Clase 16 - Ondas Electromagnéticas -Propagación en Medios Materiales.

Prof. Juan Mauricio Matera

29 de mayo de 2019

Repaso

I Ecuaciones del electromagnetismo en sistemas dependientes deltiempoI Ley de Gauss:

∇· ~E = ρ/ε0 ∇· ~B = 0

I Ley de Faraday-Maxwell / Ley de Ampere Maxwell

∇×~E = −∂~B∂t ∇×~B = µ0~jcond+µ0ε0

∂~E∂t

I Fuerza de Lorentz

d~F = (ρ~E +~j × ~B)dV

I Ecuaciones del electromagnetismo en el vacíoI Ley de Gauss:

∇ · ~E = 0 ∇ · ~B = 0

I Ley de Faraday-Maxwell / Ley de Ampere Maxwell

∇× ~E = −∂~B∂t ∇× ~B = µ0ε0

∂~E∂t

I ⇒ Ecuación de Ondas:

∇2~E = 1c2∂2~E∂t2 ∇2~B = 1

c2∂2~B∂t2

conI c =

√1

µ0ε0= 2.99m/s la Velocidad de Propagación de las

Ondas electromagnéticas.I ~E y ~B no son independientes: ∇× ~E + ∂~B

∂t = 0

Densidad de Energía de los campos Eléctrico y Magnético

UE = ε02 |~E |2dV

UB = 12µ0|~B|2dV

Ondas planas

Ondas planasI Vimos que un tipo de solución especial de la Ecuación de

Ondas estaban dadas por las Ondas Planas.I Proponemos entonces que los campos ~E y ~B son de la forma

~E = ~E0 cos(~kE ·~r − ωE t) y ~B = ~B0 cos(~kB · ~x − ωBt + φ)

De

∇ · ~A cos(~k ·~r − ωt) = ~A · ~k cos(~k ·~r − ωt)∇× ~A cos(~k ·~r − ωt) = ~k × ~A cos(~k ·~r − ωt)

y de las ecuaciones de Maxwell se sigueI ωE|~kE |

= ωB|~kB |

= cI ∇ · ~E = 0⇒ ~E0 · ~k = 0I ∇ · ~B = 0⇒ ~B0 · ~k = 0

I ∇× ~E = −∂~B∂t ⇒

I ~kE = ~kB = ~kI φ = 0I ωE = ωB = ω = |~k|cI ~k

ω × ~E0 = ~B0I ~E · ~B = 0⇒ |~E | =

c|~B|.

Ondas planasI Vimos que un tipo de solución especial de la Ecuación de

Ondas estaban dadas por las Ondas Planas.I Proponemos entonces que los campos ~E y ~B son de la forma

~E = ~E0 cos(~kE ·~r − ωE t) y ~B = ~B0 cos(~kB · ~x − ωBt + φ)

De

∇ · ~A cos(~k ·~r − ωt) = ~A · ~k cos(~k ·~r − ωt)∇× ~A cos(~k ·~r − ωt) = ~k × ~A cos(~k ·~r − ωt)

y de las ecuaciones de Maxwell se sigueI ωE|~kE |

= ωB|~kB |

= cI ∇ · ~E = 0⇒ ~E0 · ~k = 0I ∇ · ~B = 0⇒ ~B0 · ~k = 0

I ∇× ~E = −∂~B∂t ⇒

I ~kE = ~kB = ~kI φ = 0I ωE = ωB = ω = |~k|cI ~k

ω × ~E0 = ~B0I ~E · ~B = 0⇒ |~E | =

c|~B|.

I Las ondaselectromagnéticas sonOndas Transversales.

I La dirección en la queapunta el campo ~E es ladirección de polarizaciónde la onda.

I Se propagan convelocidad c y en elsentido de ~E × ~B.

I Los campos eléctrico ymagnético sonortogonales, están enfase y sus magnitudesestán relacionadas por|~E | = c|~B|.

Energía y cantidad de movimiento en OEM

Energía y Cantidad de Movimiento en OndasElectromagnéticas

I Como las ondas mecánicas, las ondas electromagnéticastransportan energía y cantidad de movimiento.

