Clases 3 Pruebas de Hipótesis Curso de Metodología de la Investigación Profesor Manuel Lobos González Año 2011

Clases 3Pruebas de Hipótesis

Curso de Metodología de la InvestigaciónProfesor Manuel Lobos González

Año 2011

Análisis de la Varianza de un factor(ANOVA)

El análisis de la varianza (ANOVA) es una técnica estadística paramétrica de contraste de hipótesis. El ANOVA de un factor sirve para comparar varios grupos en una variable cuantitativa. Se trata, por tanto, de una generalización de la Prueba T para dos muestras independientes al caso de diseños con más de dos muestras.

A la variable categórica (nominal u ordinal) que define los grupos que deseamos comparar la llamamos independiente o factor y la representamos por VI. A la variable cuantitativa (de intervalo o razón) en la que deseamos comparar los grupos la llamamos dependiente y la representamos por VD.

La hipótesis nula que se pone a prueba en el ANOVA de un factor es que las medias poblacionales (las medias de la VD en cada nivel de la VI) son iguales. Si las medias poblacionales son iguales, eso significa que los grupos no difieren en la VD y que, en consecuencia, la VI o factor es independiente de la VD.

Condiciones:• Cada muestra debe ser independiente de las

otras.

• Cada muestra debe haber sido seleccionada al

azar de la población de donde proviene.

• Las población de donde provienen las muestras

debe tener distribución normal.

• Las varianzas de cada población deben ser

iguales.

ANOVA

Ejemplo

• Una Directora de un colegio, preocupada de explicar los problemas de comportamiento de sus estudiantes, se dispuso a hacer un estudio para establecer si existían diferencias en ese aspecto según estado civil de los padres, entre otras variables.

• Para ese fin, solicitó a los padres de 45 niños la aplicación del Child Behavior Checklist, versión para padres. El CBCL (Achenbach, 1991) es un instrumento conformado por 113 ítems que comprenden problemas específicos, agrupados en síndromes que exploran dos tipos de anomalías de conducta: externalización (agresión, delincuencia y trastornos de conducta) e internalización (aislamiento, preocupaciones somáticas, depresión y ansiedad). Además, (Friedrich et al., 1986) seis de sus ítems conforman la escala de problemas sexuales, la que sólo se aplica a niños y niñas mayores.

• Los ítems son categorizados 0=no es cierto o nunca observado, 1=es cierto algunas veces o de cierta manera, 2=muy cierto o a menudo cierto. El puntaje total se obtiene a partir de la suma de los parciales.

ANOVA

Paso 1: Obtiene los siguientes datos ANOVA

CASADO SEPARADO VIUDO SOLTERO

10 23 78 22

19 62 70 70

36 90 48 48

55 30 68 28

45 73 62 45

41 30 29 30

30 40 38 55

41 28 68 45

32 43 60 50

46 54 61 42

38 49 58 66

15 19 25

30 62 60

55 28

63

ANOVA

Paso 2: Calculamos la media de cada grupo y la media global

gM


10 23 78 22

19 62 70 70

36 90 48 48

55 30 68 28

45 73 62 45

41 30 29 30

30 40 38 55

41 28 68 45

32 43 60 50

46 54 61 42

38 49 58 66

15 19 25

30 62 60

55 28

63

35,21 46,27 58,18 45,08 45,53

Paso 3: Calculamos la suma de cuadrados de las desviaciones de cada observación respecto a la media global, suma que denominaremos Suma de Cuadrados Total (SCT) y que refleja la variabilidad total. Si se divide por el tamaño total de muestra se obtiene la varianza total.

ANOVA

2 giT MSC x

ANOVA

208,166952 giT MSC x


1262,26 507,52 1054,41 553,58

703,75 271,32 598,86 598,86

90,79 1977,73 6,11 6,11

89,71 241,13 504,98 307,24

0,28 754,69 271,32 0,28

20,51 241,13 273,18 241,13

241,13 30,56 56,68 89,71

20,51 307,24 504,98 0,28

183,01 6,39 209,43 20,00

0,22 71,77 239,37 12,45

56,68 12,05 155,54 419,09

931,98 703,75 421,41

241,13 271,32 209,43

89,71 307,24

305,26

16695,208

Paso 4: Calculamos la suma de cuadrados de las desviaciones entre la media de cada grupo y la media general. Esta es la suma de cuadrados explicada por el factor considerado, a la que denominaremos Suma de cuadrados del factor (SCF) o variabilidad explicada.

