CINEMATICA DEL ROBOT

 A. Introducción. 

La cinemática del robot estudia el movimiento del mismo con respecto a un sistema de referencia. Así, la cinemática se interesa por la descripción analítica del movimiento espacial del robot como una función del tiempo, y en particular por las relaciones entre la posición y la orientación del extremo final del robot con los valores que toman sus coordenadas articulares. Existen dos problemas fundamentales para resolver la cinemática del robot, el primero de ellos se conoce como el problema cinemática directo, y consiste en determinar cual es la posición y orientación del extremo final del robot, con respecto a un sistema de coordenadas que se toma como referencia, conocidos los valores de las articulaciones y los parámetros geométricos de los elementos del robot, el segundo denominado problema cinemática inverso resuelve la configuración que debe adoptar el robot para una posición y orientación del extremo conocidas.

Denavit y Hartenberg propusieron un método sistemático para descubrir y representar la geometría espacial de los elementos de una cadena cinemática, y en particular de un robot, con respecto a un sistema de referencia fijo. Este método utiliza una matriz de transformación homogénea para descubrir la relación espacial entre dos elementos rígidos adyacentes, reduciéndose el problema cinemática directo a encontrar una matriz de transformación homogénea 4 X 4 que relacione la localización espacial del robot con respecto al sistema de coordenadas de su base.

Por otra parte, la cinemática del robot trata también de encontrar las relaciones entre las velocidades del movimiento de las articulaciones y las del extremo. Esta relación viene dada por el modelo diferencial expresado mediante la matriz Jacobiana.

 

Diagrama entre cinemática directa e inversa.

 Cinemática directa  

->-> 

Valor de lascoordenadasArticulares(q0, q1, ... qn)

 

posición yorientación delextremo del robot(x, y, z, a, ß, g)

 <-<-   Cinemática

inversa 

El movimiento relativo en las articulaciones resulta en el movimiento de los elementos que posicionan la mano en una orientación deseada. En la mayoría de las aplicaciones de robótica, se esta interesado en la descripción espacial del efector final del manipulador con respecto a un sistema de coordenadas de referencia fija.

La cinemática del brazo del robot trata con el estudio analítico de la geometría del movimiento de un robot con respecto a un sistema de coordenadas de referencia fijo como una función del tiempo sin considerar las fuerzas-momentos que originan dicho movimiento. Así pues, trata con la descripción analítica del desplazamiento espacial del robot como función del tiempo, en particular las relaciones entre variables espaciales de tipo de articulación y la posición y orientación del efector final del robot.

 

Aumentando la destreza de robots repetitivos.

Se usan las coordenadas redundantes para definir tareas adicionales.

El mando de configuración está surgiendo como una manera eficaz de controlar los movimientos de un robot que tiene más grados de libertad y en el cual es necesario definir la trayectoria del efector del extremo y / o el objeto para ser manipulado. Pueden usarse los grados extras o redundantes de libertad para dar destreza de robot y versatilidad. En  mando de configuración, la configuración del robot se representa matemáticamente por un juego de variables de configuración que son un vector de coordenadas generalizado y que es más pertinente a la tarea global que es el vector de coordenadas de la juntura que aparecen en los acercamientos convencionales a controlar. El vector de la coordenada generalizado consiste en las coordenadas del efector del extremo en el espacio de la tarea, más varias funciones de cinemática que involucran  grados redundantes de libertad. La tarea básica del sistema de mando es hacer las coordenadas del efector del extremo seguir la trayectoria deseada. Las funciones de la cinemática pueden seleccionarse para definir una tarea adicional por ejemplo, la anulación de obstáculos u optimización de la cinemática para reforzar la manipulabilidad.  En efecto, la tarea adicional define la trayectoria en los grados redundantes de libertad. Las variables de configuración pueden usarse en un esquema de mando adaptable que no exige manipular el conocimiento del modelo matemático complicado de la dinámica del robot o los parámetros del objeto.

B. Cinemática Directa.

El problema cinemática directo.

