Circuitos Eléctricos electri… · 1. Análisis de circuitos en régimen permanente 1.1. Introducción a los circuitos eléctricos Un circuito es una interconexión de componentes

Circuitos Eléctricos Teoría

Xavi Paneque

3 de junio del 2012

Índice 1. Análisis de circuitos en régimen permanente ....................................................................... 1

1.1. Introducción a los circuitos eléctricos ........................................................................... 1

1.2. Corriente alterna ........................................................................................................... 8

1.3. Elementos pasivos y activos ........................................................................................ 13

1.4. Corriente no sinusoidal ............................................................................................... 26

1.5. Aplicaciones ................................................................................................................. 36

2. Técnica de análisis de circuitos eléctricos ........................................................................... 41

2.1. Teoremas de los circuitos eléctricos ........................................................................... 41

2.2. Métodos de análisis de los circuitos eléctricos ........................................................... 47

3. Sistemas trifásicos ............................................................................................................... 53

3.1. Sistemas trifásicos equilibrados .................................................................................. 53

3.2. Sistemas trifásicos desequilibrados ............................................................................ 60

3.3. Potencia en sistemas trifásicos ................................................................................... 61

3.4. Aplicaciones ................................................................................................................. 64

4. Análisis transitorio de circuitos eléctricos ........................................................................... 66

4.1. Circuitos de primer orden ........................................................................................... 67

4.2. Circuitos de segundo orden ........................................................................................ 70

1 Grado en Ingeniería en Tecnologías Aeroespaciales Circuitos eléctricos

Xavi Paneque Linares Página 1

1. Análisis de circuitos en régimen permanente

1.1. Introducción a los circuitos eléctricos

Un circuito es una interconexión de componentes eléctricos. La razón de cambio en el

tiempo de la carga constituye una corriente eléctrica. Los dos tipos comunes de

corriente son la corriente alterna y la corriente continua.

Los circuitos constan de una batería que proporciona una diferencia de potencial y

permite el paso de corriente.

Antes de comenzar el análisis de circuitos eléctricos, es necesario definir los términos

que se emplean.

Tensión

La diferencia de potencial o tensión es la presión que una fuente de suministro de

energía eléctrica proporciona a los electrones empujándolos a lo largo del circuito. La

tensión entre dos puntos de un circuito eléctrico es igual al trabajo que realiza una

carga positiva al desplazarla entre dos puntos. Se mide en voltios , un voltio es un

joule por coulomb = · .

Según el tipo de fuente, la representaremos de una forma u otra

Batería Lámpara

+

+



El generador de tensión puede ser una batería, una fuente sinusoidal, una célula solar

o un generador de izquierda a derecha respectivamente.

Corriente

La magnitud elemental en el análisis de circuitos eléctricos es la carga eléctrica. El

interés de la carga eléctrica se centra en su movimiento, ya que una carga en

movimiento tiene como resultado una transferencia de energía. De particular interés

para este estudio son aquellas situaciones en las que el movimiento está confinado a

una trayectoria cerrada definida.

Un circuito eléctrico es esencialmente una tubería que facilita la transferencia de carga

de un punto a otro. La razón de cambio de la carga en el tiempo constituye una

corriente eléctrica, así pues podemos definir la corriente eléctrica como la cantidad de

carga eléctrica que circula por un conductor por unidad de tiempo. Matemáticamente

se expresa

= dd

Donde y representan la corriente y la carga respectivamente (las literales

minúsculas indican dependencia con el tiempo, y las mayúsculas se reservan para

cantidades constantes). La unidad básica de corriente es el ampere (A).

Aunque se sabe que el flujo de corriente en los conductores metálicos es resultado del

movimiento de electrones, la convención universal adoptada para el flujo de corriente

representa el movimiento de cargas positivas. Fijémonos que corriente y tensión se

indican en sentidos opuestos por convenio, sin embargo sucede lo contrario cuando se

trata de un receptor donde tienen sentidos iguales.

En la vida diaria se tiene contacto con dos tipos de corriente, la corriente alterna y la

corriente continua. Además de estos dos tipos de corriente, los cuales tienen una

amplia variedad de usos, es posible generar muchos otros. En la corriente continua

tenemos una intensidad que fluye en el mismo sentido mientras que en la corriente

alterna se invierte el sentido de su movimiento según una cierta frecuencia periódica.



Energía

El trabajo o energía eléctrica es la capacidad de poner en movimiento la carga

eléctrica. Se mide en joule .

Potencia

La potencia es la cantidad de trabajo que se efectúa por unidad de tiempo. Por lo

tanto, la potencia es igual a la energía total por unidad de tiempo.

=

Elementos activos

Los elementos activos son aquellos que son capaces de generar energía y tenemos

entre ellos baterías generadores y los modelos del transistor. A continuación se

presentarán algunos elementos activos muy importantes

Fuente de voltaje independiente: es un elemento de dos terminales que

mantiene un voltaje específico entre sus terminales independientemente de la

corriente a través del mismo. El símbolo general para este tipo de fuente es un

círculo.

Fuente de corriente independiente: es un elemento de dos terminales que

mantiene una corriente específica independientemente del voltaje entre sus

terminales. El símbolo general para una fuente indica mediante una flecha la

dirección positiva del flujo de corriente.

+



Dos fuentes de voltaje dependientes: En contraste con las fuentes

independientes, que producen un voltaje que no es afectado por lo que ocurre

en el resto del circuito, las fuentes dependientes generan un voltaje que está

determinado por un corriente en un lugar específico del circuito. Estas fuentes

son muy importantes, ya que forman una parte integral de los modelos

matemáticos utilizados para describir el comportamiento de los elementos de

muchos circuitos electrónicos. La tensión suministrada es

= · Dos fuentes de corriente dependientes: Su funcionamiento sigue el mismo

patrón que el anterior. Estos suministran una corriente determinada en función

del voltaje en un lugar específico del circuito. La tensión suministrada es

= ·

Los símbolos son respectivamente

Elementos pasivos

No son capaces de generar energía pero en algunos casos pueden almacenarla. Los

tres elementos pasivos comunes son resistencias, capacitores e inductores.

Resistencia: es un elemento que se opone al paso de la corriente eléctrica. Si la

geometría es sencilla su valor es

= ·

Donde es la resistividad y depende de la naturaleza del material. La podemos

encontrar tabulada a la temperatura estándar de 20 . El paso de corriente a través de una resistencia calienta el material

aumentando así la temperatura. Este hecho altera las propiedades e

incrementa la resistencia del material según la expresión

+



= [1 + ( )] Según el valor de la resistividad, podemos distinguir dos tipos de materiales, los

conductores y los aislantes. Existen grandes diferencias en el orden de

magnitud en la resistividad entre estas dos familias.

Condensador: es un elemento capaz de almacenar energía cuando es sometido

a un campo eléctrico. Consiste en dos placas de superficie separadas una

distancia . Viene caracterizado por su capacidad la cual viene dada por

= · =

La corriente no puede atravesar las placas. A partir de la definición de corriente

y por la regla de la cadena tenemos

= dd = ·dd

Esta ecuación nos dice que la corriente puede variar bruscamente pero nunca

el potencial (para ello se debería de cumplir ).

Bobina: es un elemento capaz de almacenar energía

cuando es sometido a un campo magnético. Consiste en

un núcleo generalmente de hierro rodeado de un hilo de

cobre. El hilo tiene vueltas dadas sobre el núcleo de

sección y longitud . De esta manera el coeficiente de

inducción que se define como el flujo del campo

magnético entre la intensidad que circula, tiene un valor de

= ·



= = · ·

Donde es la permeabilidad magnética del material que forma el núcleo.

Vemos por tanto que el coeficiente depende únicamente de la geometría.

A partir de la ley de Faraday tenemos

= dd = ·dd

Ley de Ohm

La ley de Ohm recibe su nombre por el físico alemán Georg Simon Ohm, quien

determinó la relación entre el voltaje y la corriente en una resistencia. La ley de Ohm

establece que el voltaje a través de una resistencia es directamente proporcional a la

corriente que fluye por ella. La resistencia es la constante de proporcionalidad entre el

voltaje y la corriente. La relación matemática de la ley de Ohm se representa por la

ecuación

= ·

Los resistores absorben la potencia suministrada a las terminales, esta energía

absorbida la disipa el mismo resistor en forma de calor. La relación de disipación de

energía es la potencia instantánea y entonces

= · = · =

Así pues la potencia es una función no lineal.

