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7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
1/66
Aplicacin de un experimento
Mejorar el rendimiento de un proceso
Reducir la variabilidad del proceso yacercarlo a los requerimientosnominales
Disminuir el tiempo de diseo ydesarrollo
Disminucin de costos de operacin
87Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
2/66
Aplicaciones de un experimento
Evaluacin y comparacin deconfiguracines de diseo bsicas
Evaluacin de materiales diferentes
Seleccin de parmetros de diseo
Determinacin de los parmetros dediseo importantes.
88Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
3/66
Actividades de un experimento
Conjetura : la hiptesis original que motiva el
experimento Experimento : prueba efectuada para
investigar la conjetura
Anlisis : anlisis estadstico de los datos
obtenidos del experimento Conclusin : lo que se ha aprendido de la
conjetura original con la realizacin delexperimento.
89Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
4/66
Anlisis de la varianza Las frmulas para el clculo de las sumas de los cuadrados
para el anlisis de la varianza con muestras del mismo tamaoen cada tratamiento son :
Sea:
N
residualcuadradosdesuma
yyss
Nyyyy
a
i
n
jijT
a
i
n
jij
2
1 1
2
1 1
:
/
90Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
5/66
Anlisis de la varianzaSea:
ssssss
yyss
nyyyy
osTratamientTE
a
i
i
osTratamient
i
n
jiji
obtieneseerrordelcuadradosdesumaLa
Nn
osTratamientcuadradosdesuma
i
2
1
2
1
:
/
91Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
6/66
Media de cuadrados
1 aSSMSoTratamient
oTratamient
)1( naSSMS EE
92Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
7/66
Anlisis de la varianzaFuente devariacin
Suma decuadrados
Grados delibertad
Media decuadrados
F0
Tratamientos SSTratamientos a-1 MSTratamientos
Error SSE a(n-1) MSE
Total SST an-1
E
oTratamient
MSMS
93Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
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EjercicioUn fabricante de papel de bolsas para caramelos, est
interesado en mejorar la resistencia a la tensin del producto.Los Ingenieros piensan que esta resistencia es una funcin
de la concentracin de madera dura en la pulpa, y que elrango de inters prctico de concentraciones est entre 5 y 20%. El equipo decide investigar cuatro niveles deconcentracin: 5, 10, 15 y 20%. Para ello deciden fabricar seisespecmenes de prueba para cada nivel de concentracinutilizando una planta piloto. Los 24 especmenes se someten aprueba en un probador de tensin de laboratorio, en un ordenaleatorio. Los datos se presentan en la Tabla:
94Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
9/66
Tabla resistencia del papel a la
tensin
Con.Mad.
1 2 3 4 5 6 Tot Pro
5 7 8 15 11 9 10 60 10.00
10 12 17 13 18 19 15 94 15.67
15 14 18 19 17 16 18 102 17.00
20 19 25 22 23 18 20 127 21.17
383 15.9695Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
10/66
Anlisis de la varianzaFuente devariacin
Suma decuadrados
Grados delibertad
Media decuadrados
F0
Tratamientos 382.79 3 127.60 19,60
Error 130,17 20 6,51
Total 512,96 23
96Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
11/66
Diseo aleatorizado por bloques completos
El procedimiento general para el diseo aleatorizadopor bloques completos consiste en seleccionar bbloques y realizar una rplica completa delexperimento en cada uno de ellos
Supngase que se tiene inters en un solo factor quetiene aniveles , y que el experimento se efecta en bbloques. Las observaciones pueden representarsecon el modelo estadstico lineal
ijjiij uy
97Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
12/66
Anlisis de la varianza de un diseo aleatorizado por
bloques completos
Las frmulas para el clculo de las sumas de los cuadradospara el anlisis de la varianza para el diseo aleatorizado porbloques completos son :
Sea:
abb
otratamientcuadradosdesuma
ab
totalcuadradosdesuma
yyss
yyss
Nyyyy
a
iioTratamient
a
i
b
jijT
a
i
n
jij
2
1
2
2
1 1
2
1 1
1
:
:
/
98Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
13/66
Anlisis de la varianza de un diseo aleatorizado por
bloques completos
Sea:
ssssssss
yyss
nyyyy
Bloq uesosTratamientTE
