1

Matemtica Para Ingeniera (MA261)

Clase Prctica 12.1

Temas: Matrices y Sistema de Ecuaciones lineales

1. Dadas las matrices: 3 0,5 5

1 1 3A

;

5 3 10

6 1 0

5 2 2

B

;1 3 2

3 1 4C

:

a. Determine AB .

11 12 13

2X3 3X3 2X3

21 22 23

5 3 103 0,5 5

. . 6 1 01 1 3

5 2 2

c c cA B A B C

c c c

11 21(3)(5) (0,5)(6) (5)( 5) 7 , (1)(5) ( 1)(6) (3)( 5) 16c c

12 22(3)( 3) (0,5)(1) (5)(2) 1,5 , (1)( 3) ( 1)(1) (3)(2) 2c c

13 23(3)(10) (0,5)(0) (5)(2) 40, (1)(10) ( 1)(0) (3)(2) 16c c

La respuesta que se obtiene al multiplicar las matrices es: 7 1,5 40

.16 2 16

A B

b. Determine el cofactor del elemento 32b .

3 2

32 32

5 10Cof ( ) 1 1

6 0b M

32Cof ( ) 5 . 0 10 . 6 60b

c. Determine el det B utilizando el desarrollo por cofactores.

1 1 1 2 1 31 0 6 0 6 1

det (5)( 1) 3 ( 1) 10 ( 1)2 2 5 2 5 2

B B

det 5 1 2 0 2 3 6 2 0 5 10 6 2 1 5B B

det 10 36 170 216B B

2

d. Determine 2 3A C .

6 1 10 3 9 6 9 10 42 3

2 2 6 9 3 12 11 5 6A D

Tener en cuenta, que la matriz D se multiplica por el escalar (-3) para que se evaluara como

suma de matrices.

e. AC T+I

Rpta:

1 33 0,5 5 1 0 6,5 11,5

3 11 1 3 0 1 8 9

2 4

TAC I

2. Dadas las siguientes matrices:

3 7 5

2 4 8

3 5 2

A

;

4 2

7 6

8 9

B

; 5 4 3

0 7 2C

a. Determinar BC .

4 2 20 2 165 4 3

7 6 35 14 330 7 2

8 9 40 95 6

a b c

BC d e f

g h l

donde se obtiene

los valores:

4 5 2 0 20 4 4 2 7 2 4 3 2 2 16a b c

7 5 6 0 35 7 4 6 7 14 7 3 6 2 33d e f

8 5 9 0 40 8 4 9 7 95 8 3 9 2 6g h l

b. Determinar el det( A ) utilizando el desarrollo por menores.

1 1 1 2 1 3

11 11 12 12 13 13det( ) ( 1) ( 1) ( 1)A a M a M a M

11 12

13

4 8 2 88 ( 40) 32 4 (24) 28

5 2 3 2

2 410 12 22 det ( 3)(32) (7)( 28) (5)( 22) 10

3 5

M M

M A

c. Existe la inversa de A ?

Como el determinante de la matriz A resulta -10 que es diferente de cero, por lo tanto, si

tiene matriz inversa.

3

d. Hallar la matriz inversa de CB

Multiplicando matrices

4 25 4 3 24 61

7 60 7 2 65 24

8 9

CB

| | 3389CB o sea existe la inversa de la matriz CB

luego

1

24 61

24 611 3989 3389

65 24 65 24| |

3389 3389

CBCB

Rpta:

3389

24

3389

653389

61

3389

24

3. Jordan Manufacturing tiene dos fbricas; cada una de ellas fabrica tres productos. El nmero de unidades del producto i producidas en la fbrica j en una semana est representado en la

matriz ija .

120 70

150 110

80 160

A

Si los niveles de produccin se aumentan en 10%, escriba los nuevos niveles de produccin

como una matriz B Cmo est relacionada B con A ?

Sea B: la matriz de los nuevos niveles de produccin

10% 0,10 1,1B A A A A A

120 70 132 77

1,1 . 150 110 165 121

80 160 88 176

B

La relacin de la matriz B con la matriz A, es la de un producto escalar por una matriz

4. Happy Valley Farms producen tres tipos de huevos: 1(grande), 2(extra grande), 3(gigante).el

nmero de docena de huevos i vendidos en el almacn j, est representado porija en la matriz A.

El precio por docena que Happy Valley Farms cobra por el tipo de huevo de tipo i est

representado por 1ib en la matriz B

100 60 $0,80

120 70 $0,85

200 120 $1,00

A B

4

a. Determine el producto TB A .

Como la matriz B es de orden 3x1, la matriz transpuesta TB , ser de orden 1x3:

T 1x3$ 0,80 0,85 1,00B Luego el producto deTB A es:

T 11 12

100 60

0,80 0,85 1,00 . 120 70

200 120

B A c c

Que llamaremos la matriz C

11 (0,80)(100) (0,85)(120) (1,00)(200) 382c

12 (0,80)(60) (0,85)(70) (1,00)(120) 227,5c

382 227,5C

b. Qu representa la matriz TB A?

