Clase 07 - Distribuciones Muestrales y Teorema Central del Límite

Distribuciones Muestrales y Teorema Central del Lımite

Mallen Arenas

Departamento de EstadısticaFacultad de Ciencias Fısicas y Matematicas

Universidad de Concepcion

Mallen Arenas (Dpto. Estadıstica) Distribuciones Muestrales y Teorema Central del Lımite 1 / 30

1 Propiedad reproductiva de la distribucion normal

2 Teorema Central del Lımite

3 Distribuciones muestrales

4 Distribucion de la media muestral

5 Distribucion Chi-cuadrado(χ2)

6 Distribucion de la varianza muestral

7 Distribucion t de Student

8 Distribucion F


Propiedad reproductiva de la distribucion normal


Teorema

Sean X1, X2, . . . , Xn, n variables aleatorias independientes dondeXi ∼ N(µi, σ2

i ), para i = 1, 2, . . . , n. Si

Y =n∑i=1

Xi = X1 +X2 + · · ·+Xn.

Entonces la variable aleatoria Y se distribuye normal con media,∑n

i=1 µi yvarianza

∑ni=1 σ

2i . Es decir:

Y ∼ N(n∑i=1

µi,

n∑i=1

σ2i ).



El resultado anterior se puede generalizar a una combinacion lineal devariables aleatorias normales independientes X1, X2, . . . , Xn de lasiguiente forma: Si tomamos X0 = 1 sea

Y =n∑i=0

aiXi = a0 + a1X1 + a2X2 + · · ·+ anXn,

donde las ai son constantes entonces:

Y ∼ N(a0 +n∑i=1

aiµi,

n∑i=1

a2iσ

2i ).


Teorema Central del Lımite


Teorema (Teorema central del lımite)

Sea X1, X2, . . . , Xn, . . . una sucesion de variables aleatoriasindependientes con E(Xi) = µi y varianza V (Xi) = σ2

i (ambas finitos).Si

Y =n∑i=1

Xi = X1 +X2 + · · ·+Xn.

,entonces bajo ciertas condiciones generales, la variable aleatoria Z definidapor

Z =∑n

i=1Xi −∑n

i=1 µi√∑ni=1 σ

2i

tiene una distribucion aproximadamente normal estandar (N(0, 1)), cuandon es suficientemente grande.



Las condiciones generales mencionadas anteriormente, se pueden resumirinformalmente como sigue: los terminos Xi tomados individualmente,contribuyen con una cantidad despreciable a la variacion de la suma, y noes probable que un simple termino haga una gran contribucion a la suma.Observe que la variable Y =

∑ni=1Xi puede ser aproximada a la

distribucion normal, cualquiera sea la distribucion de Xi.



Teorema

Sean X1, X2, . . . , Xn, n variables aleatorias independientes identicamentedistribuidas con E(Xi) = µ y varianza V (Xi) = σ2 (con media y varianzacomun y ambas finitas). Si

Y =n∑i=1

Xi = X1 +X2 + · · ·+Xn,

entonces la variable aleatoria:

Z =∑n

i=1Xi − nµσ/√n

=√n(X − µ)

σ,

donde X = 1n

∑ni=1Xi, tiene una distribucion aproximadamente normal

con media cero y varianza uno (N(0, 1)).


Distribuciones muestrales


Definicion (muestra aleatoria (m.a.))

Sea X una variable aleatoria, con funcion de densidad f(x) si X es unav.a. continua y funcion de probabilidad p(x) si X es una v.a. discreta, conmedia µ y varianza σ2. Una muestra aleatoria de tamano n, de X, es unconjunto de n v.a. X1, X2, . . . , Xn que cumplen las siguientes condiciones:

Cada Xi(i = 1, 2, , n) , tiene la misma distribucion que X. Es decir,FXi(x) = FX(x) ∀x, para i = 1, 2, . . . , n.

Las v.a. Xi son independientes.



Consecuencias:

Cada Xi tiene la misma distribucion, es decir, son identicamentedistribuidas. Entonces

E(Xi) = E(X) = µ

V ar(Xi) = V ar(X) = σ2

La funcion de probabilidad conjunta de la m.a. X1, X2, . . . , Xn estadada por:

P (X=x1, . . . , Xn = xn) =∏ni=1 P (Xi = xi),

(si X es discreta)fX1,...,Xn(x1, . . . , xn) =

∏ni=1 fXi(xi),

(si X es continua)

.