Se utiliza fundamentalmente el álgebra vectorial y matricial para representar y describir la localización de un objeto en el espacio tridimensional con respecto aun sistema de referencia fijo. Dado que un robot puede considerar como una cadena cinemática formada por objetos rígidos o eslabones unidos entre sí mediante articulaciones, se puede establecer un sistema de referencia fijo situado en la base del robot y describir la localización de cada uno de los eslabones con respecto a dicho sistema de referencia. De esta forma, el problema cinemática directo se reduce a encontrar una matriz homogénea de transformación T que relacione la posición y orientación del extremo del robot respecto del sistema de referencia fijo situado en la base del mismo. Esta matriz T será función de las coordenadas articulares.

 

El mando adaptable de un manipulador remoto.

Un sistema de mando de robot causa a un manipulador remoto, seguir una trayectoria de referencia estrechamente en un marco de  referencia Cartesiano en el espacio de trabajo, sin el recurso a un modelo matemático intensivo de dinámica del robot y sin el conocimiento del robot y parámetros de carga. El sistema, derivado de la teoría lineal multivariable, utiliza a los manipuladores delanteros relativamente simples y controladores de retroalimentación con modelo y adaptable de referencia del mando. El sistema requiere dimensiones de posición y velocidad del extremo manipulador del efector. Éstos pueden obtenerse directamente de los sensores ópticos o por cálculo que utiliza las relaciones de la cinemática conocidas entre el manipulador modelado y el extremo de la juntura de la posición del efector. Derivando las ecuaciones de control, las ecuaciones diferenciales no lineales acopladas a la dinámica del robot, expresan primero la forma general de la cinemática, entonces la linealizacion por cálculo de perturbaciones sobre una especifica operacion del punto en las coordenadas Cartesianas del extremo del efector. El modelo matemático resultante es un sistema  multivariable lineal de orden de 2n (donde n = es el número de

coordenadas espaciales independientes del manipulador) esto expresa la relación entre los incrementos del actuador de n voltajes de control (las entradas) y los incrementos de las coordenadas de n, la trayectoria de extremo del efector (los rendimientos). La trayectoria del efector incrementa la referencia, la trayectoria se incrementa: esto requiere la retroalimentacion independiente y controladores de manipulación. Para este propósito, le basta aplicar posición y retroalimentacion de velocidad a través de la matrtiz de n x n posición y velocidad, la matriz de ganancia de retroalimentacion.

a. Resolución del problema cinemática directo mediante matrices de transformación homogénea.

La resolución del problema cinemática directo consiste en encontrar las relaciones que permiten conocer la localización espacial del extremo del robot a partir de los valores de sus coordenadas articulares.

Así, si se han escogido coordenadas cartesianas y ángulos de Euler para representar la posición y orientación del extremo de un robot de seis grados de libertad, la solución al problema cinemática directo vendrá dada por las relaciones:

x =  Fx  (  q1,q2,q3,q4,q5,q6 )y =   Fy  (  q1,q2,q3,q4,q5,q6 )z =   Fz  (  q1,q2,q3,q4,q5,q6 )a =   Fa  (  q1,q2,q3,q4,q5,q6 )ß =   Fß  (  q1,q2,q3,q4,q5,q6 )g =   Fg  (  q1,q2,q3,q4,q5,q6 )

La obtención de estas relaciones no es en general complicada, siendo incluso en ciertos casos (robots de pocos grados de libertad) fácil de encontrar mediante simples consideraciones geométricas. Por ejemplo, para el caso de un robot con 2 grados de libertad es fácil comprobar que:

X  =  I1 cosq1  +  I2 cos( q1 + q2 )y  =  I1 cosq1  +  I2 cos( q1 + q2 )

Para robots de mas grados de libertad puede plantearse un método sistemático basado en la utilización de las matrices de transformación homogénea.En general, un robot de n grados de libertad esta formado por n eslabones unidos por n articulaciones, de forma que cada par articulación-eslabón constituye un grado de libertad. A cada eslabón se le puede asociar un sistema de referencia solidario a el y, utilizando las transformaciones homogéneas, es posible representar las rotaciones y traslaciones relativas entre los distintos eslabones que componen el robot.

