CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II · Este programa corresponde a la asignatura Cálculo Diferencial e Integral II que se imparte en el sexto semestre y, junto con Cálculo Diferencial

PROGRAMA DE LA ASIGNATURA

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

SECRETARÍA ACADÉMICA DIRECCIÓN DE PLANEACIÓN ACADÉMICA

COORDINACIÓN DEL SISTEMA DE ENSEÑANZA ABIERTA

MARZO DE 1994

CLAVE: 671 CRÉDITOS: 6 HRS./SEM: 3

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P R E S E N T A C I Ó N

El programa de estudios de la asignatura CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II, tiene la finalidad de informar a los profesores sobre los

aprendizajes que se esperan lograr en el estudiante, así como sobre la perspectiva teórica, metodológica y pedagógica desde la que

deberán ser enseñados. El programa se constituye así, en el instrumento de trabajo que le brinda al profesor elementos para planear,

operar y evaluar el curso.

El programa contiene los siguientes sectores:

MARCO DE REFERENCIA Está integrado por: Ubicación, Intención y Enfoque. La ubicación proporciona información sobre el lugar que ocupa la asignatura al interior del plan de estudios y sobre sus relaciones

horizontales y verticales, con otras asignaturas.

Las intenciones de materia y asignatura informan sobre el papel que desempeña cada una de ellas para el logro de los propósitos

educativos del Colegio de Bachilleres.

El enfoque informa sobre la organización y el manejo de los contenidos para su enseñanza.

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BASE DEL PROGRAMA Concreta las perspectivas educativas señaladas en el marco de referencia a través de los objetivos de unidad y los objetivos de operación

para temas y subtemas.

Los objetivos de unidad expresan, de manera general, los conocimientos, habilidades, valores y actitudes que constituyen los aprendizajes

propuestos para este segmento del Programa; los objetivos de operación para temas y subtemas precisan los límites de amplitud y

profundidad con que los contenidos serán abordados y orientan el proceso de interacción entre contenidos, profesores y estudiantes, es

decir, señalan los aprendizajes a obtener (el “qué”), los conocimientos o habilidades que se requerirán para lograrlo (el “cómo”), y la función

de dichos aprendizajes dentro de cada unidad o tema (el “para qué”).

ELEMENTOS DE INSTRUMENTACIÓN Incluyen: las estrategas didácticas, la carga horaria, las sugerencias de evaluación, la bibliografía y la retícula.

Las estrategias didácticas, derivadas del enfoque, son sugerencias de actividades que el profesor y los estudiantes pueden desarrollar

durante el curso para lograr los aprendizajes establecidos en los objetivos de operación.

La carga horaria esta determinada por la amplitud y profundidad de los contenidos y, por lo mismo, permite planear la aplicación de las

estrategias didácticas y ponderar los pesos para la evaluación sumativa.

Las sugerencias de evaluación son propuestas respecto a la forma en que se puede planear y realizar la evaluación en sus modalidades

diagnóstica, formativa y sumativa.

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La bibliografía se presenta por unidad y está constituida por los libros y publicaciones de divulgación científica que se requiere para apoyar

y/o complementar el aprendizaje de los distintos temas por parte del estudiante. Está organizada en básica y complementaria. También

puede orientar al profesor en la planeación de sus actividades.

La retícula, es un modelo gráfico que muestra las relaciones entre los objetivos y la(s) trayectoria(s) propuesta(s) para su enseñanza. Para la adecuada comprensión del programa se requiere una lectura integral que permite relacionar los sectores que lo constituyen. Se

recomienda iniciar por la lectura analítica del apartado correspondiente al marco de referencia, debido a que en éste se encuentran los

elementos teóricos y metodológicos desde los cuales se abordarán los contenidos propuestos en los objetivos de operación.

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U B I C A C I Ó N

Este programa corresponde a la asignatura Cálculo Diferencial e Integral II que se imparte en el sexto semestre y, junto con Cálculo

Diferencial e Integral I, constituye la materia de Cálculo Diferencial e Integral.

La materia Cálculo Diferencial e Integral, se ubica en el Área de Formación Específica, que es un espacio de flexibilidad para la Institución,

ya que le permite incluir contenidos de interés en virtud de necesidades de carácter regional o local; y para el estudiante ya que favorece

su capacidad de elección. Las finalidades de esta área son:

- Ampliar, profundizar y aplicar los conocimientos generados en el Área de Formación Básica, al abordarlos desde una perspectiva

integradora y multidisciplinaria o al relacionarlos con conocimientos nuevos.

- Canalizar los intereses y complementar la formación del estudiante como bachiller.

- Brindar al estudiante una preparación de carácter introductorio, para la adquisición de técnicas básicas y la construcción de habilidades

cognitivas especiales.

La materia Cálculo Diferencial e Integral II forma parte del Campo de Conocimientos de Matemáticas**, cuya finalidad es: que el

estudiante adquiera los elementos que conforman la cultura básica de las Matemáticas (Aritmética, Álgebra, Geometría Euclidiana,

Trigonometría, Geometría Analítica, Cálculo y Estadística), de manera que desarrolle las capacidades y habilidades propias de

razonamiento lógico del pensamiento inductivo-deductivo, indispensable en la comprensión y aplicación de los diferentes métodos y

conceptos matemáticos, así como el dominio del lenguaje de las Matemáticas y de los modelos que esta disciplina desarrolle

conjuntamente con sus diversos procedimientos de elaboración.

