Circuito RC (Práctica #5)RC Circuit (Practice #5)

Grupo 06-02

Gina Paola Alfonso 1,2,4, Paola Viviana Ramirez 1,2,5, Lina Paola Pinzón 1,2,6, Sebastián Camilo Buitrago 1.2,7, Hector Antonio Henao 1,3,8

1) Universidad Nacional De Colombia, Facultad de Ingeniería.2) Departamento de Ingeniería Química e Ingeniería Ambiental.

3) Departamento de Ingeniería Eléctrica e Ingeniería Electrónica.4) gpalfonsos@unal.edu.co5) pvramireza@unal.edu.co6) lppinzonr@unal.edu.co7) scbuitragol@unal.edu.co8) heahenaolu@unal.edu.co

RESUMEN

En esta práctica se realiza la carga y descarga de un condensador a través de una resistencia para conocer cómo varía el potencial en éste y así encontrar el tiempo

característico τ de un circuito RC. Para ello se utilizarán implementos tales como voltímetro, una Fuente Electromotriz, un condensador y una resistencia.

MARCO TEÓRICO

Un circuito es una red cerrada que permite el paso de corriente eléctrica y consta por lo general de baterías, resistores y capacitores, que se pueden tener en diferentes combinaciones con el fin de condicionar el flujo de corriente dependiendo el uso que se le va a dar a cada circuito.

Los resistores son dispositivos usados para controlar el nivel de corriente en diferentes puntos de un circuito eléctrico, esto cuando la resistencia interna de los demás elementos del circuito no es suficiente para hacerlo. Por otro lado se tienen los capacitores, que son aquellos dispositivos que almacenan carga eléctrica y como ya se mencionó son utilizados para gran variedad de circuitos eléctricos, además consta de dos conductores separados por un aislante, cuyo material y forma determinan el valor de la capacitancia del capacitor, la cual se define como la razón entre la magnitud de la carga de uno de estos conductores y la diferencia de potencial entre estos y cabe resaltar que dicho valor siempre debe ser positivo.

Un circuito RC es aquel que contiene una combinación en serie de un capacitor y un resistor, lo que hace que el tiempo sea un factor indispensable en el análisis de este tipo de circuitos, ya que en este caso se puede tener un capacitor que se puede cargar o descargar por medio de un resistor, en donde la respectiva carga de dicho capacitor y la corriente que fluye por el circuito varían con el tiempo como se muestra con detalle más adelante.

Carga de un capacitor

Figura 1. Carga de un capacitor

En un circuito en serie como el que se muestra en la figura 1, se observa que cuando el interruptor cierra el circuito, comienza a fluir una corriente a través de él y por lo tanto el capacitor comienza a cargarse, este proceso en análisis de circuitos se le denomina respuesta forzada de un circuito RC. A medida que se va cargando la diferencia de potencial en el capacitor aumenta y en la resistencia disminuye. El valor máximo de la carga del capacitor será cuando se igualen la diferencia de potencial del capacitor con la de la batería (cuando se completa la carga del capacitor) , en este punto ya no habrá flujo de corriente y el valor de la corriente será igual a cero. Por otro lado, al medir la diferencia de potencial en la resistencia a medida que se va cargando el capacitor vemos que disminuye ya que la resistencia impide que toda la diferencia de potencial fluya a través del circuito, es por esto que la corriente máxima que se presenta en la resistencia es en t=0.

Para analizar cuantitativamente la carga del capacitor usamos las leyes de Kirchhoff, las cuales son igualdades que se obtiene a partir de la conservación de la energía; y que se dividen en dos leyes básicas:

● Ley de nodos: La primera ley afirma que la suma de corrientes que entran a un nodo es equivalente a la suma de corrientes que sale; o lo que es lo mismo que la totalidad de corrientes que pasan es igual a 0.

∑k=1

n

I k=I 1+ I 2+ I 3+...+ In=0

● Ley de tensiones (ley de la espira): La segunda ley (usualmente usada en compañía de la primera), asegura que las caídas de tensión en una espira es igual a la tensión suministrada a lo largo de la misma. Es decir que la suma de la diferencia de potencial es igual a 0.