I La Densidad de Energía contenida en los campos puedeexpresarse como

UEM = ε02 |~E (~r , t)|2 + 1

2µ0|~B(~r , t)|2

ó, en el caso de una onda plana, |~E | = |~B|/c = √µ0ε0|~B|

U (onda plana)EM = ε0|~E0|2 cos(~k ·~r − ωt)2

I De manera que el promedio temporal de la Densidad deEnergía Electromagnética viene dado por

〈U (onda plana)EM 〉onda plana = ε0|~E0|2

2I Por satisfacer la Ecuación de Ondas 1D, el promedio

temporal de la Densidad de Energía es igual a su promedioespacial.

Flujo de energía. El vector de PoyntingI Al igual que como definimos la

Densidad de Flujo de energía enondas mecánicas, definimos elVector de Poynting como elvector Densidad de Flujo

~S = ck̂E = ck̂ε0~E · ~E

= cε0~E × (c~B) =~E × ~Bµ0

I La intensidad de la radiaciónelectromagnética viene dada porel módulo del valor medio delVector de Poynting:

I = |〈~S〉| = |~E0||~B0|2µ0

I La Densidad de Cantidad de Movimiento del Campo EMviene dada por

P =~Sc2

Flujo de energía. El vector de PoyntingI Al igual que como definimos la

Densidad de Flujo de energía enondas mecánicas, definimos elVector de Poynting como elvector Densidad de Flujo

~S = ck̂E = ck̂ε0~E · ~E

= cε0~E × (c~B) =~E × ~Bµ0

I La intensidad de la radiaciónelectromagnética viene dada porel módulo del valor medio delVector de Poynting:

I = |〈~S〉| = |~E0||~B0|2µ0

I La Densidad de Cantidad de Movimiento del Campo EMviene dada por

P =~Sc2

Flujo del vector de Poynting en un circuito

Presión de RadiaciónCuando una superficieinteractúa con radiaciónelectromagnética, estasufre una presión deradiación.I Si la absorción es

completa (absorcióncompleta)

〈~F 〉 = 〈d~pdt 〉 = k̂· ~Sc〈~P〉 = S cos(θ)c~Sc2 = SPrad

donde Prad = cos(θ) Ic

es la Presión deRadiación, o sea, lacantidad demovimiento absorbida.

* Si la reflexión es completa, la radiación es reemitida en sentidocontrario, luego Prad = 2 cos(θ) I

c

La Luz y el espectro electromagnético

I Christian Huygens en 1690, proponeuna teoría que describe a la luzcomo un fenómeno ondulatorio.

I En 1704 Isaac Newton publica suOptika donde propone que la luzestá compuesta de partículas, y quela luz blanca es el resultado demezclar luz de diferentes colores.

I Alrededor de 1800, Thomas Youngdemuestra la existencia delfenómeno de interferencia, lo quedá evidencia experimental a lateoría ondulatoria.

I en 1845, Michel Faraday descubre quelos campos magnéticos afectaban lapolarización de la luz.

I En 1850, Leon Foucault determina lavelocidad de la luz comoc ≈ 298000km/s

I James Maxwell, con su teoría de lasondas electromagnéticas, nota que lavelocidad de propagación de estascoincide con la de la luz, y conjeturaque son en realidad el mismofenómeno.

I Poco después, Heinrich Hertz confirmala teoría de las ondas electromagnéticasgenerando y detectando por primeravez ondas de radio.

I Ya en el siglo XX, Nikola Tesla yGuglielmo Marconi desarrollanparalelamente las primerascomunicaciones basadas en ondas deradio.

I Max Planck y Albert Einsteindesarrollan la teoría cuántica de la luz yla explicación del efecto fotoeléctrico:la luz es onda y partícula a la vez.

I En los años 60, se logró construir porprimera vez una fuente LASER. La luzLASER es radiaciónelectromagnética coherente, lo quesignifica que su frecuencia, fase,polarización y dirección depropagación están altamentedefinidas.

El Espectro Electromagnético

Longitud de onda λ = cf = 2πc

ω

Descomposición de la luz blanca

I La luz “blanca” es unasuperposición deradiación electromagnéticavisible en un rango ampliode frecuencias.

I En un medio materialtransparente ydispersivo la velocidad depropagación depende de lalongitud de onda.

I Esto permite separar lascomponentes de la luzblanca, forzándolas amoverse en diferentesdirecciones.

Detección de ondas electromagnéticasI Una antena es un dispositivo que

permite detectar una ondaelectromagnética.

I El modelo más simple es el de laantena dipolar.

I Sistemas tan dispares como lasantenas de wifi, los radiotelescopios,la clorofila y el ojo humano sebasan en un principio semejante.