La conductancia cuyo símbolo es , es otra magnitud de amplia aplicación en el

análisis de circuitos. Por definición, la conductancia es el recíproco de la resistencia

= 1

Se mide en Siemens (S).



EJ 1. Encuentra el valor del potencial y el valor de la constante .

El potencial viene dado por

= + · = 4,16 · 10

Considerando un voltímetro ideal, es decir , no pasará corriente por esa rama y

por tanto solo se considera la rama donde tenemos la fuente dependiente. Así pues el

valor de la constante será

= = 54,16 · 10 = 12034

EJ 2. Calcula las intensidades, potenciales y potencias

Aplicaremos las leyes de Kirchhoff

10 = 50 · + = 10 · = 0,4 · = 0,4 ·

De donde resulta

= 5,56 = 2,22 = 0,09 = 0,22

La potencia que entrega la fuente de la izquierda es = 0,89 . Es decir que genera energía dado que es positiva, tensión e intensidad tienen sentidos opuestos.

120

100 4,16 · 10 50

= 5 ·

50

10 50

10 ·

+



La potencia de la fuente dependiente de la izquierda es = 0,494 . Tenemos que genera energía dado que es un receptor y tiene sentido contrario al potencial.

Por último, la fuente dependiente de la derecha tenemos que la potencia es

= 0,494 . Esta también genera energía y podemos ver que es la misma potencia que el anterior pero con sentido opuesto, es decir, la primera fuente la transmite a la

segunda.

1.2. Corriente alterna

El generador de corriente alterna consiste en un imán que crea un campo magnético

constante. Este campo se hace pasar por una espira que gira a velocidad angular

constante la cual cosa crea un flujo variable en el tiempo de valor

= · · cos

Por la ley de Faraday podemos calcular la fuerza electromotriz inducida y es

( ) = sin

Funciones periódicas

Así pues la fuerza electromotriz es una función periódica. Para estudiar este tipo de

corriente se definen una serie de valores que resultan útiles



Valor medio

= 1 ( ) d

Valor eficaz

= 1 [ ( )] d

Valor medio rectificado

| | = 1 | ( )| d

Factor de pico (amplitud)

=

Factor de forma

= | |

EJ 3. Calcula los valores característicos de la corriente alterna representada a

continuación

A partir de la gráfica podemos ver que el período es de = 100 y por tanto la frecuencia = 10 . Veamos cada uno de los valores característicos de esta corriente

Valor medio

= 1 ( ) d = 10,1 · 0,5 = 5

( )

( )

10

50 100 200 150 250



Valor eficaz

= 1 [ ( )] d = 10,1 · 5 = 5 2 = 7,07


| | = 1 | ( )| d = 10,1 · 0,5 = 5


= = 105 2 = 2 = 1,41

Factor de forma

= | | =5 2

5 = 2 = 1,41


continuación

A partir de la gráfica podemos ver que el período es de = 100 y por tanto la frecuencia = 10 . Veamos cada uno de los valores característicos de esta corriente

Valor medio

= 1 ( ) d = 10,1 · 0 = 0

Valor eficaz

( )

( )

5

50 100

5



= 1 [ ( )] d = 10,1 · 5 · 0,1 = 5


| | = 1 | ( )| d = 10,1 · 5 · 0,1 = 5


= = 55 = 1

Factor de forma

= | | =55 = 1

Funciones sinusoidales

Aplicados a una corriente sinusoidal estos parámetros toman los siguientes valores

| | = 2 = 22

Otro parámetro importante entre funciones sinusoidales es el desfase entre dos

magnitudes. Para calcular dicho desfase es necesario escribir ambas funciones en la

misma forma y el mismo signo.

Instrumentos de medida

Cuadro móvil: Los voltímetros de cuadro móvil constan de una bobina en un campo

magnético por la que pasa una corriente de manera que aparecen fuerzas de

repulsión. Así pues la bobina gira un ángulo . El aparato está calibrado de manera que

la intensidad es proporcional al ángulo girado y nos indica el valor medio de la

intensidad. No sirve para corriente alterna ya que oscilaría sin parar.



Hierro móvil: Los voltímetros de hierro móvil constan de dos láminas en la que se

induce una corriente en el mismo sentido de forma que se repelen entre ellas. El

ángulo girado indica la intensidad eficaz. Este aparato sirve para corriente alterna ya

que sea cual sea el sentido de la corriente, lo importante es que siempre se induce en

el mismo sentido en ambas placas y por tanto siempre se repelerán.

Ferrodinámicos: Estos aparatos sirven para

calcular tanto voltajes como potencia media.

· = 1 ( ) · ( ) d



Recordemos que los voltímetros y amperímetros ideales cumplen que su resistencia es

0

Así pues los voltímetros los colocaremos siempre en paralelo y los amperímetros en

serie. El potenciómetro es una combinación del amperímetro y el voltímetro y se

coloca cada uno en la posición correcta.

Fasor

Podemos representar las funciones sinusoidales mediante fasores. Aplicando la

fórmula de Euler podemos escribir

( ) = 2 cos( + ) = 2 · · ·

Así pues el fasor será

= =

Donde es el valor efectivo. Escribimos el valor eficaz porque resulta más práctico ya

que las herramientas de medida dan este valor y su uso no añade ninguna dificultad.

1.3. Elementos pasivos y activos

En este apartado veremos las relaciones fasoriales para los elementos pasivos.

Analizaremos los circuitos de corriente alterna según los elementos pasivos que

contengan.

Circuito con resistencia

En un circuito con una resistencia tenemos por la ley de Ohm

( ) = 2 cos( + ) =

( ) = · ( ) = 2 cos( + ) =

Así pues la tensión y la corriente están en fase constantemente.

= 0



Para la asociación de resistencias se cumple

Serie = Paralelo = 1

Circuito con bobina

En un circuito con una bobina tenemos

( ) = 2 cos( + ) =

( ) = · d = 2 sin( + ) = 2 cos + + 2 = + 2

Así pues la tensión está adelantada 90 respecto la corriente

= 2

Donde definimos la reactancia inductiva como =

Para la asociación de inductores se cumple




Circuito con condensador

En un circuito con un condensador resulta

( ) = 2 cos( + ) =

( ) = dd = 2 sin( + ) = 2 cos + + 2 = + 2

Así pues la corriente está adelantada 90 respecto la tensión

= 1 2

Donde definimos la reactancia capacitiva como = 1

Para la asociación de capacitores se cumple

Serie = 1 Paralelo =

Impedancia

La impedancia es una magnitud que se define como

= = + ( )

La impedancia se puede representar mediante un fasor. Si este fasor tiene un ángulo

negativo < 0 decimos que el circuito tiene carácter capacitivo, en caso contrario > 0 diremos que tiene carácter inductivo. El ángulo siempre cumplirá 90 < <

90 .

Para la asociación de impedancias se cumple





continuación donde y ( ) = [ ]

A forma de excepción, trabajaremos con valores máximos

A partir de la asociación de impedancias podemos encontrar que

= ( + ) = + = = ( + )

Operando correctamente se obtiene

= 8 53,1

Tiene carácter inductivo y la tensión resulta

( ) = ( ) · = 80 cos(50000 + 53,1 )

Admitancia

La admitancia es una magnitud que se define como

= = + [ ]

Si la parte imaginaria es positiva se dice que tiene un comportamiento capacitivo

mientras que si es negativa diremos que tiene un comportamiento inductivo.

Para la asociación de impedancias se cumple

( )

= 40

= 200

= 5

= 2



Serie = 1 Paralelo =


continuación con ( ) =

Calcularemos la tensión a partir de las admitancias dado que facilitan el cálculo. Así

pues tenemos

= 0,1 = 1+ = 0,05 0,05 = = 0,1

Y por tanto queda

= + + = 0,15 + 0,05

Y la tensión resulta

= = 63,2 18,4

Vemos que tiene un carácter inductivo y la tensión viene dada por

( ) = 63,2 sin(1000 18,4 )

Potencia en circuitos de corriente alterna

La potencia de un circuito se calcula como el producto de la tensión por la corriente.

De este modo obtenemos

( ) = ( ) · ( ) = 2 cos cos( )

( )

= 10

= 10

= 10

= 100



Aplicando igualdades trigonométricas obtenemos

( ) = · (cos + cos(2 ))

Para manejarnos con la potencia se definen varios conceptos

Potencia activa

El valor que nos interesa es la media de la potencia que resulta

= 1 ( ) d = cos

Esta potencia se denomina potencia media o activa y es aquella que resulta útil y

podemos aprovechar.