 Normalmente, la matriz de transformación homogénea que representa la posición y orientación relativa entre los sistemas asociados a dos eslabones consecutivos del robot se le suele denominar ( i-1)1/Ai. Así pues, 0Ai describe la posición y orientación del sistema de referencia solidario al primer eslabón con respecto al sistema de referencia solidario a la base, 1A2 describe la posición y orientación del segundo eslabón respecto del primero, etc. Del mismo modo, denominando 0Ak a las matrices resultantes del producto de las matrices ( i-1)Ai con i desde 1 hasta k, se puede representar de forma total o parcial la cadena cinemática que forma el robot. Así, por ejemplo, la posición y orientación del sistema solidario con el segundo eslabón del robot con respecto al sistema de coordenadas de la base se puede expresar mediante la matriz 0A2:

0A2  =  0A1 ( 1A2 )

De manera análoga, la matriz 0A3 representa la localización del sistema del tercer eslabón:

0A3  =  0A1 ( 1A2 )( 2A3 )

Cuando se consideran todos los grados de libertad, a la matriz 0An se le suele denominar T. Así, dado un robot de seis grados de libertad, se

tiene que la posición y orientación del eslabón final vendrá dada por la matriz T:

T  =  0A6  =  0A1 ( 1A2 )( 2A3 )( 3A4 )( 4A5 )( 5A6 )

Aunque para descubrir la relación que existe entre dos elementos contiguos se puede hacer uso de cualquier sistema de referencia ligado a cada elemento, la forma habitual que se suele utilizar en robótica es la representación de Denavit-Hartenberg.

 Denavit-Hartenberg propusieron en 1955 un método matricial que permite establecer de manera sistemática un sistema de coordenadas (Si) ligado a cada eslabón i de una cadena articulada, pudiéndose determinar a continuación las ecuaciones cinemáticas de la cadena completa.

Según la representación D-H, escogiendo adecuadamente los sistemas de coordenadas asociados para cada eslabón, será posible pasar de uno al siguiente mediante 4 transformaciones básicas que dependen exclusivamente de las características geométricas del eslabón.

Estas transformaciones básicas consisten en una sucesión de rotaciones y traslaciones que permitan relacionar el sistema de referencia del elemento i con el sistema del elemento i-1. Las transformaciones en cuestión son las siguientes:

1. Rotación alrededor del eje Zi-1 un ángulo qi.2. Traslación a lo largo de Zi-1 una distancia di; vector di ( 0,0,di ).3. Traslación a lo largo de Xi una distancia ai; vector ai ( 0,0,ai ).4. Rotación alrededor del eje Xi, un ángulo ai.

Dado que el producto de matrices no es conmutativo, las transformaciones se han de realizar en el orden indicado. De este modo se tiene que:

i-1A i =  T( z,qi  ) T( 0,0,di ) T ( ai,0,0 ) T( x,ai )

Y realizando el producto de matrices:

donde qi, ai, di, ai, son los parámetros D-H del eslabón i. De este modo, basta con identificar los parámetros qi, ai, di, ai , para obtener matrices A y relacionar así todos y cada uno de los eslabones del robot.

Como se ha indicado, para que la matriz i-1Ai, relacione los sistemas (Si) y (Si-1), es necesario que los sistemas se hayan escogido de acuerdo a unas determinadas normas. Estas, junto con la definición de los 4 parámetros de Denavit-Hartenberg, conforman el siguiente algoritmo para la resolución del problema cinemática directo.

 b. Algoritmo de Denavit- Hartenberg para la obtención del modelo.

DH1.Numerar los eslabones comenzando con 1 (primer eslabón móvil dela cadena) y acabando con n (ultimo eslabón móvil). Se numerara como eslabón 0 a la base fija del robot.

DH2.Numerar cada articulación comenzando por 1 (la correspondiente al primer grado de libertad y acabando en n).

