos coordenados: o plano xy (formado a partir do eixo x e do eixo y), o plano yz (formado a partir do eixo y e do eixo z) e o plano xz (formado a partir do eixo x e do eixo z).
Sistema Tridimensional de Coordenadas
144 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Observe ainda que esses três planos coordenados dividem o
sistema tridimensional de coordenadas em oito partes, denominadas octantes.
O primeiro octante é aquele no qual as três coordenadas são positivas e os demais são contados a partir deste, no sentido anti-horário, e de cima para baixo.
Para representar um ponto P(x,y,z) no sistema tridimensional de
coordenadas (espaço) faça o seguinte: marque x unidades, a partir
da origem, sobre o lado positivo do eixo x (se o valor de x for
positivo); a partir daí ande y unidades, paralelamente ao eixo y, no
sentido positivo do eixo y (se o valor de y for positivo), e, em
seguida, ande z unidades paralelamente ao eixo z, no sentido
positivo do eixo z (se o valor de z for positivo).
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Representamos o sistema tridimensional por
3ℝ = ℝ ×ℝ ×ℝ =(x,y,z): x∈ℝ , y∈ℝ e z∈ℝ .
EXEMPLO Pontos no Sistema Tridimensional de Coordenadas R3 (Espaço)
Plote os seguintes pontos no espaço:
(a) P(3,-1,2) (b) Q(-2,1, -2) (c) R(2,2,0) Solução Para plotar o ponto P(3, -1,2) você deve observar que y = -1 e z = 2. Comece marcando 3 unidades, a partir da origem, sobre o lado positivo do eixo x. A partir daí ande 1 unidade, paralelamente ao eixo y, no sentido negativo do eixo y seguida, ande 2 unidades paralelamente ao eixo z, no sentido positivo do eixo z (veja a figura ao lado). Os demais pontos são plotados seguindo o mesmo raciocínio.
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 145
Pontos no Sistema Tridimensional de
1,2) você deve observar que x = 3, = 2. Comece marcando 3 unidades, a partir da origem,
. A partir daí ande 1 unidade, e, em
, no sentido (veja a figura ao lado). Os demais pontos são
146 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
EXERCÍCIOS 3.1
1. Plote os pontos dados no mesmo sistema tridimensional de coordenadas. (a) P(3,1,2)
Q(-2,1,2) (b) P(2, -3,4) Q(3,4, -2)
(c) P(3, -1,1) Q(-3, -1, -1)
(d) P(0,3, -2) Q(3,0,2)
2. Represente os pontos P(-2,3,0), Q(-2,3, -2), R(2,0,0), S(0, -3,0), T(0,0,2) e Q(4,4,2) no sistema tridimensional de coordenadas e verifique em que octante (oitava parte do sistema tridimensional) eles estão situados.
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 147
A fórmula da distância no espaço
Algumas das fórmulas deduzidas para um sistema bidimensional de coordenadas podem facilmente ser estendidas para um sistema tridimensional, como é o caso da distância entre dois pontos. Para determinar a distância entre dois pontos P(x1,y1) e Q(x2,y2) num plano, aplicamos o Teorema de Pitágoras, como mostra a figura ao lado.
Agora, para determinar a distância entre dois pontos no espaço, basta aplicar duas vezes o Teorema de Pitágoras, como você pode ver nas ilustrações abaixo.
148 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
A fórmula da Distância entre o ponto P(x1,y1,z1) e o ponto Q(x2,y2,z2) é então dada pela equação:
2 2 22 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )d x x y y z z= − + − + −
OBS: Esta fórmula é atribuída a Euclides e, por isso, é conhecida como distância euclidiana entre dois pontos. Existem outras maneiras de definir distâncias, mas não serão tratadas aqui.
EXEMPLO Distância entre dois pontos. Determine a distância entre os pontos P(2,0,1) e Q(-3,4,2) Solução Escreva a fórmula da distância
2 2 22 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )d x x y y z z= − + − + −
Substitua os valores 2 2 2( 3 2) (4 0) (2 1)d = − − + − + −
) e o ponto
Esta fórmula é atribuída a Euclides e, por isso, é conhecida como distância euclidiana entre dois pontos. Existem outras maneiras de definir distâncias, mas não
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Simplifique a expressão
25 16 1d = + +
Obtenha o valor
42.d =
EXERCÍCIO 3.2
Determine a distância entre os pontos dados
(a) P(3,1,2) (b) P(2, -3,4) Q(-2,1,2) Q(3,4,-2) A Equação de uma esfera
De maneira análoga ao caso da distância entre dois pontos,equação de uma circunferência pode facilmente ser estendida para um sistema tridimensional, obtendo assim a equação de uma esfera.Para determinar a equação de uma circunferência de raio r e centro em C(a,b) consideramos o seguinte: um ponto (x,y) pertence à uma circunferência se, e apenas se, a distância entre ele e o centro
é igual a r. Em notação matemática escrevemos ( ) (( , ; ,d x y a b r
e, utilizando a fórmula para a distância euclidiana, obtemos 2 2( ) ( ) .x a y b r− + − =
Elevando ambos os lados da igualdade ao quadrado, obtemos a expressão
(x – a)2 + (y – b)2 = r2,
que é conhecida como a equação reduzida de uma circunferência de centro em C(a,b) e raio r, conforme figura.
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 149
De maneira análoga ao caso da distância entre dois pontos, a equação de uma circunferência pode facilmente ser estendida para um sistema tridimensional, obtendo assim a equação de uma esfera.
e centro nce à uma
circunferência se, e apenas se, a distância entre ele e o centro C(a,b)
)), ; ,d x y a b r=
ambos os lados da igualdade ao quadrado, obtemos a
que é conhecida como a equação reduzida de uma circunferência de
150 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Agora, para determinar a equação de uma esfera (no espaço) com o centro em C(a,b,c) e raio r, basta considerar que a distância entre qualquer ponto (x,y,z) da esfera e o centro C(a,b,c) é igual a r.
Usando a fórmula da distância entre dois pontos no espaço
( )2 2 2( ) ( ) ( )x a y b z c r− + − + − = , obtemos a equação da esfera
de centro no ponto C(a,b,c) e raio r, como mostra a figura.
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
EXEMPLO 1 Determine a equação de uma esfera com centro no ponto P(2,1,3) e raio igual a 3. Solução Escreva a equação da esfera
2 2 2 2( ) ( ) ( )x a y b z c r− + − + − =
Substitua os valores. 2 2 2 2( 2) ( 1) ( 3) 3x y z− + − + − =
Simplifique a expressão. 2 2 2( 2) ( 1) ( 3) 9x y z− + − + − =
A Fórmula do Ponto Médio no Espaço
O Ponto Médio do segmento de reta que liga dois pontos quaisquer do espaço, digamos P(x1,y1,z1) e Q(x2,y2,z2), é dado por :
Ponto Médio = 1 2 1 2 1 2, ,2 2 2
x x y y z z+ + +
EXEMPLO 2 Determine a equação de uma esfera cujo diâmetro é o segmento de reta que une os pontos P(2, -3,5) e Q(-1,4,3).
Solução
Use a fórmula do ponto médio para determinar o centro da esfera
2 ( 1) 3 4 5 3( , , ) , ,
2 2 2C a b c
+ − − + + =
Simplifique a expressão.
1 1( , , ) , ,4
2 2C a b c
=
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 151
Determine a equação de uma esfera com centro no
A Fórmula do Ponto Médio no Espaço
do segmento de reta que liga dois pontos quaisquer
Determine a equação de uma esfera cujo diâmetro 1,4,3).
o centro da esfera.
152 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Use a fórmula da distância para calcular o raio da esfera.
2 2 2( 1 2) (4 ( 3)) (3 5) 62
2 2 2PQd
r− − + − − + −
= = =
Escreva a equação da esfera.
2 2 2 2( ) ( ) ( )x a y b z c r− + − + − =
Substitua os valores.
2
2 2 21 1 62( ) ( ) ( 4)
2 2 2x y z
− + − + − =
Simplifique.
2 2 21 1 31( ) ( ) ( 4) .
2 2 2x y z− + − + − =
EXEMPLO 3 Determine o centro e o raio da esfera cuja equação é dada por x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 6z + 8 = 0. Solução Para obter o centro e o raio da esfera siga os passos descritos a seguir:
Passo 1: Agrupe os termos que envolvem a mesma variável.
(x2 – 2x + __) + (y2 + 4y + __) + (z2 - 6z + __) = -8 Passo 2: Some "o quadrado da metade do coeficiente de cada termo linear" aos dois lados da igualdade.
(x2 – 2x + 1) + (y2 + 4y + 4) + (z2 - 6z + 9) = -8 + 1 + 4 + 9
Passo 3: Escreva cada parcela como um quadrado perfeito
(x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 6
Passo 4: Compare a equação acima com a equação da esfera e observe que o centro e o raio desta surgem naturalmente.
Determine o centro e o raio da esfera cuja equação
passos descritos a
Some "o quadrado da metade do coeficiente de cada termo
Compare a equação acima com a equação da esfera e
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
EXERCÍCIOS 3.3
1. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento de reta que une os dois pontos dados.
(a) P(-2,0, -3) e Q(4,4,3)
(b) P(-3, -2,3) e Q(4,3,5)
2. Determine a equação da esfera sabendo que: (a) centro = C(2,2,3) e raio = 5. (b) centro = C(-3,2,2); a esfera é tangente ao plano-xy. (c) diâmetro da esfera tem como extremidades os pontos P(3,0,0) Q(0,5,0).
3. Determine o centro e o raio da esfera: (a) x2 + y2 + z2 – 7x = 0 (b) 2x2 + 2y2 + 2z2 – 4x – 12y – 8z + 3 = 0
a = 1, b = -2, c = 3 e 6r =
C(1, -2,3) e 6r =
2 2 2 2( ) ( ) ( )x a y b z c r− + − + − =
(x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 6
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 153
1. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento de reta
(c) diâmetro da esfera tem como extremidades os pontos P(3,0,0) e
154 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Funções de Duas Variáveis
Uma função f de duas variáveis x e y é uma regra que associa
a cada par ordenado de números reais (x,y) de seu domínio D ⊂⊂⊂⊂ 2ℝ ,
um único número real denotado por z = f(x,y).
O conjunto D, denominado domínio de f (Df ), é o maior
subconjunto do 2ℝ para o qual faz sentido a regra em questão; ou
seja, é todo o plano- xy ou uma parte dele. A imagem de f é o
conjunto de valores possíveis de f, ou seja, Im(f) = z = f(x,y) ∈ ℝ :
(x,y) ∈ D ⊂⊂⊂⊂ 2ℝ .
NOTAÇÃO
2:
( , ) ( , )
f D
x y z f x y
⊂ →
=֏
R R
onde z é a variável dependente e x e y são as variáveis independentes.
z
z
y
y
x
x (x,y)
( )( ), , ,x y z f x y=
Domínio
Contra-domínio
D
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
EXEMPLO 1 Calcule f (-3,2) onde 2 2
( , )3 4
x yf x y = + .
Solução
O domínio de f é todo 2ℝ , uma vez que qualquer par ordenado (
pode ser substituído na expressão da função. Assim, para (
(-3,2), temos 2 2( 3) (2) 9 4
( 3,2) 3 1 4.3 4 3 4
f−
− = + = + = + =
EXEMPLO 2 Dada a função racional ( , )x y
f x yx y
+=
−,
determine e represente geometricamente o domínio de f. Solução A expressão para f está bem definida se o denominador for diferente de 0. Assim, o domínio da função f é:
Df = (x,y) ∈ 2ℝ : x ≠ y
EXEMPLO 3 Represente graficamente o domínio de
( , )1
y xf x y
x
−=
+.
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 155
uma vez que qualquer par ordenado (x,y) Assim, para (x,y) =
está bem definida se o denominador for diferente
156 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Solução
A expressão para f está bem definida se o denominador for diferente de zero e o número que está dentro da raiz quadrada for maior ou igual a zero. Assim, devemos ter
y - x ≥ 0 e x + 1 ≠ 0 ⇒ y ≥ x e x ≠ -1.
Portanto, o domínio de f é
Df = (x,y) ∈ 2ℝ
: y ≥ x e x ≠ -1.
EXEMPLO 4 Uma função polinomial de duas variáveis reais
2ℝ → é uma função do tipo
f(x,y) = 3x3 y - 2xy + 3
cujo domínio é Df = 2ℝ . Uma função polinomial
( ),f x y ax by c= + +
denomina-se função afim.
EXEMPLO 5 Toda função f : 2ℝ → definida por
f(x,y) = ax + by ; a,b ∈ ℝ
é dita função linear cujo domínio é Df = 2ℝ .
definida se o denominador for diferente for maior ou
de duas variáveis reais f:
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 157
EXERCÍCIOS 3.4
1. Dada f(x,y) = 3x + y, calcule :
a) f(-1,2) b) f(b,x)
c) ( , ) ( , )f x x y f x y
x
+ ∆ −
∆ d)
( , ) ( , )f x y y f x y
y
+ ∆ −
∆
2. Determine o domínio de cada função dada e represente-os graficamente.
a) 2 24z x y= − − b)
2z y x= −
c) 2
2 2
( 1) cos y xz
x y
−=
− d) ln (4 2 )z x y= − −
Você pode utilizar o programa Graphmatica para verificar se as suas respostas estão corretas.
3. Para f(x,y) = x2y + 1, determine:
a) f(2,1) b) f(3a,a) c) f(ab, a-b)
4.Para f(x,y) = x + 3x2y2 , x(t) = t2 e y(t) = t3, determine:
a) f(x(t),y(t)) b) f(x(0),y(0))
5. Descreva com palavras o domínio de 2
1( , )f x y
x y=
− e
represente-o graficamente.
6. Especifique o domínio da função dada, faça um esboço gráfico do domínio encontrado, calcule os valores indicados e explique o que representa o domínio de uma função de duas variáveis.
a) 2 3
( , )3 2
x yf x y
x y
+=
+; f(2,1), f(6,-4)
b) 2 2( , )f x y y x= − ; f(4,5), f(-1,2)
Você pode utilizar um programa gráfico para verificar se as suas respostas estão corretas.
158 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Aplicações
A seguir veremos alguns exemplos de aplicações de funções de mais de uma variável.
EXEMPLO 1 A equação do movimento retilíneo uniformemente acelerado
20 0
1
2s s v t at= + +
define uma função de duas variáveis independentes, ( , )s f a t=
onde a é a aceleração do movimento e t é o tempo. As grandezas s
espaço inicial e 0v , velocidade inicial, são dois parâmetros
característicos para cada tipo de movimento.
EXEMPLO 2 A lei dos gases ideais
PV nRT=
onde P é a pressão, V é o volume, T é a temperatura e n o número de mols, define uma função de três variáveis independentes,
( , , )V f P T n=
considerando que R é uma constante universal.
EXEMPLO 3 A Lei de Coulomb
1 22
0
1
4elQ Q
Frπε
=
onde Q1 e Q2 são duas cargas pontuais colocadas no vácuo,
separadas pela distância r e 0ε é a permissividade no vácuo, define a
força elétrica Fel como uma função de três variáveis independentes,
( )1 2, ,elF f Q Q r= .
A seguir veremos alguns exemplos de aplicações de funções de
0s ,
, velocidade inicial, são dois parâmetros
o número de
são duas cargas pontuais colocadas no vácuo,
é a permissividade no vácuo, define a
como uma função de três variáveis independentes,
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
EXEMPLO 4 A força centrípeta F é uma força dirigida para um ponto central que faz com que um corpo em movimento, que normalmente se deslocaria em linha reta, se mova em círculos. A equação
2mvF
r=
define uma função de três variáveis independentes,
( ), ,F f m v r=
onde m é a massa do corpo, v é a velocidade do corpo e r é o raio da trajetória. EXEMPLO 5 A equação de Van der Waals (equação de estado para os gases reais)
( )2
2
anP V nb nRT
V
+ − =
onde n é o número de mols do gás e a e b são as constantes de der Waals para um determinado gás, define uma função de três variáveis independentes,
( )
2
2
nRT anP
V nb V= −
−.
A constante a representa a correção da pressão e está relacionada à magnitude das interações entre as partículas do gás. A constante a correção do volume e está relacionada ao tamanho das partículas do gás. EXEMPLO 6 A equação de estado de Dieterici2
( )
a
VRTRTP e
V b
−
=−
2 Primeira equação transcendental (não algébrica), apresentada como equação de estado.
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 159
é uma força dirigida para um ponto central que faz com que um corpo em movimento, que normalmente se deslocaria em linha reta, se mova em círculos. A
é o raio da
(equação de estado
são as constantes de Van para um determinado gás, define uma função de três
representa a correção da pressão e está relacionada à magnitude das interações entre as partículas do gás. A constante b é a correção do volume e está relacionada ao tamanho das partículas
Primeira equação transcendental (não algébrica), apresentada como
160 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
onde a, b e R são constantes, define uma função de duas variáveis independentes,
( ),P f V T= .
EXEMPLO 7 As leis da Eletrólise3 de Faraday podem ser expressas pela função de duas variáveis independentes,
( ),m f E q=
onde m é a massa depositada, q é a carga elétrica que atravessa a cuba no tempo t e E é o equivalente grama4 do metal depositado. EXEMPLO 8 A equação de Sackur-Tetrode, para um gás ideal,
0
23S
N keU
V
β γ − −
=
onde U é a energia interna, S é a entropia, β e γ são constantes, k é a constante de Boltzmann, V é o volume e N0 é o número de Avogadro, define uma função de duas variáveis independentes,
( ),U f S V= .
3 A eletrólise é um processo que separa os elementos químicos de um composto através do uso da eletricidade (é o processo inverso da pilha). É uma reação de oxi-redução não espontânea, provocada por uma corrente elétrica contínua fornecida por um gerador. Um eletrólito, ou substância que conduz eletricidade, é colocado em um recipiente onde se realiza a eletrólise (cuba eletrolítica). 4 O equivalente-grama de um elemento químico é a massa deste elemento que é capaz de reagir (ou deslocar) com 1g de hidrogênio ou 8g de oxigênio.
são constantes, define uma função de duas variáveis
podem ser
é a carga elétrica que atravessa a
Tetrode, para um gás ideal,
é a é o número de
é um processo que separa os elementos químicos de um . É
cada por uma corrente , ou substância
realiza a
grama de um elemento químico é a massa deste elemento que é capaz de reagir (ou deslocar) com 1g de hidrogênio ou 8g de
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 161
Gráfico de uma Função de Duas Variáveis
Outra maneira de visualizar o comportamento de uma função de duas variáveis é através do seu gráfico. As funções de duas variáveis podem ser representadas graficamente como superfícies em sistemas de coordenadas tridimensionais.
Considerando ( , )z f x y= , o par ordenado (x,y) pode ser identificado como um ponto no plano-xy e o valor correspondente z como a
altura associada ao ponto P(x,y,z) no espaço 3ℝ , em relação ao
plano-xy.
Assim como o gráfico de uma função f(x) de uma variável é uma curva no plano-xy, com equação y = f(x), o gráfico de uma função de duas variáveis f(x,y) é uma superfície no espaço, com equação z = f(x,y).
162 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Vejamos alguns exemplos de gráficos de funções de duas variáveis, observando que o esboço do gráfico dos mesmos é muito mais complicado do que o de funções de apenas uma variável. EXEMPLO 1 Os gráficos das figuras a seguir, representam a
variação da pressão (P) de um gás ideal em relação à V
Vn
= onde
V é o volume à uma temperatura (T). Na figura (a) essa variação é representada fixando-se alguns
valores de T (T = 1000 ,T = 500 , ...) obtendo assim, curvas num sistema bidimensional.
Na figura (b) está representada a mesma variação em três dimensões. Observe que (a) é uma maneira simplificada de representar a figura (b).
a) b)
Vejamos alguns exemplos de gráficos de funções de duas do gráfico dos mesmos é muito
, representam a
onde
se alguns , ...) obtendo assim, curvas num
) está representada a mesma variação em três ) é uma maneira simplificada de
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
EXEMPLO 2 A equação x2 + y2 + z2 = 1, define duas funções no espaço.
2 21z x y= − − 2 21z x y= − − −
D = (x,y) ∈ 2ℝ : x2 + y2 ≤ 1: círculo de centro na origem e raio 1
EXEMPLO 3
2:
( , ) ( , ) 2
f
x y f x y
→
→ =
ℝ ℝ
EXEMPLO 4
2:
( , ) ( , )
f
x y f x y y
→
→ =
ℝ ℝ
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 163
= 1, define duas funções no
2 2z x y
círculo de centro na origem e raio 1.
( , ) ( , )x y f x y y→ =
164 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
EXEMPLO 5
EXEMPLO 6
Curvas de Nível
Inicialmente gostaríamos de chamar a atenção para o fato de que só é possível fazer representações gráficas de funções reais que possuam, no máximo, duas variáveis independentes, uma vez que seus gráficos estão sempre inseridos em espaços com uma dimensão a mais que a do domínio. Assim, o gráfico de uma função de uma
variável, é uma curva no plano ℝ2 , como já vimos; o gráfico de
2
2 2
2
:
( , ) ( , )
( , ) : 0, 0
f
x y f x y x y
D x y x y
→
→ = +
= ∈ ≥ ≥
ℝ ℝ
ℝ
2
2
:
( , ) ( , )
f
x y f x y x
→
→ =
ℝ ℝ
Inicialmente gostaríamos de chamar a atenção para o fato de que
possuam, no máximo, duas variáveis independentes, uma vez que gráficos estão sempre inseridos em espaços com uma dimensão
a mais que a do domínio. Assim, o gráfico de uma função de uma
, como já vimos; o gráfico de
2 2
( , ) : 0, 0
x y f x y x y
D x y x y= ∈ ≥ ≥
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 165
uma função de duas variáveis é uma superfície em ℝ3 , como acabamos de ver; o gráfico de uma função real de três variáveis é
uma superfície em ℝ4 , e assim por diante.
Também já notamos que não é simples construir, manualmente, o gráfico de funções de duas variáveis, sendo que, neste caso, o mais recomendado é a utilização de programas gráficos. Contudo, uma função de duas variáveis pode ser visualizada graficamente, em parte, considerando uma das variáveis independentes como constante, e esboçando o gráfico da função apenas em relação à outra variável.
Para ver como se dá esse processo, considere uma função de
duas variáveis z = f(x,y), cuja representação no espaço 3ℝ é uma superfície qualquer.
Vimos anteriormente que podemos desenhar três planos que cortam a superfície z = f(x,y) em situações particulares: um plano paralelo ao plano-xy, um plano paralelo ao plano-xz e um plano paralelo ao plano-yz.
Por exemplo, considerando o plano z = z0 (paralelo ao plano-xy), onde z0 é uma constante, o plano e a superfície determinam uma linha de contorno (traço) sobre a superfície, cuja projeção sobre o
166 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
plano-xy define uma curva. Esta curva é denominada curva de nível de f.
Neste caso, a curva de nível é o conjunto dos pontos (x,y) do
plano-xy para os quais f(x,y) = z0 (z0 = constante). Assim, para obter a equação da curva de nível, no plano-xy, basta fazer f(x,y) = z0. EXEMPLO 1 Determine as curvas de nível da função
( ) 2,z f x y x= = , no plano xy, para os valores de z especificados
abaixo:
0
0
0
0
0 0
1 1
2 2
3 3
z x
z x
z x
z x
= ⇒ =
= ⇒ = ±
= ⇒ = ±
= ⇒ = ±
curva de nível
) do = constante). Assim, para obter
curvas de nível da função
especificados
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Uma família de curvas de nível chama-se mapa de contorno
e pode nos dar uma boa idéia de como as variáveis x, y e z estão se relacionando. Assim, um mapa de contornos de uma superfície é obtido projetando-se, no plano- xy, as linhas de contornosuperfície, que são geradas em planos igualmente espaçadosparalelos ao plano-xy.
OBS: A idéia de construir um mapa de contorno, a partir de planos igualmente espaçados, torna-se necessário quando queremos analisar a inclinação de uma superfície a partir desse mapa. Para isso, basta observar que a superfície é mais inclinada onde as curvas de nível estão mais próximas umas das outras e, mais ou menos plana, onde as curvas de nível estão distantes umas das outras.
EXEMPLO 2
0
2
2 2
:
( , ) ( , )
f
x y f x y x y
→
→ = +
ℝ ℝ
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 167
mapa de contornos, estão se
de uma superfície é linhas de contorno da igualmente espaçados e
a partir de se necessário quando
queremos analisar a inclinação de uma superfície a partir desse mapa. Para isso, basta observar que a superfície é mais inclinada onde as curvas de nível estão mais próximas umas
as curvas de nível
168 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
As curvas de nível são os gráficos das funções x2 + y2 = k onde kuma constante (ver ilustração a seguir).
EXEMPLO 3 Se as curvas de nível de uma função têm o aspecto da figura (a), o gráfico da função terá o formato da figura (b).
OBS: A denominação curva de nível varia de acordo com o que a função representa. Por exemplo, se f é uma distribuição de temperatura, então f(x,y) é a temperatura no ponto (x,y) e as curvas de nível denominam-se isotermas (curvas cujos pontos têm a mesma temperatura); se f é a energia potencial de certo campo de forças bidimensionais, então as curvas de nível denominam-se curvas equipotenciais.
EXEMPLO 4 Vamos considerar a variação da pressão (P) de
um gás ideal em relação ao volume V
Vn
= e à temperatura (T),
-4 -2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
k é
Se as curvas de nível de uma função têm o aspecto
varia de acordo com o
é uma distribuição ) e as
(curvas cujos pontos de certo
campo de forças bidimensionais, então as curvas de nível
) de
T),
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
onde n é o número de moles, dada pela equação ( , )PV
T P VR
=
curvas de nível da figura ao lado, mostram as isotermas de um gás ideal.
EXEMPLO 5 Sabendo que T(x,y) = 4x2 + 9y2 representa uma distribuição de temperatura no plano-xy, desenhe a isoterma
correspondente à temperatura de 36°C.
As curvas de nível têm interpretações interessantes, como por exemplo, no caso de um cartógrafo que ao mapear um terreno com
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 169
PV
R. As
curvas de nível da figura ao lado, mostram as isotermas de um gás
representa uma desenhe a isoterma
As curvas de nível têm interpretações interessantes, como por exemplo, no caso de um cartógrafo que ao mapear um terreno com
170 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
vales, morros e montanhas, utiliza-se delas para representar pontos que tenham a mesma altitude.
Na figura abaixo, temos em (a) o gráfico de f(x,y) para uma região montanhosa onde
f(x,y) = altitude no ponto (x,y) e, em (b) as curvas de nível correspondente à várias altitudes.
OBS:
1. É importante observar que, conforme o ponto (x,y) se move ao longo de uma curva de nível, os valores de f(x,y) não se alteram.
2. Uma curva de nível é um subconjunto do domínio de f e,
portanto, do plano 2ℝ .
3. Podemos obter curvas de nível de uma função z = f(x,y) no plano-yz e no plano-xz. Para obter uma curva de nível no plano-xz, basta fazer y = y0, de maneira que z = f(x,y0) = g(x). Neste caso, a curva de nível é o conjunto dos pontos (x,z) do plano-xz para os quais
f(x,y0) = z (y0 = constante).
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 171
Agora, para determinar uma curva de nível no plano-yz basta fazer x = x0, de maneira que
z = f(x0,y) = h(y).
Neste caso, a curva de nível é o conjunto dos pontos (y,z) do plano-yz para os quais
f(x0,y) = z (x0 = constante).
172 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Para alguns propósitos, o mapa de contornos é mais útil que um gráfico, como podemos ver através dos exemplos a seguir. EXEMPLO 6 A figura abaixo mostra um mapa de contornos
para uma função ( ),z f x y= . Utilize-o para fazer uma estimativa
do valor de (2, 1)f − .
Solução
O ponto ( )2, 1− está entre as curvas de nível com valores z = 20 e
z = 10. Assim, uma estimativa para o valor de (2, 1)f − é
(2, 1) 16f − ≈
EXEMPLO 7 As curvas de nível, obtidas a partir da lei dos gases ideais, mostram como a pressão varia com o aumento do volume, mantendo a temperatura constante. Vemos que, para um valor fixo da temperatura T, quando o volume do gás aumenta, a pressão diminui, e vice-versa.
é mais útil que um
A figura abaixo mostra um mapa de contornos
o para fazer uma estimativa
está entre as curvas de nível com valores z = 20 e
As curvas de nível, obtidas a partir da lei dos gases varia com o aumento do volume,
mantendo a temperatura constante. Vemos que, para um valor fixo a pressão
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 173
EXERCÍCIOS 3.5
1. Esboce algumas curvas de nível das funções dadas, no plano-xy.
a) z = x2 b) z = 1 + 2x + 3y c) z = x2 + y2 -1
d) z = x/y
2. Esboce o gráfico das funções dadas, utilizando um programa gráfico.
a) z = 2x + y + 3 b) z = 2 c) z = y d) 2 21z x y= − − −
3. Esboce as curvas de nível para cada uma das funções dadas, considerando a escolha das constantes especificadas. Descreva, com suas palavras, o que você entende por uma curva de nível.
a) f(x,y) = y + 2x; C = 1, C = 2, C = -3
b) f(x,y) = x2 + y; C = 0, C = 4, C = 9
174 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
4. Uma camada fina de metal, localizada no plano-xy, tem
temperatura 2 2
100( , )
1 2T x y
x y=
+ + no ponto (x,y). Faça o esboço de
algumas isotermas para a função temperatura.
5. A equação de Van der Waals de estado diz que 1 mol de um gás confinado satisfaz a equação
2( , ) 0,0122 ( ) 273,15
aT P V P V b
V
= + − −
onde T (°C) é a temperatura do gás, V (cm3) é o seu volume, P (atm) é a pressão do gás na parede do seu recipiente, e a e b são constantes que dependem da natureza do gás.
(a) Se o gás confinado for o cloro, os experimentos mostram que a = 6,49x106 e b = 56,2. Encontre T(1,13; 31,275ä103); isto é, a temperatura que corresponde a 31,275 cm3 de cloro sob 1,13 atmosferas de pressão.
(b) Esboce os gráficos de várias isotermas de T.
6. a) Suponha que você esteja numa sala de 12 metros de comprimento com um aquecedor numa extremidade. De manhã a
sala está a 65°F. Você liga o aquecedor, que rapidamente aquece a
85°F. Seja H(x,t) a temperatura a x metros do aquecedor, t minutos depois do aquecedor ser ligado. A figura a seguir, mostra o mapa de contorno para H.
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 175
(a) Quão quente está a 3 metros do aquecedor, 5 minutos depois de
ser ligado?
(b) Usando o mapa de contornos, faça um esboço dos gráficos das funções de uma variável H(x,5) e H(x,20). Interprete os dois gráficos em termos práticos e explique a diferença entre eles.
7. Decida se as informações abaixo devem, podem ou não podem ser verdadeiras. A função z = f (x,y) está definida em toda parte.
a) As curvas de nível correspondendo a z = 1 e z = -1 cruzam-se na origem. b) A curva de nível z = 1 consiste de duas retas que se cortam na origem.
c) Se 2 2( )x yz e− += , existe uma curva de nível para todo valor de z.
176 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
EXERCÍCIOS EXTRAS
1. Determine os pontos de interseção da equação 2x – y + z = 4 com os eixos x e y.
2. Reescreva a expressão 2 2 2 2 4 6 15 0x y z x y z+ + − − − + =
completando o quadrado.
3. Plote os pontos no mesmo sistema tridimensional.
(a) (2,1,3) e (-1,2,1) (b) (3,-2,2) e (3,-2,-2)
(c) (0,4,-5) e (4,0,5)
4. Determine a distância entre os pontos dados.
(a) (4,1,5) e (8,2,6) (b) (-1,-5,7) e (-3,4,-4)
5. Determine as coordenadas do ponto central do segmento de reta que liga os pontos (4,0,-6) e (8,8,20).
6. (a) Você está 2 unidades abaixo do plano xy e está no plano yz. Quais as coordenadas? (b) Agora você está no ponto (4,5,2) olhando para o ponto (0,5;0;3). Você está olhando para cima ou para baixo? Justifique suas respostas.
7. Os cristais são classificados de acordo com a simetria: os que possuem simetria na forma cúbica são chamados de isométricos. Os vértices de um cristal foram representados em um sistema tridimensional de coordenadas. Determine as coordenadas do ponto (x,y,z) se o cristal for isométrico.
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 177
8. Determine o centro e o raio da esfera x2 + y2 + z2 – 5x = 0.
9. A água usada na fabricação de semicondutores deve ser extremamente pura. Para separar a água das impurezas, utiliza-se um processo conhecido como osmose reversa, no qual se faz a água passar por uma membrana semipermeável. Um parâmetro importante deste processo é a pressão osmótica, que pode ser calculada através da equação de Van´t Hoff
( , , ) 0,075 (273,15 )P N C T N C T= + , onde P é a pressão osmótica
em atmosferas, N é o número de íons por molécula do soluto, C é a concentração do soluto em gramas-mol por litro e T é a temperatura do soluto em °C. Determine a pressão osmótica de uma solução de cloreto de sódio (NaCl) com uma concentração de 0,53 g mol/L, a uma temperatura de 23 °C (cada molécula de NaCl contém dois íons: Na+ e Cl-).
10. Para f(x,y) = x2y + 1, determine:
a) f(2,1) b) f(3a,a) c) f(ab,a-b)
11. Dada a função ( , ) 500 112
Nr
F r N
= +
determine os valores
de: (0,09;60) e (0,14;240)F F .
12. Dada a função ( , , ) rtA P r t Pe= determine os valores de:
(500;0,10;5) (1500;0,12;20)A e A .
13. Dada a função ( , ) (2 3)y
xf x y t dt= −∫ determine os valores de:
(1,2) (1,4)f e f .
14. Dada a função 2( , ) 3f x y xy y= + determine os valores de:
( , ) ( , )( , ) e
f x y y f x yf x x y
y
+ ∆ −+ ∆
∆.
178 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
15. Considere uma amostra de 1 mol de dióxido de enxofre (SO2) com uma pressão de 5 atm e um volume de 10 litros. Calcule a temperatura desta amostra de gás usando a lei dos gases ideais e a equação de Van der Waals. Compare os resultados obtidos e determine o valor da diferença entre eles (em porcentagem). Dados: a = 6,714 ; b = 0,05636
Lei dos gases ideais: PV = nRT, onde P = pressão, T = temperatura
Equação de Van der Waals: 2
( )a
P V b RTV
+ − =
R = 0,08205 (constante da lei dos gases ideais) e n = número de moléculas do gás.
16. (a) De uma maneira geral, se não houver nenhuma restrição, qual é o conjunto de partida de uma função de duas variáveis? E o conjunto de chegada? Descreva com palavras o que representa o conjunto de partida de uma função de duas variáveis. Descreva com palavras o que representa o conjunto de chegada de uma função de duas variáveis. (Preencha os espaços em branco na ilustração abaixo)
f : _____ → ______
(b) O que você entende por domínio de uma função de duas variáveis?
(c) De quantos modos você pode representar o domínio de uma função de duas variáveis? Descreva-os no caso da função
2
1( , )
4z f x y
x= =
−.
(d) O que você entende por imagem de uma função de duas variáveis? Em termos de conjunto, descreva com palavras o que representa a imagem de uma função de duas variáveis.
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 179
17. Determine e faça o esboço do domínio de cada uma das funções dadas.
(a) ( , )f x y x y= + (b) ( , )f x y x y= +
(c) 2 2
3 5( , )
4
x yf x y
x y
+=
+ − (d) 2( , )f x y xy x y= +
(e) 3
( , )3
x yf x y
x y
−=
+ (f) ( , ) 1f x y x y= − −
18. Seja ( , )2
y xf x y
x y
−=
+.
(a) Determine o domínio da função dada.
(b) Calcule f(u + v,2v - u).
19. (a) Determine e represente graficamente o domínio da função
1( )
2y f x
x= =
−.
(b) Determine e represente graficamente o domínio da função
1( , )
2z f x y
x= =
−.
20. Expresse matematicamente a função que mede o volume V de um cilindro circular reto de raio r e altura h. Determine seu domínio sob o ponto de vista matemático e físico.
21. Utilize o computador para traçar o gráfico de cada uma das funções dadas e comente o comportamento da função no limite.
(a) O que acontece com a função quando x e y se tornam muito grandes? (b) O que acontece quando (x,y) se aproxima da origem? De que maneira você pode descrever esse fato usando a notação de limite?
180 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
De quantas maneiras diferentes um ponto (x,y) pode aproximar-se da origem (0,0) no plano cartesiano?
(i) 2 2
( , )x y
f x yx y
+=
+ (ii)
2 2( , )
xyf x y
x y=
+
22. (a) Determine o domínio das funções dadas.
(b) Verifique se o ponto dado pertence ao domínio encontrado.
(c) Calcule o valor de f no ponto dado.
(i)1
( , )1
x yf x y
x
+ +=
−; P(3,2)
(ii) 2( , ) ln( )f x y x y x= − ; P(e,1)
23. Determine e represente geometricamente o domínio das funções dadas:
a) 3 2
( , )5 3
x yf x y
x y
+=
+ b) ( , )
ln( )
x yf x y
x y
−=
+
c) 2 2( , ) 16f x y x y= − − d) ( , )2
xyef x y
x y=
−
24. Determine o domínio da função ( , ) 1x
yf x y x e= − − e o valor
da função nos pontos (1,1) e (0,4). Represente graficamente o domínio encontrado.
25. Use o computador para traçar o gráfico e o mapa de contornos para cada uma das funções dadas. Encontre o melhor ponto de vista para colocar no seu documento.
(a)
3 3( , )f x y x y= + (b) 2 3( , )f x y xy x= −
(c) 3 3( , )f x y xy yx= −
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 181
26. (a) Descreva com palavras qual é o seu entendimento acerca de
uma curva de nível de uma função ( ),z f x y= de duas variáveis.
Dê um exemplo prático de uma curva de nível no contexto da Física ou da Química. (b) Algebricamente, explique como é que você obtém uma curva
de nível de uma função de duas variáveis ( ),z f x y= e de que
maneira você a descreve graficamente. (c) Explique qual é a diferença entre uma linha de contorno e uma curva de nível de uma função de duas variáveis.
27. Determine o traço (linha de contorno) da esfera
x2 + y2 + z2 = 25
no plano z = 3 e no plano x = 4.
28. Represente a função dada desenhando algumas curvas de nível.
a) z = x + y b) z = y - x c) z = x2 - y2
d) z = y2 – x e) z = x , x ≥ 0 f) z = x + y + 1
g) z = 1 - x2 - y2 h) 2 2z x y= +
29. Quando as curvas de nível de um mapa de contorno estão próximas, a superfície é mais íngreme ou mais plana? Quando as curvas de nível de um mapa de contorno estão afastadas, a superfície é mais íngreme ou mais plana? Justifique sua resposta.
30. Dois mapas de contorno são mostrados na figura abaixo. Um é da função f cujo gráfico é um cone. O outro é para a função g cujo gráfico é um parabolóide. Qual é qual? Por que?
182 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
31. Descreva as curvas de nível z = k, onde z = x2 + y, para os valores especificados de k = -2,-1, 0, 1, 2.
32. Esboce o gráfico das curvas de nível da função
( ), 6 3 2f x y x y= − − tal que ( ),f x y k= , para os valores k = -6, 0,
6, 12. O que acontece com as curvas de nível em relação à distância entre elas? Por que isso acontece (analise o tipo de superfície que a função gera no espaço)?
33. Fazendo uma analogia com o conceito de curva de nível de uma função z = f(x,y), explique o que você entende por superfície de nível.
34. Determine uma equação da curva de nível da função f(x,y) = yex que passa pelo ponto (ln2,1).
35. De acordo com a lei dos gases ideais, a pressão P, o volume V e a temperatura T de um gás confinado estão relacionados através da fórmula PV = kT, para uma constante k. Expresse P como função de V e T e descreva as curvas de nível associadas a esta função. Dê o significado físico dessas curvas de nível.
36. Se V(x,y) for a voltagem ou potencial sobre um ponto (x,y) no plano xy, então as curvas de nível de V são chamadas de curvas
equipotenciais. a) O que acontece com a voltagem ao longo de tal curva?
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 183
b) Dado que 2 2
8( , )
16V x y
x y=
+ +, esboce as curvas
equipotenciais nas quais V = 2,0; V = 1,0 e V = 0,5.
37. Considere o gráfico da função 2 225z x y= − − e seu mapa de contorno descritos na ilustração a seguir.
Faça uma análise a respeito da inclinação da superfície (onde ela é mais ou menos inclinada), analisando o mapa de contorno desta. Justifique sua resposta. Você pode generalizar sua conclusão para qualquer função de duas variáveis?
38. Esboce o gráfico das curvas de nível da função
( ) 2 2, 9g x y x y= − − , ( ),g x y k= , para os valores k = 0, 1, 2, 3,
4, 5. Analise o comportamento da superfície, em termos de sua inclinação (onde ela é mais ou menos inclinada), a partir da análise do mapa de contorno obtido.
39. Se você estiver caminhando sobre uma montanha, o que acontecerá se você andar sobre um dos contornos que define uma curva de nível? Justifique sua resposta.
184 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
40. Na ilustração abaixo é mostrado o mapa de contorno para uma função f. A partir dele, faça uma estimativa para o valor de f(-3,3) e f(3,-2). O que você pode dizer a respeito da forma do gráfico?
41. Despejar ou manipular materiais, próximo a um aterro, pode resultar na liberação de partículas contaminadas para a atmosfera circundante. Para estimar estas emissões de partículas, a seguinte fórmula empírica pode ser usada:
1,3 1,4
( , ) (0,00325 2
V ME V M k
−
=
, onde E é o fator de emissão
(libras de partículas liberadas na atmosfera por tonelada de solo manipulado), V é a velocidade média do vento (mph), M é a umidade contida no material (dada em porcentagem) e k é uma constante que depende do tamanho das partículas.
a) Para uma partícula pequena (diâmetro de 5mm), segue-se que k = 0,2. Encontre E(10,13).
b) Esboce diversas curvas de nível de E(V,M), no plano VM, supondo que o tamanho das partículas permaneça fixo.
42. O quociente de inteligência (QI) de uma pessoa é medido pela
função 100
( , )m
I m aa
= onde a é a idade real da pessoa e m é sua
idade mental.
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 185
(a) Encontre I(12,11) e I(16,17) e descreva, com palavras, qual é a sua compreensão sobre os valores encontrados.
(b) Esboce o gráfico de algumas curvas de nível de I(m,a). Como você descreveria estas curvas?
43. (a) Descreva a curva de nível da função ( ),f x y xy= contendo
o ponto (2,1/2).
(b) Ache uma função ( ),f x y que tem a curva 2
3y
x= como
uma curva de nível.
(c) Segundo a sua concepção, qual é a importância de uma curva de nível?
44. Sabendo que a função ( )2
2, 304
yT x y x
= − +
representa a
temperatura nos pontos da região delimitada pela elipse 2
2 14
yx
+ =
pergunta-se:
a) Em que ponto (x,y) a temperatura é a mais alta possível? b) Em que pontos a temperatura é a mais baixa possível?
45) Se T(x,y) for a temperatura em um ponto (x,y) sobre uma placa delgada de metal no plano xy, então as curvas de nível de T são chamadas de curvas isotérmicas. Suponha que uma placa ocupa o primeiro quadrante e T(x,y) = xy.
(a) Esboce as curvas isotérmicas sobre as quais T = 1, T = 2 e T = 3.
(b) Uma formiga, inicialmente em (1,4), anda sobre a placa de modo que a temperatura ao longo de sua trajetória permanece constante. Qual é a trajetória (definida por uma equação) tomada pela formiga e qual é a temperatura ao longo de sua trajetória?
46) As questões a seguir, referem-se ao mapa de contorno abaixo.
186 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
(a) O Ponto A ou B é o ponto mais alto? Explique o seu raciocínio.
(b) O Ponto A ou B está na inclinação mais íngreme? Explique seu raciocínio.
(c) Iniciando em A e movendo-se tal que y permanece constante e x cresce, a elevação começara a crescer ou decrescer?
(d) Iniciando em B e movendo-se tal que y permanece constante e x cresce, a elevação começara a crescer ou decrescer?
(e) Iniciando em A e movendo-se tal que x permanece constante e y decresce, a elevação começara a crescer ou decrescer?
(f) Iniciando em B e movendo-se tal que x permanece constante e y decresce, a elevação começara a crescer ou decrescer?
47) Descreva os traços (linha de contorno) da superfície dada nos planos indicados.
(a) x2 – y – z2 = 0 planos: plano xy ; plano y = 1 ; plano yz
(b) y2 + z2 – x2 = 1 planos: plano xy ; plano xz ; plano yz
188 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Capítulo 4
Derivadas Parciais
O QUE VOCÊ VAI ESTUDAR:
• Determinar as derivadas parciais de funções de duas ou mais
variáveis.
• Determinar as derivadas parciais de ordem superior.
• Determinar Extremos Relativos de Funções de Duas Variáveis.
• Resolver problemas de Otimização.
• Diferencial de uma função.
189 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Derivadas Parciais
Introdução
Vimos anteriormente que a maioria dos fenômenos naturais envolve funções de mais de uma variável, seguindo daí a importância do estudo de tais funções. No curso de Cálculo Diferencial e Integral I aprendemos que a derivada é um operador matemático cuja operação é executada em relação a uma variável independente. Como consequência desse fato, quando trabalhamos com funções com mais de uma variável independente, a opção que temos é calcular a derivada em relação a uma de suas variáveis, enquanto as outras são mantidas constantes. Tal processo é denominado derivação parcial e a derivada resultante é a derivada
parcial da função.
A partir das equações de estado na Termodinâmica, podemos utilizar derivadas para obter expressões que nos mostram como uma variável de estado muda em relação à outra. Por exemplo, a lei dos gases ideais afirma que, sob certas condições, a pressão (P) exercida por um gás é função do volume (V) do gás e de sua temperatura (T), ou seja, se considerarmos o número de mols constante teremos
P = f(V, T)
Dessa forma, poderíamos estar interessados em saber como a pressão varia em relação à temperatura, admitindo que o volume no nosso sistema gasoso permanecerá constante. Ou seja, estamos interessados na taxa de variação da pressão em relação à variação da temperatura, se o volume for mantido constante. Nesse caso, a derivada parcial de P em relação a T, mantendo V constante, será representada, simbolicamente, por:
190 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
,V n
P
T
∂
∂
O símbolo ∂ é utilizado aqui, no lugar da letra d (usada quando trabalhamos com funções de uma variável independente), para enfatizar o fato de estarmos trabalhando com funções de mais de uma variável.
Assim, dada uma função na forma explícita, a derivada parcial é escrita de maneira que no “numerador” fique a variável dependente e, no “denominador”, são colocadas as variáveis independentes, destacando-se aquela que vai ser utilizada na derivação (dentro do parêntese) daquelas que serão mantidas como constantes (colocadas como índices da derivada, fora do parêntese).
Nesse capítulo, estaremos desenvolvendo as ferramentas matemáticas que nos possibilitem estudar taxas de variação que envolva mais de uma variável independente.
Derivadas Parciais
Nas aplicações de funções de várias variáveis, para saber de que maneira o valor de uma função será afetado por alterações em uma das variáveis independentes, é bastante comum considerar as variáveis independentes uma de cada vez. Por exemplo, considerando a equação de estado da lei dos gases ideais, suponha que um físico, estudando gases, queira saber como a pressão varia em relação à temperatura. Para isso, ele pega uma amostra de um gás ideal e mede sua pressão em diferentes temperaturas, considerando o volume e o número de mols no sistema gasoso como constantes. Em outras palavras, para determinar a taxa de variação da pressão em relação à temperatura, mantemos fixos o volume e o
DERIVADAS PARCIAIS 191
número de mols. Para descrever tais taxas de variação, iremos definir a derivada parcial de uma função.
Para entender como funciona o processo de derivação parcial, consideremos inicialmente a função
z = f(x,y) = x2 + 4y – 3 (poderia ser qualquer outra função).
Mantendo y fixo, por exemplo, y = 2, teremos
z = f(x,2) = x2 + 5,
que pode ser vista como uma função apenas de x.
Vamos escrever g(x) = f(x,2). Nesse caso, a função g descreve como z muda com a variação de x, mantendo y = 2 fixo. A derivada de g, quando x = x0, é a taxa de variação de z com relação à x, em x0, quando y = 2 e, utilizando uma expressão análoga à que define a derivada de uma função de uma variável, é dada por:
0
0 0 00
00
0 00
0
( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim
( ,2) ( ,2)lim ( ,2)
x x h
h
g x g x g x h g xg x
x x h
f x h f x zx
h x
→ →
→
− + −= = =
−
+ − ∂= =
∂
De uma maneira geral, considerando z = f (x,y) e mantendo y fixo, teremos x como variável. A taxa de variação da função f, em
relação à x, no ponto (x0,y0), é denotada por 0 0( , )z
x yx
∂
∂ e definida
por:
(1) 0 0 0 00 0
0
( , ) ( , )( , ) lim ,
h
f x h y f x yzx y
x h
∂
∂ →
+ −=
se esse limite existir. Neste caso, tal limite chama-se derivada parcial de z em relação a x no ponto (x0,y0).
192 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Analogamente definimos a derivada parcial de z em relação a
y no ponto (x0,y0), 0 0( , )z
x yy
∂
∂, por
(2) 0 0 0 00 0
0
( , ) ( , )( , ) lim
h
z f x y h f x yx y
y h
∂
∂ →
+ −=
.
NOTAÇÕES
0 0
0 0 0 0( , )
0 0 0 0 0 0
( , ) ; ( , ) ; ;
( , ) ; ( , ) ; ( , ),
x y
x xy
z f fx y x y
x x x
ff x y D f x y x y
x
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂
∂
são as notações mais usadas para a derivada parcial da função
( ),z f x y= em relação a x, no ponto (x0, y0). O símbolo ∂∂∂∂ na
notação é usado para enfatizar que há outras variáveis independentes, e não apenas x. O mesmo se aplica para funções de três ou mais variáveis.
CUIDADO COM AS NOTAÇÕES!!!!
Como todo símbolo, as notações matemáticas foram criadas para simplificar a expressão de uma idéia e a leitura da mesma. Todavia, assim como o emprego de um símbolo errado acarreta em uma interpretação equivocada do que se quer representar, o mesmo ocorre com as notações matemáticas.
Portanto, não confunda, por exemplo, com f d f
x d x
∂
∂. Ao
DERIVADAS PARCIAIS
escrevermos d f
d x estamos representando a derivada ordinária
de f em relação à x e, portanto, está subentendido que f função de uma única variável x. Ao passo que, quando
escrevemos f
x
∂
∂ estamos representando a derivada parcial de
em relação à variável x, estando subentendido que f é uma função de duas ou mais variáveis e que estamos calculando apenas a sua taxa de variação em relação à x, mantendo as outras variáveis constantes neste cálculo.
OBS:
As derivadas parciais são as principais ferramematemáticas utilizadas no estudo da Termodinâmicaprática universal nessa ciência evitar confusão usando índices nas derivadas parciais para especificar a variável (ou variáveis) mantida fixa na derivação. Assim, se w =
então w
x
∂
∂ é usualmente denotada por
y
w
x
∂
∂
. Essa notação
indica que w está sendo considerada função de x e y, porémé mantido fixo durante o processo de derivação em relação à x. Desse modo, sempre que necessário, vamos procurar utilizar tal notação.
EXEMPLO 1 A tabela abaixo fornece os valores de uma
função ( ),z f x y= .
DERIVADAS PARCIAIS 193
estamos representando a derivada ordinária
é . Ao passo que, quando
estamos representando a derivada parcial de f
é uma função de duas ou mais variáveis e que estamos calculando
, mantendo as
As derivadas parciais são as principais ferramentas Termodinâmica. É
prática universal nessa ciência evitar confusão usando índices nas derivadas parciais para especificar a variável (ou
= f(x,y),
. Essa notação
, porém y é mantido fixo durante o processo de derivação em relação à
os procurar
A tabela abaixo fornece os valores de uma
194 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
valo
res
de x
valores de y
10 20 30 40 50
20 18 16 14 13 13
16 14 11 9 7 7
12 9 5 3 1 0
8 5 0 -3 -5 -6
Faça uma estimativa para os valores de
( ) ( )12, 20 e 12, 20x yf f .
Solução Se nos concentrarmos na coluna assinalada da tabela, que
corresponde a y = 20, iremos considerar ( ),z f x y= como função da
única variável x, para um valor fixo de y.
valo
res
de x
valores de y
10 20 30 40 50
20 18 16 14 13 13
16 14 11 9 7 7
12 9 5 3 1 0
8 5 0 -3 -5 -6
Escrevendo ( ) ( ),20g x f x= , então g descreve como z varia, com o
aumento de x, quando y = 20. Assim,
( ) ( )12,20 ' 12xf g=
( )( ) ( ) ( ) ( )
12 12
12 ,20 12,20' 12 lim lim
12 12x x
g x g f x fg
x x→ →
− −= =
− −
DERIVADAS PARCIAIS 195
Utilizando a tabela acima e tomando os valores mais próximos de 12 para x, ao efetuar o cálculo do limite, teremos:
( )( ) ( ) ( ) ( )16 12 16,20 12,20 11 5
' 12 1,54 4 4
g g f fg
− − −≈ = = =
( )( ) ( ) ( ) ( )8 12 8,20 12,20 0 5
' 12 1,254 4 4
g g f fg
− − −≈ = = =
− − −
Considerando a média desses valores, podemos dizer que a derivada
parcial ( )12,20xf é aproximadamente 1,375. Isso significa que,
quando x = 12 e y = 20, para cada unidade que x aumenta (mantendo y constante igual a 20) o valor de z aumenta 1,375 unidades.