Potencia reactiva

Se define la potencia reactiva como

= sin

Que es la proyección de la potencia al eje imaginario.

Potencia aparente

Por último tenemos la potencia aparente que representa la potencia que debemos

subministrar para obtener la potencia activa y siempre es igual o mayor que la

potencia activa

= = cos + sin = + =

Dadas estas definiciones podemos escribir las siguientes igualdades

( ) = (1 + cos(2 )) + sin 2 = sin = cos = tan

Compensación del factor de potencia

El factor de potencia se define como la relación entre la potencia activa y la

potencia aparente; esto es



= = cos

Las cargas inductivas requieren potencia reactiva para su funcionamiento, esta

demanda de reactivos se puede reducir e incluso anular si se colocan capacitores en

paralelo con la carga. Cuando se reduce la potencia reactiva, se mejora el factor de

potencia.

En la figura se representa que es la demanda de reactivos, la potencia aparente

correspondiente, es el suministro de reactivos del capacitor de compensación. La

compensación de reactivos no afecta el consumo de potencia activa, por lo que es

constante pero la potencia reactiva pasa a ser = (tan tan )

Resulta muy importante compensar el factor de potencia dado que un bajo factor de

potencia comporta un mayor consumo de corriente, aumenta las pérdidas en

conductores, sobrecarga los transformadores, generadores y líneas de distribución,

disminuye la vida útil de las instalaciones y además incremente las caídas de voltaje.

Si nos referimos al aspecto económico, un bajo actor de potencia incrementa la

facturación eléctrica por mayor consumo de corriente.



EJ 7. Encuentra la intensidad que pasa por el circuito y la potencia activa, aparente y

reactiva

( ) =

Trabajaremos con los valores eficaces, así podemos escribir

= 72 0 = 10

La impedancia total del circuito es

= + 1

+ 1= +

11 +

= 0,8 + 1,4 = 1,61 1,05

Por tanto la intensidad será

= = 3,07 1,05 ( ) = 4,34 cos(10 1,05)

Y la potencia resulta

( ) = (cos + cos(2 )) = 15,2 (0,5 + cos 20 )

De este resultado podemos deducir el valor de la potencia activa, reactiva y aparente

= cos = 15,2 · cos 1,05 = 7,56

= sin = 15,2 sin 1,05 = 13,18 (voltio por ampere reactivo)

= + = 7,54 + 13,1 = · = 15,2 1,05

Y por tanto el circuito tiene carácter inductivo.

( )

= 0,3

= 50 + = 4



Energía

La energía resulta la potencia por el tiempo durante el que se opera. En general

= ( ) d

Veamos la energía máxima para cada tipo de elemento.

Resistencia

= d = · d = · d = · ·

Bobina

=/

d = · dd ·/

d = · 12 · / =12

Condensador

=/

d = · · d t/

d = · 12 · / =12

Leyes de Kirchhoff

Antes de enunciar las leyes de Kirchhoff debemos definir que es un nudo y una rama

Nudo: es simplemente el punto de conexión de dos o más elementos de

circuito.

Rama: es cualquier trayectoria cerrada en el circuito en la cual ningún nodo

aparece más de una vez.

Una vez establecidas estas definiciones, se considerarán las leyes de Kirchhoff,

llamadas así por el científico alemán Gustav Robert Kirchhoff. Estas dos leyes, aunque

bastante simples, son de gran importancia. La primera ley es la ley de Kirchhoff de

corriente ( ), que establece que la suma algebraica de las corrientes que entran en cualquier nudo es cero. En su forma matemática, esta ley se expresa como



( ) = 0

La segunda ley de Kirchhoff, denominada ley de Kirchhoff de voltaje ( ), establece que la suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier rama es cero. Los

circuitos son conservatorios, lo que significa que el trabajo necesario para mover una

unidad de carga alrededor de la rama es cero.

( ) = 0

Donde es el voltaje en los extremos de la rama j-ésima (con la dirección de

referencia apropiada) en un lazo con voltajes.

Divisor de tensiones

Cuando conectamos un seguido de elementos pasivos en serie, la tensión se reparte

de forma proporcional a la impedancia de cada uno de ellos. De forma que la tensión

en un elemento determinado resulta

=

Donde es la tensión total, es la tensión que pasa por un elemento determinado y

y hacen referencia a la impedancia de dicho elemento y la impedancia

equivalente total, respectivamente.

Divisor de corrientes

En el momento en que la conexión se realiza en paralelo, la diferencia de potencia a la

que está conectado cada elemento es el mismo y por tanto la tensión será la misma en

todos. En cambio la corriente se reparte por cada rama de forma inversamente

proporcional a la impedancia. Así pues resulta

=



Circuito equivalente

Un circuito equivalente se refiere a la forma más simple de un circuito que conserve

todas las características del circuito original, que es más complejo. De esta forma, un

circuito equivalente contiene elementos pasivos y lineales. Se obtienen a partir de la

correcta asociación de impedancias.

Resonancia

Es un fenómeno que se produce en un circuito en el que existen elementos reactivos

cuando es recorrido por una corriente alterna de una frecuencia tal que hace que la

reactancia se anule, en caso de estar ambos en serie, o se haga infinita si están en

paralelo.

Resonancia en serie

Cuando queramos que haya la máxima caída de tensión entre los bornes de la

resistencia entonces debemos hacer entrar el circuito en resonancia. Para ello

tenemos que hacer nula la parte imaginaria de la impedancia y por tanto tenemos, en

un circuito en serie

1 = 0 = 1

De manera que la impedancia queda

( ) = + 1 ( ) =

Es decir, pasa por un mínimo



Se define la ganancia como el cociente entre la corriente que pasa por la resistencia y

la corriente que genera el generador

= =+ 1

También se define el factor de calidad, que determina la tensión que se aprovecha en

relación a la tensión proporcionada, es decir, la que llega a la resistencia

= energía almacenadaenergía disipada = = =1 = 1

Además tenemos el ancho de banda que se define como

= 2 = =

Resonancia en paralelo

Cuando los elementos reactivos están colocados en paralelo y se encuentra en

resonancia entonces la intensidad que pasa por cada una de las ramas es máxima. De

este modo se debe cumplir que la impedancia sea máxima o lo que es lo mismo, la

admitancia mínima

= + 1 = 1

La ganancia es la relación entre la intensidad que pasa por la resistencia y la que da el

generador



= =1

1 + 1

En el caso del factor de calidad, resulta

= = = =

Y el facto de calidad queda igual

= 2 = =

La resonancia se puede encontrar para cualquier tipo de circuito. La condición que se

debe cumplir es que la parte imaginaria de la impedancia se anule.

EJ 8. Utilizando los valores = , = , = y = , determinar la frecuencia resonante y la impedancia en la resonancia

En primer lugar debemos encontrar la impedancia equivalente del circuito

= 1( + ) + + =1

+ + +1

Si queremos que la parte imaginaria sea nula se debe cumplir

+ + = 0 =1

Sustituyendo los valores numéricos se obtiene



= 2

Y en este caso la impedancia vale

= 1

+ +1 =

12

2 + 1 · 2 +13

= ,

1.4. Corriente no sinusoidal

Una función periódica es aquella que satisface la relación

( ) = ( + ) = ±1, ±2, ±3, ±4, …

Para todo valor de , donde es el periodo. La función sinusoidal es una función

periódica muy importante como ya se ha visto. Sin embargo, existen muchas otras

funciones periódicas que tiene amplia aplicación. Por ejemplo, los generadores de

señales de laboratorio producen las formas de tren de pulsos y de onda cuadrada, las

cuales se usan para probar circuitos.

Las técnicas que se explotarán están basadas en el trabajo de Jean Baptiste Joseph

Fourier. Fourier demostró que una función periódica ( ) podía expresarse como una suma de funciones sinusoidales. Por lo tanto, dado este hecho, y considerando que si

una función periódica se expresa como una suma de funciones linealmente

independientes, cada función en la suma debe ser periódica con el mismo periodo, y la

función puede expresarse en la forma



( ) = + [ cos + sin ]

Donde

= 1 ( ) d = 2 ( ) cos d = 2 ( ) sin d

Esta forma no es la más adecuada para trabajar ya que combina funciones seno y

coseno. Por conveniencia, escribiremos la función solo usando una de las funciones y

añadiendo un desfase de forma que se obtiene

( ) = + cos( + )

Donde

= + = arctan

O en el caso del seno

( ) = + sin( + )

Donde

= + = arctan

Cada una de estas funciones sinusoidales se denomina armónico y el primero es el

llamado armónico fundamental.