DH3.Localizar el eje de cada articulación. Si esta es rotativa, el eje será su propio eje de giro. Si es prismática, será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento.

DH4.Para i de 0 a n-1, situar el eje Zi, sobre el eje de la articulación i+1.

DH5.Situar el origen del sistema de la base (S0) en cualquier punto del eje Z0. Los ejes X0 e Y0 se situaran dé modo que formen un sistema dextrógiro con Z0.

DH6.Para i de 1 a n-1, situar el sistema (Si) (solidario al eslabón i) en la intersección del eje Zi con la línea normal común a Zi-1 y Zi. Si ambos ejes se cortasen se situaría (Si) en el punto de corte. Si fuesen paralelos (Si) se situaría en la articulación i+1.

DH7.Situar Xi en la línea normal común a Zi-1 y Zi.

DH8.Situar Yi de modo que forme un sistema dextrógiro con Xi y Zi.

DH9.Situar el sistema (Sn) en el extremo del robot de modo que Zn coincida con la dirección de Zn-1 y Xn sea normal a Zn-1 y Zn.

DH10.Obtener Øi como el ángulo que hay que girar en torno a Zi-1 para que Xi-1 y Xi queden paralelos.

DH11.Obtener Di como la distancia, medida a lo largo de Zi-1, que habría que desplazar (Si-1) para que Xi y Xi-1 quedasen alineados.

DH12.Obtener Ai como la distancia medida a lo largo de Xi (que ahora coincidiría con Xi-1) que habría que desplazar el nuevo (Si-1) para que su origen coincidiese con (Si).

DH13.Obtener ai como el ángulo que habría que girar entorno a Xi (que ahora coincidiría con Xi-1), para que el nuevo (Si-1) coincidiese totalmente con (Si).

DH14.Obtener las matrices de transformación i-1Ai.

DH15.Obtener la matriz de transformación que relaciona el sistema de la base con el del extremo del robot T = 0Ai, 1A2... n-1An.

DH16.La matriz T define la orientación (submatriz de rotación) y posición (submatriz de traslación) del extremo referido ala base en función de las n coordenadas articulares.

Parametros DH para un eslabon giratorio.

Los cuatro parámetros de DH (qi, di, ai, ai) dependen únicamente de las características geométricas de cada eslabón y de las articulaciones que le unen con el anterior y siguiente.

qi  Es el ángulo que forman los ejes Xi-1 y Xi medido en un plano perpendicular al eje Zi-1, utilizando la regla de la mano derecha. Se trata de un parámetro variable en articulaciones giratorias.

di  Es la distancia a lo largo del eje Zi-1 desde el origen del sistema de coordenadas (i-1)- esimo hasta la intersección del eje Zi-1 con el eje Xi. Se trata de un parámetro variable en articulaciones prismáticas.

ai  Es a la distancia a lo largo del eje Xi que va desde la intersección del eje Zi-1 con el eje Xi hasta el origen del sistema i-esimo, en el caso de articulaciones giratorias. En el caso de articulaciones prismáticas, se calcula como la distancia mas corta entre los ejes Zi-1 y Zi.

ai  Es el ángulo de separación del eje Zi-1 y el eje Zi, medido en un plano perpendicular al eje Xi, utilizando la regla de la mano derecha.

Una vez obtenidos los parámetros DH, el calculo de las relaciones entre los eslabones consecutivos del robot es inmediato, ya que vienen dadas por las matrices A, que se calcula según la expresión general.

Las relaciones entre eslabones no consecutivos vienen dadas por las matrices T que se obtienen como producto de un conjunto de matrices A.

Obtenida la matriz T, esta expresara la orientación (submatriz (3x3) de rotación) y posición (submatriz (3x1) de traslación) del extremo del robot en función de sus coordenadas articulares, con lo que quedara resuelto el problema cinemática directo.

 

Parámetros DH para el robot.

