CinematicaparteA

1

Biomeccanica L – A.A. 2008 -2009Biomeccanica L – A.A. 2008-2009

Ricostruzione della cinematica

segmentale e articolare da misure

fotogrammetriche

La Cinematica ovvero del come i corpi si muovono


Si chiama Cinematica la parte della meccanica che studia

le proprietà del moto dei corpi senza tener conto delle

cause che lo determinano

Si chiama “Bio-cinematica” la parte della Bio-

meccanica che studia le proprietà del movimento umano

senza tener conto delle cause che lo determinano

Introduzione alla cinematica

Definire cinematicamente un moto o una legge del moto

di un corpo (punto) vuol dire definire, ad ogni istante, la

posizione di questo corpo (punto) rispetto al sistema di

riferimento scelto

2


1. Spostamento

2. Velocità

3. Accelerazione

Richiami di Cinematica


Cinematica del punto

Cinematica lineare: moto rettilineo (1D)

Grandezza misurata: spostamento

)(txSpostamento

Definizione Unità di misura

[m]

Accelerazione xdt

vd

dt

dvta &&===

2

2

)( [ms-2]

Velocitàx

dt

dxtv &==)(

[ms-1]

Richiami

3



kxSpostamento

Accelerazione 211 2

T

xxx

T

vva kkkkk

k−+

−+ +−=

−=

Stima da dati sperimentali

Velocità

T

xxv kk

k

−= ++ 1

T

xxv kk

k1−− −

=

T

xxvvv kkkk

k22

11 −+−+ −

=+

=

T è il passo di campionamento del segnale spostamento

Richiami




Grandezza misurata: velocità

ττ dvxtxt

∫+=00

)()(Spostamento [m]

Accelerazione vdt

dvta &==)( [ms-2]


Velocità )(tv [ms-1]

Richiami

4



kvVelocità

Accelerazione T

vva kk

k2

11 −+ −=

T è il passo di campionamento del segnale velocità

Stima da dati sperimentali

Spostamento

∑+

+=

−

=

1

1

0

2

k

ii

k

kv

vvTx

Richiami



Accelerazione )(ta [ms-2]


ττ davtvt

∫+=00

)()(Velocità [ms-1]


Grandezza misurata: accelerazione

Spostamento [m]( ) τξξτddatvxtx

t

∫ ∫++=0 000

)()(

Richiami

5


RichiamiMoti rettilinei

Uniforme

Uniformemente accelerato

aX(t)

t

αtan)( =tax

VX(t)

t

0)( vattv

x+=

αv0

X(t)

t

00

2

2

1)( xtvattx ++=

x0

VX(t)

t

αtan)( =tvx

aX(t)

t

0)( =tax

X(t)

t

0)( xvttx +=

αx0



Velocità vettoriale

x

y

z

O

PP1

OP vettore posizione

PP1 vettore spostamento

Determinare posizione che il corpo occupa ad ogni istante

rispetto ad un sistema di riferimento, la velocità scalare non è

sufficiente!

OP(t)

( )tttt

ttm ∇

∇=

∇−

=−

=OPOPOPPP

v 11

1

1,

Richiami

6


RichiamiCinematica angolare

)(tθSpostamento


[rad]

Accelerazione θθω

α &&===2

2

)(dt

d

dt

dt [rads-2]

Velocitàθ

θω &==

dt

dt )(

[rads-1]


r

vrarvrr

trtsenrtrdt

dvta

trtsenrdt

drtv

trsentrtr

2

2

222 )()cos()(

cos)()(

cos)(

====

−=−−==

+−==

+=

ωω

ωωωωω

ωωωω

ωω

ji

ji

ji

RichiamiMoto circolare uniforme

Da cui

Velocità angolare ω=cost [rad/s]

i versore asse x

j versore asse y

7


Questa è la complicata realtà che vogliamo

descrivere con una struttura numerica

Credits: the figuredrawing Lab, University of Evansville


d

Hp: CORPO RIGIDO

La distanza d tra ogni

coppia di punti rimane

costante anche se

l’osso è caricato

d = cost

Concentriamoci su un singolo osso

8


Un corpo può essere pensato come costituito di particelle

P

Rappresentiamo una particella usando l’entità geometrica di

minore entità

il punto


Il sistema di assi cartesiani

René Descartes (1596-1650)

la posizione del punto: le coordinate cartesiane e il vettore posizione

x

y

z

P

[ ]z

l

y

l

x

ll ppp=p

xl p

yl p

zl p

9


La pos izione dell’osso

x

y

z

La rappresentazione dell’osso visto

come insieme di punti

[ ] n1,...,i , == zi

l

yi

l

xi

l

i

l pppp

Dove n è il numero di punti utilizzati

per rappresentare l’osso


Anziché osservare il punto attraverso l’osservatore A lo facciamo

attraverso l’osservatore B.

