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breve descripción de las funciones y ejercicios
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1.2 Funciones racionales
El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:
El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.
1.3 Funciones radicales
El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.
El dominio de una función irracional de índice impar es R.
El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.
2.1 Funciones exponenciales
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a x se l lama función exponencial de base a y exponente x .
2.2 Funciones logarítmicas
La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
Función constante
La función constante es del t ipo:
y = n
El criterio viene dado por un número real.
La pendiente es 0.
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.
Rectas verticales
Las rectas paralelas al eje de ordenadas no son funciones, ya que un valor de x tiene infinitas imágenes y para que sea función sólo puede tener una. Son del t ipo:
x = K
Función lineal
La función lineal es del tipo:
y = mx
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.y = 2x
x 0 1 2 3 4
y = 2x 0 2 4 6 8
Pendiente
m es la pendiente de la recta.
La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.
Si m > 0 la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.
Si m < 0 la función es decreciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.
Función identidad
f(x) = x
Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
Estudio de una función II
En otro tema veremos estos puntos bajo otra óptica y otros puntos como:
1. Dominio de una función.
2. Simetría.
3. Periodicidad.
4. Puntos de corte con los ejes.
5. Asíntotas.
6. Ramas parabólicas.
7. Crecimiento y Decrecimiento.
8. Máximos y mínimos.
9. Concavidad y convexidad.
10. Puntos de inflexión.
y = -x² + 4x - 3
1 1. y = −x² + 4x – 3 1. Vértice x v = − 4/ −2 = 2 y v = −2² + 4· 2 − 3 = 1
V(2, 1)
2. Puntos de corte con el eje OX.
x² − 4x + 3 = 0 (3, 0) (1, 0)
3. Punto de corte con el eje OY. (0, −3)
Representa gráficamente: y = x² +x + 1 1. Vértice. x v = −1/ 2
yv = (−1/ 2)² + (−1/ 2) + 1= ¾ V(−1/ 2, 3/ 4)
2. Puntos de corte con el eje OX.
x² + x + 1= 0 1² − 4 < 0 No hay puntos de corte con OX.
3. Punto de corte con el eje OY.
(0, 1)
Representa gráficamente:
y = x² +x + 1 1. Vértice. x v = −1/ 2 yv = (−1/ 2)² + (−1/ 2) + 1= 3/4
V(−1/ 2, 3/ 4)
2. Puntos de corte con el eje OX. x² + x + 1= 0 1² − 4 < 0 No hay puntos de corte con OX.
3. Punto de corte con el eje OY.
(0, 1)
x2 + (7 − x)2 = 25
x2 + 49 − 14x + x2 = 25
2x2 − 14x + 24 = 0
x2 − 7x + 12 = 0
7x2 + 21x − 28 = 0
x2 +3x − 4 = 0
−x2 + 4x − 7 = 0
x2 − 4x + 7 = 0
e
Funciones trigonométricas
Función senof(x) = sen x
Dominio:
Recorrido: [−1, 1]
Período:
Continuidad: Continua en
Impar: sen(−x) = −sen x
Función cosenof(x) = cos x
Dominio: Recorrido: [−1, 1] Período: Continuidad: Continua en Par: cos(−x) = cos x
Función tangente
f(x) = tg x
Dominio:
Recorrido:
Continuidad: Continua en
Período:
Impar: tg(−x) = −tg x
Función cotangente
f(x) = cotg x
Dominio:
Recorrido:
Continuidad: Continua en
Período:
Impar: cotg(−x) = −cotg x
Función secante
f(x) = sec x
Dominio:
Recorrido: (− ∞, −1] [1, ∞)
Período:
Continuidad: Continua en
Par: sec(−x) = sec x
Función cosecante
f(x) = cosec x
Dominio:
Recorrido: (− ∞, −1] [1, ∞)
Período:
Continuidad: Continua en
Impar: cosec(−x) = −cosec x
900.000 b fuertes
Calcular el dominio de las funciones polinómicas:
1
2
Calcular el dominio de las funciones racionales:
1
2
3
4
5
Calcular el dominio de las funciones radicales:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Calcular el dominio de las funciones exponenciales:
1
2
Calcular el dominio de las funciones logarítmicas:
1
2
Calcular el dominio de las funciones trigonométricas:
1
2 Estudia el
crecimiento o decrecimiento de las siguientes funciones en los puntos que se indican:
1 f(x) = 5x² − 3x + 1 en x = 1
Tomamos un incremento, h = 0.001, en el punto x = 1. La función será creciente o
decreciente en el punto x = 1 si lo es en el intervalo [1, 1.001]. Para comprobarlo,
calculamos la tasa de variación en el intervalo dado: f(1.001) − f(1) = (5 · 1.001² −
3 · 1.001 + 1) − (5 · 1² − 3 · 1 + 1) = 0.007 > 0 Creciente
2 Tomamos un incremento, h = 0.001, en el punto x = 3. La
función será creciente o decreciente en el punto x = 3 si lo es en el intervalo [3,
3.001]. Para comprobarlo, calculamos la tasa de variación en el intervalo dado:
Decreciente
Hallar las funciones inversas de:
1
2
3
4
Dadas las funciones:
Calcular:
1
2
3
4
5
6
7 Probar que:
Dadas las funciones:
Calcular:
1
2
