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Clase 2 Conjuntos Numericos II
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Propiedad Intelectual Cpech
Álgebra2010
Clase N° 2Conjuntos numéricos II
Propiedad Intelectual Cpech Propiedad Intelectual Cpech
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Utilizar y clasificar los distintos conjuntosnuméricos en sus diversas formas de expresión,tanto en las ciencias exactas como en las cienciassociales y en el ámbito cotidiano.
• Aplicar la operatoria básica en los númerosnaturales y enteros.
Propiedad Intelectual Cpech
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Aplicar las operaciones básicas en los números racionales.
• Resolver problemas que involucren operaciones con números enteros, decimales y fracciones.
• Reconocer regularidades numéricas (secuencias).
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1. Números racionales (Q)1.1 Propiedades de los racionales1.2 Operatoria en los racionales1.3 Transformaciones de números racionales1.4 Comparación de fracciones
2. Números irracionales (Q*)
Contenidos
3. Números reales ( IR )
4. Números imaginarios ( II )
5. Números complejos ( C )
1.5 Secuencia numérica
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1.Números Racionales (Q)Es un conjunto infinito, ordenado y denso, donde todos los números se pueden escribir como fracción, es decir:
ab
/ a y b son enteros, y b es distinto de ceroQ =
Ejemplos:
2; 17; 0; -6; -45; -2;7
0,489; 2,18; -0,647-1;8
14;3
15,0
NO es racional
a: numerador y b: denominador
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Por ejemplo:
3 es Natural (3 IN),
3 es Cardinal (3 IN0), y como
3 = , 3 es racional (3 Q). 31
IN IN0 Z Q
Todo número entero es racional.
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Propiedad Intelectual Cpech
Diagrama representativo:
Propiedad Intelectual Cpech
1.1 Propiedades de los racionales (pág. 23 del libro)
• Amplificar y simplificar fracciones
Ejemplo:
2∙3∙
Amplificar una fracción, significa multiplicar, tanto el numerador como el denominador por un mismo número.
66
Al amplificar la fracción por 6 resulta:23
= 1218
• Las fracciones se pueden clasificar en:Fracción propia, donde el numerador es menor que el denominador.
Fracción impropia, donde el numerador es mayor que el denominador.
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Ejemplo:
Simplificar una fracción, significa dividir, tanto elnumerador como el denominador por un mismonúmero.
33
= 915
Al simplificar la fracción por 3 resulta:2745
27 :45 :
• Inverso multiplicativo o recíproco de una fracción
El inverso multiplicativo, o recíproco de 29
es: 92
Ejemplo:
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1.2 Operatoria en los racionales (pág. 24 del libro)
• Suma y restaEjemplos:
1. Si los denominadores son iguales:
415
+ 715
= 1115
2. Si uno de los denominadores es múltiplo del otro:
215
+ 745
= 2∙3 + 7∙145
= 6 + 745
= 1345
415
- 715
= -315
y
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3. Si los denominadores son primos entre sí:
512
+ 718
= 5∙3 + 7∙236
15 + 1436
= = 2936
4. Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.):
45
+ 78
= 4∙8 + 5∙740
32 + 3540
= = 6740
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-45 ∙ 8
7= -32
35=
• Multiplicación:Ejemplo:
-45
78
= ∙ -2840
= 2840
-
• División:Ejemplo:
-45
: 78
= 3235
-
• Número Mixto:Ejemplo:
8 35 = 8∙5 + 3
5= 43
5
3
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1.3 Transformación de números racionales (pág. 24 del libro)
• De fracción a decimal:
Ejemplo:
Se divide el numerador por el denominador.
74 = 1,75
• De decimal finito a fracción:
Ejemplo:
El numerador corresponde al número sin comas, y el denominador es una potencia de 10 que depende del número de decimales que tenga el número.
100175 =1,75 = 7
425∙725∙4
=
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• De un número decimal periódico a fracción:
1. El numerador de la fracción es la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma, y la parte entera.
2. El denominador está formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período.
Ejemplo 1: 2,35 = 235 – 2 = 23399 99
Ejemplo 2: 0,376 = 376 – 0 = 376999 999
Nota: Se llama “período” al conjunto de dígitos que se repite indefinidamente.
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3,21 = 321-32 = 2899090
• De un número decimal semi periódico a fracción:
1. El numerador de la fracción corresponde a la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma; y la parte entera incluyendo las cifras del ante período.
2. El denominador queda formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período, y tantos ceros (0), como cifras tenga el ante período.
Nota: Se llama “ante período” a los números que hay entre la coma decimal, y el período.
Ejemplo:
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1.4 Comparación de fracciones (pág. 25 del libro)
• Multiplicación cruzada:Ejemplo:Al comparar (Multiplicando cruzado)13
159
10y
13 ∙ 10 y 15 ∙ 9130 y 135
Como 130 < 135, entonces: 1315
910
<
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• Igualar denominadores:
Ejemplo:1315
712
Al comparar y (Igualando denominadores)
13∙415∙4
7∙512∙5
y
5260
3560
y
Como 52 > 35, entonces 1315
712
>
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• Transformar a decimal:Ejemplo:
1315
712
Al comparar (Transformando a decimal)y
1315
= 0,86666666…
712
= 0,58333333…
1315
712
>Como 0,86 > 0,583 , entonces
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Ejemplo:En la secuencia: 6 ,
516 ,5
26 ,5
36 , ...5
¿Qué número tendríamos que sumar a para obtener el 7° término ?
1 ,5
De acuerdo a las características de la secuencia, el 7° término es 66 .
5
Tendríamos que sumar a para obtener el 7° término.
655
1 ,5
65 = 135
Es decir:
Respuesta:
1.5 Secuencia Numérica
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Observación:La secuencia anterior también se puede analizar de la siguiente manera:
1 + 1 ,5
1 + 3 ,5
1 + 5 ,5
1 + 7 , 5
1 + 13…5
... ,
1° 2° 3° 4° ... , 7°…
Lo que nos permitiría saber, por ejemplo,¿cuál es el valor del n-ésimo término de la secuencia?
Respuesta:
Es , más un número impar, lo que se expresa como: 15
1 + (2n - 1)5
(Con n = posición del término)
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Son aquellos que NO se pueden escribir comouna fracción (decimales infinitos NO periódicos).
2. Números Irracionales (Q*)
,....,,2,3..... Q* =
Q
U
Q*=
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3. Números Reales (IR)Es el conjunto formado por la unión entre los números racionales y los números irracionales.
IR = Q U Q*
Ejemplos:
Diagrama representativo:
3, -89, -2;7
2,18; ;2 23,491002
IN IN0 Z Q IR
Q* IR
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4. Números imaginarios (II)
Todos aquellos números que NO son reales, son imaginarios.
IR
U
II = O
Ejemplo:Raíces de índice par y parte subradical negativa:
,26 ,4 4 16,25
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5. Números complejos (C)
Es el conjunto formado por el producto cartesianoentre los números reales y los números imaginarios.
Diagrama representativo:
IN IN0 Z Q IR C
II C
IR x II = C
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Los contenidos revisados anteriormente los puedes encontrar en tu libro, desde la página 23 a la 28.
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ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL
REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL.
Equipo Editorial: Patricia ValdésOlga OrchardPablo Espinosa