b
j
jBloq ues
i
n
jiji
obtieneseerrordelcuadradosdesumaLa
aba
Bloquescuadradosdesuma
i
2
1
2
1
1
:
/
99Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
14/66
Media de cuadrados
1 aSS
MSoTratamient
oTratamient
)1()1(
ba
SSMS
E
E
1
b
SSMS
Bloques
Bloques
100Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
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Anlisis de la varianza de un diseo aleatorizado por
bloques completosFuente devariacin
Suma decuadrados
Grados delibertad
Media decuadrados
F0
Tratamientos SSTratamientos a-1 SSTratamientos
a-1
Bloques SSBloques b-1 SSBloques
b-1
Error SSE (a-1)(b-1) SSE
(a-1)(b-1)
Total SST ab-1
E
oTratamient
MS
MS
101Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
16/66
EjercicioSe realiza un experimento para determinar el
efecto de cuatro sustancias qumicas diferentessobre la resistencia de una tela. Las sustancias se
emplean como parte del proceso terminal delplanchado permanente. Para ello se escogen cincomuestras de tela y se aplica un diseo aleatorizadopor bloques completos mediante la prueba de cadasustancia en un orden aleatorio sobre cada una de
las muestras de tela. Los datos aparecen en latabla. Se probar la diferencia en las mediasutilizando para ello el anlisis de varianza con=0,01
102Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
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Tabla datos de resistencia de la tela ; diseo
aleatorizado por bloques completos
Totales por Promedios por
Sustancia Muestra de tela Tratamiento Tratamientos
1 2 3 4 5 Yr
1 1.3 1.6 0.5 1.2 1.1 5.7 1.14
2 2.2 2.4 0.4 2.0 1.8 8.8 1.76
3 1.8 1.7 0.6 1.5 1.3 6.9 1.38
4 3.9 4.4 2.0 4.1 3.4 17.8 3.56
Totales por Bloque 9.2 10.1 3.5 8.8 7.6
Promedios por Bloque 2.30 2.53 0.88 2.20 1.90)(96.1 y
)(2.39 y
103Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
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Anlisis de la varianza para el diseo aleatorizado por
bloques completos
Fuente devariacin
Suma decuadrados
Grados delibertad
Media decuadrados
F0
Tratamientos 18.04 3 6.01 75.13
Bloques 6.69 4 1.67
Error 0.96 12 0.08
Total 25.69 19
104Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
19/66
Anlisis de la varianza para el modelo factorial con dos
factores, efectos fijos
El tipo ms sencillo de experimento factorial es aqueldonde intervienen slo dos factores, A y B porejemplo. El factor A tiene a niveles, mientras que el
factor B tiene b niveles. Las observaciones puedendescribirse con el modelo estadstico lineal
nk
bjYai
ijkijjiijk
,...,2,1
,...,2,1)(,...,2,1
105Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
20/66
Anlisis de la varianza para el modelo factorial con dos
factores, efectos fijos Sea:
bj
y
yyY
aiy
yyY
bjy
yyY
aiy
yyY
a
abn
n
an
bn
i
n
kijk
b
j
ij
ijijk
n
kij
a
i
n
k
j
jijkj
b
j
n
k
i
iijki
,...,2,1
,...,2,1
,...,2,1
,...,2,1
1 11
1
1 1
1 1
106Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
21/66
Anlisis de la varianza para el modelo factorial con dos
factores, efectos fijos Las frmulas para el clculo de las sumas de los cuadrados en
un anlisis de varianza con dos factores :
ssssssssss
SSSSyy
ss
yy
ss
yyss
yySS
BAABTE
BA
ijb
j
a
iAB
jb
jB
ia
iA
a
i
n
kijk
b
jT
abnn
abnan
abnbn
abn
22
11
22
1
22
1
1 1
2
2
1
107Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
22/66
Anlisis de la varianza para el modelo factorial con dos
factores, efectos fijosFuente de variacin Suma de
cuadradosGrados delibertad
Media de cuadrados F0
Tratamientos A SS A a-1 SS AMS A =
a-1
MS A
MS E
Tratamientos B SS B b-1 SS BMS B =
b-1
MS B
MS E
Interaccin SS AB (a-1)(b-1) SS ABMS AB =
( a-1)(b-1)
MS AB
MS E
Error SS E ab (n-1) SS EMS E =
ab (n-1)
Total SS T abn-1
108Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
23/66
EjercicioSe aplican pinturas tapaporos para aeronaves en
superficies de aluminio con dos mtodos deinmersin y rociado. La finalidad del tapaporos es
mejorar la adhesin de la pintura y puede aplicarsea algunas partes utilizando cualquier mtodo elgrupo se ingeniera se encuentra interesado ensaber si existen diferencias entre tres tapaporos
diferentes. Los datos de este experimento seencuentran en la siguiente tabla.
109Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
24/66
Tabla datos de fuerza de adhesin
Tipo de tapaporos Inmersion Rociado
1 4.0,4.5,4.3 12.8 5.4,4.9,5.6 15.9 28.7
2 5.6,4.9,5.4 15.9 5.8,6.1,6.3 18.2 34.1
3 3.8,3.7,4.0 11.5 5.5,5.0,5.0 15.5 27.0
40.2 49.6y J y 8.89
yij
yi
yij
110Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
25/66
Anlisis de la varianza para el modelo factorial con dos
factores, efectos fijosFuente de variacin Suma de
cuadradosGrados delibertad
Media decuadrados
F0 Valor P
Tratamientos A
Tipos de tapaporos
4,58 2 2,29 28,63 2,7 x E -5
Tratamientos B
Mtodos de aplicacin
4,91 1 4,91 61,38 5,0 x E -7
Interaccin 0,24 2 0,12 1,50 0,2621
Error 0,99 12 0,08
Total 10,72 17
111Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
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Ejemplo LaboratorioUna empresa dedicada a la fabricacin de baterasest interesada en disear una batera que searelativamente insensible a la temperatura ambiente.
Para ello decide probar con tres materiales distintos:M1, M2, M3. Para estudiar el efecto del material y latemperatura se disea el siguiente experimento:
Comprobar la duracin de las bateras en horas,
fabricando bateras con los tres materiales ytrabajando las bateras a tres niveles de temperatura :Baja, Media y Alta.
El experimento se replica cuatro veces y los resultados
son los siguientes: 112Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
27/66
Ejemplo LaboratorioMaterial Baja Media Alta
M1 130 155 74 180 34 40 80 75 20 70 82 58
M2 150 188 159 126 136 122 106 115 25 70 58 45M3 138 110 168 160 174 120 150 139 96 104 82 60
113Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
28/66
Ejemplo LaboratorioFuente de variacin Suma decuadrados Grados delibertad Media de cuadrados F0
Tratamientos A SS A a-1 SS AMS A =
a-1
MS A
MS E
Tratamientos B SS B b-1 SS BMS B =
b-1
MS B
MS E
Interaccin SS AB (a-1)(b-1) SS ABMS AB =
( a-1)(b-1)
MS AB
MS E
Error SS E ab (n-1) SS EMS E =
ab (n-1)
Total SS T abn-1
114Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
29/66
Ejemplo LaboratorioFuente de variacin Suma decuadrados Grados delibertad Media de cuadrados F0
Tratamientos A 10.683,72 2 5.341,86 7,91
Tratamientos B 39.118,72 2 19.559,36 28,97
Interaccin 9.613,8 4 2.403,44 3,56
Error 18.230,8 27 675,21
Total 77.646,97 35
115Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
30/66
Modelo matemtico. Las observaciones pueden describirse con elmodelo estadstico lineal
3,2,1
3,2,1)(
3,2,1
k
jY
i
ijkijjiijk
116Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
31/66
Modelo matemtico
998 83,1666667 -22,3611111
1300 108,333333 2,80555556
1501 125,083333 19,5555556
3799 105,527778
yyii
117Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
32/66
Modelo matemtico
yyjj
1738 144,833333 39,3055556
1291 107,583333 2,05555556
770 64,1666667 -41,3611111
3799 105,527778
118Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
33/66
Modelo matemtico
yyyyjiijij
539 229 230
623 479 198
576 583 342
134,75 57,25 57,5
155,75 119,75 49,5144 145,75 85,5
12,278 -27,972 15,694
8,111 9,361 -17,472
-20,389 18,611 1,778 119Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
34/66
Parmetros del Modelo
Parmetros del Modelo
Tem.Baja Tem. Media Tem. Alta Tau i
Mat. M1 12,278 -27,972 15,694 -22,361
Mat. M2 8,111 9,361 -17,472 2,806Mat. M3 -20,389 18,611 1,778 19,556