De maneira análoga, determinamos o valor de
( )12, 20 0,3yf ≈ − . Isso significa que, quando x = 12 e y = 20, para
cada unidade que y aumenta (mantendo x constante igual a 12) o valor de z decresce 0,3 unidades.
Aplicações das Derivadas Parciais
Veremos a seguir alguns exemplos de aplicações das
derivadas parciais no contexto da Física e da Química.
1) Na Termodinâmica existem várias grandezas físicas que são definidas através de expressões envolvendo derivadas parciais:
(a) Capacidades Caloríficas5 – de uma maneira geral, são calculadas nas condições de volume constante, CV
(variação da energia interna em relação à temperatura a um volume constante), ou de pressão constante, CP (variação da entalpia em
5 Capacidade calorífica de um sistema é definida como a variação do calor em relação à temperatura.
196 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
relação à temperatura a pressão constante), e definidas através das expressões:
VV
UC
T
∂ =
∂ e P
P
HC
T
∂ =
∂
onde P é a pressão, V o volume, T a temperatura, U é a energia interna e H a entalpia do sistema.
(b) Coeficiente de Compressibilidade isotérmica de um gás – β é a mudança no volume à medida que a pressão varia, mantendo-se a temperatura constante.
1
T
V
V P
∂ = −
∂ β
(c) Coeficiente de Expansão Térmica de um gás – α é definido como a mudança no volume à medida que a temperatura varia, mantendo-se a pressão constante.
1
P
V
V T
∂ =
∂ α
(d) Potencial Químico - µ de uma substância é definido como a variação na energia livre de Gibbs em relação ao número de mols, a pressão e temperatura constantes.
,i P T
G
n
∂=
∂ µ
onde ni é a quantidade em mol da espécie química i em função da qual a energia livre de Gibbs6 (G) do sistema está variando.
6 A definição da energia livre de Gibbs, associada ao uso adequado das derivadas parciais, possibilita a dedução de um rico conjunto de relações matemáticas, que permitem que a Termodinâmica seja aplicada plenamente a muitos fenômenos, como reações químicas, equilíbrio químico e na previsão de ocorrências químicas.
DERIVADAS PARCIAIS 197
2) Na Termodinâmica Clássica, no Eletromagnetismo e na Mecânica Estatística existem muitas relações matemáticas, relacionando algumas de suas grandezas fundamentais, que são descritas através de derivadas parciais.
(a) Relações de Maxwell
S V
T P
V S
∂ ∂ = −
∂ ∂ ;
S P
T V
P S
∂ ∂ =
∂ ∂
T P
S V
P T
∂ ∂ = −
∂ ∂ ;
T V
S P
V T
∂ ∂ =
∂ ∂
onde S é a entropia (propriedade termodinâmica). As duas últimas relações são as mais importantes, pois relacionam a entropia S com propriedades volumétricas. Sua importância deve-se ao fato de que
as duas derivadasT
S
P
∂
∂ e
T
S
V
∂
∂ não podem ser estudadas
experimentalmente, uma vez que não é possível medir entropia. Todavia, esses resultados podem ser obtidos analisando as derivadas
P
V
T
∂
∂ e
V
P
T
∂
∂ que dependem apenas de propriedades
volumétricas (P, V, T, etc.) e, portanto, são mensuráveis.
(b) Equações Termodinâmicas de Estado: São equações que relacionam uma propriedade termodinâmica (U, H, G, etc.) com as propriedades volumétricas do sistema (P, V, T, etc.).
TT V
U PP
V T
∂ ∂ = −
∂ ∂ T
T P
H VV
P T
∂ ∂ = − +
∂ ∂
onde U é a energia interna do sistema e H a entalpia.
198 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Cálculo de Derivadas Parciais
Como no caso de uma variável, a definição não é o meio mais utilizado para o cálculo das derivadas parciais, uma vez que envolve o cálculo de um limite, que nem sempre é simples de ser calculado. Assim, aqui também nos valemos de propriedades e regras de derivação, as quais são as mesmas válidas para uma variável. Portanto, para calcular uma derivada parcial de uma função de duas ou mais variáveis, usamos os mesmos procedimentos da derivada uma função de uma variável, lembrando apenas de que, se estamos derivando a função em relação a uma das variáveis, as demais devem ser consideradas constantes, e todas as propriedades envolvendo constantes continuam válidas.
Observamos ainda que, embora as derivadas sejam definidas em um ponto do domínio, este ponto pode ser qualquer um onde a função seja contínua. Assim, quando utilizamos propriedades ou regras de derivação para calcular uma derivada, encontramos o valor desta em um ponto (x,y) ou (x,y,z) qualquer do domínio, ou seja, a derivada parcial de uma função é uma nova função, como no caso de uma variável. Se quisermos determinar o valor desta derivada em um ponto específico, basta substituirmos este ponto na expressão da derivada. Os exemplos abaixo ilustrarão estas idéias.
EXEMPLO 1 Calcule as derivadas parciais y
f
x
∂
∂
e x
f
y
∂
∂
função f (x,y) = x2 + 2xy2 no ponto (1,2). Solução
Suponha y constante e derive em relação à x.
y
f
x
∂
∂
(x,y) = 2x +2y2
Substitua os valores de x = 1 e y = 2.
Como no caso de uma variável, a definição não é o meio mais utilizado para o cálculo das derivadas parciais, uma vez que envolve o cálculo de um limite, que nem sempre é simples de ser calculado. Assim, aqui também nos valemos de propriedades e regras de
erivação, as quais são as mesmas válidas para uma variável. Portanto, para calcular uma derivada parcial de uma função de duas ou mais variáveis, usamos os mesmos procedimentos da derivada de
, lembrando apenas de que, se estamos derivando a função em relação a uma das variáveis, as demais devem ser consideradas constantes, e todas as propriedades
Observamos ainda que, embora as derivadas sejam definidas ode ser qualquer um onde a
função seja contínua. Assim, quando utilizamos propriedades ou regras de derivação para calcular uma derivada, encontramos o valor
) qualquer do domínio, ou seja, a é uma nova função, como no caso de
uma variável. Se quisermos determinar o valor desta derivada em um ponto específico, basta substituirmos este ponto na expressão da
x
da
DERIVADAS PARCIAIS
y
f
x
∂
∂
(1,2) = 22 1 2.(2) 10⋅ + =
Suponha x constante e derive em relação à y.
x
f
y
∂
∂
= 4xy
Substitua os valores de x = 1 e y = 2.
x
f
y
∂
∂
(1,2) = 4 1 2 8.⋅ ⋅ =
EXEMPLO 2 Calcule a expressão algébrica para as derivadas
parciais y
z
x
∂
∂
e x
z
y
∂
∂
, sendo z = (x3 + 2xy + y)4 .
Solução
Suponha y constante e derive em relação à x.
y
z
x
∂
∂
= 4(x3 + 2xy + y)3 (3x2 + 2y)
Suponha x constante e derive em relação a y.
x
z
y
∂
∂
= 4(x3 + 2xy + y)3 (2x + 1).
EXEMPLO 3 Calcule a expressão algébrica para as derivadas
parciais da função ( , , ) sen ( )f x y z xyz= .
Solução
Suponha y e z constantes e derive em relação à x.
,
cos( )y z
fxyz yz
x
∂=
∂
DERIVADAS PARCIAIS 199
Calcule a expressão algébrica para as derivadas
Calcule a expressão algébrica para as derivadas
200 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Suponha x e z constantes e derive em relação à y.
,
cos( )x z
fxyz xz
y
∂=
∂
Suponha x e y constantes e derive em relação à z.
,
cos( ) .x y
fxyz xy
z
∂=
∂
EXEMPLO 4 Considere a equação de estado da lei do gás ideal que relaciona P, V e T dada por PV nRT= . Suponha que queremos saber como a pressão varia em relação à temperatura, mantendo o volume e o número de mols constantes. Solução
Primeiramente reescrevemos a lei do gás ideal de modo que a pressão fique isolada em um lado da equação
nRTP
V= .
Em seguida, derivamos ambos os lados da equação em relação a considerando V e n como constantes. Obtemos assim a seguinte expressão:
,V n
P nRT nR
T T V V
∂ ∂ = =
∂ ∂
,
.V n
P nR
T V
∂ =
∂
Assim, a partir da lei do gás ideal, podemos determinar analiticamente (com uma expressão matemática específica), como uma variável de estado varia em relação à outra.
Considere a equação de estado da lei do gás ideal . Suponha que queremos
saber como a pressão varia em relação à temperatura, mantendo o
Primeiramente reescrevemos a lei do gás ideal de modo que a
Em seguida, derivamos ambos os lados da equação em relação a T, Obtemos assim a seguinte
Assim, a partir da lei do gás ideal, podemos determinar analiticamente (com uma expressão matemática específica), como
DERIVADAS PARCIAIS 201
Se você pegasse uma amostra de um gás ideal, medisse sua pressão em diferentes temperaturas, mas a um volume constante, e fizesse um gráfico com estes dados, iria obter uma reta cujo
coeficiente angular seria igual a nR
V.
Assim, ao esboçar o gráfico da pressão de um gás versus sua temperatura, obtemos uma reta cujo coeficiente angular é dado pela
derivada parcial ,V n
P nR
T V
∂ =
∂ .
OBS: 1) A substituição de valores numéricos na expressão que fornece a inclinação da reta deve resultar em unidades que sejam apropriadas à derivada parcial.
Por exemplo, para V = 22,4 litros e 1 mol de gás,
,
0,00366 atm/KV n
P nR
T V
∂ = =
∂ .
Observe que as unidades são consistentes com o fato de a derivada expressar uma mudança na pressão (unidades de atm) em relação à temperatura (unidades de Kelvin).
202 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
2) Medições da pressão do gás ä temperatura, a um volume constante e conhecido, podem fornecer um meio para a determinação experimental da constante R da lei do gás ideal. Essa é uma das razões de se utilizar derivadas parciais desse tipo. Tais derivadas podem nos fornecer meios de medivariáveis ou constantes, que poderiam ser difíceis de determinar diretamente.
EXEMPLO 5 A lei dos gases ideais, PV = knT , possui ainda uma propriedade interessante, muito utilizada na Físico-Química, que relaciona suas derivadas parciais do seguinte modo:
1V T P
T P V
∂ ∂ ∂= −
∂ ∂ ∂ (conhecida como regra cíclica). Mostre que esta
igualdade, de fato, é verdadeira. Solução
Para verificar se a igualdade acima é verdadeira, basta calcular as
derivadas V
T
∂
∂,
T
P
∂
∂ e
P
V
∂
∂ e efetuar o produto entre elas. Se este
produto for igual a -1, teremos mostrado o que se pede. Porém, para calcular estas derivadas parciais, é conveniente escrever as expressões do volume, da temperatura e da pressão em relação às demais variáveis, facilitando os cálculos. Assim, da equação PV knT= segue que
V = knT
P ,
PVT
kn= e
knTP
V= .
Logo,
V
T
∂
∂=
kn
P,
T V
P kn
∂=
∂ e
2
P knT
V V
∂ −=
∂.
Portanto,
temperatura, a um volume constante e conhecido, podem fornecer um meio para a
da lei do gás ideal. Essa é uma das razões de se utilizar derivadas parciais desse tipo. Tais derivadas podem nos fornecer meios de medir variáveis ou constantes, que poderiam ser difíceis de
, possui ainda Química,
modo:
. Mostre que esta
Para verificar se a igualdade acima é verdadeira, basta calcular as
e efetuar o produto entre elas. Se este
1, teremos mostrado o que se pede. Porém, para calcular estas derivadas parciais, é conveniente escrever as
ação às demais variáveis, facilitando os cálculos. Assim, da equação
DERIVADAS PARCIAIS
2
( )1
V T P kn V knT knT PV
T P V P kn PV PVV
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
− − −= = = = − .
Com isso mostramos que, de fato,
1V T P
T P V= −
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
EXEMPLO 6 A análise de certos circuitos elétricos envolve a
fórmula 2 2 2
IV
R L=
+ ω, onde I é a corrente, V a voltagem,
resistência, L a indutância e w uma constante positiva. Encontre e
interprete I
R
∂
∂ e
I
L
∂
∂.
Solução
Podemos escrever
12 2 2 2( )I V R L ω
−= + ,
a fim de facilitar os cálculos das derivadas. Assim, temos que
,V L
I
R
∂
∂
= ( )( ) (
3/22 2 2
3 32 2 2 2 2 2
1 22
22
V R V RV R L R
R L R L
ω
ω ω
−− − −+ = =
+ +
representa a taxa de variação instantânea da corrente em relação à variação da resistência, quando consideramos a voltagem e a indutância constantes. O sinal negativo indica que nessas condições, à medida que a resistência aumenta, a corrente diminui.
,V R
I
L
∂
∂
= ( )( ) (
2 23/ 22 2 2 2
3 32 2 2 2 2 2
1 22
22
V L V LV R L L
R L R L
ω ωω ω
ω ω
−− − −+ = =
+ +
DERIVADAS PARCIAIS 203
A análise de certos circuitos elétricos envolve a
a voltagem, R a
uma constante positiva. Encontre e
)3 32 2 2 2 2 2
V R V R
R L R Lω ω
representa a taxa de variação instantânea da corrente em relação à variação da resistência, quando consideramos a voltagem e a
. O sinal negativo indica que nessas condições,
)
2 2
3 32 2 2 2 2 2
V L V L
R L R Lω ω+ +
204 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
representa a taxa de variação instantânea da corrente em relação à variação da indutância, quando consideramos a voltagem e a resistência constantes. O sinal negativo indica que nessas condições, à medida que a indutância aumenta, a corrente diminui. EXERCÍCIOS 4.1
1. A partir da equação de estado da lei dos gases ideais, determine uma expressão que forneça a taxa de variação da pressão em relação ao volume, quando todo o resto permanece constante. Em seguida, determine o valor numérico dessa taxa para um mol de gás com um volume de 22,4 litros, a uma temperatura de 273 K. Interprete o resultado obtido. Faça um esboço do gráfico da pressão versusvolume. Estabeleça uma relação entre o gráfico e o resultado obtido.
2. Calcule todas as derivadas parciais das funções dadas.
a) z = 5xy3 - 24 b) z = 3e y ln (2x2 − 1)
c) z = y sen x d) z = 7xy e2xy
e) 32
1 4
xz
y=
− f)
3
3
2ln
xz
y
=
g) 2 2 3cos( ) sen 3z x y x y= + + h) ( ln ) xyz x y e= −
i) 2x y
zx y
+=
+
j) 2 3
( , , ) ln( )z y x
f x y z x y xyzx z
= + − ++
k) 3 3 2 3
2( , , , ) 332
w z xy zf w x y z xy
y w= + −
3. Seja senx
z xy
= . Verifique que z z
x y zx y
∂ ∂
∂ ∂+ = .
representa a taxa de variação instantânea da corrente em relação à variação da indutância, quando consideramos a voltagem e a
O sinal negativo indica que nessas condições,
partir da equação de estado da lei dos gases ideais, determine uma expressão que forneça a taxa de variação da pressão em relação ao volume, quando todo o resto permanece constante. Em seguida,
um Interprete o
versus o Estabeleça uma relação entre o gráfico e o resultado obtido.
DERIVADAS PARCIAIS 205
4. O volume molar Vm de um gás ideal é dado pela fórmula
mRT
VP
= onde T é a temperatura, P a pressão e R uma constante.
Ache uma expressão para T
e para P
m m
P
V V
T
∂ ∂
∂ ∂
.
5. Use a tabela de valores de f(x,y) para fazer uma estimativa para os valores de fx(3; 2) e de fx(3; 2,2).
Função Composta – Regra da Cadeia
Se ( )y f x= é uma função diferenciável de x e ( )x g t= é uma
função diferenciável de t, então a regra da cadeia para funções de
uma variável afirma que, na composição, ( )( )y f g t= é uma função
diferenciável de t e
dy dy dx
dt dx dt= ⋅
206 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
A composição de funções é estendida, de modo natural, para funções de várias variáveis. Em situações práticas, geralmente trabalhamos com funções de no máximo três variáveis. Assim, para simplificar o entendimento, vamos supor que uma função f dependa das variáveis x, y e z e estas, por sua vez, dependam de u, v e w. O esquema abaixo permite visualizar tal situação:
Como podemos observar f é então dependente de u, v e w e,
consequentemente, podemos estar interessados em calcular a taxa de variação de f em relação a cada uma destas variáveis. Para isso, notamos inicialmente que a dependência de f em relação a u, por exemplo, se dá através de x, y e z e o mesmo ocorre em relação à v e w.
Portanto, podemos dizer que a “interferência” de u na função f é uma soma das “interferências” de u via x, via y e via z. Assim, para calcular a taxa de variação de f em relação à variável u,
f
z
y
x
w
v
u
w
v
u
w
v
u
DERIVADAS PARCIAIS
devemos somar as taxas de variação de f através de x, aplicando em cada caso, a regra da cadeia, semelhante às funções de uma variável, obtendo a regra da cadeia para funções de várias variáveis:
.f f x f y f z
u x u y u z u
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Analogamente obtemos as derivadas parciais de f em relação à v e w:
; .f f x f y f z f f x f y f z
v x v y v z v w x w y w z w
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + = + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
EXEMPLO 1 Se f(x,y,z) = 2x + 3y + z, sendo x, y e z dados por
( , , ) cos cosx r rθ ϕ θ ϕ= , ( , , )y r r sen cosθ ϕ θ ϕ= e
( , , ) sen ,z r rθ ϕ ϕ=
determine as derivadas parciais de f em relação à r, θ e ϕ.
Solução
Pela regra da cadeia, temos
2cos cos 3sen cos 1senf f x f y f z
r x r y r z rθ ϕ θ ϕ ϕ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + = + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2 sen cos 3 cos cos 1 0f f x f y f z
r rx y z
θ ϕ θ ϕθ θ θ θ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + = − + + ×
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2 cos sen 3 sen sen 1 cosf f x f y f z
r r rx y z
θ ϕ θ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + = − − +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Portanto,
DERIVADAS PARCIAIS 207
, y e z, aplicando em cada caso, a regra da cadeia, semelhante às funções de
regra da cadeia para funções de várias
em relação à
; .f f x f y f z f f x f y f z
v x v y v z v w x w y w z w
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
dados por
2cos cos 3sen cos 1senθ ϕ θ ϕ ϕ
2 sen cos 3 cos cos 1 0θ ϕ θ ϕ= + + = − + + ×
2 cos sen 3 sen sen 1 cosr r rθ ϕ θ ϕ ϕ= + + = − − +
208 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
( )cos 2cos 3sen senf
rϕ θ θ ϕ
∂= + +
∂
( )cos 3cos 2senf
ϕ θ θθ
∂= −
∂
( )sen 2cos 3sen cos .f
r rϕ θ θ ϕϕ
∂= − − +
∂
Este é um caso mais geral. Podemos considerar uma situação
mais simples e mais comum nas aplicações, onde uma função depende de duas ou mais variáveis, porém estas dependem de uma única outra.
Para ilustrar, imagine que uma grandeza, por exemplo, a temperatura de um objeto, dependa da posição em que ele se encontra, porém esta posição varia com o tempo. Consequentemente, a temperatura do objeto varia com o tempo, ou seja, estamos diante de uma função composta.
Para representá-la, devemos levar em conta que a posição é um lugar no espaço, podendo ser então representada pelas coordenadas (x,y,z). Se denotarmos o tempo por t e a temperatura por T, teremos
T(t) = T(x(t), y(t), z(t)).
Um esquema para esta função é o seguinte:
T
x
y
z
t
t
t
Este é um caso mais geral. Podemos considerar uma situação mais simples e mais comum nas aplicações, onde uma função depende de duas ou mais variáveis, porém estas dependem de uma
grandeza, por exemplo, a temperatura de um objeto, dependa da posição em que ele se
sição varia com o tempo. entemente, a temperatura do objeto varia com o tempo, ou
la, devemos levar em conta que a posição é um lugar no espaço, podendo ser então representada pelas coordenadas
, teremos
DERIVADAS PARCIAIS
Para calcularmos a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo, precisamos usar a regra da cadeia, tomando cuidado com a notação:
.dT T dx T dy T dz
dt x dt y dt z dt
∂ ∂ ∂= + +
∂ ∂ ∂
OBS: Observe que a temperatura T, vista apenas como uma função do tempo t, assim como as funções posição x(t), y(t) e zfunções de uma variável. Por isso a notação de derivada ordinária na fórmula acima, nestes quatro casos. Por outro lado, quando estamos medindo a taxa de variação da temperatura em relação à posição, temos três variáveis e, consequentemente, justifica-se a notação de derivadas parciais para a derivada da temperatura em relação à x, y e z.
EXEMPLO 2 Calcule dz
dt sendo z = x2 − xy + 3, y = t
2
tx = .
Solução
z
x
∂
∂ = 2x − y ,
z
y
∂
∂= −x ,
dx
dt = 1/2 ,
dy
dt = 1
⇒ ( ) ( )( )
1. . 2 1
2
2.
2 2 2
dz z dx z dyx y x
dt x dt y dt
y y tx x
∂ ∂
∂ ∂
= + = − + − =
− −= − − = =
DERIVADAS PARCIAIS 209
Para calcularmos a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo, precisamos usar a regra da cadeia, tomando cuidado com
, vista apenas como uma função z(t) são
funções de uma variável. Por isso a notação de derivada
Por outro lado, quando estamos medindo a taxa de variação temos três variáveis e,
se a notação de derivadas parciais
− 2 e
210 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
OBS: O mesmo resultado pode ser obtido no exemplo anterior, substituindo
x = t/2 e y = t − 2
na equação z = x2 − xy + 3 e derivando z diretamente em relação à t. Todavia, em muitas funções, este procedimento gera uma grande complexidade na expressão da função, tornando inviável o cálculo de sua derivada. Nestes casos, a regra da cadeia é a solução indicada.
EXEMPLO 3 Certo gás obedece à lei dos gases ideais PV = 8TSuponha que o gás esteja sendo aquecido à taxa de 2o/min e a pressão esteja aumentando à taxa de 0,5 (Kg/cm2)/min. Se em certo instante a temperatura é de 200o e a pressão é de 10 Kg/cmencontre a taxa na qual o volume está variando. Solução
Sabendo-se que quando T = 200 e P = 10 tem-se
2 e 0,5dT dP
dt dt= =
desejamos encontrar dV
dt. Para isso observamos que ( )
((
8T tV t
P t=
e, pela regra da cadeia, temos,
2 2
8 8 1 16 42
2
dV V dT V dP T T
dt T dt P dt P PP P
∂ ∂ − = + = + = −
∂ ∂
Substituindo T = 200 e P = 10, obtemos 6,4dV
dt= − o que significa
que, nas condições apresentadas pelo problema, o volume do gás varia (diminui) a uma taxa de 6,4 cm3/min.
O mesmo resultado pode ser obtido no exemplo anterior,
diretamente em
T . /min e a
)/min. Se em certo e a pressão é de 10 Kg/cm2,
))
T t
P t
o que significa
que, nas condições apresentadas pelo problema, o volume do gás
DERIVADAS PARCIAIS
EXEMPLO 4 Um circuito elétrico simples consiste em um resistor R e uma força eletromotriz F. Em certo instante, F volts e aumenta à taxa de 5 volts/min, enquanto R é 40 ohms e
decresce à razão de 2 ohms/min. Use a lei de Ohm, F
IR
= , e uma
regra da cadeia para achar a taxa à qual a corrente I (em ampères) varia. Solução
Queremos encontrar dI
dt sabendo-se que F = 80, 5
dF
dt= , R
e 2dR
dt= − .
Pela regra da cadeia,
2 2
1 5 25 ( 2)
dI I dF I dR F F
dt F dt R dt R RR R
∂ ∂= + = − − = +
∂ ∂.
Substituindo F = 80 e R = 40, obtemos 0,225dI
dt= , o que
significa que nas condições apresentadas pelo problema, a corrente varia (aumenta) a uma taxa de 0,225 ampères/min. EXEMPLO 5 A temperatura num ponto (x,y) de um plano é T(x,y), medida em graus Celsius. Um inseto rasteja de modo que
sua posição, depois de t segundos, seja dada por ( ) 1x t t= +
1( ) 2
3y t t= + , onde x e y são medidos em centímetros. Sabendo
que a função temperatura satisfaz Tx (2,3) = 4 e Ty (2,3) = 3, determine quão rápido a temperatura aumenta no caminho do inseto, depois de 3 segundos. Solução
DERIVADAS PARCIAIS 211
Um circuito elétrico simples consiste em um F = 80
é 40 ohms e
, e uma
(em ampères)
R = 40
, o que
significa que nas condições apresentadas pelo problema, a corrente
) de um plano é ), medida em graus Celsius. Um inseto rasteja de modo que
( ) 1x t t= + e
são medidos em centímetros. Sabendo
(2,3) = 3, determine quão rápido a temperatura aumenta no caminho do
212 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
A taxa de variação da temperatura, com o tempo, é dada por: dT T dx T dy
dt x dt y dt
∂ ∂= +
∂ ∂.
Por outro lado, 1
2 1
dx
dt t=
+,
1
3
dy
dt=
e quando t = 3, (x,y) = (2,3). Substituindo na expressão da derivada, temos:
3 (2,3) 3 3(2,3)t t t
dT T dx T dy
dt x dt y dt= = =
∂ ∂= +
∂ ∂ ou
1 1(3) 4 3 2
4 3T = + = .
Logo, após 3 segundos, a temperatura aumenta a uma taxa de 2 °C/seg, na direção do inseto.
OBS:
Observe que enquanto a derivada ordinária dy
dx pode ser associada
ao quociente de duas diferenciais, a derivada parcial y
x
∂
∂ não pode
ser tratada como o quociente entre y∂ e x∂ , pois esses símbolos não tem significado por si só. Por exemplo, se fôssemos “cancelar” símbolos na fórmula da regra da cadeia
dT T dx T dy
dt x dt y dt
∂ ∂= +
∂ ∂
iríamos obter
dT dT dT
dt dt dt= +
) = (2,3). Substituindo na expressão da
após 3 segundos, a temperatura aumenta a uma taxa de 2
pode ser associada
não pode
, pois esses símbolos não tem significado por si só. Por exemplo, se fôssemos “cancelar”
DERIVADAS PARCIAIS
que só é verdade se 0.dT
dt=
EXEMPLO 6 Os coeficientes de compressibilidade isotérmica
e adiabático ∆, são definidos pelas relações:
1 1 e
T S
V V
V P V P
∂ ∂ β = − ∆ = −
∂ ∂
onde V é o volume, P é a pressão, T é a temperatura e S é a entropia do sistema. Sabendo que
e V PV P
S SC T C T
T T
∂ ∂ = =
∂ ∂
Mostre que
P
V
C
C
β=
∆.
Solução Dividindo por P VC C , obtemos:
P P
V
V
S
TC
SCT
∂
∂ =
∂
∂
A partir da regra da cadeia, temos que:
e P P P V V V
V V S P P S
T S T T S T
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⋅ = ⋅
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
de onde segue que
e .VP
P V
P V
PV
TTS S
V PT TS S
∂∂
∂∂∂ ∂ = = ∂ ∂∂ ∂
∂ ∂
Portanto,
DERIVADAS PARCIAIS 213
Os coeficientes de compressibilidade isotérmica β
é a entropia
P P P V V V
214 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
P
P VP P P
V
V V P V
V
V
TV PS V
T ST SC
S P V PCT T S T
P
S
∂
∂ ∂ ∂∂ ∂
⋅ ∂ ∂∂ ∂
= = =∂ ∂ ∂ ∂
⋅ ∂ ∂ ∂ ∂
∂
∂
Como
1 1 e
V V
V V
P PS TS TP P
∂ ∂ = = ∂ ∂∂ ∂
∂ ∂
segue que:
P VP
V
P V
V T
T PC
V SCS P
∂ ∂ ⋅
∂ ∂ =
∂ ∂ ⋅
∂ ∂
.
Agora, utilizando a regra cíclica, obtemos o seguinte:
1
1
P V T
P V T
T
V T P
T P V
V T VPT P PV
∂ ∂ ∂ ⋅ ⋅ = −
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ⇒ ⋅ = − = − ∂∂ ∂ ∂
∂
1
1
P V S
P V S
S
V S P
S P V
V S VPS P PV
∂ ∂ ∂ ⋅ ⋅ = −
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ⇒ ⋅ = − = − ∂∂ ∂ ∂
∂
Portanto,
DERIVADAS PARCIAIS
P VP T
V
P V S
V T V
T P PC V
V S VC VS P P
β β
∂ ∂ ∂ ⋅
∂ ∂ ∂ − ⋅ = = = =
∂ ∂ ∂ −∆ ⋅ ∆ ⋅
∂ ∂ ∂
.
EXERCÍCIOS 4.2
1. A pressão P, o volume V e a temperatura T de um gás confinado estão relacionados pela lei dos gases ideais PV = kT, em que uma constante. Se P e V variam às taxas de dP/dt e dVrespectivamente, ache uma fórmula para dT/dt, onde t é o tempo.
2. Quando o tamanho das moléculas e suas forças de atração são levados em conta, a pressão P, o volume V e a temperatura T de um mol de gás confinado estão relacionados pela equação de Van Der Waals
2( )
aP V b kT
V
+ − =
em que a,b e k são constantes positivas. Se t é o tempo, estabeleça uma fórmula para dT/dt em termos de dP/dt, dV/dt, P e V.
3. O raio r e a altura h de um cilindro circular reto aumentam à taxa de 0,01 cm/min e 0,02 cm/min, respectivamente.
a) Encontre a taxa de variação do volume quando r = 4 cm e cm. b) A que taxa a área da superfície curva está variando neste instante?
4. Na idade de 2 anos, um menino típico de 86 cm de altura, pesa 13 Kg e cresce à taxa de 9 cm/ano e engorda à taxa de 2 Kg/ano. A área da superfície do corpo humano é descrita em função do peso e da altura pela fórmula de DuBois e DuBois, a qual é dada por
0,425 0,7250,007184S x y=
DERIVADAS PARCIAIS 215
de um gás confinado em que k é
dV/dt, é o tempo.
Quando o tamanho das moléculas e suas forças de atração são de Van
é o tempo, estabeleça
de um cilindro circular reto aumentam à taxa
= 4 cm e h = 7
b) A que taxa a área da superfície curva está variando neste instante?
um menino típico de 86 cm de altura, pesa 13 Kg e cresce à taxa de 9 cm/ano e engorda à taxa de 2 Kg/ano. A área da superfície do corpo humano é descrita em função do peso e da
216 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
onde x é o peso e y é altura. Use esta fórmula para estimar a taxa à qual a área da superfície do corpo deste menino está crescendo.
5. A produção de trigo, W, em um determinado ano depende da temperatura média T e da quantidade anual de chuva R. Cientistas estimam que a temperatura média anual está crescendo à taxa de 0,15 °C/ano, e a quantidade anual de chuva está diminuindo à taxa de 0,1 cm/ano. Eles também estimam que, no corrente nível de
produção, 2W
T
∂= −
∂ e 8
W
R
∂=
∂.
a) Qual o significado do sinal destas derivadas parciais?
b) Estime a taxa de variação corrente da produção de trigo, dW
dt.
6. A voltagem V num circuito elétrico simples está decrescendo devagar à medida que a bateria se descarrega. A resistência R está aumentando devagar com o aumento do calor do resistor. Use a lei de Ohm, V = IR, para achar como a corrente I está variando no
momento em R = 400 Ω, I = 0,08 A, 0,01dV
dt= − V/s e
0,03dR
dt= Ω/s.
7. A pressão de 1 mol de um gás ideal é aumentada à taxa de 0,05 kPa/s e a temperatura é aumentada à taxa de 0,15 K/s. Utilize a equação PV = 8,31 T para encontrar a taxa de variação do volume quando a pressão é 20 kPa e a temperatura é 320 K.
8. Seja 2 2 cos(3 )yw x e z= . Encontre o valor de dw/dt no ponto (1,
ln2, 0), quando x, y e z satisfazem cosx t= , ln( 2)y t= + e z = t.
9. De um funil cônico escoa água á razão de 18π cm3/s. Sabendo que
a geratriz faz com o eixo do cone um ângulo α = 30°, ache a velocidade com que baixa o nível de água no funil, no momento em que o raio da base do volume líquido é igual a 6 cm.
DERIVADAS PARCIAIS 217
10. Um ponto se desloca sobre o hemisfério 2 249z x y= − − ao
longo da curva para a qual x = 2 sen t e y = 7cos t - 3, onde t representa o tempo. Qual a velocidade de ascensão do ponto z no instante em que suas coordenadas são (2,-3,6)?
11. Use a regra da cadeia para calcular dz
dt. Compare sua resposta
com a encontrada, escrevendo z como função de t e derivando diretamente em relação a t.
a) 22 , 1 , 1
x yz x t y t
x y
+= = − = −
−
b) 3 3( 6 ) , 3 , 3z x y x t y t= + = =
12. Seja 2
( ) ( , sen )tG t f e t= onde f(x,y) é diferenciável em 2ℝ .
a) Calcule ( )'G t em função das derivadas parciais de f.
b) Calcule ( )' 0G sabendo que (1,0) 5f
y
∂=
∂.
218 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Interpretação Geométrica
No caso de uma função de uma variável independente y = f(x), foi mostrado que a derivada, em cada ponto x = x0, está relacionada com o coeficiente angular da reta tangente (que é única) ao gráfico da função y = f(x), neste ponto.
De maneira análoga, uma função de duas variáveis do tipo
( ),z f x y= define no espaço uma superfície de tal modo que, em
cada ponto (x0, y0) do domínio, onde a função é diferenciável, existe um único plano tangente a esta superfície, neste ponto. Portanto, a diferenciabilidade de f no ponto (x0, y0) implica na existência de um único plano tangente ao gráfico de f, passando por (x0, y0, f(x0, y0).
Considere uma função de duas variáveis independentes
( ),z f x y= , cuja representação no espaço é uma superfície
qualquer e considere um ponto P(x0, y0, z0) sobre ela.
No capítulo anterior vimos que, fixando cada uma das variáveis de uma função z = f(x,y), é possível traçar três planos que interceptam a superfície, definida no espaço pela função f: um plano paralelo ao plano-xy (fixando-se a variável z = z0), um plano paralelo
DERIVADAS PARCIAIS 219
ao plano-xz (fixando-se a variável y = y0) e um plano paralelo ao plano-yz (fixando-se a variável x = x0).
As derivadas parciais da função z = f(x,y) são interpretadas geometricamente do seguinte modo: ao calcularmos a derivada
parcial 0y y
f
x
∂
∂ =
consideramos a variável y = y0 como constante. A
intersecção do plano y = y0 com a superfície dada por z = f(x,y) irá definir uma linha de contorno (sobre a superfície), cuja projeção sobre o plano-xz define uma curva de nível.
Portanto, fixando y = y0, a função z = f(x,y) transforma-se em uma função de uma única variável x, que pode ser representada através de uma curva de nível no plano-xz.
A derivada parcial de z em relação à x no ponto P(x0, z0),
0
0 0( , )y y
fx z
x
∂
∂ =
, pode ser interpretada geometricamente, como o
coeficiente angular da reta tangente à curva de nível obtida pela intersecção do plano y = y0 com a superfície z = f(x,y), no ponto P(x0, y0, z0).
220 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Analogamente, interpretamos a derivada parcial 0x x
f
y
∂
∂=
(x0,y
(Tente fazer esta interpretação geométrica). EXEMPLO 1 Determine a equação da reta tangente à curva de
intersecção da superfície 2 2124 2
2z x y= − − com o plano y = 2,
no ponto (2,2, 3) .
Solução
Inicialmente observamos que se a superfície está interceptando o plano y = 2, então y está fixo em 2 e apenas x e z estão variando.
Assim o coeficiente angular da reta tangente é dado por (2,2)xz e a
equação da reta tangente é, portanto, dada por
0 0(2,2) ( )xz z z x x− = − ,
onde z0 = 3 , x0 = 2 e
2 2 2 2
2( , )
4 24 2 2 24 2x
x xz x y
x y x y
− −= =
− − − −
y0).
Determine a equação da reta tangente à curva de
= 2,
Inicialmente observamos que se a superfície está interceptando o estão variando.
(2,2) e a
DERIVADAS PARCIAIS
⇒ 6
3
12
1)2,2(
−=
−=xz .
Logo, a reta solicitada tem equação dada por:
3 3 4 33 ( 2) ou
6 6 3z x z x
− −− = − = + .
EXEMPLO 2 Encontre a equação da reta tangente à curvadeterminada pela intersecção da superfície dada pela equação
2 2 2 4x y z+ + = com o plano x = 1, no ponto (1, 2, 1)− .
Solução
Observe que a equação da superfície define, implicitamente, duas funções para z, a saber,
2 24z x y= − − e 2 24z x y= − − − .
Como o ponto dado possui coordenada z negativa, devemos
trabalhar com a função 2 24z x y= − − − , pois o ponto (1, 2, 1)
não pertence ao gráfico da outra função z (positiva).
Como x está fixo (x = 1), o coeficiente angular será dado por
2 2( , )
4y
yz x y
x y=
− −. Aplicado no ponto 0 0( , ) (1, 2)x y =
torna-se (1, 2) 2yz = . Assim, a equação da reta tangente é dada
por
DERIVADAS PARCIAIS 221
Encontre a equação da reta tangente à curva determinada pela intersecção da superfície dada pela equação
Observe que a equação da superfície define, implicitamente, duas
negativa, devemos
(1, 2, 1)−
= 1), o coeficiente angular será dado por
( , ) (1, 2)= ,
. Assim, a equação da reta tangente é dada
222 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
1 2 ( 2) ou 2 3z y z y+ = − = − .
EXERCÍCIOS 4.3
1. Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva de intersecção entre a superfície e o plano, no ponto dado, e represente a curva, o ponto e a reta tangente no plano cartesiano.
a) z = 3x − 5y + 6 ; plano: y = 2 ; ponto: (1, 2, −1)
b) 2 29z x y= − − ; plano: x = 2 ; ponto: (2, 2, 1)
2. Seja 2 23 2 5 2 3z x y x y= − − + + . Encontre a equação da reta
tangente à curva resultante da intersecção de z = f(x,y) com o plano
y = 2, no ponto (1, 2, −3).
3. Dada a superfície 2 2z x y= + , determine as equações das
retas tangentes às curvas de intersecção da superfície com o plano
x = 2 e depois com o plano y = 5 , no ponto (2, 5,3) .
4. Seja 2 2( , ) 16 4f x y x y= − − . Encontre o valor de fx(1,2) e fy(1,2) e
interprete esses números como inclinações. Faça uma ilustração à mão ou utilize um computador.
Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva de intersecção entre a superfície e o plano, no ponto dado, e represente
. Encontre a equação da reta
) com o plano
, determine as equações das
retas tangentes às curvas de intersecção da superfície com o plano
(1,2) e
interprete esses números como inclinações. Faça uma ilustração à
DERIVADAS PARCIAIS 223
5. Para cada uma das funções dadas, determine os valores de x e y tais que fx(x,y) = 0 e fy(x,y) = 0.
(a) f(x,y) = 3x3 – 12xy + y3 (b) 1 1( , )f x y xy
x y= + +
6. A temperatura em qualquer ponto (x,y) de uma placa de aço é dada por T = 500 – 0,6x2 – 1,5y2 onde x e y são medidos em metros. Determine as taxas de variação da temperatura com a distância ao longo dos eixos x e y no ponto (2,3). Descreva com palavras o significado do valor de cada uma das taxas encontradas.
7. Uma medida da sensação de calor é feita através do Índice de Temperatura Aparente, dado pela equação
I(t,h) = 0,885 t – 22,4 h + 1,20 t h – 0,544 onde I é a temperatura aparente (em graus Celsius), t é a temperatura do ar (em graus Celsius) e h é a umidade relativa em forma decimal.
(a) Determine as derivadas parciais e I I
t h
∂ ∂
∂ ∂e descreva, com
palavras, o significado de cada uma delas. (b) Determine as taxas de aumento da temperatura aparente em relação à temperatura do ar e em relação à umidade, quando a temperatura ambiente é de 32o e a umidade relativa do ar é de 80%. Descreva, com palavras, o significado do resultado obtido.
Derivadas Parciais de Segunda Ordem
Se f(x,y) é uma função de duas variáveis, então suas derivadas parciais fx e fy também são funções de x e y e, portanto, podem ser
224 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
derivadas, resultando nas chamadas derivadas parciais de segunda ordem.
Então, a partir de uma função de duas variáveis z = f(x,y) podemos definir as quatro possíveis derivadas parciais de segunda ordem da seguinte maneira:
2
2
f ou xx
ff
x xx
∂ ∂ ∂
∂ ∂∂
=
: derivada parcial de fx em relação a x
2 f ou xy
ff
y x y x
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
=
: derivada parcial de fx em relação a y
2
2
f ou yy
ff
y yy
∂ ∂ ∂
∂ ∂∂
=
: derivada parcial de fy em relação a y
2 f ou
yx
ff
x y x y
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
=
: derivada parcial de fy em relação a x
As derivadas parciais fyx e fxy são denominadas derivadas parciais mistas de segunda ordem . OBS: Observe que são utilizadas convenções diferentes para indicar a ordem de derivação, nos dois tipos de notação. A notação
2 f f
y x y x
∂ ∂ ∂ =
∂ ∂ ∂ ∂
indica que devemos derivar a função primeiro em relação a x,
enquanto a notação y xf indica que a primeira derivação é em
relação a y. Uma maneira para evitar confusão com as notações é
DERIVADAS PARCIAIS
observar que devemos derivar primeiro em relação à variável que está “mais próxima” de f. EXEMPLO 1 Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x,y) = 3x3y −5xy+7(2x+ y) . Solução
Escreva a função dada.
f(x,y) = 3x3y −5xy+7(2x+ y)
Suponha y constante e derive f em relação à x .
fx = 9x2 y − 5y + 7(2)
Suponha x constante e derive fx em relação à y.
fxy = 9x2 − 5
Suponha y constante e derive fx em relação à x.
fxx = 18xy
Escreva a função dada.
f(x,y) = 3x3y −5xy + 7(2x + y)
Suponha x constante e derive f em relação à y.
fy = 3x3 − 5x + 7
Suponha y constante e derive fy em relação à x.
fyx = 9x2 – 5
Suponha x constante e derive fy em relação à y.
fyy = 0.
DERIVADAS PARCIAIS 225
observar que devemos derivar primeiro em relação à variável que
Determine as derivadas parciais de segunda ordem
226 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
EXEMPLO 2 Dada a função 3 2 4( , )f x y x y x y= + , determine
suas derivadas parciais de segunda ordem. Solução
As derivadas parciais de primeira ordem de f são:
2 43 2f
x y xyx
∂= +
∂ e 3 2 34
fx x y
y
∂= +
∂.
A partir de f
x
∂
∂ obtemos:
24
26 2
fxy y
x
∂= +
∂ e
22 33 8
fx xy
y x
∂= +
∂ ∂.
A partir de f
y
∂
∂ obtemos:
22 2
212
fx y
y
∂=
∂ e
22 33 8
fx xy
x y
∂= +
∂ ∂.
EXEMPLO 3 Dada a função ( , ) sen(2 )f x y x y= + , determine
suas derivadas mistas de segunda ordem. Solução
As derivadas parciais de primeira ordem de f são:
2cos(2 )xf x y= + e cos(2 )yf x y= +
Portanto,
2sen(2 )xyf x y= − + e 2sen(2 )yxf x y= − + .
, determine
, determine
DERIVADAS PARCIAIS 227
Observando os resultados obtidos nos exemplos acima vemos que, em todos os casos, as derivadas parciais mistas de segunda ordem são iguais, ou seja, fxy = fyx. Isso ocorre na maioria das funções que aparecem frequentemente na prática. A explicação para este fato é dada pelo Teorema abaixo:
Teorema de Schwartz: Seja z = f(x,y) uma função
contínua com derivadas até segunda ordem contínuas num conjunto
aberto A ⊂ 2ℝ . Então:
2 2
0 0 0 0( , ) ( , )f f
x y x yx y y x
∂ ∂=
∂ ∂ ∂ ∂
para todo 0 0( , )x y A∈ .
OBS:
Assim como definimos derivadas parciais de segunda ordem, podemos definir derivadas parciais de ordens mais altas. Por exemplo:
3
3 x x x
f ff
x x xx
∂ ∂ ∂ ∂ = =
∂ ∂ ∂∂
3
2 y y x
f ff
x y yx y
∂ ∂ ∂ ∂= = ∂ ∂ ∂∂ ∂
3
y x y
f ff
y x y y x y
∂ ∂ ∂ ∂= = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
,
e assim, sucessivamente.
228 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
EXERCÍCIOS 4.4
1. A equação de estado de van der Waals
P = g (V,T) = 2
RT a
V b V−
−
foi a primeira equação de estado que conseguiu representar melhor certas propriedades do comportamento dos fluidos e, em particular, do estado gasoso.
a) Ache o domínio de g (V,T).
b) Determine 2
2, e
T VT v T
P P P
V
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ .
2. A temperatura T num corpo, num dado ponto (x,y) e em um
tempo t, é dada pela função 2 21 ( )
exp4
x yT
t t
− += . Mostre que T
satisfaz a equação de difusão 2 2
2 2
T T T
tx y
∂ ∂ ∂
∂∂ ∂+ = .
3. Ache as derivadas parciais mistas de segunda ordem do volume
molar Vm = RT
P de um gás ideal em relação à pressão P e a
temperatura T.
4. Verifique o Teorema de Schwartz para as funções:
a) 2 2
( , )y
f x yx y
=+
b) 2
( , ) x yf x y xe +=
5. A equação de Laplace tridimensional 2 2 2
2 2 20
f f f
x y z
∂ ∂ ∂+ + =
∂ ∂ ∂é
satisfeita, dentre outras funções, pelas distribuições de temperatura no estado estacionário no espaço, pelos potenciais gravitacionais e pelos potenciais eletrostáticos. A equação de Laplace
bidimensional2 2
2 20
f f
x y
∂ ∂+ =
∂ ∂ descreve potenciais e distribuições
DERIVADAS PARCIAIS 229
de temperatura no estado estacionário no plano. Mostre que as funções abaixo satisfazem uma equação de Laplace.
a) 2( , ) cos(2 )yf x y e x−= b) 2 2 2( , , ) 2f x y z x y z= + −
6. Para cada uma das funções abaixo, encontre as derivadas indicadas:
a) 2 3 2 2( , ) 3 4f x y x y x y= − + ; todas as de segunda ordem
b) ( , ) ln( )f x y xy= ; todas as de segunda ordem
c) ( , ) xyf x y e= ; todas as de segunda ordem
d) 2 2( , ) ln( )f x y x y= + ; y xf
e) 2 2 2( , , ) 1f x y z x y z= − − − ; ;z z y xf f
Extremos de Funções de Duas Variáveis
Uma das principais aplicações das derivadas para funções de uma variável é o cálculo de seus pontos de máximo e mínimo para resolver problemas de otimização. Iremos continuar nosso estudo, agora para funções de duas variáveis, levando em conta que, nesse caso, a determinação de pontos de máximos e mínimos pode ser muito mais complicada.
No estudo das funções de uma variável, a determinação de máximos e mínimos relativos foi feita utilizando as derivadas ordinárias. No caso de uma função de duas variáveis, a determinação de máximos e mínimos relativos é feita através de suas derivadas parciais.
230 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Seja z = f(x,y) uma função definida em uma região D do plano que contém o ponto (a,b). Na prática, o que nos interessa é determinar os máximos ou mínimos relativos, ou seja, os pontos (x,y) em que a função assume valores maiores ou menores do que nos demais pontos de sua vizinhança.
Dizemos que f(x,y) possui um máximo relativo em um ponto
(a,b), no interior de seu domínio D, se f (x,y) ≤≤≤≤ f (a,b) para todo (x,y) numa vizinhança do ponto (a,b).
f(a,b) é um máximo relativo
Dizemos que f(x,y) possui um mínimo relativo em um ponto
(a,b), no interior de seu domínio D, se f (x,y) ≥≥≥≥ f (a,b) para todo (x,y) numa vizinhança do ponto (a,b).
f(a,b) é um mínimo relativo
Graficamente, a superfície gerada pela função f(x,y) possui um “pico” (concavidade para baixo) no ponto (a,b), se f tiver um máximo relativo em (a,b), e possui uma “base” (concavidade para cima) no ponto (a,b), se f tiver um mínimo relativo em (a,b).
DERIVADAS PARCIAIS 231
OBS: Assim como no caso de funções de uma variável, existe uma diferença fundamental entre os extremos relativos e os extremos absolutos de uma função f(x,y).
O número f(a,b) é um máximo absoluto de f na região D, se f(a,b) é o maior valor de f em D. De maneira análoga, o número f(a,b) é um mínimo absoluto de f na região D se f(a,b) é o menor valor de f em D.
DEFINIÇÃO: Um ponto (a,b) do domínio de uma função f no
qual as derivadas parciais e y x
f f
x y
∂ ∂
∂ ∂ existem e são
simultaneamente nulas é denominado de ponto crítico de f. Assim, quando as derivadas parciais de primeira ordem de uma
função f existem em todos os pontos de uma região D do plano xy,
os extremos relativos de f em D só podem ocorrer em pontos críticos.
Supondo que f possui um máximo relativo em (x, y) = (a,b) e fixando y = b, f torna-se uma função de uma variável x com um máximo relativo em x = a. Portanto, do Cálculo I segue que a derivada de f(x,b), quando x = a, é igual a zero, ou seja,
( , ) 0f
a bx
∂
∂= . Analogamente, fixando x = a, f torna-se função de
uma variável y, com um máximo relativo em y = b e, portanto,
( , ) 0f
a by
∂
∂= . De maneira análoga, obtemos os mesmos resultados
se f possuir um mínimo relativo em (a,b).
Resumindo, o seguinte resultado para extremos relativos de funções de duas variáveis é válido: se f possui um máximo ou mínimo relativo em (a,b), então
232 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
( , ) 0f
a bx
∂
∂= e ( , ) 0
fa b
y
∂
∂=
OBS: 1. Este resultado é útil na determinação de máximos e mínimos de funções, quando são conhecidas informações adicionais sobre a função como, por exemplo, seu gráfico.
2. Existem funções que, apesar das derivadas parciais em um ponto serem nulas, esse ponto não é máximo nem mínimo relativo (ver ilustração abaixo). Um ponto desse tipo é denominado de ponto de sela.
DERIVADAS PARCIAIS
Assim, um ponto de máximo ou mínimo relativo é um ponto
crítico, mas nem todo ponto crítico é um extremo relativo (pode ser
um ponto de sela). Neste caso, as condições ( , ) 0f
a bx
∂
∂
( , ) 0f
a by
∂
∂= significam apenas que o plano tangente neste ponto é
paralelo ao plano-xy. EXEMPLO 1 Determine os pontos críticos da função
f(x,y) = 3x2 + 3y2 + 8x − 17y + 5. Solução Devemos primeiramente encontrar valores para x e y de modo que as
derivadas parciais sejam iguais a zero, ou seja, determinar seus
pontos críticos.
6 8 0
6 17 0
fx
x
fy
y
∂
∂
∂
∂
= + =
= − =
⇒ 4 17
,3 6
−
é um ponto crítico de
DERIVADAS PARCIAIS 233
Assim, um ponto de máximo ou mínimo relativo é um ponto crítico, mas nem todo ponto crítico é um extremo relativo (pode ser
( , ) 0a b = e
significam apenas que o plano tangente neste ponto é
de modo que as
sejam iguais a zero, ou seja, determinar seus
é um ponto crítico de f(x,y).
234 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Sabemos que, se a função f(x,y) tiver um máximo ou mínimo relativo, tal valor deverá ocorrer no ponto crítico. Pela figura, observamos que a função possui um mínimo relativo e, portanto, podemos garantir a existência desse mínimo no ponto (x,y) =
4 17,
3 6
−
, cujo valor é 293
12− .
Baseados na OBS 1 e no Exemplo 1, podemos constatar que se
não possuímos alguma informação adicional sobre f(x,y), teremos muita dificuldade para classificar um ponto crítico quanto à sua natureza (máximo ou mínimo relativo - ou nenhum dos dois), quando resolvemos o sistema
0
0
f
x
f
y
∂
∂
∂
∂
=
=
No estudo de funções de uma variável, para verificar a existência de um ponto de máximo ou de mínimo relativo,
DERIVADAS PARCIAIS 235
estudamos, dentre outras possibilidades, a concavidade e o teste da segunda derivada. Existe um teste análogo para funções de duas variáveis, que é enunciado abaixo:
TESTE DA SEGUNDA DERIVADA: Suponha que as derivadas parciais de primeira e segunda ordens de uma função f sejam contínuas em uma região aberta W Õ ℝ2 e que
exista um ponto P(a,b) ∈ W para o qual ( , ) 0f
a bx
∂
∂= e
( , ) 0f
a by
∂
∂= . Para identificar cada tipo de ponto crítico,
primeiramente devemos calcular um número D (denominado de discriminante) definido por:
D(a,b) = fxx (a,b) fyy (a,b) − [fxy (a,b)]2
e, em seguida, utilizá-lo da seguinte maneira:
a) D(a,b) > 0 e fxx (a,b) > 0 ⇒ f possui um mínimo relativo em (a,b);
b) D(a,b) > 0 e fxx (a,b) < 0 ⇒ f possui um máximo relativo em (a,b);
c) D(a,b) < 0 ⇒ f não possui nem máximo e nem mínimo relativo em (a,b), ou seja, em (a,b) existe um ponto de sela;
d) D(a,b) = 0 ⇒ não é possível classificar o ponto crítico.
