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Cálculo Diferencial e Integral ILimite e Continuidade de Funções
Prof. Angelo Aliano Filho
Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR
1º semestre de 2022
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 1 / 63
Sumário
1 Limite de uma função real
2 Continuidade de funções
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 2 / 63
Limite de uma função real
Sumário
1 Limite de uma função real
2 Continuidade de funções
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 3 / 63
Limite de uma função real
Limite de uma função realNotas de aula a partir dos livros: [1, 2, 3, 4].
Utilizando a ideia intui-tiva de limite, calculelimx→1
x2−1x−1 .
Claro que f não está defi-nida em x = 1; no entantopodemos nos aproximar de1 quanto quisermos.Fazendo as contas, obte-mos a tabela ao lado.
x f (x) x f (x)
0.9 1.9 1.1 2.10.91 1.91 1.09 2.090.92 1.92 1.08 2.080.93 1.93 1.07 2.070.94 1.94 1.06 2.060.95 1.95 1.05 2.050.96 1.96 1.04 2.040.97 1.97 1.03 2.030.98 1.98 1.02 2.020.99 1.99 1.01 2.01
Parece que x → 1, f (x)→ 2.Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 4 / 63
Limite de uma função real
Limite de uma função real
De fato, x → 1 não significa x = 1;
Logo, podemos simplificar f já que x 6= 1:
f (x) =x2 − 1x − 1
= ����(x − 1)(x + 1)���x − 1
= x + 1
Portanto, f (x) = x + 1 para todo x 6= 1.
Assim, esperamos aproximarmos de y = 2quando x se aproxima de 1, como espe-rado.
x
f (x)
−1 0 1 2 3
−1
0
1
2
3
4
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 5 / 63
Limite de uma função real
Limite de uma função real
Considere outro exemplo:
Parece que x → 1, f (x)→ 1/2. Seria verdadeira nossa intuição?
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 6 / 63
Limite de uma função real
Limite de uma função real
Utilizando a ideia intui-tiva de limite, calculelimx→0 sin
1x .
Claro que f não está defi-nida em x = 0; no entantopodemos nos aproximar de0 quanto quisermos.Fazendo as contas, obte-mos a tabela ao lado.
x f (x) x f (x)
0.2 −0.9589 0.1 −0.5440.19 −0.8521 0.09 −0.99330.18 −0.6651 0.08 −0.06630.17 −0.3902 0.07 0.9890.16 −0.0332 0.06 −0.81840.15 0.3742 0.05 0.91290.14 0.7576 0.04 −0.13240.13 0.987 0.03 0.94050.12 0.8873 0.02 −0.26240.11 0.3277 0.01 −0.5064
Para onde f tende quando x → 0? Há casos onde uma tabelanão funciona!
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 7 / 63
Limite de uma função real
Limite de uma função real
Situação 1:
x
y
f
f (p)
p
Quando x → p, f (x)→ f (p); f écontínua em x = p
Situação 2:
x
y
f
L
p
Quando x → p, f (x)→ L; mas fnão é contínua em x = p
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 8 / 63
Limite de uma função real
Limite de uma função real
Situação 3:
x
y
f (p)
f
L
p
Quando x → p, f (x)→ L 6= f (p);f não é contínua em x = p
Situação 4:
x
y
f (p)
f
p
Quando x → p, f (x) não tendea nenhum valor; f também não
é contínua em x = p
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 9 / 63
Limite de uma função real
Continuidade de funções
Nas situações 1, 2 e 3 o limite de f quando x → p existe. Issopode ser sistematizado por meio da seguinte definição.
Definição de limite
Sejam f uma função e p um ponto de seu domínio ou extremi-dade de um dos invervalos que compõem o domínio de f . Dize-mos que f tem limite L em p se, para todo ε > 0 dado, existir umδ > 0 tal que, para todo x ∈ D(f ):
0 < |x − p| < δ =⇒ |f (x)− L| < ε.
Tal número L deve ser único, finito e real e será indicado por L =lim
x→pf (x)
Já na situação 4 o limite não existe.
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 10 / 63
Limite de uma função real
Limite de uma função real
Propriedades
Sejam f ,g : D → R e p ∈ R tal que todo intervalo aberto con-tendo p intersecte D \ {p}. Se lim
x→pf (x) = L1 e lim
x→pg(x) = L2 então:
limx→p
(f (x)± g(x)) = L1 ± L2
limx→p
(f (x) · g(x)) = L1 · L2
Se g(x) 6= 0 para todo x ∈ D e L2 6= 0 então limx→p
f (x)g(x)
=L1
L2.
