Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
CÀLCUL DE PROBABILITATS
FACULTAT DE MATEMÀTIQUES I ESTADÍSTICA
Diplomatura d’Estadística
APUNTS DE CLASSE PROF. LÍDIA MONTERO: PRESENTACIÓ I TEMA 1
AUTORA:
Lídia Montero Mercadé
Departament d’Estadística i Investigació Operativa
Versió 2.2 Setembre de 2.005
FME – Diplomatura d’Estadística Càlcul de Probabilitats
Prof. Lídia Montero Pàg. 1-2 Curs 2.005-2.006
1-1. PROGRAMACIÓ CURS 2005-06
PROGRAMACIÓ Càlcul de Probabilitats (Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue): Sistematitzada per assignatura CP de FME.
ID TEORIA TEMARI DETALLAT PRÀCTIQUES en subgrups 1
5-S INTRO
(1,5 no 3h) Presentació professor i estructura de l’assignatura (0,5h) Introducció a l’anàlisi exploratori de dades. Punter Data Mining
No lectiu CP-DE
2 12 S
TP (3h)
Introducció a la Teoria de la Probabilitat: Conjunt fonamental, successos. Àlgebra de successos. Propietats de l’àlgebra de successos
Introducció al MINITAB
3 19 S
TP (1,5h)
Introducció a la Combinatòria Definicions de probabilitat: Definició clàssica, freqüentista i actual
Simular un dau, una moneda
FME – Diplomatura d’Estadística Càlcul de Probabilitats
Prof. Lídia Montero Pàg. 1-3 Curs 2.005-2.006
4 26 S
TP (3h)
Propietats bàsiques de la probabilitat. Probabililitat de l’unió. Probabilitat condicional: Concepte Probabilitat condicional: Teorema de Probabilitats Totals Fórmula de Bayes
Pb 1:
Combinatòria i probabilitat
5 3 O
TP-VAD (3h)
Problemes Variables Aleatòries Discretes Concepte i definició. Funció de probabilitat i funció de distribució
Pb2: probabilitat condicional
6 10 O
VAD (1,5h)
Moments : Esperança i variança. Moments de funcions d’una variable a.d.
Pb 3: variables aleatories: funció de proba, de distr,
esperança, variança
7 17 O
VAD (3h)
Exemples de contrucció de variables: suma i diferència absoluta del llençament de 2 daus Vectors Aleatoris Discrets. Concepte i definició Funció de probabilitat. Funcions de probabilitats marginals i condicionals. Concepte d’independència. Independència mútua.
Sessió de Repàs
FME – Diplomatura d’Estadística Càlcul de Probabilitats
Prof. Lídia Montero Pàg. 1-4 Curs 2.005-2.006
8 24 O
VAD (1,5h)
Moments de funcions de vectors aleatoris discrets. Casos particulars: suma d’esperances, variança de sumes, etc. Covariança i coeficient de correlació lineal. Propietats.
Pb 4: Parell de variables aleatories
No lectiu CP-DE Grup b
9 31 O
VAD (1,5h)
Procés binomial: v.a. binomial de paràmetres n i p. Propietats.
Pb 4: Parell de variables aleatories
No lectiu CP-DE Grup a
10 7-N
VAD (3h)
Parcial 8 N
Procés binomial: v.a. geomètrica p i v.a. binomial negativa r i p Llei Hipergeomètrica. Problemes VAD
Pb 5: Bernoulli y binomial,
Tablas
11 14-N
VAD (3h)
v.a. Poisson. Relació amb les binomials. Problemes VAD
Taules de Contingència: independència a partir de
dades mostrals
12 21-N
VAC (3h)
Definició de v.a.contínua. Funció de densitat de probabilitat i f. Distribució. Diferències i semblances amb els models discrets. Definició d’independència
Pb 6_ geométrica, binomial negativa, Poisson
Tablas
FME – Diplomatura d’Estadística Càlcul de Probabilitats
Prof. Lídia Montero Pàg. 1-5 Curs 2.005-2.006
13 28-N
VAC (3h)
Exemples v.a.contínues clàssiques: v.a. uniforme [a,b]. Exemple espera dels amics. v.a. exponencial. Relació amb llei de Poisson.
Pb 7. Variable aleatoria continua, Uniforme.