Notas:

La definicion anterior se cumple, cuando la muestra proviene de unapoblacion infinita discreta o continua y cuando la muestra se extraecon reemplazo de una poblacion finita.

Cuando la muestra se extrae sin reemplazo de una poblacion finita,evidentemente no se cumple la definicion anterior pues las variablesaleatorias no son independientes. Sin embargo , si el tamano de lamuestra es muy pequeno comparado con el tamano de la poblacion,se cumple aproximadamente la definicion.



Veremos las distribuciones de ciertas funciones de los elementos de unam.a. tales como

X = 1n

∑ni=1Xi, la media muestral;

S2 = 1n−1

∑ni=1(Xi −X)2,, la varianza muestral;

seran muy utiles en inferencia estadıstica.



Definicion

Cualquier funcion de los elementos de una m.a. que no dependa de algunparametro desconocido se llama estadıstico. Los estadısticos son, por lotanto, v.a. , cuyos valores observados pueden ser evaluados despues quelos valores observados para X1, X2, . . . , Xn son conocidos. Lasdistribuciones de estas v.a. son conocidas como distribuciones muestrales.



Teorema

Si X1, X2, . . . , Xn es una m.a. de una poblacion X que tiene media µ yvarianza σ2, entonces, X tiene valor esperado µ y varianza σ2/n.

Teorema

Si X1, X2, . . . , Xn es una muestra extraıda sin reemplazo de una poblacionfinita de N elementos, con media µ y varianza σ2, entonces X tiene valoresperado µ y varianza σ2/n((N − n)/(N − 1)).El factor (N − n)/(N − 1) se llama factor de correccion para poblacionesfinitas.


Distribucion de la media muestral


Teorema

Si X1, X2, . . . , Xn es una m.a. de una poblacion X que tiene media µ yvarianza σ2, entonces, X tiene distribucion aproximadamente Normal conparametros µ y σ2/n (por el teorema central del lımite).



Ejemplo:Suponga que el numero de barriles de petroleo crudo que produce un pozodiariamente es una variable aleatoria con una distribucion no especificada.Si se observa la produccion en 64 dıas, seleccionados en forma aleatoria ysse sabe que la desviacion estandar del numero de barriles por dıa esσ = 16, determine la probabilidad de que la media muestral se encuentre ano mas de cuatro barriles del verdadero valor de la produccion por dıa.


Distribucion Chi-cuadrado(χ2)


La distribucion χ2 es un caso especial de la distribucion gamma.

Definicion

Se dice que X es una variable aleatoria chi-cuadrado con r grados delibertad (o que tiene una distribucion chi-cuadrado con r grados delibertad) si su funcion de densidad esta dado por:

f(x) =

{1

2r/2Γ( r2

)xr2−1e−

r2 , x > 0

0, e.o.c.,

donde Γ representa la funcion gamma.



Teorema

Sean Z1, Z2, . . . , Zr variables aleatorias independientes distribuıdasnormalmente, cada una con media 0 y varianza 1. La variable aleatoria:

X = Z21 + Z2

2 + · · ·+ Z2r

tiene distribucion chi-cuadrado con r grados de libertad.



Los grados de libertad r, es el numero de variables aleatoriasindependientes que se suman. Tambien el grado de libertad se puedeconcebir como un parametro asociado con la distribucion de probabilidad ocomo al numero de variables que pueden variar libremente.La media y la varianza de la variable aleatoria chi-cuadrado con r gradosde libertad son:

µ = E(X) = r y σ2 = V ar(X) = 2r



La funcion de distribucion F (x) esta tabulada, para distintos valores de r.

Ejemplo

Si X es una variable aleatoria chi-cuadrado con 17 grados de libertad.Calcular:

a) P (X < 7.564)b) P (X > 27.59)c) P (6.408 < X < 7.59)

Ejemplo

Sea X1, X2, . . . , X10 una muestra aleatoria de tamano 10 de una variablealeatoria con distribucion chi cuadrado. Hallar la probabilidad de queexactamente dos de los diez valores muestrales excede a 30.14.



