PowerPoint Presentation

1Un nmero complejo z es un par ordenado de nmeros reales x e y, escrito como:

z = (x,y)(Notacin en componentes o coordenadas cartesianas). x se llama la parte real de z: Re(z) := xy se llama la parte imaginaria de z: Im(z) :=yDos nmeros complejos son iguales si y slo si sus partes reales e imaginarias son iguales:(x1,y1) = (x2,y2) sii x1= x2 , y1= y2

El conjunto de nmeros complejos, se denota por C:(William R. Hamilton)2(0,1) se llama la unidad imaginaria y se denota por:

(Los ingenieros elctricos a menudo usan j para evitar confusiones con el smbolo i, que asocian a la intensidad elctrica).Si x = 0 (z = i y), entonces z se dice que es un imaginario puro. Si y = 0 (z = x), entonces z se comporta como un nmero real.z = x + i yUn nmero complejo z = (x,y) se escribe comnmente como (notacin algebraica o binmica, afijo en textos de antao):

3Suma y producto de nmeros complejosSuma

ProductoSean:

Parte realParte imaginariaEn la facultad tenamos un profesor cojo al que llambamos el complejo.Tena una pierna real y otra imaginaria.Memorias de un estudiante de matemticas4

(1)(2)Ejemplos:De modo que podemos sustituir siempre:

Esto nos permite una manera prctica de operar. Por ejemplo:

5Calcular: Re(z1) = 18, Re(z2) = -7Im(z1) = 3,Im(z2) = 2z1+z2 = 11 + 5i,z1-z2 = 25+iz1z2 = (18+3i)(-7+2i) = -132 + 15iEjemplo:Sean z1=18 + 3i z2 = -7 + 2iEjercicioSea Z1=4-2i y Z2=3+5iDeterminar.a) Re(x)b)Im(z)c)Z1+Z2d)Z2-Z1e)Z1Z27Complejo conjugadoEs sencillo demostrar que:El complejo conjugado de un nmero complejo z = x + i yse define como:

8

Por ejemplo:

9

Observemos que:En la prctica, obtenemos el cociente de dos nmeros complejos z1 / z2 multiplicando el numerador y denominador de por el complejo conjugado de z2.

10

(1)(2)Ejemplos:

Sean de nuevo: z1=18 + 3i z2 = -7 + 2i

12

A pesar de la sencillez del conjugado y sus propiedades, nos permite demostrar fcilmente cosas como esta:Un nmero es trascendente (o trascendental) si no es raz de ningn polinomio (no nulo) con coeficientes enteros (o racionales). En este sentido, nmero trascendente es antnimo de nmero algebraico (Wikipedia).

13

14

Sol.:

Sol.:

Demuestra el teorema del binomio para nmeros complejos:donde n es un entero positivo.Sugerencia: Usa induccin.15

El plano complejo (Plano z, de Argand o de Gauss)Mdulo:Tambin llamado valor absoluto(el mdulo de un real es su valor absoluto)Argumento:

Eje realEje imaginarioPara z = 0, el ngulo no est definido.

El argumento est multivaluado.Argand: Jean Argand - a librarian in Paris, published paper on complex plane in 180616

Ejemplo:Dibujar el nmero complejo z = -3-2i en el plano complejo y evaluar mdulo y argumentoMdulo:Argumento:

La calculadora no distingueEl argumento est multivaluado.17

Determinacin o valor principalEjemplo: supongamos quePara que sea nico, basta con imponer la condicin adicional de que pertenezca a un cierto intervalo semiabierto I de longitud

Escoger este intervalo I se conoce como tomar una determinacin del argumento.Se denomina determinacin principal ovalor principal a Arg z, el valor de en el rango: 18

20Ejercicio:

Grficamente el conjugado es una reflexin respecto al eje real.