* Ver cuadro No. 1

** Ver cuadro No. 2

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Cuadro No. 1

ÁREA PROPEDÉUTICA

ÁREA DE FORMACIÓN ESPECÍFICA

MATERIA DE MATEMÁTICAS

ASIGNATURAS: I, II, III y IV

MATERIA DE ESTADÍSTICA

MATERIA DE CÁLCULO

ÁREA DE FORMACIÓN BÁSICA

CAMPO DE CONOCIMIENTOS DE MATEMÁTICAS

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Cuadro No. 2

CA

MPO

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NO

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II

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II

8

9

La contribución de esta materia para el logro de la finalidad del Campo de Conocimientos se da de la siguiente manera:

La materia de Matemáticas busca ampliar en el estudiante el conocimiento y el desarrollo de la capacidad de abstracción, mediante el

estudio y la práctica de los diferentes niveles de formalización y generalización, de modelos y de lenguajes de la disciplina, no sólo como un

sistema lógico o con una herramienta en el estudio de otros campos del conocimiento, sino también como una ciencia con una dinámica

propia.

La materia de Cálculo Diferencial e Integral recupera e integra los conocimientos de la materia de Matemáticas, al abordar problemas y

plantearlos con mayor nivel de abstracción, mediante el uso del método de los procesos infinitos. Con el cual el estudiante accede al

conocimiento y práctica de un nuevo lenguaje y una nueva metodología, básica para su cultura matemática.

La materia de Estadística Descriptiva e Inferencial permite interpretar y explicar, a través de procedimientos específicos, las relaciones,

operaciones y transformaciones que caracterizan a diversos fenómenos en forma cuantitativa, lo que implica desarrollar habilidades

específicas para organizar, analizar, interpretar y sintetizar información, así como para sistematizarla y hacer inferencias.

Integra los conocimientos de Álgebra, Funciones, Trigonometría, Geometría Analítica del Área de Formación Básica constituida por la

materia de matemáticas, profundizando en el estudio de las funciones y sus aplicaciones con un nuevo método, el de los procesos infinitos.

Con respecto a las asignaturas que conforman la materia Cálculo Diferencial e Integral I, se dedica al estudio de los conceptos de Razón de

cambio promedio, Razón de cambio instantánea, Límite, Continuidad y Deriva, es decir, de los conceptos relativos a los cambios de una

magnitud con respecto a otra con la que está relacionada funcionalmente. En Cálculo Diferencial e Integral II, se abordan los temas:

integración de razones de cambio (constantes y variables), Función Área, Integral Indefinida e Integral Definida.

Como parte del campo de Matemáticas, Cálculo Diferencial e Integral se relaciona con las Matemáticas de I a la IV, considerándola como

antecedentes directos, y con Estadística descriptiva e Inferencial I y II como materia optativa que complementa el panorama que, sobre las

Matemáticas, se ofrece al alumno. En el siguiente esquema se plantean estas relaciones.

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Respecto a otras materias del plan de estudios, Cálculo Diferencial e Integral recibe servicio directo de Taller de Lectura y Redacción y de

Métodos de Investigación. De la primera, en cuanto al desarrollo de habilidades para manejar y comprender el lenguaje a partir de sus

elementos, de su significado, de sus reglas y de su uso, pues el lenguaje matemático requiere para su comprensión y manejo de dichas

habilidades. En cuanto a Métodos de Investigación, el manejo de la lógica, dan un relevante papel al servicio que otorga esta materia.

Por su parte Cálculo Diferencial e Integral da servicio a las materias de los campos de Ciencias Naturales y Ciencias Sociales al

desarrollar procedimientos y habilidades de análisis, de observación y de abstracción, indispensables para el estudio y aplicación de estos

conocimientos, muchos de los cuales se concretan en el planteamiento, análisis y solución de problemas específicos.

En el esquema se plantean las relaciones de servicio mencionados:

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL I y II

MATEMÁTICAS I, II, III y IV

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

TALLER DE LECTURA Y REDACCIÓN

MATEMÁTICAS

MÉTODOS DE INVESTIGACIÓN

CIENCIAS NATURALES Y

CIENCIAS SOCIALES CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

RELACIONES DE SERVICIO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I y II

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I N T E N C I Ó N

La intención de la materia de Cálculo Diferencial e Integral es que el estudiante comprenda las nociones básicas del Cálculo: Razón de

cambio, la Derivada, la Integración numérica de razones de cambio, la Integral y la Función Área, apoyándose en la representación gráfica

de funciones y utilizando métodos matemáticos para cuantificar, describir y pronosticar los cambios; que determine los resultados de los

procesos que cambian y que puede aplicar las diversas técnicas, para derivar e integrar funciones en la solución de problemas de

disciplinas como Economía, Biología, Medicina, Ingeniería, Química, Física y Matemáticas.

La intención de la asignatura Cálculo Diferencial e Integral II es que el estudiante comprenda el concepto fundamental del cálculo integral: la

Intención, a partir del planteamiento de problemas en los que sea necesario calcular el área bajo la curva de la función, de manera que

obtenga el modelo del problema y aplique métodos de integración para solución de problemas.

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E N F O Q U E

El enfoque se define como la perspectiva desde la cual se estructuran los contenidos y se establece la metodología a seguir para su

enseñanza y aprendizaje. En este orden el enfoque se divide en dos ámbitos: el disciplinario y el didáctico.