La matriz TC B A donde 382 227,5C representa los ingresos netos por ventas

de huevos de los tres tipos realizados por cada uno de los dos almacenes el primer almacn tuvo

ingresos de 382 dlares y el segundo almacn tiene como ingresos 227,5 dlares.

5. Un contratista de obras ha convenido en construir seis casas estilo Campirano, siete casas estilo Techo de Dos Aguas y catorce casas estilo Colonial. El nmero de unidades de materia prima

que se requieren en cada tipo de casa se muestra en la matriz.

Acero Madera Vidrio Pintura Manodeobra

R

Campirano

DosAguas

Colonial

1358276

21910207

17714225

a. Escriba una matriz B de 1 3 que represente el nmero de cada tipo de casa que se construirn.

Sea 1x3B (la matriz de una fila y 3 columnas) que representa el nmero de casas a construir:

1x3

6 7 14B

Rpta: Se construirn 6 casas de estilo Campirano, 7 casas de estilo Dos Aguas y 14 casas de

estilo Colonial

b. Escriba un producto matricial que proporcione el nmero de unidades de cada materia prima necesaria para construir las casas.

Sea M la matriz de materiales:

1x5 1x3 3x5

5 22 14 7 17

. 6 7 14 . 7 20 10 9 21

6 27 8 5 13

M B R

Se obtiene 1x5 11 12 13 14 15M m m m m m dnde:

163614775611 m 650271420722612 m

5

26681410714613 m 175514977614 m

15 6 17 7 21 14 13 431m

1x5 1x5163 650 266 175 431M

Rpta: Para construir las casas se necesita 163 unidades de acero, 650 unidades de madera, 266

unidades de vidrio, 175 unidades de pintura y 459 personas que brinden la mano de obra

c. Suponga que los precios unitarios son hacer $1 600, la madera $900, vidrio $500, pintura $100 y mano de obra $1 000.Escriba una matriz C de 5x1 que represente los costos

unitarios de cada tipo de materia prima.

La matriz de costos unitarios es una matriz columna 5x1C

5x1

1600 Acero

900 Madera

500 Vidrio

100 Pintura

1000 Manodeobra

C

d. Escriba un producto matricial que proporcione el costo de cada casa

1600

5 22 14 7 17 52 500 Campirano900

. 7 20 10 9 21 . 56100 Dosaguas500

6 27 8 5 13 51 400 Colonial100

1000

R C

Rpta: El costo de cada casa sera $52 500 la casa estilo Campirano, $56 100 la casa estilo Dos

Aguas y $51 400 la casa tipo Colonial.

e. Calcule el producto BRC Qu representa la matriz?

Sea

1 3 3 5 5 1

1600

5 22 14 7 17 900

. . 6 7 14 7 20 10 9 21 . 500

6 27 8 5 13 100

1000

x x xT B R C

Multiplicando por partes; llamaremos:

1x5 1x3 3x5

5 22 14 7 17

. 6 7 14 . 7 20 10 9 21

6 27 8 5 15

M B R

1 5 1 5163 650 266 175 431x xM

6

Con este resultado; calculamos finalmente

1 1 1 5 5 1 111 5

5 1

1600

900

. 163 650 266 175 431 . 500

100

1000

x x x x

X

T M C t

Donde:

11 163 1600 650 900 266 500 175 100 431 1000 1427 300t Este nmero representa el costo total de la construccin de los tres estilos de casas.

Rpta: Esta matriz representa el costo total de la construccin de los tres tipos de casas que ejecuta el

contratista la cual es 1 427 300 dlares.

6. Si ijA a de orden 2 2 tal que jiaij y la matriz (det )B I A A donde I es la

matriz identidad. Hallar la matriz X tal que AX BA .

11 12

21 22

2 3;det( ) 1

3 4

a aA A

a a

1 0 2 3 3 3( 1)

0 1 3 4 3 5B

14 3 4 31

3 2 3 2| |A

A

De 1

4 3 3 3 2 3 3 3

3 2 3 5 3 4 3 5AX BA X A BA

Rpta: 3 3

3 5X

7. En la figura se muestra la cantidad de vehculos en una hora punta de un da hbil. Las flechas indica la direccin del flujo del trnsito en cada avenida; el promedio de vehculos que pasan por

cada cruce aparece a lado de cada calle. Sea x1, x2, x3, x4 el nmero de vehculos en el tramo que

se indica

7

Nota: Para evitar los congestionamientos todo el trfico que llega a un cruce debe salir

del mismo. a. Escribir un sistema de ecuaciones que garantice que no habr congestionamientos

Para evitar descongestionamientos, todo el trfico que llega a un crucero debe salir del mismo.

