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8/16/2019 Clase 3 distribucion normal
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEHUANCAVELICA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIAELECTRONICA
ESTADISTICA PARA INGENIERIA
DISTRIBUCIÓN NORMAL
MSC. ING. JAVIER HERRERA MORALES
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La mayoría de las variables aleatorias que se presentan en los
estudiosrelacionados con las ciencias sociales, físicas y
biológicas, por ejemplo, el pesode niños recién nacidos, talla de
jóvenes de 18 años en una determinada
región, son continuas y se distribuyen según una función de
densidad , quetiene la siguiente epresión analítica !
"onde μ es la media de la variable aleatoria y
σ es su desviación típica# $stetipo de variables se dice
que se distribuye normalmente# $l %rea bajo lafunción de densidad
es 1#
La función de densidad, en el caso de la distribución
&ormal, tiene forma de
campana !
"'()*'+-'.& &/*0L
2
2
1
2
1)( e
x
x f
−−= σ
µ
π σ
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Es un ejercicio interesante comprobar que ésta alcanza un único
máximo
(moda) en , que es simétrica con respecto al mismo, y por
tanto
con lo cual en coinciden la media, la mediana y la moda.
La mayor parte de los hechos de probabilidad (área comprendida
entre la
cura y el eje de abscisas) se encuentra concentrado alrededor de
la media,
y las ramas de la cura se extienden asint!ticamente a los ejes,
de modo
que cualquier alor ""muy alejado# de la media es posible (aunque
poco
probable).
La $orma de la campana de %auss depende de los parámetros y
&
"'()*'+-'.& &/*0L
[ ] [ ]2
1=≥=≤ µ µ
X P X P
indica la posici!n de la campana
(parámetro de centralización)
será el parámetro de dispersión. Cuanto menor
sea, mayor cantidad de masa de probabilidad
habrá concentrada alrededor de la media
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( )
∫ −
=
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"'()*'+-'.& &/*0L
-omo el c%lculo de esta integral es laborioso, para calcular el
%rea se reali6a elsiguiente cambio de variable!
σ
µ −
=
X
Z
$ste cambio origina una distribución normal est%ndar de
media μ = 0 ydesviación típica σ = 1 cuya función de
densidad es !
2
2
1
2
1)(
e
x
x f
−−
= σ
µ
π σ
7 cuyosvalores setabulan !
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PRACTICA
1)Hallar, la P(z1.!")#$.%&!'")Hallar, la
P(1.!")#1*$.%&!'# $.$+&
&)P($1.!")#$.%&!'*$.!#$.&!'
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) Hallar P($$)# $.%-"1*$.!#$.-"1
!) D/r02ar l 3al4r 5 , 678a 9r4:a:l5a5 ; 0a84r a $."!
P(C)#$."!< 5 la /a:la 5/r02a04;
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I2/r94la254
+) Hallar la 9r4:a:l5a5 2/r $." 8 1.') Hallar l 3al4r 5
#C, 678a 9r4:a:l5a5 ; $.%!
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Ejemplo '&
C42;5r04; =7 l 9;4 5 l4; 2>4; 3ar42; ;9a>4l; 2 l 0402/4
5l2a602/4 ; 5;/r:78 24r0al02/.S ;a:04; =7 l 9;4 054 2 l 0402/4 5
2a6r ;42 3,25 kgs 8 la
5;3a6?2 /@96a ; 5 ,!2 kgs, 6al ; la 9r4:a:l5a5 5 =7 l 9;4 5
722>4 3ar?2 al 2a6r ;a ;79r4r a ;
T96a04; la 3ara:l ala/4ra " , 9;4 5 l4; 2>4; al
2a6r. E2 l 9r46;4 5 /96a6?2, al 3al4r 5 "#$, l 64rr;9425
l 3al4r, z#,%&$'
9146.082.0
25.34
=−=−= σ µ X
z
$,%1+$
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E2 la /a:la 5 la distribución normal tipiicada, :7;6a04; l 3al4r
5 64rr;94252/ al 3al4r 5 z#,%&$' < la
9r4:a:l5a5 5 z * ,%&$' ;,
18,0)9146,0()4( =>=>
z p X p
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El *+ de la poblaci!n tiene
un peso comprendido en el
interalo '-,,'',/0.
75,181175)10675,0(10
175675,0 =+•=⇒−= X
X
P4r l4 /a2/4 ; 5;/96a04;
C404 ; ;0K/r6a la 5;/r:76?2, l 3al4r =7 24; 5a l "! 94r5:a4 ;
*$,+'!
25,168175)10675,0(10175675,0 =+•−=⇒−=−
X X
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La 9a2a5r@a Ml2 la:4ra 9za; 5 9a2, la l42/75 5 72a9za ; 5;/r:78
2 4r0a 24r0al 642 72a 05a 5 1!62 872a 3ara2za 5 "."! 60", 5/r02a)
La 9r4:a:l5a5 5 =7 72a 9za 65a l4; 1-60:) La 9r4:a:l5a5 5 =7 la;
9za; 5 9a2 ;/K2 2/r 1& 81'60.
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S 975 504;/rar (teorema central del l1mite) =7 72a 3.a.
5;6r/a 6425;/r:76?2 :240al,
; 975 a9r40ar 05a2/ 72a 5;/r:76?2 24r0al ; n ; ;762/02/ra25
8 p 24 ;/ 2 078 9r?04 a $ 2 a 1. C404 l 3al4r ;9ra54 8
la3ara2za 5 X ;42 r;96/3a02/ 29 8 29=, la a9r40a6?2
642;;/ 2 56r=7
El 642324 =7 ; ;7l 7/lzar 9ara 945r ralzar ;/a a9r40a6?2 ;
a72=7 2 ral5a5 ;/a 24 5a r;7l/a54; 078 9r6;4; a 024; =7 ral02/n
;a 72 3al4r 078 ra25 8
"'()*'+-'.& &/*0L#proimación de una +inomial a la
&ormal
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Ejemplo. D7ra2/ 6r/a 950a 5 r9, 2r0a l &$ 5 la 94:la6?2.
E272 a7la 642 "$$ ;/75a2/; 5 M562a, 67l ; la 9r4:a:l5a5 5 =7 al024;
$ 9a5z6a2 la 2r05a5 Cal67lar la 9r4:a:l5a5 5 =7 a8a +$;/75a2/; 642
r9.
La 3.a. =7 642/a:lza l 20r4 5 al7024; =7 9a56 la r9 ;
678a 05a ; µ#"$$$,+$ 8 678a σ2 #"$$$,&$'#"
Ralzar l4; 6l67l4; 642 la l8 :240al ; 078 24rr4;4, 8a =7
2/r322
20r4; 640:2a/4r4; 5 ra2 /a0a>4, 8 94/26a; 078 l3a5a;. P4r
ll47/lza04; la a9r40a6?2 24r0al 5 X , /2254 2 672/a =7 ;
3r6a2 la;6425642; 26;ara; 9ara =7 l rr4r ;a a69/a:l
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C42 72a N(+$< +,-)T96a254
B7;6a04;
P4r ;0/r@a
P4r ;76;4 642/rar4
B7;6a254 2 la /a:la
09,348,6
6040−=
−=
−=
σ
µ X z
)09,3()09,3(
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T96a254
B7;6a04;
P4r ;0/r@a
B7;6a254 2 la /a:la
09,348,6
6040−=
−=
−=
σ
µ X z
)09,3()09,3(