EJ 9. Desarrolla en series de Fourier

( )

( )

1

10 20



Debemos escribir la función de la forma

( ) = + [ cos + sin ]

Para encontrar debemos obtener la media de la función y es

= 1 ( ) d = 1 sin d = 10,01 sin2

0,01,

d = 1

Para el resto de términos tenemos

= 2 sin cos d = impar = 0

par = 2( 1)

= 2 sin sin d = 0

Si representamos en una tabla la amplitud y el porcentaje que representa respecto el

armónico fundamental tenemos

ó ( ) ( ) (%) 0,212 100 0,042 19,8 0,018 8,5 0,010 4,7 0,006 2,8

Dada la serie de Fourier, resulta útil definir algunos parámetros como son la distorsión

harmónica total o la distorsión armónica individual

= 100 + + = · 100

La primera definición indica cómo se aleja la función de una señal sinusoidal mientras

que la segunda indica el peso de un armónico determinado respecto el fundamental.



El parámetro del valor eficaz se define ahora como la suma de los cuadrados de los

valores eficaces más el cuadrado del armónico fundamental

= , = + 2

Fuente no sinusoidal y carga lineal

A continuación estudiaremos el comportamiento de un circuito en el caso más general.

En este caso ni la tensión ni la intensidad son sinusoidales, sino que se son funciones

periódicas arbitrarias y la carga es lineal. Para analizar el circuito descompondremos la

tensión y la corriente en series de Fourier de manera que

( ) = + cos( + ) ( ) = + cos( + )

El estudio del circuito se debe hacer analizando cada uno de los armónicos por

separado, es decir, consideraremos la señal formada por varias fuentes, cada una

representa un armónico distinto con una frecuencia distinta. No podemos sumar

fasores que trabajen con distintas frecuencias pero si podemos sumar los efectos

instantáneos, así pues aplicaremos el principio de superposición para encontrar los

valores correctos.

La potencia media o útil se define como la integral del producto de la tensión por la

corriente a lo largo de un periodo y dividido por el periodo.

( ) = 1 ( ) ( ) d

¿Qué sucede en este caso? ¿Qué potencia media obtengo? De la misma forma que no

podemos sumar armónicos de distinta frecuencia, sucede lo mismo con el producto.

Así pues el producto de dos armónicos distintos es siempre nulo, y la potencia media

será únicamente el producto de los armónicos de igual orden más el producto de los

valores medios. El resultado final sería



= = + , , cos( )

Fuente sinusoidal y carga no lineal

Ahora tenemos una tensión de señal sinusoidal y una carga no lineal la cual dará lugar

a una corriente no sinusoidal. Este caso particular es de gran importancia dado que es

uno de los más habituales porque normalmente de la red eléctrica se obtiene una

señal de alimentación prácticamente sinusoidal, con un margen muy estrecho de

armónicos y por tanto podemos despreciarlo.

( ) = sen( + ) ( ) = + cos( + )

La pregunta es cómo evaluamos ahora la potencia media. Dado que la tensión no

contiene armónicos, el producto de la tensión con cualquier armónico de la intensidad

con frecuencia distinta será nulo, además el valor medio de la tensión es también nulo

y por tanto solo nos queda una posibilidad, el valor eficaz de la tensión con el primer

armónico de la corriente, el único con la misma frecuencia. Es decir

= 2 cos( ) = , , cos( )

Dado este hecho podemos decir que el factor de potencia será

= = , , cos( )

El valor eficaz de la tensión coincide con el utilizado para calcular la potencia así que se

pueden eliminar de la ecuación. En el caso de la intensidad no, y por tanto debemos

calcularlo como

= , = + 2

Y sustituirlo en



= , cos( )

En esta ecuación se distinguen dos términos, el factor de potencia de desplazamiento

que hace referencia al coseno, y el factor de potencia de distorsión, que hace

referencia al cociente entre los valores eficaces de la intensidad del primer armónico y

el valor eficaz de la intensidad total.

Análogamente, podemos escribir la potencia reactiva como

= , , sin( )

Y por tanto se cumple

+ = , ,

Sin embargo a la hora de obtener la potencia aparente tenemos

= = , , + , ,

Vemos que aparece un nuevo término y lo definiremos como potencia de distorsión de

manera que se cumpla

= + +

Así pues la potencia aparente es la suma vectorial de la potencia activa, la potencia

reactiva y la potencia de distorsión de manera que pasaríamos de trabajar en el plano

para pasar al espacio tridimensional.

Las resistencias, condensadores e inductores son cargas lineales y por tanto, forman

circuitos que son lineales también. La linealidad requiere tanto de superposición como

de homogeneidad. Hay otro tipo de cargas, las no lineales que hemos considerado en

esta última sección. A continuación veremos algunas de ellas

Diodo

Un diodo es un componente eléctrico de dos terminales que permite la circulación de

la corriente eléctrica a través de él en un sentido. La relación de tensión y corriente se



muestra en el siguiente gráfico. La imagen (a) hace referencia a un diodo real mientras

que en la imagen (b) se representa el comportamiento idealizado.

En un circuito eléctrico veremos los diodos representados por

Si el diodo está orientado de manera directa el diodo deja pasar la corriente, en

comportamiento ideal despreciamos la pequeña caída de tensión y funcionaría como

un interruptor cerrado. En cambio, si está orientado de forma inversa, el diodo actúa

como un interruptor abierto despreciando así cualquier corriente de fuga.

Una de las aplicaciones de los diodos es como rectificador de media onda. Durante el

semiperiodo negativo de una corriente sinusoidal, el diodo no dejaría pasar la

corriente y la tensión entre sus bornes sería nula.

Corriente en sentido

directo

Corriente en sentido

inverso



El siguiente caso corresponde a un diodo aplicado como rectificador en puente.

Consiste en cuatro diodos comunes, que convierten una señal con partes positivas y

negativas en una señal únicamente positiva. Un simple diodo permitiría quedarse con

la parte positiva, pero el puente permite aprovechar también la parte negativa. Así

pues el puente rectificado es un circuito electrónico usado en la conversión de

corriente alterna en corriente continua.

EJ 10. Calcula la potencia tensión media, la corriente media que pasa por la carga y la

corriente media que pasa por el diodo en un rectificador en puente con una fuente

sinusoidal de 122 voltios que de una resistencia de

La tensión media será

= 2 · = 2 · 2 · 122 = 109,8

La intensidad que pasa por la resistencia será

= = 1,098

Mientras que la intensidad media que pasa por el diodo será la mitad dado que solo

durante la mitad del periodo tendrá sentido directo



= 2 = 0,55

El valor máximo en tensión que debe soportar el diodo es

= 2 · = 172,5

Filtros

Un filtro es un elemento que discrimina una determinada frecuencia o gama de

frecuencias de una señal eléctrica que pasa a través de él, pudiendo modificar tanto su

amplitud como su fase.

Cuando conectamos una carga a un sistema eléctrico queremos que la corriente y la

tensión sean sinusoidales en ese receptor de manera que una señal no sinusoidal va a

afectar al correcto comportamiento de las cargas y, por tanto, tenemos que intentar

evitarlas. De manera que al tener receptores con control electrónico tendremos cargas

no lineales y aunque la tensión aguas arriba sea sinusoidal aquí tendremos corrientes y

por tanto caídas de tensión no sinusoidales. ¿Como evitarlas? Se evitan conectando

filtros en el sistema eléctrico. Tenemos filtros de dos naturalezas distintas

Filtros activos: Emplean elementos activos y su función es inyectar en la red los

mismos armónicos que consuma la carga pero desfasados en 180 grados. De

esta manera conseguimos que, aplicando la ley de Kirchhoff, tengamos un

balance nulo y por tanto no tengamos corriente harmónica aguas arriba de la

red. Es decir, compensamos los armónicos inyectando una corriente que tenga

la misma amplitud pero en oposición de fase de manera que aguas arriba no se

percibe ese comportamiento no lineal de la carga.

Filtros pasivos: Emplean elementos pasivos y son una opción más económica.