Este resultado não será demonstrado, uma vez que precisaríamos de cálculos avançados que não cabem no contexto do nosso curso.
236 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
OBS: O discriminante acima pode também ser visto como o determinante da matriz composta pelas derivadas parciais de segunda ordem da função f, conhecida como matriz Hessiana de f:
( , ) ( , )
( , )( , ) ( , )
xx xy
xy yy
f x y f x yH x y
f x y f x y
=
.
Desse modo, o discriminante D será dado por:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )2
, ,, det ,
, ,
, , ,
xx xy
xy yy
xx yy xy
f a b f a bD a b H a b
f a b f a b
f a b f a b f a b
= = =
= ⋅ −
EXEMPLO 2 Determine os pontos críticos da função
f(x,y) = y3 − x2 + 6x − 12y + 4 e classifique-os usando o Teste da segunda derivada. Solução
2
2 6 0
3 12 0
fx
x
fy
y
∂
∂
∂
∂
= − + =
= − =
Como fx(x,y) = −2x+6 e fy(x,y) = 3y2 −12 são definidas para
qualquer ponto do plano-xy, (3,2) e (3, −2) são os únicos pontos críticos de f(x,y).
fxx = −2, fxy = 0 e fyy = 6y ⇒ D(x,y) = −12y
O discriminante acima pode também ser visto como o determinante da matriz composta pelas derivadas parciais de
, conhecida como matriz Hessiana
DERIVADAS PARCIAIS
D(3,2) = −24 < 0 ⇒ em (x,y) = (3,2) existe um ponto de sela.
D(3, −2) = 24 > 0 e fxx (3, −2) = −2 < 0 ⇒ em (3, −2) existemáximo relativo.
EXEMPLO 3 Determine, caso haja, os extremos relativos d
função 4 2 2( , ) 2 2f x y x y x y= + − − .
Solução Inicialmente determinamos os pontos críticos de f através de suas derivadas parciais de primeira ordem:
3 28 2 0 (8 2) 0 0 ou
2 2 01
x
y
f x x x x x x
f yy
= − = − = ⇒ = = ± ⇒
= − = =
Portanto, os pontos críticos de f são:
)1,2
1();1,
2
1();1,0( 321 PPP − .
DERIVADAS PARCIAIS 237
existe um ponto de sela.
2) existe um
Determine, caso haja, os extremos relativos da
através de suas
1
2x x x x= = ±
238 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Para estudar a natureza destes pontos críticos (máximo, mínimo ou sela) precisamos determinar o Hessiano de f e, para isso, precisamos das derivadas parciais de segunda ordem:
224 2 ; 0 ; 2xx xy yyf x f f= − = = .
Assim,
2224 2 0
( , ) 48 40 2
xD x y x
−= = − .
Calculando nos pontos críticos, obtemos:
§ (0,1) 4 0D = − < ⇒ f não tem extremo relativo em P1 (ponto de
sela)
§ 1 1
( ,1) 8 0; ( ,1) 4 02 2xxD f− = > − = > ⇒
f possui um mínimo
relativo em P2
§ 1 1
( ,1) 8 0; ( ,1) 4 02 2xxD f= > = > ⇒ f possui um mínimo
relativo em P3
Para determinar os valores mínimos relativos de f basta substituir os pontos críticos P2 e P3 em f. Assim,
f (P2) = f (P3) = 9
8
−.
E o ponto de sela se dá em ( )0,1, 1− . Vejamos o gráfico.
DERIVADAS PARCIAIS
Veremos a seguir um exemplo que mostra como proceder
quando o teste das derivadas parciais de segunda ordem falha. EXEMPLO 4 Determine os extremos relativos da função
2 2( , )f x y x y= .
Solução
( )( )
2
2
, 2 0 0 ou 0
, 2 0x
y
f x y xyx y
f x y x y
= =⇒ = =
= =,
ou seja, todo ponto sobre os eixos x ou y é um ponto crítico.
Temos ainda que:
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2 2 2
, 2
, 2
, 4
, , , , 12
x x
yy
xy
x x yy xy
f x y y
f x y x
f x y xy
D x y f x y f x y f x y x y
=
=
=
⇒ = ⋅ − = −
Portanto,
( ) ( )0, 0 e ,0 0D y D x= = , para quaisquer x, y reais
DERIVADAS PARCIAIS 239
exemplo que mostra como proceder quando o teste das derivadas parciais de segunda ordem falha.
rmine os extremos relativos da função
2 2D x y f x y f x y f x y x y
240 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
e, assim, o teste falha.
Contudo, como ( , ) 0f x y = para todo ponto sobre os eixos x ou y e2 2( , ) 0f x y x y= ≥ para todos os demais pontos do plano, podemos
concluir que em cada um desses pontos críticos temos um mínimo absoluto (veja figura a seguir).
OBS: 1) O teste da segunda derivada e o uso do determinante da matriz Hessiana para classificar possíveis pontos extremos não se aplicam a funções de três ou mais variáveis. Nestes casos, outros critérios são utilizados, porém não serão abordados aqui e podem ser vistos nos livros indicados nas referências.
2) Para utilizar a teoria dos extremos de uma função de duas variáveis para resolver problemas de otimização, devemos trabalhar com os extremos absolutos dessa função. Determinar os extremos absolutos de uma função de duas variáveis é muito mais difícil do que no caso de função de uma variável. Contudo, para funções quadráticas, temos o seguinte resultado:
Se uma função quadrática (polinômio de segundo grau em x e y) possui um máximo (mínimo) relativo em um determinado
DERIVADAS PARCIAIS
ponto, então esse ponto também é um máximo (mínimo) absoluto.
EXEMPLO 5 Considerando 2 2( , ) 2 3 12 6 9f x y x y x y= + − − +
determine o ponto no qual a função possui um máximo ou um mínimo absoluto. Solução Inicialmente determinamos os pontos críticos de f através de suas derivadas parciais de primeira ordem:
4 12 0 3
6 6 0 1x
y
f x x
f y y
= − = =⇒
= − = =
Portanto, existe um único ponto crítico (3,1).
Para estudar a natureza destes pontos críticos (máximo, mínimo ou sela) precisamos determinar o Hessiano de f e, para isso, precisamos das derivadas parciais de segunda ordem:
4 ; 0 ; 6xx xy yyf f f= = = .
Assim,
4 0
(3,1) 240 6
D = = .
e, portanto,
(3,1) 24 0; (3,1) 4 0xxD f= > = > ⇒
no ponto (3,1) existe um
mínimo relativo de f.
Como ( ),f x y é uma função quadrática, o mínimo relativo também
é um mínimo absoluto. Para determinar o valor mínimo, basta determinar o valor da função no ponto (3,1), o que nos dá
( )3,1 12f = − .
DERIVADAS PARCIAIS 241
ponto, então esse ponto também é um máximo (mínimo)
( , ) 2 3 12 6 9f x y x y x y= + − − + ,
determine o ponto no qual a função possui um máximo ou um
através de suas
Para estudar a natureza destes pontos críticos (máximo, mínimo ou e, para isso, precisamos
(3,1) existe um
é uma função quadrática, o mínimo relativo também
é um mínimo absoluto. Para determinar o valor mínimo, basta
242 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Veremos a seguir, alguns exemplos de aplicação dos extremos de funções de duas variáveis. EXEMPLO 6 O controle da poluição muitas vezes começa com algum conhecimento sobre a extensão e a concentração do poluente. Suponha que uma instalação industrial esteja localizada em um rio estreito e que C0 unidades de poluente sejam liberadas no rio no instante t = 0. Em geral a concentração de poluentes dependerá tanto do tempo quanto da distância da instalação. Suponha que a concentração C(x,t) do poluente, t horas após sua liberação, em um ponto localizado x milhas da instalação, é dada por
2 /40( , )
x ktCC x t e
k tπ
−= , onde k é uma constante física. Mantendo a
distância x0 fixa, em que instante tm ocorre a concentração máxima do poluente? Qual é a concentração máxima C(x0, tm)? Solução
Como a distância é considerada constante, para determinar os pontos críticos, consideramos a derivada parcial de primeira ordem em relação a t igual a zero.
Escreva a função dada.
2 /40( , )
x ktCC x t e
k tπ
−=
Derive em relação à t.
( ) ( )
2 22
/4 /40 023
4( , )
42
x kt x ktC k C kxCx t e e
t kt k tk t
π
ππ
− −−∂= +
∂
Simplifique e iguale a zero.
de aplicação dos extremos
O controle da poluição muitas vezes começa com algum conhecimento sobre a extensão e a concentração do poluente. Suponha que uma instalação industrial esteja localizada em um rio
unidades de poluente sejam liberadas no rio no 0. Em geral a concentração de poluentes dependerá tanto
do tempo quanto da distância da instalação. Suponha que a horas após sua liberação, em um
milhas da instalação, é dada por
é uma constante física. Mantendo a
ocorre a concentração máxima
Como a distância é considerada constante, para determinar os pontos críticos, consideramos a derivada parcial de primeira ordem em
DERIVADAS PARCIAIS
( )
22
/40 02 3
( , ) 04 2
x ktC x C kCx t e
t kt k t k t
π
π π
−
∂ = − =
∂
Resolvendo a equação e considerando o fato de que 2 /4x kte−
obtemos 2
0
2m
xt
k= como sendo o instante em que ocorre a
concentração máxima do poluente.
00
0
2( , ) .
m
CC x t
e xπ=
EXEMPLO 7 Suponha que um supermercado de uma pequena cidade do interior trabalhe com duas marcas de suco de laranja, uma marca local que custa, no atacado, 30 centavos a garrafa e uma marca nacional muito conhecida que custa, no atacado, 40 centavos a garrafa. O dono do supermercado estima que se cobrar x centavos pela garrafa da marca local e y centavos pela garrafa da marca nacional, venderá, por dia, 70 – 5x + 4y garrafas da marca local e 80 + 6x –7y garrafas da marca nacional. Por quanto o dono do supermercado deve vender as duas marcas de suco de laranja para maximizar seu lucro? Solução
Sendo x centavos o preço de venda da garrafa do suco local e centavos o preço de venda da garrafa do suco nacional e considerando que o lucro é dado pelo preço de venda menos o preço de custo do produto, segue que os lucros obtidos pela venda de cada garrafa do suco local e do suco nacional são dados, respectivamente, por (x – 30) e (y – 40).
DERIVADAS PARCIAIS 243
( , ) 0= − =
/4 0x kt ≠ ,
como sendo o instante em que ocorre a
Suponha que um supermercado de uma pequena cidade do interior trabalhe com duas marcas de suco de laranja, uma marca local que custa, no atacado, 30 centavos a garrafa e uma marca nacional muito conhecida que custa, no atacado, 40 centavos
centavos centavos pela garrafa da marca
garrafas da marca local e garrafas da marca nacional. Por quanto o dono do
ado deve vender as duas marcas de suco de laranja para
centavos o preço de venda da garrafa do suco local e y centavos o preço de venda da garrafa do suco nacional e
menos o preço de custo do produto, segue que os lucros obtidos pela venda de cada garrafa do suco local e do suco nacional são dados, respectivamente,
244 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Como se estima que serão vendidas 70 – 5x + 4y garrafas da marca local e 80 + 6x –7y garrafas da marca nacional, segue que o lucro diário com a venda do suco de laranja é dado pela função:
2 2
( , ) ( 30) (70 5 4 ) ( 40) (80 6 7 )
5 10 20 7 240 5300,
f x y x x y y x y
x xy x y y
= − − + + − + − =
= − + − − + −
cujos pontos críticos são dados por:
10 10 20 0 53
10 14 240 0 55.x
y
f x y x
f x y y
= − + − = =⇔
= − + = =
Assim, (53, 55) é o único ponto crítico de f. Para saber se nesse ponto existe um máximo, precisamos usar o teste da segunda derivada:
10 10( , ) 40 0 10 0.
10 14 xxD x y e f−
= = > = − <−
Logo, no ponto (53, 55) existe um máximo relativo de f. Como o ponto crítico é único e f é uma função quadrática, segue que o máximo relativo também é um máximo absoluto (global). Assim, para ter o maior lucro possível com a venda dos sucos, o comerciante deverá vender o suco local por 53 centavos a garrafa e o suco nacional por 55 centavos a garrafa. EXEMPLO 8 Suponha que T graus seja a temperatura em
qualquer ponto (x,y,z) da esfera dada por 2 2 2 4x y z+ + = e que 2( , , )T x y z x y z= . Encontre os pontos sobre a esfera onde a
temperatura é máxima e mínima. Calcule também a temperatura nestes pontos. Solução
Observe que a temperatura depende de três variáveis e não estudamos os critérios para analisar extremos neste caso. Todavia, o
garrafas da marca garrafas da marca nacional, segue que o lucro
nesse precisamos usar o teste da segunda
. Como segue que o
máximo absoluto (global). Assim, para ter o maior lucro possível com a venda dos sucos, o comerciante deverá vender o suco local por 53 centavos a garrafa e
graus seja a temperatura em
e que
. Encontre os pontos sobre a esfera onde a
temperatura é máxima e mínima. Calcule também a temperatura
Observe que a temperatura depende de três variáveis e não analisar extremos neste caso. Todavia, o
DERIVADAS PARCIAIS 245
problema oferece uma restrição, ou seja, a temperatura é calculada
sobre os pontos que satisfazem a equação 2 2 2 4x y z+ + = , de onde
podemos obter uma variável em função das outras duas. Por
conveniência, vamos tomar 2 2 24y x z= − − , a fim de evitar o
cálculo com raiz quadrada. Substituindo na expressão da temperatura, obtemos:
( ) ( )2 2 3 3, 4 4 .T x z xz x z xz x z xz= − − = − −
Derivando para achar os pontos críticos, encontramos:
2 3 2 2
3 2 2 2
2 2
2 2
4 3 (4 3 ) 0
4 3 (4 3 ) 0
0 ou 4 3 0
0 ou 4 3 0,
x
z
T z x z z z x z
T x x xz x x z
z x z
x x z
= − − = − − =
= − − = − − =
= − − =⇒
= − − =
cuja solução são os pontos:
P1(0,0); P2(0, −2); P3(0,2); P4(−2,0); P5(2,0); P6(−1, −1);
P7(−1,1); P8(1, −1); P9(1,1).
O discriminante é dado por:
2 22 2 2 2 2
2 2
6 4 3 3( , ) 36 (4 3 3 )
4 3 3 6
xz x zD x z x z x z
x z xz
− − −= = − − −
− − −.
Assim,
D(0,0) = −16 ⇒ (0,0) é ponto de sela.
D(0, −2) = D(0,2) = D(−2,0) = D(2,0) = − 64 ⇒ estes 4 pontos são de sela.
D(−1, −1) = D(−1,1) = D(1, −1) = D(1,1) = 32 > 0.
246 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Txx (−1, −1) = −6 ⇒ (−1, −1) é ponto de máximo local;
Txx (−1,1) = 6 ⇒ (−1,1) é ponto de mínimo local;
Txx (1, −1) = 6 ⇒ (1, −1) é ponto de mínimo local;
Txx (1,1) = −6 ⇒ (1,1) é ponto de máximo local;
Lembrando que 2 2 24y x z= − − , concluímos que os pontos mais
quentes sobre a esfera são
( 1, 2, 1); ( 1, 2, 1); (1, 2,1) e (1, 2,1)− − − − − − ,
sendo a temperatura nestes pontos igual a 2 graus. E os pontos mais frios sobre a esfera são
( 1, 2,1); ( 1, 2,1); (1, 2, 1) e (1, 2, 1)− − − − − − ,
cuja temperatura é de (− 2) graus. EXEMPLO 9 Um funcionário do setor de planejamento de uma determinada distribuidora verifica que as lojas dos três clientes mais importantes estão localizadas nos pontos A(1,5), B(0,0) e C(8,0), onde as unidades estão em quilômetros. Em que ponto W(x,y) deve ser instalado um depósito para que a soma das distâncias do ponto W aos pontos A, B e C seja mínima? Solução
O ponto W(x,y) para o qual a soma das distâncias é mínima é o mesmo para o qual a soma dos quadrados das distâncias é mínima, isto é, o ponto para o qual a função
2 2 2 2 2 2( , ) ( 1) ( 5) ( 8)W a A W a B W a C
S x y x y x y x y= − + − + + + − +
, concluímos que os pontos mais
sendo a temperatura nestes pontos igual a 2 graus. E os pontos mais
Um funcionário do setor de planejamento de uma determinada distribuidora verifica que as lojas dos três clientes mais
(8,0), ) deve
ser instalado um depósito para que a soma das distâncias do ponto
) para o qual a soma das distâncias é mínima é o qual a soma dos quadrados das distâncias é mínima,
DERIVADAS PARCIAIS
é mínima. (Trabalhando com o quadrado das distâncias, eliminamos as raízes quadradas e tornamos os cálculos mais simples). Para minimizar S, começamos pelos pontos críticos:
32( 1) 2 2( 8) 6 18 0
2( 5) 2 2 6 10 0x
y
xS x x x x
S y y y y y
== − + + − = − = ⇔
= − + + = − = =
O discriminante é dado por:
26 0( , ) 36 0, ( , )
0 6D x y x y= = > ∀ ∈R e
20, ( , )xxS x y> ∀ ∈R .
Assim, o único ponto crítico de S é um ponto de mínimoComo a função é quadrática, é um ponto de mínimo global.Portanto, a melhor localização para o depósito é no ponto de
coordenadas 5
3,3
W
.
DERIVADAS PARCIAIS 247
é mínima. (Trabalhando com o quadrado das distâncias, eliminamos as raízes quadradas e tornamos os cálculos mais simples). Para
3
5
3
=
=
é um ponto de mínimo local. Como a função é quadrática, é um ponto de mínimo global.
, a melhor localização para o depósito é no ponto de
248 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
EXERCÍCIOS 4.5 1. Determine todos os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os como um máximo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela.
a) 2 2( , )f x y x y= + b) 2 2( , )f x y y x= −
c) 2 2( , ) 25f x y x y= − + d) 3 3( , ) 6f x y x y xy= − +
e) 8 8( , )f x y xy
x y= + + f) f(x,y) = 6x − x2 − 8y − 2y2
g) f(x,y) = x4 + y4 − (x + y)2
2. Para cada uma das funções dadas, determine o ponto no qual a função possui um máximo ou mínimo absoluto.
a) 2 2( , ) 3 6 4 3 4f x y x y x y= + + − −
b) 2 2( , ) 5 2 6 3 10 9f x y x y x xy y= − − − − −
3. O que você entende por um “mapa de contorno”? O mapa de contorno ao lado mostra todos os aspectos significativos da função. Faça uma conjectura sobre o número e a localização de todos os extremos relativos e os pontos de sela da função
f(x,y) = x3 – 3xy – y3
e então use o cálculo para verificar sua conjectura.
4. Encontre 3 números positivos cuja soma seja 24 e tal que seu produto seja o maior possível.
DERIVADAS PARCIAIS 249
5. Encontre o ponto sobre a esfera 2 2 2 4x y z+ + = mais próximo do
ponto (3,3,3).
6. Precisa-se construir um tanque com a forma de um paralelepípedo para estocar 270 m3 de combustível, gastando a menor quantidade de material em sua construção. Supondo que todas as paredes serão feitas com o mesmo material e terão a mesma espessura, determine as dimensões do tanque.
7. Uma firma de embalagem necessita fabricar caixas retangulares de 64 cm3 de volume. Se o material da parte lateral custa a metade do preço do material a ser usado para a tampa e para o fundo da caixa, determine as dimensões da caixa que minimizam o seu custo.
8. Considere um experimento no qual um paciente executa uma tarefa enquanto está sendo submetido a dois estímulos diferentes (um som e uma luz, por exemplo). No caso de estímulos fracos, o desempenho melhora, mas quando os estímulos aumentam de intensidade, começa a distrair a atenção do paciente e o desempenho piora. Em certo experimento, no qual o paciente é submetido a x unidades do estímulo A e y unidades do estímulo B, o desempenho do paciente é dado por uma função da forma:
2 21( , ) x yf x y C x y e − −= +
onde C é uma constante positiva. Quantas unidades de cada estímulo produzem o melhor desempenho possível?
9. Quatro pequenas cidades de uma região rural estão dispostas a se associar para construir uma antena retransmissora de televisão. Se as
cidades estão localizadas nos pontos A(−5,0), B(1,7), C(9,0) e
D(0,−8) de um sistema retangular de coordenadas, no qual as distâncias são medidas em quilômetros, em que ponto P(x,y) deve ser instalada a antena para que a soma das distâncias entre ela e as quatro cidades seja a menor possível?
250 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Diferencial de uma Função de Duas Variáveis
Ao estudarmos funções de duas variáveis independentes, como por exemplo:
volume de um cilindro circular reto: V = π r2 h = f (r,h)
intensidade de corrente elétrica em uma resistência: I = V/R = f (V,R)
capacidade de um capacitor: C = S/4π e = f (S,e)
vimos que podemos variar uma das variáveis sem alterar as demais. Se fizermos variar todas as variáveis ao mesmo tempo, é útil podermos calcular a variação global da função, que é denominada de diferencial total da função.
Para funções de uma variável, estudamos no Cálculo I que, para
um determinado valor x = a, uma variação em x de ∆x unidades
(para ∆x bem pequeno) resulta em uma variação em y = f(x) de
aproximadamente ( )'dy f x dx= unidades ou . unidades ,dy
dxdx
denominada diferencial da função y = f(x).
Para funções de duas variáveis, o raciocínio é análogo. As derivadas parciais de z = f (x,y) indicam o quanto a função muda em relação à pequenas alterações de suas variáveis. Em particular, se os
valores de ∆x e ∆y são pequenos, então para o ponto (a,b), uma
variação em x de ∆x unidades acarretará uma variação em f(x,y) de,
aproximadamente, ( , ) . y
fa b x
x
∂
∂
∆
unidades e uma variação em y
de ∆y unidades, acarretará uma mudança em f(x,y) de,
DERIVADAS PARCIAIS 251
aproximadamente, ( , ) . x
fa b y
y
∂
∂
∆
unidades. Assim, quando x e y
estiverem variando ao mesmo tempo, a variação em z será dada, aproximadamente, pela soma desses termos, ou seja,
∆z = f (a + ∆x, b+∆y) - f(a,b) ≈ ( , ) . y
fa b x
x
∂
∂
∆
+ ( , ) . x
fa b y
y
∂
∂
∆
onde tal aproximação será tanto melhor, quando ∆x e ∆y tenderem
à zero. Chamando ∆x = dx, ∆y = dy e ∆z = dz, obtemos a seguinte expressão
dz = ( , ) . y
fa b dx
x
∂
∂
+ ( , ) . x
fa b dy
y
∂
∂
= fx (a,b) dx + fy (a,b) dy
que é denominada diferencial total de f e cujo valor depende tanto dos valores de dx e dy quanto dos valores das derivadas parciais de f em x = a e y = b.
Observe que a variação total real da função z = f(x,y) é dada por:
∆z = f(a + ∆x,b+∆y) - f(a,b)
e a diferencial dz é uma boa aproximação de ∆z quando ∆x e ∆y são bem pequenos.
Para entendermos melhor o que foi feito anteriormente, consideremos uma função A em particular, que nos dá a área de um retângulo como função de seus dois lados, x e y.
252 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Se o lado x aumenta de ∆x unidades e o lado y permanece
constante então a mudança na área A será de ∆A = y. ∆x e,
conseqüentemente, y
Ay
x
∆ =
∆ .
Agora, se o lado y aumenta de ∆y unidades e x é mantido constante,
então a variação da área será de ∆A = x ∆y e, conseqüentemente,
x
Ax
y
∆=
∆ .
DERIVADAS PARCIAIS 253
Se ambas as variáveis aumentarem, então a mudança na área será a soma dessas quantidades (ver ilustração), ou seja,
∆A = y ∆x + x ∆y + ∆x ∆y
e, substituindo os valores de x e de y, obtemos
∆A = y
A
x
∆
∆ ∆x +
x
A
y
∆
∆ ∆y + ∆x ∆y .
Se as variações forem muito pequenas, podemos substituir esta notação pela notação diferencial, ou seja,
dA = y
A
x
∂
∂
dx + x
A
y
∂
∂
dy + dx dy .
Como o produto de duas quantidades muito pequenas é menor ainda, segue que o produto dx dy pode ser desprezado sem que isto altere de modo significativo o resultado. Portanto, segue daí a equação para a diferencial dA, que é dada por:
dA = y
A
x
∂
∂
dx + x
A
y
∂
∂
dy .
254 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
EXEMPLO 1 Uma das equações fundamentais da Termodinâmica, combinando a primeira e a segunda lei da Termodinâmica, é dada por:
dU = T dS - P dV onde U é a energia interna de um sistema termodinâmico, S é a entropia e P, V, e T são a pressão, volume e a temperatura, respectivamente. A quantidade dU é a diferencial total de U como uma função de S e V, e portanto pode ser escrita como
V S
U UdU dS dV
S V
∂ ∂
∂ ∂
= +
de onde segue que e VV S
U UT P
S
∂ ∂
∂ ∂
= − =
.
EXEMPLO 2 No estudo dos fenômenos elétricos estáticos (Eletrostática), Coulomb estudou o comportamento de duas cargas Q1 e Q2, separadas pela distancia r, no vácuo. Ele verificou que aparece uma força associada às duas cargas, denominada de força elétrica, que pode ser representada pela seguinte função:
( )1 2, ,elF f Q Q r=
onde Fel é a força eletrostática entre as duas cargas Q1 e Q2. Através de seus estudos, envolvendo a variação de apenas duas dessas grandezas, Coulomb obteve as relações
1; 2; 2
1el el elF Q F Q F
r∝ ∝ ∝ ,
de onde segue que:
1 2 2
1elF Q Q
r∝ ⋅ ⋅ e 1 1; 2 2; 3 2
1el el elF k Q F k Q F k
r= ⋅ = ⋅ = ⋅ .
A diferencial eldF é definida por:
1 22 1
1 21 2 ,, ,
el el elel
Q QQ r Q r
F F FdF dQ dQ dr
Q Q r
∂ ∂ ∂ = ⋅ + ⋅ + ⋅
∂ ∂ ∂
Uma das equações fundamentais da Termodinâmica, combinando a primeira e a segunda lei da
é a são a pressão, volume e a temperatura,
como
No estudo dos fenômenos elétricos estáticos cargas
. Ele verificou que força
. Através de seus estudos, envolvendo a variação de apenas duas dessas
DERIVADAS PARCIAIS
onde
2
11 ,
el
Q r
Fk
Q
∂=
∂ ;
1
22 ,
el
Q r
Fk
Q
∂=
∂ e
1 2
3,
el
Q Q
Fk
r r
∂ = ⋅ −
∂
EXEMPLO 3 Seja z = x2 y.
a) Calcule a diferencial total dz, quando variamos (x,y) de xy = 2 para x = 1,02 e y = 2,01.
b) Calcule ∆z, quando variamos (x,y) de x = 1 e y = 2 para x = 1,02 e y = 2,01.
c) Verifique a relação existente entre dz e ∆z. Determine a diferença
entre os valores de dz e de ∆z. Solução
a)
2
2
22
2 1 2 0,02 1 0,01 0,08 0,01 0,09
x
y
f xydz xy dx x dy
f x
dz
= ⇒ = +
=
⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = + =
b)
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
2
2 2
2
0,02; 0,01 , 0,02 0,01
0,04 0,0004 0,01
0,01 0,04 0,0004 0,0004 0,000004
0,01 0,08 0,0004 0,0008 0,000004 0,091204
z f x y f x y x y x y
x x y x y
x xy x y
∆ = + + − = + + − =
= + + + − =
= + + + + =
= + + + + =
c) ∆z ≈ dz a menos de uma diferença que é igual a
valor real (∆z) - valor aproximado (dz) = 0,001204
Observe que essa diferença é bem pequena, e isso se deve ao fato de
que os valores de ∆x e de ∆y também o são.
OBS:
DERIVADAS PARCIAIS 255
3
2
r
= ⋅ −
.
x = 1 e
= 1,02 e
. Determine a diferença
2 1 2 0,02 1 0,01 0,08 0,01 0,09
2z f x y f x y x y x y∆ = + + − = + + − =
Observe que essa diferença é bem pequena, e isso se deve ao fato de
256 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Podemos escrever a diferencial dz, para uma função z = f(x,ydo seguinte modo:
z z
dz dx dyx y
∂ ∂
∂ ∂= + ou
f fdf dx dy
x y
∂ ∂
∂ ∂= +
EXEMPLO 4 A superfície de um retângulo é dada por
( ),S b h f b h= ⋅ = onde b é a base do retângulo e h é a altura. Se a
base b variar de db = 1 cm e a altura h de dh = 10 cm, de quanto irá variar a superfície S se h = 10m e b = 10m? Solução
f f
dS db dhb h
∂ ∂
∂ ∂= + onde S = b.h
e f f
h bb h
∂
∂
∂= =
∂ ⇒ dS = 10×0,01 + 10×0,1 = 1,1m2,
ou seja, a superfície S variará de 1,1m2.
EXEMPLO 5 Calcule aproximadamente a variação na pressão de um gás ideal se o volume está variando de 20.000 litros para 19.800 litros, a temperatura está variando de 298,15K para 299K, e o número de moles está variando de 1,0000 para 1,0015. Considere a constante R = 8,3144 Jk-1 mol-1. Compare com o valor exato. Solução
Observe que os dados fornecidos pelo problema são:
V = 20.000; dV = -200 T = 298,15; dT = 0,85 n = 1,0000; dn = 0,0015 R = 8,3144
e que os gases ideais satisfazem a equação:
y),
dada por
é a altura. Se a
, de quanto irá
Calcule aproximadamente a variação na pressão de um gás ideal se o volume está variando de 20.000 litros para 19.800 litros, a temperatura está variando de 298,15K para 299K, e o número de moles está variando de 1,0000 para 1,0015. Considere a
DERIVADAS PARCIAIS
PV = nRT ⇒ nRT
PV
=
de onde concluímos que
, , ,
3 -22 1,779 10 Nm
n T n V V T
P P PdP dV dT dn
V T n
nRT nR RTdV dT dn
V VV
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
−
= + + =
−= + + = ×
1 J = 1 Nm
∆P = P(n2 ,V2 ,T2 ) - P(n1 ,V1 ,T1 ) = 1,797×10-3 N/m2 (Pascal)
50,000018 1,8 10P dP −∆ − = = × é a diferença na aproximação de ∆P por dP.
OBS: Observe que no Exemplo 4, o cálculo de ∆P foi mais simples que o de dP, o que na maioria das vezes não acontece. Na Físico-Química, frequentemente nos deparamos com o fato de não conhecermos uma fórmula para uma função e sabermos apenas os valores das derivadas parciais e, neste caso, o cálculo de dPnecessário.
EXEMPLO 6 Sabendo que V = V(P,T) onde P (pressão), (volume) e T (temperatura) são propriedades de estado e considerando que as leis de Boyle (T = cte) e de Gay-Lussac (cte) para os gases ideais são dadas, respectivamente por:
DERIVADAS PARCIAIS 257
3 -2 1,779 10 Nm
(Pascal)
é a diferença na aproximação de
foi mais , o que na maioria das vezes não
entemente nos deparamos com o fato de não conhecermos uma fórmula para uma função e sabermos apenas os valores das
dP seria
(pressão), V (temperatura) são propriedades de estado e
Lussac (P =
258 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
PV = C1 e 2V
CT
=
onde C1 e C2 são constantes, obtenha a equação do gás ideal PV = onde k = nR é uma constante. Solução
V = V(P,T) ð T P
V VdV dP dT
P T
∂ ∂ = +
∂ ∂
onde as derivadas parciais representam o comportamento dos gases ideais de acordo com as leis de Boyle e de Gay-Lussac. Deste modo, as derivadas parciais podem ser calculadas a partir das leis dadas:
Lei de Gay-Lussac : 2V
CT
= ð V = C2T ð 2P
VC
T
∂ =
∂
Lei de Boyle : PV = C1 ð 11
V CP
= ð 12
T
V C
P P
∂ = −
∂
Substituindo esses resultados na expressão da diferencial total, segue que:
12 2
T P
V V CdV dP dT C dT dP
P T P
∂ ∂ = + = ⋅ − ⋅
∂ ∂
Substituindo as constantes C1 e C2 pelos seus valores nas respectivas leis empíricas, segue que:
12 2 2
C V PVdV C dT dP dT dP
TP P= ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ ð
dV dT dP
V T P= −
Integrando essa equação diferencial, obtemos:
dV dT dP
V T P= −∫ ∫ ∫ ð 1ln ln lnV T P k= − + ð
ln ln ln ln lnkT
V T P kP
= − + = para k1 = lnk.
∴ ln ln .kT kT
V V PV kTP P
= ⇒ = ⇒ =
= kT
parciais representam o comportamento dos gases Lussac. Deste modo,
Substituindo esses resultados na expressão da diferencial total, segue
pelos seus valores nas respectivas
dV dT dP
DERIVADAS PARCIAIS
EXEMPLO 7 O comportamento termodinâmico de um gás puro
pode ser estudado pela função ( ), , 0f P V T = . A partir das
diferenciais dP e dV, mostre que:
(i) 1
T
T
PVVP
∂ = ∂∂
∂
(ii) 0T P V
P V P
V T T
∂ ∂ ∂ ⋅ + =
∂ ∂ ∂
(iii) 1T P V
P V T
V T P
∂ ∂ ∂ ⋅ ⋅ = −
∂ ∂ ∂
Solução
Para calcular dP escrevemos ( ),P f V T= e para calcular
escrevemos ( ),V g P T= . Assim, temos que:
T V
P PdP dV dT
V T
∂ ∂ = +
∂ ∂ e
T P
V VdV dP dT
P T
∂ ∂ = +
∂ ∂
Substituindo dV na diferencial de P, obtemos:
T T P V
T T T P V
P V V PdP dP dT dT
V P T T
P V P V PdP dT
V P V T T
∂ ∂ ∂ ∂ = + + =
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⋅ + ⋅ +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Segue daí que:
1T T T P V
P V P V PdP dT
V P V T T
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ⋅ = ⋅ +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Para que a igualdade anterior seja verdadeira, os termos dentro do colchete, nos dois lados da igualdade, devem ser iguais a zero. Portanto, temos que:
DERIVADAS PARCIAIS 259
termodinâmico de um gás puro
. A partir das
e para calcular dV
T P
V VdV dP dT
P T
dP dT
dP dT
Para que a igualdade anterior seja verdadeira, os termos dentro do iguais a zero.
260 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
1 0 1
1
T T T T
T
T
P V P V
V P V P
PVVP
∂ ∂ ∂ ∂ − ⋅ = ⇒ ⋅ =
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ⇒ = ∂∂
∂
e
0
1
T P V
T P V
V
P V P
V T T
P V PTV T TP
∂ ∂ ∂ ⋅ + = ⇒
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ⇒ ⋅ = − = − ∂∂ ∂ ∂
∂
Portanto,
1 1.
T P T P V
V
P V P V TTV T V T PP
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅ = − ⇒ ⋅ ⋅ = − ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂
OBS:
1. Análogo ao caso de funções de uma variável, com
funções de duas ou mais variáveis também podemos
calcular a variação percentual ou relativa da função, a
qual nos dá uma visão mais adequada da variação. Para
isso, basta fazermos
dz
z ou
df
f
2. Todas as definições e resultados válidos para funções de
duas variáveis são estendidos para funções de três ou
mais variáveis.
1.
Análogo ao caso de funções de uma variável, com
funções de duas ou mais variáveis também podemos
calcular a variação percentual ou relativa da função, a
qual nos dá uma visão mais adequada da variação. Para
Todas as definições e resultados válidos para funções de
duas variáveis são estendidos para funções de três ou
DERIVADAS PARCIAIS
EXEMPLO 8 Um balão meteorológico é liberado ao nível do
mar, a uma distância R do olho de um furacão, e sua altitude
aumenta à medida que ele se move em direção ao olho. A altura
que o balão atingirá no olho pode ser aproximada por
42
2π
Rh g
C=
onde g é uma constante gravitacional e C é uma Constant
meteorológica chamada circulação da velocidade do vento. Se os
erros percentuais máximos nas medidas de R e h são ≤2% e
respectivamente, estime o erro percentual máximo no cálculo de
Solução
Inicialmente devemos escrever C como função de R e h, já que
queremos analisar o erro percentual de C. Isolando C na equação
dada, obtemos
21 2
1 2/
/
RC g
h= π .
Se os erros nas medidas de R e h são, respectivamente, dR
então o erro em C pode ser aproximado por
21 2 1 2
1 2 3 2
2 1
2/ /
/ /
C C R RdC dR dh g dR g .
R h h h
∂ ∂= + = π − π
∂ ∂
Como estamos interessados em erros percentuais, dividimos ambos
os membros desta equação por C, obtendo
12 .
2
dC dR dh
C R h= −
DERIVADAS PARCIAIS 261
Um balão meteorológico é liberado ao nível do
do olho de um furacão, e sua altitude
aumenta à medida que ele se move em direção ao olho. A altura h
é uma Constante
hamada circulação da velocidade do vento. Se os
2% e ≤5%,
respectivamente, estime o erro percentual máximo no cálculo de C.
, já que
. Isolando C na equação
dR e dh,
dC dR dh g dR g .
amos interessados em erros percentuais, dividimos ambos
262 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Para determinar o erro percentual máximo precisamos analisar os
erros nas quatro situações possíveis:
(i) dR/R = 2% e dh/h = 5%
Neste caso teremos
12.(2%) .(5%) 2.(0,02) 0,5.(0,05) 0,015 1,5%.
2
dC
C= − = − = =
(ii) dR/R = 2% e dh/h = –5%
Neste caso,
12.(2%) .( 5%) 2.(0,02) 0,5.( 0,05) 0,065 6,5%.
2
dC
C= − − = − − = =
(iii) dR/R = –2% e dh/h = +5%
Neste caso,
12.( 2%) .(5%) 2.( 0,02) 0,5.(0,05) 0,065 6,5%.
2
dC
C= − − = − − = − = −
(iv) dR/R = –2% e dh/h = –5%
Neste caso,
12.( 2%) .( 5%) 2.( 0,02) 0,5.( 0,05) 0,015 1,5%.
2
dC
C= − − − = − − − = − = −
Logo, o erro percentual máximo no cálculo de C será de 6,5%,
para mais ou para menos.
Para determinar o erro percentual máximo precisamos analisar os
2.(2%) .(5%) 2.(0,02) 0,5.(0,05) 0,015 1,5%.
2.(2%) .( 5%) 2.(0,02) 0,5.( 0,05) 0,065 6,5%.
2.( 2%) .(5%) 2.( 0,02) 0,5.(0,05) 0,065 6,5%.= − − = − − = − = −
2.( 2%) .( 5%) 2.( 0,02) 0,5.( 0,05) 0,015 1,5%.= − − − = − − − = − = −
Logo, o erro percentual máximo no cálculo de C será de 6,5%,
DERIVADAS PARCIAIS 263
EXERCÍCIOS 4.6 1. Calcule a diferencial total das funções abaixo: a) f (x,y) = x2 sen(y) +2 y3/2 ; b) f (x,y) = x2 exy +(1/y2) c) f (x,y,z) = ln(x2+y2) + tg(z); d) f (x,y,z,t) = x2z + 4yt3 – xz2 t 2. Por meio de diferenciais, calcule o valor da variação de f para as
variações indicadas nas variáveis independentes: a) f (x,y) = x2–3x3y2 + 4x – 2y3 + 6; (–2; 3) para (–2,02; 3,01); b) f (x,y) = x2 –2xy +3y; (1; 2) para (1,03; 1,00); c) f (x,y,z) = x2z3 – 3yz2 + x-3 + 2y1/2z; (1;4;2) para (1,02; 3,97;
1,96); d) f (x,y,z) = xy + xz + yz; (–1; 2; 3) para (–0,98; 1,99; 3,03).
3. Um cilindro tem 10m de altura e 5m de raio da base. Aumenta-se h de 10 cm e R de 1cm. Calcule a variação do volume. Quanto falta a dV para termos a variação exata do volume?
4. As dimensões de uma caixa retangular fechada são 1m, 2m e 3m, com erro possível de 0,16 cm em cada medida. Por meio de diferenciais, aproxime o erro máximo e o erro percentual no valor calculado da área da superfície e do volume da caixa.
5. O fluxo sanguíneo através de uma arteríola é dado por F = pPR4/(8vL), onde L é o comprimento da arteríola, R é o raio, P é a diferença e pressão entre as duas extremidades e v é a viscosidade do sangue. Suponha que v e L sejam constantes. Por meio de diferenciais, aproxime a variação percentual no fluxo sangüíneo , se o raio decresce de 2% e a pressão aumenta de 3%.
6. Se um remédio é ingerido por via oral, o tempo T durante o qual a maior quantidade do remédio permanece na corrente sanguínea pode ser calculado com o auxílio da meia-vida x do remédio no estômago e a meia-vida y do remédio na corrente sanguínea. Para muitos remédios comuns (como a penicilina, por exemplo), T é dado por
264 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
(ln ln )
( ) ln 2
xy x yT
x y
−=
−.
Para certo remédio, x = 30 min e y = 1h. Se o erro máximo na estimativa de cada meia-vida é de ≤10%, encontre o erro máximo no valor calculado de T.
7. Seja uma resistência R percorrida por uma corrente de intensidade I onde V é a d.d.p ( diferença de potencial) e I = V/R. Se V = 100 volts, R = 100ohms, dV = 1 volt e dR = 2 ohms, qual é a variação de I?
8. As massas de metais A e B depositadas em duas cubas, pela passagem de uma mesma quantidade de carga elétrica Q, são diretamente proporcionais aos equivalentes gramas dos metais, ou seja, m = k1E. As massas de um mesmo metal depositadas pela passagem de corrente elétrica são diretamente proporcionais à quantidade de carga elétrica que atravessa a cuba, ou seja, 2m k Q= .
O fenômeno de eletrólise pode ser representado pela função f(m,E,Q) = 0 tal que m = m(E,Q). Sabendo que a massa depositada pela passagem de carga elétrica igual ao Faraday (F) é igual ao seu equivalente grama (ou seja, Q = F ð m = E), deduza a equação
do fenômeno de Eletrólise E Q E i t
mF F
⋅ ⋅ ⋅ = =
, empregando o
conceito de diferencial total (procedimento análogo ao do exemplo 6).
9. Considerando um componente puro, os estados monofásicos podem ser representados pela seguinte função de estado:
( ), , 0f P V T = tal que V = V(P,T).
DERIVADAS PARCIAIS 265
(a) Encontre a equação diferencial dV
V
envolvendo os
coeficientes de expansão térmica 1
P
V
V T
∂ α =
∂ e o coeficiente de
compressibilidade isotérmica 1
T
V
V P
∂ β = −
∂ a partir da expressão
da diferencial total de V.
(b) Interprete o resultado obtido para o caso em que α = 0 e β = 0. (c) Considerando que para a acetona, a 200C e 1 bar de pressão, os
valores de α e β são dados por 3 0 1 5 11,487 10 e 6,2 10 barC− − − −α = ⋅ β = ⋅ ,
calcule o valor da derivada V
P
T
∂
∂ .
(d) Integre a equação obtida no item (a) supondo α e β constantes, e pequenas variações de P e T. Calcular o valor do volume sabendo que a pressão variou de 10 bar e a temperatura de -100C, e que o volume inicial é de 1,287 cm3.
Propriedades de Diferenciais
Dada uma função definida implicitamente pela equação
( ), , 0F x y z = , onde x, y e z são propriedades de um sistema,
algumas propriedades para as derivadas parciais podem ser estabelecidas.
266 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
1. A derivada total
Consideremos uma função de duas variáveis ( ),z f x y= onde
( ) ( )ex x t y y t= = x = x(t) e y = y(t). Então z = f(x(t),y(t)) é função
de uma única variável t e existe a derivada dz
dt , denominada de
derivada total de z em relação a t.
Vimos que a variação de z = f (x,y), quando x e y variam de
quantidades pequenas ∆x e ∆y, é dada aproximadamente por
∆z = ≈ ( , ) . y
fa b x
x
∂ ∆ ∂
+ ( , ) . x
fa b y
y
∂∆ ∂
Dividindo esta expressão por ∆t, obtemos
y x
z z x z y
t x t y t
∆ ∂ ∆ ∂ ∆ ≈ +
∆ ∂ ∆ ∂ ∆
e, no limite ∆t → 0, temos que
y x
dz z dx z dy
dt x dt y dt
∂ ∂ = +
∂ ∂ ,
que é um caso particular da regra da cadeia, conforme estudado anteriormente.
Observe que o mesmo resultado poderia ser obtido, dividindo a diferencial total abaixo por dt.
y
x
z zdz dx dy
x y
∂ ∂ = +
∂ ∂
DERIVADAS PARCIAIS 267
2. Caminhando sobre um contorno
Suponhamos que aconteçam mudanças em x e y que deixem o
valor da função ( ),z f x y= inalterado.
Na figura acima, o plano ABC é paralelo ao plano-xy e, portanto, em todos os pontos sobre a curva APB o valor da função z é constante. Neste caso,
0 .y x
z zz x y
x y
∂ ∂ ∆ = ≈ ∆ + ∆ ∂ ∂
Dividindo a expressão por ∆x, obtemos
0 .y x
z z y
x y x
∂ ∂ ∆ ≈ + ∂ ∂ ∆
e fazendo ∆x → 0, temos que a razão y
x
∆
∆ se aproxima da derivada
de y em relação a x, mantendo z constante
0 .y zx
z z y
x y x
∂ ∂ ∂ = +
∂ ∂ ∂
Rearranjando esta equação, obtemos a seguinte expressão:
268 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
y
z
x
z
xy
x z
y
∂
∂ ∂ = −
∂ ∂
∂
e, como 1
y
y
zxxz
∂ = ∂∂
∂
, a equação pode ser escrita como
1x yz
x y z
y z x
∂ ∂ ∂ = −
∂ ∂ ∂ (Regra Cíclica)
A presença do sinal de menos na equação pode ser explicada geometricamente. A figura ao lado mostra que para o movimento ao
longo da curva que vai do ponto P até o ponto Q, ∆y é
necessariamente positivo, mas ∆x é negativo (ou vice-versa para o
movimento de Q a P) o que significa que z
y
x
∂
∂ é negativo.
OBS: A expressão 1x yz
x y z
y z x
∂ ∂ ∂ = −
∂ ∂ ∂ comprova o
fato de que as derivadas parciais não podem ser
DERIVADAS PARCIAIS 269
consideradas (como no caso das derivadas de funções de uma variável) como quocientes, pois se assim fosse, o produto deveria ser igual a +1 e não 1− .
3. Diferencial exata
Na Termodinâmica freqentemente nos deparamos com uma relação da forma
dz = M (x,y) dx + N (x,y) dy
onde M (x,y) e N (x,y) são funções de x e y, z = f (x,y) tais que
( , ) e ( , )y x
z zM x y N x y
x y
∂ ∂ = =
∂ ∂ .
Quando a relação de reciprocidade de Euler
( , ) ( , )M x y N x yy x
∂ ∂=
∂ ∂ estiver satisfeita, diremos que a diferencial
total dz é uma diferencial exata.
Observe que a relação de Euler pode também ser escrita na forma:
2 2z z
x y y x
∂ ∂=
∂ ∂ ∂ ∂
que é uma maneira simplificada de representar a expressão:
yx y x
z z
x y y x
∂ ∂ ∂ ∂ =
∂ ∂ ∂ ∂
270 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
As grandezas que fazem parte dos processos termodinâmicos são identificadas como propriedades de estado (ou propriedades do sistema ou propriedades termodinâmicas) e propriedades da transformação.
1) As propriedades de estado são as denominadas de funções de estado; ou seja, são as grandezas que caracterizam, através do valor que assumem, cada estado de um sistema termodinâmico e são representadas por uma diferencial exata. Alguns exemplos dessas grandezas são: pressão (P), volume (V), temperatura (T), massa (m), energia interna (U), entalpia (H), entropia (S), energia livre de Gibbs (G).
2) As propriedades da transformação são as denominadas de funções de linha; ou seja, são grandezas físicas que caracterizam, através do valor que assumem, cada tipo de transformação que um sistema passou, para ir de um estado inicial a um estado final. São representadas por uma diferencial inexata. Exemplos dessas grandezas são: o calor (Q) e o trabalho (W).
OBS:
1. As operações matemáticas, resultantes da aplicação do conceito de diferencial a cada tipo de função (de estado e de linha), são diferentes. Como consequência desse fato, sua representação simbólica (no contexto da Termodinâmica) costuma ser diferente. Sendo assim, vamos adotar a seguinte simbologia para o conceito de diferencial:
d àààà diferencial exata δδδδ àààà diferencial inexata
2. A diferencial exata só pode ser escrita para grandezas que sejam funções de estado (propriedades de um sistema).
DERIVADAS PARCIAIS
Se considerarmos 1 mol de um gás ideal obedecendo a lei PV RT= , então a diferencial
2P
T
V V R RTdV dT dP dT dP
T P P P
∂ ∂ = + = −
∂ ∂
é uma diferencial exata pois 2 2
R R RT
P P TP P
∂ ∂ = − = −
∂ ∂
O trabalho feito, δ W = - P dV = RT
RdT dPP
− + , quando um
gás está em expansão não é uma diferencial exata pois
( ) 0 e T
RT RR
P P P
∂ ∂ − = =
∂ ∂
e, portanto, a relação de reciprocidade de Euler não está satisfeita.
EXEMPLO Mostre que a diferencial do calor é inexata (o calor não é uma função de estado). Solução Para mostrar que a diferencial do calor é inexata, temos que mostrar que a regra de Euler não é satisfeita. A partir do primeiro princípio da Termodinâmica, temos que:
variação variaçãovariação
da energia do trabalhodo calor
dU Q W Q PdVδ δ δ= − = −
Rearranjando a equação, obtemos:
Q dU PdVδ = + onde
V S
U UdU dS dV
S V
∂ ∂
∂ ∂
= +
DERIVADAS PARCIAIS 271
Se considerarmos 1 mol de um gás ideal obedecendo a lei
dV dT dP dT dP
2 2
R R RT
P P
.
, quando um
reciprocidade de Euler não está
Mostre que a diferencial do calor é inexata (o calor
Para mostrar que a diferencial do calor é inexata, temos que mostrar partir do primeiro princípio
272 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
considerando ( ),U f V T= .
Portanto,
T V V T
U U U UQ dV dT PdV dT P dV
V T T V
∂ ∂ ∂ ∂δ
∂ ∂ ∂ ∂
= + + = + +
Aplicando a regra de Euler, temos que:
V TT V
U UP
V T T V
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂ = +
∂ ∂
V T VVT
U U P
V T T V T
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ⇒ = +
∂ ∂ ∂
Como a energia interna U, o volume V e a temperatura T são funções de estado, elas satisfazem a regra de Euler, ou seja,
V T VT
U U
V T T V
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂ =
∂ ∂
Portanto,
0 = constanteV
PP
T
∂ = ⇒
∂
Mas, se P é constante e coincide com a pressão do sistema então, como V também é constante, segue que a temperatura será constante e, portanto, a derivada corresponde a um estado do sistema e não a uma transformação. Assim, para que seja uma transformação devese ter:
0V
P
T
∂ ≠
∂
e, portanto, a regra de Euler não será válida.
.Q dV dT PdV dT P dV
são
é constante e coincide com a pressão do sistema então, também é constante, segue que a temperatura será constante
e, portanto, a derivada corresponde a um estado do sistema e não a que seja uma transformação deve-
DERIVADAS PARCIAIS 273
EXERCÍCIOS 4.7
1. A energia interna de um gás ideal monoatômico é dada por
3 3
2 2U nRT PV= = .
(a) Escreva uma expressão para a diferencial total dU; (b) Mostre que a diferencial dU é exata;
(c) Considerando que δ QR = dU + δWR e que δWR = P dV, escreva
uma expressão para a diferencial δ QR, em termos de P e de V, e mostre que é uma diferencial inexata;
(d) Mostre que RQ
T
δé uma diferencial exata.
2. As leis da eletrólise de Faraday podem ser expressas pela função m = m(E, Q), onde m é a massa depositada, q é a carga elétrica que atravessa a cuba no tempo t e E é o equivalente grama do metal depositado. Represente essa função na forma da diferencial total dm, e interprete suas derivadas parciais. 3. Verifique se a relação
RTdY dP RdT
P= −
é uma diferencial exata ou não. Derivação Implícita
Seja ( ),z f x y= diferenciável, definida implicitamente por
( ), , 0F x y z = . Como z é função de duas variáveis independentes,
admitirá duas derivadas parciais, ou seja, e z z
x y
∂ ∂
∂ ∂ . Temos então:
274 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
, ,,
( , , ) 0y z x yx z
F dx F dy F zF x y z
x x dx y dx z x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
⇒ , ,
0y z x y
F F z
x z x
∂ ∂ ∂ + = ∂ ∂ ∂
⇒ ,
,
z y
y
x y
F
xzFxz
∂
∂ ∂ = − ∂∂
∂
,,
0x yx z
F F z
y z y
∂ ∂ ∂ + = ∂ ∂ ∂
⇒ ,
,
x z
x
x y
F
yzFyz
∂
∂ ∂ = − ∂∂
∂
EXEMPLO 1 Sabendo que z é função implícita de x e y, dada
pela equação, ( ) 2 3ln 1 ,x yz xy z+ = + determine e .z z
x y
∂ ∂
∂ ∂
Solução
Considere
( ) ( ) 2 3, , ln 1 .F x y z x yz xy z= + − −
Temos então:
dy/dx = 0, pois y não é função de x
, ,,
( , , ) 0y z x yx z
F dx F dy F zF x y z
y x dy y dy z y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
dx/dy = 0 pois x não é função de y
, dada
, ,
( , , ) 0y z x y
F dx F dy F z
y x dy y dy z y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
DERIVADAS PARCIAIS
2 3 3
, ,
2 2
,
1; 2
3
y z x z
x y
F F zy z xyz
x x yz y x yz
F yxy z
z x yz
∂ ∂ = − = −
∂ + ∂ +
∂ = −
∂ +
Portanto,
( )( )
( )( )
2 3
2 3 3 4
2 2 2 2 2 3 3
1
1
3 3 3y
y z x yzFx yzz xy z y zx
Fx y xy z x yz y x y z xy zz x yz
− + +∂+∂ + − ∂= − = = ∂∂ − + − −
∂ +
( )( )
( )( )
3
2 3 2 4
2 2 2 2 2 3 3
2
2 2
3 3 3x
z xyz x yzFx yzz x yz xy z zy
Fy y xy z x yz y x y z xy zz x yz
− + +∂
+ ∂ + −∂= − = = ∂∂ − + − −
∂ +
EXEMPLO 2 Sabendo que y é função implícita de x e z
pela equação, 4x2 - 3xyz + y3z - y = 13. Encontre e y y
x z
∂ ∂
∂ ∂
quando x = 1, y = 0 e z = -3. Solução
Considere F(x,y,z) = 4x2 - 3xyz + y3z - y - 13 Temos então:
F
x
∂
∂= 8x - 3yz ,
F
y
∂
∂= -3xz +3y2 z -1 ,
F
z
∂
∂= -3xy + y3
⇒ y
x
∂
∂ =
F
xF
y
∂
∂−∂
∂
= 2
3 8
3 3 1
yz x
xz y z
−
− + −
DERIVADAS PARCIAIS 275
2 2 2 2 2 3 3
1
y xy z x yz y x y z xy z
2 2 2 2 2 3 3.
z x yz xy z z
y xy z x yz y x y z xy z
z, dada
e y y
x z
∂ ∂
∂ ∂
3
276 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
⇒ y
z
∂
∂ =
F
zF
y
∂
∂−∂
∂
= 3
2
3.
3 3 1
xy y
xz y z
−
− + −
EXERCÍCIOS 4.8 1. Sabendo que y é dado implicitamente como uma função
diferenciável de x e z, determine e y y
x z
∂ ∂
∂ ∂ para as funções dadas.
a) xy2 z2 -2x2yz + xz
y- z3 = 2 b)
2 3
cos ( ) sen ( )0
2
x y x y
z z
− +− =
−
2. Calcule P
V
T
∂
∂ para a equação de Berthelot
( )2
aP V b RT
TV
+ − =
(equação, proposta em 1899, que procurou
melhorar os resultados previstos pela equação de van der Waals,
substituindo o parâmetro a por a
T, com o objetivo de mostrar que as
forças de interação entre partículas deve diminuir com o aumento da temperatura). EXERCÍCIOS EXTRAS
1. Ache a primeira e a Segunda derivadas de:
a) z = 2x2y + cos (x + y) b) z = sen (x+y) ex-y
2. Calcule as derivadas parciais em relação à x e a y das funções dadas.
é dado implicitamente como uma função
para a equação de Berthelot
(equação, proposta em 1899, que procurou
melhorar os resultados previstos pela equação de van der Waals,
, com o objetivo de mostrar que as
umento da
DERIVADAS PARCIAIS 277
a) f (x,y) = 5x4 y3 + 2x3 y -7x + 8 b) 1
x
z fy y
=
c) cos x
z fy
=
d)
2x yz
x y
+=
+
e) 3 2 ln(2 )z x x y= − − f) z = 3xy e2xy
g) 3 cos ln x y
zy x
= −
h) g(x,y) = 7yx
3. Sabendo que w = xy + z4 , onde z = f (x,y), fx (1,1) = 4 e
( )1,1 1f = , calcule (1,1).w
x
∂
∂
4. Determine uma função f(x,y) que satisfaça
3 2
42
4 7
2 71
x
y
f x y y
yf x y x
y
= − = − +
+
5. Calcule as derivadas parciais das funções dadas.
a) ( ), 6f x y xy= b) ( ) 2, 3 2 3f x y x y= + −
c) ( ) 2, 3 yf x y x e= d) ( ), 3 2 xyf x y x e= +
e) ( )2
,x
f x yy
= f) ( ),1 y
xh x y
e=
+
g) ( ) ( )2
, 3 4f x y x y= − + h) ( ) ( ), ln xyf x y y x e= −
278 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
i) ( )3
,y
xyf x y
e=
j) ( ) 2, seny
f x y xx
=
6. A função entropia S para 1 mol de um gás ideal monoatômico pode ser expressa em termos do volume V e da temperatura T pela equação
5322
3
eln (2 )
V
S R m k TLh
= π
onde R, m, k, h são constantes e L é a constante de Avogrado.
a) Sabendo que v
v
CS
T T
∂ =
∂ , onde CV é a capacidade de calor do
gás a volume constante, escreva uma expressão para CV.
b) Usando a equação de estado para um gás ideal, PV = RT, escreva S em termos de T e P.
c) Sabendo que P
P
S C
T T
∂ =
∂ , onde CP é a capacidade de calor do
gás a pressão constante, escreva uma expressão para CP.
d) Calcule o valor de P
V
C
C.
7. Ache , ,
e PP n T n
V V
T
∂ ∂
∂ ∂ para a equação de van der Waals
( )2
20
n aP V nb nRT
V
+ − − =
onde a e b são constantes.
DERIVADAS PARCIAIS 279
8. Se uma corrente constante de I ampères passa por um circuito de
resistência R ohms durante t segundos, produz 2
( , )4,18
RI tH I t =
calorias. Qual é a taxa de produção de calor em relação ao tempo?
9. Se um gás tem densidade de ρ0 gramas por centímetro cúbico, a
0°C e 760 milímetros de mercúrio (mm), então sua densidade a T°C
e pressão P mm é 0 3
760 g( , ) 1
273 cm
TT P
P
ρ = ρ +
. Quais são as
taxas de variação da densidade em relação à temperatura e à pressão?
10. A área A da superfície lateral de um cone circular reto de altura
h e raio da base r é dada por 2 2A r h r= π + .
a) Se r é mantido fixo em 3cm, encontre a taxa de variação de A em relação a h no instante em que h = 7cm;
b) Se h é mantido fixo e, 7cm, encontre a taxa de variação de A em relação a r no instante em que r = 3cm.
11. Sabendo que o coeficiente de compressibilidade de um fluido β
é dado por: 1
T
V
V P
∂ β = −
∂ e que seu módulo de elasticidade
volumétrica B é dado por: 1
B =β
, mostre que T
PB
V
∂ = µ ⋅
∂ onde
m
Vµ = .
12. Sabendo que PP
HC
T
∂ =
∂ e que para um gás ideal,
5
2PC R=
(onde R é uma constante), determine o formato das isóbaras (P
constante) de um gás ideal no plano H × T. Depois disso, verifique
280 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
se é possível saber, a partir das informações dadas, se a curva isóbara passa pela origem ou não.
13. A lei de um gás ideal diz que PV = nRT para n mols de um gás ideal, onde P é a pressão exercida pelo gás,V é o volume do gás, T é a temperatura e R é uma constante (a constante do gás). Calcule o
produto V T P
T V V
∂ ∂ ∂⋅ ⋅
∂ ∂ ∂.
14. Suponha que a temperatura do ar é T (°F) , e a velocidade do vento é v (mph). Então, a temperatura equivalente com o fator vento é dada pela função
, se 0 4
( , ) 91,4 (91,4 )(0,0203 0,304 0,474) , se 4 45
1,6 55
T v
W T V T v v v
T
≤ <
= + − − − ≤ ≤
− , se 45v
>
a) Encontre e W W
T v
∂ ∂
∂ ∂, e calcule estas derivadas parciais para o
caso em que T = 30°F e v = 20mph.
b) Resolva as equações 0 0W W
eT v
∂ ∂= =
∂ ∂. Existem números T e
v que satisfaçam ambas as equações simultaneamente?
15. Considere uma barra metálica aquecida desigualmente colocada ao longo do eixo-x, com a extremidade esquerda na origem e x medido em metros.
Seja u (x) a temperatura em °C da barra no ponto x . A tabela abaixo dá os valores de u (x) .
x (m) 0 1 2 3 4 5
u (x) ( °°°°C) 125 128 135 160 175 160
0 1 2 3 4 5 x (m)
DERIVADAS PARCIAIS 281
Avalie a derivada ( )' 2 ,u usando a tabela e explique o que a resposta
significa em termos de temperatura.
16. Considere uma placa metálica fina retangular aquecida desigualmente colocada sobre o plano-xy, com o canto inferior esquerdo na origem e x e y medidos em metros.
A temperatura (em °C) no ponto (x,y) é T(x,y) e seus valores são dados na tabela abaixo.
Denotando ( ) ( ),1 ,u x T x= a temperatura da placa ao longo da reta
1,y = e ( ) ( )2, ,v y T y= a temperatura da placa ao longo da reta
2,x = calcule ( )' 2u e dê um significado para esta derivada. Calcule
também ( )' 1v e dê um significado para esta derivada.
17. (a) Ao redor do ponto (1,0), a função
( ) ( )2, 1z f x y x y= = +
é mais sensível a variações em x ou y? Justifique sua resposta.
3 85 90 110 135 155 180
2 100 110 120 145 190 170
1 125 128 135 160 175 160
0 120 135 155 160 160 150
0 1 2 3 4 5
y (m)
x (m)
282 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
(b) Qual razão entre dx e dy fará dz igual a zero em (1,0)?
18. Uma empresa produz tanques cilíndricos circulares, para armazenamento de melaço, que tem 25 pés de altura com raio de 5 pés. Qual é a sensibilidade do volume dos tanques a pequenas variações da altura e do raio? Agora troque os valores de r para
25r = e de h para 5h = e analise novamente qual é a sensibilidade do volume dos tanques a pequenas variações da altura e do raio. O que você pode concluir acerca da sensibilidade das funções a pequenas variações nas variáveis das quais ela depende?
19. O período T de um pêndulo simples com pequenas oscilações é
calculado através da fórmula 2L
Tg
π= , onde L é o comprimento
do pêndulo e g é a aceleração da gravidade. Suponha que os valores de L e g tenham erros de, no máximo, 0,5% e 0,1%, respectivamente. Use diferenciais para aproximar o erro percentual máximo no valor calculado de T.
20. De acordo com a lei dos gases ideais, a pressão, a temperatura e
o volume de um gás confinado estão relacionados por kT
PV
= , onde
k é uma constante. Use diferenciais para aproximar a variação percentual na pressão, se a temperatura de um gás tiver aumentado em 3% e o volume tiver aumentado em 5%.
21. A resistência total R de três resistências R1, R2 e R3 conectadas em paralelo é dada por
1 2 3
1 1 1 1.
R R R R= + +
Suponha que R1 = 100 ohms, R2 = 200 ohms e R3 = 500 ohms, com um erro máximo de 10% em cada um. Use diferenciais para aproximar o erro percentual máximo no valor calculado de R.
DERIVADAS PARCIAIS 283
22. O comportamento termodinâmico de um gás puro pode ser estudado pela função ( ), , 0f P V T = . Sabendo que a energia interna
U é função de V e T, ( ),U f V T= , mostrar que :
P T V P
U U U T
V V T V
∂ ∂ ∂ ∂ = + ⋅
∂ ∂ ∂ ∂ .
23. Uma das relações de Maxwell da Termodinâmica estabelece
que: T V
S P
V T
∂ ∂ =
∂ ∂ .
(a) Calcular T
S
V
∂
∂ para um gás ideal (PV = nRT).
(b) Qual é o comportamento das isotermas (T = cte) no plano SxV?
24. Escreva a expressão para a diferencial total de cada uma das seguintes funções termodinâmicas:
U = U(V,T), S = S(P,T) e G = G(P,T).
25. 70 litros de um gás ideal encontram-se na pressão de 1,5 atm e temperatura de 300K. Sabendo que os erros nas medidas dessas grandezas são, respectivamente, iguais a 0,2 litros, 0,1 atm e 1 oC, estimar o erro cometido na determinação da quantidade de moles.
26. Empregando a regra cíclica para a função ( ),U f V T= e a
seguinte definição para o coeficiente de Joule Jµ
JU
T
Vµ
∂ =
∂
e a definição de capacidade calorífica a volume constante
VV
UC
T
∂ =
∂ , mostrar que:
J VT
UC
Vµ
∂ ⋅ = −
∂ .
Capítulo 5
Integrais Múltiplas
O QUE VOCÊ VAI ESTUDAR:
• Como trabalhar com integrais duplas e triplas.
• Como determinar área e volume utilizando integrais duplas.
• Como calcular uma integral dupla em coordenadas polares.
• Como utilizar integrais múltiplas em aplicações.
• Como calcular uma integral tripla em coordenadas cilíndricas e esféricas.
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
Integrais Múltiplas
Introdução
As integrais com as quais trabalhamos no Cálculo de uma variável diziam respeito, naturalmente, às funções de uma variável. A ampliação do Cálculo Integral a funções de duas ou mais variáveis, leva-nos ao estudo das Integrais Múltiplas, cujas aplicações podem ser encontradas no cálculo de áreas e volumes e na definição de algumas grandezas físicas, tais como massa, centro de massa, momento de inércia, etc.
Integrais Duplas
Quando trabalhamos com as derivadas parciais de funções de duas variáveis, considerávamos uma das variáveis como sendo constante e derivávamos a função em relação à outra variável. Podemos, de modo análogo, “integrar parcialmente” uma equação algébrica envolvendo duas ou mais variáveis, integrando a expressão em relação a uma das variáveis, mantendo a outra como constante.
A novidade no caso da “integração parcial” é que a constante de integração será função da variável que consideramos como constante. Vamos ilustrar tal fato com alguns exemplos.
EXEMPLO 1 Calcule as integrais dadas.
2(2 3) 3 ( )x y dx x xy x C y+ + = + + +∫ onde C(y) é uma função de
Consideramos y como uma constante e integramos a função em relação à x.
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 285
As integrais com as quais trabalhamos no Cálculo de uma variável diziam respeito, naturalmente, às funções de uma variável.
ampliação do Cálculo Integral a funções de duas ou mais nos ao estudo das Integrais Múltiplas, cujas
aplicações podem ser encontradas no cálculo de áreas e volumes e na definição de algumas grandezas físicas, tais como massa, centro
Quando trabalhamos com as derivadas parciais de funções de duas variáveis, considerávamos uma das variáveis como sendo constante e derivávamos a função em relação à outra variável.
uma equação algébrica envolvendo duas ou mais variáveis, integrando a expressão em relação a uma das variáveis, mantendo a outra como constante.
é que a constante variável que consideramos como
) é uma função de y.
286 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
2 2 2 32( ) ( )
3 2 9
y x y yx y dy K x+ = + +∫ onde K(x) é uma função de x.
Observe que ao integrarmos a função f(x,y) = 2x + y + 3 em relação a x, mantendo y como constante, f(x,y) é encarada como função somente de x e a constante de integração é dada como função de y.
Se derivarmos parcialmente a expressão obtida pela “integração parcial” da função f(x,y), obtemos (como no Cálculo I) de volta a função f(x,y). Assim, podemos dizer que a “integração parcial” é o inverso da derivação parcial.
Como o resultado da “integração parcial” de uma função f(xem relação a x continua sendo uma função de duas variáveis, é aceitável que possamos integrá-la agora em relação à variável y, ou seja,
( , ) ( , )
(1) ( , ) ( , )
f x y dx g x y
g x y dy f x y dx dy
=
=
∫
∫ ∫ ∫
Analogamente, o resultado da “integração parcial” de uma função f(x,y) em relação à variável y, continua sendo uma função de duas variáveis e, consequentemente, podemos integrá-la agora em relação a variável x, ou seja,
( , ) ( , )
(2) ( , ) ( , )
f x y dy h x y
h x y dx f x y dy dx
=
=
∫
∫ ∫∫
Consideramos x como uma constante e integramos a função em relação à y.
.
+ 3 em ) é encarada como
e a constante de integração é dada como função
Se derivarmos parcialmente a expressão obtida pela “integração lo I) de volta a
” é o
x,y) continua sendo uma função de duas variáveis, é
, ou
Analogamente, o resultado da “integração parcial” de uma ção de
la agora em
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
Se f(x,y) é uma função de duas variáveis tal que, para cada valor fixo de y, f é uma função integrável de x, então podemos formar a integral definida
( )
( )( , )
b y
a yf x y dx∫
Para determinar a integral parcial definida de uma função de duas ou mais variáveis, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo a uma das variáveis enquanto mantemos as outras constantes. Veja o exemplo a seguir:
2 2 2 3
0 0
0 55 = 5 5 5 ( )
2 2 2 2
x y x
y
y x xxy dy x x x
=
=
= − =
∫
EXEMPLO 2 Calcule 2
ln
y xy
yye dx∫ .
Solução
Mantendo y como constante, f(x,y) = y exy torna-se função apenas de x. Fazendo a substituição u = xy, obtemos du = y dx e, considerando inicialmente o cálculo da integral indefinida, teremos
xyye dx∫ = ( ) ( )u u xye du e C y e C y= + = +∫ .
Portanto, a integral definida é dada por
( )2
2 3
3
ln
lnln
ln
( ) ( ) ( )
.
x yy xy xy y y y
yx y
y y y
ye dx e C y e C y e C y
e e
=
=
= + = + − − =
= −
∫
y é a variável de integração e x é
constante Substituir y pelos
limites de integração
O resultado da integração é uma
função de
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 287
) é uma função de duas variáveis tal que, para cada , então podemos
Para determinar a integral parcial definida de uma função de duas ou mais variáveis, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo a uma das variáveis enquanto mantemos as outras
se função apenas de e, considerando
= + = + − − =
O resultado da integração é uma
função de x
288 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
OBS:
1. Como no Cálculo de funções de uma variável, a “constante de integração”, C(y), cancela-se durante o cálculo de uma integral definida. Por isso, não é necessário acrescentá-quando tratar-se de integrais definidas.
2. Poderíamos ter calculado a integral definida com a mudança de variável, lembrando de fazer a mudança também nos limites de integração. Neste modo, o cálculo ficaria da seguinte forma:
2
ln
y xy
yye dx =∫
33
3 ln
lnln
.y
u yu u y y y
u y yy y
e du e e e=
== = −∫
u = xy fl x = lny ⇒ u = y lny; x = y2 ⇒ u = y3
Analogamente, se f é uma função de duas variáveis tal que, para cada valor fixo de x, f(x,y) é uma função integrável de y, então podemos formar a integral definida parcial
( )
( )( , )
h x
g xf x y dy∫ .
EXEMPLO 3 Calcule 2 1 2x
xx ydy
+
∫ .
Solução
( ) (2
212 21 2 2 2 2 2 2 4 21 1
1 1 .2 2 2
y xx
xy x
yx ydy x x x x x x x
= ++
=
= = + − = + + ∫
Observe que as funções dos limites de integração podem ser constantes, como mostra o exemplo abaixo.
Como no Cálculo de funções de uma variável, a “constante se durante o cálculo de uma
-la,
Poderíamos ter calculado a integral definida com a mudança de variável, lembrando de fazer a mudança também nos limites de integração. Neste modo, o cálculo ficaria da
) é uma função integrável
)1 1 .= = + − = + +
Observe que as funções dos limites de integração podem ser
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
EXEMPLO 4 Calcule 2 2 3
0x y dy∫ .
Solução
242 22 3 2 3 2 2
0 00
44
yx y dy x y dy x x
= = =
∫ ∫ .
OBS:
1. A quantidade ( )
( )( , )
x b y
x a yf x y dx
=
=∫ depende somente de y
consequentemente, podemos definir uma função G(y) por :
( )
( )( ) ( , )
b y
a yG y f x y dy= ∫
2. A quantidade ( )
( )( , )
y h x
y g xf x y dy
=
=∫ depende somente de
consequentemente, podemos definir uma função F(x) por:
( )
( )( ) ( , )
h x
g xF x f x y dy= ∫ .
Em muitos casos, as funções F e G são, por si só, integráveis e podemos escrever as integrais
( )
( )( ) ( , )
x d x d h x
x c x c g xF x dx f x y dy dx
= =
= =
= ∫ ∫ ∫
( )
( )( ) ( , )
y d y d b y
y c y c a yG y dy f x y dx dy
= =
= =
= ∫ ∫ ∫
que são denominadas de integrais duplas (integrais iteradas).
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 289
y e,
) por :
depende somente de x e,
) por:
são, por si só, integráveis
).
290 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
EXEMPLO 5 Calcule a integral dupla 2 2
1 0−∫ ∫ x2 y4 dy dx .
Solução Escreva a integral dada e integre em relação à y.
2 2
1 0−∫ ∫ x2 y4 dy dx = 252 2
10
5
y
y
yx dx
=
−=
∫
Aplique o TFC e simplifique.
252 22
1 10
232
5 5
y
y
yx dx x dx
=
− −=
=
∫ ∫
Integre em relação à x.
252 22
1 10
232
5 5
y
y
yx dx x dx
=
− −=
=
∫ ∫ =
23
1
32
5 3
x
x
x =
=−
Aplique o TFC e simplifique.
252 2
10
5
y
y
yx dx
=
−=
∫ = 23
1
32
5 3
x
x
x =
=−
= 32 8 1 96
.5 3 3 5
− − =
EXEMPLO 6 Calcule a integral dupla 4 3 /2 2
0 016
xx dy dx−∫ ∫ .
Solução
Escreva a integral dada e integre em relação à y.
34 3 /2 4 22 2
0 0 00
16 16
xyx
y
dxx dy dx y x=
=
− = − ∫ ∫ ∫
Aplique o TFC e simplifique
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
4 3 /2 42 2
0 0 0
316 16 .
2
xdxx dy dx x x − = − ∫ ∫ ∫
Para integrar em relação à x, fazemos a substituição u = 16 obtendo du = -2x dx e, portanto, a integral indefinida torna-se:
2 2
3 322 2
3 3 316
2 2 2 4
3 ( ) (16 )
34 22
dux x dx u u du
u x
−− = − = =
− − −= =
∫ ∫ ∫
Logo,
4 3 /2
0 0
xx∫ ∫
216 x− dy dx =
432 2
0
(16 )32
2
x− −= .
EXERCÍCIOS 5.1
Calcule as integrais duplas.
1. ( )3 2
2 12 3 6x y dxdy
−+ +∫ ∫ 2. ( )
0 0
b ax y dxdy+∫ ∫
3. ( )/2 /2
0 0 cos 2 sen2a b d dy
π πθ θ θ+∫ ∫ 4.
21
0 0
yx
xe dydx∫ ∫
5. cos
0 0 sen
ad d
π θρ θ ρ θ∫ ∫
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 291
= 16 - x2, se:
x y dxdy
e dydx
292 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Integral Dupla sobre uma Região
Vamos introduzir o conceito de integral para funções de duas variáveis, revendo as idéias essenciais da integral de uma função de uma variável.
Para escrever a integral definida ( )b
af x dx∫ , para uma função
de uma variável, precisamos de uma função y = f(x) e um intervalo [a,b] sobre o eixo-x sobre o qual a integração será executada. Nesse caso, o valor da integral definida será um número real. Se a função
( )y f x= é não-negativa no intervalo [a,b], então a integral definida
( )b
af x dx∫ é a área da região plana limitada pelo gráfico de f(x), de
x a= até x b= e pelo eixo-x (ver figura).
Se y = f (x) for negativa no intervalo [a,b], então a integral
definida ( )b
af x dx∫ é igual ao valor negativo da área da região
limitada pelo gráfico de f(x), as retas x = a e x = b e o eixo-x, ou
seja, ( )b
af x dx∫ = - Área (ver figura).
x
b a
Área =
( )
b
af x dx∫
y = f(x)
y
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 293
Vamos agora estender o conceito de integral definida para uma função f(x,y) de duas variáveis. Primeiramente, devemos ter o
análogo do intervalo [a,b] ⊂ℝ em duas dimensões. Assim, teremos uma região D do plano, como mostra a figura abaixo.
No lugar de uma função de uma variável, y = f(x), teremos uma função f(x,y) de duas variáveis. A generalização da integral definida será denotada por
( , ) D
f x y dA∫∫
y
x
D
y
x b a
Área = - ( ) b
af x dx∫
294 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
e chamada de integral dupla de f(x,y) sobre a região D. Observe que a porção do gráfico acima e/ou abaixo de uma região D, determina uma figura sólida (ver figura).
Interpretação geométrica:
Se ( , ) 0f x y ≥ em D, então ( , )D
f x y dA∫∫ fornece o volume do sólido
delimitado superiormente pelo gráfico de f, inferiormente pela região D e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de D.
Propriedades: Sejam 2, :f g D ⊂ →R R funções
integráveis em D e seja c uma constante. Valem as seguintes propriedades:
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
1) ( , ) ( , )D D
c f x y dxdy c f x y dxdy=∫∫ ∫∫
2) [ ]( , ) ( , ) ( , ) ( , )D D D
f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdy+ = +∫∫ ∫∫ ∫∫
3) Se 21 DDD ∪= , onde D1 e D2 são regiões não superpostas
(intersecção vazia), então
1 2
( , ) ( , ) ( , )D D D
f x y dx dy f x y dx dy f x y dxdy= +∫∫ ∫∫ ∫∫
Vejamos então como calcular uma integral dupla sobre uma região D, considerando as seguintes situações:
SITUAÇÃO 1: D é uma região retangular, ou seja,
( ) 2D , : ex y a x b c y d= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤R .
Neste caso,
( , ) ( , ) ( , ) ( , )d b d b
D D c a c a
f x y dA f x y dx dy f x y dx dy f x y dx dy
= = =
∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
EXEMPLO Calcule ( ) D
y x dy dx−∫∫ na região D definida por:
1 ≤ x ≤ 2 e 3 ≤ y ≤ 4. Solução
Inicialmente desenhamos a região D, como na figura abaixo.
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 295
( , ) ( , ) ( , ) ( , )f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdy
são regiões não superpostas
Vejamos então como calcular uma integral dupla sobre uma
( , ) ( , ) ( , ) ( , )f x y dA f x y dx dy f x y dx dy f x y dx dy
na região D definida por:
296 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Escreva a integral dada e coloque os limites de integração.
2 4
1 3( ) ( )
D
y x dydx y x dy dx− = −∫∫ ∫ ∫
Integre em relação à y.
422 4 2
1 3 13
( ) ( ) 2
y
D y
yy x dydx y x dy dx xy dx
=
=
− = − = −
∫∫ ∫ ∫ ∫
Aplique o TFC e simplifique.
422 2
1 13
7( )
2 2
y
D y
yy x dydx xy dx x dx
=
=
− = − = −
∫∫ ∫ ∫
Integre em relação à x.
222
11
7 7( )
2 2 2
x
D x
xy x dydx x dx x
=
=
− = − = −
∫∫ ∫
Aplique o TFC e simplifique.
22
1
7 6( ) 5 2.
2 2 2
x
D x
xy x dydx x
=
=
− = − = − =
∫∫
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
SITUAÇÃO 2: x varia entre dois valores constantes e y entre duas
funções contínuas, ou seja,
( ) ( ) ( ) 21 2D , : ex y a x b y x y y x= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤R ,
onde y1 e y2 são funções contínuas em [a,b].
( ) ( )( )
( )2
1
, , .b y x
a y xD
f x y dydx f x y dydx=∫∫ ∫ ∫
EXEMPLO 1 Calcule onde D é a região delimitada
pelos gráficos de y1 = x2 e y2 = x + 2. Solução
Faça o gráfico para visualizar a região de integração.
Faça y1 = y2 para encontrar as intersecções entre as duas “curvas”
D
xy dy dx∫∫
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 297
entre duas
onde D é a região delimitada
entre as duas “curvas”:
298 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
2 2 1 e 2x x x x= + ⇒ = − =
Escreva a integral dada e coloque os limites de integração.
2
2 2
1
x
xD
xydydx xydydx+
−=∫∫ ∫ ∫
Integre em relação à y.
22
222 2 2
1 1 2
y xx
xD y x
yxydydx xydydx x dx
= ++
− −=
= =
∫∫ ∫ ∫ ∫
Aplique o TFC e simplifique.
( )
2
2
2 2
1
222 2 3 2 5
1 1
14 4
2 2
x
xD
y x
y x
xydydx xydydx
yx dx x x x x dx
+
−
= +
− −=
= =
= = + + −
∫∫ ∫ ∫
∫ ∫
Integre em relação à x.
( )
2
2 2
1
24 3 2 62 3 2 5
11
1 14 4 4 4
2 2 4 3 2 6
x
xD
x
x
xydydx xydydx
x x x xx x x x dx
+
−
=
−=−
= =
= + + − = + + −
∫∫ ∫ ∫
∫
Aplique o TFC e simplifique.
2
2 2
1
24 3 2 6
1
1 1 3 454 4 12 .
2 4 3 2 6 2 4 8
x
xD
x
x
xydydx xydydx
x x x x
+
−
=
=−
= =
= + + − = − =
∫∫ ∫ ∫
1=−
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
EXEMPLO 2 Calcule a integral dupla na região D
limitada pelas retas x = 4, x = 1, y = 0 e pela curva
Solução
Inicialmente desenhamos a região D, como na figura abaixo.
Escreva a integral dada e coloque os limites de integração.
Integre em relação à y.
24 2 4 2
1 0 1 02 2
y xx
yD
xydydx xydydx xy dx=
= = = ∫∫ ∫ ∫ ∫
Aplique o TFC e simplifique.
24 42 2
1 102 4
y x
yD
xydydx xy dx x dx=
= = = ∫∫ ∫ ∫
Integre em relação à x.
434 2
11
42 4
3
x
D x
xxydydx x dx
=
=
= =
∫∫ ∫
Aplique o TFC e simplifique.
2 D
xy dy dx∫∫
2y x=
4 2
1 02 2
x
D
xydydx xy dy dx=∫∫ ∫ ∫
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 299
na região D
.
300 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
434 2
11
4 256 42 4 84.
3 3 3
x
D x
xxydydx x dx
=
=
= = = − =
∫∫ ∫
SITUAÇÃO 3: y varia entre dois valores constantes e x entre duas
funções contínuas, ou seja,
( ) ( ) ( ) 21 2D , : ex y x y x x y c y d= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤R ,
onde x1 e x2 são funções contínuas em [c,d].
( ) ( )( )
( )2
1
, , .d x y
c x yD
f x y dydx f x y dxdy=∫∫ ∫ ∫
EXEMPLO 3 Calcule onde D é a região
limitada por x = y2 e x - y = 2.
Solução
Inicialmente desenhamos a região D, como descrita na figuraabaixo.
(1 2 ) D
x dx dy+∫∫
entre duas
, como descrita na figura
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
Em seguida, precisamos achar as coordenadas y dos pontos de intersecções das curvas x = y2 e x - y = 2.
2 2 2 e 1y y y y= + ⇒ = = − .
Escreva a integral dada ecoloque os limites de integração.
( ) ( )2
2 2
11 2 1 2
y
yD
x dxdy x dxdy+
−+ = +∫∫ ∫ ∫
Integre em relação à x.
( ) ( )2 2
22 2 2 2
1 11 2 1 2
x yy
y x yD
x dxdy x dxdy x x dy= ++
− − = + = + = + ∫∫ ∫ ∫ ∫
Aplique o TFC e simplifique.
( ) 2
22 22 4
1 11 2 6 5
x y
x yD
x dxdy x x dy y y dy= +
− −= + = + = + − ∫∫ ∫ ∫
Integre em relação à y.
( )2 52 4
1
51 2 6 5 6
2 5
x
D x
y yx dxdy y y dy y
=
−=−
+ = + − = + −
∫∫ ∫
Aplique o TFC e simplifique.
( )22 5
1
5 1891 2 6 .
2 5 10
x
D x
y yx dxdy y
=
=−
+ = + − =
∫∫
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 301
dos pontos de
x dxdy x dxdy x x dy
x dxdy x x dy y y dy
2
1
x
x
=
=−
302 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
OBS: 1. Se f é contínua em D, a ordem da integração é irrelevante, ou seja, tanto faz integrar primeiro em relação à x e depois em relação à y, ou vice-versa, que o resultado será o mesmo. É importante observar, no entanto, que os limites do primeiro símbolo de integração (o mais externo) devem sempre ser os valores constantes. A escolha da ordem depende do grau de dificuldade em integrar em relação a cada uma das variáveis.
2. Para sabermos a ordem de integração mais conveniente, é essencial esboçar o gráfico da região de integração antes de tentar calcular uma integral dupla. 3. Às vezes, a escolha da ordem de integração é determinada pela natureza do integrando f(x,y). Pode ser muito difícil (ou mesmo impossível) calcular uma integral dupla numa determinada ordem, mas pode ser extremamente fácil fazê-se a ordem da integração for invertida.
EXEMPLO 4 Calcule
Solução
Observe que a integração é impossível nessa ordem. Portanto, vamos tentar invertê-la. Para inverter a ordem de integração, precisamos primeiramente esboçar o gráfico da região de integração.
21 2
0 2 4 .x
ye dx dy∫ ∫
é contínua em D, a ordem da integração é irrelevante, e depois em
versa, que o resultado será o mesmo. É importante observar, no entanto, que os limites do primeiro símbolo de integração (o mais externo) devem sempre ser os
grau de ão a cada uma das variáveis.
Para sabermos a ordem de integração mais conveniente, é essencial esboçar o gráfico da região de integração antes de
Às vezes, a escolha da ordem de integração é determinada ). Pode ser muito difícil (ou
mesmo impossível) calcular uma integral dupla numa -lo
integração é impossível nessa ordem. Portanto, ração,
esboçar o gráfico da região de integração.
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
Assim, nessa região, observamos que y varia de 0 (eixo-x) até a reta
,2
xy = enquanto x varia de 0 até 2.
2 2
22
1 2 22
0 2 0 0
2 22 4
0 00
4 4
4 4 1.8
xx x
y
x xyx
y
e dxdy e dydx
xee y dx dx e
=
=
= =
= = = −
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
EXEMPLO 5 Calcule
Solução
Tal como está, não sabemos calcular esta integral em x. Pinvertendo a ordem de integração, obtemos:
[ ]
22 22 2 25 5 4 5
0 0 0 00
32 32
00
1cos cos cos
2 2
1 1 1cos sen sen32 0,055.
10 10 10
y xx
y
u
u
yy x dydx x dx x x dx
u du u
=
=
=
=
= = =
= = = ≈
∫ ∫ ∫ ∫
∫
4 25
0
cosy
y x dxdy∫ ∫
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 303
) até a reta
. Porém,
cos sen sen32 0,055.
y x dydx x dx x x dx= = =
= = = ≈
304 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
EXEMPLO 6 Calcule .
Solução
Análogo aos exemplos anteriores, devemos inverter a ordem de integração, pois da forma como está não é possível calcular a integral dada.
[ ]
( )
229 3 3 33 3 3
0 0 0 0 0
3 27 272 300 0
sen sen sen
1 1sen sen cos
3 31
cos27 1 .3
y xx x
y y
u
u
x dxdy x dxdy y x dx
x x dx u du u
=
=
=
=
= = =
= = = − =
= − −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
OBS: Podemos determinar a área de regiões planas utilizando integrais duplas, considerando para isso, f (x,y) = 1, ou seja,
AD = . (Por quê?)
EXEMPLO 7 Calcule a área da região plana limitada pela parábola y = x - x 2 e a reta x + y = 0.
9 33
0
sen( )y
x dxdy∫ ∫
D
dA∫∫
anteriores, devemos inverter a ordem de calcular a
Podemos determinar a área de regiões planas utilizando ) = 1, ou seja,
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
Solução
Inicialmente observamos que as intersecções das duas funções ocorrem em x = 0 e x = 2. Logo, estes serão os limites de integração para x, uma vez que o gráfico nos indica que podemos integrar primeiro em y e depois em x.
22
0
4A
3
x x
D xD
dA dydx−
−= = =∫∫ ∫ ∫ unidades de área.
EXEMPLO 8 Determine a área da região delimitada pelos
gráficos de e .
Solução
As intersecções das duas funções ocorrem em x = -3 e Observando o gráfico da região notamos que é mais simples integrar primeiro em relação à y e depois em relação à x. Assim, a área da região é dada por:
22 16y x= − 2 4 0x y+ − =
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 305
Inicialmente observamos que as intersecções das duas funções = 2. Logo, estes serão os limites de integração
, uma vez que o gráfico nos indica que podemos integrar
Determine a área da região delimitada pelos
3 e x = 4. Observando o gráfico da região notamos que é mais simples integrar
. Assim, a área da
306 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
2284 4
23 32
2
43 2
3
8 22 2
6 28,6 unidades de área.6 4
x
x
x
x
x xA dydx dx
x xx
−
− −−
=
=−
= = − − + =
= − + =
∫ ∫ ∫
EXEMPLO 9 Determine a área da região delimitada pelos
gráficos de .
Solução
Observando o gráfico da região, notamos que é mais fácil integrar primeiro em relação à x e depois em relação à y, uma vez que se optarmos por integrar em y primeiro, teremos que dividir a região em duas, já que as funções mudam de comportamento no intervalo de variação de x. Assim, encontramos as intersecções igualando os valores de x, obtendo y = 0 e y = 1. E procedemos como nos casos anteriores:
( )3
12 41 2 1 3
0 00
A 2 22 4
1,25 unidades de área.
yy
yy
y ydxdy y y dy y
=−
=
= = − − = − − =
=
∫ ∫ ∫
3, 2, 0x y x y y= + = =
6 28,6 unidades de área.
Observando o gráfico da região, notamos que é mais fácil integrar , uma vez que se
primeiro, teremos que dividir a região em duas, já que as funções mudam de comportamento no intervalo
. Assim, encontramos as intersecções igualando os E procedemos como nos casos
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 307
EXERCÍCIOS 5.2
1. Calcule onde D é a região do 1o quadrante limitada pela
curva y2 = x3 e a reta y = x.
2. Calcule onde D é a região no 1o quadrante limitada por
xy = 16 e as retas y = x, y = 0 e x = 8.
3. Inverta a ordem de integração.
a) b)
4. Determine se cada uma das afirmações é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. (a) Mudar a ordem de integração, às vezes altera o valor de uma integral dupla.
(b)
5. Inverta a ordem de integração e calcule as integrais abaixo:
a) b)
c) d)
6. Calcule as integrais das funções abaixo, na região dada. Esboce a região.
a) ;
b) ;
c) ;
D
dA∫∫
2
D
x dA∫∫
1
0 0( , )
xf x y dy dx∫ ∫
1
0 - ( , )
y
yf x y dx dy∫ ∫
5 6 6 5
3 2 2 3 x dy dx x dx dy=∫ ∫ ∫ ∫
2
2 42
0
cosy
y x dx dy∫ ∫ln
1 0
e x
y dy dx∫ ∫
3
8 2
70 16y
ydx dy
x+∫ ∫
2 24 2
0
cos( )x
y xy dy dx∫ ∫
( , ) xyf x y x e= 2( , ) : 1 3, 0 1D x y x y= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤R
( , ) cos( )f x y x xy= 2( , ) : 0 2, 0 / 2D x y x y= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ πR
( , ) lnf x y y x= 2( , ) : 1 2, 0 D x y x y x= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤R
308 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
d) ; D : região delimitada por y = 0,
e
e) ; D : região delimitada por x = y2 +1, x = 5,
y = -1 e y = 2
f) ; D : região delimitada por y = x, y = 1/x, e x = 2
g) ; D : região delimitada por y = x2 –1 e
y = 1- x2
h) ; D : região delimitada por x = 4y, y = 0 e x = 4
i) ; D : região delimitada por y = x2 e y = 3x – 2
j) ; D : região delimitada por y = - x, y = 4x e
k) ; D : região delimitada por
7. Determine a área da região limitada pelos gráficos de:
a) , sen , 0,2
xy e y x x xπ
= = = =
b)
c)
d)
( , ) sen( )f x y x y x=
2x =
πy x=
( , ) 2f x y x y= +
2
2( , )
xf x y
y=
( , )f x y x y= +
2
( , ) xf x y e−=
( , ) 2f x y y=
( , )f x y x=
3 5
2 2y x= +
( , )f x y x=
1 , ln 1x e x y≤ ≤ ≤ ≤
,2
yx x y= =
2 22 , 1y x y x= = +21, 2 6y x y x= − = +
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 309
Aplicações das Integrais Duplas
Volume de uma Região Tridimensional
Considere uma função z = f(x,y) que seja contínua e não-negativa em uma região fechada D do plano-xy. A porção do gráfico acima da região D e abaixo da superfície z = f(x,y), determina uma região tridimensional – um sólido S (ver figura).
Se f(x,y) ≥ 0 para qualquer (x,y) D, isso quer dizer que o sólido está acima do plano-xy, no espaço tridimensional, e o valor da integral dupla
( )V , onde ouD
f x y dA dA dxdy dA dydx= = =∫∫
será um número real definido como sendo o volume do sólido S.
Se f(x,y) ≤ 0 para qualquer (x,y) D, significa que o sólido está abaixo do plano xy, no espaço tridimensional, e o valor da integral dupla (com sinal negativo)
( )V , onde ouD
f x y dA dA dxdy dA dydx= − = =∫∫
será um número real definido como sendo o volume do sólido S.
∈
∈
310 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Agora, no caso do sólido ficar parcialmente acima e parcialmente abaixo da região D, definimos o volume como sendo a integral dupla correspondente à parte de cima menos a integral dupla correspondente à parte de baixo do sólido em questão. EXEMPLO 1 Determine o volume da região tridimensional do primeiro octante limitada pelo plano z + y = 3 - 3x. Solução
Primeiramente escreva a equação da superfície na forma z = f(x,y) e faça um esboço do sólido (se possível).
z = 3 – 3x - y
Em seguida, faça um esboço da região D no plano-xy. Para isso, considere z = 0, para determinar a equação y = 3 – 3x no plano, x = 0 e y = 0 (a região está no primeiro octante), obtendo assim as “curvas” que irão delimitar a região D.
Agora, no caso do sólido ficar parcialmente acima e parcialmente abaixo da região D, definimos o volume como sendo a integral dupla correspondente à parte de cima menos a integral dupla
Determine o volume da região tridimensional do
) e
. Para isso, = 0
= 0 (a região está no primeiro octante), obtendo assim as
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
( )
( )
( )
3 321 3 3 1
0 0 00
131 2 2
00
3
3 3 3 32
1 19 18 9 9 9 9
2 2 3
3unidades .
2
y xx
y
x
x
yV x y dydx y xy dx
xx x dx x x
= −−
=
=
=
= − − = − − =
= − + = − +
=
∫ ∫ ∫
∫
OBS:
Note que a ordem de integração dy dx, no exemplo 1, foi escolhida ao acaso. Nesse caso, poderíamos ter utilizado a ordem de integração dx dy, com y como variável externa, sem nenhum problema.
O exemplo a seguir, mostra-nos a importância de se escolher uma ordem de integração adequada para o cálculo de uma integral dupla.
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 311
, no exemplo 1, foi escolhida ao acaso. Nesse caso, poderíamos ter utilizado a
como variável externa, sem
nos a importância de se escolher cálculo de uma integral
312 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
EXEMPLO 2 Determine o volume do sólido abaixo da
superfície, definida pela função ( )2
, ,xz f x y e−= = limitado pela
região D do plano-xy, definida por y = 2x e x = 2. Solução
Primeiramente, fazemos um esboço da região D no plano – xy.
As duas possíveis ordens de integração são as seguintes:
2 24 2 2 2
0 0 02
ouxx x
y e dxdy e dydx− −∫ ∫ ∫ ∫
Observe que para calcular a primeira integral, é preciso conhecer a
antiderivada de 2
,xe− que não pode ser expressa por nenhuma função
elementar.
Já a segunda integral pode ser determinada facilmente.
( ) ( )
2 2
2 2
2
22 2 2
0 0 0 0
2 2
0 0
234 0
40
2 0 2
1 12 1 unidades .
2
y xx x x
y
x x
xx
x
V e dydx e y dx
xe dx xe dx
e e ee
=− −
=
− −
=− −
=
= = =
= − = =
= − = − − − = −
∫ ∫ ∫
∫ ∫ 2
2
u x
du xdx xdx
= −
= − ⇒
Determine o volume do sólido abaixo da
limitado pela
Observe que para calcular a primeira integral, é preciso conhecer a
que não pode ser expressa por nenhuma função
2
dudu xdx xdx = −
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
EXEMPLO 3 Calcule o volume do sólido que está acima do
quadrado D = [0,2] × [0,2] e abaixo do parabolóide elíptico dado
por .
Solução
Como a integral dupla fornece o volume do sólido abaixo do gráfico da função e acima da região de integração, já que z > 0 para todo (x,y) em D, basta integrar a função dada, sobre a respectiva região, que obteremos o volume solicitado. Como a região é retangular e a função é simples de ser integrada tanto em x quanto em y, a ordem de integração não importa. Assim,
( ) ( )
( ) ( )
2 22 2 2 2
0 0
232 22 2
0 00
23
0
16 2 16 2
816 2 2 16 2
3 3
8 16 32 4832 4 64 64 64 16 48.
3 3 3 3 3
D
x
x
y
y
V x y dA x y dxdy
xy x y
yy
=
=
=
=
= − − = − − =
= − − = − − =
= − − = − − = − = − =
∫∫ ∫ ∫
∫ ∫
EXERCÍCIOS 5.3
1. Determine o volume do sólido limitado pelas equações:
a) 2 2, 4z x y x y= + + = (primeiro octante)
b) 23 , 0, 0, 0, 4.z x z x y y= − = = = =
2. Determine o volume do sólido contido abaixo do parabolóide
circular e acima do retângulo R = [-2,2] × [-3,3].
3. Determine o volume do sólido delimitados pela superfície2z x x y= + e pelos planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1 e z = 0.
2 216 2z x y= − −
2 2z x y= +
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 313
Calcule o volume do sólido que está acima do
[0,2] e abaixo do parabolóide elíptico dado
Como a integral dupla fornece o volume do sólido abaixo do gráfico > 0 para todo
região, que obteremos o volume solicitado. Como a região é retangular e a
, a ordem
32 4 64 64 64 16 48.= − − = − − = − = − =
Determine o volume do sólido contido abaixo do parabolóide
3,3].
Determine o volume do sólido delimitados pela superfície
= 0.
314 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Peso, Momento e Centro de Gravidade
Suponha que uma chapa ocupe a região limitada D do plano-xye que o peso específico (densidade) da chapa em (x,y) seja dado por
. O peso (P) da chapa é dado por :
( ),D
P x y dxdyσ= ∫∫
O momento da chapa em relação ao eixo-y, é dado por:
( ),yD
M x x y dxdyσ= ∫∫
O momento da chapa em relação ao eixo-x , é dado por:
( ),xD
M y x y dxdyσ= ∫∫
O centro de gravidade da chapa é o ponto onde
e .y xM M
x yP P
= =
Fisicamente, o centro de gravidade é o ponto em que a massa total da chapa poderia estar concentrada, sem alterar seu momento em relação a qualquer dos eixos. Quando o peso específico (densidade) é constante, ou seja, quando a massa da chapa estiver uniformemente distribuída, o centro de massa será o centro geométrico da região D e será chamado de centróide .
EXEMPLO Uma chapa plana D no plano xy é limitada pelo
gráfico de 3y x= , pelo eixo x e a direita pela reta vertical x = 8. O
peso específico da chapa no ponto (x,y) é dado por ( ),x y kxσ =
onde k > 0 é uma constante. Determine: a) O peso da chapa;
( , )x yσ
( , )x y
xy ) seja dado por
é o ponto em que a massa total da chapa poderia estar concentrada, sem alterar seu momento em relação a qualquer dos eixos. Quando o peso específico (densidade) é constante, ou seja, quando a massa da chapa estiver
assa será o centro
é limitada pelo
= 8. O
x y kx=
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
b) Os momentos Mx e My ;
c) O centro de gravidade. Solução
a) ( )38
0 0, 54,86 u.m
x
D
P x y dxdy kxdydx kσ= = ≈∫∫ ∫ ∫
b) ( )38
0 0, 48
x
xD
M y x y dxdy kxy dydx kσ= = ≈∫∫ ∫ ∫
( )38 2
0 0, 307,2
x
yD
M x x y dxdy kx dydx kσ= = ≈∫∫ ∫ ∫
c) ( )C.G. , onde 5,6 e 0,87.x y x y= ≈ ≈
EXERCÍCIOS 5.4
1. Calcule o Peso e o centro de gravidade de uma chapa plana que
ocupa a região D num plano-xy e tem peso específico
(x,y):
a) A região D é a quarta parte do círculo x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0,
= xy.
( , )x yσ
( , )x yσ
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 315
Calcule o Peso e o centro de gravidade de uma chapa plana que
em
0, y ≥ 0;
( , )x y
316 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
b)A região D é o retângulo 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1; = x + y2.
2. Determine o centróide da região D limitada por y = x e y = x2.
Momento de Inércia
O momento de inércia de um corpo em relação a um eixo é sua capacidade de resistir à aceleração angular em torno desse eixo. O momento de inércia de um corpo em relação a um eixo é dado por I = mr2, onde m é o peso do corpo e r sua distância em relação ao eixo. Assim, os momentos de inércia de uma chapa plana de peso
específico , ocupando a região D no plano-xy são definidos
por:
( ) 2,xD
I x y y dxdyσ= ∫∫ momento em relação ao eixo x
( ) 2,yD
I x y x dxdyσ= ∫∫ momento em relação ao eixo y
Valor Médio de uma função f (x,y)
Para calcular o valor médio de uma função de duas variáveis em uma região retangular D, integramos a função na região
D e dividimos o resultado pela área de D, ou seja,
( )1
,área de
D
VM f x y dAD
= ∫∫
EXEMPLO Calcule o valor médio da função sobre a
região D: retângulo com vértices (0,0), (4,0), (4,2), (0,2).
Solução
( , )x yσ
( , )x yσ
( ),f x y
( ),f x y x=
de um corpo em relação a um eixo é sua capacidade de resistir à aceleração angular em torno desse eixo. O momento de inércia de um corpo em relação a um eixo é dado por
sua distância em relação ao tos de inércia de uma chapa plana de peso
são definidos
Para calcular o valor médio de uma função de duas variáveis , integramos a função na região
sobre a
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 317
A área da região D é dada por
A = área de D = 4 2 8⋅ =
Portanto, o valor médio da função sobre a região D é:
( ) [ ]4 2 4 2
00 0 0
44 2
0 0
1 1 1,
8 8 8
1 1 162 2 unidades.
8 8 8
y
yD
x
x
VM f x y dA xdy dx xy dx
xdx x
=
=
=
=
= = = =
= = = =
∫∫ ∫ ∫ ∫
∫
EXERCÍCIOS 5.5
1. Calcule o momento de inércia Ix de uma lâmina ocupando a
região 2: 0 1 , 0 1D x y x≤ ≤ ≤ ≤ − , sabendo que o peso
específico no ponto (x,y) é ( ) 3, 3x y yσ = g/cm2 .
2. Calcule os momentos de inércia Ix e Iy de uma chapa plana que
ocupe a região D, com peso específico ( ),x yσ em (x,y).
a) D : limitada por y = x2 e y = x, ( ) 2, 15 .x y x yσ =
b) D : triângulo com vértices (1,1), (0,0), (-1,1); = 6.
3. Determine o valor médio da função ( ),f x y na região D dada.
a) ( ) ( ), 2 ; : 2 3 , 1 2f x y xy x y D x y= − − ≤ ≤ − ≤ ≤
( ),f x y
A
p
a
( , )x yσ
318 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
b) ( ), 6 ;f x y xy= D: é o triângulo de vértices (0,0) , (0,1) , (3,1).
c) ( ), ;f x y x= D é a região limitada por 24y x= − e y = 0.
d) ( )2
, ; : 0 1 , 0 2.x yf x y xye D x y= ≤ ≤ ≤ ≤
Integrais Triplas
A definição e conceito de integrais triplas são análogos aos de integrais duplas. As propriedades de integrais duplas também continuam válidas neste caso. A única diferença é que agora, considerando que a região de integração está contida em 3, o símbolo de integração dx dy dz representa o volume de um pequeno cubo de arestas dx, dy e dz, respectivamente.
Logo,
D D
dV dx dy dz=∫∫∫ ∫∫∫ representa o volume da região D.
Portanto, com o uso de integrais triplas, podemos calcular o volume de qualquer região tridimensional que seja delimitada por gráficos de funções de duas variáveis. Todavia, estes gráficos nem sempre são simples de serem construídos sem recursos computacionais e, por isso, limitaremos nossos estudos aos casos de
ℝ
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
fácil representação geométrica. Inicialmente vejamos como calcular uma integral tripla sobre uma região retangular:
Teorema de Fubini para Integrais Triplas:
Se f é uma função contínua em uma caixa retangular D = [
[c,d] × [r,s], então
( ) ( ), , , , .s d b
r c aD
f x y z dV f x y z dx dy dz=∫∫∫ ∫ ∫ ∫
A integral iterada do lado direito do teorema indica que primeiro integramos em relação à x (mantendo y e z constantes), em seguida integramos em relação à y (mantendo z constante) e finalmente em relação à z. Como no caso de integrais duplas, a ordem de integração não altera o resultado, ficando a escolha dependente do grau de dificuldade para integrar a função em relação a cada variável.