Articulación q d a a

1 q1 I1 0 0

2 90° d2 0 90°

3 0 D3 0 0

4 q4 I4 0 0

Una vez calculados los parámetros de cada eslabón, se calculan las matrices A:

0A1 1A2 2A3 3A4C1 -S1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 C4 -S4 0 0S1 C1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 S4 C4 0 00 0 1 I1 0 1 0 D2 0 0 1 D3 0 0 1 I40 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Así pues, se puede calcular la matriz T que indica la localización del sistema final con respecto al sistema de referencia de la base del robot.

T = 0A1 (1A2)(2A3)(3A4) = -S1C4  S1S4  C1  C1(D3+I4)C1C4  -C1S4  S1  S1(D3+I4)

S4  C4  0  (D2+I1)0  0  0  1

 

C. Resolución del problema cinemática directo mediante uso de cuaternios.

Puesto que las matrices de transformación homogénea y los cuaternios son los métodos alternativos para representar transformaciones de rotación y desplazamiento, será posible utilizar estos últimos de manera equivalente a las matrices para la resolución del problema cinemática directo de un robot.Para aclarar el uso de los cuaternios con ese fin, se van a utilizar a continuación para resolver el problema cinemática directo de un robot tipo SCARA cuya estructura se representa en la figura.

El procedimiento a seguir será el de obtener la expresión que permite conocer las coordenadas de posición y orientación del sistema de referencia asociado al extremo del robot (S4) con respecto al sistema de referencia asociado a la base (S0). Esta relación será función de las magnitudes I1, I2, y I3, de los elementos del robot así como de las coordenadas articulares q1, q2, q3 y q4.

Para obtener la relación entre (S0) y (S4) se ira convirtiendo sucesivamente (S0) en (S1), (S2), (S3) y (S4) según la siguiente serie de transformaciones:

1. Desplazamiento de (S0) una distancia I1 a lo largo del eje Z0 y giro un ángulo q1 alrededor del eje Z0, llegándose a (S1).

2. Desplazamiento de (S1) una distancia I2 a lo largo del eje X1 y giro un ángulo q2 alrededor del nuevo eje Z, para llegar al sistema (S2).

3. Desplazamiento alo largo del eje X2 una distancia I3 para llegar al sistema (S3).

4. Desplazamiento de (S3) una distancia q3 a lo largo del eje Z3 y un giro en torno a Z4 de un ángulo q4, llegándose finalmente a (S4).

De manera abreviada las sucesivas transformaciones quedan representadas por:

S0 ---> S1:  T( z,I1 ) Rot( z,q1 )S1 ---> S2:  T( x,I2 ) Rot( z,q2 )S2 ---> S3:  T( x,I3 ) Rot ( z,0 )

S3 --->  S4:  T( z,-q3 ) Rot( z,q4 )

 

 

Donde los desplazamientos quedan definidos por los vectores:

p1  =  ( 0,0,1 )p2  =  ( I2,0,0 )p3  =  ( I3,0,0 )

p4  =  ( 0,0,-q3 )

Y los giros de los cuaternios:

Q1  =  ( ^C1, 0, 0, ^S1 )Q2  =  ( ^C2, 0, 0, ^S2 )

Q3 =  ( 1, 0, 0, 0 )Q4 =  ( ^C4, 0, 0, ^S4 )

Donde:

^C1 =  cos ( q1/2 )^S1 =  sen ( q1/2 )

Lo que indica que el extremo del robot referido al sistema de su base (S0), esta posicionado en:

x  =   a0x  =  I3 cos( q1 + q2 ) +  I2 cosq1y  =   a0y  =  I3 sen( q1 + q2 ) +  I2 senq1

z  =  a0z  =  I1 -q3

Y esta girando respecto al sistema de la base con un ángulo q1 + q2 +q4 según a la rotación entorno al eje z:

Rot(  z, q1+q2+q4  )

Las expresiones anteriores permiten conocer la localización del extremo del robot referidas al sistema de la base en función de las coordenadas articulares (q1, q2, q3, q4), correspondiendo por tanto a la solución del problema cinemática directo.