Teorema

Si X es una variable aleatoria que tiene una distribucion chi-cuadrado conr grados de libertad. Entonces para r suficientemente grande, la variablealeatoria

√2X, tiene aproximadamente una distribucion Normal. Es decir,

si X es χ2(r) , con r grande, entonces:

√2X ∼ aprox.N(

√2r − 1, 1)



Teorema

Sea X1, X2, . . . , Xn una muestra aleatoria de una variable aleatoria normalX con media µ y varianza σ2. Entonces, la variable aleatoria

Y =n∑i=1

(Xi − µ)2

σ2

tiene una distribucion χ2n.



Teorema (PROPIEDAD ADITIVA DE LA CHI-CUADRADO)

Sea X21 , X

22 , . . . , X

2p variables aleatorias chi-cuadrados independientes con

grados de libertad r1, r2, . . . , rp respectivamente, entonces la variablealeatoria

X2 =p∑i=1

X2i

Sigue una distribucion chi-cuadrado con∑p

i=1 ri grados de libertad.


Distribucion de la varianza muestral


Teorema

Si X1, X2, . . . , Xn es una m.a. de una poblacion X que tiene media µ yvarianza σ2, entonces, la varianza muestral

S2 =1

n− 1

n∑i=1

(Xi −X)2

tiene valor esperado igual a σ2.



Teorema

Sea X1, X2, . . . , Xn una m.a. de una poblacion X con distribucion normalque tiene media µ y varianza σ2, entonces,

La media muestral X y la varianza muestral S2 son variablesaleatorias independientes.

(n− 1)S2

σ2=

∑ni=1(Xi −X)2

σ2

es una variable aleatoria con distribucion chi-cuadrado (χ2) con n− 1grados de libertad.


Distribucion t de Student


Definicion

Sea Z una variable aleatoria normal con media 0 y varianza 1. Sea Y unavariable que tiene una distribucion chi-cuadrado con r grados de libertad,y si Z e Y son independientes, entonces la variable aleatoria

T =Z√Y/r

=Z√r√Y

se dice que tiene una distribucion t de student (o simplemente tiene unadistribucion t), con r grados de libertad, y su funcion de densidad estadado por

f(t) =Γ( r+1

2 )Γ( r2)

1√rπ

1(1 + ( t2r ))(r+1)/2

,

−∞ < t <∞.



Observe que la distribucion de la variable aleatoria T , esta completamentedeterminada solo por el parametro r. Entonces hay una distribucion tcorrespondiente a cada grado de libertad. La media y la varianza de ladistribucion t con r grados de libertad estan dados por:

µ = E(X) = 0, r > 1 y σ2 = V ar(X) =r

r − 2, r > 2.



Tabulacion de la distribucion t:Debido a la importancia de la distribucion t, en inferencia estadıstica y ladificultad para evaluar la funcion de distribucion de la variable aleatoria T ,estas se dan en una tabla



Teorema

Sea X1, X2, . . . , Xn es una m.a. de una poblacion X con distribucionnormal que tiene media µ y varianza σ2, entonces

√n(X − µ)S

tiene distribucion t-student con n− 1 grados de libertad, donde S =√S2

y S2 es la varianza muestral.


Distribucion F

Distribucion F

Definicion

Sea U y V dos variables aleatorias independientes que tienendistribuciones chi-cuadrado con, r1 y r2 grados de libertad,respectivamente. Entonces, la variable aleatoria

F =U/r1

V/r2

tiene una distribucion F con r1 y r2 grados de libertad.

Su funcion de densidad esta dada por:

f(z) =Γ( r1+r2

2 )Γ( r12 )Γ( r22 )

(r1

r2)r1/2

zr1/2−1

(1 + ( r1r2 )z)(r1+r2)/2,

0 < z <∞, r1, r2 = 1, 2, . . . .


Distribucion F

La media y la varianza de la variable aleatoria F estan dados por:

µ = E(F ) =r2

r2 − 2, r2 > 2 y σ2 = V ar(F ) = 2(

r2

r2 − 2)2 r1 + r2 − 2r1(r2 − 4)

, r2 > 4.

La probabilidad que la variable aleatoria F sea menor o igual que unaconstante fα esta dada por

P (F ≤ fα) =∫ fα

0fF (z)dz = α

La distribucion F cumple con la siguiente propiedad:

f1−α,r2,r1 =1

fα,r1,r2y

fα,r1,r2 =1

f1−α,r2,r1.


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