Circuferência

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CIRCUNFERÊNCIA

MATEMÁTICA

1. U.Católica-DF A equação da circunferência cujos extremos do diâmetro são A(2, 3) eB(6, 3) é:

a) x2 + y2 – 8x – 6y + 21 = 0 d) x2 + y2 – 8x – 6y + 9 = 0

b) x2 + y2 – 8x – 9y + 21 = 0 e) x2 + y2 + 8x + 6y – 21 = 0c) x2 + y2 – 16x – 9y + 21 = 0

2. UFMS A circunferência λ tem centro no ponto (1, 0), passa pelo ponto (1, 2) e intercepta ossemi-eixos positivos x e y, respectivamente nos pontos A e B. Sendo y = mx + b a equaçãoda mediatriz do segmento AB, calcule (m – b)2.

3. UFMS Num sistema cartesiano ortogonal xOy, considere C a circunferência definida pelaequação x2 + y2 – 20x + 36 = 0 e r uma reta definida pela equação y = kx, k uma constantereal. Então, é correto afirmar que:(01) O raio da circunferência C mede 6 unidades de comprimento.

(02) O centro da circunferência C é um ponto do eixo Ox.

(04) A circunferência C é tangente ao eixo Oy.

(08) Se a reta r for tangente à circunferência C, então o triângulo cujos vértices são aorigem do sistema xOy, o ponto de tangência e o centro da circunferência C, é umtriângulo retângulo.

(16) Se a reta r for tangente à circunferência C, então a distância da origem do sistemaxOy ao ponto de tangência é 6 unidades de comprimento.

(32) para – 4

< k < 4 , a reta r intersecta a circunferência C em dois pontos distintos.

Dê, como resposta, a soma das alternativas corretas.

4. UFBA A, B e C são pontos de interseção da circunferência x2 + y2 = 4, respectivamente,com o semi-eixo positivo das abscissas, o semi-eixo positivo das ordenadas e a reta y = x.Se C pertence ao 3º quadrante e m é a medida, em u.a., da área do triângulo ABC, calculem(1 + 2)–1.

5. UFMS Considerando a circunferência de equaçãox2 + y2 – 4x = 0, é correto afirmar que:

(01) O centro da circunferência é o ponto de coordenadas (–2; 0).

(02) O ponto de coordenadas (2; 2) pertence à circunferência.

(04) A reta de equação y = 2 é tangente à circunferência.

(08) O raio da circunferência é igual a 4.

(16) A reta de equação y = x – 2 passa pelo centro da circunferência.


6. U.F. Santa Maria-RS As retas r e s tangenciam a circunferência de equaçãox2 + y2 – 4x + 3 = 0, respectivamente, nos pontos P e Q e passam pelo ponto O (0,0). Amedida do ângulo PÔQ vale:

a) 15º d) 60º

b) 30º e) 90ºc) 45º

3 3


2

7. AEU-DF Considere a reta de equação x + 2y = 9 e a circunferência dada pela equaçãox2 + y2 – 2x – 4y – 11 = 0. Em relação a tais elementos, analise e julgue os itens.

( ) A reta passa pela origem do sistema.

( ) O centro da circunferência é um ponto da reta.

( ) O raio da circunferência é maior do que a distância de seu centro à origem do sistema.

( ) A reta divide a região interna da circunferência em duas partes de áreas diferentes.

( ) Nenhum ponto da circunferência tem ordenada maior do que 5.

8. UFMS A equação da circunferência de centro (3, 2) e tangente ao eixo das ordenadas é:

a) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 4 d) x2 + y2 – 6x – 4y + 9 = 0

b) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 9 e) x2 + y2 – 6x – 4y = 0c) x2 + y2 – 6x – 4y + 4 = 0

9. UFMT Considere que a circunferência C passa pelos pontos (0, 2), (0, 0) e (6, 0). A partirdesta afirmação, julgue os itens.

( ) A equação desta circunferência é x2 + y2 – 8x – 2y = 0( ) Os pontos (0, 2), (6, 0) e o centro desta circunferência são colineares.

10. Unirio Considerando uma circunferência de centro (2, 1), que passa pelo ponto (2, –2), assi-nale a opção correta.

a) A equação da circunferência é (x – 2)2 + (y – 1)2 = 3.

b) O interior da circunferência é representado pela inequação x2 + 4x + y2 + 2y < 4.

c) O interior da circunferência é representado pela inequação x2 – 4x + y2 – 2y < 4.

d) O exterior da circunferência é representado pela inequação x2 – 4x + y2 – 2y > – 2.

e) O ponto (5, –1) pertence à circunferência.