EN EL ÁMBITO DISCIPLINARIO:

La matemática tiene un cuerpo teórico-metodológico integrado por diversas ramas, que a través de su desarrollo histórico han conformado

métodos y lenguajes especializados, propios de esta ciencia. De acuerdo con este desarrollo, las principales características de la disciplina

son: el carácter abstracto, el carácter integrador, el rigor lógico y el manejo de un lenguaje simbólico (gráfico y numérico). Estas están

interrelacionadas y presentan diferentes grados de complejidad, dependiendo de la rama o el nivel explicitivo donde se aborden los

conocimientos.

A continuación se presenta un esquema sintético sobre las características mencionadas; es importante no olvidar que todas ellas se

encuentran relacionadas entre sí de manera estrecha.

EL CARÁCTER ABSTRACTO EL CARÁCTER INTEGRADOR EL RIGOR LÓGICO EL LENGUAJE SIMBÓLICO

Es el proceso mental que se real iza para manejar un len-guaje, ident i f icar las caracte-r ís t icas de los objetos y t radu-c ir éstas a símbolos ( imáge-nes mentales) ; la d i f icul tad para abst raer se ref le ja en los niveles de expl ic i tac ión pro-gresivamente más generales.

El conocimiento matemát ico se const ruye a par t i r de la re-interpretación y reelaboración de los conocimientos, esto se logra con la recuperación e in-tegración de conceptos pre-v ios para generar nuevas perspect ivas y conocimientos, y de esta manera ampliar , profundizar y apl icar los cono-c imientos tanto en la misma disc ip l ina como en ot ras áreas.

El r igor lógico se manif iesta en dos niveles, uno refer ido a la secuenciación r igurosa de la const rucción teór ica y me-todológicas disc ip l inar ias, y e l ot ro respecto a la secuencia de axiomas, pr inc ip ios o pa-sos que se s iguen en la de-most ración para aceptar como verdadero el conocimiento, de acuerdo con una ser ie de re-glas.

Es la her ramienta que fac i l i ta la comprensión de conceptos y e laboración de modelos ma-temát icos, con el manejo de una terminología y una s imbo-logía especí f icas.

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Con base en estas características de la disciplina se seleccionan, organizan y desglosan los contenidos para formar una estructura

articulada donde se avance y profundice puntualmente en el conocimiento matemático. De esta manera, al iniciar con el estudio de

nociones aritméticas, se retoma el nivel menos abstracto, con menos complejidad en su rigor lógico y con el manejo de un lenguaje

simbólico más sencillo, elementos que progresivamente se van complejizando hasta adquirir el nivel más abstracto en la formalización en la

construcción de conocimientos a partir de aprendizajes anteriores, estableciendo relaciones entre las diversas ramas de las disciplina; de

esta manera, al concluir con el estudio de la Geometría Analítica, se retoman globalmente los aprendizajes y se da un nuevo significado a

los conocimientos previamente adquiridos.

EN EL ÁMBITO DIDÁCTICO:

El desarrollo del proceso enseñanza-aprendizaje supone que no sólo se aprende de los contenidos sino también de la forma como se

enseñan; de este modo, si se pretende que el estudiante adquiera habilidades lógico metodológicas, desarrollo actitudes positivas respecto

a la disciplina y sea crítica, es necesario utilizar modelos pedagógicos que posibiliten estos fines.

En este sentido, el modelo educativo del Colegio de Bachilleres plantea una concepción pedagógica que, fundamentada en la filosofía, los

valores, principios y fines de la Institución, sigue el camino que conduce a la construcción del conocimiento.

De acuerdo con lo anterior el siguiente esquema muestra la idea didáctica que estructura y organiza los contenidos-objetivos del programa

de Cálculo Diferencial e Integral.

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ORGANIZACIÓN DE LOS CONTENIDOS Lograr el aprendizaje

ASPECTOS Nociones: Sencillos Concretos Conocidos Intuitivos

ASPECTOS Conceptos: Complejos Abstractos Desconocidos Formales

Es importarte que en la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas o del Cálculo se modifique la idea de transmitir el conocimiento como

algo acabado o fomentar la memorizar de operaciones o procedimientos; por el contrario, se propone que el profesor retome continuamente

la experiencia de los estudiantes, tanto en lo académico como en lo cotidiano, y que promueva su participación durante todo el proceso

educativo, donde éstos analicen y apliquen los conocimientos; un apoyo muy importante para lograr lo anterior es la Geometría, ya que este

elemento permite dar un contexto a través de la representación y visualización de algunos conceptos, facilitando su comprensión.

La construcción del conocimiento exige trascender los saberes y estructuras de pensamiento previos e integrarlos en otras más complejas;

una forma de lograrlo es a través de la desestructuración del conocimiento, que puede iniciarse con una problematización que desencadene

el proceso. Iniciar el proceso de aprendizaje de esta manera permite al estudiante utilizar sus habilidades de pensamiento y acceder a un

nivel superior de conocimiento. Concretamente, se desestructura al estudiante cuando éste no puede resolver un problema (planteado por

él mismo o por el profesor) a partir de sus conocimientos, es decir, cuando se provoca -de manera dirigida- un desequilibrio entre sus

saberes (conocimiento y habilidades), valores y actitudes, y los propuestos por el programa de estudio.

