CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS

UNIVERSIDAD JOSÉ ANTONIO PÁEZ

FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA DE INGENIERIA MECÁNICA

MECÁNICA DINÁMICA

SECCIÓN 204N1

CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS

(Parte I) (Contenido correspondiente a parcial #3)

CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS

Un cuerpo rígido se define como aquel que no sufre deformaciones por

efecto de fuerzas externas, es decir, un sistema de partículas cuyas posiciones

relativas no cambian. Un cuerpo rígido es una idealización que se emplea para

efectos de estudios a este nivel.

En otras palabras, se entiende por cuerpo rígido a aquel cuya forma no

varía pese a ser sometido a la acción de fuerzas externas. Eso supone que la

distancia entre las diferentes partículas que lo conforman resuelta invariable a lo

largo del tiempo.

Sin embargo, en la realidad todos los cuerpos se deforman, aunque sea de

forma mínima al ser sometidos al efecto de una fuerza externa. Por lo tanto, las

máquinas y estructuras reales nunca pueden ser consideradas absolutamente

rígidas.

4.1: ¿Qué es un cuerpo rígido?

¿En qué consiste la cinemática de partículas?

La cinemática de cuerpos rígidos se encarga del estudio de las relaciones existentes

entre el cuerpo, las posiciones, las velocidades y las aceleraciones de las diferentes

partículas que forman un cuerpo rígido.

MOVIMIENTOS POSIBLES DE UN CUERPO RÍGIDO

EN EL PLANO

TRASLACIÓN

ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN

EJE FIJO

MOVIMIENTO PLANO GENERAL

EN EL ESPACIO

ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN

PUNTO FIJO

MOVIMIENTO GENERAL

4.2: Posibles movimientos de un cuerpo rígido

MOVIMIENTOS EN EL PLANO DE UN CUERPO

RÍGIDO

Este tipo de movimiento ocurre cuando toda línea recta que pertenezca

al cuerpo en estudio mantiene la misma dirección durante el movimiento.

También, puede observarse que en la traslación todas las partículas que

constituyen el cuerpo se mueven a lo largo de trayectorias paralelas. Si estas

trayectorias son líneas rectas, se afirma que el movimiento es una traslación

rectilínea; si las trayectorias so líneas curvas, el movimiento es una traslación

curvilínea.

4.2.1: Traslación:

Es importante tener en cuenta que cuando un cuerpo rígido experimenta

un movimiento de traslación, en cualquier instante considerado, todos los puntos

de dicho cuerpo tienen la misma velocidad y aceleración.

Además, en el caso de la traslación rectilínea, las direcciones de la

velocidad y aceleración de todas las partículas serán las mismas durante el

movimiento.

Adicionalmente, en la traslación curvilínea, la velocidad y aceleración

cambian su dirección y magnitud en cada instante del movimiento.

𝑟𝐵=𝑟𝐴+𝑟𝐵/𝐴

De lo anterior se puede deducir que el vector de posición relativa de B

con respecto a A, se mantiene siempre constante a lo largo del movimiento, por

lo tanto:

𝑟𝐵=𝑟𝐴+𝑟𝐵/𝐴

;derivando con respecto al tiempo

𝑑𝑟𝐵

𝑑𝑡=𝑑𝑟𝐴

𝑑𝑡+

𝑑𝑟𝐵/𝐴

𝑑𝑡

𝒗𝑩 = 𝒗𝑨

𝒂𝑩 = 𝒂𝑨

MOVIMIENTOS EN EL PLANO DE UN CUERPO

RÍGIDO

Este movimiento es aquel en el que las partículas que forman el cuerpo

rígido se mueven en planos paralelos a lo largo de círculos centrados sobre el

mismo eje fijo, llamado eje de rotación. Cuando este eje interseca al cuerpo

rígido, las partículas localizadas SOBRE el eje tienen velocidad cero y aceleración

cero.

Debido a que cada partícula se mueve en un plano determinado, se

afirma que la rotación del cuerpo alrededor de un eje fijo es un movimiento

plano.