Exponencial, relación con la Poisson
14 5-D
VAC (1,5h)
No lectiu CP-DE No lectiu CP-DE
15 12-D
VAC (3h)
v.a. normals Relacions entre models i aproximacions. Noció de llei de grans nombres. Teorema Central del Límit
Pb 8
v.a.normal
Ús de les taules
16 19-D
Repàs (3h)
PROBLEMES Pb9
Teoremas límites
FME – Diplomatura d’Estadística Càlcul de Probabilitats
Prof. Lídia Montero Pàg. 1-6 Curs 2.005-2.006
1-2. PÀGINA WEB
FME – Diplomatura d’Estadística Càlcul de Probabilitats
Prof. Lídia Montero Pàg. 1-7 Curs 2.005-2.006
FME – Diplomatura d’Estadística Càlcul de Probabilitats
Prof. Lídia Montero Pàg. 1-8 Curs 2.005-2.006
1-3. RESUM D’AVALUACIÓ
Referències bàsiques:
• Meyer, P.L.: Probabilidad y aplicaciones estadísticas. Ed. Addison-Wesley, 1992. • Peña, D.: Estadística, modelos y métodos: 1. fundamentos. Ed. Alianza Universidad, 1989-91. • Trivedi, K.S.: Probability and statistics with reliability queuing and computer sciences applications (2nd
Edition). John Wiley and Sons, New York, 2001 ISBN number 0-471-33341-7. • Wonnacott, T., Wonnacott, R.: Introducción a la estadística. Ed. Limusa, 1979.
• Ian Hacking, An Introduction to Probability and Inductive Logic, Cambridge University Press, 2001. Altres Referències complementàries:
• Montero Mercadé, Lídia: Apunts de classe: resum de les sessions de teoria. Publicacions de la FME, Setembre del 2005.
• Montero, Lídia i Bécue, Mònica: Quaderns de Càlcul de Probabilitats: Problemes resolts i sessions de laboratori. Publicacions de la FME, Setembre del 2005.
Resum d’avaluació:
ASPECTE % NOTA FINAL NOTA d’EXAMEN PARCIAL 15 NOTA d’EXAMEN FINAL(*) 65 NOTA de SEGUIMENT LABORATORIS-PARTICIPACIÓ
20
FME – Diplomatura d’Estadística Càlcul de Probabilitats
Prof. Lídia Montero Pàg. 1-9 Curs 2.005-2.006
1-4. TEMA 1: INTRODUCCIÓ A L’ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Dades d’Edat i Lloc de Residència dels components de la classe de Càlcul de Probabilitat de DE-UPC.
FME – Diplomatura d’Estadística Càlcul de Probabilitats
Prof. Lídia Montero Pàg. 1-10 Curs 2.005-2.006
TEMA 1: INTRODUCCIÓ A L’ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Descripció d’una variable contínua: Missing i Outliers
• Valors Numèrics
- Mesures de Tendència Central: Mitjana, Mediana, Moda
- Mesures de la Dispersió: Variància, Desviació Estàndar, Quartils, IQR, Màxim, Mínim
• Representacions Gràfiques
- Histograma, Histograma Acumulat.
- BoxPlot.
- Pie Chart.
FME – Diplomatura d’Estadística Càlcul de Probabilitats
Prof. Lídia Montero Pàg. 1-11 Curs 2.005-2.006
TEMA 1: INTRODUCCIÓ A L’ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Descripció d’una variable categòrica
• Representacions Gràfiques
- Histograma, Histograma Acumulat.
- Pie Chart.
FME – Diplomatura d’Estadística Càlcul de Probabilitats
Prof. Lídia Montero Pàg. 1-12 Curs 2.005-2.006
TEMA 1: INTRODUCCIÓ A L’ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Estadística Descriptiva Univariant Continua: Indicadors numèrics
MINITAB: Statistics →Basic Statistics →Descriptive Statistics
- Mitjana x = ∑=
11n xi
i
n
(Media, mean)
- Mediana: Valor de la variable tal que 50% Observacions són < Mediana (Q2) & 50% Observacions són > Mediana (Q2) (Mediana, median)
- Quartil Q1 del 25% i quartil Q3 del 75%: Valors de la variable que
25% Observacions són < Q1 & 75% Observacions són > Q1
75% Observacions són < Q3 & 25% Observacions són > Q3
- Variança ( )2sx =−
−∑=
11
2
1n ix xi
n
(Varianza, variance)
- Desv. Estàndar xs (Desviación Standard o Típica, Standard Deviation)
FME – Diplomatura d’Estadística Càlcul de Probabilitats
Prof. Lídia Montero Pàg. 1-13 Curs 2.005-2.006
-
MEDIANA50
Q1 Q3
2525
FME – Diplomatura d’Estadística Càlcul de Probabilitats
Prof. Lídia Montero Pàg. 1-14 Curs 2.005-2.006
1-3. TEMA 1: INTRODUCCIÓ A L’ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Resta CatalunyaEstat EspanyolBCN-AMB
10
5
0
residència
Num
ber N
onm
issi
ng o
f eda
t
Resta Catalu ( 3; 20,0%)
Estat Espany ( 2; 13,3%)
BCN-AMB (10; 66,7%)
Pie Chart of residència
FME – Diplomatura d’Estadística Càlcul de Probabilitats
Prof. Lídia Montero Pàg. 1-15 Curs 2.005-2.006
1-3. TEMA 1: INTRODUCCIÓ A L’ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
MTB > Describe 'edat'.
Descriptive Statistics: edat Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean
edat 15 18,800 19,000 19,231 2,908 0,751
Variable Minimum Maximum Q1 Q3
edat 9,000 23,000 19,000 20,000
2422201816141210
10
5
0
edat
Freq
uenc
y
FME – Diplomatura d’Estadística Càlcul de Probabilitats
Prof. Lídia Montero Pàg. 1-16 Curs 2.005-2.006
1-3. TEMA 1: INTRODUCCIÓ A L’ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
20 25 30 35 40 45 50 55 60
0
1
2
3
4
llista ED
Freq
uenc
y
FME – Diplomatura d’Estadística Càlcul de Probabilitats
Prof. Lídia Montero Pàg. 1-17 Curs 2.005-2.006
1-3. TEMA 1: INTRODUCCIÓ A L’ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
1
2
3
4
5
6
7
llista ED_1
Freq
uenc
y
FME – Diplomatura d’Estadística Càlcul de Probabilitats
Prof. Lídia Montero Pàg. 1-18 Curs 2.005-2.006
1-3. TEMA 1: INTRODUCCIÓ A L’ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
MTB > Describe 'llista ED'. Descriptive Statistics: llista ED Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean llista E 15 43,93 46,00 44,38 11,25 2,90 Variable Minimum Maximum Q1 Q3 llista E 22,00 60,00 35,00 54,00 MTB > Describe 'llista ED_1'. Descriptive Statistics: llista ED_1 Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean llista E 16 47,44 46,00 45,50 17,73 4,43 Variable Minimum Maximum Q1 Q3 llista E 22,00 100,00 36,50 54,00
FME – Diplomatura d’Estadística Càlcul de Probabilitats
Prof. Lídia Montero Pàg. 1-19 Curs 2.005-2.006
1-3. TEMA 1: INTRODUCCIÓ A L’ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
FME – Diplomatura d’Estadística Càlcul de Probabilitats
Prof. Lídia Montero Pàg. 1-20 Curs 2.005-2.006
FME – Diplomatura d’Estadística Càlcul de Probabilitats
Prof. Lídia Montero Pàg. 1-21 Curs 2.005-2.006
FME – Diplomatura d’Estadística Càlcul de Probabilitats
Prof. Lídia Montero Pàg. 1-22 Curs 2.005-2.006
COMBINATÒRIA
El principi de Multiplicació
El número total de maneres diferents de realitzar varies eleccions successives és el producte del número de formes diferents en què poden realitzar-se cadascuna de les eleccions individuals.
Exemple: Una persona ha de viatjar de Madrid a València i de València a Eivissa. El viatge de Madrid a València es pot fer en automòbil, ferrocarril o avió, i de València a Eivissa es pot anar en vaixell o en avió. El número total de maneres diferents de viatjar de Madrid a Eivissa es pot veure a la figura.
MADRID VALÈNCIA EIVISSA
Automòbil _____ Avió Automòbil _____ Vaixell Ferrocarril _____ Avió Ferrocarril _____ Vaixell Avió _____ Avió Avió _____ Vaixell
En total, aquesta persona pot viatjar de 623 =⋅ maneres diferents.
El mètode aplicat a l’exemple és l’eina bàsica per trobar la solució de problemes on cal desenvolupar successivament tasques que es puguin dur a terme de vàries maneres diferents: si cal realitzar successivament vàries tasques i la primera es pot desenvolupar d’m formes diferents, la segona d’n maneres diferents, etc. Llavors el nombre total N de formes diferents de dur a terme les tasques és el producte
FME – Diplomatura d’Estadística Càlcul de Probabilitats
Prof. Lídia Montero Pàg. 1-23 Curs 2.005-2.006
nmN ⋅=
Variacions Sigui un conjunt A amb nA =# (el nombre d’element de A). Es defineix el conjunt de les “variacions d’elements” presos de k en k com totes les eleccions ordenades de k elements diferents entre els n existents, és a dir:
{ }jiaakiAaaaakAV jiik ≠∀≠=∈= ,;,...,1,:),...,,(),( 21
A la seva cardinalitat se l’anomena knV , i val:
)!(!
)(...)())((...)()),((# ,
knn
knnnknnnVkAV kn
−=
+−⋅⋅−⋅=
−−⋅⋅−⋅==
1111
Exemple: Un nen que està aprenent a parlar té un vocabulari limitat a deu paraules. Es capaç de dir tres d’elles seguides sense repetir cap. Quantes frases es capaç d’articular?