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Las situaciones alrededor de las cuales se plantearán los problemas deben ser o hacerse significativas para el estudiante y abarcar dos

dimensiones: la realidad misma del estudiante, lo que implica tomar su esquema referencial, es decir, considerando sus saberes y haceres,

su situación personal, familiar y social; así como también la problemática de que se ocupan las ciencias lo que significa ponerlo en contacto

con el estado que presenta el conocimiento científico en la actualidad y sus perspectivas.

Por ello, se recomienda iniciar el proceso educativo con el planteamiento de un problema o la presentación de un fenómeno, para que el

estudiante cuestione, interrogue y finalmente busque respuestas y explicaciones, ejercitando su razonamiento y confrontándolo con sus

referencias previas; esto asigna al profesor el papel de diseñador de situaciones y promotor del aprendizaje.

Para resolver el problema o explicar el fenómeno, es decir, para lograr la reestructuración, se requiere de un conjunto de condiciones y

acciones que faciliten la interacción del estudiante con el objeto de conocimiento; en la concepción moderna de la enseñanza de las

matemáticas esto se puede dar de manera general, a través de la generación o planteamiento de modelos, de su manejo para desarrollar

algoritmos, del cálculo para obtener resultados y de la interpretación necesarias en la solución, todo lo cual se inscribe en el conocimiento y

manejo de los métodos como un medio para la construcción del conocimiento.

El conocimiento y manejo de los métodos permite que el estudiante reconozca las formas específicas de acercamiento, manipulación,

asimilación, reacomodo y construcción de un objetivo de conocimiento, además de que generará en él una disciplina de investigación y de

estudio en la que pondrá en juego el gusto por aprender. Por ello es conveniente considerar los métodos como un medio y no como un fin,

es decir, no como algo que debe ser conocido en sí y por sí, como un saber desvinculado de otros, sino como una herramienta útil en el

proceso de construcción y apropiación de conocimientos. En matemáticas esta idea se ve reflejada tanto en su estructura como en su

enseñanza en el método inductivo-deductivo.

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En este proceso es necesario que el estudiante incorpore información pertinente a los contenidos del programa de estudio, la cual debe ser

asumida por el estudiante como un producto propio. Por ello deberá contrastar sus soluciones o la problemática dada con la información que

le permite encontrar los conceptos que la engloban y explican de manera que los incorpore en su proceso de construcción del conocimiento;

es decir, que no los “adquiera” a través de una memorización acrítica y mecánica, ni que los vea como algo aislado o ajeno a su realidad,

sino que los adopte y retenga como respuesta a situaciones que para él mismo son significativas. La elaboración de modelos mediante la

identificación de los elementos básicos de un problema o fenómeno y su posterior contrastación conforman en matemáticas, una parte

importante del proceso de apropiación constructiva del conocimiento.

Una vez que el estudiante se ha apropiado de conocimientos nuevos para él, debe verificar si son correctos y suficientes, mediante su

aplicación a la problemática planteada y, posteriormente, reforzarlos probando su valides o utilidad en otras situaciones. La aplicación es la

expresión de la forma en que se han modificado los conocimientos del estudiante y se manifiesta en los momentos en que éste puede poner

en práctica dichos conocimientos en un nivel de mayor complejidad; en el caso de matemáticas una de las formas en que éstos se puede

observar es en la ejercitación del modelo sobre problemas que presenten diferentes condiciones.

Para el caso de Cálculo Diferencial e Integral II el estudiante integra sus conocimientos con base en los anteriores de manera que pueda

generalizar los conceptos y con ello resolver una gama amplia de problemas. En Cálculo Diferencial e Integral se entiende que el estudiante

integrará conceptos como semejanza, función trigonométrica, vectores y mecánica elemental de las demostraciones, para poder

generalizarlos en la solución de diversos problemas.

Finalmente el estudiante deberá realizar diferentes actividades intra o extra clase, tendientes a consolidar lo aprendido e integrar el

conocimiento; éstas pueden ser investigaciones, experimentos, ensayos, exposiciones, etc., a través de los cuales pueda percatarse de la

importancia y utilidad de la disciplina en su mundo cotidiano, de las relaciones de ésta con otros campos y de sus posibles aplicaciones para

la solución de nuevos problemas de su realidad inmediata.

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Con ello se logrará la consolidación la cual implica el logro de una estabilidad temporal en las estructuras de pensamiento alcanzadas por el

estudiante, en un nivel de mayor complejidad. Dichas estructuras deberán ser sometidas a un proceso de desestructuración-

reestructuración para llegar a conceptos más complejos.

En este camino es fundamental la retroalimentación por parte del profesor, ya que ésta permitirá al estudiante observar y corregir sus

errores, así como valorar sus aciertos en función de sus propios resultados desarrollando una participación crítica frente a su propio

aprendizaje.

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UNIDAD 1. LA INTEGRAL DEFINIDA Carga Horaria: 15 horas OBJETIVO: El estudiante comprenderá el concepto de integral definida a través del estudio de problemas que se puedan modelar mediante funciones;

interpretando gráficamente el proceso de integración y obteniendo aproximaciones para el área bajo una curva; lo que le proporcionará

más elementos para analizar funciones y abordar sus aplicaciones.

OBJETIVOS DE OPERACIÓN ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS SUGERIDAS 1.1 Integración numérica.

Qué: El estudiante comprenderá el significado del área

bajo la gráfica de una función y estimará sus áreas por mé-

todos numéricos.

Cómo: Analizando los procesos de cambio por medio del

uso de razones de incrementos.

Para qué: Para que el estudiante se aproxime al concepto

de integral definida y adquiera elementos de análisis numé-

ricos que le serán de utilidad en aplicaciones en la compu-

tación.

1.1 No se recomienda hacer demostraciones rigurosas ni extenderse demasiado en este

subtema, ya que el propósito es que el estudiante auxiliado por el profesor construya el

concepto de integral definida a partir de un problema como el siguiente:

“Se deja caer un objeto de manera que su velocidad sea de pies segundo, pasados

segundos. Hallar la distancia de recorrido en los tres primeros segundos”.

Se planteará la necesidad de hallar aproximaciones numéricas a sumas infinitas.

En el caso del problema que presentamos como ejemplo, se obtendrían aproximaciones

para la distancia total calculando las distancias recorridas, en pequeños subintervalos de

tiempo y sumándolas como se ven el cuadro que se presenta a continuación:

SUBINTERVALO VELOCIDAD AL FINAL DEL SUBINTERVALO

DISTANCIA APROXIMADA RECORRIDA DURANTE EL

SUBINTERVALO t = 0 a t = 1 t = 1 a t = 2 t = 2 a t = 3

32 x 1 = 32 pies / seg. 32 x 2 = 64 pies / seg. 32 x 3 = 96 pies / seg.

32 pies / seg. x 1 seg. = 32 pies 64 pies / seg. x 1 seg. = 64 pies 96 pies / seg. x 1 seg. = 96 pies

Distancia total aproximada = 192 pies

t32

t

19

OBJETIVOS DE OPERACIÓN ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS SUGERIDAS

1.1.1 Aproximación al límite de una suma.

Qué: El estudiante obtendrá aproximaciones numéri-

cas al límite de una suma de términos cuando

tiende a infinito.

Cómo: A partir del análisis de la variación de la razón

de incrementos acumulados.

Para qué: Para que vaya construyendo el concepto de

integral y lo relacione con el de derivada.

1.1.2 Estimación de áreas

Qué: El estudiante estimará el área bajo la curva.

Cómo: Dividiendo el área bajo las gráficas de las fun-

ciones (en especial la constante y la lineal, que dan lu-

gar a y rectángulo y un trapecio en el plano) obteni-

das como modelos de situaciones problemáticas en

rectángulos o trapecios.

Para qué: Para que interprete geométricamente el pro-

ceso de integración y comprenda su relación con la

aproximación numérica.

Dividiendo el tiempo en 6 subintervalos de 0.5 segundos se obtiene una distancia aproxima-

da de 148.8 pies.

Se hará notar al alumno que se obtendrán mejores aproximaciones a medida que el número

de subintervalos sea mayor.

La interpretación gráfica del proceso descrito servirá para introducir la representación de la

integral como el área bajo una curva.

En este tema es recomendable el uso de calculadora, ya que éstas facilitan los cálculos y

permiten una aproximación numérica al cálculo.

n n

20


1.2 La integral definida.

Qué: El estudiante comprenderá el concepto de integral

definida, sus propiedades y su relación con la derivada.

Cómo: Apoyándose en las gráficas de las funciones, to-

mando el límite de la sucesión de sumas aproximadas

cuando tiende a infinito y examinando, en casos parti-

culares, la relación entre derivada e integral.

Para qué: Para que adquiera uno de los conceptos fun-

damentales del cálculo y lo aplique a resolver problemas

cuya solución esté dada por el cálculo de integrales defini-

das.

1.2 Después de haber obtenido aproximaciones para el área bajo una curva calculará el área

exacta procediendo como en este ejemplo.

(Tomando de Cálculo Diferencial e Integral 1. Introducción de los Conceptos del Cálculo. Jo-

sé Luis Abreu et al. Limusa, México, 1983).

“Calcular el área bajo la parábola entre los valores ”

Para calcular esta área dividimos al intervalo ñ 0,1 en partes iguales y/o tenemos el área

de los rectángulos

y = x2

n

xy = 10 == xyx

n

0.75 0.5 1 0

1

0 5/6 46 3/6 2/6 1/6

1=6/6 X

y

21


La figura 1 ilustra el caso

Para arbitrario la suma de los rectángulos inscritos es:

*

Pero Entonces la suma de las áreas de los rectángulos es:

6=nn

=÷øö

çèæ -

++÷øö

çèæ+÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ

nn

nnx

nnx

nnx

n11212111 322

!

( )2223 13211

-++++= nn

!

( ) ( ) ( )121121 22 --=-+++ nxnxnn!

( ) ( ) ( ) ( )33 6

1216

1211n

nnxnnxnxnn

--=çç

è

æ÷øö--

3

23

632n

nnn +-=

261

21

31

nn+-=

22


Cuando aumenta y se hacen más pequeños, así que si

Por lo tanto el área bajo la parábola es unidades cuadradas.

En este tema se requieren ciertas fórmulas para las sumas de series. Algunas pueden obte-

nerse por medios gráficos o investigaciones.

* Para calcular la suma

obsérvese que

nn21

261n

n

31

61

21

31

2nn+-

2xy =31

( ) 21

1

22 121 Rnn

xå-

=

=-+++ !

