CLASE  Nº1    

Propiedades  de  la  multiplicación  en  los  números  enteros    

 Objetivo  de  esta  clase:  Conocer  y    comprender  las  propiedades  de  la  multiplicación  en  los  números  enteros.      Para   esta   clase,   conoceremos   las   propiedades   que   se   presentan   a   la   hora   de  multiplicar  números  enteros.      Propiedad  1  :  Elemento  neutro  en  la  multiplicación:    Cuando  hablamos  de  un  elemento  neutro,  estamos  haciendo  alusión  a  un  número,  que  el   cual   cuando   lo   multiplicamos   por   un   número   entero   cualquiera,   el   resultado  siempre  será  ese  mismo  número  entero  cualquiera.  Este  número  (el  elemento  neutro)  es  el  1.  Veamos  unos  ejemplos:    

−3 ∙ 1 = −3            ;              1   ∙ 10 = 10           Número  entero       Número  entero  

N.  Entero       Elemento  neutro   Número  entero     Elemento  neutro        Como  vemos,  al  multiplicar  por  1  (el  elemento  neutro)  por  un  número  entero,  el  resultado  será  siempre  el  mismo  número  entero.      Propiedad  2:  Conmutatividad:    “El  orden  de  los  factores  no  alteran  el  producto”,  es  acá  donde  esta  popular  frase  matemática  entra  en  acción.  La  frase  nos  dice  que  no  importando  el  orden  en  que  multipliquemos  los  números,  el  resultado  siempre  será  el  mismo.  (Siempre  aplicando  la  regla  de  los  signos  vista  anteriormente)    Veamos:  

−8 ∙ −5 = −5 ∙ −8 = 40    

20 ∙ −3 = −3 ∙ 20 = −60    

10 ∙ 20 = 20 ∙ 10 = 200  

Propiedad  3  :  Asociatividad:      Esta  propiedad  nos  dice  que  podemos  agrupar  (juntar,  ordenar)  los  números  de  la  forma  que  queramos,  multipliquemos  y  el  resultado,  independiente  del  orden,  será  siempre  el  mismo.      Veamos:      

   Como  se  puede  apreciar,  podemos  multiplicar  dos  números  en  cualquier  orden  para  luego  ese  resultado  multiplicarlo  por  el  número  restante,  y  el  resultado  se  mantendrá.      Propiedad  4:  Distributividad  en  la  multiplicación.    En  esta  propiedad,  se  harán  presentes  dos  operaciones  (  la  suma  o  resta  y  la  multiplicación)  en  donde,  la  suma  (o  resta)  estará  dentro  del  paréntesis  y  la  multiplicación  fuera.  La  regla  nos  dice  que  podemos  multiplicar  el  número  de  afuera  del  paréntesis  por  cada  uno  de  los  números  dentro  de  este.      Veamos:      

   Podemos,  entonces,  resolver  lo  que  está  dentro  del  paréntesis  y  luego  multiplicar  por  el  número  que  está  afuera,  o  también,  multiplicar  el  número  de  afuera  por  cada  uno  de  los  números  dentro  del  paréntesis,  y  el  resultado  no  variará.      Propiedad  5  :  Clausura.    La  última  propiedad  es  la  más  simple  y  lógica  de  todas,  en  donde  se  nos  señala  que  el  resultado  de  una    multiplicación  entre  dos  números  enteros,  tendrá  como  resultado  un  número  entero  siempre.        Cuadro  de  resumen  de  las  propiedades:    Propiedad   Definición   Algebraicamente   Ejemplo  con  números  Clausura   Si  multiplicamos  

números  enteros,  el  resultado  será  siempre  un  número  entero  

𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑐;    𝑎, 𝑏  𝑦  𝑐  𝑠𝑜𝑛  𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠  𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠          

 

(−3)   ∙ 5 = −10  (−10) ∙ 7 = −70    

 

Conmutatividad   El  orden  de  los  números  que  multiplicamos  (factores)  no  altera  el  producto  (su  resultado)  

𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎    𝑎  𝑦  𝑏  𝑠𝑜𝑛  𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠  𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠      

(−4  ) ∙ 5 =  5 ∙ −4 =  

 20      

Elemento  neutro   Es  un  número  (en  este  caso  el  1)  que  al  ser  multiplicado    con  un  número  entero,  el  resultado  siempre  será  el  mismo  número  entero.    

𝑎 ∙ 1 = 1 ∙ 𝑎 = 𝑎    

𝑎  𝑒𝑠  𝑢𝑛    𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜  𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜                

−12 ∙ 1 =  1 ∙ −12  = −12    

Distributividad   La  propiedad  distributiva  establece  que  multiplicar  una  suma  por  un  número  da  el  mismo  resultado  que  multiplicar  cada  sumando(  o  número  que  se  suma)  por  el  número  y  después  sumar  todos  los  productos.    

𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎   ∙ 𝑐    𝑎  , 𝑏    𝑦  𝑐  𝑠𝑜𝑛  𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠  𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠  

2   ∙ 5− 7 =  (2 ∙ 5)+ (2   ∙ (−7) =    

−4  

Asociativa   La  forma  en  que  se  agrupan  los  números    no  altera  el  resultado  

𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 =  𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐)    𝑎  , 𝑏    𝑦  𝑐  𝑠𝑜𝑛  𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠  𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠  

8 ∙ (−  4) ∙ 3 =  −96  8 ∙ −4 ∙ 3 = −96      

   Ejercicios:  Identifica  la  propiedad  y  entrega  el  resultado  en  las  siguientes  multiplicaciones:      Ejercicio   Propiedad   Resultado  

10 ∙ 8 ∙ −2 = 10 ∙ (8   ∙ (−2))      

   

(−100) ∙ 1 = 1 ∙ (−100)      

   

5 ∙ 6+ 14 = 5 ∙ 6 + 5   ∙ 14 =    

   

20 ∙ 1 = 1 ∙ 20      

   

−50 ∙ −3 = −3 ∙ −50 =      

   

−12 ∙ 4+ −8 =    ((−12) ∙ 4)+ ((−12)   ∙ (−8))=