Están relacionados con el concepto de resonancia en serie. Consiste en

conectar un condensador y una bobina en serie y a la vez conectarlos en

paralelo con la carga no lineal que genera el armónico. De manera que aquí lo

que tenemos que conseguir, es que para cada rama del filtro eliminemos un

armónico. ¿Cómo lo hacemos? Consiguiendo que entre en resonancia en serie

con cada armónico que queremos eliminar de esta manera aguas arriba no se



percibiría dicho armónico porque tenemos cerrado un bucle entre el filtro y la

carga. Para el correcto funcionamiento de este tipo de filtro se debe cumplir

= ·= =

Donde es el orden del armónico que queremos eliminar.

EJ 11. Tenemos una fuente sinusoidal con una tensión eficaz de 220 voltios. En serie

con la fuente de tensión tenemos una reactancia inductiva de valor = , para la frecuencia fundamental de = . Tenemos una carga no lineal que para la componente fundamental tiene una impedancia de la cual conocemos su

resistencia = y su reactancia inductiva = para = . Supongamos que el único armónico significativo es el quinto y para él vamos a modelar la carga

como una fuente de corriente de valor = , . Se pide determinar la tensión en valor eficaz de esta carga, el filtro pasivo que deberíamos colocar para anular el

quinto armónico y la potencia reactiva

Debemos abordar el circuito analizando cada uno de los armónicos por separado y

sumar sus efectos después. Así pues, esta red, para la componente fundamental

= = 2200,4 + + 3 = 66,45 25,02 = · = 210,14 6,6

Para el quinto armónico tenemos que la carga no lineal actúa como una fuente de

corriente de valor una quinta parte de la intensidad ya calculada

= 5 = 5

Y por tanto la reactancia inductiva será cinco veces más alta. Así pues la tensión que

dará el quinto armónico será

= · = 5 · · 0,2 · = 26,58 65

Así pues el valor eficaz de la tensión total será

= + = 211,8



Para eliminar el quinto armónico, colocaremos un filtro pasivo en paralelo con la carga.

Como ya hemos visto anteriormente tenemos la relación

= = 25

En primer lugar escogeremos el valor de la reactancia capacitiva con el objetivo de que

aporten una determinada potencia reactiva para la componente fundamental. Una vez

hecha la elección calcularemos que reactancia inductiva necesitamos para anular el

quinto armónico. En este caso haremos que la potencia reactiva sea nula para la

componente fundamental para obtener la máxima potencia activa. Potencia reactiva

nula implica que

= 0 1( ) +1

3 + = 0 = 25 = 10

= 10,42 = 0,417

1.5. Aplicaciones

Se denomina transformador a un dispositivo eléctrico que permite aumentar o

disminuir la tensión en un circuito eléctrico de corriente alterna, manteniendo

la potencia. La potencia que ingresa al equipo, en el caso de un transformador ideal

(esto es, sin pérdidas), es igual a la que se obtiene a la salida. Las máquinas reales

presentan un pequeño porcentaje de pérdidas, dependiendo de su diseño, tamaño,

etc.

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A1quina_el%C3%A9ctricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Diferencia_de_potencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Corriente_alternahttp://es.wikipedia.org/wiki/Potenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Potencia_el%C3%A9ctrica



El transformador es un dispositivo que convierte la energía eléctrica alterna de un

cierto nivel de tensión, en energía alterna de otro nivel de tensión, por medio de

interacción electromagnética. Está constituido por dos o más bobinas de material

conductor, aisladas entre sí eléctricamente y por lo general enrolladas alrededor de un

mismo núcleo de material ferromagnético. La única conexión entre las bobinas la

constituye el flujo magnético común que se establece en el núcleo.

Los transformadores son dispositivos basados en el fenómeno de la inducción

electromagnética y están constituidos, en su forma más simple, por dos bobinas

devanadas sobre un núcleo cerrado, fabricado bien sea de hierro dulce o de láminas

apiladas de acero eléctrico, aleación apropiada para optimizar el flujo magnético. Las

bobinas o devanados se denominan primarios y secundarios según correspondan a la

entrada o salida del sistema en cuestión, respectivamente.

El primer subíndice indica quien va a recibir un determinado flujo magnético mientras

que el segundo hace referencia a quien crea ese flujo magnético.

El flujo enlazado por la bobina 1 es el flujo que crea su propia bobina y el flujo que crea

la bobina 2 y enlaza la primera. El primer término es el flujo de dispersión (que crea él

mismo y afecta a sí mismo) más el de la corriente 1 y que envía a la bobina 2. Pero

podemos unir el flujo que crea la bobina 2 y que enlaza la primera con el flujo que crea

la corriente 1 y que envía a 2 como el flujo que comparten entre ellos. Así pues

= + = ( + ) + = + ( + ) = +

http://es.wikipedia.org/wiki/Ferromagn%C3%A9ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Flujo_magn%C3%A9tico



= + = ( + ) + = + ( + ) = +

El flujo total será el ya visto multiplicado por el nombre de espiras que contiene la

bobina. Por tanto

= = ( + ) = +

= = ( + ) = +

Donde cada flujo se determina mediante la inductancia de cada una de las bobinas

= = = =

Se puede demostrar que los coeficientes de inductancia mutua ( ) son los mismos sea cual sea el circuito que analicemos y solo dependen de la geometría de estos, así

pues

= =

Estos coeficientes son fáciles de manejar pero experimentalmente resultan muy

difíciles de determinar. También existe la relación

=

Y finalmente por la ley de Faraday resulta

( ) = dd =dd +

dd ( ) =

dd =

dd +

dd

Para el criterio de signos se utiliza un punto para determinar cual será el sentido

considerado positivo y cual negativo, ya que no se puede representar hacia donde está

enrollada la bobina, si a derechas o a izquierdas. Toda corriente o tensión que entre

por el lado donde se sitúa el punto será positiva, en caso contrario será negativa.



Un transformador ideal es un transformador hipotético en el que no existen pérdidas y

cuyo núcleo tiene una permeabilidad infinita, dando como consecuencia un

acoplamiento perfecto sin flujo disperso. En los grandes transformadores de potencia,

las pérdidas son tan pequeñas en relación a la potencia transferida que las relaciones

obtenidas del transformador ideal pueden ser muy útiles en las aplicaciones de

ingeniería. Así pues considerando un transformador ideal, no tendremos flujo de

dispersión y podemos escribir

( ) = · dd = ·dd ( ) = ·

dd = ·

dd

Dividiendo ambas expresiones obtenemos

( )( ) = = : 1

Dado que la potencia no sufre pérdidas, tenemos que

= = = =

Cuando montamos el circuito de la figura anterior, si sabemos las características de la

bobina podemos encontrar la relación de tensiones y aplicar la ley de Ohm para

encontrar el valor de la resistencia visto des del circuito primario que no coincide con

la resistencia vista des del circuito secundario. Otra manera de operar sería

esquematizar el circuito equivalente, sin bobinas, pasando la resistencia del circuito

secundario al primario modificando adecuadamente sus características. La corrección

de la impedancia que debemos aplicar será

= = /· = = = =·

/ = =

EJ 12. Considerando el mismo circuito de la figura y con los siguientes valores

= , = , = , = determinar la corriente que pasa por la resistencia.

En primer lugar determinemos la tensión a la que está sometida la resistencia



= = = 230 · 50100 = 115

Así pues la corriente que pasa por la resistencia será

= = 115100 = 1,15

Si calculamos la intensidad en el circuito primario tenemos

= · = 1,15 · 115230 = 0,575

Observamos que transferimos la misma potencia S dado que consideramos un

transformador ideal pero la tensión a la que sometemos la resistencia es menor a

cambio de aumentar la corriente.

Otra manera de llegar al resultado sería calcular la resistencia equivalente con la que el

circuito primario vería la resistencia en el secundario

= · = 2 · 100 = 400

Y por tanto la corriente es

= = 230400 = 0,575



2. Técnica de análisis de circuitos eléctricos

2.1. Teoremas de los circuitos eléctricos

En esta sección hablaremos de teoremas y métodos útiles para la aplicación y que nos

ayudarán a resolver circuitos.

Linealidad

En un circuito lineal, la señal de salida es proporcional a la de entrada. Una manera de

aplicar este principio en un circuito donde desconocemos las intensidades de cada

rama consiste en hacer una determinada hipótesis y resolver el circuito considerando

cierta dicha hipótesis. Una vez que lo tenemos todo resuelto, podemos corregir el

resultado mediante proporcionalidad ajustando los valores a los reales.