2 gKKF MMSC n

ANOVA

k grupo del aritmética mediak grupo elen sujetos de número

global media

K

k

g

M

M

n

• Siendo:

En la literatura científica también se denomina a la SCF como SC Entre los grupos (SS Between) o SC del Modelo (SS Model)

ANOVA

CASADO SEPARADO VIUDO SOLTERO MEDIA GLOBAL

MEDIA 35,21 46,27 58,18 45,08 45,53

n 14 15 11 13

(x-X)2 106,38 0,55 160,11 0,20

n(x-X)2 1489,305 8,178 1761,226 2,649 3261,358

358,32612 gKKF MMSC n

Paso 5: Calculamos la suma de cuadrados de las desviaciones entre cada dato y la media de su grupo. Esta es la suma de cuadrados no explicada, a la que denominaremos Suma de cuadrados residual (SCR) o variabilidad residual.

2

Mx kR ikSC

k grupo del aritmética media

k grupo del i dato cada

___

x

x

k

ik

ANOVA

• Siendo:

En la literatura científica también se denomina a la SCR como SC Dentro de los grupos (SS Within)

FTRRFT SCSCSCSCSCSC Si

ANOVA


635,76 541,34 392,76 532,54

262,90 247,54 139,67 621,16

0,62 1912,60 103,67 8,54

391,47 264,60 96,40 291,62

95,76 714,67 14,58 0,01

33,47 264,60 851,58 227,31

27,19 39,27 407,31 98,47

33,47 333,67 96,40 0,01

10,33 10,67 3,31 24,24

116,33 59,80 7,94 9,47

7,76 7,47 0,03 437,78

408,62 743,47 403,08

27,19 247,54 222,70

391,47 333,67

280,00

13433,850

850,13433

2

Mx kR ikSC

ANOVA

• Cada suma de cuadrados tiene sus propios grados de libertad.

• La SCT es el número total de casos menos uno, es decir n-1;

• La SCF es el número de grupos menos uno, es decir, k-1 y

• La SCR es el número total de datos menos k, es decir,

n-k. • En el análisis de la varianza, se define una media

cuadrática como el cociente entre la suma de cuadrados y sus correspondientes grados de libertad:

Paso 6: Calculamos las medias cuadráticas, para lo cual necesitamos conocer los grados de libertad correspondiente a cada suma de cuadrados de las desviaciones

Grados de libertad• Factor, Entre los grupos (between)

(k-1): (4 - 1) = 3

• Residual, Dentro de los grupos (within) (n-k):53-4 = 49

• Total = (n – 1):53 - 1 = 52

ANOVA

RFT SCSCSC glglgl

ANOVA

Medias Cuadráticas

kn

SCMC R

R

1k

SCMC F

F

1n

SCMC T

T

160,27449

13433,850RMC

119,10873

358,3261FMC

52

16695,208TMC

ANOVA

Paso 7: Calculamos el estadístico F de Snedecor, que nos informará si tenemos “pruebas suficientes” para rechazar o aceptar la hipótesis nula.

965,3160,274

119,1087F

En nuestro caso

R

F

R

F

R

F

S

S

knSCkSC

MC

MCF

2

21

ANOVA

Paso 8: Con el fin de informar los resultados, se procede a generar el cuadro resumen del ANOVA.

En nuestro caso

FUENTE DE VARIACIÓN SUMA DE CUADRADOS (SC) GRADOS DE LIBERTAD (gl) MEDIA DE CUADRADOS (MC) F calculado

FACTOR SC ENTRE k - 1 SC Entre / k-1 MC Entre/MC Dentro

RESIDUAL SC DENTRO n - k SC Dentro/ n-k

TOTAL SC TOTAL n - 1

FUENTE DE VARIACIÓN SUMA DE CUADRADOS (SC) GRADOS DE LIBERTAD (gl) MEDIA DE CUADRADOS (MC) F calculado

FACTOR 3261,358 3 1087,119 3,965

RESIDUAL 13433,850 49 274,160

TOTAL 16695,208 52

Paso 9) Se procede a establecer la probabilidad de error tipo I o alfa asociada a nuestro valor F.

Procedimiento:

Encuentre el valor crítico en una distribución F, con k-1 grados de libertad en el numerador (en las columnas) y n-k grados de libertad en el denominador (en las filas), que deje una probabilidad de en la cola superior de la distribución.Rechace la hipótesis nula si el estadístico F calculado en el Paso 7 es mayor o igual que el valor crítico F(k-1, n-K) que encontramos en la tabla de F.

ANOVA

Las reglas de decisión en este procedimiento son las siguientes:

REGLAS DE DECISIÓN

)(obs0 si Rechace FFH

)(obs0 si rechace No FFH

k210 ... : H

)...( : k211 H

ANOVA

En la tabla correspondiente, ubicamos los valores (k-1) en las columnas; y (n-k) en las filas y el punto de intersección nos informa el valor F con el cual compararemos el Fobs

Si desarrollamos el contraste en nuestro ejemplo, tenemos los siguientes valores:

3)1( kglF 49)( knglR 965,3F

ANOVA

Los valores críticos de F son:

28,210.0 F

Al realizar la comparación de Fobs con F, se observa que

Por lo tanto, podemos rechazar la hipótesis nula, al 2,5% y aceptamos que existe evidencia empírica suficiente para afirmar que existen diferencias significativas entre las medias de, al menos, dos de los grupos de padres.

Paso 10) Se concluye sobre la Hipótesis nula.

05.0FFobs

92,205.0 F

59,3025.0 F

24,501.0 F

ANOVA

920,2965,3

A partir de los resultados expuestos sabemos que las cuatro categorías de la variable independiente presentan resultados diferentes.

Pero no sabemos exactamente entre que categoría se presentan dichas diferencias, pues ANOVA no nos informa al respecto. Nos dice que hay diferencias significativas, pero no entre que pares

ANOVA

• ¿Los hijos de padres casados presentan menos problemas específicos que los de padres separados?

• ¿Los hijos de padres viudos presentan más problemas específicos que los de padres separados?

• ¿Existen diferencias entre los hijos de padres solteros y los de padres separados

•Podemos tener varias preguntas:

•El ANOVA de un factor no responde estas preguntas

ANOVA

• Podemos probar la significación estadística de las diferencias entre pares individuales de condiciones

• Estas pruebas son conocidas como comparaciones post-hoc

• Se calcula un valor crítico de diferencias a través del procedimiento que explicaremos a continuación.

ANOVA

Las Comparaciones Post-Hoc ( a posteriori) se hacen solamente si

el resultado de ANOVA es p<0,05, es decir, se han encontrado

diferencias significativas.

COMPARACION POST-HOC ANOVA

En este curso aplicaremos en estos casos la Prueba T de Student

para muestras independientes, explicada anteriormente.

Análisis de la Varianza de Kruskal-Wallis

El contraste de Kruskall-Wallis es la alternativa no paramétrica del método ANOVA Unifactorial, es decir, sirve para contrastar la hipótesis de que k muestras cuantitativas han sido obtenidas de la misma población. La única exigencia se refiere a la aleatoriedad en la extracción de las muestras, sin hacer referencia a las otras condiciones de homocedasticidad y normalidad necesarias para la aplicación del test paramétrico ANOVA.

De este modo, este contraste es el que debemos aplicar necesariamente cuando no se cumplen algunas de las condiciones que se necesitan para aplicar dicho método.

Al igual que las demás técnicas no paramétricas, ésta se apoya en el uso de los rangos asignados a las observaciones.

Ejemplo

• Un psicopedagogo investigador pretende establecer si existen diferencias en las expectativas de logro que manifiestan los padres acerca de los avances de sus hijos en la atención especializada que reciben, según la dependencia del colegio de procedencia de los niños.

• Para ese fin, aplica una escala de expectativas, la cual indica que a mayor puntuación, mayor expectativa sobre los avances de su hijo(a).

PRUEBA DE KRUSKAL-WALLIS

Paso 1: Se obtienen los siguientes datos PRUEBA DE KRUSKAL-WALLIS

MUNICIPAL PARTICULAR PARTICULAR

PAGADO SUBVENCIONADO

14 12 11

15 14 12

14 15 9

16 14 8

16 13

17

Paso 2) Se ordenan todos los datos, de menor a mayor, de las k muestras y en un solo conjunto, cuidando de identificar a cada uno con su muestra respectiva.


Municipal R1 Particular R2 Particular R3

pagado subvencionado

14 8,5 12 4,5 8 1

14 8,5 14 8,5 9 2

15 11,5 14 8,5 11 3

16 13,5 15 11,5 12 4,5

16 13,5 13 6

17 15

42,0 61,5 16,5

Paso 3) Luego se suman los rangos de cada grupo.