Beta j 39,306 2,056 -41,361
i j
3,2,1
3,2,1)(
3,2,1
k
jY
i
ijkijjiijk
120Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
35/66
Predicciones del Modelo)( ijjiijkY =105,5277
Parmetros del Modelo
Tem.Baja Tem. Media Tem. Alta Tau i
Mat. M1 12,278 -27,972 15,694 -22,361
Mat. M2 8,111 9,361 -17,472 2,806
Mat. M3 -20,389 18,611 1,778 19,556
Beta j 39,306 2,056 -41,361
Predicciones
Tem.Baja Tem. Media Tem. Alta
Mat. M1 134,750 57,250 57,500
Mat. M2 155,750 119,750 49,500
Mat. M3 144,000 126,194 85,500
i j
121Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
36/66
ResiduosMaterial Baja Media AltaM1 130 155 74 180 34 40 80 75 20 70 82 58
M2 150 188 159 126 136 122 106 115 25 70 58 45
M3 138 110 168 160 174 120 150 139 96 104 82 60
Predicciones
Tem.Baja Tem. Media Tem. Alta
Mat. M1 134,750 57,250 57,500
Mat. M2 155,750 119,750 49,500
Mat. M3 144,000 145,750 85,500
Residuos Temperatura
Material Baja Media Alta
M1 -4,75 20,25 -60,75 45,25 -23,25 -17,25 22,75 17,75 -37,5 12,5 24,5 0,5
M2 -5,75 32,25 3,25 -29,75 16,25 2,25 -13,75 -4,75 -24,5 20,5 8,5 -4,5
M3 -6 -34 24 16 28,25 -25,75 4,25 -6,75 10,5 18,5 -3,5 -25,5
122Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
37/66
Coeficiente de Determinacin%76,131376,0
97,646.7772,683.10
)()(22
SSSSmaterialRR
T
A
%38,505038,097,646.77 72,118.39)()(22
SSSSatemperaturRR TB
%38,121238,097,646.77
80,613.9)(int)(
22
SSSSeraccinRR
T
AB
%52,767652,097,646.7724,419.592
SSSS
RT
S
123Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
38/66
Coeficiente de Correlacin3709,01376,0)()( materialRR
7098,05038,0)()( atemperaturRR
3519,01238,0)(int)( eraccinRR
8748,07652,0 R
124Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
39/66
Anlisis de la varianza para el modelo factorial general Muchos experimentos toman en cuenta ms de dos factores. Se
presenta el caso donde se tienen aniveles del factor A, bniveles delfactor B, cniveles del factor C, y as sucesivamente, acomodados enun experimento factorial. En general, se tendr un total de abc ...n
observaciones, si existen nrplicas del experimento completo.
)()()()( ijkjkikijklijkj
iijklY
i
nl
ck
bj
ai
.......,,2,1
.......,,2,1
.......,,2,1
.......,,2,1
125Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
40/66
Anlisis de la varianza para el modelo factorial con tres
factores, efectos fijos Sea:
a
abcn
abn
acn
bcn
i
n
lijk
b
j
c
k
k
kijkl
a
i
b
J
n
lk
a
i
n
l
j
jijkl
c
kj
b
j
n
l
i
iijkl
c
ki
yyyY
ck
y
yyY
bjy
yyY
aiy
yyY
1 11 1
1 1 1
1 11
1 11
,...,2,1
,...,2,1
,...,2,1
126Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
41/66
Anlisis de la varianza para el modelo factorial con tres
factores, efectos fijos Las frmulas para el clculo de las sumas de los cuadrados en
un anlisis de varianza con tres factores :
abcnabn
abcnacn
abcnbcn
abcn
yyss
yyss
yyss
yySS
kc
kC
jb
jB
ia
iA
a
i
c
k
ijkl
n
l
b
j
T
22
1
22
1
22
1
1 1
2
2
11
127Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
42/66
Anlisis de la varianza para el modelo factorial con tres
factores, efectos fijos Las frmulas para el clculo de las sumas de los cuadrados de
la interaccin:
ssssssssssssssss
SSSSSSSSSSSSyy
ss
SSSS
yy
ss
SSSSyy
ss
SSSSyy
ss
ABCACAB
CBATE
BCAC
CB
ijkc
k
b
j
a
iABC
CB
jkc
k
b
jBC
CA
kic
k
a
iAC
BA
ijb
j
a
i
AB
ABaabcnn
abcnan
abcnbn
abcncn
22
111
22
11
22
11
22
11
128Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
43/66