Superposición

Un circuito lineal que contenga dos o más fuentes independientes puede analizarse

obteniendo las tensiones y corrientes de las ramas debidas a cada una de las fuentes

por separado y luego sumando los resultados. Este principio es aplicable porque hay

una relación lineal entre corrientes y tensiones. Con fuentes dependientes, la

superposición sólo puede utilizarse cuando las funciones de control son externas al

circuito en el que están las fuentes, haciendo que los controles no cambien cuando

actúa la fuente correspondiente. Las fuentes de tensión se suprimen sustituyéndolas

por un cortocircuito y las fuentes de intensidad se suprimen mediante un circuito

abierto. La superposición no puede aplicarse directamente para el cálculo de la

potencia ya que la potencia de un elemento es proporcional al cuadrado de la

corriente o al cuadrado de la tensión, por lo que no es lineal. El resultado final se

obtiene sumando todas las contribuciones obtenidas para cada una de las fuentes

independientes.

Fuente de tensión real

Una fuente real presenta una pequeña resistencia interna y por tanto su estudio se

lleva a cabo a partir de un circuito equivalente que consta de una fuente de tensión

ideal más una resistencia en serie.



Podemos ver la relación intensidad tensión a partir del siguiente gráfico

Por tanto la fuente real entregará una tensión menor que la ideal. Exactamente será la

de la fuente ideal menos la caída de tensión que provoca la resistencia interna

=

Fuente de corriente real

Una fuente real de corriente presenta al igual que la fuente de tensión real una

resistencia interna. El circuito equivalente ahora se compone por una fuente de

corriente ideal en paralelo con una resistencia de igual valor que la interna. La relación

entre intensidad y tensión será

Así pues la corriente realmente entregada por la fuente será la ideal menos la que pase

por la resistencia colocada en paralelo

=

Fuente ideal =

=

Fuente ideal =

=



Si analizamos estos resultados para ambas fuentes, podemos sacar una conclusión

importante, y es que en el caso de que = , podemos escribir

= = = =

Estas ecuaciones nos dicen que podemos intercambiar una fuente de tensión con una

resistencia colocada en serie por una fuente de corriente con la misma resistencia pero

colocada en paralelo, es decir que los siguientes circuitos son equivalentes

Teorema de Thévenin y Norton

Hasta este punto se han presentado varias técnicas para análisis de circuitos. Ahora se

agregarán dos teoremas a la colección de herramientas, los cuales demostrarán ser de

extrema utilidad. Los teoremas llevan el nombre de sus autores: M.L. Thévenin, un

ingeniero francés, y E.L. Norton, un científico de los laboratorios Bell Telephone.

Suponga que se tiene un circuito y se desea encontrar la corriente, el voltaje o la

potencia que se entrega a uno de los resistores de la red, que se denomina carga. El

teorema de Thévenin establece que la red entera, sin incluir la carga, puede

substituirse por un circuito equivalente con una fuente de voltaje independiente en

serie con un resistor, de tal modo que la relación de corriente y voltaje en la carga no

cambia. El teorema de Norton es idéntico al anterior, excepto porque el circuito

equivalente se forma con una corriente independiente en paralelo con un resistor.

Observe que se trata de un resultado muy importante. Establece que si cualquier red

se examina desde un par de terminales, se sabe que con respecto a esas terminales la

red entera es equivalente a un circuito simple que consta de una fuente de voltaje

independiente en serie con un resistor, o de una fuente de corriente independiente en

paralelo con un resistor.



Para encontrar dicho circuito, debemos seguir tres pasos de forma sistemática

Retire la carga y encuentre el voltaje entre las terminales en circuito abierto

. Para calcular este voltaje se puede aplicar todas las técnicas de análisis de

circuitos estudiadas anteriormente.

Determine la resistencia equivalente de Thévenin para la red en las terminales

abiertas sin carga. Se pueden encontrar tres tipos diferentes de circuitos al

determinar la resistencia .

o Si el circuito incluye únicamente fuentes independientes, éstas se

anulan remplazando las fuentes de voltaje con cortocircuitos y las

fuentes de corriente con circuitos abiertos. se determina

calculando la resistencia de la red puramente resistiva entre las

terminales abiertas.

o Si el circuito incluye únicamente fuentes dependientes, se aplica una

fuente de voltaje independiente o corriente entre las terminales

abiertas y se mide la corriente o voltaje correspondiente en dichas

terminales. La resistencia equivalente de Thévenin es la relación

voltaje/corriente en las terminales. El voltaje en circuito abierto en este

caso es cero, ya que no hay fuente de energía.

o Si el circuito incluye tanto fuentes independientes como dependientes,

las terminales de circuito abierto se colocan en corto y se determina la

corriente de cortocircuito en ellas. La resistencia es el cociente del

voltaje de circuito abierto y la corriente de cortocircuito.

Se puede obtener la solución deseada conectando ahora la carga al circuito

equivalente de Thévenin, el cual está formado por en serie con .



EJ 13. Dado el circuito determinar el circuito equivalente de Thévenin con respecto a

los terminales AB. Utilizar el resultado para hallar la corriente en las dos impedancias

= ( ) y = , conectadas sucesivamente a los terminales AB y determinar la potencia a ellas suministrada.

Aplicaremos el teorema de Thévenin. En primer lugar calcularemos la tensión

equivalente que será la que haiga entre terminales en el circuito sin la carga que

estudiamos y la denominaremos tensión de Thévenin.

Para ello debemos encontrar primero la intensidad de Thévenin que pasa por el

circuito sin considerar la resistencia entre AB tal y como se muestra en el circuito y es

= 505 + 5 + 5 = 10

Y por tanto la tensión entre terminales AB es

= 10 · (5 + 5 ) = 50 + 50 = 70,7 [45

En segundo lugar debemos calcular la resistencia de Thévenin esta vez pasivando el

circuito, es decir, cortocircuitaremos las fuentes. La resistencia de Thévenin del circuito

vista desde AB es

= (5 + 5 ) · ( 5 )5 + 5 5 = 5 5

Así pues el circuito equivalente será



Teorema o principio de Millman

El teorema o principio de Millman, llamado así en honor al electrónico ruso Jacob

Millman, es utilizado para obtener directamente la diferencia de potencial entre los

extremos de un circuito eléctrico. Resulta indicado cuando se tiene sólo dos nodos, o

lo que es lo mismo, varias ramas en paralelo. En concreto establece que

Un circuito de ramas en paralelo, cada una compuesta por una fuente de tensión

ideal en serie con un elemento lineal, la tensión en los terminales de las ramas es

igual a la suma de las fuerzas electromotrices multiplicadas por la admitancia de la

rama, dividido por la suma de las admitancias

Así pues se cumple

= 1

Este teorema resulta muy útil en la simplificación de circuitos.



Teorema de la máxima transferencia de potencia

La potencia activa suministrada a una carga desde un generador sinusoidal con una

tensión en circuito abierto y una impedancia interna = + es máxima cuando es igual al complejo conjugado de , esto es = . La potencia activa máxima suministrada a resulta = /4 . Por tanto para obtener potencia máxima en una determinada carga, debemos tener una resistencia de

Thévenin que sea el conjugado de dicha carga

= = =

2.2. Métodos de análisis de los circuitos eléctricos

Análisis de circuitos

Ahora nos centraremos en la resolución de circuitos sin simplificar. El procedimiento a

seguir será sistemático y metódico, sencillo de utilizar. Para ello definiremos algunos

parámetros característicos de todos los circuitos.

Cada circuito tendrá ramas, en cada una tendremos una caída de tensión y pasará

una determinada corriente, así pues el total de incógnitas será 2 y podremos obtener ecuaciones que relacionen dichas tensiones e intensidades.

Además, si es el número de nudos, aplicando la primera ley de Kirchhoff

obtendremos 1 ecuaciones.

El número de mallas es y cada una de ellas, aplicando la segunda ley de Kirchhoff,

nos da una ecuación que en total serán = + 1

Así pues resolveremos cualquier circuito encontrando la solución del sistema

resultante de orden siempre menor que 2 , buscando otras incógnitas, y a partir de éstas las tensiones y corrientes en cada elemento.

Existen dos métodos para encontrar las ecuaciones del circuito, el método de nudos y

el método de mallas.