Detección de ondas electromagnéticasI Una antena es un dispositivo que

permite detectar una ondaelectromagnética.

I El modelo más simple es el de laantena dipolar.

I Sistemas tan dispares como lasantenas de wifi, los radiotelescopios,la clorofila y el ojo humano sebasan en un principio semejante.

Generación de ondas electromagnéticasI El modelo más simple de una fuente

puntual de ondas EM es un dipolooscilante: ~p = ~p0 cos(ωt).

I Este se realiza al inducir unacorriente alterna en un conductorcuyos terminales están abiertos(como un capacitor “al revés”).

I La mayoría de las fuentes deradiación electromagnética (desdelas emisoras de radio, a las fuentesde rayos X, y las lamparitasincandecentes) pueden modelarsecomo formados por uno o muchosdipolos eléctricos oscilantes.

I Una partícula cargada enmovimiento circular, desde lejos,puede modelarse como lasuperposición de dos dipolosperpendiculares entre sí, sobre elplano de la órbita.

Campo Magnético de un Dipolo

~B = µ04πr

ddt

(1r ~p + 1

cd~pdt

)∣∣∣t−r/c

× r̂

~p = Q~a→ d~pdt = I~a

El primer término

µ0d~pdt

4πr2

no es otra cosa que la Ley de Biot ySavart, pero retrazada en r/c.El segundo término es el campo deradiación ∝ 1/(cr)

Campo Eléctrico de un dipolo oscilante

I A partir de la Ley deAmpère-Maxwell, el campo eléctricopuede escribirse como ~E =

14πε0

(−∇φest −∇φrad + ~Enc,rad

)conI φest = r̂ ·~p

4πε0r2

∣∣∣t−r/c

el potencialde un dipolo estático, retardado.

I φrad = r̂ ·~p′

4πε0r

∣∣∣t−r/c

una correcciónal potencial y

I ~Enc,rad = − ~P′′

rc2 un término, cuyorotor es −∂~B∂t .

Valores límitesI Si ~p = ~p0 cos(ωt), a distancias

r � λ = 2πc/ω, los campospueden aproximarse por susexpresiones estáticas

~E ≈ −∇φest y ~B ≈ µ0~p′(t)

4πr2

I Si r � λ = 2πc/ω, los campostoman la forma

~B ≈ ω2µ0r̂ × ~p0 cos(ωt − ω/cr)4πrc

y~E ≈ c~B × r̂

De esta manera, ~E y ~B, a distanciasgrandes se comportan como ondasesféricas transversales, pero conuna dependencia angular, debido alfactor ~r × ~p0

I El vector de Poynting para la radiación dipolar toma la forma,a grandes distancias,

~S = µ0ω4|~p0|2 sin2(θ) cos2(ω(t − r/c))

16π2r2c r̂

I Promediando en el tiempo,

〈~S〉 = µ0ω4|~p0|2 sin2(θ)32π2r2c r̂

Potencia radiada totalI La potencia completa

radiada por el dipolo seobtiene integrando∫S〈~S〉 · d ~S sobre unasuperficie esférica de radiogrande:

W =∫S〈~S〉 · d ~S =

∫ π

0

∫ 2π

0〈~S〉 · r̂ r2 sin(θ)dθdφ

= 2πµ0ω4|~p0|2

32π2c

∫ π

0sin3(θ)dθ

= µ0ω4|~p0|2

16πc

∫ π

0(1− cos2(θ)) sin(θ)dθ

= µ0ω4|~p0|2

16πc

∫ 1

−1(1− u2)du

= µ0ω4|~p0|2

16πc (2− 23)

= µ0ω4|~p0|2

12πc

Resistencia de RadiaciónI Recordando que ~p = q(t)~a, que d~p

dt = I(t)~a, y queIef =

√Imax√2, |ω~p0| =

√2Ief a.

I Luego,

W = µ0ω2I2

ef12πc = 2π

3 Z0

(a2

λ2

)2

I2ef = RradI2

ef

donde Z0 = µ0c ≈ 367˙ es la Impedancia delvacío,λ = 2πc/ω la longitud de onda y

Rrad = 2π3

(a2

λ2

)2

Z0

la resistencia de radiación de la antena.I De esta manera, cuando la longitud de onda de la señal es

pequeña frente al tamaño de la antena (o del circuito), lapotencia radiada se vuelve mayor a la potencia disipada porEfecto Joule.