∑k=1

n

V k=V 1+V 2+V 3+ ...+V n=0

De las cuales se puede partir para llegar a la siguiente expresión:

ε− qC

−IR=0

En el circuito, al cerrar el interruptor en el tiempo t=0 la carga que se encuentra en las placas comienza a fluir por el circuito hasta que es el 63% de la carga final. Transcurrido un determinado tiempo, las cargas en las placas del condensador se agotan, y según la ley de la conservación de la energía se obtiene la ecuación:

-qC

−IR=0

Lo anterior nos permite encontrar una ecuación, cuyo fin sea saber cuál es el valor de la carga en un tiempo t :

I=dqdt

= εR

− qRC

=C εRC

− qRC

dqdt

=−q−C εRC

dqq−Cε

=−1RC

dt

∫0

q dqq−C ε

=−1RC∫

0

t

dt

q (t)=C ε (1−e❑−t /RC)=Q(1−e❑−t /RC)

I (t)= εR

−Cε (1−e❑−t /RC)

RC= εRe❑−t /RC

Otro término importante es la constante de tiempo en el circuito es lo que se conoce como tiempo característico o constante de tiempo del circuito:

τ=RC

el cual es el intervalo de tiempo en el cual la corriente disminuye hasta 1/e de su valor inicial I=e❑−1 I❑i, es decir hasta un 36,8% de su valor inicial; y también es el tiempo

en el que la carga aumenta de cero a (1−e❑−1)C ε.

Figura 2. Gráfica q vs. t Figura 3. Gráfica I vs. t

Como se observa en las anteriores gráficas la carga máxima en el capacitor será cuando t→∞ , la corriente máxima en el circuito será en t=0 y cero cuando t→∞, por lo explicado anteriormente.

Descarga de un capacitor

Figura 4. Descarga de un capacitor.

La descarga de un capacitor consiste en tenerlo previamente cargado, luego se desconecta de la fuente y se cierra el circuito. En el instante en que se cierra el interruptor el capacitor comenzará a descargarse y la carga disminuirá a medida que transcurre el tiempo, se originara una respuesta que depende de las características físicas del circuito y de las condiciones iniciales denominada respuesta natural.

Realizando el mismo análisis cuantitativo con el uso de las leyes de Kirchhoff:

−qC

−IR=0

−qC

−dqdtR=0

dqq

=−1RC

dt

∫Q

q dqq

=−1RC∫

0

t

dt

ln ( qQ

)= −tRC

q (t)=Qe❑−t /RC

Para hallar la corriente en un tiempo t basta con calcular la derivada de Q respecto al tiempo.

I (t )=dqdt

=−Qe❑−t /RC

RC

Otro aspecto importante es que como vemos en las figuras de los circuitos la dirección de la corriente en la carga y descarga del capacitor es contraria, debido a que cuando se está cargando la corriente sale de la fuente y llega al capacitor, en cambio en la descarga la corriente sale del capacitor.

EXPERIMENTO

Carga de un capacitor

Se utiliza una resistencia de 61,5k Ω y un condensador de 1000μ F, y se conectan según la figura:

Se cierra el circuito y cada 10 y 20 segundos se toman los datos que aparecen en el Voltímetro, los cuales corresponden al Potencial de la Resistencia. Conociendo que: V t=V c+V R Se despeja el Potencial que hay en el condensador. Así mismo, la resistencia cumple la Ley de Ohm: V R=IR Por lo que puede despejarse la corriente que circula por el Circuito.

A partir de los datos anteriores se realizan tres gráficas distintas y se procede a calcular el tiempo característico τ , a partir del análisis de cada una de ellas y además se calcula el error obtenido con respecto al valor teórico, que corresponde al producto entre la resistencia y la capacitancia de los elementos utilizados.