Anlisis de la varianza para el modelo factorial con tres
factores, efectos fijos
Fuente de
variacin
Suma de
Cuadrados
Grados de
Libertad
Media de Cuadrados Fo
A Ssa a-1 MSa= SSa/(a-1) MSa/MSe
B SSb b-1 MSb=SSb/(b-1) MSb/MSe
C SSc c-1 MSc=SSc/(c-1) MSc/MSe
AB SSab (a-1)(b-1) MSab=SSab/(a-1)(b-1) MSab/MSe
AC SSac (a-1)(c-1) MSac=SSac/(a-1)(c-1) MSac/MSe
BC SSbc (b-1)(c-1) MSbc=SSbc/(b-1)(c-1) MSbc/MSe
ABC SSabc (a-1)(b-1)(c-1) MSabc=SSabc/(a-1)(b-1)(c-1) MSabc/MSe
ERROR SSe Abc(n-1) MSe=SSe/abc(n-1)
TOTAL SSt Abcn-1
129Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
44/66
EjercicioUn ingeniero mecnico estudia la
rugosidad superficial de una pieza producidaen una operacin de corte de metal. Elinters recae en tres factores: la rapidez conla que se hace el corte (A), la profundidadde ste (B), y el ngulo de la herramienta(C). A los tres factores se les asigna dos
niveles, y se realizan dos rplicas del diseofactorial. Los datos se presentan en lasiguiente tabla.
130Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
45/66
Tabla datos rugosidad superficial
Profundidad del Corte B
Rapidez de corte 0.025 pulgadas 0.040 pulgadas
(A) angulo de la herramienta C angulo de la herramienta C
15" 25" 15" 25"
20 pulg/min 9 11 9 10
7 10 11 8
75
16 21 20 18
30 pulg/min 10 10 12 16
12 13 15 14102
22 23 27 30
131Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
46/66
Anlisis de la varianza para el modelo factorial con tres
factores, efectos fijos
Fuente de variacin Suma decuadrados
Grados delibertad
Media decuadrados
F0 Valor P
Rapidez de corte (A) 45.5625 1 45.5625 18.69 0.0025
Profundidad de Corte (b) 10.5625 1 10.5625 4.33 0.0710
Angulo de Corte 3.0625 1 3.0625 1.26 0.2942
AB 7.5625 1 7.5625 3.10 0.1163
AC 0.0625 1 0.0625 0.03 0.8668
BC 1.5625 1 1.5625 0.64 0.4468
ABC 5.0625 1 5.0625 2.08 0.1872
ERROR 19.5000 8 2.4375
TOTAL 92.9375 15
132Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
47/66
Diseo factorial 2
k
Los diseos factoriales se emplean con frecuencia en experimentos
en los que intervienen varios factores y donde es necesario estudiarel efecto conjunto de stos sobre la respuesta.
El diseo 2k es particularmente til en las primeras etapas del trabajoexperimental, cuando es muy probable que se investiguen muchosfactores. Esto proporciona el nmero ms pequeo de corridas paralas que puedan estudiarse cada factores en un diseo factorialcompleto. Dado que slo existen dos niveles para cada factor, es
necesario suponer que la respuesta es aproximadamente lineal sobreel rango de los niveles seleccionados para el factor.
133Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
48/66
Diseo factorial 2
k
Los diseos factoriales 2k consideran k factores con dos niveles cada uno.
Los niveles se denominan superior e inferior.
El diseo 22 es el primero de la serie 2k, este contiene dos factores con dosniveles cada uno.
Una rplica completa consiste en la combinacin de los 2k tratamientos.
Si llamamos A el primer factor y B el segundo factor la combinacin detratamientos viene dada por:
Combinacin de Tratamientos
b ab +
a -
Factor B
- Factor A +
(1)
134Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
49/66
Signos para los efectos en el Diseo factorial 2
2
Es costumbre denotar los niveles bajo y alto de los factores con los signos
y +, como en la figura anterior. Esto recibe algunas veces el nombre denotacin geomtrica para el diseo.