Método de nudos

Se basa en la aplicación de la primera ley de Kirchhoff a los nudos menos el de

referencia. Las incógnitas son las tensiones entre cada nudo y el de referencia. A partir

de estas tensiones se pueden obtener todas las tensiones de rama. A partir de las

tensiones de rama se obtienen las corrientes de rama a través de las relaciones

constitutivas de los elementos de cada rama

=

EJ 14. Encontrar todas las intensidades del circuito y el potencial en el nudo A

= =

En este circuito tenemos = 4 ramas, = 2 nudos y = + 1 = 3 mallas. Un total de 5 incógnitas. Calculemos en primer lugar el valor de los elementos del circuito

= 1 = 110 · 10 · 10 = 10

= = 10 · 0,5 = 5

Aplicando ahora la ley de Kirchhoff de las corrientes tenemos

= 0

Y por la ley de las tensiones, tenemos hasta tres ecuaciones, una por cada malla

= + 0 = +( ) 10 = ( ) + ( + )

De este sistema de ecuaciones obtenemos

+

+

= 10

=10

= 10

=0,5

=5



= 0,8 0,4 = 0,2 + 0,4 = 0,4 + 0,2 = 1

Todas las intensidades en Amperios. A partir de este resultado podemos determinar el

potencial en A que es, desde la referencia fijada

= = 2 + 4

Otra manera de resolver el problema sería aplicar la primera ley de Kirchhoff con una

pequeña diferencia, escribiendo todas las intensidades en función del potencial de un

determinado punto. Para ello debemos escribir la diferencia de potencial que hay

entre los dos extremos de la rama y, por la ley de Ohm, dividir por la impedancia entre

estos dos puntos. Hay que tener sumo cuidado con los signos, sobre todo cuando nos

encontremos con fuentes dependientes. Tomando el punto como referencia, el

resultado sería

+ + ++ 10

+ = 0 = 2 + 4

Y a partir de este resultado sería relativamente sencillo obtener las intensidades de

rama.

Método de mallas

Este método se basa en la aplicación de la segunda ley de Kirchhoff a las mallas. Esta

vez las incógnitas son las corrientes de malla y a partir de estas se pueden obtener

todas las corrientes de rama fácilmente que, a su vez, permiten obtener las tensiones

de rama a través de las relaciones constitutivas de los elementos de cada rama.

=



EJ 15. Encontrar todas las intensidades del circuito y el potencial en el nudo a

partir de las intensidades de malla

Debemos encontrar las intensidades de malla , , . Aquellos elementos que compartan mallas, su intensidad resultante será la suma teniendo en cuenta el signo

que hemos considerado. Así pues la ecuación para cada malla es

A: = + ( )B: ( ) + ( )( ) = 0

C: ( )( ) + ( + ) = 10

= 0,8 0,4 = 0,6 0,8

= 1

A partir de estas intensidades de malla, podemos encontrar las intensidades de rama

fácilmente como sigue

= = = =

De manera que se llega a los mismos resultados que en el ejemplo anterior.

EJ 16. Encontrar todas las intensidades del circuito y el potencial en el nudo a

partir de las intensidades de malla

+

+

= 10

=10

= 10

=0,5

=5

=

+

+



Para resolver el circuito, es conveniente sustituir la fuente de corriente de la derecha

por una fuente de tensión situada en la parte izquierda tal y como vemos en la figura.

Su valor será la intensidad de la fuente de corriente inicial por la resistencia situada

en paralelo, en este caso . Ahora nuestro objetivo es buscar un método sistemático,

lo deduciremos a partir del planteamiento de las ecuaciones básicas que ya sabemos,

ordenaremos los miembros de cada ecuación, los expresaremos matricialmente e

identificaremos. A partir de la ecuación de las mallas tenemos

1 + + ( ) + ( ) = 0

2 ( ) + = 0

3 ( ) + + = 0

Tengamos en cuenta que = cuando resolvamos el sistema. Si reordenamos las ecuaciones de manera que escribimos a una banda las fuentes conocidas y a la otra las

caídas de tensión, tenemos

1 ( + + ) =

2 + ( + ) = 0

3 + ( + + ) = 0

Escribiendo de forma matricial tenemos

+ ++0 + +

= 00

Ahora podemos identificar cada elemento en cada posición. Si nos fijamos podemos

identificar que en cada posición tenemos los elementos que comparten las mallas y

. En el caso de que = tenemos todos los elementos de dicha malla. El criterio de signos es sencillo, en el caso de que las corrientes de malla que comparten una

determinada rama tengan el mismo sentido entonces el signo es positivo, en caso

contrario negativo. Para los términos de la matriz columna de la derecha, colocaremos

los valores de las fuentes de tensión de la malla con signo positivo si van en el mismo

sentido que la corriente que hemos determinado o negativo en caso contrario.



Este sistema es muy rápido en el caso de circuitos sin fuentes dependientes. En este

caso vemos que no hay un criterio intuitivo para colocar las fuentes dependientes en la

ecuación matricial. Por tanto es recomendable plantear las ecuaciones des del

principio cuando tengamos circuitos con fuentes dependientes. Si no hay fuentes

dependientes, la matriz es simétrica.



3. Sistemas trifásicos

Un sistema trifásico está formado por tres tensiones iguales con diferencias de fase

constantes que suministran energía a las cargas conectadas a las líneas. Los sistemas

trifásicos son los comúnmente utilizados para la generación y transmisión de la energía

eléctrica.

3.1. Sistemas trifásicos equilibrados

En la siguiente figura se presenta una máquina síncrona que gira con una velocidad

angular constante. La turbina hace girar el rotor donde tenemos un imán devanado

alimentado con corriente continua. Las bobinas, al girar verán un flujo dependiente del

tiempo y por tanto se inducirá una tensión sinusoidal, desfasada entre ellas 120 . Así pues, los voltajes de fase (esto es, el voltaje de cada línea a, b, y c al neutro n) están

dados por

= 0 = 120 = 120

La elección de una tensión como referencia con un ángulo de fase nulo determina los

ángulos de fase de todas las demás tensiones del sistema. Los triángulos de las figuras

representan todas las tensiones para las secuencias ABC y ACB. Según el orden de la

secuencia de fases tenemos



Secuencia de fases directa o positiva (A-B-C)

La primera recibe el nombre de secuencia de fase positiva o secuencia de fase ABC y se

ilustra en la figura siguiente.

Secuencia de fases indirecta o negativa (A-C-B)

La segunda se conoce como secuencia de fase negativa o secuencia de fase ACB y se

indica mediante el diagrama fasorial de la figura.

La secuencia de fase real de una fuente trifásica física depende de la elección arbitraria

de las tres terminales que se denominarán a, b y c, las que siempre se podrían elegir

para proporcionar una secuencia de fase positiva; se tomará como convención el

indicar siempre los voltajes como , y , y utilizar el orden abc. Además, normalmente se supondrá sin perder la generalidad que = 0 .

Una propiedad importante del conjunto de voltajes equilibrados es que

+ + = 0

Esta propiedad se observa fácilmente aplicando las leyes de Kirchhoff o bien

proyectando los fasores sobre el eje real e imaginario.



Desde el punto de vista de un usuario que conecta una carga a la fuente de voltaje

trifásica equilibrada, no es importante la manera en que se generan los voltajes. Sin

embargo, es importante observar que si las corrientes de carga generadas al conectar

una carga a la fuente también están equilibradas, existen dos configuraciones

equivalentes posibles para la carga. Se puede considerar que la carga equivalente está

conectada en configuración estrella (Y) o delta ( ). Las conexiones delta y estrella

tienen cada una sus ventajas. En el caso de Y se tiene acceso a dos voltajes, el de línea

(voltaje entre dos fases) y el de fase (entre la fase y el neutro), y proporciona un lugar

conveniente de conexión a tierra para protección del sistema; esto es, se limita la

magnitud de los sobrevoltajes. En el caso delta, esta configuración permanece mejor

en equilibrio cuando sirve a cargas no equilibradas, y es capaz de capturar la tercera

armónica.