Se c ∈ R então limx→p
(c · f (x)) = c · L1
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 11 / 63
Limite de uma função real
Limite de uma função real
Exemplo
Avalie os limites:
limx→2
x3 − 2x + 1x2 − 1
limx→1
x3 − 2x + 1x2 − 1
limx→1
(1
1− x− 3
1− x3
)limx→1
√x − 1
x − 1
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 12 / 63
Limite de uma função real
Limite de uma função real
Limite lateral esquerdo
Sejam f : D → R e p ∈ R tais que para todo r > 0, o intervalo(p − r ,p) intersecte D. Dizemos que o limite f (x) quando x tendea p pela esquerda é igual a L, escrevendo lim
x→p−f (x) = L se para
todo ε > 0 existe δ > 0 tal que:
p − δ < x < p =⇒ |f (x)− L| < ε.
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 13 / 63
Limite de uma função real
Limite de uma função real
Limite lateral direitoSejam f : D → R e p ∈ R tais que para todo r > 0, o intervalo(p,p + r) intersecte D. Dizemos que o limite f (x) quando x tendea p pela direita é igual a L, escrevendo lim
x→p+f (x) = L se para todo
ε > 0 existe δ > 0 tal que:
p < x < p + δ =⇒ |f (x)− L| < ε.
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 14 / 63
Limite de uma função real
Limite de uma função real
TeoremaSejam f : D → R e a ∈ R tais que para todo r > 0, os intervalos(p − r ,p) e (p,p + r) intersectam D. Então, lim
x→pf (x) = L se, e
somente se, limx→p−
f (x) = limx→p+
f (x) = L.
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 15 / 63
Limite de uma função real
Limite de uma função real
x
y
f (p)
f
px
Limite lateral esquerdo limx→p−
f (x)
x
y
f (p)
f
p x
Limite lateral direito limx→p+
f (x)
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 16 / 63
Limite de uma função real
Limite de uma função real
Nosso objetivo é estudar limx→p
f (g(x)). Suponhamos que limx→p
g(x) =
a. É razoável esperar que
limx→p
f (g(x)) = f(lim
x→pg(x)
)= f (a).
Teorema – limite da função composta
Se f é contínua em a e limx→p
g(x) = a então
limx→p
f (g(x)) = f(lim
x→pg(x)
)= f (a).
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 17 / 63
Limite de uma função real
Limite de uma função real
Exemplo
Sejam f e g definidas em R de dadas por g(x) = x2 e
f (x) ={
x + 1, se x 6= 13, se x = 1
Verifique se
limx→1
f (g(x)) = f(limx→1
g(x)).
O que você conclui?
Exemplo
Calcule
limx→2
3√
x − 3√
2x − 2
.
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 18 / 63
Limite de uma função real
Limites infinitos e no infinito
Teorema do confrontoSejam f , g e h funções definidas em R não necessariamente emx = p, satisfazendo f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x 6= p. Se
limx→p
f (x) = limx→p
h(x) = L
entãolim
x→pg(x) = L.
Exemplo
Calcule o limite limx→0
x cos1x.
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 19 / 63
Limite de uma função real
Limites infinitos e no infinito
Teorema do anulamentoSe f ,g : D → R são funções tais que f é limitada (na vizinhançade p) e lim
x→pg(x) = 0 então lim
x→p(fg)(x) = 0.
Exemplo
Calcule o limite limx→0
sin(x) · x2 + 1x2 + 2
.
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 20 / 63
Limite de uma função real
Limites fundamentais
Seja f : R \ {0} → R definida por f (x) = sin xx . Queremos calcular
limx→0
sin xx
. Note que a regra do limite do quociente não poderá
ser aplicada.
Teorema – limite fundamental 1Limite trigonométrico fundamental é:
limx→0
sin xx
= 1
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 21 / 63
Limite de uma função real
Limites fundamentais
Da figura vemos que sin θ < θ < tan θ...
x
y
·
C
B D
E
O
θ
Figura: Limite fundamental trigonométrico
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 22 / 63
Limite de uma função real
Limites fundamentais
Exemplos
Usando o limite trigonométrico fundamental, calcule os limites:
limx→0
tan 2xx
limx→0
sin 3xsin 5x
limx→0
1− cos xx
limx→0
1− cos xx2
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 23 / 63
Limite de uma função real
Limites fundamentais
Seja f : R \ {0} → R definida por f (x) = ax−1x com 1 6= x > 0. Que-
remos calcular limx→0
f (x). Note que o valor deste limite depende
de a.Para a = 2 o valor deste é ≈0.6912Para a = 3 o valor deste é ≈1.104
Definição – número de Euler
O número 2 < e < 3 chamado de número de Euler é tal que
limx→0
ex − 1x
= 1.