τ teórico=RC=(1 x10−3F)(61,5x 103Ω)=61,5 s

Los valores de Vc se obtienen por medio del voltaje medido con el voltímetro en cada tiempo, que corresponde al voltaje de la resistencia (Vr), y como se puede ver disminuye al pasar el tiempo, debido a que en el proceso de cargado, el voltaje del condensador (Vc) aumenta al ir almacenando la carga eléctrica. Por lo tanto el Vc se obtiene restando el Vr del voltaje total que es 12,59 V, (Tabla 1)y a partir de esto se realiza la siguiente gráfica:

● Con base en la Figura 2. Gráfica q vs. t, se puede ver que el comportamiento de la gráfica si corresponde al esperado, por lo tanto el valor de τ puede determinarse a mediante la relación:

τ=0,63V max=(0,63)(12,59V )=7,9317V

a partir de la ecuación de la Gráfica 2: V (t )=0,8055 t0,5233 se encuentra el valor de t al que corresponde dicha diferencia de potencial, el cual es 79,0948 s

El error relativo de τcalculado a partir del voltaje es:

E❑r=|61,5−79,0948|

61,5×100=28,6%

A continuación se calcula el valor de la corriente (I) para cada tiempo según la ecuación de corriente según la ley de Ohm, es decir, la razón entre el voltaje de la resistencia en cada tiempo y la magnitud de dicha resistencia. (Tabla 1)

● El valor de τ puede determinarse a mediante la relación mostrada en la figura 3. Gráfica I vs. t :

τ=0,37 Imáx=0,37V total

R=(0,37)( 12,59V

61,5 x 103Ω)=7,57447 x10−5 A

a partir de la ecuación de la Gráfica 3: A( t)=0,0002e−0,014 t se encuentra el valor de t al que corresponde dicha corriente, el cual es 69,35348 s

El error relativo de τcalculado a partir de la corriente es de:

E❑r=|61,5−69,35348|

61,5×100=12,8%

Otra manera de obtener el valor de la constante de tiempo es por medio de la ecuación ya mencionada:

I (t)= εRe❑−t /RC

como se trata de la carga del capacitor se tiene que Imax=εR , es decir la corriente cuando

t=0, obteniendo:

I (t )=Imaxe❑−t /RC

por lo tanto para obtener el valor de τ=RC, se procede a hacer la linealización de la gráfica 3 (I vs. t), cambiando la ecuación anterior por una línea de la forma y=mx, donde m es la pendiente del gráfico, obteniendo:

I (t )Imax

=e❑−t /RC ln ( I (t)Imax

)= −tRC

De esta manera se obtiene la Gráfica 4: (ln(I/Imax) vs t), en donde la pendiente (m)

corresponde a −1RC y se muestra a continuación:

● Sabiendo que la pendiente de la gráfica es -0,014, se calcula el valor de la constante de tiempo de la siguiente manera:

m=−1RC τ=RC=−1

m= −1

(−0.014)=71,4286 s

El error relativo de τcalculado a partir de la relación ln(I/Imax) es:

E❑r=|61,5−71,4286|

61,5×100=16,1%

Descarga de un capacitor

Con los mismos implementos utilizados en la primera parte de la práctica, se realiza el montaje:

En este caso los valores de voltaje medidos corresponden a los del capacitor en cada tiempo, por lo tanto se realiza la gráfica usando los datos mostrados en la tabla 2, y se ve claramente que el comportamiento es exponencial al igual que el de la resistencia cuando se realizó la carga del capacitor, lo que quiere decir que si cumple con lo planteado en la teoría, sin embargo comparando el potencial del capacitor en la carga y la descarga, en el primero se tiene un comportamiento logarítmico, por lo tanto en este caso, al descargarlo, el tiempo característico será ahora el momento en el que el voltaje sea el 36,8% de su valor máximo.