Cosa succede cambiando prospettiva? (caso piano)

Py

x

pA

A

x

y

pB

B

Cambiano così sia la descrizione grafica che quella numerica

della posizione del punto P.

E’ possibile stabilire una relazione tra pA e pB?

Risolveremo questo problema usando più passi semplici

10


Sistemi di riferimento locale e globale

Pyg

xg

gp

lp xl

yl

Assumiamo che l’altro sistema di assi sia mobile, cioè solidale con un

osservatore mobile, e chiamiamolo

sistema di riferimento locale

Ipotizziamo che un sistema di assi sia solidale con

l’osservatore principale e chiamiamolo

sistema di riferimento globale


Cosa succede se cambiamo prospettiva facendo

semplicemente scorrere (traslare) il sistema di assi?

P

gp

yg

xg

xl

yl

lp

[ ]y

g

x

gg pp=p [ ]y

l

x

ll pp =p

11


Vettore posizione dell’origine del riferimento locale

Sotto l’ipotesi di traslazione, il vettore go descrive completamente

la posizione del riferimento locale rispetto a quello globale

P

xl

yl

yg

xg

go


Trasformazione di coordinate dopo la traslazione del

sistema di riferimento

è evidente che:

−=

−=

−=

y

g

y

g

y

l

x

g

x

g

x

l

ggl

opp

opp

opp

go

P

xl

yl

yg

gp

xg

lp e che:

12


La trasformazione opposta

è evidente che:

+=

+=

+=

y

g

y

l

y

g

x

g

x

l

x

g

lg

opp

opp

gopp

go

P

xl

yl

yg

gp

xg

lp e che:


P

Cosa succede se cambiamo prospettiva

facendo semplicemente ruotare il sistema di assi?yg

xg

La rappresentazione grafica del vettore posizione rimane immutata, ma cambia la sua

rappresentazione numerica (cioè le sue componenti e le coordinate del punto P)

yl

xlγγγγ

13


Cambiamento delle componenti del vettore posizione

gp

Pyg

xg

gpy

gpx

yl

xl

lp

P

γlpylpx

[ ]yg

xgg pp=p [ ]y

lx

ll pp=p


+=−

+=

γγ

γγ

cossin

sincos

yg

xg

yl

yg

xg

xl

ppp

ppp

dimostrazione

Trasformazione di coordinate

Determinazione della matrice

di trasformazione

(caso piano)

14


Cerchiamo una relazione matematica fra gpx , gpy , γγγγ e lpx ,

lpy

Trasformazione di coordinate dopo la rotazione del sdr

yl P

lpxlpy

gpy

gpx

xg

xl

yg

γ


Calcolo di lpx in funzione di gpx , gpy e γ

lpx

γγγγ

yl

Pgpx

xl

xg

yg

gpy

xg


γγγγ

gpx cos γγγγ

xg

P

gpy

lpx

yl

xl

yg

gpx

γγγγ

γγγγ

gpy sin γγγγlpx =

gpx cosγ + gpy sinγ

15


lpy γγγγ

yl

Pgpx

xl

xg

yg

gpy

Calcolo di lpy in funzione di gpx , gpy e γ


γγγγ

gpy cos γγγγ

P

gpy

lpy

xg

yl

xl

yg

gpx

γγγγ

γγγγ

gpx sin γγγγ

lpy = -gpx sinγ + gpy cosγ


+=−

+=

γγ

γγ

cossin

sincos

yg

xg

yl

yg

xg

xl

ppp

ppp

usando le notazioni matriciali e vettoriali:

=

yl

xl

l

p

pp

=

yg

xg

g

p

pp

−

=γγγγ

cossin

sincos Rg

l

vettore posizione nel

riferimento locale


riferimento globale

matrice di trasformazione

(da globale a locale)

