Clase9 Met TransfInversa

8/17/2019 Clase9 Met TransfInversa

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Generación de variables aleatorias continuas

Método de la transformada inversa

Georgina Flesia

FaMAF

16 de abril, 2013


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Generación de v.a. discretas

Existen diversos métodos para generar v.a. discretas:

Transformada Inversa

De aceptación-rechazo, o método de rechazo. De composición.

Métodos mejorados según la distribución.


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Método de la Transformada Inversa

F (x ) = P (X ≤ x ) : Función de distribución acumulada

F es una función creciente, escalonada, que toma valores entre0 y 1.

Si se ordenan los valores de la variable en forma creciente:

x 0


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Gráficamente

x 0

1

x 4x 3x 2x 1

p 1

p 2

p 3

y = F (x )

p 0


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Algoritmo

Si la v.a. toma un número finito de valores, el algoritmo es el

siguiente:

Algorithm 1: Transformada Inversa

Generar U ∼ U (0, 1);if U


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Algoritmo de la Transformada Inversa

Si x 0


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EjemploX : {1, 2, 3, 4}.

p 0 = 0.20, p 1 = 0.15, p 2 = 0.25, p 3 = 0.40

x 0

1

x 4x 3x 2x 1

p 1

p 2

p 3

y = F (x )

p 0


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Orden decreciente de p i

Si se ordenan de manera decreciente las probabilidades de masa

p 0, p 1, . . . , se puede obtener un algoritmo más eficiente:Algorithm 3: Ordenando p i

Generar U ;if U


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EjemploX : {1, 2, 3, 4}.

p 0 = 0.20, p 1 = 0.15, p 2 = 0.25, p 3 = 0.40

x 0

1

x 4x 3x 2x 1

p 1

p 2

p 3

y = F (x )

p 0


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Generación de variables aleatorias continuas con

densidad

Decimos que X es una v.a. continua con densidad si existe f : R → Rpositiva tal que

F (x ) := P (X ≤ x ) = x

−∞ f (t ) dt .

Estudiaremos los siguientes métodos de generación para una tal X :

Método de la transformada inversa.

Método de aceptación y rechazo. Método de composición.


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Propiedades de F (x ) := x −∞ f (t ) dt .

F (x ) es continua. F (x ) es no decreciente.

0 ≤ F (x ) ≤ 1, limx →−∞ F (x ) = 0, limx →∞ F (x ) = 1


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TeoremaSi F es una función de distribución continua, inversible, yU ∼ U (0, 1), entonces

X = F −1(U )

es una variable aleatoria con distribución F .

P (X ≤ a ) = P (F −1(U ) ≤ a )= P (F (F −1)(U ) ≤ F (a )) por ser inversible

= P (U ≤ F (a )) = F (a )

Mé d d l f d i


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Mé d d l f d i


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Es suficiente que F tenga inversa en (0, 1).

Problemas: La inversa de F involucra funciones computacionalmente costosas.

( n

f (x ), log(x ), etc.) La inversa de F no puede ser calculada explícitamente. (p. ej.,

distribución de la normal, de una gamma)

Para ciertas distribuciones F pueden utilizarse otras estrategias,por ejemplo expresando a F como distribución del mínimo y/o del máximo de v. a. independientes. distribución de suma de variables aleatorias independientes distribución de una v. a. condicional a otra,

o existen métodos específicos (p. ej., para X con distribuciónnormal.)

Veamos algunos ejemplos.

A li ió d l ét d d l t f d i


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Aplicación del método de la transformada inversa

EjemploEscribir un método para generar el valor de una v. a. X con funciónde densidad

f (x ) = −x 2

+ 1, 0 ≤ x ≤ 2.

F (x ) = −x 2

4 + x , 0 ≤ x ≤ 2.

F no es inversible sobre R, pero sólo nos interesa encontrar unainversa F −1 : (0, 1) → (0, 2).

−x 2

4 + x = u ⇒ x =

x = 2 + 2√ 1 − u o

x = 2 − 2√ 1 − u

Algorithm 4:Generar U;

X← 2 − 2√ U

A li ió d l ét d d l t f d i


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Aplicación del método de la transformada inversa

EjemploEscribir un método para generar el valor de una v. a. X con funciónde densidad

f (x ) =

1/4 0 ≤ x ≤ 21/2 2 < x


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Máximos y mínimos de v. a. independientes

Consideremos X 1, X 2, . . . , X n v. a. independientes, con funciones dedistribución F 1, F 2, . . . , F n , respectivamente.

F i (a ) = P (X i ≤ a ).

X = max{X 1, X 2, . . . , X n } F X (a ) = F 1(a ) · F 2(a ) . . . F n (a ) Y = min{X 1, X 2, . . . , X n } 1

−F

Y (a ) = (1

−F

1(a ))

·(1

−F

2(a )) . . . (1

−F

n (a ))

Máximos y mínimos de v a independientes


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Máximos y mínimos de v. a. independientes

Si X es tal que

F X (x ) = x n , 0 ≤ x ≤ 1, 0 en otro caso.F X (x ) = x · x · · · x

n

entonces X = max{U 1, X 2, . . . , U n } con U 1, U 2, . . . , U n v. a.independientes, idénticamente distribuidas uniformes en [0,1]. Paragenerar X

Algorithm 5: F X (t ) = t n

Generar U 1, U 2, . . . , U n ;X

←max

{U 1, U 2, . . . , U n

} no requiere cálculo de una raíz n -ésima.

se generan n − 1 uniformes adicionales. requiere de n − 1 comparaciones.