( )[ ] ( )3331

1

11 -=--å-

=

nRRn

R

( )[ ] =--å-

=

331

1

1RRn

R[ ] =+-å

-

=

133 21

1

RRn

Rå å å-

=

-

=

-

=

+-1

1

1

1

1

1

2 133n

R

n

R

n

RRR

( )( ) ( )å-

=

-=-+-

-=1

1

32 112133

n

RnnnnR

23


por lo tanto:

( ) ( ) ( ) ( )å-

=úûù

êëé ---+-=

1

1

32 11231

31n

RnnnnR

( ) ( ) ( )[ ]12131261 3 ---+-= nnnn

( )[ ] ( )1231261 2 --+-= nnn

[ ] ( )12324261 2 --++-= nnnn

[ ] ( )1261 2 --= nnn

( ) ( )11261

--= nnn

( )nnn +-= 23 2261

24


1.2.1 Área bajo una curva

Qué: El estudiante calculará el valor del área bajo la

gráfica de una función de a .

Cómo: Obteniendo el límite, cuando tiende a infini-

to, de la sucesión de sumas de áreas de rectángu-

los por las que se aproxima el área bajo una curva.

Para qué: Para que maneje un método para calcular

con mayor exactitud las áreas de algunas regiones li-

mitadas por curvas.

1.2.2 La integral definida

Qué: El estudiante comprenderá la idea de integral

definida, empleará la notación correspondiente y la

aplicará en la solución de problemas.

Cómo: Retomando cálculos de aproximación para un

área bajo la curva.

Para qué: Para que disponga de una nueva herra-

mienta para analizar funciones y resolver problemas.

( )xf ax = bx =

nn

25


1.2.3 El teorema fundamental del cálculo.

Qué: El estudiante aplicará el teorema fundamen-

tal del cálculo (estableciendo la relación entre la deri-

vada y la integral).

Cómo: Analizando los ejemplos que se han emplea-

do en los temas y subtemas anteriores. Introduciendo

la relación entre la derivada y la integral en problemas

referidos al cálculo del área bajo una parábola, cálculo

de la velocidad de un móvil, etc.

Para qué: Pueda disponer de un método más práctico

para evaluar integrales.

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OBJETIVO SUGERENCIAS DE EVALUACIÓN

UNIDAD 1 EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA

QUÉ CÓMO PARA QUÉ

Derivación de funciones alge-

braicas.

Derivación de funciones tras-

cendentes.

Aplicación de la derivada:

- Máximos y mínimos

- Graficación de funciones

Concepto de límite.

Mediante exámenes de relación

de columnas y preguntas abier-

tas.

Para apoyar y reforzar el apren-

dizaje y asimilación de estos

conceptos y procedimientos, se-

gún el grado de aprendizaje de-

mostrado por los estudiantes.

27


UNIDAD 1

1.1.1

1.2.2

1.2.1

1.1.1

1.2.2

1.2.1

EVALUACIÓN FORMATIVA


Cálculo de límites

Integración numérica

Integral definida

Área bajo una curva.

A través de exámenes de res-

puesta breve ejercicios y pro-

blemas en equipo o individua-

les, revisión de tareas al azar,

etc.

Para conocer y detectar el

avance de los estudiantes en la

comprensión de los conceptos

y los procedimientos de la inte-

gración.

EVALUACIÓN SUMATIVA


Integración numérica.

Integración definida.

Área bajo una curva.

Por medio de exámenes con

problemas diversos en los que

los estudiantes tengan que

desarrollar cálculos específi-

cos; trabajo en equipos o indi-

viduales.

Para establecer el grado de

comprensión de los conceptos y

procedimientos del tema para

constatar el desarrollo de la ha-

bilidad para aplicarlos en la so-

lución de diferentes problemas.

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UNIDAD 2. INTEGRAL INDEFINIDA Carga horaria: 33 horas OBJETIVO: El estudiante comprenderá el concepto de integral indefinida así como las técnicas de integración necesarias, estableciendo la diferencia

con la integral definida y usando el concepto de antiderivada de una función para aplicar el Cálculo en la solución de problemas donde se

necesita determinar cuantitativamente áreas y volúmenes.


2.1 La integral indefinida

Qué: El estudiante establecerá las propiedades básicas

del concepto de Integral Indefinida, así como las técnicas

de integración de funciones.

Cómo: A través del concepto de antiderivada de una fun-

ción.

Para qué: Para que el estudiante profundice en el análisis

de funciones empleando los métodos del cálculo.

2.1 El profesor propondrá reglas para integrar funciones, apoyándose en ejercicios como el

siguiente:

DERIVADA PRIMITIVA

(Expresión a la que se debe llegar)

Con el uso de las reglas el alumno, guiado por el profesor, desarrollará técnicas para calcu-

lar integrales de manera más eficiente, en las que sea necesario recurrir al concepto de

primitiva de una función.

( )xF ( )xF

x2

2x

2x3

3x

x

x! 4

4x

ntl

Xntl

29


2.1.1 Antiderivadas

Qué: El estudiante determinará la función original

dada su derivada.

Cómo: Determinando la función original dada su deri-

vada y utilizando modelos de problemas de área, mo-

vimiento, volumen, etc.

Para qué: Acceder gradualmente al concepto de inte-

gral indefinida y emplear la notación correspondiente.

2.1.2 Integrales indefinidos e inmediatos

Qué: El estudiante aplicará la integración de funciones

algebraicas trascendentes y obtendrá su solución de

manera inmediata.