11. U.Católica-DF Após analisar as afirmativas abaixo, escreva V para as afirmativas verda-deiras ou F para as afirmativas falsas.

( ) A circunferência de equação x2 + y2 – 4x + 2y + 3 = 0 intercepta o eixo das abscissasnos pontos A(a, 0) e B(b, 0). Sendo C o centro da circunferência, a área do triânguloABC é 1 u.a.

( ) Sendo A = (1, 4) e B = (4, –1), a mediatriz do segmento AB passa pela origem.

( ) A região do plano cartesiano determinada pelo sistema

é um triângulo isósce-les de vértices (0, 0),(–3, 3) e (–3, –3).

( ) No triângulo OPQ, representado na figura abaixo, OP ≡ PQ e PQ é paralelo ao eixo

Oy. Se M é o ponto médio de OQ, então suas coordenadas são ( 3 , 3).

y

Q

M

O x

P(3,2)

y ≥ xy ≤ –xx ≥ –3

�

2

( ) A equação da reta que passa pela origem e pelo vértice da parábola x = y2 – 4y + 3 éy = 2x.

12. UEPI A reta de equação x + y + 1 = 0 intercepta o eixo das ordenadas no ponto P. Aequação da circunferência de centro P e raio 2 é:

a) x2 + y2 – 2y – 3 = 0 d) x2 + y2 + 2y – 3 = 0

b) x2 + y2 + 2y + 5 = 0 e) x2 + y2 – 3y – 2 = 0c) x2 + y2 + 3y – 4 = 0


3

13. UFR-RJ Determine os valores de m para que a reta de equação mx – y + 2 = 0 sejatangente à circunferência de equação x2 + y2 = 2.

a) m = 3 ou m = –2 d) m = 1 ou m = –1

b) m = 3 ou m = 2 e) m = 2 ou m = – 2c) m = 2 ou m = 3

14. UFRN A circunferência de centro no ponto (–2, –2) etangente aos eixos coordenados é interceptada pela bis-setriz do 3º quadrante, conforme a figura ao lado.

O ponto P, assinalado na figura, tem coordenadas:

a) x = –2 3; y = –2 3

b) x = –2 – 3; y = –2 – 3

c) x = –2 2; y = –2 2

d) x = –2 – 2; y = –2 – 2

15. Unifor-CE Na circunferência de equaçãox2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0, o ponto que tem maior abscissa é:

a) (5; 1) b) (5; 0) c) (2; 4) d) (2; 2) e) (2; 1)

16. Unicap-PE Seja a circunferência de equação x2 + y2 + 10x + 2y – 23 = 0. Julgue osseguintes itens:

a) O ponto P(2, –1) está na região exterior à circunferência.

b) O ponto C(5, 1) é o centro da circunferência.

c) A reta que passa pelos pontos A(2, –1) e B(–5, –1) contém um diâmetro da circunferência.

d) O comprimento da circunferência mede 14π unidades de comprimento.

e) Existe uma e somente uma reta r tangente à circunferência em questão.

17. Unifor-CE Seja λ a circunferência de centro no ponto (– 4; 3) e tangente ao eixo dasordenadas. A equação de λ é:

a) x2 + y2 – 8x + 6y + 9 = 0 d) x2 + y2 + 8x – 6y + 9 = 0

b) x2 + y2 – 8x + 6y + 16 = 0 e) x2 + y2 + 8x – 6y + 16 = 0c) x2 + y2 + 8x – 6y – 9 = 0

18. U. F. Juiz de Fora-MG Consideremos as circunferências C1 e C

2 de equações

x2 + y2 – 4x – 2y + 1 = 0 e x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0, respectivamente. É correto afirmar que:

a) C1 é tangente ao eixo das abscissas.

b) C1 e C

2 se intersectam em um único ponto.

c) C1 e C

2 se intersectam em dois pontos.

d) C1 e C

2 não se intersectam.

19. UECE Num plano, munido de um sistema cartesiano ortogonal, o centro O da circunfe-rência que contém os pontos P(0, 0), Q(3, 3) e R(0, 8) é:

a) O(–2, 5) b) O(1, 5) c) O(–1, 4) d) O(–3, 4)

20. Unifor-CE A circunferência de equação x2 + y2 – 6x – 8y + 24 = 0 tem:

a) centro no ponto (–3; 4). d) raio 2.

b) raio 1. e) centro no ponto (3; 0).c) centro no ponto (4; 3).

21. UFBA A circunferência, de centro na intersecção das retas 2x + 3y = 4 e 3x + 5y = 6 etangente à reta 2x – y + 5 = 0, tem para equação Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0. Calcule|A + B + C + D + E|.