Generación de una v a exponencial


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Generación de una v. a. exponencial

Si X ∼ E (λ), entonces c · X también es exponencial.

c · X ∼ E (λ

c ). Calculamos la inversa de la función de distribución de X ∼ E (1):

F X (x ) = 1 − e −x u = 1

−e −x

1 − u = e −x x = − loge (1 − u )

Algorithm 6: X ∼ E (1)Generar U;X ← −log (U )

Algorithm 7: X ∼ E (λ)Generar U;

X ← − 1λ

log (U )

Generación de una v a Poisson X P(λ)


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Generación de una v. a. Poisson X ∼ P (λ)Para generar una variable Poisson, vamos a usar información sobreuna estructura mas compleja, el proceso de Poisson. Recordemos

que En un proceso de Poisson homogéneo de parámetro λ,

los tiempos de llegada entre eventos son v. a. exponenciales de

media 1λ

. el número de eventos en un intervalo de tiempo de longitud t es

una v. a. Poisson de media λ ·

t . N (1) es una v. a. Poisson de media λ.

X 1 X 2 X 3 X n X n +1

0 1

N (1) = max{n | X 1 + X 2 + · · · + X n ≤ 1}

Generación de una v a Poisson X ∼ P(λ)


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Generación de una v. a. Poisson X ∼ P (λ)

Entonces, toda variable Poisson X de parámetro λ puede pensarsecomo la realización N (1) de un proceso de Poisson de media λ.

X 1 X 2 X 3 X n X n +1

0 1

N (1) = max{n | X 1 + X 2 + · · · + X n ≤ 1}

Generación de una v a Poisson X ∼ P(λ)


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Empleando v.a. uniformes para generar las exponenciales, tenemos

que

N (1) = max{n | X 1 + X 2 + · · · + X n ≤ 1}= max{n | − 1

λ (log(U 1) + log(U 2) + · · · + log(U n )) ≤ 1}

= max{n | −1

λ (log(U 1 · U 2 · · · U n )) ≤ 1}= max{n | log (U 1 · U 2 · · · U n ) ≥ −λ}= max{n | U 1 · U 2 · · · U n ≥ e −λ}

N (1) = min{n | U 1 · U 2 · · · U n


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Algorithm 8: Transformada Inversa

Generar U 1 ∼ U (0, 1);if U 1


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Generación de una v. a. con distribución Gamma

Si X 1, . . . , X n son v. a. exponenciales independientes, X i ∼ E (λ),entonces

X = X 1 + · · · + X n es una v. a. gamma, de parámetros (n , λ).

F X (x ) = P (X 1 + X 2 +

· · ·+ X n

≤ x )

= P (−1λ

(log(U 1 · U 2 · · · U n )) ≤ x )

= P (−1λ

(log(U 1 · U 2 · · · U n )) ≤ x }

Por lo cualAlgorithm 9: X ∼ γ (n , λ)Generar U 1, . . . , U n ∼ U (0, 1);X ← − 1

λ log(U 1 . . . U n )

Generación de una v a con distribución Gamma


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Generación de una v. a. con distribución Gamma

Algorithm 10: Algoritmo: X ∼γ (n , λ)

Generar U 1, . . . , U n ∼ U (0, 1);X ← − 1

λ log(U 1 . . . U n )

Emplea n uniformes.

Calcula un único logaritmo.

Para generar n exponenciales independientes, hacen faltagenerar n uniformes y calcular n logaritmos.

Generación de exponenciales a partir de una


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distribución gamma

TeoremaSi X , Y ∼ E (λ), e independientes, entonces

f X |X +Y (x | t ) = 1t I(0,t )(x ),

es decir, X condicional a X +

Y =

t es uniforme en (

0,

t )

.

Para generar X , Y exponenciales independientes, de parámetro λpodemos aplicar el siguiente algoritmo:

Algorithm 11: X , Y ∼ E (λ)Generar U 1, U 2

∼ U (0, 1);

t ← −1λ

log(U 1 U 2);

Generar U 3;X ← t U 3;Y ← t − X

Calcula un único logaritmo.

Emplea 1 uniforme adicional.



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distribución gamma

Para generar n exponenciales, se puede extender el método anterior

generando

una v. a. gamma, de parámetros (n , λ),

n − 1 v. a. uniformes, adicionales.Algorithm 12:

Generar U 1, . . . , U n ∼ U (0, 1);t ← − 1

λ log(U 1 · · · U n );

Generar V 1, . . . , V n −1 y ordenarlos de menor a mayor;X 1 ← t V 1;X 2 ← t (V 2 − V 1);...;X n −1 ← t (V n −1 − V n −2);X n ← t − t V n −1

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