Combinacin detratamientos 1 A B AB
(1) + - - +
a + + - -
b + - + -
ab + + + +
Efecto Factorial
135Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
50/66
Suma de Cuadrados Las frmulas para el clculo de las sumas de los cuadrados en
un anlisis de varianza con 22 factores :
2
2
2
4
)1(
4
)1(
4
)1(
n
baab
n
aabb
n
baba
SS
SS
SS
AB
B
A
136Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
51/66
Anlisis de la varianza para el modelo factorial 2
2
Fuente de
variacin
Suma de
Cuadrados
Grados de
Libertad
Media de Cuadrados Fo
A SSa a-1 MSa= SSa/(a-1) MSa/MSe
B SSb b-1 MSb=SSb/(b-1) MSb/MSe
AB SSab (a-1)(b-1) MSab=SSab/(a-1)(b-1) MSab/MSe
ERROR SSe ab(n-1) MSe=SSe/ab(n-1)
TOTAL SSt abn-1
137Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
52/66
EjercicioUn artculo publicado en el Technical Journal,
describe la aplicacin de diseos factoriales de dosfactores a la fabricacin de circuitos integrados, unpaso bsico de procesamiento en esta industria esel crecimiento de una capa sobre pastillas de siliciopulidas. Los datos se presentan en la siguientetabla:
138Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
53/66
Tabla datos diseo 2
2
para el experimento
Combinacin de Factores de Diseo Espesor (um)
tratamientos A B AB Espesor (um) Total Promedio
(1) - - + 14.037 14.165 13.972 13.907 56.081 14.020a + - - 14.821 14.757 14.843 14.878 59.299 14.825
b - + - 13.880 13.860 14.032 13.914 55.686 13.922
ab + + + 14.888 14.921 14.415 14.932 59.156 14.789
139Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
54/66
Anlisis de la varianza para el modelo factorial 2
2
Fuente de variacin Suma decuadrados
Grados delibertad
Media decuadrados
F0 Valor P
A (tiempo de deposicin) 2,7956 1 2,7956 134,47 7,07 E-8
B (Flujo de arsnico) 0,0181 1 0,0181 0,87 0,37
AB 0,0040 1 0,0040 0,19 0,67
ERROR 0,2495 12 0,0208
TOTAL 3,0671 15
140Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
55/66
Diseo factorial 2kGeneral
Los diseos factoriales 2k consideran k factores con dos niveles cada uno.
Los niveles se denominan superior e inferior.
El diseo 23 es una extensin del 22 y es un diseo factorial de 23 ,y tiene ochocorridas o combinaciones de tratamiento
Geomtricamente , el diseo es un cubo
cac
a
bc
- A +
(1)
ab
abc
C
+
-B
+
-
b
141Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
56/66
Diseo factorial 2kGeneral
Los efectos principales pueden estimarse con facilidad. Recurdese que lasletras minsculas (1), a, b, ab, c, ac, bc y abc representan el total de las nreplicas en cada una de las ocho corridas del diseo.
El efecto principal A se pude estimarse promediando las cuatro combinaciones
de tratamiento de la cara derecha del cubo, donde el nivel A es alto, y despusrestando de esta cantidad el promedio de las cuatro combinaciones detratamiento que estn en la cara izquierda del cub, donde A tiene el nivel bajo,al hacer esto se tiene que:
bccbabcacaban
A
comoescribirsepuedeecuacionLa
n
bccb
n
abcacabaA
yyAAA
)1(4
1
4
)1(
4
142Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
57/66
Diseo factorial 2kGeneral
Para B
Para C
accaabcbcabbn
B
comoescribirsepuedeecuacionLa
n
acca
n
abcbcabbB
yyB BB
)1(4
1
4
)1(
4
abbaabcbcaccn
C
comoescribirsepuedeecuacionLa
n
abba
n
abcbcaccC
yyCCC
)1(4
1
4
)1(
4
143Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
58/66
Diseo factorial 2kGeneral
Para AB
Para AC
)1(4
1
4
)1(
4
acacbabbcabcn
AB
comoescribirsepuedeecuacionLa
n
acac
n
babbcabcAB
yyABABAB
abbaabcbcaccn
AC
yyAC ACAC
)1(4
1
144Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
59/66
Diseo factorial 2kGeneral
Para BC
Para ABC
abcbcaccabban
BC
yyBC BCBC
)1(
4
1
)1(4
1
ababcacbcabcn
AC
yyABCABCABC
145Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
60/66
Signos para los efectos en el Diseo factorial 23
Es costumbre denotar los niveles bajo y alto de los factores con los signos y+, como en la figura anterior. Esto recibe algunas veces el nombre de notacingeomtrica para el diseo.