C. Cinemática Inversa.

El objetivo del problema cinemática inverso consiste en encontrar los valores que deben adoptar las coordenadas articulares del robot q=(q1, q2,..., qn)exp. T para que su extremo se posicione y oriente según una determinada localización espacial.Así como es posible abordar el problema cinemática directo de una manera sistemática a partir de la utilización de matrices de transformación homogéneas, e independientemente de la configuración del robot, no ocurre lo mismo con el problema cinemático inverso, siendo el procedimiento de obtención de las ecuaciones fuertemente dependiente de la configuración del robot.

    

Se han desarrollado algunos procedimientos genéricos susceptibles de ser programados, de modo que un computador pueda, a partir del conocimiento de la cinemática del robot (con sus parámetros de DH, por ejemplo) obtener la n-upla de valores articulares que posicionan y orientan su extremo. El inconveniente de estos procedimientos es que se trata de métodos numéricos iterativos, cuya velocidad de convergencia e incluso su convergencia en si no esta siempre garantizada.

A la hora de resolver el problema cinemática inverso es mucho más adecuado encontrar una solución cerrada. Esto es, encontrar una relación matemática explicita de la forma:

qk  = Fk( x, y, z, a, ß, g )K = 1...n ( grados de libertad )

Este tipo de solución presenta, entre otras, las siguientes ventajas:

1. En muchas aplicaciones, el problema cinemática inverso ha de resolverse en tiempo real (por ejemplo, en el seguimiento de una determinada trayectoria). Una solución de tipo iterativo no garantiza tener la solución en el momento adecuado.

2. Al contrario de lo que ocurría en el problema cinemática directo, con cierta frecuencia la solución del problema cinemática inverso no es única; existiendo diferentes n-uplas(q1,...,qn)exp T que posicionan y orientan el extremo del robot de mismo modo. En estos casos una solución cerrada permite incluir determinadas reglas o restricciones que aseguren que la solución obtenida sea la mas adecuada posible.

No obstante, a pesar de las dificultades comentadas, la mayor parte de los robots poseen cinemáticas relativamente simples que facilitan en cierta medida la resolución de su problema cinemática inverso.

Por ejemplo si se consideran solo tres primeros grados de libertad de muchos robots, estos tienen una estructura planar, esto es, los tres primeros elementos quedan contenidos en un plano. Esta circunstancia facilita la resolución del problema. Asimismo, en muchos robots se da la circunstancia de que los tres grados de libertad últimos, dedicados fundamentalmente a orientar el extremo del robot, correspondan a giros sobre los ejes que se cortan en un punto.

  De nuevo esta situación facilita el calculo de la n-upla (q1,...,qn)exp. T correspondiente a la posición y orientación deseadas. Por lo tanto, para los casos citados y otros, es posible establecer ciertas pautas generales que permitan plantear y resolver el problema cinemática inverso de una manera sistemática.

Los métodos geométricos permiten tener normalmente los valores de las primeras variables articulares, que son las que consiguen posicionar el robot. Para ello utilizan relaciones trigonometrías y geométricas sobre los elementos del robot. Se suele recurrir a la resolución de triángulos formados por los elementos y articulaciones del robot.

Como alternativa para resolver el mismo problema se puede recurrir a manipular directamente las ecuaciones correspondientes al problema cinemática directo. Es decir, puesto que este establece la relación:

Tij  =n o a p0 0 0 1

Donde los elementos Tij son funciones de las coordenadas articulares (q1,...,qn)exp. T, es posible pensar que mediante ciertas combinaciones de las ecuaciones planteadas se puedan despejar las n variables articulares qi en función de las componentes de los vectores n, o, a y p.

Por ultimo, si se consideran robots con capacidad de posicionar y orientar su extremo en el espacio, esto es, robots con 6 grados de libertad, el método de desacoplamiento cinemática permite, para determinados tipos de robots, resolver los primeros grados de libertad, dedicados al posicionamiento, de una manera independiente a la resolución de los últimos grados de libertad, dedicados a la orientación. Cada uno de estos dos problemas simples podrá ser tratado y resuelto por cualquier procedimiento.

a. Resolución del problema cinemática inverso por métodos geométricos.