EXEMPLO 1 Calcule 2 312D
xy z dV∫∫∫ se D é dada por
.
Solução Como o grau de dificuldade para integrar a função é o mesmo para todas as variáveis, escolhemos, arbitrariamente, integrá-la na ordem dz dy dz, obtendo:
1 2, 0 3, 0 2x y z− ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 319
fácil representação geométrica. Inicialmente vejamos como calcular
Teorema de Fubini para Integrais Triplas:
= [a,b] ×
A integral iterada do lado direito do teorema indica que constantes), em
constante) e . Como no caso de integrais duplas, a
ordem de integração não altera o resultado, ficando a escolha dependente do grau de dificuldade para integrar a função em relação
Como o grau de dificuldade para integrar a função é o mesmo para la na ordem
320 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
( )
242 3 2 2 32 3 2 3 2
1 0 0 1 00
332 3 2 22
1 0 1 10
22
1
12 12 124
3 16 48 16 273
432 216 4 1 648.2
z
D z
y
y
x
x
zxy z dV xy z dz dy dx xy dydx
yxy dydx x dx x dx
x
=
− −=
=
− − −=
=
=−
= = =
= ⋅ = = =
= = − =
∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
EXEMPLO 2 Calcule ( )2 3
D
xy yz dV+∫∫∫ se
( ) 3, , : 1 1, 3 4, 0 2D x y z x y z= ∈ − ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ℝ .
Solução
Novamente o grau de dificuldade é mesmo para cada variável, então agora escolhemos dx dz dy, obtendo:
( ) ( )
( )
4 2 12 3 2 3
3 0 1
124 2 2 3
3 01
2 24 2 3 3
3 0
24 2 43 4
3 0 3 0
424
33
2
2 2
22
4
116 8 4 16 9 28.
2 2
D
x
x
z
z
y
y
xy yz dV xy yz dx dz dy
xy xyz dz dy
y yyz yz dz dy
yz dz dy yz dy
yy dy
−
=
=−
=
=
=
=
+ = + =
= + =
= + − + =
= = =
= = = − =
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
xy z dV xy z dz dy dx xy dydx
xy dydx x dx x dx
= = =
= ⋅ = = =
Novamente o grau de dificuldade é mesmo para cada variável, então
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
EXEMPLO 3 Mostre, usando integrais triplas, que o volume de um paralelepípedo de lados a, b e c, é dado por V = abc. Solução
Colocando o paralelepípedo em um sistema de coordenadas cartesianas de tal modo que o lado a esteja sobre o eixo x, o lado sobre o eixo y e o lado c sobre o eixo z, coincidindo um dos vértices com a origem do sistema, a fim de facilitar os cálculos, podemos então afirmar que o volume V é dado por:
[ ]
[ ] [ ]
00 0 0 0 0
0 00 0 0 0
c b a c b x a
xD
c b c cy b z c
y z
V dV dx dy dz x dy dz
a dy dz a y dz a b dz ab z abc
=
=
= =
= =
= = = =
= = = = =
∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
Portanto, V = abc.
OBS: As integrais triplas podem também ser definidas em uma região limitada genérica S do espaço tridimensional (um sólido) pelo mesmo método usado para integrais duplas. Os cálculos são análogos, porém como já foi dito, a dificuldade neste caso está em elaborar o desenho do sólido, uma vez que, na maioria das vezes, isso é necessário para visualizar os limites de integração. Assim, restringiremos nossos estudos a
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 321
Mostre, usando integrais triplas, que o volume de
Colocando o paralelepípedo em um sistema de coordenadas , o lado b
, coincidindo um dos vértices com a origem do sistema, a fim de facilitar os cálculos, podemos
.a dy dz a y dz a b dz ab z abc
As integrais triplas podem também ser definidas em uma do espaço tridimensional (um
sólido) pelo mesmo método usado para integrais duplas. Os cálculos são análogos, porém como já foi dito, a dificuldade
r o desenho do sólido, uma vez que, na maioria das vezes, isso é necessário para visualizar os limites de integração. Assim, restringiremos nossos estudos a
322 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
casos simples, de fácil visualização, lembrando que os demais casos podem ser estudados nos livros indicados nas referências bibliográficas.
Seja f uma função contínua sobre um sólido S em 3, o qual
está contido entre os gráficos de duas funções contínuas de x e y, ou seja,
S = (x,y,z) œ 3 : (x,y) œ D, u1(x,y) ≤ z ≤ u2(x,y),
onde D é a projeção de S sobre o plano-xy, como mostrado na figura abaixo.
Então, a integral de f sobre S é dada por:
( ) ( )( )
( )2
1
,
,, , , , .
u x y
u x yS D
f x y z dV f x y z dz dA = ∫∫∫ ∫∫ ∫
EXEMPLO 4 Calcule onde S é o tetraedro sólido
delimitado pelos quatro planos x = 0, y = 0, z = 0 e x + y + z = 1.
Solução
ℝ
,S
z dV∫∫∫
casos simples, de fácil visualização, lembrando que os demais indicados nas
, o qual , ou
, como mostrado na figura
é o tetraedro sólido
= 1.
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 323
Para montarmos a integral tripla é recomendável desenhar dois diagramas: um da região sólida S e outro de sua projeção D no plano- xy.
Observe que a fronteira inferior do tetraedro é o plano z = 0 e a sua fronteira superior é o plano z = 1 – x – y. Então, fazemos u1(x,y) = 0 e u2(x,y) = 1 – x – y na fórmula acima. Note que os planos z = 0 e z = 1 – x – y se interceptam na reta x + y = 1 (ou y = 1- x) no plano-xy, conforme pode ver na figura abaixo. Assim, a integral torna-se:
( )( )
( )( )
121 1 1 1 1
0 0 0 0 00
131 1 12
0 0 00
141 3
00
2
11 11
2 2 3
11 1 11 .
6 6 4 24
z x yx x y x
S z
y x
x
y
x
x
zz dV z dz dy dx dy dx
x yx y dy dx dx
xx dx
= − −− − − −
=
= −
−
=
=
=
= = =
− − = − − = − =
− = − = − =
∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
OBS: Lembre-se que os limites de integração da integral de dentro contêm no máximo duas variáveis; os limites de integração da
A
p
a
324 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
integral do meio contém no máximo uma variável e os limites de integração de fora devem sempre ser constantes.
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
Sistema de Coordenadas Polares
Até agora, a localização de um ponto no plano foi especificada através de suas coordenadas cartesianas (retangulares). Contudo, existem algumas curvas que parecem ter uma afinidade particular com a origem de um sistema. Tais curvas são melhores descritas como trajetória de um ponto móvel, cuja posição é especificada por sua direção a partir da origem e por sua distância até a origem. É exatamente isso que fazem as coordenadas polares.
Um sistema de coordenadas polares num plano consiste de um ponto fixo O, denominado de pólo (ou origem) e de um eixo (que parte do pólo), denominado eixo polar, que usualmente é horizontal e coincide com o eixo-x no sistema de coordenadas cartesianas.
Assim, um ponto em um sistema de coordenadas polares é determinado pela sua distância em relação à origem do sistema e pela sua direção em relação ao eixo polar.
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 325
Observe que:
θθθθ é medido no sentido anti-horário se θθθθ > 0
θθθθ é medido no sentido horário se θθθθ < 0
(r,θθθθ) denominam-se coordenadas polares do ponto (x,y)
θθθθ = 0 (semi-eixo positivo dos x) denomina-se eixo polar
r = 0 (origem) denomina-se pólo
OBS:
1. As coordenadas polares de um ponto não são únicas (Por quê?).
2. A coordenada radial r de um ponto P(r,θ) é não-negativa, pois representa a distância de P ao pólo. Contudo, existem situações em que r aparece negativo e, nesse caso, subentende-se que o sinal negativo de r significa que, ao invés de sairmos da origem no sentido indicado pelo lado terminal
de θ, dirigimo-nos a partir da origem no sentido oposto a ele, ou seja, o ponto P estará sobre a extensão do lado terminal do
ângulo θ. Assim, o ponto (-r, θ) coincide com o ponto
(r, θ + p).
326 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
3. A relação entre coordenadas polares e cartesianas é dada pelas equações
x = r cos θ e y = r sen θ
de onde segue que:
r2 = x2 + y2 e tgy
xθ =
EXEMPLO 1 Sabendo que as coordenadas cartesianas de um
ponto (x,y) são (-1, ) determine um par de coordenadas polares para esse ponto.
3 ) determine um par de coordenadas polares
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
Solução
Uma vez conhecidos x e y, determinamos r através da relação 2 2 2r x y= + . Assim, temos que:
( ) ( )( )
22 2 21 3 4
2 vamos considerar 2
r r
r r
− + = ⇒ =
⇒ = ± =
Para determinarmos o ângulo θ utilizamos as equações x = r cos
e/ou y = r sen θ :
1 2 41 2cos cos 120 240 .
2 3 3ou
π πθ θ θ θ− = ⇒ = − ⇒ = = = =
Aqui temos duas possibilidades para nos auxiliar a decidir qual valor
de θ é o correto:
1ª possibilidade: utilizamos a expressão do seno:
3 23 2 sen θ sen θ θ 60 ou θ 120 .
2 3 3
π π= ⇒ = ⇒ = = = =
De onde concluímos que 2
.3
πθ =
2ª possibilidade: Observamos que 3 0y = > e, se 240 ,θ = =
então o ponto está no terceiro quadrante, ou seja, y < 0.
Logo, só poderemos ter 2
.3
πθ =
( )2
, 2, .3
rπ
θ
∴ =
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 327
através da relação
cos θ
1 2 41 2cos cos 120 240 .
2 3 3
π π= = = =
Aqui temos duas possibilidades para nos auxiliar a decidir qual valor
3 2120 .
2 3 3
π π= = = =
4240 ,
3
π= =
328 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
EXEMPLO 2 Converta o ponto 2,4
Pπ
de coordenadas
polares para cartesianas. Solução
Como 2r = e 4
πθ = , segue que 2 cos e 2 sen ,
4 4x y
π π= =
ou seja,
2 22 1 e 2 1.
2 2x y= = = =
Portanto, em coordenadas cartesianas, o ponto P é representado por P(1,1).
EXERCÍCIOS 5.6
1. Represente graficamente os pontos cujas coordenadas cartesianas são dadas. Determine dois pares de coordenadas polares para cada um destes pontos:
(-2,2) ; (4,0) ; (0,4) ; (3,3) ; (-1, -1) ; (-1,0) ; (1,2) ; (0, -2) ; (5, -4).
2. Represente graficamente os pontos cujas coordenadas polares são dadas. Então encontre as coordenadas cartesianas do ponto:
(3, p/2) ;
; (-1, p/3) ; (4, 3p) ; (-2, -5p/6). 2 2,34
π
2 cos e 2 sen ,4 4
π π
Portanto, em coordenadas cartesianas, o ponto P é representado por
Represente graficamente os pontos cujas coordenadas cartesianas são dadas. Determine dois pares de coordenadas polares para cada
(1,2) ;
Represente graficamente os pontos cujas coordenadas polares são
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 329
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
A mudança de coordenadas cartesianas para polares pode facilitar muito o cálculo de determinadas integrais, especialmente
aquelas em que aparecem expressões quadráticas, como ,
e assim por diante.
Note que se trata de uma mudança de coordenadas e não de variáveis, como visto no Cálculo de uma variável; por isso o procedimento é um pouco diferente. A dedução do procedimento para a mudança de coordenadas no cálculo de uma integral dupla não será apresentada aqui, mas advém da definição de integrais definidas em uma região polar e é dada pelo seguinte resultado:
Mudança para coordenadas polares em uma integral dupla:
Se f é contínua em uma região polar R, constituída por todos os pontos da forma
( ) ( ) 0 1 0 1, cos , , 0x y r r sen onde r r r eθ θ θ θ θ= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
2 2x y+
2 2a x−
330 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
então,
( ) ( )1 1
0 0
, cos , .r
rR
f x y dA f r r sen r dr dθ
θθ θ θ=∫∫ ∫ ∫
Cuidado!!! Não se esqueça do fator adicional r que aparece antes
de dr dθ.
EXEMPLO 1 Usando coordenadas polares calcule 2 2x y
R
e dA+∫∫
onde R é a região do primeiro quadrante interior ao círculo 2 2 4x y+ = e exterior ao círculo 2 2 1.x y+ =
Solução
que aparece antes
e dA
é a região do primeiro quadrante interior ao círculo
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
Observando a representação geométrica da região, notamos que
varia de r0 = 1 a r1 = 2 e que θ varia de θ0 = 0 a θ1 = p/2.
Da mudança de coordenadas cartesianas para polares, temos que2 2 2 .x y r+ =
Da mudança de coordenadas na integração, temos que:
dA = r dr dθ.
Assim,
( )
( ) ( )
2 2 22 4 42 2 20 1 0 1 0
4 4
1
2 2
1.
2 2 4
x y r u
R
due dA e r drd e d e e d
e e e e
π π π
θ θ θ
π π
+ = = = − =
= − = −
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
EXEMPLO 2 Calcule ( )23 9
3 02
xx y dydx
−
−+∫ ∫ usando
coordenadas polares. Solução
Observando a figura, notamos que r varia de r0 = 0 a r1 = 3 e que
varia de θ0 = 0 a θ1 = p.
Portanto, fazendo x = r cos θ, y = r sen θ e dx dy = r teremos:
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 331
Observando a representação geométrica da região, notamos que r
Da mudança de coordenadas cartesianas para polares, temos que:
e dA e r drd e d e e dθ θ θ= = = − =
= 3 e que θ
dr dθ,
332 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
( ) ( )23 9 3 2
3 0 0 02 2cos sen 18.
xx y dydx r drd
πθ θ θ
−
−+ = + =∫ ∫ ∫ ∫
EXERCÍCIOS 5.7
1. Mostre, usando coordenadas polares, que a área de um círculo de
centro na origem e raio r é dada por A = π r2 .
2. Calcule sobre a região R constituída por todos os pontos
cujas coordenadas polares satisfazem as equações: 0 ≤ θ ≤ π/4 e
2 cosθ ≤ r ≤ 2.
3. Calcule as integrais abaixo, colocando-as em coordenadas polares:
a) , onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo
círculo e pelas retas e .
b) , onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelos
círculos e
c) , onde .
d) , onde R é a região limitada pelo semi-círculo
e o eixo-y.
dAR
x∫∫
R
ydA∫∫2 2 9x y+ = y x= 0y =
R
xdA∫∫2 2 4x y+ = 2 2 25.x y+ =
2 2
R
x y dA+∫∫ ( ) 2 2 2 , :1 9, 0R x y x y y= ∈ ≤ + ≤ ≥ℝ
2 2x y
R
e dA− −∫∫
24x y= −
Mostre, usando coordenadas polares, que a área de um círculo de
constituída por todos os pontos
/4 e
as em coordenadas
é a região do primeiro quadrante limitada pelo
é a região do primeiro quadrante limitada pelos
círculo
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 333
Coordenadas Cilíndricas e Esféricas
Nesta seção iremos estudar dois novos tipos de sistemas de coordenadas no espaço tridimensional que são bastante úteis no estudo de superfícies com simetria e que têm aplicações no estudo do movimento rotacional em torno de um eixo.
No estudo de coordenadas retangulares vimos que são necessárias três coordenadas para estabelecer a localização de um ponto no espaço tridimensional. Nas ilustrações abaixo podemos ver as coordenadas retangulares (x,y,z) de um ponto P, as coordenadas
cilíndricas (r,θ,z) de P e as coordenadas esféricas (ρ,θ,φ) de P.
334 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Coordenadas cilíndricas
As coordenadas cilíndricas são úteis em problemas que envolvem simetria em torno de um eixo. Por exemplo, o cilindro
circular com equação 2 2 2x y c+ = tem como eixo de simetria o eixo
z (esta é a razão para o nome coordenadas “cilíndricas”).
No sistema de coordenadas cilíndricas, um ponto P no espaço
tridimensional é representado pela tripla ordenada (r,θ,z), onde r e são as coordenadas polares da projeção de P sobre o plano-xy e z é a distância direta do plano-xy ao ponto P (ver figura).
Para converter de coordenadas cilíndricas para coordenadas retangulares usamos as equações
cos ; sen ;x r y r z zθ θ= = = ,
enquanto para converter de coordenadas retangulares para cilíndricas usamos
2 2 2 ; tg ; .y
r x y z zx
θ= + = =
EXEMPLO 1
As coordenadas cilíndricas são úteis em problemas que . Por exemplo, o cilindro
tem como eixo de simetria o eixo
no espaço
e θ é a
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 335
(a) Determine as coordenadas retangulares do ponto com
coordenadas cilíndricas .
(b) Determine as coordenadas cilíndricas do ponto com coordenadas retangulares (3, -3, -7). Solução (a) A partir das fórmulas de conversão das coordenadas cilíndricas
para coordenadas retangulares, com r = 4, 6
πθ = e z = 3, obtemos:
3 14cos 4 2 3 ; 4sen 4 2 ; 3
6 2 6 2x y z
π π= = = = = ⋅ = =
Portanto, as coordenadas retangulares do ponto são:
( ) ( ), , 2 3,2,3 .x y z =
(b) Da fórmula de conversão r2 = x2 + y2 obtemos:
( )223 3 3 2.r = + − =
Por outro lado,
3tg 1.
3
y
xθ
−= = = −
Como x = 3 > 0 e y = -3 < 0, o ponto (x,y) está no terceiro
quadrante e, conseqüentemente, 7
2 , .4
k kπ
θ π= + ∈ℕ Ainda,
7.z = −
Portanto, temos um conjunto de coordenadas cilíndricas dado por
73 2, , 7 .
4
π −
( , , ) (4, ,3)6
r z =π
θ
336 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Outro conjunto de coordenadas é 3 2, , 7 .4
π− −
Da mesma maneira que para coordenadas polares, existem infinitas escolhas possíveis para coordenadas cilíndricas.
Coordenadas esféricas
O sistema de coordenadas esféricas é especialmente útil em problemas onde existe simetria em relação a um ponto. Por exemplo, uma esfera com centro na origem e raio c (esta é a razão para o nome coordenadas “esféricas”).
No sistema de coordenadas esféricas, um ponto P no espaço tridimensional (ver figura abaixo) é representado pela tripla
ordenada (ρ, θ, φ), onde ρ = |OP| é a distância da origem a P, θ é o
mesmo ângulo que em coordenadas cilíndricas e φ é o ângulo entre o eixo positivo z e o segmento de reta OP. Note que
ρ ¥ 0 e 0 ≤ φ ≤ p.
Para fazermos a conversão das coordenadas esféricas para retangulares, e vice-versa, usamos as seguintes fórmulas:
sen cos
sen sen sen
cos
x
r y
z
ρ φ θ
ρ φ ρ φ θ
ρ φ
=
= ⇒ = =
2 2 2 2x y zρ = + +
coordenadas polares, existem
O sistema de coordenadas esféricas é especialmente útil em . Por
(esta é a razão
no espaço tridimensional (ver figura abaixo) é representado pela tripla
é o
é o ângulo entre o
Para fazermos a conversão das coordenadas esféricas para
sen cos
sen sen sen
ρ φ θ
ρ φ ρ φ θ
ρ φ
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
EXEMPLO 2 (a) Determine as coordenadas retangulares do ponto com
coordenadas esféricas ( ) ( ), , 1, ,0ρ θ φ π= .
(b) Determine as coordenadas esféricas do ponto com coordenadas
retangulares ( )1, 3, 2 .−
(a) A partir das fórmulas de conversão das coordenadas esféricas
para coordenadas retangulares, com ρ = 1, θ = π e φ = 0, obtemos:
1sen0 cos 0
1sen0 sen 0
1cos0 1
x
y
z
π
π
= =
= = = =
Assim, as coordenadas retangulares do ponto são (x,y,z) = (0,0,1).
(b) Pelas fórmulas de conversão de retangulares para esféricas temos:
(
2 2 2 1 3 4 2 2
tg 3 pois > 0 e, portanto, 06
2 2 5cos
2 42 2
x y z
yy
x
z
ρ
πθ θ θ π
πφ φ
ρ
= + + = + + =
= = ⇒ = < <
−= = = − ⇒ =
Portanto, as coordenadas esféricas do ponto ( )1, 3, 2− são:
( )5
, , 2 2, , .6 4
π πρ θ φ
=
OBS:
Podemos fazer também a conversão entre coordenadas cilíndricas e esféricas, no espaço tridimensional e, para isso, utilizamos as seguintes fórmulas de conversão:
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 337
(b) Determine as coordenadas esféricas do ponto com coordenadas
(a) A partir das fórmulas de conversão das coordenadas esféricas
= 0, obtemos:
) = (0,0,1).
(b) Pelas fórmulas de conversão de retangulares para esféricas
)θ θ θ π= < <
Podemos fazer também a conversão entre coordenadas cilíndricas e esféricas, no espaço tridimensional e, para isso,
338 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
sen
cos
tg
r
z
r
z
ρ φ
θ θ
ρ φ
φ
=
=
=
=
EXEMPLO 3 (a) Determine as coordenadas cilíndricas do ponto com coordenadas
esféricas (4,π/4, π/3).
(b) Determine as coordenadas esféricas do ponto com coordenadas
cilíndricas (4, π/3, 4). Solução (a) A partir das fórmulas de conversão acima e considerando que
4, e ,4 3
π πρ θ φ= = = temos que:
34sen 4 2 3
3 2
41
4cos 4 23 2
r
z
π
πθ
π
= = ⋅ =
=
= = ⋅ =
Assim, as coordenadas cilíndricas solicitadas são:
( ), , 2 3, ,2 .4
r zπ
θ
=
(a) Determine as coordenadas cilíndricas do ponto com coordenadas
(b) Determine as coordenadas esféricas do ponto com coordenadas
(a) A partir das fórmulas de conversão acima e considerando que
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
(b) Como o ponto dado está em coordenadas cilíndricas, temos
4 ; e 4.3
r zπ
θ= = =
Assim,
4tg 1 , .
4 4k k
πφ φ π= = ⇒ = + ∈ℕ
Tomemos .4
πφ =
2sen 22 .
4 8r
φρ⇒ = = =
Portanto, uma possibilidade de coordenadas esféricas para as coordenadas cilíndricas dadas é:
( )2
, , , , .8 3 4
π πρ θ φ
=
Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas
Suponha que S seja uma região do espaço tridimensional cuja projeção D no plano-xy tenha uma representação conveniente em coordenadas polares, e que S seja uma região do tipo
S = (x,y,z) : (x,y) œ D, u1(x,y) ≤ z ≤ u2(x,y),
onde u1 e u2 sejam funções contínuas em D. Suponha ainda que D seja dado por
D = (r, θ) : a ≤ θ ≤ b, h1(θ) ≤ r ≤ h2(θ)
e que f seja uma função contínua em S.
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 339
(b) Como o ponto dado está em coordenadas cilíndricas, temos que:
ortanto, uma possibilidade de coordenadas esféricas para as
seja uma região do espaço tridimensional cuja tenha uma representação conveniente em
sejam funções contínuas em D. Suponha ainda que D
340 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Então, a integral tripla de f em S, em coordenadas cilíndricas, é dada por:
( ) ( )( )
( )
( )
( ) 2
1
2
1
cos , sen
cos , sen, , cos , sen , .
u r r
u r r
h
hS
f x y z dV f r r z rdzdrdθ θ
θ θ
β θ
α θθ θ θ=∫∫∫ ∫ ∫ ∫
Esta fórmula nos diz que convertemos uma integral tripla em coordenadas retangulares para coordenadas cilíndricas escrevendo
x = r cos θ, y = r sen θ e deixando z como está, utilizando os limites
apropriados de integração para z, r e θ, e trocando dV por r dzdrdθ
É recomendável a utilização dessa fórmula quando S é uma região sólida cuja descrição é mais simples em coordenadas cilíndricas e especialmente quando a função f(x,y,z) envolve expressões do tipo x2 + y2. EXEMPLO 1 Um sólido S está contido no cilindro x2 + y2 = 1, abaixo do plano z = 4 e acima do parabolóide z = 1 – x2 – y2. A densidade em qualquer ponto é proporcional à distância do ponto ao eixo do cilindro. Determine a massa de S, sabendo que ela é dada pela integral da densidade sobre S. Solução
, em coordenadas cilíndricas, é
, , cos , sen , .f x y z dV f r r z rdzdrdθ θ θ
Esta fórmula nos diz que convertemos uma integral tripla em cilíndricas escrevendo
como está, utilizando os limites
θ.
é uma ais simples em coordenadas
) envolve
= 1, . A
densidade em qualquer ponto é proporcional à distância do ponto ao , sabendo que ela é dada
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
Em coordenadas cilíndricas o cilindro é representado por
r = 1 (x2 + y2 = r2)
e o parabolóide por z = 1 – r2.
Assim, podemos escrever
S = (r, θ, z) : 0 ≤ θ ≤ 2p, 0 ≤ r ≤ 1, 1 – r2 ≤ z ≤ 4.
Como a densidade em (x,y,z) é proporcional à sua distância ao eixo z, a função densidade é dada por:
( ) 2 2, , ,F x y z k x y kr= + =
onde k é a constante de proporcionalidade. Portanto, a massa de dada por:
( ) ( )
[ ]
2
2 1 42 2
0 0 1
2 1 2 12 2 2 4
0 0 0 0
152 2300
0
4 1 3
6 12unidades de massa.
5 5 5
rS
r
r
m k x y dV kr r dzdrd
kr r drd k r r drd
r kk r d k
π
π π
π π
θ
θ θ
πθ θ
−
=
=
= + = =
= − − = + =
= + = =
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 341
) é proporcional à sua distância ao eixo
é a constante de proporcionalidade. Portanto, a massa de S é
unidades de massa.
= − − = + =
342 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
EXEMPLO 2 Calcule ( )2
2 2 2
2 4 22 2
2 4.
x
x x yx y dz dy dx
−
− − − ++∫ ∫ ∫
Solução
Essa integral iterada é uma integral tripla sobre a região sólida
( ) 2 2 2 2, , : 2 2, 4 4 ; 2S x y z x x y x x y z= − ≤ ≤ − − ≤ ≤ − + ≤ ≤
e a projeção de S sobre o plano-xy é o disco 2 2 4.x y+ ≤
superfície inferior de S é o cone z = e a superfície superior
é o plano z = 2. Essa região tem uma descrição muito mais simples em coordenadas cilíndricas:
( ) , , : 0 2 ; 0 2 ; 2 .S r z r r zθ θ π= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
Portanto, temos que:
( )
[ ] ( )
2
2 2 2
22 4 2 2 2 22 2
2 4 0 0
2 2 2 223 3
0 0 0 0
24 52
00
2
0
2
8 16.
2 5 5 5
x
x x y r
z
z r
r
r
r r dz dr dx y dz dy dx
r z dr d r r dr d
r rd
π
π π
π θ π
θ
θ
θ θ
πθ θ
−
− − − +
=
=
=
=
=
=
=+ =
= = − =
= − = =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫
2 2x y+
, , : 2 2, 4 4 ; 2= − ≤ ≤ − − ≤ ≤ − + ≤ ≤
4. A
e a superfície superior = 2. Essa região tem uma descrição muito mais simples
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 343
Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas
Se S é uma região do espaço tridimensional dada em coordenadas esféricas por
S = (ρ,θ,φ) : a ≤ ρ ≤ b, a ≤ θ ≤ b, c ≤ φ ≤ d
e f é uma função contínua em S, então a integral tripla de f em S é dada por:
( )
( ) 2
, ,
sen cos , sen sen , cos .
S
d b
c a
f x y z dV
f sen d d dβ
αρ φ θ ρ φ θ ρ φ ρ φ ρ θ φ
=
=
∫∫∫
∫ ∫ ∫
A fórmula acima nos diz que convertemos uma integral tripla de coordenadas retangulares para coordenadas esféricas escrevendo
x = ρ senφ cosθ , y = ρ senφ senθ , z = ρ cosφ
utilizando os limites de integração apropriados e substituindo dV por
ρ2 senφ dρ dθ dφ. Observamos que esta fórmula se estende para regiões mais gerais como
S = (ρ,θ,φ) : g1(θ,φ) ≤ ρ ≤ g2(θ,φ), a ≤ θ ≤ b, c ≤ φ ≤ d,
alterando apenas os limites de integração para ρ.
Normalmente o uso de coordenadas esféricas é recomendado em integrais triplas quando as superfícies fronteiras da região de integração têm formas como cones e esferas.
344 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
EXEMPLO 1 Calcule ( )
32 2 2 2
,x y z
B
e dV+ +
∫∫∫ onde S é a bola
unitária B = (x,y,z) : x2 + y2 + z2 ≤ 1. Solução
Como a fronteira de B é uma esfera, utilizaremos coordenadas esféricas, ou seja, tomaremos
B = (ρ,θ,φ) : 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2p, 0 ≤ φ ≤ p,
onde teremos ρ2 = x2 + y2 + z2.
Assim,
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )[ ] ( )
32 2 2 2
3
32 1
2 220 0 0
12 2
0 0 0 00
0 0
0
2
0
sen
1 1sen 1 sen
3 3
1 11 sen 1 2 sen
3 3
2 41 cos 1 .
3 3
x y z
B
e dV e d d d
e d d e d d
e d e d
e e
π π
ρπ π π π
ρ
ρ
π π
φ π
φ
θ π
θ
ρ ρ φ ρ θ φ
φ θ φ φ θ φ
φ θ φ π φ φ
π πφ
+ +
=
=
=
=
=
=
= =
= = − =
= − = − =
= − − = −
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
EXEMPLO 2 Mostre, usando integrais triplas em coordenadas
esféricas, que o volume de uma esfera de raio r é V = .
Solução
O volume de uma esfera de raio r é dado por , onde S é o
sólido dado por
S = (ρ,θ,φ) : 0 ≤ ρ ≤ r, 0 ≤ θ ≤ 2p, 0 ≤ φ ≤ p.
34
3rπ
S
dV∫∫∫
é a bola
é uma esfera, utilizaremos coordenadas
e d d e d dφ θ φ φ θ φ= = − =
Mostre, usando integrais triplas em coordenadas
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 345
Portanto,
[ ]
32 22
0 0 0 0 00
3 32
0 0 0
3 3
0
sen sen3
sen 2 sen3 3
2 4cos .
3 3
rr
V d d d d d
r rd d d
r r
ρπ π π π
ρ
π π π
φ π
φ
ρρ φ ρ θ φ φ θ φ
φ θ φ π φ φ
π πφ
=
=
=
=
= = =
= = =
= − =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
EXERCÍCIOS 5.8
1. Faça um esboço do ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas e, em seguida, determine as coordenadas retangulares do ponto.
(a) (3,π/2,1) (b) (3,0, -6) (c) (1, π, e)
2. Converta de coordenadas retangulares para cilíndricas.
(a) (1, -1,2) (b) ( )1, 3,2−
3. Faça um esboço do ponto cujas coordenadas esféricas são dadas e, em seguida, determine as coordenadas retangulares do ponto.
(a) (0,1,0) (b) (2,0, π) (c) (2, π/4, π/3)
4. Converta de coordenadas retangulares para esféricas.
(a) (-2,0,0) (b) ( )1,1, 2
5. Converta de coordenadas esféricas para cilíndricas.
(a) (2,0,0) (b) (8, π/6, π/2)
6. Converta de coordenadas cilíndricas para esféricas.
346 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
(a) 2, ,04
π
(b) 1, ,12
π
7. Utilize coordenadas cilíndricas para calcular 2 2
S
x y dV+∫∫∫
onde S é a região contida dentro do cilindro x2 + y2 = 16 e entre os planos z = -5 e z = 4.
8. Utilize coordenadas cilíndricas para calcular ( )3 2
S
x xy dV+∫∫∫
onde S é o sólido do primeiro octante que está abaixo do parabolóide z = 1 – x2 – y2.
9. Utilize coordenadas esféricas para calcular
( )2 2 2
S
x y z dV+ +∫∫∫ onde S é a bola unitária x2 + y2 + z2 ≤ 1.
10. Utilize coordenadas esféricas para calcular S
z dV∫∫∫ onde S está
contido entre as esferas x2 + y2 + z2 = 1 e x2 + y2 + z2 = 4, no primeiro octante. EXERCÍCIOS EXTRAS
1. Calcule as integrais duplas.
a) 1 2
0 1dx dy∫ ∫ b) ( )
2 3
1 0x y dx dy+∫ ∫
c) ( )4 2
2 2
2 1x y dy dx+∫ ∫ d) ( )2
12
0
x
xxy dy dx∫ ∫
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 347
e)
3
22
21 0
y xdx dy
y
∫ ∫ f) ( )1
3
0
x
xy y dy dx+∫ ∫
g) ( )21
0 0
xyxe dy dx∫ ∫ h)
222
0 0cosx y dx dy
π
∫ ∫
2. Inverta a ordem de integração e calcule a integral resultante.
a) 21 2
0 2
y
xe dy dx∫ ∫ b)
ln
1 0
e xy dy dx∫ ∫
c) ( )2 2
4 2
0cos
xy xy dy dx∫ ∫
3. Esboce a região de integração para cada uma das integrais iteradas dadas.
a) ( )2
2
2 4
1 4,
x
xf x y dy dx
−
− − −∫ ∫ b) ( )1 3
0,
y
yf x y dx dy∫ ∫
4. Calcule as integrais dadas, para as regiões indicadas.
a) ; R limitada por y = x2 e y = 2x.
b) ; R limitada por x = -3, x = 4, y = 0 e y = 5.
c) ; R limitada por x = 4 , y = x2 e y = -x2.
d) ; R limitada por x = 8 , y = x1/3 e y = -x1/3.
e) ; R limitada por x =y2 e x = 2 - y2.
34R
x y dxdy∫∫
senx
R
e y dxdy∫∫
23R
y x dxdy∫∫2 2sen
R
y x dxdy∫∫
2
R
y dxdy∫∫
348 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
f) ; R limitada por y = x -2 e y =1 e y = 4.
g) ; R é a parte do círculo x2 + y2 ≤ 1 no
primeiro quadrante.
5. Calcule as integrais dadas.
a) ; R limitada pelo círculo x2 + y2 = 4.
b) ; R é a região limitada por x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 9.
c) ; R limitada pelo círculo e a reta
y x= .
6. Calcule as integrais dadas.
a) xy
R
ye dA∫∫ onde R é o retângulo 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1;
b) ( )R
x y dA+∫∫ onde R é a região limitada por y = x2 e y = 2x.
7. Esboce a região de integração e calcule as integrais iteradas.
a) ( )1 2
02 4
x
xx y dy dx+∫ ∫ b)
1
1 ln
e
xx dy dx∫ ∫ c)
2
1 0ln
xy x dy dx∫ ∫
8. Inverta a ordem de integração
a) ( )4
2
0 0,
y
f x y dy dx∫ ∫ b) ( )2
3
1
0,
x
xf x y dy dx∫ ∫ c) ( )
2
1 0,
xef x y dy dx∫ ∫
cosR
y dxdy∫∫
( 2 )R
x y dxdy+∫∫
32 2 2( )
R
x y dA+∫∫
2
2 2R
xdA
x y+∫∫
2 2
R
x y dA+∫∫22y x x= −
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 349
9. Calcule 2
2R
xdx dy
y∫∫ onde R é a região delimitada por
1; e 2.y x y x
x= = =
10. Calcule o volume do sólido acima do plano-xy delimitado por 2 24 2 2 .z x y= − −
11. Calcule o volume do sólido no primeiro octante delimitado por 2y z+ = e pelo cilindro que contorna a região delimitada por y = x2
e x = y2.
12. Avalie 60R
xy dx dy∫∫ onde R é a região do plano limitada pelas
curvas x = y2, x = 0 e y = 1.
13. Ache o volume do sólido abaixo da superfície
( ) 2 2, 1 ,f x y x y= + + limitado pelas curvas y = e y = x2.
14. Use uma integral dupla para calcular o volume sob o plano
2z x y= + e acima do retângulo R = (x,y): 3 ≤ x ≤5, 1 ≤ y ≤ 2.
15. Calcule o volume do sólido limitado pelo cilindro x2 + y2 = 4 e os planos y + z = 4 e z = 0.
16. Calcule a integral dupla 22 1
02
.xy e dx dy∫ ∫
17. Calcule a área da região plana compreendida pelas curvas 2y x= − e 3y – x = 4.
18. Calcule a integral ( )3senR
y dA∫∫
(dA pode ser dxdy ou dydx),
onde R é a região limitada por y = , y = 2 e x = 0.
x
x
350 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
19. Calcule a integral e mostre que o
resultado é independente da ordem de integração.
20. Esboce a região de integração e mostre que
2 42 1 2 2 0
3 3 32 2
0 2 4 0 0 4 0.
y xx
yx dx dy x dy dx x dy dx
− +−
− −= +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .
Calcule a integral.
21. Calcule a integral 2
0 0cos sen .
Rre dr d
πθ θ θ−
∫ ∫
22. As integrais duplas a seguir representam a solução de um mesmo problema. Qual a integral mais fácil de calcular? Justifique sua resposta.
23. Seja R uma região do plano xy cuja área é A. Se
para todo ponto (x,y) em R, qual é o valor da integral ?
Justifique sua resposta.
24. Verifique se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Se for falsa, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
“O volume da esfera é dado pela integral
”
25. Calcule o valor médio da função sobre a
região R: quadrado com vértices (0,0), (2,0), (2,2), (0,2).
3 2 2 2
0 1( )x y xy dxdy+∫ ∫
4 2 2 22 2
0 2 02
yseny dydx seny dxdyπ
−=∫ ∫ ∫ ∫
( ),f x y k=
( ),R
f x y dA∫∫
2 2 2 1x y z+ + =
1 1 2 2
0 08 1 .V x y dxdy= − −∫ ∫
( ) 2 2,f x y x y= +
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 351
26. Calcule o valor médio da função ( ),f x y xy= sobre a região R:
retângulo com vértices (0,0), (4,0), (4,2), (0,2).
Capítulo 6
Cálculo Vetorial
O QUE VOCÊ VAI ESTUDAR:
• Como trabalhar com vetores no plano e no espaço tridimensional.
• Como determinar o produto escalar e o produto vetorial.
• Como determinar equações paramétricas de retas.
• O movimento de um objeto.
• Como determinar um campo vetorial.
• Como trabalhar com uma Integral de Linha
CÁLCULO VETORIAL 353
Cálculo Vetorial
Vetor
Muitas grandezas físicas, tais como a temperatura, a pressão, a massa, o comprimento e a área, são descritas totalmente, sendo dada a magnitude desta grandeza. Tais grandezas são denominadas de grandezas escalares. Existem outras grandezas físicas que apenas a sua magnitude não é suficiente para determiná-las completamente, sendo necessário que sejam especificados também a direção e o sentido. Tais grandezas são denominadas de grandezas vetoriais. Como exemplos de grandezas vetoriais podemos citar a velocidade, a força e o deslocamento.
Para entender melhor tais grandezas, consideremos uma partícula que se desloca ao longo de uma reta. Observe que a partícula pode movimentar-se apenas em dois sentidos (positivo ou negativo) e a direção é dada pela reta do movimento.
Nesse caso, o deslocamento (ou a variação da posição) de um ponto pode ser descrito por um número real com sinal. Ou seja, um deslocamento de 2 descreve uma mudança de posição de 2 unidades no sentido positivo, e um deslocamento de -2 significa uma variação da posição de 2 unidades no sentido negativo.
Agora, se uma partícula se desloca sobre uma curva, apenas o sinal não é suficiente para especificar a direção e o sentido dessa partícula. Nesse caso, utilizamos uma seta (segmento de reta orientado) para indicar a direção e o sentido do movimento, e o
354 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
comprimento dessa seta (distância do ponto inicial ao ponto final) representa o deslocamento da partícula.
Observe que se uma partícula se move de um ponto A a um ponto B, ao longo de uma curva, o comprimento da seta descreve a distância entre o ponto A e B e não a distância real percorrida pela partícula. Esta seta é denominada de vetor deslocamento para o movimento.
O termo vetor é então utilizado para indicar uma grandeza vetorial (velocidade ou força) que é caracterizada pela magnitude (módulo), direção e sentido. Vamos então aprender um pouco mais sobre os vetores.
Consideremos o segmento orientado AB na ilustração abaixo.
Observe que o segmento orientado AB caracteriza-se por três aspectos bastante definidos:
• magnitude ou tamanho (módulo)
• direção
• sentido (de A para B)
B
A
CÁLCULO VETORIAL 355
Assim, um vetor é representado por uma seta ou por um segmento de reta orientado, de maneira que o comprimento da seta representa o módulo do vetor e a seta aponta na direção e no sentido do vetor. Como um exemplo, a ilustração mostra uma partícula movendo-se ao longo de um caminho no plano e seu vetor velocidade v numa posição específica da partícula.
Nesse exemplo, o comprimento da seta representa a rapidez com que a partícula está se movimentando quando passa por esta posição, e a seta indica a direção e o sentido em que ela se movimenta.
Na próxima ilustração podemos observar que todas as setas têm o mesmo comprimento, direção e sentido, apesar de estarem em posições diferentes. Entendemos esses segmentos de reta orientados como representações equivalentes da grandeza denominada vetor. Assim, podemos definir um vetor como um conjunto infinito de todos os segmentos orientados que possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido.
356 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Na prática, para representar um vetor, tomamos apenas um dos infinitos segmentos orientados que o compõe, ou seja, aquele que parte da origem. Guarde esta idéia, pois ela é importante!
No exemplo acima, podemos observar que cada um dos pontos terminais das setas é obtido deslocando-se duas unidades para a direita e uma unidade para cima, a partir do ponto inicial de cada uma delas.
Dessa forma, cada um desses segmentos orientados é caracterizado pelos números 2 e 1, e representamos esta situação
escrevendo 2,1 .v =
Um vetor bidimensional pode então ser
pensado como um par ordenado de números reais. Iremos usar a
notação ,a b para o par que se refere ao vetor, como uma maneira
de não confundir um vetor com um par ordenado (a,b) que representa um ponto no plano cartesiano.
Um vetor bidimensional será representado nesse texto por uma
letra com uma seta sobre ela ( )v
.
Um vetor 1 2,v v v=
, cujos números v1 e v2 são denominados
de componentes de v
, pode ser representado por um segmento de
reta orientado AB
de um ponto qualquer ( ),A x y ao ponto
CÁLCULO VETORIAL 357
( )1 2,B x v y v+ + . Uma representação particular de um vetor v
é o
segmento de reta orientado OP
, que vai da origem do plano
cartesiano até o ponto ( )1 2,P v v , e é denominado de vetor de
posição do ponto ( )1 2,P v v .
Podemos observar que se 1 2,v v v=
é um vetor cuja
representação é o segmento de reta orientado AB
, que tem como
ponto inicial ( )1 1,A x y e como ponto terminal ( )2 2,B x y , então
x2 = x1 + v1 e y2 = y1 + v2.
Segue daí que 1 2 2 1 2 1, , .v v v x x y y= = − −
358 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Assim, obtemos o seguinte resultado:
Se tivermos dois pontos ( )1 1,A x y e ( )2 2,B x y , o
vetor ,v
cuja representação é o segmento de reta
orientado ,AB
é dado por 2 1 2 1, .v x x y y= − −
O módulo (magnitude ou norma) de um vetor 1 2,v v v=
é
definido como sendo o comprimento de qualquer um de seus
representantes e é denotado por v
. Considerando o vetor de
posição do ponto P(v1,v2), como um representante para o vetor v
, e utilizando a fórmula da distância entre dois pontos, para calcular o
comprimento do segmento OP
, obtemos uma fórmula para o módulo do vetor v
.
O VETOR OPOSTO
Dado o vetor v, existe o vetor – , que possui o mesmo módulo e mesma direção do vetor , porém, de sentido oposto.
v
v
CÁLCULO VETORIAL 359
O VETOR NULO
Vetor de módulo igual a zero e o único sem direção específica.
Notação: 0 0,0=
O VETOR UNITÁRIO (VERSOR)
Chamaremos de versor ou vetor unitário, um vetor que tenha
módulo igual a 1, ou seja: 1.v =
De uma maneira geral, se 0,v ≠
então o vetor unitário com a mesma direção e sentido de ,v
denominado versor de ,v
é dado pelo vetor u
definido a seguir:
1.
vu v
v v= ⋅ =
PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE UM EIXO
Na ilustração abaixo, o vetor v
forma um ângulo q com um eixo x.
O vetor xv
é chamado vetor projeção de v
segundo o eixo x, cujo
módulo é dado por cosxv v θ=
e denominado de projeção
escalar de v
segundo o eixo x.
v
360 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Observar que se 90θ = , teremos cos 0θ = e, portanto, a projeção do vetor v
, segundo o eixo x, será nula.
Um vetor no plano, em função dos versores dos eixos coordenados
Vimos anteriormente que um versor, é um vetor de módulo igual a 1. Vamos associar um versor a cada um dos eixos do plano
cartesiano da seguinte maneira: o versor no eixo dos x e o
versor no eixo dos y, como podemos ver na ilustração
abaixo.
O par ordenado constitui o que chamamos de base do
plano 2ℝ , ou seja, base do plano cartesiano xy, no sentido de que:
qualquer vetor pode ser escrito univocamente como
.v xi yj= +
1,0i =
0,1j =
( ),i j
,v x y=
CÁLCULO VETORIAL 361
Analogamente, se em vez do plano 2ℝ estivéssemos
trabalhando no espaço 3ℝ , poderíamos considerar os vetores unitário i, j, k, respectivamente na direção dos eixos Ox, Oy e Oz, conforme ilustração abaixo, e a representação do vetor u no espaço seria:
.
Assim, o terno , será a base do espaço 3ℝ .
O módulo de um vetor tridimensional
é definido por: .
OBS: Em aplicações é bastante comum querermos encontrar os componentes de um vetor que tenha a mesma direção e
, ,u x y z xi yj zk= = + +
( ), ,i j k
, ,u x y z xi yj zk= = + +
2 2 2u x y z= + +
v
362 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
sentido que um vetor unitário u
. Para fazer isso, basta escrever
e então obter as componentes de .v
Operações com Vetores
Adição
Dados dois vetores 1 2 1 2, e ,u u u v v v= =
, o vetor soma é
dado por
1 1 2 2,u v u v u v+ = + +
e está ilustrado nas figuras abaixo, para o caso bidimensional.
Regra do triângulo
Regra do paralelogramo
v v u=
CÁLCULO VETORIAL 363
Subtração
Considerando-se a existência do vetor oposto
1 2,v v v− = − − ,
podemos determinar a diferença como sendo igual à soma
.
Multiplicação por um Escalar
Dado um vetor e um escalar c (um número real),
define-se o vetor c como sendo o vetor que possui a mesma direção e o mesmo sentido de para c > 0 e sentido oposto de
para c < 0. O módulo do vetor c será igual a c u c u=
. Dois
vetores quaisquer e são ditos paralelos se para algum escalar c.
Propriedades das operações com vetores
Se , eu v w
são vetores e k1 e k2 são escalares, então:
1. 5. ( )1 1 1k k ku v u v+ = +
2. 6.
3. 7.
4. ( ) 0u u+ − =
8.
u v−
( ) 1 1 2 2,u v u v u v+ − = − −
1 2,u u u=
u
u
u
u
u
v
cv u=
u v v u+ = +
( ) ( )u v w u v w+ + = + +
( )1 2 1 2k k k ku u u+ = +
u 0 u+ = ( ) ( )1 2 1 2k k k ku u⋅ =
1 u u⋅ =
364 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
EXERCÍCIOS 6.1
1. Quais das seguintes grandezas são vetoriais? Explique. a) O custo de um bilhete de cinema. b) A correnteza de um rio. c) O caminho inicial do voo entre Houston e Dallas. d) A população mundial.
2. Qual a relação existente entre o ponto (3,2) e o vetor 3,2 ? Faça
um esboço ilustrativo.
3. Determine os componentes do vetor onde P(5,2,-1) e
Q(2,4,2).
4. Exprima em termos dos vetores na figura.
5. Escreva a combinação de vetores
como um único vetor.
6. Use os vetores da figura para desenhar os seguintes vetores: (a) (b) (c)
PQ
w
e u v
AB BC+
u v+
2u
2u v+
CÁLCULO VETORIAL 365
7. Determine o vetor . Desenhe o vetor e o correspondente vetor posição.
(a) ( ) ( )3, 1 ; 1,2A B− (b) ( ) ( )1, 2,0 ; 1, 2,3A B− −
8. Determine a soma dos vetores 3, 1 e 2,4− − e ilustre
geometricamente.
9. Determine: .
(a) ; (b) ;
10. O que você entende por módulo de um vetor? Determine o
módulo (norma) do vetor .
11. Determine um vetor unitário que tenha o sentido oposto ao
vetor .
Resultante de Duas Forças Concorrentes
Da Física sabemos que o efeito que uma força exerce sobre um objeto depende da magnitude, da direção e do sentido da força e do ponto na qual foi aplicada. As operações algébricas sobre os vetores têm sua origem no estudo das forças que se caracterizam como grandezas vetoriais.
Se duas forças e forem aplicadas em um mesmo ponto
de um objeto, então as duas forças têm o mesmo efeito que a força
aplicada naquele ponto, sobre o objeto. Os físicos
denominam de resultante de e e dizem que as forças
u AB=
u
, , , 2 e 3 4u u v u v u u v+ − +
3, 2, 1u = − − −
4,2, 3v = −
2u i j= −
3v j k= +
1, 2, 4v = −
6 4 2v i j k= − +
1F
2F
1 2F F+
1 2F F+
1F
2F
366 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
e são concorrentes para lembrar que elas foram aplicadas no
mesmo ponto.
Suponha que sejam conhecidas as magnitudes das forças e
e o ângulo θ entre elas, e que queremos encontrar a magnitude
da resultante e o ângulo α que a resultante faz com a força
. Para isso usaremos a lei dos senos e a lei dos cossenos aplicadas
ao triângulo da figura abaixo.
Levando em conta que ( )cos cosπ θ θ− = − , segue da lei dos
cossenos que:
2 2
1 2 1 2 1 22 cosF F F F F F θ+ = + +
e, a partir da lei dos senos, levando em conta que sen (π - θ) = sen θ temos que:
1F
2F
1F
2F
1 2F F+
2F
CÁLCULO VETORIAL
1
1 2
sen senF
F Fα θ= ⋅
+
EXEMPLO Suponha que duas forças sejam aplicadas em um ponto como mostra a figura ao lado. Determine a magnitude da resultante
e o ângulo α que ela faz com o eixo x positivo. Solução
A partir da fórmula
2 2
1 2 1 2 1 22 cosF F F F F F θ+ = + +
elevando em conta que o ângulo entre os vetores e é θ
e que 1 2300 e 200 ,F N F N= =
temos que:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2
2 2
2 cos
300 200 2 300 200 cos 40 471 .
F F F F F F θ+ = + + =
= + + ⋅ ⋅ ≈
Agora, a partir da equação 1
1 2
sen senF
F Fα θ= ⋅
+
obtemos o
valor do ângulo α entre e a resultante:
1
1 2
300sen sen sen sen40 24,2 .
471
Farc arc
F Fα θ
= ⋅ ≈ ⋅ ≈
+
Portanto, o ângulo ϕ que a resultante faz com o eixo positivo x
1F
2F
1F
CÁLCULO VETORIAL 367
40θ =
300 200 2 300 200 cos 40 471 .N
obtemos o
sen sen sen sen40 24,2 .
x é:
368 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
ϕ = α + 30o ≈ 24,2o + 30o = 54,2o
O Produto Escalar ou Produto Interno
Definição
Dados dois vetores e , definimos o
produto escalar de e como sendo o número definido
por
.
Observe que o resultado do produto escalar de dois vetores nãoé um vetor e sim um número real (um escalar). O produto escalartambém é conhecido como produto interno. Apesar de a definição ter sido apresentada para vetores bidimensionais, o produto escalar para vetores tridimensionais é definido de maneira análoga.
O produto escalar obedece a várias regras semelhantes às produto de números reais, como podemos ver através dos resultados a seguir. Essas regras são facilmente demonstradas, utilizando-se a definição, e serão deixadas como exercício.
1 2,u u u=
1 2,v v v=
u
v
u v⋅
1 1 2 2u v u v u v⋅ = +
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3, , , ,u u u v v v u v u v u v⋅ = + +
, definimos o
definido
não produto escalar
. Apesar de a definição ter sido apresentada para vetores bidimensionais, o produto escalar
do através dos resultados
se a
CÁLCULO VETORIAL 369
Propriedades do Produto Escalar
Se são vetores quaisquer e k é um escalar, então:
(1) 2
u u u⋅ =
(2) u v v u⋅ = ⋅
(3)
( )u v w u v u w⋅ + = ⋅ + ⋅
(4) ( ) ( ) ( )ku v k u v u kv⋅ = ⋅ = ⋅
(5) 00 v⋅ =
Se eu v
são vetores não-nulos, então podemos interpretar o
produto escalar u v⋅
em termos do ângulo θ entre eu v
(ver
figura) onde 0 .θ π≤ ≤
Neste caso, o produto escalar entre eu v
é dado por:
cosu v u v θ⋅ =
.
Para provar este resultado basta aplicar a Lei dos Cossenos no triângulo OPQ da figura a seguir.
, e u v w
y
x
Ө u
v
O
Observe que existe uma diferença entre os dois zeros que aparecem na propriedade (5) – o zero do lado direito é o escalar zero enquanto o zero no lado esquerdo é o vetor nulo.