23

Sol.:

Sol.:

27Suma y resta de nmeros complejos en el plano complejo

En la suma (y la resta) los nmeros complejos se comportan como vectoresPrueba que si |z1| = |z2| = |z3| y z1 + z2 +z3 = 0, entonces estamos hablando de los vrtices de un tringulo equiltero.Sugerencia: Muestra que |z1-z2|2 = |z2-z3|2 = |z3-z1|228

C con la suma y el producto por un escalar posee estructurade espacio vectorial, isomorfo a R2. El conjunto {1, i} es base de ese espacio. Y podemos identificar C con los vectores libres del plano R2. Pero recordemos que C tiene algo ms: el producto complejo.29Desigualdad triangularEl mdulo de z es equivalente a la distancia euclidiana del vector libre (x,y).La distancia entrez1 y z2 es |z1-z2|. As disponemos de un espacio mtrico donde podemos definir lmites, continuidad, ...

Qu significa que |z1| > |z2|? 31

Demostremos la desigualdad triangular:Extrayendo la raz cuadrada (recordemos que el mdulo es siempre positivo), la desigualdad triangularqueda demostrada.

32Podemos generalizar la desigualdad triangular:

Ejercicio: Demostrar por induccin. Hemos demostrado que es cierto para n = 2.Supongamos que es cierto para n y demostremos que entonces es tambin cierto para n+1.Ejercicio: Demostrar que

Ejercicio: Demostrar que

33

A partir de las coordenadas polares (r,) tenemos:Forma polar y trigonomtricaUtilizamos el argumento principal

Forma polarForma trigonomtrica

En ingeniera:34

argumento:

Ejemplo:Escribir el siguiente nmero complejo z1=1+i, en forma polar y trigonomtrica:mdulo:

35

Argumento:

Ejemplo:dem para z2=-1-i :Mdulo:Nota: tan(1) = tan(2) = 1, pero z2 est en el tercer cuadrante, as que 2 = -3/4.

36

Dos nmeros complejossern iguales sii:

37

38Propiedades del argumento

Recordemos que el argumento est multivaluado:39

Usemos las relaciones trigonomtricas siguientes para la suma de ngulos:Obtenemos que:40

Tengamos en cuenta que arg z es un conjunto. Y en general dado un conjunto A, A+A no es igual a 2A. Por ejemplo:

41Hemos demostrado en particular que para z1= z2 = z:

Pero recordemos que en general:

Observemos que, sin embargo, para el argumento principal:

As que, en general:

42Ejercicio: demostrar que

Y que en general:43

Multiplicacin en forma trigonomtricaEn realidad ya tenemos la solucin a partir de las propiedades del argumento:

44

Producto de nmeros complejos en el plano complejo45

Producto de nmeros complejos en el plano complejo1

Observa que los tringulos azul y rojo son semejantes. 46Potencias de i

Por ejemplo:47

48Qu significa un nmero complejo?Bus parado en el semforo (arrancando)T corriendo para pillarlodvax = 0

Alcanzar el bus en T:

T es un tiempo complejo y no alcanzars el bus. Pero adems tiene significado fsico... Supn que hay dos soluciones reales. Qu significan T+ y T-?Y si hay una nica solucin real?

Si:49

En que instante s es mnimo?

Es decir: el tiempo correspondiente a la parte real del tiempo complejo T.y queremos saber en qu momento estuvimos ms cerca...

Supongamos que perdemos el bus:

50

Relatividad especial: la importancia de iDistancia espacial (teorema de Pitgoras)Mtrica euclidianaInvariancia frente a rotaciones y/o translacionesAlbert Einstein(1879 1955)51

Transformaciones de GalileoTransformaciones de Lorentz

52En vez de hablar de distancia entre eventos (posiciones) en el espaciotridimensional, los fsicos hablan de intervalos entre eventos en el espacio cuatro-dimensional espaciotiempo. Parece razonable definir la mtrica de ese espaciotiempo como:

Pero es incorrecto! La mtrica as definida no es invariante bajo las transformaciones de Lorentz. Para comprobarlo, supn que el movimiento es solo en el eje x, y calcula:

Por ejemplo:53Cmo hacer (ds)2 invariante? Lo que Minkowski descubries que en vez de usar c(dt) debemos tomar ic(dt).

Demostrar que de esta manera (ds)2 es invariante bajo las transformaciones de Lorentz. Observa que usando ic(dt) o lo que es lo mismo c(idt), tenemos un tiempo imaginario!

Las consideraciones sobre el espacio y el tiempo que quisiera presentarles surgieron en el seno de la fsica experimental, y en ello radica su fuerza. Son radicales. De ahora en adelante el espacio en s mismo y el tiempo en s mismo estn condenados a ser sombras; slo un tipo de unin entre los dos conservar una realidad independiente.Hermann Minkowski(1864 1909) 54Sean z1 = r1(cos1+i sin1) yz2 = r2(cos2+i sin2).Queremos z = z1/z2. Entonces: z z2 = z1.De modo que: |z z2| = |z| |z2| = |z1||z| = |z1|/|z2|arg(z z2) = arg(z) + arg(z2) = arg(z1)arg(z) = arg(z1) - arg(z2)As que: Pensemos que la divisin es la operacin inversa del producto:z1/z2 = (r1/r2)[cos(1-2)+i sin (1-2)]Divisin en forma polar55

Divisin de nmeros complejos en el plano complejo

56

Ejemplos:(1) Usando la forma trigonomtrica, evaluar:

(2) dem para:

57Frmula de Moivre Potencias enteras de complejos en forma polar:

Abraham de Moivre (1667 - 1754)Ejercicio: Demostrar por induccin.58

El teorema de Moivre es una mquina de generar identidades trigonomtricas. Por ejemplo:Igualando las partes reales e imaginarias:

59Otra manera ingeniosa de derivar identidades trigonomtricas:

60

Por ejemplo:

61Ejercicio: Sumar

En teora de series de Fourier la funcin Dn(x) se llama ncleo de Dirichlet.

62Si z = wn, entonces w se llama la raz ensima de z y podemos escribirla como:que posee n distintos valores. Es decir nz est multivaluada. Sean w = R(cos + i sin), z = r(cos + i sin)Entonces por el teorema de Moivre: wn = Rn[cos(n) + i sin(n)] = r(cos + i sin)r = Rn, o R = nryn = +2ko = /n + 2k/n tomando los valores k = 0,1,...., n-1, obtendremos las n races.

Races de zPor qu solo hasta n-1?63

donde

Los n valores se equireparten en un crculo de radio nr con centro en el origen, constituyendo los vrtices de un polgono regular de n caras.El valor de nz obtenido al tomar el valor principal de arg(z) y k = 0 en la frmula de arriba se asume como valor principal de w = nz Resumiendo:64Encontrar la raz cuarta de z = 1 + i.Con r = 2 , = arg z = /4; tenemos:

65Ejemplo: races de la unidad

EcuacinciclotmicaEjercicio: Encuentra las races cbicas de 1 - i66Ejercicio: Sea zk cualquier raz ensima de la unidad, prueba que:

Nota: Si 1, z1, z2, ..., zn-1 son las races de la unidad, demuestra:

Sol.:

Sol.:

67

Igualando las partes imaginariasUn producto infinito para :

Elevando al cuadrado a ambos lados:

68

(Aplicamos el resultado encontrado al ngulo mitad. )Aplicndolo reiteradamente...

Un producto infinito para :

69

Producto infinito de Vite para

Dividiendo la igualdad entre :

70

Usando reiteradamente en el producto infinitoTomando = /4:71Potenciacin de exponente racional Sean mZ , n N , con nm, primos entre s. Se define mnnmzz=1 Si ()jjisenrz+=cos, entonces: p+j+p+j=)k2(nmseni)k2(nmcosrznmnm con 1n,...,1,0k-=. Los n valores ( para 1,...,1,0-=nk) son distintos. Supongamos que para k y 'kse obtuviese el mismo n complejo. Sera entonces: ()()ppjpjpknmknm22'2++=+, es decir: pnmknmk+='. O sea, )'()'(kkmpnkknmp-=-= Como m y n son primos entre si, todo factor de n deber estar en kk-', es decir kkn-'. Imposible puesnkk