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 24 / 63
Limite de uma função real
Limites fundamentais
x
f (x)
−2 −1 0 1 2−1
0
1
2
3
4
5
a = 1.5
a = 2
a = 3
a = 3.5
Figura: Função f (x) = ax−1x para vários valores de a
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 25 / 63
Limite de uma função real
Limites fundamentais
Teorema – limite fundamental 2O segundo limite fundamental é:
limx→0
(1 + x)1/x = limx→∞
(1 +
1x
)x
= e
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 26 / 63
Limite de uma função real
Limites fundamentais
Teorema – limite fundamental 3O terceiro limite fundamental é:
limx→0
ax − 1x
= lna,
onde 1 6= a > 0.
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 27 / 63
Limite de uma função real
Limites fundamentais
Exemplos
Calcule os limites a seguir:
limx→0
ax − bx
x
limx→∞
(x + 1x + 3
)x
limx→0
(1 + ax)bx
limx→0
e√
x − 13√
x
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 28 / 63
Limite de uma função real
Limites infinitos e no infinito
Algumas propriedades úteis para limites infinitos
Suponha que f (x) = h(x)g(x) onde lim
x→a−= L 6= 0 e lim
x→a−g(x) = 0.
1. Se g(x) > 0 então:
limx→a−
f (x) = limx→a−
h(x)g(x)
=
{+∞, se L > 0−∞, se L < 0.
2. Se g(x) < 0 então:
limx→a−
f (x) = limx→a−
h(x)g(x)
=
{+∞, se L < 0−∞, se L > 0.
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 29 / 63
Limite de uma função real
Limites infinitos e no infinito
Algumas propriedades úteis para limites infinitos
Suponha que f (x) = h(x)g(x) onde lim
x→a+= L 6= 0 e lim
x→a+g(x) = 0.
1. Se g(x) > 0 então:
limx→a+
f (x) = limx→a+
h(x)g(x)
=
{+∞, se L > 0−∞, se L < 0.
2. Se g(x) < 0 então:
limx→a+
f (x) = limx→a+
h(x)g(x)
=
{+∞, se L < 0−∞, se L > 0.
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 30 / 63
Limite de uma função real
Limites infinitos e no infinito
Exemplo
Calcule os limites laterais em torno de ±1 da função f (x) = xx2−1
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 31 / 63
Limite de uma função real
Limites infinitos e no infinito
Definição: limite +∞Seja f uma função e suponhamos que exista a tal que [a,+∞) ⊂D(f ). Definimos
limx→+∞
f (x) = L
se para qualquer ε > 0, existir um δ > 0 com δ > a tal que sex > δ =⇒ |f (x)− L| < ε.
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 32 / 63
Limite de uma função real
Limites infinitos e no infinito
x
f (x)f
L − εL
L + ε
δ
Figura: Ilustração geométrica da definição do limite no infinito
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 33 / 63
Limite de uma função real
Limites infinitos e no infinito
Definição: limite −∞Seja f uma função e suponhamos que exista a tal que (i∞,a] ⊂D(f ). Definimos
limx→−∞
f (x) = L
se para qualquer ε > 0, existir um δ > 0 com −δ < a tal que sex < −δ =⇒ |f (x)− L| < ε.
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 34 / 63
Limite de uma função real
Limites infinitos e no infinito
Definição: assíntota vertical
Diremos que a reta vertical x = a é uma assíntota vertical aográfico de uma função f se for satisfeita uma qualquer das con-dições abaixo:
limx→a−
f (x) = −∞, limx→a−
f (x) = +∞
oulim
x→a+f (x) = −∞, lim
x→a+f (x) = +∞.