El nen ha d’escollir 3 paraules diferents entre les 10 que coneix, llavors podrà dir:
7208910710
310 =⋅⋅==!!
,V frases.
FME – Diplomatura d’Estadística Càlcul de Probabilitats
Prof. Lídia Montero Pàg. 1-24 Curs 2.005-2.006
Permutacions Sigui A amb nA =# un conjunt. El conjunt de les “permutacions dels elements d’ A”, és donat per les maneres diferents d’ordenar els elements diferents d’ A , és a dir:
{ }).,(
,;,...,1,:),...,()( 1
nAVarjiaaniAaaaAPerm jiin
=
≠∀≠=∈=
La seva cardinalitat és: !, nVP nnn ==
Exemple: Cal ordenar 12 llibres en un prestatge. Quantes maneres hi ha de fer-ho?
De 4790016001212 == !P maneres.
Variacions amb repetició Sigui A amb ,# nA = un conjunt. Es defineix el conjunt de “variacions amb repetició” d’n elements presos de k en k a totes les eleccions ordenades de k elements entre els n , això és:
},...,,:),...,{),( 1 kiAaaakAVR ik ∈=
kkn nkAVRVR == )),((#,
FME – Diplomatura d’Estadística Càlcul de Probabilitats
Prof. Lídia Montero Pàg. 1-25 Curs 2.005-2.006
Exemple: Travesses possibles:
969.782.431414,3
=
=VR
Permutacions amb repeticions Sigui A amb nA =# un conjunt en el qual no tots els seus n elements són indistingibles: hi ha 1n de la classe 1, 2n de la classe 2, … i rn de la classe r , amb
nnrjnnr
jjj ==≤≤ ∑
=111 ,,...,, .
El conjunt de “permutacions dels n elements d’A on l’element j es repeteix jn cops, rj ,...,1= ” s’anomena conjunt d’ordenacions possibles dels elements d’ A , tenint en compte que dues ordenacions són la mateixa si una pot ser transformada en l’altre només canviant l’ordre dels elements de la mateixa classe.
La seva cardinalitat és:rnn
n PR ,...,1
I es calcula un,
FME – Diplomatura d’Estadística Càlcul de Probabilitats
Prof. Lídia Montero Pàg. 1-26 Curs 2.005-2.006
!!...!
!!...)()(#
,...,
,...,
r
nnn
rnn
n
nnnPR
nnPRBPerm
r
r
1
1
1
1
=⇒
⋅=
Exemple: En una llibreria hi ha deu exemplars de Tirant lo Blanc (de la mateixa edició) i quatre de Terra Baixa (també de la mateixa edició). Volem col·locar-los en un prestatge de l’aparador. De quantes maneres pot fer-se? I si no es vol separar els llibres que són iguals?
Responent a la primera pregunta, entre els 14 llibres n’hi ha 10 que són idèntics (hi ha una mena de llibre que es repeteix 10 cops) i d’altres 4 que també són indistingibles (es repeteixen 4 cops), en total podem comptar, doncs:
10011113723411121314
41014410
14 =⋅⋅=⋅⋅
⋅⋅⋅=
⋅=
!!!,PR
maneres de col·locar els llibres al prestatge.
Si no es vol separar els llibres que són iguals, llavors hi ha tantes formes de col·locar-los com permutacions de 2, doncs hi ha 2 menes de llibres. Així doncs, podem col·locar-los de dues maneres: els exemplars de Terra Baixa a l’esquerra i els de Tirant lo Blanc a la dreta, o a l’inrevés.
Combinacions: Sigui A amb nA =# un conjunt. El “conjunt dels elements de k en k ” és el conjunt dels subconjunts d’ A amb k elements:
FME – Diplomatura d’Estadística Càlcul de Probabilitats
Prof. Lídia Montero Pàg. 1-27 Curs 2.005-2.006
{ }},:},...,{}:#{),(
1 jiaaAaaakBABkAC
jiik ≠∀≠∈=
=⊆=
on },...,{ kaa1 és una col·lecció no ordenada de k elements diferents.
Proposició: )!(!
!),(# , knkn
kn
CkAC kn −=
==
Exemple: De quantes maneres diferents pot emplenar-se un bitllet de loteria (es marquen sis números entre l’1 i el 49)? I si només s’utilitzen números senars?
S’han de seleccionar 6 números diferents entre els 49 (no importa l’ordre i no hi ha repeticions), així doncs n’hi ha
1398381643649
649
649 =⋅
=
=
!!!
,C
maneres d’omplir el bitllet.
Si només s’utilitzen els números senars, llavors hi ha 25 números possibles per marcar i per tant hi haurà
17700019625
625
625 =⋅
=
=
!!!
,C
maneres d’emplenar el bitllet.