Conexiones fuente / carga

Dado que la fuente y la carga se pueden conectar, ya sea en Y o en , los circuitos

equilibrados trifásicos pueden contarse como Y-Y, Y- , -Y o - . La técnica para el

análisis de todos estos circuitos es transformarlos en la forma estrella y, por tanto, sólo

se analizará el caso en conexión Y-Y y después veremos cómo transformar la

configuración en Y tanto en fuentes como en cargas. La estrategia general será pues

i. Convierta la conexión fuente/carga a una conexión Y-Y si la fuente, la carga o

ambas están conectadas en delta, ya que esta conexión Y-Y se puede usar

fácilmente para obtener los fasores desconocidos.

ii. Solamente se requiere determinar los fasores desconocidos para la fase del

circuito, ya que el sistema trifásico está equilibrado.

iii. Por último, convierta los fasores ahora conocidos a sus equivalentes en el

sistema original

Veamos el análisis de cada configuración

Conexión equilibrada Y-Y

La configuración equilibrada Y se muestra en la siguiente figura para las fuentes



Los voltajes de fase con secuencia positiva de fase son

= 0 = 120 = 120

Donde , el voltaje de fase, es la magnitud del voltaje de fasor entre el neutro y

cualquier línea. Los voltajes de línea a línea o simplemente de línea, se pueden calcular

por medio de las leyes de Kirchhoff de mallas y son

= 3 30 = 3 90 = 3 150

Esta figura muestra todos los voltajes de línea, junto con los voltajes de fase. La

magnitud de los voltajes de línea se denota como y, por tanto, para un sistema

balanceado

= 3



En consecuencia, en un sistema con conexión Y el voltaje de línea es igual a 3 veces el voltaje de fase.

La corriente de línea para la fase es

= = 0

Donde , tienen la misma magnitud, pero en retraso con en 120 y 240 , respectivamente. La corriente en el neutro es entonces

= + + = 0

Dado que en el neutro no hay corriente, este conductor podría tener cualquier

impedancia o podría ser un corto circuito o un circuito abierto, sin que cambien los

resultados que se obtuvieron previamente.

La corriente en la línea que conecta la fuente con la carga es la misma que la corriente

de fase que fluye a través de la impedancia . Entonces, en una conexión Y-Y

=

Donde es la magnitud de la corriente de línea e es la magnitud de la corriente en

una carga conectada en Y.

Es importante observar que aunque se tiene un sistema trifásico compuesto por tres

fuentes y tres cargas, se puede analizar una sola fase y utilizar la secuencia de fases

para obtener los voltajes y las corrientes en las otras fases. Obviamente, esto es

resultado directo de la condición de equilibrio. Incluso se pueden tener impedancias

en las líneas; sin embargo, mientras el sistema continúe equilibrado sólo se requiere

analizar una fase. El sistema estará equilibrado si las impedancias de línea en las líneas

a, b y c son iguales. Hay que recordar que el equilibrio de un sistema no se afecta por

lo que aparezca en la línea de neutro, y dado que la impedancia de esta línea es

arbitraria, se supone que es cero, es decir, un cortocircuito.

Fuente conectada en delta

Considere la fuente conectada en delta que se muestra en la figura.



Observe que las fuentes están conectadas en línea. Anteriormente se encontró la

relación entre los voltajes de línea y línea a neutro. Por lo tanto, si las fuentes en delta

son

= 0 = 120 = 120

Donde es la magnitud del voltaje de fase. Las fuentes equivalentes en Y serán

= 3 30 = 30 = 3 150 = 150 = 3 90 = 90

Donde es la magnitud del voltaje de fase de una fuente equivalente conectada en Y.

En consecuencia, si se encuentra una red con una fuente en conexión delta, se puede

convertir la fuente a la conexión Y, de tal forma que se puedan aplicar en el análisis

todas las técnicas descritas previamente.

Carga en conexión delta

Considere ahora la carga conectada en delta que se muestra en la figura



Obsérvese que en esta conexión el voltaje de línea es el voltaje en los extremos de

cada impedancia de carga. Por tanto tenemos

= = 30 = = 90 = = 150

Donde es la magnitud del voltaje de línea tanto en la carga conectada en delta

como en la fuente, ya que no hay impedancia de línea presenta en la red.

Además si = , las corrientes de fase en la carga son

=

Donde e tienen la misma magnitud, pero están retrasados respecto a en

120 y 240 respectivamente. Ahora se puede aplicar la ley de Kirchhoff de corrientes de fase para determinar las corrientes de línea. Por ejemplo

= + =

Sin embargo, quizá es más fácil convertir la carga equilibrada con conexión en una

carga equilibrada con conexión Y utilizando la transformación -Y. En el caso

equilibrado, las ecuaciones de transformación se reducen a

= 3

Y entonces la corriente de línea es simplemente

=

Por último, se puede demostrar que la relación entre las magnitudes de las corrientes

de fase en una carga conectada en delta y la corriente de línea es

= 3

Circuito monofásico equivalente de cargas trifásicas equilibradas

La figura muestra una carga equilibrada conectada en Y. En muchos casos, por ejemplo

en los cálculos de potencia, solamente se necesita el módulo de de las tres



intensidades de línea. Éste se puede obtener a partir de circuito monofásico

equivalente, figura de la derecha, que representa una fase del sistema original, en la

que se da arbitrariamente a la tensión fase-neutro el ángulo de fase cero. Esto hace

que = , donde es el argumento de la impedancia. Si se desea conocer las intensidades de línea reales , , sus ángulos de fase se determinarán añadiendo – a los ángulos de fase , , . Observe que el ángulo de indica el factor de potencia de cada fase = cos .

El método puede aplicarse a cargas conectadas en si la carga se sustituye por su

equivalente en Y, donde = /3.

3.2. Sistemas trifásicos desequilibrados

Para analizar las soluciones para cargas desequilibradas, trataremos los circuitos con

cargas conectadas en triángulo y las conectadas en estrella

Cargas desequilibradas conectadas en triángulo

La solución de cargas desequilibradas en consiste en calcular las intensidades de fase

y posteriormente aplicar la ley de Kirchhoff de nudos para obtener las de línea. Las

intensidades de corriente serán distintas entre sí y no tendrán la simetría del caso

equilibrado.

Para transformar la carga conectada en triángulo a estrella tenemos las siguientes

relaciones

= + + = + + = + +



Cargas desequilibradas conectadas en estrella

El conductor del neutro transporta la corriente de desequilibrio de una carga

conectada en estrella y mantiene el valor de la tensión fase-neutro a lo largo de cada

línea hasta la carga. Las intensidades de línea son distintas entre sí y no guardan

simetría alguna en el diagrama fasorial.

Para transformar la carga conectada en estrella a triángulo tenemos las siguientes

relaciones

= + + = + + = + +

3.3. Potencia en sistemas trifásicos

Para el cálculo de potencias podemos obtener la potencia activa por un lado y la

reactiva por otro o bien encontrar la potencia aparente de forma compleja. La

potencia aparente en forma compleja será la suma de cada tensión de fuente por la

intensidad de línea conjugada

= ·

En este caso no estamos encontrando la potencia de cada carga sino la del conjunto a

partir de la potencia que entregan las fuentes.

Relaciones de potencia

En el caso de querer encontrar la potencia activa y reactiva por separado, no nos debe

importar si la carga está conectada en Y o en delta, dado que ambas son

= cos = sin

O lo que es lo mismo

= 3 cos = 3 sin

La potencia total real y reactiva para las tres fases es, entonces



= 3 cos = 3 sin

Y así, la magnitud de la potencia compleja o potencia aparente es

= + = 3 =

Medición de potencia con vatímetros

- Método de los dos vatímetros, conexión Aron

Este método sirve para medir potencia activa para cargas equilibradas y

desequilibradas tanto para secuencia directa como para inversa. También sirve para la

medida de la potencia reactiva pero solo en el caso de cargas equilibradas ya sean en

estrella o triángulo. , y para la medida de la potencia reactiva en los sistemas

equilibrados y en ambas secuencias, la disposición de los vatímetros puede se

cualquiera de las figuras siguientes

El vatímetro 1 toma la intensidad desde una fase y la tensión desde esta misma fase

hasta la fase anterior 1. El vatímetro 2 toma la intensidad de una fase distinta y la tensión de esta fase hasta la fase siguiente + 1.

Se puede demostrar que con este sistema la potencia activa y reactiva es

= + = 3( )



- Método de los dos vatímetros para cargas con neutro

En el caso de tener una conexión con cargas conectas en estrella con neutro,

disponemos de una conexión alternativa que nos permite determinar la potencia

fácilmente. Esta configuración se muestra a continuación

En este caso la potencia activa y reactiva son

= 3 = 3

- Método de los tres vatímetros para cargas no equilibradas

La configuración Aron no diferenciaba cargas equilibradas de desequilibradas para el

cálculo de la potencia activa, sin embargo no sucede lo mismo para la potencia

reactiva. Así pues para determinarla tenemos la siguiente configuración alternativa

como podemos ver a continuación

En este caso necesitamos tres vatímetros y se puede demostrar que la potencia activa

y reactiva vienen dadas por



= + = 13( + 2 )

Se puede ver que la potencia activa no cambia la expresión respecto el primer caso

como ya se ha mencionado anteriormente.

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