Combinacin detratamientos 1 A B AB
(1) + - - +
a + + - -
b + - + -
ab + + + +
c + - - +
ac + + - -
bc + - + -
abc + + + +
Efecto Factorial
C AC BC ABC
- + + -
- - + +
- + - +
- - - -
+ - - +
+ + - -
+ - + -
+ + + +
146Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
61/66
Suma de Cuadrados
La estimacin de cualquier efecto principal o interaccin en undiseo 2k esta determinado por la multiplicacin de lascombinaciones.
Y la suma de los cuadrados para cualquier efecto es
12
knContrasteEfecto
2
2kn
ContrasteSS
147Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
62/66
Anlisis de la varianza para el modelo factorial 23
Fuente de
variacin
Suma de
Cuadrados
Grados de
Libertad
Media de Cuadrados Fo
A SSa a-1 MSa= SSa/(a-1) MSa/MSe
B SSb b-1 MSb=SSb/(b-1) MSb/MSeC SSc c-1 MSc=SSc/(c-1) MSc/MSe
AB SSab (a-1)(b-1) MSab=SSab/(a-1)(b-1) Msab/MSe
AC SSac (a-1)(c-1) MSac=SSac/(a-1)(c-1) Msac/MSe
BC SSbc (b-1)(c-1) MSac=SSbc/(b-1)(c-1) MSbc/MSeABC SSabc (a-1)(b-1)(c-1) MSab=SSabc/(a-1)(b-
1)(c-1)MSabc/MSe
ERROR SSe abc(n-1) MSe=SSe/abc(n-1)
TOTAL SSt abcn-1148Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
63/66
Ejercicio
Un ingeniero mecnico estudia larugosidad superficial de una pieza producidaen una operacin de corte de metal. El
inters recae en tres factores: la rapidez conla que se hace el corte (A), la profundidadde ste (B), y el ngulo de la herramienta(C). A los tres factores se les asigna dos
niveles, y se realizan dos rplicas del diseofactorial. Los datos se presentan en lasiguiente tabla.
149Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
64/66
Tabla datos rugosidad superficial
Profundidad del Corte B
Rapidez de corte 0.025 pulgadas 0.040 pulgadas
(A) angulo de la herramienta C angulo de la herramienta C
15" 25" 15" 25"20 pulg/min 9 11 9 10
7 10 11 8
75
16 21 20 18
30 pulg/min 10 10 12 16
12 13 15 14
102
22 23 27 30
150Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
65/66
Tabla datos rugosidad superficial
Combinacione
tratamiento A
Factores
B C
Rugosidad
Superficial Totales
(1) -1 -1 -1 9,7 16
a 1 -1 -1 10,12 22b -1 1 -1 9,11 20
ab 1 1 -1 12,15 27
c -1 -1 1 11,10 21
ac 1 -1 1 10,13 23bc -1 1 1 10,8 18
abc 1 1 1 16,14 30
151Clase 2 : Modelacin 1 simulacin
7/31/2019 Clase 2 Diseno de Experimentos 77281
66/66
Anlisis de la varianza para el modelo 23
Fuente de variacin Suma decuadrados
Grados delibertad
Media decuadrados
F0 Valor P
Rapidez de corte (A) 45.5625 1 45.5625 18.69 0.025
Profundidad de Corte (b) 10.5625 1 10.5625 4.33 0.0710
Angulo de Corte 3.0625 1 3.0625 1.26 0.2942
AB 7.5625 1 7.5625 3.10 0.1163
AC 0.0625 1 0.0625 0.03 0.8668
BC 1.5625 1 1.5625 0.64 0.4468
ABC 5.0625 1 5.0625 2.08 0.1872
ERROR 19.5000 8 2.4375
TOTAL 92.9375 15