Como se ha indicado, este procedimiento es adecuado para robots de pocos grados de libertad o para el caso de que se consideren solo los primeros grados de libertad, dedicados a posicionar el extremo.

El procedimiento en si se basa en encontrar suficiente numero de relaciones geométricas en las que intervendrán las coordenadas del extremo del robot, sus coordenadas articulares y las dimensiones físicas

de sus elementos.Para mostrar el procedimiento a seguir se va a aplicar el método a la resolución del problema cinemática inverso de un robot con 3 grados de libertad de rotación (estructura típica articular). El dato de partida son las coordenadas (Px, Py, Pz) referidas a (S0) en las que se requiere posicionar su extremo.

Como se ve este robot posee una estructura planar, quedando este plano definido por el ángulo de la primera variable articular q1.El valor de q1 se obtiene inmediatamente como:

q1 = arctg ( Py / Px )

Considerando ahora únicamente los dos elementos 2 y 3 que están situados en un plano y utilizando el teorema del coseno, se tendrá:

r²  =  ( Px )² + ( Py )²

r²  +  ( Px  )²  =  ( I2 )²  +  ( I3 )² + 2( I2 )( I3 )cosq3

cosq3  =  ( Px )²  +  ( Py )²  +  ( Pz )²  -  ( I2 )²  -  ( I3 )²  /  2( I2 )( I3 )

Esta expresión permite obtener q1 en función del vector de posición del extremo P. No obstante, por motivos de ventajas computacionales, es más conveniente utilizar la expresión de la arco tangente en lugar del arco seno.Puesto que:

sen q3  =  ±  ( 1 - cos²q3 )½

Se tendrá que:

q3  =  arctg ( ± ( 1 - cos²q3 )½   /  cosq3 )

cosq3  =  ( Px )²  +  ( Py )²  +  ( Pz )²  -  ( I2 )²  -  ( I3 )²   /  2( I2 )( I3 )

Como se ve, existen dos posibles soluciones para q3 según se tome el signo positivo o negativo de la raíz. Estas corresponden a las configuraciones de codo arriba y codo abajo del robot.

 

El calculo de q2 se hace a partir de la diferencia entre ß y a:

q2  =  ß - a

Siendo:

ß  =  arctg ( Pz / r )  =  arctg ( Pz  /  ± ( ( px )² + ( Py )²  )½  )

a  =  arctg ( I3 senq3   /   I2  +  I3 cosq3 )

Luego finalmente:

q2  =  arctg ( Pz  /  ± ( ( px )² + ( Py )² )½  )  -   arctg ( I3 senq3  /  I2  +  I3 cosq3)

De nuevo los dos posibles valores según la elección del signo dan lugar a dos valores diferentes de q2 correspondientes a las configuraciones codo arriba y abajo.

 

 b. Resolución del problema cinemática inverso a partir de la matriz de transformación homogénea.

En principio es posible tratar de obtener el modelo cinemática inverso de un robot a partir del conocimiento de su modelo directo. Es decir, suponiendo conocidas las relaciones que expresan el valor de la posición y orientación del extremo del robot en función de sus coordenadas articulares, obtener por manipulación de aquellas las relaciones inversas.

Sin embargo, en la practica esta tarea no es trivial siendo en muchas

ocasiones tan compleja que obliga a desecharla. Además, puesto que el problema cinemática directo, resuelto a través de Tij contiene en el caso de un robot de 6 grados de libertad 12 ecuaciones, y se busca solo 6 relaciones (una por cada grado de libertad), existirá, necesariamente ciertas dependencias entre las 12 expresiones de partida con lo cual la elección de las ecuaciones debe hacerse con sumo cuidado.

Se va a aplicar este procedimiento al robot de 3 grados de libertad de configuración esférica (2 giros y un desplazamiento) mostrado en la figura. El robot queda siempre contenido en un plano determinado por el ángulo q1.

El primer paso a dar para resolver el problema cinemática inverso es obtener Tij correspondiente a este robot. Es decir, obtener la matriz T que relaciona el sistema de referencia (S0) asociado a la base con el sistema de referencia (S3) asociado a su extremo.