370 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Da definição anterior, conclui-se que:
1. Se 0θ = ou θ π= , então os vetores eu v
são paralelos.
Por quê?
2. Se θ é o ângulo entre dois vetores não nulos eu v
, então
.
3. Dois vetores eu v
são perpendiculares (ou ortogonais) se,
e somente se, . Por quê?
4. Como os vetores eu v
são não-nulos e considerando o sinal
de eu v
podemos deduzir se o ângulo entre os dois vetores
é agudo ou obtuso. Por quê?
Projeções
O produto escalar oferece a possibilidade de determinar a projeção de um vetor sobre outro, sem que seja necessário conhecermos o ângulo entre os dois. Isso é possível devido à equivalência algébrica do produto escalar com o cosseno do ângulo entre os dois vetores, como foi visto anteriormente.
cosu v
u vθ
⋅=
0u v⋅ =
y
x
Ө u
v
O
Q
P
u v−
CÁLCULO VETORIAL
Vamos agora considerar as duas situações abaixo, onde o projeção de sobre é denotado por .uproj v
Vimos que o produto escalar de por é dado por
donde concluimos que:
( )1
cos cosu
u v v v vu u
θ θ
⋅ = ⇒ ⋅ =
Observando o lado direito da equação, notamos que a expressãoobtida corresponde à projeção do vetor v
sobre o vetor u
, porém
forma escalar, ou seja, o valor corresponde ao “tamanho” do vetor projeção, não contendo informação sobre a direção e o sentido
Definimos então, a projeção escalar de sobre (componente de v ao longo de u) como sendo o número real
cosv θ
e denotado por .ucomp v
Observe que se
0.ucomp v <
Assim, a projeção escalar de v sobre u
é dada por:
comp cosu
u vv v
uθ
⋅= =
v
u
cosu v u v θ⋅ =
v
2
πθ π< ≤
CÁLCULO VETORIAL 371
Vamos agora considerar as duas situações abaixo, onde o vetor
que a expressão porém na
“tamanho” do vetor ntido deste.
sobre o número real
então
u
θ π
372 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Observe ainda que, se multiplicarmos a projeção escalar
de v sobre u
( )compuv
pelo vetor unitário (versor) ,
u
u
teremos o vetor projeção definido por:
2proju
u v u u vv u
u u u
⋅ ⋅= × =
Trabalho
A fórmula, W F d= ⋅
, para calcular o trabalho realizado por
uma força constante de magnitude F
, ao mover um objeto ao longo de uma distância d, é verdadeira apenas se a força estiver agindo na direção do movimento.
Se uma força F
que move um objeto, ao longo de um
deslocamento d PQ=
, tem outra direção (ver ilustração abaixo), o
trabalho realizado por esta força é dado por:
Trabalho = (projeção escalar de F
na direção de )× (comprimento de
= ( )cos cosF d F d F dθ θ= = ⋅
cosW F d F d θ= ⋅ =
onde θ é o ângulo entre os vetores e .
d
)d
F
d
ucomp v versor de u
CÁLCULO VETORIAL
OBS:
Observe que a quantidade é o componente escalar da
força ao longo do vetor deslocamento. Portanto, se cosentão uma força de magnitude agindo em um ângulo
realiza o mesmo trabalho que uma força de magnitudeagindo na direção do movimento.
EXEMPLO Um objeto está sendo puxado horizontalmente por meio de uma força constante de 20 lb na direção da corda que faz um ângulo de 60o com a horizontal. Qual é o trabalho realizado para mover o objeto ao longo de 30 pés? Solução
Vamos introduzir o objeto em um sistema de coordenadas modo que ele se mova do ponto P(0,0) ao ponto Q(30,0) ao longo do eixo x. Nesse caso, o deslocamento é dado pelo vetor
30 .d PQ i= =
cos 20 30 cos60W F d F d θ= ⋅ = = × ×
300 3 519,6W = ≈ pés lb.
EXERCÍCIOS 6.2
1. Determine o produto escalar dos vetores dados e o cosseno do ângulo entre eles.
(a)
cosF θ
F
cosF θ
30d PQ i= =
2 , 5 4u i j v i j= + = −
CÁLCULO VETORIAL 373
é o componente escalar da
cos θ > 0 agindo em um ângulo θ
realiza o mesmo trabalho que uma força de magnitude
Um objeto está sendo puxado horizontalmente por meio de uma força constante de 20 lb na direção da corda que faz
com a horizontal. Qual é o trabalho realizado para
Vamos introduzir o objeto em um sistema de coordenadas xy de modo que ele se mova do ponto
(30,0) ao longo . Nesse caso, o
deslocamento é dado pelo vetor
.
dos vetores dados e o cosseno do
30d PQ i
374 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
(b)
2. Sabendo que e o ângulo entre é ,
encontre o valor do produto escalar .
3. Verifique se os vetores
formam um ângulo agudo, um ângulo obtuso ou se são ortogonais.
4. Determine o valor de k de maneira que o vetor que vai do ponto
( )A 1, 1,3− ao ponto B(3,0,5) seja perpendicular ao vetor que vai do
ponto A ao ponto P(k,k,k).
5. Dados os vetores , determine o
componente vetorial de na direção de e o componente vetorial
de na direção de . Em seguida, faça um esboço dos vetores ,
e .
6. Determine o trabalho realizado por uma força (libras)
aplicada em um objeto que se move sobre uma reta de (1,3) a (4,7). Considerar a distância medida em metros.
7. Um bloco é arrastado pelo chão por uma corda que aplica uma força de 50 libras em um ângulo de 60o com o chão. Quanto trabalho é realizado para movimentar o bloco 15 pés?
O Produto Vetorial
O produto vetorial u v×
de dois vetores eu v
, só é definido
se forem vetores tridimensionais.
3,1,2 , 4,2 5u v= − = −
1, 2u v= =
e u v
6
π
u v⋅
7 3 5 e 8 4 2u i j k v i j k= + + = − + +
2 , 3 4u i j v i j= − = +
u
v
v
u
u
vproj u
uproj v
3F j= −
e u v
CÁLCULO VETORIAL 375
Definição Dados dois vetores e , definimos
o produto vetorial de como sendo o vetor
.
A definição acima pode ser expressa na forma de determinante, conforme descrito a seguir:
OBS:
1. O produto vetorial está definido apenas para vetores no espaço tridimensional.
2. O produto vetorial entre dois vetores é um vetor, enquanto que o produto escalar de dois vetores é um número real.
Considere dois vetores . Algumas propriedades do produto vetorial u v×
serão descritas a seguir.
Propriedades
1. Se ß é o ângulo formado pelos vetores (portanto
0 β π≤ ≤ ), então sen .u v u v β× =
2. O vetor u v×
é ortogonal a e .u v
(como você demonstraria
este resultado?)
1 2 3, ,u u u u=
1 2 3, ,v v v v=
e u v
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1, ,u v u v u v u v u v u v u v× = − − −
1 2 3
1 2 3
i j k
u v u u u
v v v
× =
e u v
e u v
376 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
3. O sentido do vetor u v×
é dado pela regra da mão direita: com os dedos da mão direita curvados, girando no sentido de
(ângulo menor do que 1800), o dedo polegar estará
apontando no sentido do vetor u v×
.
OBS:
1. O produto vetorial é também denominado produto externo.
2. Da propriedade 3, pode-se concluir que ( ) ,u v v u× = − ×
ou
seja, o produto vetorial é uma operação não comutativa.
3. Se ß = 0º então os vetores são paralelos e 0u v× =
e, portanto, o vetor u v×
será o vetor nulo. Observe então que o produto vetorial de dois vetores pode ser nulo, sem que pelo menos um dos vetores seja nulo; basta que eles sejam paralelos.
4. Considerando os vetores unitários (ou seja, de módulo
igual a 1) do espaço R3, , podemos escrever as
seguintes igualdades:
para u v
e u v
, e i j k
CÁLCULO VETORIAL 377
Para melhor entender a tabela acima, basta lembrar que vetores paralelos possuem produto vetorial nulo (todo vetor é
paralelo a si próprio e, portanto, // , // e // ) e
que os vetores são perpendiculares entre si dois a
dois.
5. Considere o paralelogramo da figura abaixo:
A base do paralelogramo é dada por e a altura é dada por
. Assim, a área do paralelogramo é dada por:
A = base × altura =
Dizemos então que o módulo do produto vetorial é
numericamente igual à área do paralelogramo determinado
por .
i
i
j
j
k
k
, e i j k
u
v senθ
( )u v sen u v sen u vθ θ= = ×
u v×
e u v
i i 0× =
i j k× =
j j 0× =
j k i× =
k k 0× =
k i j× =
378 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
EXERCÍCIOS 6.3
1. Determine o produto vetorial . Em seguida, faça um esboço
dos vetores , e como vetores posição.
(a) (b)
2. Verifique se as afirmações a seguir fazem sentido, justificando sua resposta. Se fizerem, diga se correspondem a um escalar ou a um vetor.
(a) (b)
(c) (d)
3. Determine dois vetores unitários que sejam ortogonais tanto a
quanto a .
4. Determine a área do paralelogramo com vértices em A(5,2,0), B(2,6,1), C(2,4,7), D(5,0,6).
Equações Paramétricas de Retas
Podemos determinar uma reta r no plano ou no espaço a partir
de um ponto P0 sobre a reta e de um vetor não-nulo paralelo à reta.
u v×
u
v
u v×
2 , 2u i j k v j k= + − = +
1,2,0 , 0,3,1u v= =
( )u v w⋅ ×
( )u v w× ⋅
( )u v w× ×
( )u v w⋅ ×
1, 1,1− 0,4,4
v
CÁLCULO VETORIAL 379
Observe que vai existir uma única reta r passando por P0 e paralela ao vetor .v
Neste texto iremos fixar nossa atenção nas equações paramétricas de retas no espaço tridimensional. De maneira análoga essa discussão aplica-se a uma reta no plano.
Para determinar um ponto ( ), ,P x y z qualquer da reta r, basta
observarmos que a reta r é formada por todos os pontos ( ), ,P x y z
para os quais o vetor 0P P
é paralelo a , ,v a b c=
. Isso significa
que o ponto ( ), ,P x y z pertence a reta r se, e somente se, 0P P
é um
múltiplo escalar de .v
Escrevemos então a equação
0 ,P P tv t= ∈
ℝ
que também pode ser escrita como
380 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
0 0 0
0
0
0
, , , , , ,x x y y z z t a b c ta tb tc
x x ta
y y tb
z z tc
− − − = =
− =
⇒ − = − =
obtendo assim as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto P0 e tem a direção do vetor v
, descritas a seguir:
0
0
0
,
x x ta
equações paramétricas y y tb t
z z tc
= +
= + ∈ = +
ℝ
O vetor v
é denominado de vetor direção da reta r.
EXEMPLO 1 Encontre equações paramétricas da reta que passa
(a) pelo ponto P(3,1) e é paralela ao vetor ;
(b) pelo ponto ( )1,2,3Q − e é paralela ao vetor 2,3, 5v = −
;
Solução
(a) A partir de x – x0 = ta y – y0 = tb
com x0 = 3, y0 = 1, a = 1 e 2b = − , obtemos as equações paramétricas da reta no plano
(b) A partir de
x – x0 = ta y – y0 = tb z = z0 + tc
com 0 1x = − , y0 = 2, z0 = 3, a = 2, b = 3 e 5,c = − obtemos as
equações paramétricas da reta no espaço tridimensional
1, 2v = −
3
1 2
x t
y t
= +
= −
que passa pelo
Encontre equações paramétricas da reta que passa
, obtemos as equações
obtemos as
CÁLCULO VETORIAL
EXEMPLO 2 (a) Encontre equações paramétricas da reta r que passa pelos pontos
( )1,3, 2P − e ( )3,0,5Q .
(b) Em que ponto essa reta intercepta o plano yz? Solução
(a) Primeiramente devemos escolher um dos dois pontos para “montar” as equações. No nosso caso escolhemos o ponto
( )1,3, 2P − . Observe que o vetor é paralelo
à reta r (na realidade, ele possui representantes nesta reta).
As equações paramétricas da reta r são:
1 2
3 3 ,
2 7
x t
y t t
z t
= +
= − ∈ = − +
ℝ
1 2
2 3
3 5
x t
y t
z t
= − +
= + = −
2, 3,7PQ Q P= − = −
CÁLCULO VETORIAL 381
que passa pelos pontos
(a) Primeiramente devemos escolher um dos dois pontos para “montar” as equações. No nosso caso escolhemos o ponto
é paralelo
382 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
(b) A reta irá interceptar o plano yz no ponto em que x = 0, ou seja,
no ponto em que . Substituindo o valor de t nas equações
paramétricas da reta r, obtemos o ponto de interseção da reta r com o plano yz
.
OBS: Observe que poderíamos ter utilizado o ponto Q como ponto de r ao invés do ponto P. Iríamos obter as equações paramétricas:
3 2
3 ,
5 7
x t
y t t
z t
= +
= − ∈ = +
ℝ
que fornecerão o mesmo conjunto de pontos que constituirão a reta r.
EXEMPLO 3 Verifique se as retas
são paralelas ou se elas possuem algum ponto em comum. Solução
Para verificar se as retas são paralelas, basta averiguar se os vetores direção das retas dadas são paralelos, ou seja, múltiplos um do outro.
1
2t = −
9 11( , , ) 0, ,
2 2I x y z
= −
2
: 3 5
1 4
x t
r y t
z t
= +
= − = − +
1 2
: t2 5
3 8
x t
s y t
z t
= +
∈= − = − +
ℝ
= 0, ou seja,
. Substituindo o valor de t nas equações
com
como ponto as equações
que fornecerão o mesmo conjunto de pontos que constituirão
Para verificar se as retas são paralelas, basta averiguar se os vetores direção das retas dadas são paralelos, ou seja, múltiplos um do
CÁLCULO VETORIAL
A reta r tem como vetor direção o vetor e a reta
como vetor direção o vetor . Observe que o vetor
não é um múltiplo escalar do vetor , pois não podemos escrever
(k = constante).
Portanto, as retas r e s não são paralelas. As retas r e s irão se interceptar em algum ponto (a,b,c), se esse ponto pertencer as duas retas, ou seja, se existirem valores t1 e que:
1 2
1 2
1 2
2 1 2
3 5 2 10
1 4 3 8
t t
t t
t t
+ = +
− = −− + = − +
Para resolver esse sistema de três equações lineares com duas incógnitas, primeiramente resolvemos as duas primeiras equaobtendo t1 = 2t2. Substituindo t1 na terceira equação, obtemos
1 3− = − (?)
Portanto, podemos concluir que as retas não se interceptam.
OBS:
Duas retas no espaço tridimensional que não são paralelas e não se interceptam são denominadas de retas reversas.
Existem algumas situações em que estamos interessados apenas em parte de uma reta, ou seja, em um segmento de reta. Nesse caso, as equações paramétricas para um segmento de reta podem ser obtidas a partir das equações paramétricas da reta inteira restringindo o parâmetro t a um subintervalo da reta.
1, 5, 4v = −
2, 5,8w = −
u
w k u=
CÁLCULO VETORIAL 383
e a reta s tem
. Observe que o vetor
, pois não podemos escrever
irão se interceptar em algum ponto (a,b,c), se esse e t2 tais
Para resolver esse sistema de três equações lineares com duas incógnitas, primeiramente resolvemos as duas primeiras equações
Duas retas no espaço tridimensional que não são paralelas e
Existem algumas situações em que estamos interessados apenas . Nesse caso,
as equações paramétricas para um segmento de reta podem ser obtidas a partir das equações paramétricas da reta inteira
w
384 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
EXEMPLO 4 Determine as equações paramétricas para o
segmento de reta que vai do ponto ( )1,3, 2P − ao ponto ( )3,0,5Q .
Solução
As equações paramétricas da reta r que passa pelos pontos P e são:
1 2
3 3 ,
2 7
x t
y t t
z t
= +
= − ∈ = − +
ℝ
O ponto P é obtido fazendo t = 0 e o ponto Q é obtido fazendo t = 1 nas equações acima. Assim, as equações paramétricas para o segmento de reta que une os pontos P e Q são:
1 2
3 3 , 0 1
2 7
x t
y t t
z t
= +
= − ≤ ≤ = − +
OBS: 1) A partir das equações paramétricas, podemos obter a equação vetorial de uma reta, do seguinte modo:
.
0
0 0 0 0
0
0 0 0
, , , ,
, , , , , ,
x x ta
y y tb x y z x ta y tb z tc
z z tc
x y z x y z t a b c
= +
= + ⇔ = + + + = +
⇔ = +
Definindo os vetores como:
0 0 0 0, , ; , , ; , ,w x y z w x y z v a b c= = =
obtemos a equação vetorial da reta, dada por:
0, e w w v
Determine as equações paramétricas para o
.
e Q
= 1 nas equações acima. Assim, as equações paramétricas para o
1) A partir das equações paramétricas, podemos obter a
CÁLCULO VETORIAL 385
0 Equação Vetorialw w tv= +
2) Se a, b e c são todos não nulos, então podemos eliminar o parâmetro t, nas equações paramétricas, obtendo assim, as equações simétricas da reta.
0
00 0 0 0
0
00
x xt
ax x tay y x x y y z z
y y tb tb a b c
z z tcz z
tc
−=
= +− − − −
= + ⇒ = ⇒ = = = + −
=
3) Observe que nem as equações paramétricas nem as equações simétricas de uma reta são únicas.
EXERCÍCIOS 6.4
1. Determine as equações vetorial e paramétrica da reta que passa
pelo ponto ( )2,4,10− e é paralela ao vetor .
2. Determine as equações vetorial e paramétrica da reta que passa
pelo ponto (1,0,6) e é perpendicular ao plano .
3,1, 8−
3 5x y z+ + =
Equações Simétricas
386 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
3. Determine as equações paramétrica e vetorial da reta que passa
pelos pontos ( ) ( )3,1, 1 e 3,2, 6 .− −
4. (a) Determine a equação na forma simétrica da reta que passa pelo ponto (0,2,-1) e é paralela a reta com equações paramétricas
.
(b) Determine os pontos nos quais a reta obtida em (a) intercepta os planos coordenados.
5. Utilize as equações paramétricas do exercício 4, para constatar a veracidade da observação 3 descrita anteriormente.
Campo Vetorial
A idéia de campo vetorial está associada ao conceito de “fluxo” como, por exemplo, fluxo de um fluido ou fluxo da eletricidade. O conceito de campo vetorial pode ser entendido então como a descrição matemática de um fluxo.
Um campo vetorial em um plano é definido como sendo uma
função que associa a cada ponto P(x,y) do plano um único vetor
do plano. Um campo vetorial no plano pode ser descrito
como:
Analogamente, um campo vetorial no espaço tridimensional é
definido como sendo uma função que associa a cada ponto
P(x,y,z) do espaço um único vetor do espaço. Um campo
vetorial no espaço pode ser descrito como:
1 2 , 3 , 5 7x t y t z t= + = = −
V
( ),V x y
( ) ( ) ( ), , ,V x y f x y i g x y j= +
V
( ), ,V x y z
( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,V x y z f x y z i g x y z j h x y z k= + +
CÁLCULO VETORIAL
EXEMPLO 1 Considere um fluido (líquido ou gás) em movimento em uma tubulação horizontal e uma seção A desta (veja ilustração a seguir).
Pode-se mostrar que o conjunto dos vetores velocidade, em cada ponto do fluido dessa seção, descreve uma parábola com velocidade máxima no eixo da tubulação.
Nessas condições, diz-se que está definido um campo vetorial denominado de “campo de velocidades”.
Um campo vetorial pode ser visto geometricamente desenhando
vetores em alguns pontos do plano ou do espaço tridimensional.
V
CÁLCULO VETORIAL 387
do ou gás) em movimento em uma tubulação horizontal e uma seção A desta (veja
se mostrar que o conjunto dos vetores velocidade, em cada ponto do fluido dessa seção, descreve uma parábola com
se que está definido um campo vetorial
Um campo vetorial pode ser visto geometricamente desenhando-se
em alguns pontos do plano ou do espaço tridimensional.
388 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
EXEMPLO 2 Faça um esboço do campo vetorial
.
Solução
Observe que os vetores do campo vetorial têm o mesmo tamanho, direção e sentido, pois independem do ponto onde são aplicados. Para desenhar os vetores faça o seguinte: 1) Escolha um ponto qualquer do plano. 2) A partir do ponto escolhido, ande uma unidade para a direita (paralelamente ao eixo x). 3) Em seguida, ande duas unidades para baixo (paralelamente ao eixo y).
EXERCÍCIOS 6.5
1. Faça um esboço do campo vetorial dado, desenhando alguns vetores.
(a)
(b)
(c)
2. Determine se as afirmações sobre o campo
( ), 2V x y i j= −
( ),V x y xi=
( ),V x y yi xj= +
( ), 3V x y i j= +
que os vetores do campo vetorial têm o mesmo tamanho, direção e sentido, pois independem do ponto onde são aplicados.
2) A partir do ponto escolhido, ande uma unidade para a direita
3) Em seguida, ande duas unidades para baixo (paralelamente ao
desenhando alguns
CÁLCULO VETORIAL 389
são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
(a) À medida que o ponto (x,y) se afasta da origem, o tamanho dos vetores diminui. (b) Se (x,y) for um ponto no eixo x positivo, então o vetor aponta para cima. (c) Se (x,y) for um ponto no eixo y positivo, então o vetor aponta para a direita.
Derivada Direcional
Quando estudamos derivadas parciais, aprendemos a calcular a derivada de uma função em relação a cada uma de suas variáveis, ou
seja, supondo f uma função de x e y, vimos que ( )0 0,xf x y fornece a
variação de f, na direção do eixo-x, no ponto (x0, y0), assim como
( )0 0,yf x y fornece a variação de f, na direção do eixo-y, no ponto
(x0, y0).
A pergunta que surge neste momento é: podemos calcular a derivada de f, em uma direção qualquer do plano-xy, no ponto
( )0 0,x y ?
( )2 2 2 2
,x y
V x y i jx y x y
= −+ +
390 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
A resposta é sim e, para calculá-la, utilizaremos o seguinte teorema:
Teorema: Se f é uma função diferenciável de duas variáveis
e 1 2u u i u j= +
é um vetor unitário ( )1u =
, então a derivada
direcional de f, na direção de , em um ponto (x0, y0), é dada por
.
EXEMPLO 1 Calcule a derivada de ( ) 2,f x y x y= na direção
do vetor 2v i j= +
, no ponto P(1,-2).
Solução
Inicialmente precisamos verificar se o vetor dado é unitário, ou seja, se possui norma um. Para isso, calculamos
2 22,1 2 1 5.v = = + =
.
Como o vetor não é unitário, tomamos seu versor para calcular a derivada solicitada, ou seja, tomamos o vetor
2 1 2 1ou , .
5 5 5 5u i j u= + =
Pelo teorema anterior, temos então:
( ) ( ) ( )
( ) ( )2
1, 2 1, 2
2 11, 2 1, 2 1, 2
5 5
2 1 8 1 72 .
5 5 5 5 5
f f f
u x y
xy x− −
∂ ∂ ∂− = − ⋅ + − ⋅ =
∂ ∂ ∂
− −= + = + =
u
( )0 0 0 0 0 0 1 0 0 2, ( , ) ( , ) ( , )uf f f
D f x y x y x y u x y ux yu
∂ ∂ ∂= = +
∂ ∂∂
la, utilizaremos o seguinte
é uma função diferenciável de duas variáveis
, então a derivada
), é dada por
na direção
verificar se o vetor dado é unitário, ou seja,
não é unitário, tomamos seu versor para calcular a
CÁLCULO VETORIAL
EXEMPLO 2 Calcule a derivada de
direção do vetor unitário que faz um ângulo de 6
π com o eixo
Solução
O vetor unitário que faz um ângulo de 6
π
com o eixo-x é dado por
, ou seja, .
Aplicando o teorema anterior, obtemos:
( ) ( ) ( )3 1
, 6 4 2 , 3 3 2 3.2 2
f fx y x y x y x y
u u
∂ ∂= + − ⇒ = − +
∂ ∂
Definição: Se f é uma função de duas variáveis x e
fx e fy existem, então o gradiente de f no ponto (x0, y0), denotado
por , é dado pelo vetor
( ) ( ) ( ) ( ) (0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, , , , , , .f f f f
f x y x y i x y j x y x yx y x y
∂ ∂ ∂ ∂∇ = + =
∂ ∂ ∂ ∂
OBS:
Se é um vetor unitário, já vimos que a
derivada direcional de f, na direção de , em (x0, y0), é dada por:
( ) ( ) ( ) (0 0 0 0 0 0 1 0 0 2, , , , .uf f f
D f x y x y x y u x y uu x y
∂ ∂ ∂= = +
∂ ∂ ∂
Porém esta expressão é exatamente o resultado do produto interno (ou produto escalar) do vetor gradiente de f no ponto (x0, y0) pelo vetor u
. Portanto, outra maneira de representar
esta derivada direcional é:
2 2( , ) 3 4f x y x y x= − +
cos sen6 6
u i jπ π
= + 3 1
2 2u i j= +
0 0( , )f x y∇
1 2u u i u j= +
u
CÁLCULO VETORIAL 391
, na
com o eixo-x.
é dado por
, 6 4 2 , 3 3 2 3.
e y e se
), denotado
)0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, , , , , , .f x y x y i x y j x y x y
é um vetor unitário, já vimos que a
), é dada
)0 0 0 0 0 0 1 0 0 2, , , , .D f x y x y x y u x y u
Porém esta expressão é exatamente o resultado do produto no ponto
. Portanto, outra maneira de representar
( , ) 3 4f x y x y x= − +
392 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 0 0 0 0 0 1 2
0 0 0 0
, , , , ,
ou
, ,u
f f fx y x y x y u u
u x y
D f x y f x y u
∂ ∂ ∂= ⋅
∂ ∂ ∂
= ∇ ⋅
EXEMPLO 3 Calcule a derivada de , na
direção do vetor , no ponto P(-2,2), utilizando o
gradiente de f.
Solução
Inicialmente verificamos se o vetor dado é unitário:
é um vetor unitário.
Logo, pela observação acima temos , ou seja,
( ) ( )
( )
2,2
1 3 1 32,2 2 ,4 , 4, 4 ,
2 2 2 2
2 2 3 2 1 3 .
fx
v −
∂− = ⋅ = − − ⋅ =
∂
= − − = − +
EXEMPLO 4 Calcule a derivada de , na
direção do vetor unitário que faz um ângulo de 4
π com o eixo-x, no
ponto P(4,3). Solução
O vetor unitário que faz um ângulo de 4
π com o eixo-x é dado por
2( , ) 4f x y x y= −
1 3
2 2v i j= +
1 31
4 4v v= + = ⇒
ff v
v
∂= ∇ ⋅
∂
2 2
( , )16 9
x yf x y = +
, na
, no
é dado por
CÁLCULO VETORIAL
.
Assim, a derivada solicitada é dada por
.
Por outro lado, o gradiente de f é dado por
Logo, sua derivada direcional, no ponto P(4,3), é dada por
OBS: O gradiente de uma função em um ponto fornece a direção e o sentido da maior taxa de variação da função neste ponto. E o valor desta taxa máxima é dado pela norma do gradiente no ponto. De fato, temos que:
cos cosuD f f u f u fθ θ= ∇ ⋅ = ∇ = ∇
onde é o ângulo entre e . O valor máximo de
é igual a 1, e isso ocorre quando 0.θ = Portanto, o valor máximo da derivada direcional uD f
é f∇ e ocorre quando
0,θ = ou seja, quando u
tem a mesma direção que f∇
2 2cos sen
4 4 2 2u i j i j
π π= + = +
( )(4,3)
4,3 (4,3)uf
D f f uu
∂= = ∇ ⋅
∂
2 1 2( , ) , (4,3) ,
8 9 2 3
x yf x y f∇ = ⇒ ∇ =
( )1 2 2 2 2 2 7 2
4,3 (4,3) , ,2 3 2 2 4 3 12u
fD f
u
∂= = ⋅ = + =
∂
θ f∇ u
CÁLCULO VETORIAL 393
.
O gradiente de uma função em um ponto fornece a direção e o sentido da maior taxa de variação da função neste ponto. E o valor desta taxa máxima é dado pela norma do gradiente no
. O valor máximo de cosθ
Portanto, o valor e ocorre quando
.f
1 2 2 2 2 2 7 2
2 3 2 2 4 3 12
394 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
EXEMPLO 5
a) Determine a derivada direcional da função ( ), ,yf x y xe=
direção do vetor que vai do ponto P(2,0) ao ponto
b) Em que direção f tem a taxa máxima de variação? Qual é a taxa máxima de variação? Solução a) O vetor gradiente é dado por:
Considere
3 9 9 16 5,2 4 .
2 4 4 2v PQ v v
+= ⇒ = − ⇒ = + = =
Logo, v
não é unitário. Tomemos então:
3 4,
5 5.
v PQu
v PQ= = = −
Assim, a derivada direcional é dada por:
.
b) Pela observação anterior, f aumenta mais depressa na direção do
vetor gradiente e a taxa máxima de variação é dada
por:
( )2,0 1,2 5.f∇ = =
1, 2 .
2Q
( , ) , ,
(2,0) 1,2
y yx yf x y f f e xe
f
∇ = =
∇ =
( )3 4 3 4
2,0 1,2 , 1 2 15 5 5 5uD f f u
= ∇ ⋅ = ⋅ − = − + =
(2,0) 1,2f∇ =
, , na
tem a taxa máxima de variação? Qual é a taxa
aumenta mais depressa na direção do
e a taxa máxima de variação é dada
CÁLCULO VETORIAL
Observe que, no ponto P(2,0), a função aumenta mais rapidamente na direção do vetor gradiente.
EXEMPLO 6 A temperatura em cada ponto (x,y) de uma placa
retangular situada no plano xy é dada por ( ) 2 2,T x y x y= + .
a) Encontre a taxa de variação da temperatura no ponto P(3,4), na
direção e sentido que fazem um ângulo de 3
π com o eixo-x.
b) Encontre a direção e sentido em que a taxa de variação da temperatura é máxima no ponto P(1,1).
Solução
a) O vetor unitário, que faz um ângulo de ,3
π com o eixo-x
por:
.
Logo,
( )( )
3,43,4 .
TT u
u
∂= ∇ ⋅
∂
1 3cos sen
3 3 2 2u i j i j
π π= + = +
CÁLCULO VETORIAL 395
(2,0), a função aumenta mais rapidamente
) de uma placa
(3,4), na
Encontre a direção e sentido em que a taxa de variação da
é dado
396 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Por outro lado, o gradiente de T é dado por
Portanto, sua derivada direcional, no ponto P(3,4), é dada por
.
Assim, a taxa de variação da temperatura no ponto P(3,4), na
direção e sentido que fazem um ângulo de 3
π com o eixo-x, é de
aproximadamente 9,93 graus/unidade de comprimento.
b) A taxa de variação da temperatura é máxima no ponto P(1,1) na direção e sentido do gradiente de T neste ponto, o qual é dado por
.
Logo, a taxa de variação da temperatura é máxima no ponto P(1,1) na direção e sentido do vetor , ou seja, na direção que faz um
ângulo de 4
π radianos com o eixo-x.
EXEMPLO 7 O potencial elétrico em qualquer ponto do plano
xy é dado por . A distância é medida em metros.
a) Encontre a taxa de variação do potencial no ponto 0,4
Pπ
, na
direção do vetor .
b) Encontre a direção, o sentido e o valor da taxa de variação máxima do potencial em P. Solução
a) Seguindo os mesmos procedimentos adotados até aqui, temos:
( , ) 2 ,2 (3,4) 6,8T x y x y T∇ = ⇒ ∇ =
1 3(3,4) 6,8 , 3 4 3
2 2
T
u
∂= ⋅ = +
∂
( , ) 2 ,2 (1,1) 2,2T x y x y T∇ = ⇒ ∇ =
2,2
2( , ) cos(2 )xV x y e y−=
cos sen6 6
v i jπ π
= +
Assim, a taxa de variação da temperatura no ponto P(3,4), na
, é de
(1,1) na neste ponto, o qual é dado por
Logo, a taxa de variação da temperatura é máxima no ponto P(1,1) eja, na direção que faz um
O potencial elétrico em qualquer ponto do plano
. A distância é medida em
, na
Encontre a direção, o sentido e o valor da taxa de variação
CÁLCULO VETORIAL
3 1 3 11 0, 0, ,
4 4 4 4 2 2
Vv V
v
π π∂ = + = ⇒ = ∇ ⋅
∂
( ) ( )2 2
0,4
0, 2 cos 2 , 2 sen 2 0, 24
x xV e y e y π
π − −
∇ = − − = −
3 10, 0, 2 , 1.
4 2 2
V
v
π∂ ∴ = − ⋅ = −
∂
b) A direção e o sentido da taxa de variação máxima do potencial
em P é dado pelo gradiente de V em P, ou seja, pelo vetor
Portanto, na direção e sentido de . O valor da taxa de variação
máxima do potencial em P é dado pela norma do gradiente no ponto,
logo, .
OBS: Todas as definições e resultados apresentados acima podem ser estendidos para funções de três ou mais variáveis.
EXEMPLO 8 Se V(x, y, z) volts representa o potencial elétrico em um ponto (x, y, z) do espaço tridimensional, e se V é dado por
, determine:
a) A taxa de variação de V no ponto P(2, 2, -1), na direção do vetor .
b) A direção e sentido em que se dá a maior taxa de variação de em P. c) O valor da taxa de variação máxima em P.
Solução
j−
0, 2 2− =
2 2 2
1( , , )V x y z
x y z=
+ +
2, 3,6 2 3 6v i j k= − = − +
CÁLCULO VETORIAL 397
3 1 3 1
4 4 4 4 2 2
0, 2 cos 2 , 2 sen 2 0, 2∇ = − − = −
A direção e o sentido da taxa de variação máxima do potencial
.
. O valor da taxa de variação
é dado pela norma do gradiente no ponto,
Todas as definições e resultados apresentados acima podem ser estendidos para funções de três ou mais variáveis.
) volts representa o potencial elétrico é dado por
1), na direção do vetor
A direção e sentido em que se dá a maior taxa de variação de V
0, 2−
398 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
a) ( )22 22 3 6 7v v= + − + = ⇒
não é unitário. Tomemos,
portanto, seu versor para calcular a derivada direcional.
( )2 3 6 2 2 1
, , e 2,2, 1 , , .7 7 7 27 27 27
u V− − −
= ∇ − =
Assim,
( )2 2 1 2 3 6 8
2,2, 1 , , , , 0,042.27 27 27 7 7 7 189
V
u
∂ − − −− = ⋅ = ≈
∂
b) A maior taxa de variação de V em P se dá na direção do gradiente neste ponto. Se tomarmos o versor do gradiente, teremos uma idéia melhor desta direção:
( )( )
( )( )
2
9 3 12,2, 1
27 927
2,2, 1 2 2 1.
3 3 32,2, 1
V
Vi j k
V
∇ − = = =
∇ −⇒ = − − +
∇ −
c) O valor da taxa de variação máxima em P é dado pela norma do
gradiente no ponto, ou seja, é igual a 1
9.
EXERCÍCIOS 6.6
1. Encontre a derivada direcional de f em P, na direção indicada:
a) ( ) ( ) ( )2 2 2, 5 3 ; 3, 1 ;
2f x y x xy y P v i j= − + − = +
b) ( ) ( )2, ln ; 5,1 ; 4f x y x y P v i j= = − +
c) ( ) ( ), ; 2, 1 ; 3,4x y
f x y P vx y
−= − =
+
u não é unitário. Tomemos,
2,2, 1 , , , , 0,042.
se dá na direção do gradiente neste ponto. Se tomarmos o versor do gradiente, teremos uma idéia
.
é dado pela norma do
CÁLCULO VETORIAL 399
d) ( ) ( )2 2, , ; 2, 1,4 ; 1,2, 3f x y z xy z P v= − = −
e) ( ) ( ), , ; 1,3, 2 ;yz xyf x y z xe P v i j k+= − = + −
2. Uma chapa de metal está situada em um plano xy de modo que a temperatura T em (x,y) seja inversamente proporcional à distância da origem, e a temperatura em P(3,4) é 100 ºF.
a) Determine a taxa de variação de T em P na direção de .v i j= +
b) Determine a taxa de variação de T em P na direção de .v i j= −
c) Em que direção a taxa de variação é zero?
3. O potencial elétrico V em (x,y) é dado por:
( ) 2 2 2, , 4 9 .V x y z x y z= + +
a) Determine a taxa de variação de V em P(2,-1,3), na direção de P para a origem. b) Encontre a direção que produz a taxa máxima de variação de V em P. c) Qual a taxa máxima de variação em P?
4. A temperatura em um ponto (x, y, z) é dada por:
( )2 2 23 9, , 200 ,x y zT x y z e− − −=
onde T é medido em ºC e x, y e z em metros. a) Determine a taxa de variação da temperatura no ponto P(2, -1,2) em direção ao ponto Q(3, -3,3). b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em P? c) Encontre a taxa máxima de crescimento em P.
5. Determine as direções em que a derivada direcional de
no ponto P(1,0) tem valor igual a 1.
6. a) Mostre que uma função diferenciável f decresce mais depressa em x na direção oposta à do vetor gradiente.
2( , ) sen( )f x y x xy= +
400 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
b) Utilize a parte a) para determinar a direção em que
( ) 4 2 3,f x y x y x y= − decresce mais rápido no ponto ( )2, 3 .−
Integral de Linha
As integrais de linha encontram-se em inúmeras aplicações nas Ciências Exatas, como por exemplo, no cálculo do trabalho realizado por uma força variável sobre uma partícula, movendo-a de um ponto A a um ponto B no plano. Na Termodinâmica, uma integral de linha é utilizada para calcular o trabalho e o calor desenvolvido numa transformação qualquer.
Para entender melhor esse conceito, consideremos o problema
de encontrar a massa de um bastão de comprimento l cuja função
densidade linear (massa por unidade de comprimento) seja conhecida.
Dividimos o bastão em quantidades pequenas e consideramos
∆m a quantidade de massa contida no segmento de x até x + ∆x de
maneira que m
x
∆
∆ é a massa por unidade de comprimento no
segmento. Se a massa está distribuída uniformemente então, m
x
∆
∆ é
independente da escolha do segmento e é denominada de densidade
do corpo (ou mais corretamente, densidade de massa linear) e
CÁLCULO VETORIAL 401
indicada por ρρρρ, ou seja, m
xρ
∆=
∆ é constante em todo o
comprimento do bastão. A massa total é então M = ρρρρ llll.
Se a massa do bastão não estiver distribuída uniformemente,
então m
x
∆
∆ é a densidade média no segmento de x até x + ∆x, e seu
valor depende da posição do segmento e de seu comprimento.
Definimos então, o valor da função
( )0
limx
m dmx
x dxρ
∆ →
∆= =
∆
como sendo a densidade em qualquer ponto x do bastão, e a
quantidade diferencial dm = ρ (x) dx é a massa de um segmento dx em x.
A massa total do corpo é então, a soma das pequenas porções de massa do bastão, ou seja,
.
Esta integral é interpretada como sendo a área abaixo da curva
ρ (x) com x variando de 0 até l. Uma interpretação alternativa é
obtida, considerando a função densidade ρ (x) como uma propriedade associada com os pontos x de uma reta (o eixo x).
Consideremos agora, ao invés de uma reta, uma curva no plano xy, e seja f (x,y) a densidade de massa de um bastão curvado AB de um material qualquer (ver ilustração abaixo).
0( ) M dm x dxρ= =∫ ∫
ℓ
402 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Nesse caso, ds é uma quantidade infinitesimal do comprimento da linha C e
( ),dm f x y ds=
é a quantidade de massa dessa porção - onde ( ),f x y representa a
densidade linear em cada ponto da curva C.
Assim, a massa total do bastão é dada por:
( ),C C
M dm f x y ds= =∫ ∫
onde significa integração ao longo da curva C, de A até B.
A quantidade ( ),C
I f x y ds= ∫ é denominada integral de linha,
e inclui a integral definida como um caso particular. A curva C é chamada o caminho da integração.
C∫
CÁLCULO VETORIAL
Para calcular uma integral de linha, geralmente é necessário conhecer a equação da curva C, a qual pode ser dada na forma cartesiana ou paramétrica. A forma cartesiana é mais utilizada, quando a curva é o gráfico de uma função, ou seja, quando sua
expressão matemática é do tipo ( ).y y x= Já a forma paramétrica,
abrange o caso geral, tanto para gráficos de função ou não.
Em ambos os casos, uma integral de linha pode ser transformada em uma integral simples de uma função de uma
variável. Para isso, basta restringirmos os valores de (f x y
pontos da curva C, e encontrarmos uma expressão adequada para
Para acharmos ds, devemos observar que ela é uma quantidade infinitesimal do comprimento da curva C. Assim, por ser infinitesimal, podemos supor que ela é a hipotenusa do triângulo retângulo, cujos catetos são dx e dy (ver figura).
CÁLCULO VETORIAL 403
é necessário , a qual pode ser dada na forma
A forma cartesiana é mais utilizada, quando a curva é o gráfico de uma função, ou seja, quando sua
Já a forma paramétrica,
Em ambos os casos, uma integral de linha pode ser transformada em uma integral simples de uma função de uma
),f x y aos
, e encontrarmos uma expressão adequada para ds.
, devemos observar que ela é uma quantidade . Assim, por ser
infinitesimal, podemos supor que ela é a hipotenusa do triângulo
404 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Aplicando o Teorema de Pitágoras nesse triângulo, obtemos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2
.ds dx dy ds dx dy= + ⇒ = +
Aqui, temos dois casos a considerar:
1o Caso: ( )y y x=
Nesse caso, temos que:
2 2 2 2
( ) '( )
( ) [ '( )] ( ) 1 [ '( )]
y y x dy y x dx
ds dx y x dx y x dx
= ⇒ =
⇒ = + = +
Portanto,
( ) ( )( ) ( )2
, , 1 ' .b
aC
f x y ds f x y x y x dx = + ∫ ∫
CÁLCULO VETORIAL
EXEMPLO Calcule a integral C
xy ds∫ sobre a curva y =
ponto ( )0,0 ao ponto 1
1, .2
Solução
Escreva a função ( ),f x y xy= restrita à curva C:
2 2 3
,2 2 2
x x xf x x
= ⋅ =
Encontre ds:
( )2 21 ' 1ds y x dx x dx = + = +
Substitua os itens encontrados na integral C
xy ds∫ :
31 12 3 2
0 0
11 1
2 2C
xxy ds x dx x x dx= + = +∫ ∫ ∫
Calcule a integral obtida:
CÁLCULO VETORIAL 405
2
2
x= do
406 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
( )
( )
( ) ( )
13 2
0
12 2
0
12
0
5 314 2
0
15 32 22 2
0
5 3
11
2
11
21
12
1 1
2 2 5 3
1 1
10 6
2 2 1 1 1 2.
10 3 10 6 15
C
x
x
xy ds x x dx
x x xdx
u u udu
u uu u du
x x
=
=
= + =
= + =
= − =
= − = − =
+ +
= − =
+= − − + =
∫ ∫
∫
∫
∫
2o Caso: Curva dada na forma paramétrica.
( ) '( );
( ) '( ) a b
x x t dx x t dtt t t
y y t dy y t dt
= = ⇒ ≤ ≤
= =
2 2 2 2
2 2
[ '( )] ( ) [ '( )] ( )
[ '( )] [ '( )]
ds x t dt y t dt
x t y t dt
⇒ = + =
= +
Portanto,
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2
, , ' ' .b
a
t
tC
f x y ds f x t y t x t y t dt = + ∫ ∫
2 21 2 2u x udu xdx
x dx u du
= + ⇒ =
⇒ =
u x udu xdx
CÁLCULO VETORIAL
EXEMPLO Calcule a integral ( )22 ,C
x y ds+∫ quando C é a parte
da circunferência unitária 2 2 1, onde 0,x y x+ = ≥ percorrida no
sentido anti-horário.
Solução
A curva C pode ser representada pelas equações paramétricas:
( )( )
cos;
sen 2 2
x t tt
y t t
π π =− ≤ ≤
=
Assim,
( ) ( )( ) 2, 2 cos senf x t y t t t= +
e,
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
' ' sen cos 1 .ds x t y t dt t t dt dt = + = − + =
Portanto,
( ) ( )2 22
2
22 2
2 2
32 2
2 2
2 2 cos sen
2 cos sen
cos2 0 0 2 .
3
C
x y ds t t dt
dt t t dt
tt
π
π
π π
π π
π π
π π π π π
−
− −
− −
+ = + =
= + =
= − = + − + =
∫ ∫
∫ ∫
2 2
3 3
cos sen
3 3
t t dt u du
u t
= − =
= − = −
∫ ∫
CÁLCULO VETORIAL 407
é a parte
percorrida no
pode ser representada
2 2
π π− ≤ ≤
f x t y t t t
' ' sen cos 1 .ds x t y t dt t t dt dt
2 2
3 3cos
3 3
t t dt u du
u t
= − =
= − = −
∫ ∫
408 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
OBS:
O Cálculo de integrais de funções, sobre curvas no espaço, é feito de modo totalmente análogo às curvas planas, lembrando que as curvas no espaço são mais facilmente descritas por equações paramétricas.
EXEMPLO
Calcule ( )2 2 ,C
x y z ds+ −∫ onde C é a hélice circular dada
por:
( )( )
( )
cos
sen
x t t
y t t
z t t
=
=
=
do ponto ( )1,0,0P até o ponto ( )1,0,2 .Q π
Solução
( ), ,F x y z restrita à curva C, é dada por:
( ) 2 2cos senF t t t t= + − , ou seja, ( ) 1 .F t t= −
Por outro lado, temos que:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 2
' ' '
sen cos 1 2
ds x t y t z t dt
t t
= + + =
= − + + =
e do ponto P ao ponto Q, t varia de 0 a 2 .π
Portanto,
O Cálculo de integrais de funções, sobre curvas no espaço, é feito de modo totalmente análogo às curvas planas, lembrando
é a hélice circular dada
CÁLCULO VETORIAL
( ) ( )
( ) ( )
2222 2
00
2 2
1 2 22
2 2 2 2 2 .
t
tC
tx y z ds t dt t
ππ
π π π π
=
=
+ − = − = − =
= − = −
∫ ∫
Uma forma geral alternativa da integral de linha no plano é
( ) ( ), ,C
I F x y dx G x y dy = + ∫
que pode ser convertida a uma integral ordinária quando a equação da curva C for conhecida.
Para uma curva y = y (x) de x a= até x b= , substituindo
por na integral acima obtemos:
( )( ) ( )( ), , .C
dyI F x y x G x y x dx
dx
= + ∫
Se a curva é dada na forma paramétrica, com x = x (t) e yde at t= até bt t= , então
e a integral torna-se
( ) ( )( ) ( ) ( )( ), , .b
a
t
t
dx dyI F x t y t G x t y t dt
dt dt
= + ∫
dy
dxdx
dx dy
dx dt e dy dtdt dt
= =
CÁLCULO VETORIAL 409
+ − = − = − =
integral de linha no plano é:
que pode ser convertida a uma integral ordinária quando a equação
, substituindo dy
y = y (t)
410 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
EXEMPLO 1
(a) Ache o valor da integral sobre o caminho C (ver figura) para eF y G xy= − = , quando C vai de A até B.
(b) Ache o valor da integral sobre o caminho C (ver figura) para eF y G xy= − = , quando C vai de B até A.
Solução
(a) Considerando 1y x= − (equação da reta que vai de A até B)
com 1 ≤ x ≤ 0, temos que dy dx= − e, portanto,
( ) ( ) ( ) ( )
( )
0
1
12
0
, , 1 1 1
21 .
3
C
I F x y dx G x y dy x x x dx
x dx
= + = − − − − =
= − =
∫ ∫
∫
(b) Considerando 1y x= − (equação da reta) com 0 1,x≤ ≤ temos
que dy dx= − e, portanto,
(ver figura) para
(ver figura) para
vai de A até B)
= + = − − − − =
temos
CÁLCULO VETORIAL
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
0
12
0
, , 1 1 1
21 .
3
C
I F x y dx G x y dy x x x dx
x dx
= + = − − − − =
= − = −
∫ ∫
∫
OBS: Em geral se atribui um sentido para o cálculo de uma integral de linha ao longo de uma curva orientada C. Isso é necessário porque as grandezas físicas, obtidas por este procedimento, ficam afetadas de um sinal algébrico. Observe que no exemplo 1, invertendo a orientação da curva C o sinal da integral de linha mudou. Se C for uma curva lisa orientada, denotamos por –C a curva orientada que consiste dos mesmos pontos de C, mas com orientação oposta.
De uma maneira geral, o valor de uma integral de linha
depende do caminho de integração, como mostra o exemplo abaixo.
EXEMPLO 2 Ache o valor da integral sobre o caminho figura) quando eF y G xy= − = de A até B.
CÁLCULO VETORIAL 411
I F x y dx G x y dy x x x dx= + = − − − − =
Em geral se atribui um sentido para o cálculo de uma integral . Isso é necessário
porque as grandezas físicas, obtidas por este procedimento,
, invertendo a orientação da curva for uma curva lisa
a curva orientada que consiste
valor de uma integral de linha depende do caminho de integração, como mostra o exemplo abaixo.
Ache o valor da integral sobre o caminho C (ver
412 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Solução
A equação do arco circular é dada por:
21y x= + −
2
02 2
1
1
( , ) ( , )
11 .
4 3
C C
x xdy dx dx
yx
F x y dx G x y dy y dx xy dy
x x dxπ
⇒ = − = −−
⇒ + = − + =
= − − − = +
∫ ∫
∫
OBS: Observe que apesar das funções F(x,y) e G(x,y) serem as mesmas do exemplo 1, o resultado obtido para a integral de linha foi diferente. Isto se deve ao fato de, neste caso, o caminho de integração ser diferente.
EXEMPLO 3 Calcule a integral do exemplo 2, agora utilizando equações paramétricas para a curva C. Solução
As equações paramétricas para a curva C são dadas por:
( )( )
cos sen, 0
sen cos2
x t t dx t dtt
y t t dy t dt
π = = −≤ ≤ ⇒
= =
Portanto,
) serem as , o resultado obtido para a integral de
linha foi diferente. Isto se deve ao fato de, neste caso, o
Calcule a integral do exemplo 2, agora utilizando
CÁLCULO VETORIAL
[ ] ( )( ) ( )( )(2
0
2 2 2 22 2 2
0 0 0
3 22
0 0
sen sen cos sen cos
sen cos sen sen cos sen
1 1 cos 1sen 2 .
2 4 3 4 3
C
tt
t t
y dx xy dy t t dt t t t dt
t t t dt t dt t t dt
tt t
π
π π π
ππ
π==
= =
− + = − − + =
= + = + =
= − − = +
∫ ∫
∫ ∫ ∫
OBS: Observe que o resultado obtido no exemplo 3, foi o mesmo do exemplo 2, o que já era esperado, pois tomamos a mesma curva e apenas mudamos o modo de representámatematicamente. Portanto, lembre-se que:
→ O valor da integral de uma função ou uma forma diferenciável, sobre uma curva C, será sempre o mesmo, independentemente da expressão matemática que utilizamos para representá-la (forma cartesiana ou paramétrica).
→ O valor da integral de uma função ou uma forma diferenciável, sobre uma curva C, poderá ser diferente sobre caminhos (curvas) diferentes.
Existem alguns tipos de integrais de linha, ao longo de uma curva C (denominada de caminho de integração), cujo valor depende apenas dos pontos extremos da curva e não da própria curva. Neste caso, dizemos que a integral de linha independe do caminho de integração C.
O valor de uma integral de linha
( ) ( ), ,C
I F x y dx G x y dy = + ∫
CÁLCULO VETORIAL 413
)sen sen cos sen cos
sen cos sen sen cos sen
y dx xy dy t t dt t t t dt
t t t dt t dt t t dt
− + = − − + =
= + = + =
exemplo 3, foi o mesmo do exemplo 2, o que já era esperado, pois tomamos a mesma curva e apenas mudamos o modo de representá-la
de uma função ou uma forma sempre o mesmo,
independentemente da expressão matemática que utilizamos
de uma função ou uma forma , poderá ser diferente sobre
Existem alguns tipos de integrais de linha, ao longo de uma ), cujo valor
depende apenas dos pontos extremos da curva e não da própria de linha independe do
414 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
é independente do caminho, entre dois pontos fixos, se a quantidade
( ) ( ), ,F x y dx G x y dy+
for uma diferencial exata, ou seja, se existir uma função z = f(x,y) tal que
( ) ( ), , .y x
z zF x y dx G x y dy dz dx dy
x y
∂ ∂ + = = +
∂ ∂
A condição para uma diferencial em duas variáveis ser exata é que as funções F e G satisfaçam a seguinte igualdade:
ouyx
F G z z
y x y x x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
EXEMPLO 4
(a) Verifique se a diferencial xy xydz ye dx xe dy= + é exata.
(b) Ache o valor da integral de linha C
dz∫ onde C é o segmento de
reta que vai de (0,0) a (2,2).
(c) Calcule o valor da integral de linha C
dz∫ onde C é o caminho dado
pela curva 2
2
xy = que vai de (0,0) a (2,2).