p R pg

gll =

otteniamo un modo sintetico per scrivere il sistema di equazioni

Trasformazione di coordinate

Ritorno

16


γγγγ

π/2 −γγγγ

π/2+γγγγ

γγγγ

angoli tra xl e xg e yg

xg

yg

yl

xl

gl xxθ

yl

xl

xg

gl yxθ

gl xyθ

gl yyθ

yg

angoli tra yl e xg e yg

gl xxθgl yxθ

gl xyθgl yyθ

Relazione tra γ e gli angoli formatidagli assi locali con agli assi globali


+=

+=

glgl

glgl

yyyg

xyxg

yl

yxyg

xxxg

xl

ppp

ppp

θθ

θθ

coscos

coscos

Cambiamento di coordinate usando i coseni direttori

dimostrazione

17


i termini

sono chiamati coseni direttori e sono le componenti del vettore unitario

(modulo=1) che hanno la stessa direzione del relativo asse del riferimento

locale definito nel riferimento globale

Coseni direttori

[ ]glgl yxxx θθ coscos=li

[ ]glgl yyxy θθ coscos=lj

glglglgl yyxyyxxx θθθθ coscoscoscos

1coscos22 =+

glglyxxx θθ

1coscos22 =+

glglyyxy θθ

yg

θxlxg

xlθxlyg

il

θylxg

θylyg

jl

yl

yg

xg

xg


Usando le notazioni vettoriale e matriciale


riferimento localevettore posizione nel

riferimento globale

matrice di trasformazione

(da globale a locale)

+=

+=

glgl

glgl

yyyg

xyxg

yl

yxyg

xxxg

xl

ppp

ppp

θθ

θθ

coscos

coscos

=

yl

xl

l

p

pp

=

yg

xg

g

p

pp

pR p gg

ll =

otteniamo un modo coinciso di scrivere il sistema di equazioni

Cambiamento di coordinate usando i coseni direttori

=

glgl

glgl

yyxy

yxxx

gl

θθθθ

coscos

coscosR

Ritorno

18


La matrice orientamento (detta anche

matrice di rotazione o di trasformazione)

o

trasforma un vettore dalla sua rappresentazione nel riferimento globale

gp

nello stesso vettore rappresentato nel riferimento locale, ruotato di un angolo γ

rispetto al riferimento globale

lp

attraverso la seguente espressione vettoriale

−

=γγγγ

cossin

sincos Rg

l

pR p gg

ll =

Riassumendo

=

glgl

glgl

yyxy

yxxx

gl

θθθθ

coscos

coscosR


Chiamiamo locali gli assi che in precedenza abbiamo chiamato globali e

viceversa.

La rotazione ora è –γ. Iterando la stessa procedura matematica, troviamo

che

o

Questa matrice trasforma un vettore rappresentato nel riferimento locale

ruotato di un angolo γ rispetto al riferimento globale

lp

nello stesso vettore rappresentato nel riferimento globale

gp

attraverso la seguente espressione vettoriale

=

lglg

lglg

yyxy

yxxx

l

g

θθ

θθ

coscos

coscosR

−=

γγγγ

cossin

sincos Rl

g

pR pl

lgg =

La trasformazione opposta

19


è una matrice quadrata (nxn dove n è la dimensione dello spazio)

le sue righe sono i vettori unità degli assi globali relativi al

riferimento locale o viceversa

è ortogonale, cioè

il suo determinante vale ±1

IRR =T

Le proprietà della matrice di orientamento

=

lglg

lglg

yyxy

yxxx

l

g

θθθθ

coscos

coscosR

=

glgl

glgl

yyxy

yxxx

g

l

θθθθ

coscos

coscosR


Osservando le due matrici

vediamo che possiamo ottenere gRl da lRg, e viceversa scambiando righe

e colonne, cioè, una è la trasposta dell’altra

Inoltre, dalle seguenti espressioni

otteniamo:

e quindi:

cioè, una è l’inversa dell’altra

=

lglg

lglg

yyxy

yxxx

l

g

θθ

θθ

coscos

coscosR

pR pl

lgg =

In aggiunta

=

glgl

glgl

yyxy

yxxx

g

l

θθ

θθ

coscos

coscosR

pR p gg

ll =

pRR pg

gl

lgg =

1−= g

l

l

gRR

Tg

ll

gRR =

IRR =g

l

l

g

Ritorno

20


(non una traslazione né una rotazione, ma una rototraslazione)

P

gplp

Qual è la relazione tra lp e gp?

Cosa succede se cambiamo prospettiva in maniera generica?

come determiniamo cioè lp da gp, dati go e lRg?

go


pRpi

gll =

go

P

oppggi −=

prima trasliamo il riferimento locale e poi lo ruotiamo

oRpRp gg

lgg

ll −=

Cambiamo prospettiva in due passi:

ip

yg

xg

gpxi

yi

lp

21


Riassumendo

oRpRp gg

lgg

ll −=

lgR

in aggiunta, premoltiplicando tutti i termini per

oRRpRRpR gg

ll

ggg

ll

gll

g −=

otteniamo

e quindi

opRpgl

lgg +=oppR

ggll

g −=


Cambio di prospettiva nello spazio tridimensionale

P

yg

gp

gO

xg

yl

xl

zlzg

lp

[ ]z

g

y

g

x

gg ppp=p [ ]z

l

y

l

x

ll ppp=p

22


Trasformazione nello spazio 3-D

dove

oRpRp gg

lgg

ll −= opRpgl

lgg +=

[ ]z

g

y

g

x

gg ppp=p [ ]z

l

y

l

x

ll ppp=p

[ ]z

g

y

g

x

gg ooo=o

=

lglglg

lglglg

lglglg

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

l

g

θθθθθθθθθ

coscoscos

coscoscos

coscoscos

R

=

glglgl

glglgl

glglgl

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

g

l

θθθθθθθθθ

coscoscos

coscoscos

coscoscos

R


Posizione e orientamento di un sistema di riferimento (cioè di un corpo rigido) sono descritti da:

yg

xgzg

yl

xl

zl

ol

=

lglglg

lglglg

lglglg

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

l

g

θθθθθθθθθ

coscoscos

coscoscos

coscoscos

R

[ ]lz

g

ly

g

lx

g

l

g ooo=o

Matrice di orientamento (trasformazione)

Vettore posizione

23


+

=

6

=

lglglg

lglglg

lglglg

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

l

g

θθθθθθθθθ

coscoscos

coscoscos

coscoscos

R

3 numeri tengono conto dell’orientamento dell’osservatore

e 3 della sua posizione

Attenzione!

33 numeri[ ]lz

g

ly

g

lx

g

l

g ooo=o

39 numeri

Vettori colonna della matrice, (versori di una terna

ortonormale) sono ortogonali fra loro e hanno modulo unitario


=

lglglg

lglglg

lglglg

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

l

g

θθθθθθθθθ

coscoscos

coscoscos

coscoscos

R

Matrice omogenea 4x4

[ ]lz

g

ly

g

lx

g

l

g ooo=o

=

1000

coscoscos

coscoscos

coscoscos

lz

g

lzgzlygzlxgz

ly

g

lzgylygylxgy

lx

g

lzgxlygxlxgx

l

g

o

o

o

θθθθθθ

θθθ

T

[ ]1z

g

y

g

x

ggppp=′p[ ]1

z

l

y

l

x

llppp=′p

dove

pp ′=′ l

l

gg T

24


Rotazioni elementari: angolo γ attorno a zg

−

=

100

0cossin

0sincos

γγγγ

l

gR


yg

xgzg

yl

xl

≡zl

γγγγ

γγγγ

=

0

sin

cos

γγ

lx

−

=

0

cos

sin

γγ

ly

=

1

0

0

lz


Rotazioni elementari: angolo α attorno a xg

−=

αααα

cossin0

sincos0

001

l

gR


yg

xgzg

yl

≡ xl

zlαααα

αααα

=

0

0

1

lx

=

αα

sin

cos

0

ly

−=

αα

cos

sin

0

lz

25


Rotazioni elementari: angolo β attorno a yg

−

=

ββ

ββ

cos0sin

010

sin0cos

l

gR


yg

xgzg

≡ yl

xl

zl

β

−

=

β

β

sin

0

cos

lx

=

0

1

0

ly

=

β

β

cos

0

sin

lz

β


Riassumendo

Per rappresentare un osso in realtà virtuale occorre determinare le

seguenti grandezze:

i vettori posizione di ciascun punto utilizzato per rappresentare l’osso

rispetto ad un sistema di riferimento arbitrario solidale con l’osso

(bioimmagini) [3 · n numeri].

Per rappresentare un osso rispetto ad un osservatore qualunque

occorre determinare queste ulteriori grandezze:

tre coordinate lineari che descrivono la posizione dell’osservatore

(vettore posizione) e tre coordinate angolari che descrivono

l’orientamento del nuovo osservatore (matrice di orientamento)

[6 numeri],

i vettori posizione di ciascun punto utilizzato per rappresentare l’osso

rispetto al nuovo sistema di riferimento oRpRpg

glg

gll −=

26


Terminologia - Riepilogo

Cinematica – descrive il moto senza considerare le forze che lo producono

Spostamento – differenza tra le coordinate di un punto in due istanti di

tempo diversi

Traslazione – moto di un corpo che conserva il parallelismo di ogni linea

solidale con il corpo stesso. Tutti i punti del corpo si muovono su traiettorie

parallele ed hanno, in ogni istante di tempo, la stessa velocità e la stessa

accelerazione

Rotazione – moto di un corpo attorno ad un asse (asse di rotazione).

Durante il moto, tutte le parti del corpo:

- si spostano di una quantità definita dall’angolo di rotazione

- si muovono su piani paralleli lungo circonferenze concentriche centrate

sul medesimo asse fisso, con eccezione dei punti che giacciono sull’asse di

rotazione

Moto generale (rototraslazione) – è la combinazione di una traslazione e

una rotazione. In ogni istante di tempo il moto è equivalente alla somma di

una traslazione “lungo” ed una rotazione “attorno” ad un asse istantaneo

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