Aplicando esto a cada uno de los cuatro cruceros se obtienen las ecuaciones:

43

32

21

41

2000

1800

1300

1500

xx

xx

xx

xx

O en forma ms simple como:

1 4

1 2

2 3

3 4

1500

1300

1800

2000

x x

x x

x x

x x

b. Resuelva dicho sistema y diga que valores puede tomar dicho parmetro

Utilizando el mtodo de la matriz escalonada se obtiene

1 0 0 1 1500 1 0 0 1 1500

1 1 0 0 1300 0 1 0 1 200

0 1 1 0 1800 0 0 1 1 2000

0 0 1 1 2000 0 0 0 0 0

De la ltima expresin se pueden expresar tres de las variables, digamos 321 ,, xxx , en trminos de

4x . Al hacer tx 4 ( t es un parmetro), es posible escribir la infinidad de soluciones del sistema

como

tx

tx

tx

tx

4

3

2

1

2000

200

1500

Como 0,0,0,0 4321 xxxx , entonces 1000200 t , pues 4321 ,,, xxxx deben ser

todas no negativas.

Entonces el conjunto solucin es:

Ntttttt ,1000200/;2000;200;1500CS

c. Supngase que la parte de la calle 4 comprendida entre las avenidas 5 y 6 se repavimentar y que el flujo de trfico entre los dos cruceros se reducir a 300 vehculos por hora. Determinar

dos posibles flujos de trfico que garanticen un flujo suave del trfico.

En este caso 4 300x . De nuevo, al usar los resultados de b, se tiene el siguiente patrn de flujo,

con 3004 tx ,

1 2 3 41200, 100, 1700, 300x x x x

ste ser el nico flujo suave en el trfico, cuando el flujo se reduzca a 300 vehculos por hora.

8

8. Morgan tiene $ 50 000 para invertir y quiere recibir $ 5 000 de inters el primer ao. Pone parte en certificado de depsito que devengan 5,75% de RPA, parte en bonos que generan 8,7% de

RPA y el resto en un fondo de valores que generan 14,6% de RPA Cunto debe invertir a cada

tasa, si pone la menor cantidad posible en el fondo de valores?

Sea x: la inversin en dlares, en certificados de depsito. Con tasa r = 0,0575

sea y: la inversin en dlares, en bonos. Con tasa r = 0,0870

sea z: la inversin en dlares en un fondo de valores. Con tasa r = 0,1460

analizando las condiciones de inversin se tiene:

de la inversin total: 1 1 1 50 000x y z

total de intereses ganados: 00051460,00870,00575,0 zyx

las restricciones del problema son: 0; 0 ; 0x y z

tener en cuenta que z debe ser la cantidad menor posible

se tiene: (SEL):

1,000 1,000 1,000 50000

0,0575 0,0870 0,1460 5000

0,00 0,00 0,00 0

x y z

x y z

x y z

la matriz aumentada es:

50 0001 1 1

5 0000,0575 0,087 0,146

0 0 0 0

2100 R

50 0001 1 1

14,60 500 0005,75 8,70

0 0 0 0

Finalmente 2375,5 RR

500 0001 1 1

212 5002,95 8,850

0 0 0 0

Como el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones). La ltima fila sus

elementos son ceros.

Sea 95,2

90,500065

95,2

85,850021250021285,895,2;

tx

tyzytz

como: 00,0 xyt

95,01611090,56500030107,01124085,8212500 tttt

se tiene entonces. 30,0112495,01611 t . Como z = t y el menor valor posible se toma

z =11 016,95 dlares.

Evaluando se obtiene y = 38 983,05 y el valor de x = 0 (aprox.)

Rpta: Morgan debe invertir con la condicin de lo menor posible en el fondo de valores la cantidad

de11 016,95 dlares luego no realizar ninguna inversin en certificados de depsito y colocar

38 983,05 dlares en bonos.

9

9. Balancee la ecuacin qumica de la reaccin

5 11 2 2 2C H OH+O H O+CO

(Esta ecuacin representa la combustin del alcohol amlico)

5 11 2 2 2xC H OH+yO zH O+wCO

C :5

H :12 2 6

O : 2 2

x w

x z x z

x y z w

2 2 0

5 0

6 0

x y z w

x w

x z

Matriz ampliada

1 2 1 2 0 1 2 1 2 0

5 0 0 1 0 0 2 0 3 0

6 0 1 0 0 0 0 5 6 0

luego

2 2 0

2 3 0

5 6 0

x y z w

y w

z w

Es un sistema compatible indeterminado

Sea 6 3

; entonces , ,5 2 5

tw t z t y t x

Hacemos 10 2; 15; 12 y 10t x y z w

Rpta.: Balanceando sera

5 11 2 2 22C H OH 15O 12H O 10CO