Solução
(a) Considerando ( ) ( ), e ,xy xyF x y ye G x y xe= = , para verificar
se a diferencial dz é exata, basta verificar se
.yx
F G
y x
∂ ∂ =
∂ ∂
(Relação de reciprocidade de Euler)
entre dois pontos fixos, se a quantidade
) tal
A condição para uma diferencial em duas variáveis ser exata é
é o segmento de
onde C é o caminho dado
para verificar
CÁLCULO VETORIAL 415
Calculando as derivadas parciais obtemos:
( )
( )
1 1
1 1
xy xy xy
x
yxy xy xy x
y
Fe ye x e xy
y F G
y xGe xe y e xy
x
∂= + = +
∂ ∂ ∂ ⇒ =
∂ ∂∂ = + = + ∂
e, portanto, a diferencial dz é exata.
(b)
2 2
2
2
0
2 44
0 0
22 1.
2
xy xy x x
C C
x u
dz ye dx xe dy xe dx xe dx
xe dx e du e
= + = + =
= = = −
∫ ∫ ∫
∫ ∫
(c)
3 3
3
2222 2
0
2 42 42
0 0
2
3 3 21.
2 2 3
x xxy xy
C C
xu
xdz ye dx xe dy e dx x e dx
x e dx e du e
= + = + =
= = ⋅ = −
∫ ∫ ∫
∫ ∫
2 2
2
u x du xdx
duxdx
= ⇒ =
⇒ =
:
0 2
C y x dy dx
x
= ⇒ =
≤ ≤
2
:2
0 2
xC y dy xdx
x
= ⇒ =
≤ ≤
32
2
3
2 22
3
xu du x dx
x dx du
= ⇒ =
⇒ =
416 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
OBS: Observe que no exemplo 3, como a diferencial é exata o valor da integral independe do caminho que vai do ponto (0,0) ao ponto (2,2). Assim, quando for calcular uma integral de linha
, verifique primeiramente se a diferencial é exata. Se a
diferencial for exata, você poderá escolher qualquer “curva” para representar o caminho C.
EXERCÍCIOS 6.7
1. Calcule a integral de linha 2
C
xy dx x dy + ∫ se:
a) C consiste do segmento de reta que vai de (2,1) a (4,1) e do segmento de reta que vai de (4,1) a (4,5);
b) C é o segmento de reta de (2,1) a (4,5);
c) As equações paramétricas de C são:
2 53 1 ; 3 2 , 1 .
3x t y t t t= − = − ≤ ≤
2. Calcule a integral de linha ao longo do caminho C.
a) 26C
x y dx xy dy + ∫ onde C é o gráfico de 3 1y x= + de ( )1,0− a
( )1,2 .
b) ( )C
y dx x y dy + + ∫ onde C é o gráfico de 2 2y x x= + de (0,0)
a (2,8).
C
dz∫
CÁLCULO VETORIAL 417
c) ( )C
x y dx x dy − + ∫ onde C é o gráfico de 2y x= de ( )4, 2− a
(4,2).
3. Verifique se as diferenciais dadas são exatas.
a) ( ) ( )4 3 3 8dz x y dx x y dy= + + +
b) cos sendz y x dx x dy= +
4. Avalie a integral de linha [ ]2C
xy dx y dy+∫ de x = 0 até x = 2
sobre a reta y = 2x e sobre a curva y = x2.
5. Integre ( ) 2 2,f x y x y= − sobre a reta 2y x= de x = 0 até x = 1.
6. Mostre que:
( ) ( ), , ,dz F x y dx G x y dy= +
para ( ) ( )2 2 2 2, 9 4 4 e , 8 2 3 ,F x y x y xy G x y xy x y= + + = + + é uma
diferencial exata. Escolhendo um caminho apropriado, avalie a
integral [ ]C
F dx G dy+∫ de (0,0) a (1,2).
418 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Algumas Aplicações
1. Comprimento de Arco
Como já comentamos anteriormente, dS representa uma porção infinitesimal de uma curva C, ou seja, uma unidade de comprimento infinitesimal da curva, obtida quando dividimos C em uma imensa quantidade de pequenos pedacinhos. Portanto, quando somamos os comprimentos de todos esses pedacinhos, obtemos o comprimento total da curva C, denominado de comprimento de arco representado por:
C
dS S= =∫ comprimento da curva C
EXEMPLO Mostre que o comprimento de uma circunferência de raio R é igual a 2 .Rπ
Solução
Considere as equações paramétricas de uma circunferência de raio R, definidas por:
( )( )
cos; 0 2
sen
x t R tt
y t R tπ
=≤ ≤
=
sen
cos
dx R t dt
dy R t dt
= −⇒
=
Portanto,
( ) ( )
( )
2 2 2
0
22 2 2 2
00
sen cos
sen cos 2 .
C
tt
S dS R t R t dt
R t t dt R t R
π
ππ π=
=
= = − + =
= + = =
∫ ∫
∫
representa uma porção , ou seja, uma unidade de comprimento
em uma imensa quantidade de pequenos pedacinhos. Portanto, quando somamos os comprimentos de todos esses pedacinhos, obtemos o comprimento
e
ue o comprimento de uma circunferência de
CÁLCULO VETORIAL
2. Movimento
Quando um objeto se desloca, sobre uma curva do plano, seu deslocamento pode ser medido através do cálculo do comprimento da curva sobre a qual este se deslocou, como feito anteriormente.
Porém, quando estudamos deslocamentos de objetos ou corpos, estamos interessados em obter mais informações tais como a velocidade e a aceleração, por exemplo. Nesses casos, a notação vetorial simplifica muito os cálculos. Levando isso em consideração, é por isso que a Física representa a posição de um objeto no plano (ou no espaço) através do seu vetor posição.
Para estudar o movimento de um ponto P em um plano, durante um determinado intervalo de tempo, é necessário saber sua posição
( ),x y em um instante t qualquer. Vamos supor que para objetos em
movimento, sua massa esteja concentrada em um ponto ( , .P x y
Assim, se o ponto ( ),P x y se movimenta no plano, durante um
tempo t, por exemplo, é conveniente representá-lo através de suas equações paramétricas:
( ) ( ),x x t y y t= =
com t variando em um determinado intervalo I.
CÁLCULO VETORIAL 419
Quando um objeto se desloca, sobre uma curva do plano, seu pode ser medido através do cálculo do comprimento
da curva sobre a qual este se deslocou, como feito anteriormente.
Porém, quando estudamos deslocamentos de objetos ou corpos, estamos interessados em obter mais informações tais como a
ração, por exemplo. Nesses casos, a notação vetorial simplifica muito os cálculos. Levando isso em consideração, é por isso que a Física representa a posição de um objeto no plano
, durante é necessário saber sua posição
. Vamos supor que para objetos em
), .P x y
durante um
lo através de suas
420 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Considerando
( ) ( ) ( )r t x t i y t j= +
o vetor posição do ponto P, segue que, quando t varia no intervalo I,
a extremidade de descreve uma trajetória delineada pela curva
C no plano.
Definimos então, o vetor tangente à curva C, com ponto inicial em P, apontando na direção em que a curva C é descrita para valores valores crescentes de t, como sendo o vetor
( ) ( ) ( )' ' 'r t x t i y t j= +
cujo módulo (ou norma) é determinado por:
( ) ( ) ( )2 2
' ' ' .r t x t y t = +
Vimos que, se uma curva C possui equações paramétricas
( ) ( ),x x t y y t= =
para qualquer It ∈ , então sua unidade de comprimento de arco é dada por:
( ) ( ) ( )2 2
' ' ' ,ds s t dt x t y t dt = = +
de onde concluímos que:
( ) ( ) ( ) ( )2 2
' ' ' ' ,s t x t y t r t = + =
ou seja, ( )'r t
é a taxa de variação do comprimento de arco em
relação ao tempo t.
Denominamos então ( )'r t
como sendo o módulo da
velocidade do ponto P. O vetor tangente ( )'r t
é definido como
sendo a velocidade vetorial do ponto P no instante t, e o vetor
( )r t
CÁLCULO VETORIAL
( )'' ,r t
que é representado graficamente por um vetor com ponto
inicial em P, é a aceleração de P. Na maioria dos casos, o vetor
( )''r t
está dirigido para o lado côncavo da curva C.
Resumindo, considerando
( ) ( ) ( )r t x i y j x t i y t j= + = +
como sendo o vetor posição de um ponto ( ),P x y em movimento em
um plano-xy, onde t é o tempo e ( )x t e ( )y t têm derivadas primeira
e segunda, a velocidade vetorial, a velocidade e a aceleração do ponto P no instante t são dados por:
Velocidade vetorial: ( ) ( )'dx dy
v t r t i jdt dt
= = +
Velocidade: ( ) ( ) ( )2 2
'dx dy
v t v t r tdt dt
= = = +
Aceleração: ( ) ( ) ( )2 2
2 2' ''
d x d ya t v t r t i j
dt dt= = = +
EXEMPLO Lança-se um projétil, com velocidade inicial
um ponto oh metros acima do solo. Se a única força que atua sobre
o projétil é causada pela aceleração gravitacional ,g
determine sua
posição após t segundos. Solução
Vamos inserir um plano-xy, onde ( )00,h é o ponto de onde o
projétil é lançado. Denotemos por ( ),P x y a posição do projétil
após t segundos, e seja ( )r t
o vetor posição de P.
CÁLCULO VETORIAL 421
que é representado graficamente por um vetor com ponto
. Na maioria dos casos, o vetor
em movimento em
têm derivadas primeira
aceleração do
2 2
se um projétil, com velocidade inicial 0v
de
metros acima do solo. Se a única força que atua sobre
determine sua
é o ponto de onde o
a posição do projétil
422 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Como atua na direção para baixo, segue que:
e 9,8g g j g g= − = ≈
m/s2
Pela segunda lei de Newton, temos que ,F m a=
onde a
é a
aceleração do projétil.
Temos então que:
m a m g a g= ⇒ =
,
o que conduz à equação diferencial vetorial
( )'' .r t g=
Integrando os dois lados da igualdade, obtemos:
( )'r t tg C= +
para algum vetor constante .C
Como ( )'r t
é a velocidade do projétil no instante t, e
( )
( )0
0
' 0
' ,
v r C
r t tg v
= =
= +
integrando novamente os dois lados da igualdade, obtemos:
( ) 20
1
2r t t g t v d= + +
g
CÁLCULO VETORIAL
para algum vetor constante .d
Como ( ) 00 ,r h j=
segue que
0 .d h j=
Consequentemente,
( ) 20 0
1.
2r t t g t v h j= + +
Levando em conta que g g j= −
, podemos também escrever:
( ) 20 0
1.
2r t t g h j t v
= − + +
EXERCÍCIOS 6.8
1. O vetor posição de um ponto P, que se move em um plano
dado por ( ) ( )2 31 ,r t t i t j= + +
para 0 2.t≤ ≤
(a) Ache a velocidade e a aceleração de P no instante t = 1.
(b) Esboce a trajetória C do ponto, e os vetores ( ) ( )1 e 1 .v a
2. Seja ( ) ( )sen 4cos 2 ,r t t i t j= +
o vetor posição de um ponto
que se move em um plano-xy.
(a) Ache a velocidade e a aceleração de P no instante .
(b) Esboce a trajetória C do ponto, e os vetores
3. Mostre que se tem derivada e é constante, então
é ortogonal a para todo t no domínio de
Sugestão: usar produto escalar.
4. Se ( )r t
é o vetor posição de um ponto P, ache a velocidade, a
aceleração e o módulo da velocidade no instante t dado.
6t
π=
e 6 6
v aπ π
( )r t
( )r t
( )'r t
( )r t
CÁLCULO VETORIAL 423
segue que
podemos também escrever:
que se move em um plano-xy, é
1 e 1 .
o vetor posição de um ponto P
.
é constante, então
no domínio de .
, ache a velocidade, a
6 6
π π
( )'r t
424 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
(a) ; t = 2.
(b) ; t = 0.
5. Calcule ( )r t
sujeito às condições dadas.
(a) , .
(b) , e .
6. Seja ( ) ( )22 4 , 2 3.r t t i t j t= + − − ≤ ≤
(a) Trace a curva C determinada por ( )r t
e indique a orientação
dessa curva.
(b) Ache ( )'r t
e faça um esboço dos vetores ( ) ( )1 e ' 1 .r r
7. Seja C a curva de equações paramétricas
2 3, , ; 0.x t y t z t t= = = ≥
Obtenha o vetor tangente a curva C no ponto correspondente a t = 2.
Teorema de Green
O Teorema de Green estabelece uma relação entre as integrais duplas e as integrais de linha sobre uma curva fechada no plano.
Considerando e funções contínuas com
derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre uma curva fechada simples C (curva que não se cruza em nenhum ponto) e na região interna D de C, temos que:
2 3( )
1r t i j
t t= +
+2( ) t tr t e i e j−= +
( ) ( )2 3' 6 1 8r t t i t j t k= + + +
( )0 2 3r i j k= − +
( ) 2'' 6 12r t ti t j k= − +
( )' 0 2 3r i j k= + −
( )0 7r i k= +
( ),M x y ( ),N x y
CÁLCULO VETORIAL
( ) ( ), ,C D
N MM x y dx N x y dy dA
x y
∂ ∂ + = − ∂ ∂ ∫ ∫∫
onde oudA dx dy dA dy dx= =
Curva fechada simples
OBS: 1) No Teorema de Green, usaremos a convenção de que a orientação positiva de uma curva fechada simples C se refere a percorrer C no sentido anti-horário.
2) O teorema de Green é importante porque em certos problemas é mais fácil resolver a integração através da integral dupla, do que utilizando uma integral de linha.
EXEMPLO Calcule a integral 4
C
x dx xy dy + ∫ onde
o caminho descrito na figura abaixo.
Solução
Se fôssemos calcular a integral, utilizando os métodos usuais, vistos anteriormente, teríamos que estabelecer três integrais separadas sobre os três lados dos triângulos.
CÁLCULO VETORIAL 425
Curva fechada
simples
, usaremos a convenção de que a se refere
2) O teorema de Green é importante porque em certos problemas é mais fácil resolver a integração através da
onde C é
Se fôssemos calcular a integral, utilizando os métodos usuais, vistos anteriormente, teríamos que estabelecer três integrais
426 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Para utilizar o Teorema de Green, observamos que a região está cercada por uma curva simples C que tem orientação
positiva. Considerando ( ) 4,M x y x= e ( ),N x y xy= temos
que:
( )
( )
( )
1 14
0 0
11 1 22
0 00
3 1
0
0
1 11
2 2
1 11 .
6 6
x
C D
y x
y
x
x
N Mx dx xy dy dA y dy dx
x y
y dx x dx
x
−
= −
=
=
==
∂ ∂ + = − = − = ∂ ∂
= = − =
= − −
∫ ∫∫ ∫ ∫
∫ ∫
3) Se formos calcular a integral de linha ,C
dz∫ sobre uma
curva fechada simples C e com ( ) ( ), ,dz M x y dx N x y dy= +
uma diferencial exata, segue da regra de Euler e do Teorema
de Green que 0.C
dz =∫
EXERCÍCIOS 6.9
Calcule a integral de linha ao longo da curva C dada, com orientação positiva.
a) 2y y
C
e dx xe dy + ∫ ; C: quadrado com vértices em (0,0), (1,0),
(0,1) e (1,1).
b) ( ) ( )22 cosx
C
y e dx x y dy + + + ∫ ; C é a fronteira da região
delimitada por e . 2y x= 4y =
Para utilizar o Teorema de Green, observamos que a região D que tem orientação
temos
x dx xy dy dA y dy dx+ = − = − =
sobre uma
dz M x y dx N x y dy
uler e do Teorema
dada, com orientação
(0,0), (1,0),
é a fronteira da região
CÁLCULO VETORIAL 427
c) ; C: círculo 2 2 4x y+ = .
Funções de Estado
Para entendermos melhor o que é uma função de estado, vamos fazer uma analogia com o processo de subir uma montanha. Considere a montanha descrita na ilustração abaixo.
Suponha que você seja um alpinista e queira chegar ao topo de
uma montanha. Existem várias maneiras de fazer isso: você pode ir direto ao topo – caminho mais curto, porém mais íngreme – ou seguir um caminho em espiral – caminho mais longo, porém menos íngreme. O tempo que você vai levar para chegar ao topo depende do caminho que escolher. As quantidades íngreme e longo são consideradas dependentes do caminho.
Agora, qualquer que seja o caminho escolhido, você terminará seu percurso no mesmo lugar (alto da montanha). A sua altitude acima do ponto inicial será a mesma, no final do percurso, independentemente do caminho que você escolheu. Dizemos então que sua altitude final é independente do caminho.
A altitude em que estiver no final da escalada pode ser considerada uma função de estado: é independente do caminho. Já o
3 3
C
y dx x dy−∫
428 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
comprimento do caminho, montanha acima, não é uma função de estado porque é dependente do caminho.
Todo processo físico ou químico pelo qual passa um sistema, apresenta condições iniciais e finais, mas existem várias maneiras de ir do início ao fim de tal processo. Uma função de estado é qualquer propriedade termodinâmica cujo valor para o processo seja independente do caminho; ela depende apenas do estado do sistema (em termos de variáveis de estado como P, V, T, n) e não de sua história ou de como o sistema chegou àquele estado.
Uma propriedade termodinâmica cujo valor para o processo depende do caminho não é uma função de estado. A energia interna, U, de um sistema é um exemplo de uma função de estado, enquanto que o trabalho (w) e o calor (q) não são funções de estado. Geralmente, as funções de estado são representadas por letras maiúsculas enquanto que funções que não são de estado são representadas por letras minúsculas.
Podemos observar outra diferença entre as funções w e q e a função de estado U, cujas variações infinitesimais no trabalho, no calor e na energia interna são representadas por dw, dq e dU. Em um processo completo, essas quantidades infinitesimais são somadas desde as condições iniciais até as finais, mas com uma pequena diferença no resultado. Quando dw e dq são somadas, os resultados são as quantidades absolutas de trabalho w e de calor q envolvidas no processo, enquanto que quando dU é somada, o resultado não é a
quantidade U absoluta de energia, mas a variação em U, ∆U, no processo. Matematicamente, escrevemos:
dw w dq q dU U= = =∫ ∫ ∫
As diferenciais dw e dq são denominadas de diferenciais inexatas, significando que seus valores integrados w e q são dependentes do caminho. Por outro lado, dU é uma diferencial
CÁLCULO VETORIAL
exata, significando que seu valor integrado ∆U é independente do caminho. Observar que todas as mudanças nas funções de estado são diferenciais exatas.
EXEMPLO 4 Mostre que se ( ),z f x y= é uma função
termodinâmica de estado, então, utilizando o Teorema de Green, tem-se que:
2 2
.z z
x y y x
∂ ∂=
∂ ∂ ∂ ∂
Solução Como z é uma função de estado, segue que a diferencial de z
( ) ( ), ,y x
z zdz M x y dx N x y dy dx dy
x y
∂ ∂ = + = +
∂ ∂
é exata e, portanto, 0.C
dz =∫
Assim,
( ) ( )
2 2
, ,
0
C C D
D
N Mdz M x y dx N x y dy dA
x y
z zdA
x y y x
∂ ∂ = + = − = ∂ ∂
∂ ∂= − =
∂ ∂ ∂ ∂
∫ ∫ ∫∫
∫∫
de onde segue que: 2 2 2 2
0 ou .z z z z
x y y x x y y x
∂ ∂ ∂ ∂− = =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
CÁLCULO VETORIAL 429
é independente do caminho. Observar que todas as mudanças nas funções de estado são
é uma função
termodinâmica de estado, então, utilizando o Teorema de Green,
dz M x y dx N x y dy dx dy
dz M x y dx N x y dy dA= + = − =
430 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
EXEMPLO 5 Mudança na Entropia em Termodinâmica
A mudança na entropia (S) quando um sistema termodinâmico passa de um estado com pressão e temperatura (P1,T1) a um outro estado com pressão e temperatura (P2,T2) pode ser obtida pelas medidas da
capacidade de calor PP
HC
T
∂ =
∂ (onde H é a entalpia do sistema
termodinâmico) e da expansividade termal 1
,P
V
V Tα
∂ =
∂
seguinte maneira:
Considerando a entropia S como função de P e T, a diferencial total da entropia é dada por:
.P T
S SdS dT dP
T P
∂ ∂ = +
∂ ∂
Como a entropia é uma função de estado, a mudança na passagem de um estado a outro é independente do caminho e, portanto,
( ) ( )1 2 2 2 1 1, , .P TC
S SS S P T S P T dT dP
T P→
∂ ∂ ∆ = − = +
∂ ∂ ∫
) quando um sistema termodinâmico passa ) a um outro estado
) pode ser obtida pelas medidas da
é a entalpia do sistema
da
, a diferencial total
Como a entropia é uma função de estado, a mudança na passagem
CÁLCULO VETORIAL
Escolhendo o caminho C = C1 + C2 mostrado na figura acima,
que 1 2 1 3 3 2 ,S S S→ → →∆ = ∆ + ∆ onde
( ) ( )2
111
1 3 1 2 1 1, ,T
TP PC
SS S P T S P T ds dT
T→=
∂ ∆ = − = =
∂ ∫ ∫
e
( ) ( )2
122
3 2 2 2 1 2, , .P
PT TC
SS S P T S P T ds dP
P→=
∂ ∆ = − = =
∂ ∫ ∫
Integração de um Campo Vetorial ao longo de uma Curva
Quando lidamos com problemas que envolvem campos de vetores, utilizamos uma notação diferente para integrais de linha.
ou ,r xi yj r xi yj zk= + = + +
então consideramos dr
como:
ou ,dr dx i dy j dr dx i dy j dz k= + = + +
dependendo da curva C estar no plano ou no espaço tridimensional.
Assim, para uma curva C, orientada no plano, e um campo vetorial contínuo
( ) ( ) ( ), , ,F x y f x y i g x y j= +
escrevemos:
( ) ( )
( ) ( )
, ,
, , .
C C
C
F dr f x y i g x y j dx i dy j
f x y dx g x y dy
⋅ = + ⋅ + =
= +
∫ ∫
∫
CÁLCULO VETORIAL 431
mostrado na figura acima, temos
S S P T S P T ds dT
, , .
Integração de um Campo Vetorial ao
Quando lidamos com problemas que envolvem campos de vetores, utilizamos uma notação diferente para integrais de linha. Se
como:
estar no plano ou no espaço tridimensional.
e um campo
432 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Se C for uma curva orientada no plano cartesiano dada na forma vetorial paramétrica
( ) ( ) ( ) ;r r t x t i y t j a t b= = + ≤ ≤
então:
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ), ,F r t f x t y t i g x t y t j= +
e escrevemos a fórmula
( )( ) ( )'b
aC
F dr F r t r t dt⋅ = ⋅∫ ∫
onde ( ) ( ) ( )' ' 'r t x t i y t j= +
, que vale também para curvas
orientadas no espaço tridimensional.
EXEMPLO 6 Calcule o valor da integral ,C
F dr⋅∫
onde
( ), cos senF x y x i x j= +
e C é a curva orientada definida por:
C: ( ) ; 1 2.2
r t i t j tπ
= − + ≤ ≤
Solução Temos que:
( )( ) ( )
( )
2 2
1 1
2
1
' cos sen 0 12 2
1 1.
C
F dr F r t r t dt i j i j dt
dt
π π− − ⋅ = ⋅ = + ⋅ + =
= − = −
∫ ∫ ∫
∫
for uma curva orientada no plano cartesiano dada na
que vale também para curvas
onde
F dr F r t r t dt i j i j dt ⋅ = ⋅ = + ⋅ + =
CÁLCULO VETORIAL
EXEMPLO 7 Calcule ,C
F dr⋅∫
onde ( ) ( ),F x y x y i x y j= + −
e C é uma curva definida por: 2y x= que vai do ponto (0,0) ao
ponto (2,4). Solução
( )( ) ( ) ( )( )
2 2 2 2 4,
2 2
F x y x x x i x x j x x i x j
dr dx i dy j dx i xdx j i x j dx
= + − ⋅ = + −
= + = + = +
Portanto,
( )2 2
2 4 2 5
0 0
22 3 6
0
, 1,2 2
502 16,667.
2 3 6 3
C
x
x
F dr x x x x dx x x x dx
x x x=
=
⋅ = + − ⋅ = + − =
−= + − = ≈ −
∫ ∫ ∫
EXEMPLO 8 Considere uma partícula de massa m sujeita à ação de uma força
( ) ( ) ( ), , ,F x y M x y i N x y j= +
percorrendo um caminho dado pela curva C, que vai de um ponto
a um ponto B. Considere ( ) ( )e ,x x t y y t= = com 1 2t t t≤ ≤
equações paramétricas do movimento da partícula. Mostre que o trabalho W é igual a variação da energia cinética entre os pontos A. Solução Por definição, o trabalho é dado por:
C
W F dr= ⋅∫
onde
CÁLCULO VETORIAL 433
2F x y x y i x y j= + −
que vai do ponto (0,0) ao
F x y x x x i x x j x x i x j
F dr x x x x dx x x x dx⋅ = + − ⋅ = + − =
sujeita à ação
, que vai de um ponto A
1 2 ,t t t≤ ≤ as
equações paramétricas do movimento da partícula. Mostre que o gual a variação da energia cinética entre os pontos B e
434 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
er x i y j dr dxi dy j= + = +
Assim,
2
1
.t
tC
drW F dr F dt
dt
= ⋅ = ⋅ ∫ ∫
A velocidade da partícula é dada por:
drv
dt=
e, da Segunda Lei de Newton ( ) ,F ma=
temos que:
.dv
F mdt
=
Portanto,
.dr dv
F m vdt dt
⋅ = ⋅
Como
( ) 22 ed dv dv dv
v v v v v v v vdt dt dt dt
⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ =
segue que:
( )21.
2
dr dv dF m v m v
dt dt dt⋅ = ⋅ =
Portanto, substituindo esse resultado na integral, obtemos:
( )
( )
2 2
1 1
2
1
2
2 2 22 1
1
2
1 1 1.
2 2 2
t t
t tC
v
v
dr dW F dr F dt m v dt
dt dt
m d v mv mv
= ⋅ = ⋅ = =
= = −
∫ ∫ ∫
∫
Portanto,
CÁLCULO VETORIAL
2 22 1
1 1.
2 2W mv mv= −
Existem certos tipos de campos vetoriais para os quais a
integral de linha de ,F
ao longo de uma curva C, depende apenas
dos pontos extremos da curva e não da própria curva. Um dos problemas importantes que encontramos na Física é determinar como o caminho de integração C afeta o trabalho realizado por um campo vetorial, numa partícula que se move de um ponto para outro ponto fixo Q.
Dizemos que um campo vetorial ( ),F x y
é conservativo
existe uma função ( ),x yφ - chamada de função potencial - tal que
( ), ,F x y i jx y x y
φ φ φ φ∂ ∂ ∂ ∂= = +
∂ ∂ ∂ ∂
onde o vetor ( ), ,x y i jx y x y
φ φ φ φφ
∂ ∂ ∂ ∂∇ = = +
∂ ∂ ∂ ∂
é o
gradiente da função ( ),x yφ .
EXEMPLO 9
(a) Mostre que o campo vetorial ( ),F x y y i x j= +
é conservativo
verificando que ( ),F x y
é o gradiente de ( ), .x y xyφ =
(b) Mostre que o trabalho realizado pelo campo, na partícula que se move do ponto (0,0) ao ponto (1,1) é o mesmo ao longo de: C1: segmento de reta que vai do ponto (0,0) ao ponto (1,1) C2: parábola y = x2 de (0,0) a (1,1) Solução (a) De fato,
CÁLCULO VETORIAL 435
Existem certos tipos de campos vetoriais para os quais a
depende apenas
dos pontos extremos da curva e não da própria curva. Um dos problemas importantes que encontramos na Física é determinar
afeta o trabalho realizado por um P fixo
conservativo se
tal que:
vetor
conservativo,
na partícula que se
: segmento de reta que vai do ponto (0,0) ao ponto (1,1)
436 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
( ) ( ), , .y e x x y y i x j F x yx y
φ φφ
∂ ∂= = ⇒ ∇ = + =
∂ ∂
(b) O caminho de integração C1 é obtido fazendo x = t na equaçãoy x= da reta que vai do ponto (0,0) ao ponto (1,1).
Assim, o caminho de integração é dado por:
( ); 0 1x t y t t= = ≤ ≤
Portanto,
[ ]1
02 1.
C C C
F dr y i x j dx i dy j y dx x dy t dt ⋅ = + ⋅ + = + = = ∫ ∫ ∫ ∫
O caminho de integração C2 é obtido fazendo x t= na equação2y x= da parábola, que vai do ponto (0,0) ao ponto (1,1).
Assim, o caminho de integração é dado por
( )2; 0 1x t y t t= = ≤ ≤
Portanto,
[ ]
( )1 1
2 2
0 02 3 1.
C C C
F dr y i x j dx i dy j y dx x dy
t dt t tdt t dt
⋅ = + ⋅ + = + =
= + = =
∫ ∫ ∫
∫ ∫
OBS: No exemplo anterior, como as curvas C1 e C2 são gráficos de função, poderíamos ter resolvido utilizando coordenadas cartesianas. Nesse caso, a solução torna-se:
na equação
2 1.⋅ = + ⋅ + = + = =
na equação
são gráficos de função, poderíamos ter resolvido utilizando coordenadas
CÁLCULO VETORIAL
( )
( )( ) ( )
( )
1 : ; 0 1
, , ,
1,1
C y y x x x
F x y x F x x x i x j x x
dr dx i dy j dx i dx j i j dx dx
= = ≤ ≤
⇒ = = + =
= + = + = + =
Portanto, 1 1
2 10
0 0, 1,1 2 1.x
x
C
F dr x x dx x dx x ==⋅ = ⋅ = = =∫ ∫ ∫
( )
( )( ) ( )
22
2 2 2
: ; 0 1
, , ,
2 1,2
C y y x x x
F x y x F x x x i x j x x
dr dx i dy j dx i x dx j x dx
= = ≤ ≤
⇒ = = + =
= + = + =
Portanto,
( )1 1 1
2 2 2 2
0 0 0
3 1
0
, 1,2 2 3
3 1.3
C
x
x
F dr x x x dx x x dx x dx
x =
=
⋅ = ⋅ = + = =
= =
∫ ∫ ∫ ∫
EXERCÍCIOS 7.0
1. Determine o valor do trabalho realizado pela força
( ) ( ) 2,F x y x x y i xy j= + +
ao mover uma partícula da origem ao longo do eixo x até o ponto (1,0), em seguida ao longo de um segmento de reta até o ponto (0,1) e, então, de volta à origem ao longo do eixo y.
2. Uma partícula, inicialmente no ponto ( )2,0− , move-se ao longo
do eixo x até o ponto (2,0) e, então, ao longo do semicírculo 24y x= − de volta ao ponto inicial. Utilize o Teorema de Green
CÁLCULO VETORIAL 437
dr dx i dy j dx i dx j i j dx dx
F dr x x x dx x x dx x dx⋅ = ⋅ = + = =
ao mover uma partícula da origem ao longo do eixo x até o ponto (1,0), em seguida ao longo de um segmento de reta até o ponto (0,1)
se ao longo
ponto (2,0) e, então, ao longo do semicírculo
de volta ao ponto inicial. Utilize o Teorema de Green
438 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
para determinar o trabalho realizado pelo campo de força
( ) 3 2, , 3F x y x x xy= +
.
3. Um arco metálico fino, mais denso na base que no topo, encontra-se ao longo de uma semicircunferência no plano xy, dada por x2 + y2 = 1, y ¥ 0. Encontre a massa do arco se a densidade em um ponto (x,y) do arco é dada por d = 2-y.
4. Encontre o trabalho realizado pela força 2 2 2( ) ( ) ( )F y x i z y j x z k= − + − + −
sobre a curva
2 3( ) , 0 1,r t t i t j t k t= + + ≤ ≤
de (0,0,0) a (1,1,1).
5. Se o campo de velocidade de um fluido é dado por
F xi z j y k= + +
, encontre o escoamento ao longo da hélice
( ) (cos ) (sen ) , 0 / 2r t t i t j t k t π= + + ≤ ≤
, sabendo que o
escoamento de um fluido ao longo de uma curva ( ),r t a t b≤ ≤
é
dado por b
aF dr⋅∫
.
Resultado Importante
Considere o campo vetorial conservativo
( ) ( ) ( ), , ,F x y f x y i g x y j= +
definido em alguma região aberta D contendo os pontos
e e tal que f e g sejam contínuas em D.
( )0 0,P x y
( )1 1,Q x y
CÁLCULO VETORIAL
Se C for uma curva lisa por partes, contida em D, ligando os pontos P e Q, então:
( ) ( )1 1 0 0, , .C
F dr x y x yφ φ⋅ = −∫
O vetor
( ), ,x y i jx y x y
φ φ φ φφ
∂ ∂ ∂ ∂∇ = = +
∂ ∂ ∂ ∂
cujas componentes são as derivadas parciais de uma função, é vetor gradiente de ( ), .x yφ
EXEMPLO 10 Determine o valor da integral de linha C∫
onde ( ),F x y y i x j= +
é um campo conservativo tal que
( ) ( ) ( ), , e , .F x y x y x y xyφ φ= ∇ =
Considere C a curva y = x3 de (0,0) a (1,1). Solução
Como o campo vetorial dado é conservativo, podemos utilizar o resultado anterior para calcular a integral dada. Assim,
( )
( )( ) ( )
1,1
0,01,1 0,0 1 0 1
C
F dr F dr φ φ⋅ = ⋅ = − = − =∫ ∫
que está de acordo com os resultados obtidos no exemplo 9.
OBS: Teste para verificar se um campo é conservativo
CÁLCULO VETORIAL 439
derivadas parciais de uma função, é o
C
F dr⋅∫
Como o campo vetorial dado é conservativo, podemos utilizar o
440 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Se D for uma região simplesmente conexa (ver figura) e
f g
y x
∂ ∂=
∂ ∂ em cada ponto (x,y) da região D, então o campo
vetorial ( ) ( ) ( ), , ,F x y f x y i g x y j= +
é conservativo.
Se soubermos que um campo vetorial ( ),F x y
é conservativo,
podemos obter uma função potencial φ para ( ),F x y
, a partir das
derivadas parciais que definem o vetor gradiente de φ. O exemplo a seguir ilustra essa afirmação. EXEMPLO 11 Considere o campo vetorial definido por
( ) 2, 3 6F x y y i xy j= +
.
(a) Mostre que ( ),F x y
é um campo vetorial conservativo em todo o
plano xy.
(b) Determine uma função potencial φ para ( ), ,F x y
a partir da
derivada parcial .x
φ∂
∂
(c) Determine uma função potencial φ para ( ), ,F x y
a partir da
derivada parcial .y
φ∂
∂
for uma região simplesmente conexa (ver figura) e
, então o campo
é conservativo,
, a partir das
. O exemplo a
é um campo vetorial conservativo em todo o
a partir da
a partir da
CÁLCULO VETORIAL 441
(a) Como ( ) ( )2, 3 e , 6 ,f x y y g x y xy= = temos que:
6 ,f g
yy x
∂ ∂= =
∂ ∂ para qualquer ( ), .x y
Portanto, ( ), ,F x y
é um campo conservativo.
(b) Como o campo vetorial ( ),F x y
é conservativo, existe uma
função potencial ( ),x yφ tal que:
23 e 6 .y xyx y
φ φ∂ ∂= =
∂ ∂
Integrar 23yx
φ∂=
∂ em relação a x.
2 2( , ) 3 3 ( )x y y dx xy k yφ = = +∫
onde k(y) representa a “constante” de integração. Observe que a constante de integração é uma função de y, uma vez que y é mantida constante no processo de integração. Veremos a seguir como determinar k(y).
Derivar a função obtida em relação a y.
( )6 'xy k yy
φ∂= +
∂
Igualar a derivada da função ( ), ,x yφ obtida pela integração, a
6xyy
φ∂=
∂ definida inicialmente.
( , )x yφ
Um campo conservativo está associado às diferenciais exatas, enquanto que um campo não conservativo está associado às diferenciais inexatas.
442 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Simplificar a expressão.
( )' 0k y =
Integrar os dois lados em relação a y.
( )' 0k y dy dy=∫ ∫
Simplificar (se for o caso).
( )k y C= (constante numérica)
Agora basta substituir k(y) na expressão de ( ),x yφ , obtendo assim a
função potencial para o campo conservativo ( ), ,F x y
definida por:
( ) 2, 3 .x y xy Cφ = +
(c) Integrar 6xyy
φ∂=
∂ em relação a y.
( ) ( )2, 6 3x y xy dy xy k xφ = = +∫
onde k(x) representa a “constante” de integração. Observe que a constante de integração é uma função de x, uma vez que x é mantida constante no processo de integração. Veremos a seguir como determinar k(x).
Derivar em relação a x.
( )23 'y k xx
φ∂= +
∂
( , )x yφ
CÁLCULO VETORIAL
Igualar a derivada de ( ), ,x yφ obtida pela integração, a x
φ∂
∂
definida inicialmente.
( ) 2 23 ' 3y k x y+ =
Simplificar a expressão.
( )' 0k x =
Integrar os dois lados da expressão em relação a x.
( )' 0k x dx dx=∫ ∫
Simplificar (se for o caso).
( )k x C= (constante numérica)
Agora basta substituir k(x) na expressão de ( ),x yφ , obtendo assim a
função potencial para o campo conservativo ( ), ,F x y
definida por:
( ) 2, 3 .x y xy Cφ = +
OBS: Conservação da Energia
Se ( ), ,F x y z
for um campo de forças conservativo com
função potencial ( ), ,x y zφ , então definimos
( ) ( ), , , ,V x y z x y zφ= −
Derivada de
( ),x yφ obtida
pela integração x
φ∂
∂ definida
inicialmente
CÁLCULO VETORIAL 443
23yx
φ∂=
∂
, obtendo assim a
definida por:
for um campo de forças conservativo com
444 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
como sendo a energia potencial do campo ( ), ,F x y z
no
ponto (x,y,z). Portanto, o trabalho W realizado pela força
( ), ,F x y z
sobre uma partícula que se move ao longo de um
caminho C, de um ponto ( )0 0 0, ,P x y z a um ponto
( )1 1 1, ,Q x y z está relacionado com a energia potencial através
da equação
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 0 0 0
1 1 1 0 0 0
, , , ,
, , , , .
C
W F dr x y z x y z
V x y z V x y z
φ φ= ⋅ = − =
= − −
∫
Em particular, se uma partícula percorre um caminho fechado liso por partes num campo vetorial conservativo, então o trabalho realizado pelo campo é nulo e não há mudança na energia potencial.
Suponha que uma partícula de massa m está se movendo, ao longo de uma curva lisa por partes (não necessariamente
fechada), em um campo vetorial conservativo ( ), ,F x y z
, de
um ponto ( )0 0 0, ,P x y z com velocidade vi a um ponto
( )1 1 1, ,Q x y z com velocidade vf .
Da Física, sabemos que o trabalho realizado na partícula, pela
força ( ), , ,F x y z
é igual à variação na energia cinética da
partícula. Denotando por a energia potencial no ponto P e
por a energia potencial no ponto Q, a partir da equação
do trabalho descrita acima, obtemos:
2 21 1
2 2f i f imv mv V V − = − −
que podemos reescrever na forma
iV
fV
CÁLCULO VETORIAL 445
2 21 1.
2 2f f i imv V mv V+ = +
Esta equação nos diz que a energia total da partícula (energia cinética +energia potencial) não se altera à medida que a partícula se move, ao longo de um caminho, num campo vetorial conservativo. Este resultado, conhecido como princípio da conservação da energia, explica a origem do termo “campo vetorial conservativo”.
EXERCÍCIOS 7.1
1. Dado 3 2( , ) (2 ) (3 4)F x y x y i xy j= + + +
:
a) Mostre que F
é um compo vetorial conservativo.
b) Enconre uma função potencial para F
.
c) Calcule (2,3)
(0,1)F dr⋅∫
.
2. Mostre que C
F dr⋅∫
é independente do caminho determinando
uma função potencial para F
.
a) 2 3 3( , ) (3 2) ( 4 )F x y x y i x y j= + + +
b) ( , ) (2 sen 4 ) cosxF x y x y e i y j= + +
3. Mostre que as integrais abaixo são independentes do caminho e encontre seus valores:
a) (3,1)
2 2
( 1,2)( 2 ) ( 2 )y xy dx x xy dy
−+ + +∫
b) (1, /2)
(0,0)( sen ) ( cos )x xe y dx e y dy
π
+∫
446 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
EXERCÍCIOS EXTRAS
1. Escreva cada combinação de vetores como um único vetor.
(a)
(b)
2. Use os vetores da figura ao lado para desenhar os seguintes vetores:
(a) (b)
(c)
3. Determine o vetor . Desenhe o vetor e o correspondente vetor posição.
(a) A(1,2) ; B(4,4) (b) A(0,3,1) ; B(2,3,-1)
4. Determine a soma dos vetores <1,0,1> e <0,0,1> e ilustre geometricamente.
5. Determine: .
(a) ; (b) ;
6. Determine o vetor unitário (versor) com mesma direção e sentido que o vetor dado.
(a) (b) (c)
7. (a) Desenhe os vetores ; ;
(b) Mostre por um esboço, que existem escalares s e t tais que
CD DA+
BC DC−
u v− 1
2v
3v u−
u AB=
u
, , , 2 e 3 4u u v u v u u v+ − +
3,2u = −
4,1v =
2 3u i j= −
4v i j= +
9, 5u = −
12 5v i j= −
8 4w i j k= − +
3,2u =
2, 1v = −
7,1w =
w su tv= +
CÁLCULO VETORIAL 447
(c) Use o esboço para estimar os valores de s e t
(d) Determine os valores exatos de s e t
8. Esboce o vetor com seu ponto inicial na origem.
9. Determine os componentes (coordenadas) do vetor dado na figura, e esboce um vetor equivalente com seu ponto inicial na origem.
10. Determine o ponto terminal do vetor se o ponto
inicial for (-2,1,4).
11. Efetue as operações indicadas sobre os vetores ,
e .
(a) (b) (c) .
12. Determine um vetor que tenha a mesma direção e sentido do
vetor e comprimento .
13. Determine dois vetores unitários, no plano, que sejam paralelos a reta x + y = 4.
14. Determine dois vetores unitários, no espaço, que sejam perpendiculares ao plano xz.
15. Seja um vetor qualquer. Descreva o conjunto de
pontos (x,y), no plano, que satisfaça a condição ; e
.
2 3u i j k= + −
1,2, 3v = −
3u i k= −
2v i j k= − +
3w j=
w v−
6 4u w+
2v w− −
7,0, 6v = −
17
,r x y=
1r =
1r ≤
1r >
448 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
16. O que você entende por produto escalar entre dois vetores? Como é que você verifica se dois vetores são ortogonais (ou
perpendiculares)? (a) Mostre que se for um vetor no
plano, então os vetores e são ortogonais a .
(b) Use o resultado da parte (a) para determinar dois vetores
unitários que são ortogonais ao vetor . Esboce os vetores
, e (não os vetores posição).
17. Expresse o vetor como a soma de um vetor
paralelo a e um vetor ortogonal a .b
18. Uma molécula de metano, CH4, é estruturada com os quatro átomos de hidrogênio nos vértices de um tetraedro regular e o carbono no centro. O ângulo de vínculo é o ângulo formado pela combinação H-C-H; é o ângulo entre as retas que ligam o carbono a dois átomos de hidrogênio. Mostre que esse ângulo de vínculo é de aproximadamente 109,5o. Dica: Tome os vértices do tetraedro em
(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) e (1,1,1) e mostre que o centro é .
19. Uma força de newtons é aplicada a um ponto
que se move uma distância de 15 metros na direção do vetor
. Quanto trabalho foi realizado?
v ai bj= +
1 ,v b a=
2 ,v b a= −
v
3 2v i j= −
v
1v
2v
3,1, 2v = −
2,0, 1b = −
1 1 1, ,
2 2 2
4 6F i j k= − +
v i j k= + +
CÁLCULO VETORIAL 449
20. Determine a magnitude da força resultante e o ângulo que ela faz com o eixo x positivo em cada um dos casos.
(a)
(b)
(c)
21. O que você entende por produto vetorial entre dois vetores? Determine dois vetores unitários que são perpendiculares ao plano determinado pelos pontos A(0,-2,1), B(1,-1,-2) e C(-1,1,0). Lembre-se que dois vetores determinam um plano no espaço.
22. Se são vetores não coplanares e se ,
e (esses vetores aparecem no
1 2 3, e v v v
( )2 3
11 2 3
v vk
v v v
×=
⋅ ×
( )3 1
21 2 3
v vk
v v v
×=
⋅ ×
( )1 2
31 2 3
v vk
v v v
×=
⋅ ×
450 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
estudo de Cristalografia. Vetores da forma , onde
cada ni é inteiro, formam um reticulado para o cristal. Vetores
escritos de modo semelhante para formam o reticulado
recíproco.
(a) Mostre que é perpendicular a se i ≠ j.
(b) Mostre que para i = 1, 2, 3.
23. O que você precisa para escrever a equação de uma reta no espaço?
24. Às vezes, não estamos interessados em uma reta inteira, mas apenas em algum segmento de uma reta. Equações paramétricas de um segmento de reta podem ser obtidas determinando as equações paramétricas para a reta inteira e, em seguida, restringindo o parâmetro apropriadamente de modo que somente o segmento de reta desejado é gerado. Obtenha a equação paramétrica para a reta que passa pelos pontos P(5,-2,1) e Q(2,4,2) e também para o segmento de reta ligando esses pontos.
25. Determine as equações paramétricas para a reta cuja equação vetorial é
.
26. Determine um ponto P sobre a reta dada e um vetor v paralelo à reta
.
27. Escreva as equações paramétricas da reta 2 , 3 5 ,x t y t z t= − = − + =
na forma vetorial.
1 1 2 2 3 3n v n v n v+ +
1 2 3, e k k k
ik
jv
1i ik v⋅ =
, , 1,0,2 1,3,0x y z t= − + −
, , 1,1,2 0,1,0x y z t= +
CÁLCULO VETORIAL 451
28. Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P(-2,0,5) e é paralela à reta 1 2 , 4 , 6 2 .x t y t z t= + = − = +
29. Determine a interseção da reta 2, 4 2 , 3x y t z t= − = + = − + com o plano xy, o plano xz e o plano yz. 30. Determine o ponto em que a reta 2 , 3 , 1 2x t y t z t= − = = − +
intercepta o plano 2y + 3z = 6.
31. Verifique se as retas
são reversas (não são paralelas e nem se cruzam).
32. Determine o ponto sobre o segmento de reta que une P(1,4,-3) e
Q(1,5,-1) e que está a 2
3 do caminho de P a Q.
33. Considere a reta r que passa pelo ponto ( )0 0 0 0, ,P x y z e tem
vetor direção , onde a, b e c são não-nulos. Mostre que
um ponto ( ), ,P x y z pertence a reta r se, e somente se,
Essas equações são denominadas equações simétricas da reta r.
34. Dadas as equações simétricas de uma reta r
determine um ponto e o vetor direção da reta r.
35. Sabendo que se C é uma curva fechada, então
: 1 7 , 3 , 5 3r x t y t z t= + = + = −
: 4 , 6, 7 2s x t y z t= − = = +
, ,v a b c=
0 0 0x x y y z z
a b c
− − −= =
2 35
3 2
x yz
− += = −
452 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
[ ]C R
N MM dx N dy dA
x y
∂ ∂+ = −
∂ ∂ ∫ ∫∫ (Teorema de Green),
calcule ( )C
xy dx y x dy + + ∫ onde C é o círculo 2 2 1.x y+ =
36. Seja ( ) ( )2, cos 2 .F x y y x i y sen x j= +
a) Mostre que C
F dr⋅∫
é independente do caminho.
b) Sabendo que se uma integral ( ) ( ), ,C
M x y dx N x y dy + ∫ é
independente do caminho, então existe uma função f tal que
e ,f f
M Nx y
∂ ∂= =
∂ ∂ determine ( ), .f x y Se F
é um campo de
forças e ,dr dx i dy j= +
ache o trabalho realizado por F
ao longo
de uma curva de (0,1) a (π/2,3). Lembrando: C
W F dr= ⋅∫
.
37. Calcule C
F dr⋅∫
ao longo da curva C dada.
(a) ( ) 2,F x y x i xy j= +
C: ( ) ( )2cos 2 sen 0r t t i t j t π= + ≤ ≤
(b) ( ), ,F x y z z i x j y k= + +
C: ( ) 2sen 3 sen sen 02
r t t i t j t k tπ
= + + ≤ ≤
38. (a) Considere o vetor direção u
como sendo o vetor unitário i
na direção do eixo x e calcule a derivada direcional de ( ),f x y
nessa direção. Observe o resultado e interprete-o como taxa de variação.
CÁLCULO VETORIAL 453
(b) Considere o vetor direção u
como sendo o vetor unitário j
na direção do eixo y e calcule a derivada direcional de ( ),f x y
nessa direção. Observe o resultado e interprete-o como taxa de variação.
(c) Levando em consideração os itens anteriores, faça uma
interpretação da derivada direcional, de uma função ( ),f x y , como
taxa de variação.
OBS: As definições são análogas para ( ), , .f x y z
39. Para você saber em que direção, a partir de um ponto ( ),a b
qualquer do domínio de uma função ( ), ,f x y o crescimento de
uma função ( ),f x y é maior, menor ou constante, basta analisar a
derivada direcional dessa função.
Justifique essa afirmação analisando a derivada direcional e o
ângulo formado entre os vetores ( ), ef a b u∇
.
40. Suponha que a temperatura T em um ponto ( ), ,P x y z de um
certo espaço é dada por ( ) 2 2 2, , 2 4T x y z x y z= − + .
(a) Determine a taxa de variação de T no ponto ( )1,2, 1− na direção
do vetor 4 1 2 .v i j k= − +
(b) Em que direção a função T cresce mais rapidamente a partir desse ponto? (c) qual a taxa máxima de crescimento? (d) Um mosquito localizado nesse ponto deseja se esfriar o mais rápido possível; em que direção ele deve voar?
454 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
41. Sabe-se que um campo vetorial ( ) ( ) ( ), , ,F x y M x y i N x y j= +
é conservativo se M N
y x
∂ ∂=
∂ ∂ (ou seja, um campo conservativo está
associado às diferenciais exatas). Uma função ( ), ,f x y tal que
F f= ∇
é dita ser o potencial para um campo conservativo F
.
Calcule um potencial para o campo vetorial ( ) 2 2, .F x y xy i x y j= +
42. Seja ( ) ( ) ( )3 2, 2 3 4 .F x y x y i xy j= + + +
a) Mostre que C
F dr⋅∫
é independente do caminho.
b) Calcule ( )
( )2,3
0,1.F dr⋅∫
43. Mostre que a integral de linha
( ) ( )( )
( )3,12 2
1,22 2y xy dx x xy dy
−+ + +∫
é independente do caminho e ache seu valor.
44. Mostre que se ( ),z z x y= é uma função termodinâmica de
estado e usando a propriedade de integração 0 0,b
adx =∫ então
0dz =∫ (lembre-se que o símbolo ∫ é utilizado para integrais de
linha onde o caminho é fechado).
CÁLCULO VETORIAL 455
45. Suponha que uma partícula se mova através de um campo de
forças ( ) ( ),F x y xy i x y j= + −
do ponto (0,0) ao ponto (1,0) ao
longo da curva ( ), 1x t y t tλ= = − . Para qual valor de λ o trabalho
realizado pelo campo de forças será igual a 1?
46. Verifique se ( ), cos senx xF x y e y i e y j= +
é um campo
vetorial conservativo. Se for, encontre uma função potencial para
.F
47. Calcule o valor da integral de linha 2 2C
y dx xy dy + ∫ ao longo
do caminho C do ponto ( )1,2− ao ponto (1,3).
48. Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
( ) 3 2 2, 2 3F x y xy i x y j= +
sobre uma partícula que se move do ponto ( )3,0P − ao ponto
( )4,1Q , ao longo de uma curva lisa C.
49. Calcular a massa de um fio delgado com a forma de um semicírculo de raio a, considerando que a densidade em um ponto P é diretamente proporcional a sua distância à reta que passa pelos pontos extremos. A posição de P é dada por:
( ) [ ]cos , para 0, .r t a t i a sen t j t π= + ∈
Apêndice
Regras de Derivação
Considerando ( ), ' e ' ,du dv
u f x u vdx dx
= = = temos que:
1. [ ] 'd
cu cudx
= 2. [ ] ' 'd
u v u vdx
± = ±
3. [ ] ' 'd
u v u v uvdx
⋅ = + 4. 2
' 'd u u v uv
dx v v
− =
5. [ ] 0d
cdx
= 6. 1 'n ndu nu u
dx− =
7. [ ] 1d
xdx
= 8. ( )' , 0d u
u u udx u = ≠
9. [ ]'
lnd u
udx u
= 10. 'u ude e u
dx =
11. [ ]( )
'log
lnad u
udx a u
= 12. ( )ln 'u uda a a u
dx =
13. [ ] ( )sen cos 'd
u u udx
= 14. [ ] ( )cos sen 'd
u u udx
= −
15. [ ] ( )2tg sec 'd
u u udx
= 16. [ ] ( )2cotg cossec 'd
u u udx
= −
17.
[ ] ( )sec sec tg 'd
u u u udx
=
18.
[ ] ( )cossec cossec cotg 'd
u u u udx
= −
REGRAS DE DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO 457
19. [ ]2
'arcsen
1
d uu
dx u=
− 20. [ ]
2
'arccos
1
d uu
dx u
−=
−
21. [ ] 2
'arctg
1
d uu
dx u=
+ 22. [ ] 2
'arccotg
1
d uu
dx u
−=
+
23. [ ] ( )senh cosh 'd
u u udx
= 24. [ ] ( )cosh senh 'd
u u udx
=
Regras de Integração
FORMAS BÁSICAS
1.