● A partir de la gráfica de Vc vs t , τen la descarga del capacitor se calcula con la siguiente relación:

τ=0,37V❑máx.=0,37×12,59V=4,66V

Mediante la ecuación de la gráfica V (t )=12,098 e❑−0,016t obtenemos el τ :

τ= −10,016

ln( 4,6612,098 )=59,65 sEl error relativo de τcalculado a partir del voltaje del capacitor en la descarga es:

E❑r=|61,5−59,65|

61,5×100=3,0%

Otra manera de obtener el valor de la constante de tiempo es por medio de la ecuación ya mencionada:

I (t)=−Qe❑−t /RC

RC

RI ( t )=QCe❑−t /RC

en esta segunda ecuación se omite el signo negativo, ya que ese solo indica la dirección de la corriente, además como se trata de la descarga del capacitor se tiene que según la ley de Ohm RI ( t)=V (t ), por otro lado el voltaje también se define como la razón entre la carga y la capacitancia, y según la ecuación Q esta corresponde a la carga cuando t=0, es decir su valor máximo antes de empezar a descargarse, y al dividir este valor por la capacitancia que

es un valor constante se tiene que QC

=V máx, llegando a la siguiente expresión:

V (t )=V maxe❑−t /RC

por lo tanto para obtener el valor de τ=RC, se procede a hacer la linealización de la gráfica 5 (Vc vs. t), cambiando la ecuación anterior por una línea de la forma y=mx, donde m es la pendiente del gráfico, obteniendo:

Vc(t )V max

=e❑−t /RC ln (Vc (t)V max

)=− tRC

De esta manera se obtiene la Gráfica 4: (ln(Vc/Vmax) vs t), en donde la pendiente (m)

corresponde a −1RC y se muestra a continuación:

● Sabiendo que la pendiente de la gráfica es -0,0156, se calcula el valor de la constante de tiempo de la siguiente manera:

m=−1RC τ=RC=−1

m= −1

(−0.0159)=62,8931 s

El error relativo de τcalculado a partir de la relación ln(Vc/Vmax) es:

E❑r=|61,5−62,8931|

61,5×100=2.2%

El valor de τcalculado mediante las gráficas de la descarga del capacitor es más exacto que el valor calculado con las gráficas de la carga del capacitor.

CONCLUSIONES

● La forma en que varía la diferencia de potencial entre las placas de un condensador no admite cambios bruscos, el voltaje del capacitor crece o decrece de manera exponencial para la carga y descarga respectivamente.

● La constante de tiempo τ teórica tiene el mismo valor para la carga y descarga del capacitor ya que está sólo depende del valor de la resistencia y de la capacitancia, las cuales no cambian.

● La constante de tiempo tiene muchas expresiones con las cuales se puede calcular su valor mediante las gráficas de voltaje, corriente y la relación entre ellas en la carga y descarga del capacitor.

● Las leyes de Kirchhoff nos permiten realizar un análisis cuantitativo de cómo se comporta un circuito RC en la carga y descarga del capacitor.

● La carga, el voltaje y la corriente tienen un comportamiento exponencial en la carga y descarga de un capacitor en un circuito RC.

BIBLIOGRAFÍA

MARCO TEÓRICO

Charles K, Alexander & Matthew N. O. Sadiku. (2006). Circuitos de primer orden. Fundamentos de circuitos eléctricos (volumen 1)(254-257,254). McGRAW-HILL INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.

Bautista, E & Ortiz, M. (2001). Circuito RC. En Guías de laboratorio de Física II (Electromagnetismo) (29-35). Bogotá D.C: Universidad Nacional De Colombia.

Serway, R & Jewett, J. (2005). Circuito RC (Carga de un capacitor y descarga de un capacitor). Capítulo 28: Circuitos de corriente eléctrica (789-791). En Física para ciencias e ingenierías (volumen 2). México D.F: Cengage learning.

Serway, R & Jewett, J. (2005). Resistencia. Capítulo 27: Corriente y Resistencia (757-760). En Física para ciencias e ingenierías (volumen 2). México D.F: Cengage learning.

IMÁGENES Y FIGURAS

Serway, R & Jewett, J. (2005). Figura 28.16 y Figura 28.17. Capítulo 28: Circuitos de corriente eléctrica (789 y 790). Tomada de Física para ciencias e ingenierías (volumen 2). México D.F: Cengage learning.