– 2

– 2

x

P

y


4

22. U. Alfenas-MG Se x2 + y2 – 2x – 4y + k = 0 representa uma circunferência, então:

a) 6 < k < 8 b) k = 8 c) k = 6 d) k < 5 e) k > 8

23. UFR-RJ Se a área de uma figura é representada pela solução do sistema

pode-se afirmar que esta área corresponde a:

a)9π

d)3 ( π – 3 )

b)9 ( π – 2 )

e)π – 3

c)3 ( π – 3 )

24.UFBA Considerando-se, no sistema de coordenadas cartesianas, os pontos A (1, 2),B (2, 1) e C (0, 1), pode-se afirmar:

(01) Se C’ é o ponto simétrico de C em relação à reta x = 2, então a reta que passa por C’e pela origem tem equação 4x – y = 0.

(02) O triângulo de vértices nos pontos A, B e C é retângulo em A.

(04) A reta AC faz ângulo de 45° com o eixo OX.

(08) Aplicando-se ao ponto A uma rotação de 45° em torno do ponto C, obtém-se o ponto(0, 1 + 2).

(16) A área do triângulo de vértices nos pontos A, B e C mede 2 u.a.

(32) A equação da circunferência circunscrita ao triângulo de vértices nos pontos A, B e Cé x2 + 2x + y2 + 2y – 1 = 0.

(64) O raio da circunferência com centro na origem e tangente à reta AB mede u.c.


25. PUC-RS Uma circunferência tem centro na interseção da reta x = –2 com o eixo dasabscissas e passa pelo ponto de interseção das retas y = –2x + 8 e y = x + 2.

A equação dessa circunferência é:

a) x2 + y2 = 20 d) (x – 2)2 + y2 = 32

b) x2 + (y + 2)2 = 32 e) (x – 2)2 + (y – 2)2 = 32c) (x + 2)2 + y2 = 32

26. UFSC Dados, num sistema de coordenadas cartesianas, o ponto P de coordenadas (1, 2),a reta s de equação x + y – 1 = 0 e a circunferência C de equação x2 + y2 + 4x + 4y + 4 = 0.Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).

01) A menor distância do ponto P à circunferência C é de 3 unidades de comprimento.

02) A equação da reta que passa pelo ponto P e é perpendicular à reta s é x + y – 3 = 0

04) Com relação à posição de C e s, pode-se afirmar que C e s são tangentes.

08) A área do triângulo, cujos vértices são o ponto P, o centro da circunferência C e oponto Q de coordenadas (1, –2), é de 6 unidades de área.

27. UFPR Na figura ao lado está representada uma cir-cunferência de raio 6 e centro na origem do sistema decoordenadas cartesianas. Dados A(6, 0), M(3, 0) eB(0, 6) e sendo P ponto de interseção da circunferên-cia com a reta que contém M e é perpendicular ao seg-mento OA, é correto afirmar:

( ) A equação da reta que contém A e B éx + y + 6 = 0.

( ) A equação da circunferência é x2 + y2 = 36.

( ) A área do triângulo OMP é igual a 9 3.

( ) A área da região destacada é igual a (12π – 9 3).

( ) A distância de P a M é menor que 6.

( ) Os segmentos OA e OP formam ângulo de 45°.

x2 + y2 ≤ 9

x – y + 3 ≤ 0,

4

4

2

4

3

3 22

y

x2 3 a+2

1

y

x3

-1

a+2

y

x

1a

3

y

x30

1

a

y

xa1

1

2


5

28. PUC-PR A distância do ponto P (1; 8) ao centro da circunferência x2 + y2 – 8x – 8y + 24 = 0 é:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6

29. PUC-RS A equação da circunferência que tem centro na origem e tangencia as retas

r: y = 3 x + 5 e s: y =

3 x – 5 é:

a) x2 + y2 = 4 d) (x – 3)2 + (y – 4)2 = 25

b) x2 + y2 = 16 e) (x + 5)2 + (y – 5)2 = 9c) x2 + y2 = 25

30. Unifor-CE Se AB é um diâmetro da circunferência λ, então a equação de λ é:

a) x2 + y2 – 2x + 2y = 2 d) x2 + y2 – 2x + 2y = 0

b) x2 + y2 – 2x – 2y = 2 e) x2 + y2 – 2x – 2y = 0

c) x2 + y2 + 2x – 2y = 2

31. U. Passo Fundo-RS A equação da circunferência com centro na origem do sistema carte-siano e que passa pela interseção das retas r: x – y = 0 e s: x + y – 4 = 0 é:

a) x2 + y2 – 4 = 0 d) x2 + y2 + 2x + 2y – 8 = 0

b) x2 + y2 – 4x – 4y = 0 e) x2 + y2 + 8 = 0c) x2 + y2 – 8 = 0

32. U. E. Ponta Grossa-PR Sobre um segmento AB que tem como extremidades os pontosA (–2, 1) e B (4, 3), assinale o que for correto:

01) A reta s: x + 3y – 7 = 0 é paralela à reta suporte desse segmento AB.

