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Circunferência Circunferência
1
Circunferência, áreas e resolução de triângulos quaisquerCircunferência, áreas e resolução de triângulos quaisquer
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Resolução de triângulos quaisquer: lei dos senos e lei dos cossenos Resolução de triângulos quaisquer: lei dos senos e lei dos cossenos
Internet Internet
Esquadros de madeira
Áreas: medidas de superfície Áreas: medidas de superfície
Trigonometria Trigonometria
Resolução de triângulos quaisquer: resolução de triângulos retângulos Resolução de triângulos quaisquer: resolução de triângulos retângulos
CircunferênciaCircunferência
2
Posições relativas entre retas e circunferênciasPosições relativas entre retas e circunferências
RETAS TANGENTES:-Tem um único ponto em comum com a circunferência.- A distância entre o centro e a reta é igual ao raio
dc,t = raio
RETAS SECANTES:-Tem dois pontos em comum com a circunferência.- A distância entre o centro e a reta é menor que o raio
dc,t < raio
RETAS EXTERNAS:- Não tem nenhum ponto em comum com a circunferência.- A distância entre o centro e a reta é maior que o raio
dc,t > raio
3
CircunferênciaCircunferênciaPosições relativas entre duas circunferênciasPosições relativas entre duas circunferências
Pontos comuns Posição relativa Distância entre os centros em função dos raios
Figura
2 Secantes r1 – r2 < d < r1 + r2
1Tangentes
internas d = r1 – r2
1Tangentes externas d = r1 + r2
0Internas
concêntricas d = 0
0Internas não concêntricas d < r1 – r2
0 Externas d > r1 + r2
4
CircunferênciaCircunferência
Ângulos em uma circunferênciaÂngulos em uma circunferência
Ângulo central: É um ângulo que tem como vértice o centro da circunferência e seus lados passam por pontos pertencentes a ela.
Ângulo inscrito: É um ângulo que tem como vértice um ponto da circunferência e cujos lados passam por dois outros pontos da circunferência, determinando nela duas cordas.
Ângulo de segmento: É um ângulo que tem como vértice um ponto da circunferência, um lado secante à circunferência e outro tangente a ela.
Se um ângulo central e um ângulo inscrito em uma circunferência tem o mesmo arco, então a medida do ângulo central é o dobro da medida do ângulo inscrito.
5
CircunferênciaCircunferência
Relações métricas na circunferênciaRelações métricas na circunferência
Cruzamento de duas cordas:
Dois segmentos secantes a partir de um mesmo ponto:
PA PB PC PD
Segmento secante e segmento tangente a partir de um mesmo ponto:
2PA PB PT
6
CircunferênciaCircunferência
Polígonos regulares inscritos na circunferênciaPolígonos regulares inscritos na circunferência
Polígono regular é aquele que possui todos os lados (l) congruentes e todos os ângulos congruentes. Apótema (a) é um segmento com uma extremidade no centro da circunferência e outra no ponto médio de um dos lados do polígono. Ele também equivale ao raio da circunferência inscrita ao polígono.Raio da circunferência circunscrita (r) é o segmento com uma extremidade no centro da circunferência e a outra na própria circunferência.
3
ra
24
r 2a
26
r 3a
23 r 3l 4 r 2l 6 rl
7
Áreas: medidas de superfícieÁreas: medidas de superfície
Área do quadrado, do retângulo e do paralelogramoÁrea do quadrado, do retângulo e do paralelogramo
Quadrado
Retângulo
Paralelogramo
A = b h A = b h2A = l
8
Áreas: medidas de superfícieÁreas: medidas de superfície
Área do triânguloÁrea do triângulo
Área do triângulo
Área do triângulo
sendo conhecido os
três lados
Área do triângulo equilátero
Área do triângulo
com o auxílio da
trigonometria
b h 1A b h
2 2
A p p a p b p c
a b cp
2
1
A a b senα2
2 3A
4
l
9
Áreas: medidas de superfícieÁreas: medidas de superfície
Área do trapézio e do losangoÁrea do trapézio e do losango
Trapézio Losango
B b hA =
2
D dA =
2
10
Áreas: medidas de superfícieÁreas: medidas de superfície
Área de polígonos regularesÁrea de polígonos regulares
(l) lado do polígono(a) apótema(n) número de lados do polígono(p) semiperímetro
A p a.
n
p2l
11
Áreas: medidas de superfícieÁreas: medidas de superfície
Área do círculo e do setor circularÁrea do círculo e do setor circular
Círculo Setor circular
2A π r
graussetor2
A= =
π r 360º 2 π rl
12
Resolução de triângulos quaisquerResolução de triângulos quaisquer
Resolução de triângulos retângulosResolução de triângulos retângulos
2 2 2a b c
cateto oposto bsenα
hipotenusa a
cateto adjacente ccosα
hipotenusa a
cateto oposto btgα
cateto adjacente c
a = hipotenusab = cateto oposto ao ângulo c = cateto adjacente ao ângulo
30º 45º 60º
sen
cos
tg
12
12
22
22
32
32
33 31
13
Resolução de triângulos quaisquerResolução de triângulos quaisquer
Seno e cosseno de ângulos obtusosSeno e cosseno de ângulos obtusos
É necessário saber que:sen 90º = 1 e cos 90º = 0
Senos de ângulos obtusos são exatamente iguais aos senos dos suplementos desses ângulos:
sen x = sen (180º - x)Cossenos de ângulos obtusos são opostos aos cossenos dos suplementos desses ângulos:
cos x = - cos (180º - x)
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Resolução de triângulos quaisquerResolução de triângulos quaisquer
Lei dos senos e cossenosLei dos senos e cossenos
Lei dos senos:
Lei dos cossenos:
ˆ ˆ ˆ
a b c2 R
sen A sen B sen C
ˆ
ˆ
ˆ
2 2 2
2 2 2
2 2 2
a b c 2 b c cosA
b a c 2 a c cosB
c a b 2 a b cosC