Cómo: A partir de las propiedades de la integral, las

fórmulas de integración y apoyándose en ejemplos de

problemas investigados por los estudiantes.

A partir del ejercicio anterior, el profesor establecerá reglas para integrar:

- Funciones algebraicas.

- Funciones trascendentes

Así como los métodos de integración:

- Por partes

- Por cambio de variable

- Por descomposición en fracciones parciales sencillas.

Se recomienda que el profesor haga énfasis en la importancia de aprender los algoritmos de

integración, como una necesidad para resolver situaciones problemáticas de diferente índole.

30


Para qué: Reafirme el concepto de integral indefinida,

establezca la deferencia con integral definida y pueda

dar solución a diversos problemas.

2.2 Aplicación de la integral

Qué: El estudiante emplee el concepto de integral de-

finida, las técnicas y los métodos de integración en la

solución de problemas.

Cómo: Mediante el análisis del problema aplicando los

procedimientos de integración necesarios y el Teore-

ma fundamental de Cálculo, usando la representación

gráfica como apoyo en la comprensión del problema.

Para qué: Comprenda que utilizando las técnicas de

integración puede simplificar el proceso que conduce a

la solución de problemas de Biología, Economía, etc.,

así como problemas de área y movimiento, compro-

bando gráficamente la viabilidad de la solución.

2.2 El profesor propondrá problemas del tipo:

Se realizarán estudios para poder purificar la atmósfera de la tierra. Para combatir el

“smog”, una compañía a través de cada una de sus fábricas y durante un período de 18

horas diarias, a partir de las cero horas, liberará en la atmósfera toneladas de una sus-

tancia química benigna determinada por la función:

Determinar la cantidad de toneladas de sustancia química benigna que se libera desde

cero hasta 18 horas.

Para contestar la pregunta hay que calcular el área bajo la curva de la función por lo que

primero vamos a construir su gráfica. El profesor puede plantear preguntas cómo ¿Qué tipo

de gráfica es? ¿Dónde inicia? ¿Hacia dónde abre?, etc.

Ahora, bajo la dirección del profesor y formando parejas o equipos, se calculará el área bajo

la curva de la gráfica.

( ) xxxF 22.0 2 +=

31

20

15

10

5 0

120

100

75

50

25

0 x

y


f(x)

0 0 2 4.8 4 11.2 6 19.2 8 28.8 10 40 12 52.8 14 67.2 16 83.2 18 100.8 20 120.0

32


Integrando:

Para realizar las operaciones se recomienda el uso de calculadoras ya que estas agilizan la

solución numérica.

El profesor puede concluir que cualquier fenómeno o problema cuyo modelo de solución sea

una función cuadrática se puede resolver aplicando el mismo procedimiento.

( ) XdxdxXdxXX 22.022.0 218218

0+=+ òò

dxXdxX òò +=18

0

218

022.0

18

0

2183

22

32.0 ú

û

ùêë

é+ú

û

ùêë

é=

xx

úû

ùêë

é+ú

û

ùêë

é=

2182

3182.0

23

úûù

êëé+úû

ùêëé=

23242

358322.0

( ) ( )16219442.0 +=

3248.388 +=

8.712=

33


2.2.1 Cálculo de áreas

Qué: El estudiante aplicará las técnicas de integración

en el cálculo de áreas entre gráficas de funciones.

Cómo: Usando la expresión general.

Para qué: Para aplicar el concepto de integral en pro-

blemas de volúmenes, de trabajo, crecimiento de po-

blaciones.

2.2.2 Resolución de problemas de volúmenes.

Qué: El estudiante calculará volúmenes generados por

sólidos de revolución.

Cómo: Mediante el método de disco y de arandelas o

rodajas.

( ) ( ) dxxgxfAa

b-= ò

34


Para qué: Resuelva problemas de diversas disciplinas

donde se requiere evaluar cuantitativamente el volu-

men, como respuestas a una situación determinada

donde se conocen las funciones que la modelan.

2.2.3 Aplicaciones

Qué: El estudiante solucionará problemas de física

(trabajo, presión de fluido, centros masa y centroides),

de biología (crecimiento de poblaciones), de economía

(ganancias, renta y costo) y de otras áreas.

Cómo: Utilizando los métodos y las técnicas de inte-

gración más apropiadas al tipo de problema de que se

trate.

Para qué: Comprenda las ventajas de utilizar los mé-

todos de integración al simplificar los procesos que

permiten encontrar la solución a cada problema.

35


UNIDAD 2

2.1

2.2

EVALUACIÓN FORMATIVA


Integración de funciones. Concepto de Integral.

Aplicaciones de la Integral.

Concepto de integral.

Técnicas y métodos de inte-

gración.

A través de los ejercicios de in-

tegración de funciones alge-

braicas y trascendentes; así

como la aplicación de los méto-

dos de integración por partes,

por cambio de variable y por

descomposición en fracciones

parciales, ya sea de manera in-

dividual o en equipos.

Utilizando los métodos y técni-

cas de integración adecuadas

en la solución de problemas. A

través de exámenes de res-

puesta breve, de opción múlti-

ple, trabajos en equipo, revisión

de tareas al azar, etc.

Para reafirmar al concepto de in-

tegral, así como las diferentes

técnicas y métodos, además de

aplicarlos en diferentes tipos de

funciones.

Para desarrollar la habilidad de

resolver problemas de diversas

áreas, conociendo las funciones

que modelan a dichos problemas.

36


UNIDAD 2

2.1.2

2.2.2

2.2.1

2.2.3


Integración de funciones:

- Algebraicas.

- Transcendentes.

Métodos de integración:

- Por partes.

- Por cambios de variable.

- Por descomposición en funcio-

nes parciales.

Aplicación de la integral en la so-

lución de problemas.

Técnicas y métodos de integra-

ción.

A través de la solución de pro-

blemas, en donde se apliquen

las técnicas y métodos de in-

tegración estudios, ya sea en

equipos o de manera indivi-

dual.

Para comprobar el grado de

comprensión alcanzado por los

estudiantes, sobre las ventajas

de utilizar el cálculo integral en

la solución de problemas,

comparativamente con sólo los

procedimientos algebraicos.

37

BIBLIOGRAFÍA

LA BIBLIOGRAFÍA SE RECOMIENDA PARA LAS DOS UNIDADES

- PURCELL E., DALE. Cálculo con Geometría Analítica. Prentice–Hall, México, 1987.

En general, el orden de los contenidos de este texto es parecido al del programa. Al inicio de cada capítulo se ofrece la biografía de matemáticos rele-

vantes que motivan a estudiar los tópicos tratados en él. Se conceptualiza a la derivada a partir de las ideas de velocidad instantánea y pendiente de la

recta tangente. Respecto de la integral indefinida, inician su tratamiento partiendo del concepto de antiderivada.

El número de ejercicios es adecuado, dando al final la solución de los impares. Además agregan una sección de falso-verdadero con reactivos que obli-

gan a reflexionar en los conceptos aprendidos.

- HOCKETT, S. y STERNSTEIN, M. Cálculo Diferencial e Integral. CECSA, México, 1982.

Se considera como un texto útil en lo que a los ejercicios se refiere, dado que el grado de dificultad de éstos es adecuado para los estudiantes. Presen-

ta una buena cantidad de ejemplos y ejercicios con numerosas aplicaciones. Los autores manejan el material de manera informal, recurriendo a la intui-

ción.

- LEITHOLD, L. El Cálculo con Geometría Analítica. Harla, México, 1984.

Para obtener el concepto de derivada el autor hace uso de la idea de pendiente de la recta tangente. Ofrece un buen número de ejemplos y ejercicios,

ofreciendo al final la respuesta de los impares.

38

BIBLIOGRAFÍA

- GRANVILLE, W.A. Cálculo Diferencial e Integral. UTEHA, México, 1972.

Inician el estudio del Cálculo Integral con la idea de integral indefinida. El número de ejercicios es abundante con un grado de dificultad que obliga a un

buen manejo algebraico. Algunos de los ejercicios buscan relacionar los diferentes tipos de derivación e integración, lo que permite adquirir habilidad

en discriminar las diferentes reglas y fórmulas. Se anexa también una tabla de fórmulas. La editorial Limusa edita actualmente este libro.

- BOSCH, C., GUERRA, M. HERNÁNDEZ, C., DE OTEYZA, E. Cálculo Diferencial e Integral. Publicaciones Cultura, México, 1987.

El tratamiento que de los conceptos hacen los autores es sencillo y accesible, utilizando para ello numerosas gráficas. Ofrece suficiente número de

ejercicios, todos con respuestas.

- CRUSE LEHMAN. Lecciones de Cálculo 2. Fondo Educativo Interamericano, México, 1982.

Es un texto en el que se van tratando los temas de Cálculo de acuerdo con problemas presentados históricamente. Cubre todos los temas del progra-

ma, además de tener problemas atractivos para los alumnos.

- SCOTT M. FARRAND Y NANCY JIM POXON. Cálculo, Teoría y Práctica. SITESA, México, 1990.

Es un texto que contiene una gran cantidad de problemas, explicados y resueltos, así como complementarios con sus soluciones, es recomendable

como apoyo para estrategias que consisten en resolver problemas.

39

BIBLIOGRAFÍA

- DENNIS G. HILL. Cálculo con Geometría Analítica. Iberoamericana, México, 1990.

El contenido de Cálculo diferencial e integral que se presenta en el texto abarca todo el programa de manera amena y clara con muchas aplicaciones.

- WENZELBURGER GUTTENDERGER, ELFRIEDE. Didáctica del Cálculo Integral. Iberoamericana, México, 1993.

40

LA ELABORACIÓN DE ESTE PROGRAMA, QUE SISTEMATIZA E INTEGRA LAS APORTACIONES DE NUMEROSOS MAESTROS, ESTUVO A CARGO DE LA SIGUIENTE COMISIÓN.

LIC. ROSA MARÍA ESPEJEL MENDOZA

LIC. MARIO LUIS FLORES FUENTES

LIC. ROSA MARÍA SALGADO MEDINA

LIC. JOSÉ SÁNCHEZ VARGAS

ING. IGNACIO PIÑA MILLÁN

ASESORA EXTERNA:

M. EN C. PATRICIA BALDERAS CANAS

LABOR MECANOGRÁFICA: MARCELA PALAFOX CARDOSO YOLANDA GONZÁLEZ MEJÍA

CAPTURA Y EDICIÓN: ALICIA BARRAGÁN SANTIAGO ROSARIO ALARCÓN HERNÁNDEZ DADC – 2004

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II · Este programa corresponde a la asignatura Cálculo Diferencial e Integral II que se imparte en el sexto semestre y, junto con Cálculo Diferencial