02) A reta r: y = – 3x + 5 é mediatriz desse segmento AB.

04) Esse segmento AB é uma corda da circunferência β: x2 + y2 – 10y + 5 = 0.

08) Se AB é o lado de um quadrado, sua área vale 2 10 u.a.

16) A reta suporte desse segmento AB intercepta os eixos coordenados nos pontos

P (0, – 2 ) e Q (5, 0).


33. UFPR Considerando que as trajetórias dos móveis A, B e C estejam representadas em umsistema de coordenadas cartesianas ortogonais e sejam expressas pelas equações2x – y = 0, y – 1 = 0 e x2 + y2 = 1, respectivamente, é correto afirmar:

( ) A trajetória de B é uma reta paralela ao eixo y.

( ) As trajetórias de A e C são tangentes entre si.

( ) A trajetória de C é uma circunferência.

( ) As trajetórias de A e B se interceptam no ponto (1, 1).

( ) Se α é o menor ângulo que a trajetória de A faz com o eixo das abscissas, então tg α = 2.

34. UFPR Considerando uma circunferência de raio 1 e centro na origem de um sistema decoordenadas cartesianas ortogonais, é correto afirmar:

( ) A circunferência intercepta o eixo x no ponto (0, –1).

( ) Existe valor de α para o qual o ponto (2 cosα, senα) pertence à circunferência.

( ) Se o ponto (a, a) pertence à circunferência, então a = 2 .

( ) A circunferência intercepta a reta x – y + 2 = 0 em dois pontos.

( ) A circunferência tem um diâmetro que contém o ponto ( –1

, –1

) e é perpendicu-lar à reta x + y + 1 = 0.

4 4

3

2 2


6

35. Unifor-CE Considere a circunferência cujo diâmetro é o segmento de extremidadesA(0; 6) e B(10; 2). O comprimento da corda determinada pela interseção do eixo y coma circunferência é:

a) 5 b) 4,5 c) 4 d) 3,75 e) 3

36. U. E. Londrina-PR Uma circunferência de raio 2 tem centro na origem do sistema carte-siano de coordenadas ortogonais. Assim, é correto afirmar:

a) Um dos pontos em que a circunferência intercepta o eixo x é (0,1).

b) A reta de equação y = –2 é tangente à circunferência.

c) A equação da circunferência é x2 + y2 + 4 = 0.

d) A reta de equação y = x + 2 não intercepta a circunferência.

e) O ponto (2, 2) está no interior da circunferência.

37. UFSC Seja C uma circunferência de equação x2 + y2 – 2x – 2y – 6 = 0, e seja r a retade equação x + y = 6. Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões)VERDADEIRA(S).01) Em coordenadas cartesianas, o centro e o raio da circunferência C são (1, 1) e 2 2,

respectivamente.02) A circunferência C limita um círculo cuja área é 8π.04) Com relação à posição de C e r, pode-se afirmar que C e r são secantes.08) A circunferência de centro no ponto (0, 0) e raio 2 é tangente externamente à circun-

ferência C.16) Com relação à posição do ponto P(2, 3) e C, pode-se afirmar que o ponto P é exterior

à C.

38. UFRS No sistema de coordenadas cartesianas retangulares, a reta de equação y = x + bintercepta a curva de equação x2 + y2 = 8. Então:

a) |b| ≤ 2. d) 2 ≤ b ≤ 2 2.

b) |b| ≤ 2 2. e) |b| ≤ 4.

c) 2 2 ≤ b ≤ 4.

1

IMPR

IMIR

GA

BA

RIT

O


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1. A

2. 12

3. 02 + 08 + 16 + 32 = 58

4. 02

5. 02 + 04 + 16 = 22

6. D

7. F-F-V-V-F

8. C

9. F-V

10. C

11. V-V-V-F-F

12. D

13. D

14. D

15. A

16. F-F-V-V-F

17. D

18. D

19. C

20. B

21. 71

22. D

23. B

24. 78 = 2 + 4 + 8 + 64

25. C

26. 01 + 08 = 09

27. F-V-F-V-V-F

28. D

29. B

30. E

31. C

32. 02 + 04 = 06

33. F-F-V-F-V

34. F-V-F-F-V

35. C

36. B

37. 01 + 02 = 03

38. E

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