Paso 4) A continuación se calcula el valor H de Kruskal-Wallis.

gruposk lossumar deben se que Indica

grupo cadaen rangos los de Suma

grupo cadaen sujetos de número

sujetos de totalnúmero

grupos de número

1

k

j

jRjn

N

k


)1(3)1(

12

1

2

Nn

R

NNH

k

j j

j

En nuestro ejemplo de las expectativas de los padres según la dependencia del colegio de sus hijos, tenemos los siguientes valores:

4)(1 Mn 6)(2 PPn

Si sustituimos en

Tenemos

291,8HPor lo tanto

)115(35

5,16

6

5,61

4

42

)115(15

12

)1(3)1(

12

222

1

2

Nn

R

NNH

k

j j

j

5)(3 PSn

42)(1 MR 5,61)(2 PPR 5,16)(3 PSR


Existen dos procedimientos, asociados a la cantidad de grupos y sus tamaños

Paso 5) Se procede a establecer la probabilidad de error tipo I o alfa asociada a nuestro valor H.


Primer procedimiento:

Si el número de muestras es k=3 y el número de observaciones en cada una de ellas no pasa de 5, se rechaza H0 si el valor de Hobs supera el valor teórico de H que encontramos en la tabla de Kruskal-Wallis. (La tabla aportada en el curso opera hasta k=5 para n=3).

Segundo procedimiento:

En cualquier otro caso, se compara el valor de Hobs con el de la tabla de Chi cuadrado con k-1 grados de libertad. Se rechaza H0 si el valor del estadístico supera el valor teórico .

Las reglas de decisión en este procedimiento son las siguientes:

REGLAS DE DECISIÓN

)(obs0 si Rechace HHH

)(obs0 si rechace No HHH


k210 M...MM : H

)M...M(M : k211 H

En la tabla correspondiente, ubicamos los valores de los tamaños de los grupos 6,5,4 y comparamos nuestro valor Hobs con el H correspondiente

Si desarrollamos el contraste en nuestro ejemplo, siguiendo el primer procedimiento, tenemos los siguientes valores:


4)(1 Mn 6)(2 PPn 5)(3 PSn 291,8H

Los valores críticos de H son:

522,410.0 H

Al realizar la comparación de Hobs con H, se observa que

Por lo tanto, podemos rechazar la hipótesis nula, al 1%, y debemos aceptar que existe evidencia empírica suficiente para afirmar que existen diferencias significativas entre las medias de rangos entre, al menos, dos de los grupos de padres.


01.0HHobs


661,505.0 H

750,6025.0 H

936,701.0 H

Si desarrollamos los pasos 5 y 6, siguiendo el segundo procedimiento de contraste, tenemos los siguientes valores:

3k


291,8HEn la tabla correspondiente, ubicamos en la columna DF nuestro k-1 y

comparamos nuestro valor Hobs con el X 2 correspondiente

Los valores críticos de H son:

605,410.0 H

Al realizar la comparación de Hobs con H, se observa que

Por lo tanto, podemos rechazar la hipótesis nula, al 2%, y debemos aceptar que existe evidencia empírica suficiente para afirmar que existen diferencias significativas entre las medias de rangos entre, al menos, dos de los grupos de padres.


02.0HHobs


991,505.0 H

824,702.0 H

210,901.0 H

A partir de los resultados expuestos sabemos que las tres categorías de la variable independiente presentan resultados diferentes.

Pero no sabemos exactamente entre que categoría se presentan dichas diferencias, pues el Test de Kruskal-Wallis no nos informa al respecto. Nos dice que hay diferencias significativas, pero no entre que pares


• ¿Los padres M tienen más expectativas que los PS?

• ¿Los padres PS tienen menos expectativas que los PP?

• ¿Existen diferencias entre los padres PP y M?

•Podemos tener varias preguntas:


•La prueba de Kruskal-Wallis no responde estas preguntas

• Podemos probar la significación estadística de las diferencias entre pares individuales de condiciones

• Estas pruebas son conocidas como comparaciones post-hoc

• Se calcula un valor crítico de diferencias a través de uno de los procedimientos.

• En este curso usaremos la U de Mann Whitney, explicada anteriormente.

COMPARACIONES POST-HOC KRUSKAL-WALLIS

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Clases 3 Pruebas de Hipótesis Curso de Metodología de la Investigación Profesor Manuel Lobos González Año 2011