4.2.2: Rotación alrededor de un eje

fijo:

4.2.2.1: Conceptos

básicos

Donde: • P: punto perteneciente al cuerpo

rígido. • B: proyección del punto P sobre el eje

de rotación del cuerpo rígido. •

𝐫 : vector de posición del punto P con

respecto al origen de un sistema de referencia fijo.

•𝐁𝐏

: vector de posición del punto P con

respecto al centro del plano al que pertenece.

• θ: posición angular del vector BP . • Φ: ángulo formado entre el vector de

posición r y el eje de rotación del cuerpo rígido.

•𝛚 : velocidad angular

•𝐯 : vector velocidad en el punto P

𝐵𝑃=

𝑟 ∗ sin ∅

4.2.2.2: Rotación alrededor de un eje fijo.

Aceleración angular constante:

Cuando la aceleración es constante, es decir, α=αc entonces al integrar

las ecuaciones se obtiene un conjunto de fórmulas que relacionan la

velocidad angular, la posición angular, la posición angular de un

cuerpo y el tiempo. Dichas ecuaciones son similares a las

desarrolladas para movimiento rectilíneo uniforme en la unidad I. Dichas

ecuaciones son las siguientes:

𝜔 = 𝜔0 + 𝛼0 ∗ 𝑡

𝜃 = 𝜃0 +𝜔0 ∗ 𝑡 +1

2𝛼𝑐 ∗ 𝑡

2

𝜔2 = 𝜔02 + 2 ∗ 𝛼𝑐 ∗ 𝜃 − 𝜃0

Para determinar el desplazamiento del

punto analizado, se puede observar en la

imagen que, al asumir un desplazamiento

angular diferencial del vector BP, la

longitud del arco descrito se calcula como:

𝒅𝒔 = 𝑩𝑷 ∗ 𝒅𝜽 𝒅𝒔 = 𝒓 ∗ 𝐬𝐢𝐧∅ ∗ 𝒅𝜽

4.2.3: Movimiento de un punto P perteneciente a un cuerpo

rígido:

Cuando un cuerpo rígido gira, un punto

perteneciente a dicho cuerpo (denominado

P) se desplaza a lo largo de una trayectoria

circular de radio r con centro en el punto

B.

Si se divide la expresión anterior entre dt, se obtiene:

d𝑠

𝑑𝑡= 𝑟 ∗ sin ∅ ∗

𝑑𝜃

𝑑𝑡

v = 𝑟 ∗ sin ∅ ∗ ω

v = ω ∗ 𝑟 ∗ sin ∅

reordenando :

recordando el concepto de producto

vectorial, entonces :

v = ω 𝐱 𝑟 VELOCIDAD DE UN PUNTO

PERTENECIENTE A UN CUERPO

RÍGIDO

El vector velocidad del punto P que se analiza, viene dado por:

𝑣 =

𝑑𝑟

𝑑𝑡=𝜔 𝑥

𝑟

𝒗 =

𝝎 𝒙

𝒓

Por su parte, sabiendo que la aceleración se define como la derivara de la

velocidad con respecto al tiempo, se tiene que:

𝑎 =

𝑑𝑣

𝑑𝑡=𝑑

𝜔 𝑥

𝑟

𝑑𝑡=𝑑𝜔

𝑑𝑡𝑥 𝑟 + 𝜔 𝑥𝑑𝑟

𝑑𝑡

𝒂 =

𝜶 𝒙

𝒓 +

𝝎 𝒙

𝝎 𝒙

𝒓

donde:

• Velocidad angular: 𝜔 = ω 𝑘

• Aceleración angular: α = α 𝑘

MOVIMIENTOS EN EL PLANO DE UN CUERPO

RÍGIDO

Cuando un cuerpo se somete a un movimiento plano general,

experimenta una combinación de traslación y rotación. Las traslación se presenta

en un plano de referencia, mientras que la rotación se desarrolla alrededor de un

eje perpendicular al plano de referencia.

4.2.4: Movimiento plano general: