Secciones CnicasJc.huertas

Versin Preliminar

Secciones CnicasEl tema de las secciones cnicas no pertenece a la geometra elemental.El tratamiento ms antiguo que ha llegado hasta nosotros es el que aparece en las Cnicas escrito por Apolonio de Perga, en el siglo II a.C.

Secciones CnicasUna SECCION CONICAes la curva que se traza sobre un cono, al ser intersectado por un plano.

Dada una recta D (directriz) y un punto F (foco) que no est en D, una cnica es el lugar geomtrico de todos los puntos P tales que su distancia al foco entre su distancia a la directriz es constante. Esta constante se llama excentricidad.Dentro de la Geometra Analtica, las cnicas estn dadas por ecuaciones, que corresponden a la traduccin analtica de un lugar geomtrico descritosintticamente.

Dada la directriz y el foco , la relacin

define la cnica de excentricidadLa recta , perpendicular a la directriz y que pasa por el foco es eje de simetra

Cuandola distancia al foco esjustamente igual a ladistancia la directriz,la cnica se llama parbola.es decir,

PARABOLASEn la figura de la izquierdase trazaron parbolas con foco en el origen y directrices x = 1x = 2x = 3Notemos que, a medida que la directriz se aleja del foco, la parbola se abre

Ecuacin de una parbola con foco y directriz Como PF = PQ,Por lo tanto,Simplificamos,

Dada la directriz y el foco F y la relacincon e < 1, describe la cnica que se llama elipse, pues ladistancia al foco se queda corta con respecto a la distancia a la directriz.

Ecuacin de una elipse con foco F(0,0) , excentricidad e = 1/2 y directriz x = 1Como 2PF = PQ,Por lo tanto,Simplificamos,

ELIPSESEn la figura de la izquierdase trazaron elipses con excentricidad .6, foco en el origen y con directrices x = 1x = 2x = 3x = 4Notemos ahora que a medidaque la directriz se aleja del focola elipse se agranda sin cambiarde forma

Dada la directriz y el foco F y la relacincuando e > 1, es decir la distancia al foco excedela distancia a la directriz, la cnica se llama hiprbola.

En la grfica queest a la izquierdaaparecen las cnicas con directrizy con excentricidadescon foco

Algunas consideraciones sobre cnicas con excentricidad distinta de 1.Una cnica con e 1, tiene dos puntos sobre el eje de simetra.Para obtenerlos, debemos resolver el sistema de ecuaciones

Algunas consideraciones sobre cnicas con excentricidad distinta de 1.Deobtenemos es decir,

Algunas consideraciones sobre cnicas con excentricidad distinta de 1.Las expresiones:producen dos puntos si

Algunas consideraciones sobre la elipse.Cuandolos puntosestn del mismo lado de la directriz. El punto medioes un centro. La rectaes un eje de simetra

Algunas consideraciones sobre la elipse.Obtenemos un nuevo focoy una nueva directriz:simtricos, respectivamente,de y de conrespecto al eje de simetra

Algunas consideraciones sobre la elipse.Un punto P sobre la elipsesatisface, por una partey por la otraPor lo tanto:

Algunas consideraciones sobre la elipse.La relacines decir, da una definicin alternativa deelipse:

Algunas consideraciones sobre la elipse.Una elipse es el lugar geomtrico de los puntos tales que la suma de las distancias a dos puntos dados, llamados focos, es constante.

Algunas consideraciones sobre cnicas con excentricidad .En este caso :estn en lados opuestos dela directriz. Por simetra apareceotro foco y se obtiene, esta vez, que la diferencia de las distanciasa los focos es constante.