1
1
nn u
u du Cn
+
= ++∫
2. lndu
u Cu
= +∫
3. u ue du e C= +∫
4. 1
lnu ua du a C
a= +∫
5. sen cosu du u C= − +∫
6. cos senu du u C= +∫
7. 2sec tgu du u C= +∫
8. 2cossec cotgu du u C= − +∫
458 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
9. sec tg secu u du u C= +∫
10. cossec cotg cossecu u du u C= − +∫
11. tg ln secu du u C= +∫
12. cotg ln senu du u C= +∫
13. sec ln sec tgu du u u C= + +∫
14. cossec ln cossec cotgu du u u C= − +∫
15. 1
2 2sen
du uC
aa u
−= +−
∫
16. 1
2 2
1tg
du uC
a aa u−= +
+∫
17. 2 2
1ln
2
du u aC
a u aa u
+= +
−−∫
18. 1
2 2
1sec
du uC
a au u a
−= +−
∫
19. 2 2
1ln
2
du u aC
a u au a
−= +
+−∫
FORMAS ENVOLVENDO 2 2 , 0a u a+ >
20. ( )2
2 2 2 2 2 2ln2 2
u aa u du a u u a u C+ = + + + + +∫
21. ( ) ( )4
2 2 2 2 2 2 2 2 22 ln8 8
u au a u du a u a u u a u C+ = + + − + + +∫
REGRAS DE DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO 459
22.
2 2
2 2
1ln
du a a uC
a uu a u
+ + = − + +
∫
23. 2 2
22 2 2
du a uC
a uu a u
+= − +
+∫
24.
( )3 2 2 2
2 2 2
du uC
a a ua u
= − ++
+∫
25.
2 2 2 22 2 ln
a u a a udu a u a C
u u
+ + + = + − +
∫
26. ( )2 2 2 2
2 22
lna u a u
du u a u Cuu
+ += − + + + +∫
27. ( )2 2
2 2ln
duu a u C
a u= + + +
+∫
28. ( )2 2
2 2 2 2
2 2ln
2 2
u du u aa u u a u C
a u= + − + + +
+∫
FORMAS ENVOLVENDO 2 2 , 0a u a− >
29.
22 2 2 2 1sen
2 2
u a ua u du a u C
a−− = − + +∫
30. ( )4
2 2 2 2 2 2 2 12 sen8 8
u a uu a u du u a a u C
a−− = − − + +∫
31.
2 2 2 22 2 ln
a u a a udu a u a C
u u
− + −= − − +∫
32.
2 22 2 1
2
1sen
a u udu a u C
u au−−
= − − − +∫
460 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
33.
2 22 2 1
2 2+ sen
2 2
u u a udu a u C
aa u
−= − − +−
∫
34.
2 2
2 2
1ln
du a a uC
a uu a u
+ −= − +
−∫
35. 2 2
22 2 2
1dua u C
a uu a u= − − +
−∫
36.
( )3 2 2 2
2 2 2
du uC
a a ua u
= +−
−∫
37. 1
2 2sen
du uC
aa u
−= +−
∫
FORMAS ENVOLVENDO 2 2 , 0u a a− >
38. ( )2
2 2 2 2 2 2ln2 2
u au a du u a u u a C− = − + + − +∫
39. ( ) ( )4
2 2 2 2 2 2 2 2 22 ln8 8
u au u a du u a u a u u a C− = − − − + − +∫
40. 2 2
2 2 1cosu a a
du u a a Cu u
−−= − − +∫
41.
2 2 2 22 2
2ln
u a u adu u u a C
uu
− −= − + + − +∫
42. 2 2
2 2ln
duu u a C
u a= + − +
−∫
REGRAS DE DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO 461
43. 2 2
22 2 2
du u aC
a uu u a
−= +
−∫
44.
2 22 2 2 2
2 2ln
2 2
u du u au a u u a C
u a= − + + − +
−∫
45.
( )3 2 2 2
2 2 2
du uC
a u au a
= − +−
−∫
FORMAS EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA
46. ( )2
11au auue du au e C
a= − +∫
47. 11n au n au n aun
u e du u e u e du Ca a
−= − +∫ ∫
48. ( ) ( ) ( )( )2 2sen sen cos
auau e
e bu du a bu b bu Ca b
= − ++∫
49. ( ) ( ) ( )( )2 2cos cos sen
auau e
e bu du a bu b bu Ca b
= − ++∫
50. ln lnu du u u u C= − +∫
51.
( )( )
1
2ln 1 ln 1
1
nn u
u u du n u Cn
+
= + − + +
∫
52. 1
ln lnln
du u Cu u
= +∫
462 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
FORMAS TRIGONOMÉTRICAS
53. 2 1 1
sen sen 22 4
u du u u C= − +∫
54. 2 1 1
cos sen 22 4
u du u u C= + +∫
55. 2tg tgu du u u C= − +∫
56. 2cotg cotgu du u u C= − − +∫
57. ( )3 21sen 2 sen cos
3u du u u C= − + +∫
58. ( )3 21cos 2 cos sen
3u du u u C= + +∫
59. 3 21
tg tg ln cos2
u du u u C= + +∫
60. 3 21
cotg cotg ln sen2
u du u u C= − +∫
61. 3 1 1
sec sec tg ln sec tg2 2
u du u u u u C= + + +∫
62. 3 1 1
cossec cossec cotg ln cossec cotg2 2
u du u u u u C= + − +∫
63. 1 21 1
sen sen cos senn n nnu du u u u du C
n n− −−
= − + +∫ ∫
64. 1 21 1
cos cos sen cosn n nnu du u u u du C
n n− −−
= + +∫ ∫
65. 1 21
tg tg tg1
n n nu du u u du Cn
− −= − +−∫ ∫
66. ( ) ( )( )( )
( )( )
sen sensen sen
2 2
a b u a b uau bu du C
a b a b
− += − +
− +∫
REGRAS DE DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO 463
67. ( ) ( )( )( )
( )( )
sen sencos cos
2 2
a b u a b uau bu du C
a b a b
− += + +
− +∫
68. ( ) ( )( )( )
( )( )
cos cossen cos
2 2
a b u a b uau bu du C
a b a b
− += − − +
− +∫
69. sen sen cosu u du u u u C= − +∫
70. cos cos senu u du u u u C= + +∫
FORMAS ENVOLVENDO ( ) ( )2 2 2 2ea u u a− −
71. 2 2
1 1ln
2
u adu C
a u aa u
+= +
−−∫
72. 2 2
1 1ln
2
u adu C
a u au a
−= +
+−∫
464 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Referências Bibliográficas
[1] AGUIAR,A.F.A., XAVIER, A.F.S., RODRIGUES, J .E.M., Cálculo Para Ciências Médicas e Biológicas. Editora Harbra, São Paulo, 1988.
[2] ANTON, H., Cálculo – um novo horizonte, vol. 2, 8a edição, 2007.
[3] BELL, D. W., Físico-Química, vol . 2 , Thomson, 2005.
[4] BOULOS, P., Cálculo Diferencial e Integral, vol. 2, Makron Books,1999.
[5] BOYER, C. B., História da Matemática, Ed. Edgard Blucher, 1986.
[6] BRADLEY, G. L. , HOFFMANN, L. D. Cálculo – Um curso Moderno e suas Aplicações, 7 a edição, LTC, 2002.
[7] DOGGETT, G. and SUTCLIFFE, B.T., Mathematics for Chemistry, 1995.
[8] EVES, H. , Introdução à História da Matemática, Editora da Unicamp, 2004.
[9] GOLDSTEIN, LARRY J., SCHNEIDER, DAVID I., LAY, DAVID C. Cálculo e suas Aplicações, Editora Hemus, 1a edição, 2007
[10] GONÇALVES, M. B., FLEMMING, D. M., Cálculo A, 6 a edição, Pearson Education, 2007.
[11] HALLETT, HUGHES Cálculo de uma Variável , 3 a edição, Editora LTC, 2004.
REGRAS DE DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO 465
[13] LARSON, Ron, HOSTETLER, Robert P. , EDWARDS, Bruce H., Cálculo, volume2, 8 a edição, McGraw-Hill , 2006.
[14] LARSON, Ron, EDWARDS, Bruce H., Cálculo com Aplicações, 6 a edição, LTC Editora, 2005
[15] LEITHOLD, L., O cálculo com Geometria Analí t ica, vol .2, 3 a edição, Harbra, 1990.
[16] MORTIMER, R.G., Mathematics for Physical Chemistry, 1981.
[17] SALAS/HILLE Cálculo, volume 2, 9 a edição, Editora LTC, 2005.
[18] SCOTT, S.K., Beginning mathematics for Chemistry, 1995.
[19] STEWART,J . Cálculo, volume 2, 5 a edição, Pioneira Thomson Learning, São Paulo,2005.
[20] SWOKOVSKI, E.W., cálculo com Geometria Analí t ica, vol .2, 2 a edição, Makron Books, 1995.
[21] TABBUTT, P., Basic mathematics for Chemistry, 1994.
[22] THOMAS, G. B., cálculo, vol 2, 10 a edição, Pearson Education do Brasi l , São Paulo, 2002.
[23] www.calculo.iq.unesp.br (site de apoio as disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral do Curso de Química da UNESP – Araraquara (SP).
[24] www.cepa.if .usp.br/e-calculo
[25] http://w3.unesp.br/unespfree/ (si te da Unesp para download de programas l ivres) .
[26] www.graphmatica .com
Respostas dos Exercícios
CAPÍTULO 1
EXERCÍCIOS 1.1
a) 2 91(2 3 )
54x C+ + b) ( ) ( )
1 1
2 22 3 2arctg 3x x C+ − + +
c) ( )ln 4te C+ + d) ( )1
sen 5 25
x C− +
e) ( ) ( ) ( )7 5 3
2 2 22 4 2
1 1 17 5 3
x x x C+ − + + + + f) ( ) ( )5 3
2 22 2
1 15 3
x x C+ − + +
g) ( ) ( )5 3
2 22 8
4 45 3
t t C− + − + h) 21ln sec
2x C+
i) 14 1 23 6 33
18 614
x x x C− + + j) ( ) ( )2
2 2334 6
10x x C+ − +
k) ( )3 6 62 3 6 6ln 1x x x x C− + − + + l) ( ) ( )7 4
3 33 27
9 97 4
x x C+ − + +
m) ( ) ( )9 4
5 55 5
3 2 3 281 18
x x C+ − + + n) 2 2
arctg33
xC
−+
o) ( ) ( ) ( )7 5 3
2 2 22 4 21 1 1
7 5 3x x xe e e C+ − + + + +
EXERCÍCIOS 1.2
1.
a) ( )ln 1x x C− + b) 3 1
ln3 3
xx C
− +
c) ( )22 cos 2 senx x x x C− + + d) ( )1
sen cos2
xe x x C− +
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 467
e) ( )1
-cossec cot g ln cossec cot g2
x x x x C+ − +
f) 2 1
2 2
xex C
−
− + +
g) cos senx x x C− + +
h) ( )21arctg ln 1
2x x x C− + + i) ( )
322
3ln 29
x x C− +
j) ( )( )cos 1 ln cosx x C− + k) sec ln sec tgx x x x C− + +
l) 3 2[ 3 6 6]xe x x x C−− + + + + m) 1
cos5 sen525 5
xx x C+ +
n) 3
29 6 227
xex x C − + + o) ( )2 2 sen 2 cosx x x x C− + +
2.
EXERCÍCIOS 1.3
a) 5sen
5
xC+ b) 31 1 1
sen4 sen 216 64 48
x x x C− + +
c) 7 5cossec cossec
7 5
x xC− + + d) 3 5 71 2 1
cos cos cos3 5 7
x x x C− + − +
e) 4cos
4
xC− + f)
5 3tg tgtg
5 3
x xx x C− + − +
g) 7 32 2cos cos
7 3x x C− + h) 9 7 51 2 1
tg tg tg9 7 5
x x x C+ + +
i. 4tg
4
xC+ j) tg cotgx x C− +
k) 31sen sen
3x x C− +
2 1 1( )
2 2 4
tep t t
−− = + +
468 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
l) 31 1 1cossec cotg cossec cotg ln cossec cotg
4 8 8x x x x x x C− + − − +
EXERCÍCIOS 1.4
1.
a) 1
arctg2 2
xC+ b)
21 3 3ln
3
xC
x x
+− +
c) 2 16
ln4 4
x xC
−+ + d) 29
arcsen 92 3 2
x xx C+ − +
e) ( )2 2625arcsen 25 25 2
8 5 8
x xx x C+ − − +
f) 2
2 1ln 1
xx x C
x
−+ − − +
EXERCÍCIOS 1.5
a) 5
6ln 22
x Cx
+ + ++
b) 3
ln 1 5ln2
xx C
x
−− + +
−
c) 3ln ln 3 2ln 1x x x C− + + − + d) 2 2 2ln 1x x x C− + + +
e) ( )2 1ln 1 +arctg 2ln 1
1x x x C
x+ − − − +
−
f) ( )219 ln 1 12arctg ln
2x x x x C− + − + +
g) 3
2 5ln 33
x x Cx
+ − + ++
h) 3 2 1
ln 2 ln5 5 2
x x C+ + − +
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 469
EXERCÍCIOS EXTRAS
1.
1) 10
7ln 11
x x Cx
+ − − +−
2) 2arcsec x C+
3) 3 23t C
t− + 4)
21 9 3ln
3
xC
x x
+− +
5) 1
1 tgC
x
−+
+ 6) tg x C+
7) 1 1 1
4 1 1C
x x
− + + − 8)
1ln
2 senC
x
+
−
9) 1
arctg4 4
xC+ 10)
1tg 5
5x x C− +
11) 2
arctg3
t C+ 12) 3 arcsen x C+
13) ( )31
2 23
y y C− + 14) 1xe C− +
15) ( )2 14ln ln 4 arctg
2 2
xx x x C+ + + − +
16) ( )2 2
3
3 2 3
27
x xC
x
+ −+
17) 3 51 sen 2 sen 2
2 3 5C
θ θ − +
18) ( )2
21ln 1 +arctg
4 4
xx x x C+ − + +
19) ( ) ( )2
2 21 1+ sen 1 cos 1
4 4
xx xe
e e C−
− − +
20) xxe C−− + 21) 5 31 2cotg cotg cotg
5 3x x x C− − − +
22) 1
5ln 1 3ln 51
x x Cx
+ − − − ++
470 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
23) 26
1 1
cos 3xe C
x x− − + 24) 2 24 ln 4x x x C− + + − +
25) ( )2
1
2 16C
x+
− 26)
2e sen 2cos
5 2 2x x x
C
+ +
27) 2
42e 1
4x x
x C
− + +
28) 21tg
2x C+
29) ( )2
2 2 1arctg
4 22 2 3
x xC
x x
− − + − +
+ +
30) ( )1 tg ln cosx x x C− + +
2. a) ≈ 13,18 b) ≈ 7,4 c) ≈ 41,85
3. 5
2
4. ( ) 31 1 2cos cos 10
9 3 9p t t t t= − + +
5. ≈ 0,082 CAPÍTULO 2
EXERCÍCIOS 2.1
5.
a) ( )3 310
3y y x C+ − + = b) 2 xy e=
c) 2 3 22 2 2 3 0y y x x x− − − − − = d) ( )22ln 1 4y x= − + +
e) 32 2ln sen 0
3 3y y x+ − − = f) 32
ln 13
y x C= ± + +
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 471
g) ( )2 210
2y xy x e e C−− + − + = h)
2
2y
x C=
−
i) 1
yx C
−=
+ j)
24
2
xey C= ± +
k) 2y x C= ± + l) ( )2
2ln 0
2
xy C− + =
6. a) ( )tg 1y x= − b) ( )2 1 3tx e t= − +
7. k = -3 ou k = 3.
8. 2
2
4 2y
x x
−=
+ −
9. Considerando 0 4y≤ < temos ( )22
3
4,
1t
y t
Ce−
=
+
onde
0
0
4 yC
y
−= .
a) ( ) 4.t y t→ +∞ ⇒ →
b) unidades de tempo.
10. ( ) ( ) ( )21 11 ; quando .
8 8xy x e y x x−= − → → ∞
EXERCÍCIOS 2.2
1. ( ) ( )1 ,ktC t C e−= − onde k é a constante de proporcionalidade.
2. ( ) 0,0282804100 tC t e−= t = 24 dias e meio
3. a) aproximadamente 13 anos; b) 29,58 mg
3,3T ≈
472 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
4. Aproximadamente 13.334 anos
5. ( ) 0
0
1,
1 p t
p xx t C
xCe α−
−= =
+
6. ( ) 0
0
11,
1 t
xx t C
xCe β−
−= =
+
7. Q(0) = 160 bactérias
8. 29,3 gramas; 60 quando ;x t→ → +∞ 0 grama de A e 30
gramas de B.
9. ( ) ( )10 1834; 2000 quando .C C t t= → → +∞
EXERCÍCIOS 2.3
1.
a) ( ) ( )213 1
2xy x e= − b) ( ) 2
sen xy x
x=
c) ( ) 2 31 1
3 3x xy x x e Ce− −
= − + +
d) ( )3
2
3x x
y x e C
= +
e) ( )3 cos2
sen 22 2
xy x x C
x
= + +
f) ( ) ( )22 1 3x xy x e x e= − +
g) ( )3
25
x Cy x
x= + h) ( ) ( )2 21
12
xy x e x−= −
2. a) ( ) 0,04500 400 tC t e−= −
b) ( ) 500gr quandoC t t→ → +∞
3. 7h,42mint ≈
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 473
4. Levará aproximadamente 82 seg para atingir 90ºC e 146 seg para atingir 98ºC. 5. Aproximadamente 25ºC.
6. ( ) ( ) ( )1000,3 1 , 0,3 quando .ti t e i t t−= − → → ∞
7. ( ) ( ) ( )50 500,01 1 , 0,5 .t tq t e i t e− −= − =
EXERCÍCIOS EXTRAS
1. a) a = 0 ou a = 2 b) a = 0 ou a = -1/3
2.
a) ( )21 5
2 2x x xy x e e− −= − + b) ( ) ( )
12 21
12
y x x= +
c) ( )3 3t t ty t e e− −= + d) ( ) ( )
2152 1
16y x x= + +
e) ( )2sen
( ) 32
tte
y t e= + f) ( )5 54
5 51 4
5 5
x x
y x e e−
= +
g) ( )2
15
9y x
x=
+ h) ( )
1y x x
x= −
3. ( )5
01 1
.5 5
xy x y e− = + −
a) A solução é decrescente para 01
5y > e crescente para 0
1.
5y <
b) ( )1
quando5
y x x→ → ∞ e independe do valor de y0.
474 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
4. ( ) 0
2
4.
9
yy x
x=
−
a) x > 3 para e -¶ < x < ¶ para y0 = 0.
b) y(x) → 0 quando x →¶ e independe do valor de y0. 6. A solução do PVI é dada implicitamente por
3 23 0.y y x x− − − = A solução tem um extremo local onde
0,dy
dx= ou seja, em x = -1/2.
7. ≈ 50.200 anos. 8. 4,06 gramas.
9. a) ( ) ( )1
2100 100t
Q t e t−
= +
b) ( )1
1010 2C e−
= gramas por litro.
10. y0 = 64 11. t ≈ 2,71 h 12. t ≈ 0,5 h 13. 760 14. 11 horas 15. T(1) = 31,67°F; Aproximadamente 0,06 min.
0 0y ≠
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 475
17. ( )
( )
10
2 10
60 1 , 0 20
60 1 , 20
t
t
e t
i t
e e t
−
−
− ≤ ≤
= − >
18. ( )( )1
0
t t
RCE t E e−
−=
19. ( ) sen
0k tP t P e=
20. 276 estudantes infectados
CAPÍTULO 3
EXERCÍCIOS 3.2
(a) d = 5 (b) 86 9,27d = ≈
EXERCÍCIOS 3.3
1. a) (1,2,0) b) 1 1
, ,42 2
2. a) ( ) ( ) ( )2 2 2
2 2 3 25x y z− + − + − =
b) ( ) ( ) ( )2 2 2
3 2 2 4x y z+ + − + − =
c) 2 2
23 5 17
2 2 2x y z
− + − + =
476 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
3. a) 7 7
,0,0 ; 2 2
C r
=
b) ( )5
1,3,2 ; 2
C r =
EXERCÍCIOS 3.4
1. a) ( )1,2 1f − = − b) ( ), 3f b x b x= +
c) ( ) ( ), ,
3f x x y f x y
x
+ ∆ −=
∆ d)
( ) ( ), ,1
f x y y f x y
y
+ ∆ −=
∆
2. a) ( ) 2 2 2, : 4D x y x y= ∈ + ≤ℝ
b) ( ) 2 2, :D x y y x= ∈ ≥ℝ
c) ( ) 2, :D x y y x= ∈ ≠ ±ℝ
d) 2( , ) : 22
xD x y y
= ∈ < − +
ℝ
3. a) ( )2,1 5f =
b) ( ) 33 , 9 1f a a a= +
c) ( ) ( )2 2, 1f ab a b a b a b− = − +
4. a) ( ) ( )( ) 2 10, 3f x t y t t t= +
b) ( ) ( )( )0 , 0 0f x y =
5. ( ) 2 2, : .D x y x y= ∈ ≠ℝ
6. a) ( ) ( ) ( )2 3 7, : ; 2,1 ; 6, 4 0.
2 8
xD x y y f f
= ∈ ≠ − = − =
ℝ
b) ( ) ( ) ( )2, : ; 4,5 3; 1,2 3.D x y y x f f= ∈ ≥ ± = − =ℝ
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 477
EXERCÍCIOS 3.5
1.
a)
b)
c)
d)
3. a) b)
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-4
-2
2
4
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-4
-2
2
4
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
2
4
6
y
-6 -4 -2 0 2 4
-6
-4
-2
2
4
6
C=1
C=2
C=-3
y
-6 -4 -2 0 2 4
-2
2
4
6
8
10
C=0
C=4
C=9
478 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
5. ( )31,13;31,275 10 273,49T C× = −
EXERCÍCIOS EXTRAS
1. 0 4
0 2 4
x z y
y x z
= ⇒ − =
= ⇒ + =
2. ( ) ( ) ( )2 2 2
1 2 3 1 0x y z− + − + − + =
4. a) 18d = b) 206d =
5. (6,4,7)
7. P(3,3,3)
8. 5 5
,0,0 ; 2 2
C r
=
10. a) 5 b) 39 1a + c) ( )2 2 1a b a b− +
11. ( )
( )
0,09;60 722,84
0,14;240 8090,13
F
F
=
=
12. ( )
( )
500;0,10;5 824,36
1500;0,12;20 16534,76
A
A
=
=
13. ( )
( )
1,2 0
1,4 6
f
f
=
=
14. ( ) 2, 3 3f x x y xy y y x+ ∆ = + + ∆
( ) ( ), ,
3 2f x y y f x y
x y yy
+ ∆ −= + + ∆
∆
15. 0,7%
17.
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 479
a) b) c)
d) e) f )Todo o plano xy
19. a) : 2D x x= ∈ ≠ℝ
b) ( ) 2, : 2D x y x= ∈ ≠ℝ
20. 2V r hπ=
Do ponto de vista matemático: ( ) 2,D r h= ∈ℝ
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-2
2
4
6
8
10 y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
2
4
6
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
2
4
6y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
2
4
6
480 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Do ponto de vista físico: ( ) 2, : 0, 0D r h r h= ∈ ≥ ≥ℝ
23.
a) ( ) 2, :5 3 0D x y x y= ∈ + ≠ℝ
b) ( ) 2, : 0D x y x y= ∈ + >ℝ
c) ( ) 2 2 2, : 16D x y x y= ∈ + ≤ℝ
d) ( ) 2, : 2 0D x y x y= ∈ − >ℝ
27. No plano z = 3 o traço da esfera é dado por: 2 2 16x y+ =
No plano x = 4 o traço da esfera é dado por: 2 2 9y z+ =
28. a) b)
x
y
-2 -1 0 1 2 3
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
-2 -1 0 1 2 3
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-4
-2
2
4
6
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-4
-2
2
4
6
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 481
c) d)
e) f)
g) h)
31. O mapa de contorno da figura (a) representa as curvas de nível do parabolóide enquanto que o da figura (b) representa as curvas de nível do cone pois a distância entre as curvas de nível é sempre a mesma em (b).
482 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
32. A distância entre as curvas de nível da função ( ),f x y é sempre
a mesma pois f é um plano e inclinação da superfície em qualquer ponto é sempre a mesma.
34. 2xye =
36. a) A voltagem é sempre constante.
b)
x
y
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
-15
-10
-5
5
10
15
V=1
V=0,5
V=2
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 483
38.
A superfície é mais inclinada na região onde as curvas de nível estão
mais próximas uma das outras e menos inclinada onde as curvas de
nível estão mais longe uma das outras.
40. ( )3,3 56f − ≈ e ( )3, 2 58f − ≈
41. a) 1,14x10-4
43. a) b) 2 3z x y= − para z = 0
45.
a) b)
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-4
-2
2
4
6
x
y
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
y=1/xy=2/x
y=3/x
x
y
-4 -2 0 2 4
-4
-2
2
4
y=4/x
484 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
CAPÍTULO 4
EXERCÍCIOS 4.1
2.
a) 3 25 ; 15x yz y z xy= = b) ( )2
2
12; 3 ln 2 1
2 1
yy
x yxe
z z e xx
= = −−
c) cos ; senx yz y x z x= =
d) ( ) ( )2 27 1 2 ; 7 1 2xy xyx yz ye xy z xe xy= + = +
e) ( )
2 3
2
6 8;
1 4 1 4x y
x xz z
y y= =
− − f)
3 3;x yz z
x y
−= =
g) ( ) ( )2 2 2 2 22 cos sen ; sen 9x yz x x y x y z x x y y = − = − +
h) 1
[1 ( ln )]; ( ln )xy xyx yz e y x y z e x x y
y
= + − = − −
i) ( ) ( )
2 2
2 2
2;x y
x xy y x xz z
x y x y
+ − −= =
+ +
j)
3 3
2
2 2
3 2 2 3
2 2
1
( ) 2
1 3
2
2
( ) ( ) 2
x
y
z
z y yzf
x y x z xyz
z y x xzf
x y x z xyz
zy x z y x xyf
x z x z xyz
= − ++ +
= − ++ +
= − − ++ +
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 485
k)
2 3 3 3 3 3
2 2
2 3 3 2 2 22
3 2; 6
32 32
3 33 ;
32
w y
x z
w z xyz w z xyzf f xy
y ww y
y z w z xy zf y f
w y w
= + = − −
= − = −
4. 2
;m m
P T
V VR RT
T P P P
∂ ∂ = = − ∂ ∂
5.
( )
( )
3,2 12,2
3;2,2 16,8
x
x
f
f
≈
≈
EXERCÍCIOS 4.2
1. dT V dP P dV
dt k dt k dt= +
2. 3
1 2( )
dT dP ab aV dVV b P
dt k dt dtV
− = − + +
3. a) 0,88dV
dtπ= cm3/min b) 0,3
dA
dtπ= cm2/min
4. 0,07626dS
dt= cm2/ano
5. a) A produção de trigo diminui a medida que a temperatura aumenta. A produção de trigo aumenta a medida que a chuva aumenta.
486 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
b) (Nestas condições, a produção de trigo diminuirá
cerca de 1,1 unidades por ano.)
6.
7.
8.
10.
11. a) b)
12. a)
b)
EXERCÍCIOS 4.3
1. a) coef. ang = 3 b) coef. ang. = −2
1,1dW
dt= −
53,1 10 /dI
A sdt
−= − ×
0,27dV
dt= −
( 0) 4dw
tdt
= =
21
6−
( )2
6 3dz yt x
dt x y
−=
−( )
2 29 6 1 18dz
x y tdt
= + +
( )2
' 2 cost
y x
f fG t te t
x y
∂ ∂ = +
∂ ∂
( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 0 1,0 1,0 1,0 1,0 5y x
f dx f dyG
x dt y dt
∂ ∂ = + =
∂ ∂
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 487
2.
3.
4. (coeficiente angular da reta tangente à curva de
nível gerada, no plano yz, quando se fixa x = 1)
(coeficiente angular da reta tangente à curva de
nível gerada, no plano xz, quando se fixa y = 2)
5. (a) (b)
6. (a partir do ponto (2,3) do plano xT, para
cada uma unidade que você anda (aumenta), na direção do eixo x, o valor de z diminui de 2,4 unidades)
(a partir do ponto (2,3) do plano yT, para
cada uma unidade que você anda (aumenta), na direção do eixo y, o
valor de z diminui de 9 unidades)
4z x= −
2 5
3 3z x= +
5 4
3 3z y= +
( )1,2 8xf = −
( )1, 2 4yf = −
3
40 e
9x x= = 0 e 1x x= =
( )2,3 2,4y
T
x
∂ = −
∂
( )2,3 9x
T
y
∂= −
∂
488 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
7. (a) (taxa de variação da temperatura
aparente em relação a temperatura do ar, mantendo a umidade relativa do ar como constante).
(taxa de variação da temperatura
aparente em relação a umidade relativa do ar, mantendo a temperatura do ar como constante).
(b) e
EXERCÍCIOS 4.4
1. a)
b) ; ;
( )
2
2 3 4
2 6P RT a
V VV b
∂= − ∂ −
3.
4. a) Não satisfaz o teorema
b) Satisfaz o teorema
6. a)
b)
0,885 1,2h
Ih
t
∂ = +
∂
22,4 1,2t
It
h
∂ = − +
∂
0,8
1,845h
I
t =
∂ =
∂ 32
16ot
I
h =
∂ =
∂
( ) 2, : 0, D V T V V b= ∈ > ≠ℝ
( )2 3
2
T
P RT a
V VV b
∂ = − +
∂ − ( )V
P R
T V b
∂ =
∂ −
2 2
2m mV VR
P T P T P
∂ ∂= − =
∂ ∂ ∂ ∂
( )xy yxf f≠
( )xy yxf f=
2 22 8 ; 16 ; 16 ; 18 8xx xy yx yyf y f xy f xy f y x= + = = = − +
2 2
1 1 ; 0 ; 0 ; xx xy yx yyf f f f
x y= − = = = −
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 489
c)
d)
( )22 2
4yx
xyf
x y= −
+
e) 2
2 2 22 2 2
11
11zz
zf
x y zx y z
−= +
− − −− − −
EXERCÍCIOS 4.5
1. a) (0, 0, 0) é ponto de mínimo relativo b) (0, 0, 0) é ponto de sela
c) (0, 0, 5) é ponto de sela
d) (0, 0, 0) é ponto de sela e
(2, −2, −8) é ponto de mínimo relativo
e) (2, 2, 12) é ponto de mínimo relativo f) (3, −2, 17) é ponto de máximo relativo g) (0, 0, 0) é ponto de sela (visualisação gráfica) (−0, −1, −2) é ponto de mínimo relativo (1, 1, −2) é ponto de mínimo relativo
2. a) Máximo absoluto em
b) Máximo absoluto em (3,-2)
3. (0,0,0) é um ponto de sela
(-1,1,1) é um ponto de máximo relativo
2 2e ; +xy ; ; xy xy xy xy xy xyxx xy yx yyf y f e e f e xye f x e= = = + =
( )3
2 2 2 2
1yx
xyf
x y z
−=
− − −
11,
2
490 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
4. Os números são: x = y = z = 8
6. As dimensões do tanque são x = y = z = 3 10
9. A antena deve ser instalada no ponto
EXERCÍCIOS 4.6
1. a) 22 sen ( cos 3 )df x y dx x y y dy= + +
b) 33
2(2 )xy xydf xe xy dx x e dy
y
= + + −
c) 22 2 2 2
2 2sec
x ydf dx dy z dz
x y x y= + +
+ +
d) 2 3 2 2 2(2 ) 4 ( 2 ) (12 )df xz z t dx t dy x xzt dz yt xz dt= − + + − + −
2. a) 7,74; b) −1,06; c) 1,87; d) 0,11
3) Falta 0,03459 m3
4. Erro máximo na área: dA = 0,0384 m2
Erro percentual na área: 0,1745 %
Erro máximo no volume: dV = 0,0176 m3
Erro percentual no volume: 0,2933 %
5. O fluxo sanguíneo diminui 5%
6. Erro máximo de 10% para mais ou para menos
5 1,
4 4
−
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 491
7.
9. a)
b) Quando α = 0 e β = 0, tem-se que V = cte (que significa que se
trata de um fluido (líquido) incompressível.
c)
d)
EXERCÍCIOS 4.7
1. a)
c)
2.Q E
m mdm dE dQ
E Q
∂ ∂ = +
∂ ∂ onde
Q
mdE
E
∂
∂ é a variação de m
em relação a E mantendo-se Q constante e E
mdQ
Q
∂
∂ é a variação
de m em relação a Q mantendo-se E constante
3. Não é exata
EXERCÍCIOS 4.8
0,01dI A= −= −= −= −
dVdT dP
Vα β= −
-124 bar C⋅
32 1,267 cmV =
3 3
2 2dU VdP PdV= += += += +
3 5
2 2RQ VdP PdVδ = += += += +
492 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
1. a)
2 2
2 22
4
2 2z
zxyz y z
y yxzx xyz x zy
− −∂
= ∂ − −
;
2 2 2
2 22
3 2 2
2 2x
xz x y xy z
y yxzz xyz x zy
− + −∂
= ∂ − −
b) 3 2
2 3
cos( ) sen( )
2sen( ) cos( )
2z
x y x yy z z
x y x yxz z
+ −+
∂ −= − +∂ −−
2
3 2 3
2 3
3 sen( ) 2cos( )
(2 )sen( ) cos( )
2x
z x y x y
y z zx y x yzz z
+ −+
∂ − = − +∂ −
−
2. Considere e utilize
derivação implícita.
22
3
( )
(2 )P
a V bR
V T VT a b V
PTV
−+
∂=
∂ − −
( ) ( )2, , 0
aF P T V P V b RT
TV
= + − − =
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 493
EXERCÍCIOS EXTRAS
1. a) ; ( )22x
zx sen x y
y
∂= − +
∂
b) ( ) ( )cos senx y
y
ze x y x y
x−∂ = + + + ∂
;
( ) ( )cos -senx y
x
ze x y x y
y− ∂ = + + ∂
2. a) 3 3 220 6 7y
fx y x y
x
∂ = + −
∂ ; 4 2 315 2
x
fx y x
y
∂= +
∂
b) 2
1'
y
z xf
x yy
∂ =
∂ ;
2 3
1'
x
z y x xf f
y y yy y
∂= − −
∂
c) 1
' cos seny
z x xf
x y y y
∂ = −
∂ ;
2
' cos senx
z x x xf
y y yy
∂=
∂
d) ( )
2
2
2
y
z x xy y
x x y
∂ + − =
∂ + ;
( )
2
2x
z x x
y x y
∂ −=
∂ +
e) ( )4
2 22
23 ln 2
2y
z xx x y
x x y
∂ = − − −
∂ − −
3
22x
z x
y x y
∂= −
∂ − −
494 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
f) [ ]23 1 2xy
y
zye xy
x
∂ = +
∂ ; [ ]23 1 2xy
x
zxe xy
y
∂= +
∂
g) 3 1
seny
z x
x y y x
∂ = − +
∂ ;
2
3 1sen
x
z x x
y y yy
∂= −
∂
h) 7 lnx
y
wy y
x
∂ =
∂ ; 17 x
x
wxy
y− ∂
= ∂
3. ( )1,1 17y
w
x
∂ =
∂
4.
5. a) b) c)
d) e) f)
g) h)
i) j)
6. a) b)
(((( )))) 4 2 21, 7 ln 1
2f x y x y xy y K= − + + += − + + += − + + += − + + +
6
6x
y
f y
f x
====
====
6
2x
y
f x
f
====
==== 2
6
3
yx
yy
f xe
f x e
====
====
3 2
2
xyx
xyy
f ye
f xe
= += += += +
====2
2
2x
y
xf
y
xf
y
====
= −= −= −= −(((( ))))
2
1
1
1
x y
y
yy
he
xeh
e
====++++
= −= −= −= −++++
(((( ))))
(((( ))))
6 3 4
2 3 4
x
y
f x y
f x y
= − += − += − += − +
= − − += − − += − − += − − +
(((( ))))
(((( ))))
1ln
ln
xy xyx
xy xyy
f e y x yex
f e y x xe
= − + −= − + −= − + −= − + −
= + −= + −= + −= + −
(((( ))))
3
3 1
x y
y y
yf
ex y
fe
====
−−−−====
2 cos
cos
x
y
y yf xsen y
x xy
f xx
= −= −= −= −
====
3
2VR
C ==== (((( ))))
5322
3ln 2
RT
PeS R mkT
Lhπ
= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 495
c) d)
7. 2
,2
21P n
V nR
T n a nbP
VV
∂ =
∂ − −
2
,2
21T n
V nb V
P n a nbP
VV
∂ − =
∂ − +
8. 2
4,18I
H RI
t
∂ =
∂ calorias/seg
9. 0 02
760 760e 1
273 273P T
P T
T P P P
ρ ρρ∂ ∂ = = − +
∂ ∂
10. a) 21
58r
A
h
π∂ =
∂ b)
67
58h
A
r
∂ π =
∂
11.
⇒
⇒
25 3
2 2
TR RR
P
++++
51
3P
V
C RT
C P= += += += +
1 11 T
T
PB V
V VV P
β
∂ = = − = − ∂ ∂
∂
2
T T
m m m
V V V V VV
µ µµ
∂ ∂ = ⇒ = = − = − ∂ ∂
T
T
VV
V
µµ
µ µ
∂= − = − ∂ ∂
∂
T TT T T
V P V P PB
V Vµ µ µ
µ µ µ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − − ⋅ = =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
496 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
12. ⇒ H é função crescente da
temperatura e que H é linear. Portanto, a isóbara é uma reta com
coeficiente angular positivo e igual a . Somente com a
informação dada não é possível saber se a reta passa pela origem ou não.
13.V T P P
T V V V
∂ ∂ ∂⋅ ⋅ = −
∂ ∂ ∂
15. ( )' 2 25u ≈ C/m. Isso significa que, a partir de x = 2, se x
aumentar de 1 metro então a temperatura irá aumentar de,
aproximadamente, C.
16. ( )' 2 25u ≈ C/m. Isso significa que, a partir do ponto (2,1), se x
aumentar de 1 metro (mantendo y constante igual a 1) então a
temperatura irá aumentar de, aproximadamente, C.
( )' 1 15v ≈ − C/m. Isso significa que, a partir do ponto (2,1), se y
aumentar de 1 metro (mantendo x constante igual a 2) então a
temperatura irá diminuir de, aproximadamente, C.
17. a) z é mais sensível à variações de x pois
b)
18. Para r = 5 pés e h = 25 pés, temos que 250 25dV dr dhπ π= + , ou seja, o volume no tanque é mais sensível a pequenas variações de r.
é uma constante positivaP
H
T
∂
∂
5
2R
25
25
15
(((( ))))1,0 2 1dz dx dy= += += += +
1
2
dx
dy= −= −= −= −
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 497
Para r = 25 pés e h = 5 pés, temos que 250 625dV dr dhπ π= + , ou seja, o volume no tanque é mais sensível a pequenas variações de h.
19. 0,2%
22. Escreva a diferencial total para U e divida a equação obtida por dV, com P constante.
23. (a) T
S nR
V V
∂ =
∂
(b) Como n, R e V são grandezas positivas, segue que
⇒ as isotermas são curvas monótonas crescentes.
Calculando a derivada segunda de S em relação a V, concluímos que
e, portanto, a curva será côncava para baixo.
26. ⇒
∴
Como
segue que
0T
S
V
∂ >
∂
2
20
T
S
V
∂< ∂
1T U V
U V T
V T U
∂ ∂ ∂ ⋅ ⋅ = −
∂ ∂ ∂
1 1 1
T U V
U V U V
U T UV T V TV V TT U T U
∂ − ∂ ∂ = = − ⋅ = − ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ⋅
∂ ∂ ∂ ∂
U V T
T U U
V T V
∂ ∂ ∂ ⋅ = −
∂ ∂ ∂
J VU V
T UC
V Tµ
∂ ∂ ⋅ = ⋅
∂ ∂
J VT
UC
Vµ
∂ ⋅ = −
∂
498 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
CAPÍTULO 5
EXERCÍCIOS 5.1
1. 43,5 2.
3. 2
bπ 4.
5.
EXERCÍCIOS 5.2 1. 0,1 2. 448
3. a) b)
4. a) Para uma função contínua, a afirmação é falsa.
b) Verdadeira, pois
5. a) -0,072 b) 0,359 c) 8
7 d) ≈ 0,382
6. a) 15,37 b) 1,27 c) 0,535 d) 0,57 e) 61,65 f) 2,25 g) 1,08 h) 0,125 i) 0,8 j) 2,66 k) 1,097
7. a) b) c) d) 18
EXERCÍCIOS 5.3
1. a) b) 8 3
2. 104 3.
( )
2
ab a b+
1 2
2
3
a
( )1 1
0,
yf x y dxdy∫ ∫ ( )2
1 1
1,
xf x y dydx
−∫ ∫
5 6 6 5
3 2 2 332xdydx xdxdy= =∫ ∫ ∫ ∫
2 2eπ
−−−−4
3
4
3
16
3
4 2 2 1
3 5
−−−−
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 499
EXERCÍCIOS 5.4
1. a) e
b) 8 5 9
e ,3 4 16
P CG
= =
2.
EXERCÍCIOS 5.5
1. 8
35
2. a)
b)
3. a) VM = 16 b) VM = c) VM = 0
d) VM =
EXERCÍCIOS 5.6
1. ( )3 7
2,2 2 2, 2 2,4 4
π π − → → −
( ) ( ) ( )4,0 4,0 4,2π→ →
( )3
0,4 4, 4,2 2
π π → → −
( )5
3,3 3, 3,4 4
π π → → −
( )5
1, 1 2, 2,4 4
π π − − → → −
( ) ( ) ( )1,0 1, 1,0π− → → −
1
8P ====
8 8,
15 15CG
====
1 2,
2 5C
====
15 15 e
77 63x yI I= == == == =
3 1 e
2 2x yI I= == == == =
9
22 3
4
e −
500 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
( ) ( ) ( )1,2 5,70 5,250→ → −
EXERCÍCIOS 5.7
1. 22
0 04
rA rdrd r
π
θ π= =∫ ∫
2.
3. a) 2,634 b) 39 c) d)
EXERCÍCIOS 5.8
1. a) P(0,3,1) b) P(3,0,-6) c) P(-1,0,e)
2. a) 7
2, ,24
π
b) 4
2, ,23
π
3. a) (0,0,0) b) (0,0,-2) c) 6 6
, ,12 2
4. a) 2, ,2
ππ
b) 2, ,4 4
π π
5. a) (0,0,2) b) 8, ,06
π
6. a) 2, ,4 2
π π
b) 2, ,2 4
π π
7. 384π 9. 4
5
π 10.
15
16
π
EXERCÍCIOS EXTRAS
4 2 1 3
3 4 32
π− −− −− −− −
26
3
π42 2e
π π−−−−
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 501
2. (a) (b)
(c)
3. (a)
(b)
4. (a) 21,3 (b) 39,06 d) e)
0,54 f) 0,035 g) 1
5. (a) (b)
6. (a) (b) 3,46
7.
(a)
(b) 1,35
( )22 42
0 0
11
4
yye dxdy e= −∫ ∫
1
01
2y
e
e
eydxdy = +∫ ∫
( )2 4 2
0 0cos 0,38
yy xy dxdy =∫ ∫
1 cos64
3
−−−−
64
5
π 5
2
π
( )3 10
3
e −
8
3
502 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
(c) 0,54
8. a) ( )2 4
0 2,
yf x y dx dy∫ ∫ b) ( )
31
0,
y
yf x y dx dy∫ ∫
c) 22 2 2
0 1 ln( , ) ( , )
e
e yf x y dx dy f x y dx dy+∫ ∫ ∫ ∫
9.
10.
15.
16. e -1 17. Área= 27,87
18.
19. 24 20. -25,5
21.
23. kA
24. Falsa.
9
4
4V π====
16 32
3V
π −−−−====
(((( ))))1
1 cos83
−−−−
2 2
3 3Re−−−−−−−−
21 1 2 2
0 08 1 .
yV x y dxdy
−= − −∫ ∫
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 503
25.
CAPÍTULO 6
EXERCÍCIOS 6.1
1. O vetor posição <3,2> aponta para o ponto (3,2) no plano xy.
3.
4.
5.
7. a) b)
8.
9. a) 14 , 1,0, 4
2 6, 4, 2 , 3 4 7,2, 15
u u v
u u v
= + = −
= − − − + = −
b) 5 , 1, 1,3
2 2, 4,0 , 3 4 3, 2,12
u u v
u u v
= + = −
= − + = −
10. Módulo de um vetor é o tamanho desse vetor.
11.
8
3
3,2,3PQ Q P→
= − = −
w v u= −
AB BC AC→ → →
+ =
2,3u = −
0,0,3u =
3, 1 2,4 1,3− + − =
21v =
6 4 2, ,
56 56 56− −
504 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
EXERCÍCIOS 6.2
1. a)
b)
2. 3u v⋅ =
3. formam um ângulo obtuso
4. 7
5k =
5. 2
comp5v u =
2comp
5u v =
6. W = -12 lb metro 7. 375 libras pésW = ⋅
EXERCÍCIOS 6.3
1. a)
b)
2. a) escalar b) não faz sentido c) vetor
d) não faz sentido
3. e
4.
EXERCÍCIOS 6.4 1.
33 ; cos
205u v θ⋅ = − = −
2020 ; cos
630u v θ⋅ = − = −
34 u v⋅ = − ⇒
e u v
3 4 2i j k− +
2 3i j k− +
2 1 1, ,
6 6 6− −
2 1 1, ,
6 6 6−
32,19≈
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 505
2.
3.
4. a)
b)
EXERCÍCIOS 6.6
1. a) b) 100
17 c)
22
5
− d)
160
14
− e) 0
2. a) 14 2−
b) 2 2
c) na direção perpendicular ao vetor gradiente 4 3
,5 5
u = −
3. a) -47,57
, , 2,4,10 3,1, 8
2 3
4
10 8
x y z t
x t
y t
z t
= − + −
= − +
= + = −
, , 1,0,6 1,3,1
1
3
6
x y z t
x t
y t
z t
= +
= +
= = +
, , 3,1, 1 0,1, 5
3
1
1 5
x y z t
x
y t
z t
= − + −
=
= + = − −
0 2 1
2 3 7
x y z− − += =
−
( )4 11 2 11
0,2, 1 , ,0, , , ,03 3 7 7
− − −
5 2−
506 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
b) Na direção do vetor gradiente
c)
5. 4 3
, e 0,15 5
u u= − =
6. b)
EXERCÍCIOS 6.7
1. a) 70 b) 170
3 c) 58
2. a) b) 48 c)
3. a) é exata b) é exata
4. ;
5. -3
6. 31C
F dx G dy+ =∫
EXERCÍCIOS 6.8
1. a)
2. a)
4. a)
b)
4, 8,54−
54,73≈
12,92−
34
7
16
3−
1
64
3Cdz =∫ 2
20C
dz =∫
(((( )))) (((( ))))1 2,3 e 1 2,6v a
= == == == =
0,87 6,93 e 0,5 86 6
v i j a i jπ π
= − = − −= − = − −= − = − −= − = − −
(((( )))) (((( ))))1 1 1 2
2 e 22 3 2 9
v i j a i j
= − − = += − − = += − − = += − − = +
(((( )))) (((( ))))0 2 e 0 4v i j a i j
= − = += − = += − = += − = +
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 507
5. a)
b)
6. b)
7.
EXERCÍCIOS 6.9
a) b) 32
3 c)
EXERCÍCIOS 7.0
1.
2. 12π 3. M = 2p -2
4. W = 29/60 J 5. Escoamento = p/2 – 1/2
EXERCÍCIOS 7.1
1. a) 2 3( , ) 4x y x xy y cφ = + + + ; 66
2. a) 3 4( , ) 2x y x y x y cφ = + + +
(((( ))))2 0,6v
==== (((( ))))0 2,24v
====
(((( )))) (((( )))) (((( ))))3
2 42 3 3 2 13
tr t i t t j t k
= + + + − + += + + + − + += + + + − + += + + + − + +
(((( )))) (((( )))) (((( ))))2
3 47 2 1 32
tr t t t i t t j t k
= + + + − + + −= + + + − + + −= + + + − + + −= + + + − + + −
(((( ))))' 2 2r t i tj
= += += += +
2
4 4
8 12
x t
y t
z t
= += += += +
= += += += +
= += += += +
1e − 24π−
1
12−
508 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
b) 2( , ) sen 4 xx y x y e cφ = + +
3. a) 2 2( , ) ; 14x y xy x yφ = +
b) ( , ) sen ;xx y e y c eφ = +
EXERCÍCIOS EXTRAS
1) a) b)
3. a) b)
5. a) ; ; ;
;
b) ; ; ;
;
6. a) b)
c)
9.
10.
11. a) b) c)
12.
13.
CD DA CA→ → →
+ =
BC DC BD→ → →
− =
3,2u =
2,0, 2u = −
13u =
1,3u v+ =
7,1u v− = −
2 6,4u = −
3 4 7,10u v+ =
13u =
3u v i j+ = +
7u v i j− = −
2 4 6u i j= −
3 4 10 7u v i j+ = +
9 5,
106 106−
12 5
13 13i j−
8 1 4
9 9 9i j k− +
3,4,0u = −
( )1,3,1B = −
4 2i j k− + −
18 12 6i j k+ −
5 2i j k− − −
7 5 6 5,0,
5 5u = −
2 2 2 2, e ,
2 2 2 2u v= − = −
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 509
14.
17.
19.
21.
23. Precisamos de um ponto por onde a reta passa e de um vetor direção ou de dois pontos por onde a reta passa.
25.
26.
27.
29. plano xy: P(-2,10,0) plano xz: P(-2,0,-5)
plano yz: a reta não intercepta o plano yz.
34.
35. p
36. b) ; W = 9
37. a) b)
40. a) b) Na direção do vetor gradiente
c) d) Na direção contrária a do gradiente
0,1,0 e 0, 1,0j j= − = −
16 8 1 23,1, 2 ,0, ,1,
5 5 5 5− = − + − −
5 3−
1 2
1 2 1 1 2 1 e
6 6 6 6 6 6w i j k w i j k= + + = − − −
1
3
2
x t
y t
z
= − −
= =
( )1,2,2 e 0,0,0P v =
, , 2, 3,0 1,5,1x y z t= − + −
( )5, 1,6 e 3,2,1P v− =
( ) 2,f x y y senx K= +
32
3−
23
6
2 6
32, 4, 8− −
84 2,4,8−
510 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
41.
42. 30
43.
46. Não é conservativo
47. 13
48. 16
49. 2ka2
( )2 2
,2
x yf x y K= +
77
12
Texto sobre as Autoras Maria Helena S. S. Bizelli
Fez graduação em Licenciatura em Matemática na Universidade Federal de São Carlos – UFSCAR; mestrado em Matemática no Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação da USP (ICMC-USP) – São Carlos (SP), na área de Análise Matemática; e doutorado em Educação Matemática no Instituto de Geociências e Ciências Exatas da UNESP (IGCE) – Rio Claro (SP), área de concentração em ensino e aprendizagem da matemática e seus fundamentos filosófico-científicos. É docente do Departamento de Físico-Química do Instituto de Química da UNESP – Campus de Araraquara (SP), desde 1988, onde ministra aulas de Cálculo Diferencial e Integral e trabalha com Matemática Aplicada e Educação Matemática. Atua junto ao Grupo de Pesquisa em Informática no Ensino de Química (GPIEQ) e ao Projeto de Ensino em Ciências (PROENC), com a produção de material didático (livros, vídeos, animações em Flash, applets, vídeos-aulas) - relacionado ao Cálculo Diferencial Integral, Terceira Idade, Informática - e com Ensino à Distância. Coordenadora do Projeto Inclusão Digital para a Terceira Idade (desde 2003) - onde atua também como docente do curso Informática Básica para a Terceira Idade - projeto este vinculado a Universidade Aberta para a Terceira Idade (UNATI) com o apoio da PROEX e da Fundunesp.
512 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Sidinéia Barrozo
Fez graduação em Matemática no Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista – UNESP, campus de São José do Rio Preto (1987); mestrado em Matemática na Universidade de Brasília – UnB (1990), na área de Geometria Diferencial, com ênfase em Superfícies Mínimas; e doutorado em Matemática Aplicada na Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP (2000), na área de Biomatemática, onde trabalhou com Modelagem Matemática em Epidemiologia e Fisiologia Humanas. Ministra aulas de Cálculo Diferencial e Integral desde 1990, quando iniciou sua carreira de Professora Universitária na Universidade do Estado de Santa Catarina – UDESC, campus de Joinville. É professora da UNESP desde 1992, tendo trabalhado no Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências, campus de Bauru, de 1992 a 2005, e desta data em diante, no Departamento de Físico-Química do Instituto de Química, campus de Araraquara. Trabalha com modelagem matemática – desenvolvimento e análise de modelos matemáticos aplicados às áreas biológicas e à Química; com implementação de métodos numéricos e computacionais para análise matemática de experimentos em Físico-Química e com produção de materiais didáticos relacionados às disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral. Supervisiona a área de Matemática do Centro de Ciências da UNESP de Araraquara e atua como colaboradora no projeto Informática para a Terceira Idade, também desenvolvido no Instituto de Química de Araraquara.