La siguiente figura muestra la asignación de sistemas de referencia según los criterios de DH con el robot situado en su posición de partida (q1 = q2 = 0), y la tabla muestra los valores de los parámetros de DH.

A partir de estos es inmediato obtener las matrices A y la matriz T.Obtenida la expresión de T en función de las coordenadas articulares (q1, q2, q3), y supuesta una localización de destino para el extremo del robot definida por los vectores n, o, a y p se podría intentar manipular directamente las 12 ecuaciones resultantes de T a fin de despejar q1, q2, y q3 en función de n, o, a y p.

Parámetros DH del robot polar de 3 GDL.

Articulación q d a a

1 q1 I1 0 90°

2 q2 0 0 -90°

3 0 q3 0 0

Sin embargo, este procedimiento directo es complicado, apareciendo ecuaciones trascendentes. En lugar de ello, suele ser más adecuado aplicar el siguiente procedimiento:

Puesto que T =  0A1 ( 1A2 )( 2A3 ), se tendrá que:

( 1 / 0A1 ) T  =  1A2( 2A3 )

( 1 / 1A2 ) ( 1 / 0A1 ) T = 2A3

Puesto que:

T =n o a p0 0 0 1

Es conocida, los miembros a la izquierda en las expresiones anteriores, son función de las variables articulares (qk+1,...,qn).

De modo, que la primera de las expresiones se tendrá q1 aislado del resto de las variables articulares y tal vez será posible obtener su valor sin la complejidad que se tendría abordando directamente la manipulación de la expresión T. A su vez, una vez obtenida q1, la segunda expresión anterior (2A3), permitirá tener el valor de q2 aislado respecto de q3. Por ultimo, conocidos q1 y q2 se podrá obtener q3 de la expresión T sin excesiva dificultad.

Para poder aplicar este procedimiento, es necesario en primer lugar obtener las inversas de las matrices, i-1Ai. Esto es sencillo si se considera que la inversa de una matriz viene dada por:

 

inversa  nx    ox    ax    Pxny    oy    ay    Pynz    oz    az    Pz0      0      0      1

=

nx   ox   ax   -n(exp)T(P)ny   oy   ay   -o(exp)T(P)nz  oz   az   -a(exp)T(P)0    0     0                   1

 

1 / ( 0A1 )inversa

 

C1    0     S1   0S1    0   -C1   00    1     0    I10    0     0     1

=

C1        S1      0    00        0        1    -I1S1      -C1     0    00      0        0    1

 

1 / ( 1A2 )inversa

 

C2   0   -S2   0S2   0   C2   00   -1   0    00    0   0   1

=

C2   S2   0   00     0   -1   0-S2  C2   0   00    0     0   1

 

1 / ( 2A3 )inversa

 

1   0   0   00   1   0   0

0   0   1   q30   0   0   1

=

1   0   0   00   1   0   00  0  1  -q30   0   0   1

Por lo tanto, utilizando la primera de las ecuaciones definidas al principio del tema, se tiene que:

 

( 1 / 0A1 ) 0T3 = 1A3 ( 2A3 ) =

 

 

C2    0   -S2   -S2q3S2    0   C2   C2q30     -1     0          00      0      0         1

 

De las 12 relaciones establecidas en la ecuación anterior, interesan aquellas que expresan q1 en función de constantes. Así por ejemplo se tiene:

S1 ( Px ) - C1 ( Py ) = 0

tan( q1 ) = ( Py  /  Px )

q1 =arctg ( Py  /  Px )

Se tiene finalmente:

q2 = arctg( ( ( Px )² + ( Py )² )½  /  ( I1  –  Pz ))

q3 = C2 ( Pz - I1 )  -  S2 ( (  Px  )² + (  Py )² )½

 

Las expresiones anteriores corresponden a la solución del problema cinemática inverso del robot considerado.

A los mismos resultados se podría haber llegado mediante consideraciones geométricas.