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 35 / 63
Limite de uma função real
Limites infinitos e no infinito
x
y
f
a
Figura: Função com assíntotavertical em x = a
x
y f
a
Figura: Função com assíntotavertical em x = a
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 36 / 63
Limite de uma função real
Limites infinitos e no infinito
Definição: assíntota horizontal
Diremos que a reta horizontal y = L é uma assíntota vertical aográfico de uma função f se for satisfeita uma qualquer das con-dições abaixo:
limx→+∞
f (x) = L <∞
oulim
x→−∞f (x) = L <∞
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 37 / 63
Limite de uma função real
Limites infinitos e no infinito
x
yπ2
−π2
Figura: Função f (x) = arctan x
x
y
1
Figura: Função f (x) = e−1/x2
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 38 / 63
Limite de uma função real
Limites infinitos e no infinito
Exemplo
Considere a função f (x) = 2x2−x−1x2−1 definida em R \ {−1, 1}. Verifi-
que a presença de assíntotas verticais e horizontais para ela.
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 39 / 63
Limite de uma função real
Limites infinitos e no infinito
Função tendendo a +∞Suponhamos que exista a tal que ]a,+∞[⊂ D(f ). Definimos
limx→+∞
f (x) = +∞,
se para qualquer ε > 0, existe δ > 0 com δ > a tal que x > δ =⇒f (x) > ε.
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 40 / 63
Limite de uma função real
Limites infinitos e no infinito
Função tendendo a −∞Suponhamos que exista a tal que ]a,+∞[⊂ D(f ). Definimos
limx→+∞
f (x) = −∞,
se para qualquer ε > 0, existe δ > 0 com δ > a tal que x > δ =⇒f (x) < −ε.
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 41 / 63
Limite de uma função real
Limites infinitos e no infinito
Proposição
Monômios no +∞:
limx→+∞
cxk = +∞ se c > 0 e limx→+∞
cxk = −∞ se c < 0
onde c ∈ R e k ∈ Z
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 42 / 63
Limite de uma função real
Limites infinitos e no infinito
Proposição
Monômios no −∞:
limx→−∞
cxk = +∞ se c > 0 e limx→−∞
cxk = −∞ se c < 0
onde c ∈ R e k ∈ Z par
limx→−∞
cxk = −∞ se c > 0 e limx→−∞
cxk = +∞ se c < 0
onde c ∈ R e k ∈ Z ímpar
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 43 / 63
Limite de uma função real
Limites infinitos e no infinito
x
y
n = 1
n = 3
n = 5
Figura: Função f (x) = cxn, c > 0 en ímpar
x
y
n = 1
n = 3
n = 5
Figura: Função f (x) = cxn, c < 0 en ímpar
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 44 / 63
Limite de uma função real
Limites infinitos e no infinito
x
y
n = 2
n = 4
n = 6
Figura: Gráfico da funçãof (x) = cxn, c > 0 e n par
x
y
n = 2
n = 4
n = 6
Figura: Gráfico da funçãof (x) = cxn, c > 0 e n par
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 45 / 63
Limite de uma função real
Limites infinitos e no infinito
Algumas propriedades úteis para limites no infinito
Suponha que limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞ então:
1. limx→+∞
[f (x) + g(x)] = +∞
2. limx→+∞
f (x)g(x) = +∞
Suponha que limx→+∞
f (x) = L <∞ e limx→+∞
g(x) = +∞ então:
3. limx→+∞
[f (x) + g(x)] = +∞
4. limx→+∞
f (x)g(x) ={
+∞, se L >0−∞, se L >0
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 46 / 63
Limite de uma função real
Limites infinitos e no infinito
Algumas propriedades úteis para limites no infinito
Suponha que limx→+∞
f (x) = −∞ e limx→+∞
g(x) = +∞ então:
5. limx→+∞
f (x)g(x) = −∞
Suponha que limx→+∞
f (x) = L <∞ e limx→+∞
g(x) = +∞ então:
6. limx→+∞
[f (x) + g(x)] = +∞
Suponha que limx→+∞
f (x) = L <∞ e limx→+∞
g(x) = −∞ então:
7. limx→+∞
[f (x) + g(x)] = −∞
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 47 / 63
Limite de uma função real
Limites infinitos e no infinito
Algumas propriedades úteis para limites no infinito
Suponha que limx→+∞
f (x) = −∞ e limx→+∞
g(x) = −∞ então:
8. limx→+∞
[f (x) + g(x)] = −∞
9. limx→+∞
f (x)g(x) = +∞
Suponha que limx→+∞
f (x) = L <∞ e limx→+∞
g(x) = −∞ então:
10. limx→+∞
f (x)g(x) ={−∞, se L >0+∞, se L >0
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 48 / 63
Limite de uma função real
Limites infinitos e no infinito
Exemplo
Estude o comportamento assintótico da função p(x) = −3x3 −25x2 + 4x − 7
Exemplo
Estude o comportamento assintótico da função
f (x) =amxm + am−1xm−1 + · · ·+ a1x + a0
bnxn + bn−1xn−1 + · · ·+ b1x + b0
onde am,bn 6= 0
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 49 / 63
Limite de uma função real
Limites infinitos e no infinito
Exemplo
Calcule os limites:
limx→∞
x2 − 12x2 + 1
limx→−∞
√x2 + 2
2x + 1
limx→∞
(x −√
x + 1)
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 50 / 63
Limite de uma função real
Limites infinitos e no infinito
Formas indeterminadasEstas expressões necessitam ser calculadas cuidadosamente(são indeterminações):
00, 00, 1∞, ∞−∞, ∞
∞, 0 · ∞, ∞0,
portanto, muito cuidado ao deparar-se com elas!
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 51 / 63
Continuidade de funções
Sumário
1 Limite de uma função real
2 Continuidade de funções
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 52 / 63
Continuidade de funções
Continuidade de funções
x
y
f
f (p)
px
y
f (p)
f
p
Intuitivamente, uma função contínua em um ponto p de seudomínio é uma função cujo gráfico não apresenta “salto” emx = p.
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 53 / 63
Continuidade de funções
Continuidade de funções
Definição de continuidade
Sejam f uma função e p um ponto de seu domínio. Dizemos quef é contínua em p se, e somente se, para todo ε > 0, existir umδ > 0 tal que, para todo x ∈ D(f ):
0 < |x − p| < δ =⇒ |f (x)− f (p)| < ε
Exemplo
Prove que f (x) = 2x + 1 é contínua em x = 1, via definição.
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 54 / 63
Continuidade de funções
Continuidade de funções
Definição alternativa de continuidade
Sejam f uma função e p um ponto de seu domínio. Dizemos quef é contínua em p se, e somente se, a seguinte condição forverdadeira:
limx→p
f (x) = f (p),
isto é, “pequenas variações no domínio promovem pequenasvariações na imagem”.
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 55 / 63
Continuidade de funções
Continuidade de funções
Definição alternativa de continuidade
A condição anterior leva a três condição para que f seja contí-nua em x = p:
1 f (p) existir;2 lim
x→pf (x) existir (implica os limites laterais x → p+ e x → p−
existirem e serem iguais)3 lim
x→pf (x) = f (p)
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 56 / 63
Continuidade de funções
Continuidade de funções
x
y
f
L
p
Note que, para f (p) está indefinida, logo f é descontínua emx = p
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 57 / 63
Continuidade de funções
Continuidade de funções
x
y
f (p)
f
L
p
Note que, embora f (p) exista, limx→p
f (x) = L 6= f (p), logo f é des-
contínua em x = p
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 58 / 63
Continuidade de funções
Continuidade de funções
x
y
f (p)
f
pp − δ p − δ
f (p)− ε
f (p) + ε
Note que, para p−δ < x < p+δ não implica que f (p)−ε < f (x) <f (p) + ε porque f é descontínua em x = p
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 59 / 63
Continuidade de funções
Continuidade de funções
Proposição
Se p é um polinômio qualquer, então, para todo a ∈ R,
limx→a
p(x) = p(a).
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 60 / 63
Continuidade de funções
Continuidade de funções
Proposição
Sejam f ,g : D → R funções tal que D ⊂ R tal que qualquer inter-valo aberto contendo p intersecte D\{p}. Se f e g são contínuas,então:
f + g : D → R é contínuaf · g : D → R é contínuafg : D∗ → R em que D∗ = {x ∈ D|g(x) 6= 0} é contínua.
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 61 / 63
Continuidade de funções
Continuidade de funções
Exemplo
Considere
f (x) ={
2, se x ≥ 11, se x < 1
Prove que f é descontínua em x = 1.
Exemplo
Determine todos os valores de x para os quais a função
f (x) =2− x
(3 + x2)(5− x)+
4 + x2
(3 + x)(2− 4x)
é contínua.
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 62 / 63
Continuidade de funções
Referências I
A. C. Muniz Neto, “Fundamentos de cálculo (coleçãoprofmat),” Rio de Janeiro: SBM, 2015.
H. L. Guidorizzi, “Curso de calculo,” 1987.
G. F. Simmons, J. J. Martínez Fernández, et al., “Cálculo ygeometría analítica,” 2002.
J. Stewart and J. H. Romo, cálculo.Pioneira Thomson Learning, 2006.
Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 63 / 63