Nociones sobre MecNociones sobre Mecáánica nica

CinemCinemáática: Describe el movimientotica: Describe el movimiento

DinDináámica: Estudia las causas del mica: Estudia las causas del movimientomovimiento

CinemCinemááticatica� Utilizaremos partículas puntuales. Una partícula pun tual es un

objeto con masa, pero con dimensiones infinitesimale s�� Determinar la posiciDeterminar la posici óón de un cuerpo es especificar unas n de un cuerpo es especificar unas

distancias respecto a otra posicidistancias respecto a otra posici óón y orientacin y orientaci óón llamada n llamada sistema de referenciasistema de referencia

trayectoria

Sistema de Sistema de Sistema de Sistema de referencia referencia referencia referencia cartesianocartesianocartesianocartesiano

r�

r�

vector de posición

Si conocemos x = r cos α y = r cos βz = r cos γα, β, y γ son los ángulos directores de

r r=�1

ˆˆ ˆ( , , ) = r OP x y z xi yj zk= = + +�

�

r�

Mi gato Mi gato Mi gato Mi gato CartesioCartesioCartesioCartesioMi gato Mi gato Mi gato Mi gato CartesioCartesioCartesioCartesio

Cuando una partícula cambia de posición desde un punto P1 a otro P2, llamamos a su cambio de posición desplazamiento. Es el vector:

Si la partícula está en P1 en el instante t1 y pasa en el instante t2 al punto P2, la velocidad media es

0limt

r drv

t dt∆ →∆= =∆

� �

�

2 1r r r∆ = −� � �

mr

Vt

∆=∆

�

�

El mEl mEl mEl móóóódulo de , no coincide con la distancia recorrida dulo de , no coincide con la distancia recorrida dulo de , no coincide con la distancia recorrida dulo de , no coincide con la distancia recorrida ∆∆∆∆ssss. . . .

Si consideramos intervalos de tiempo cada vez menores, el mSi consideramos intervalos de tiempo cada vez menores, el mSi consideramos intervalos de tiempo cada vez menores, el mSi consideramos intervalos de tiempo cada vez menores, el móóóódulo del dulo del dulo del dulo del desplazamiento se aproxima a la distancia recorrida por la partdesplazamiento se aproxima a la distancia recorrida por la partdesplazamiento se aproxima a la distancia recorrida por la partdesplazamiento se aproxima a la distancia recorrida por la partíííícula sobre cula sobre cula sobre cula sobre la curva, y la direccila curva, y la direccila curva, y la direccila curva, y la direccióóóón de tiende a coincidir con la direccin de tiende a coincidir con la direccin de tiende a coincidir con la direccin de tiende a coincidir con la direccióóóón de la tangente n de la tangente n de la tangente n de la tangente de la curva en cada punto. Se define la velocidad instantde la curva en cada punto. Se define la velocidad instantde la curva en cada punto. Se define la velocidad instantde la curva en cada punto. Se define la velocidad instantáááánea como nea como nea como nea como

r�

r∆�

�La dirección de coincide con la dirección de la tangente a la curva recorrida por la partícula en el espacio. El módulo de la velocidad se denomina a veces celeridad y es ds/dt, siendo s la distancia medida sobre la curva.

v�

� Se define la aceleración instantánea como

� Obsérvese que es un vector, por tanto puede cambiar tanto de módulo como de dirección. La aceleración será distinta de cero si cambia de dirección, aunque no de módulo.

∆ →

∆= = =∆

�� �

�

2

20limt

v dv d ra

t dt dt

v�

EjemplosEjemplos� Movimiento rect. Uniforme: La partícula se mueve en una sola

dirección con velocidad

= cte = ds

vdt

ds =vdt

La distancia recorrida entre S1 y S2,

2

2

( )

1

(0)

S t

S

S vdt S vt= = +∫

cte = v v î=�

Movimiento rect. uniformemente acelerado:

entoncesv = + at

s = + t + ½ a t2

= a cte a î= =�

Composición de Movimientos

Los movimientos reales no suelen ser tan sencillos como los

anteriormente citados.

Un movimiento real puede verse como la composición de

movimientos en distintas direcciones del espacio.

Ejemplo: movimiento de un

proyectil (tiro parabólico). El proyectil tiene su trayectoria

en un plano, y esta trayectoria es una parábola.

La componente y de la posición del proyectil cambia como si fuera un mov. Rect.

unif acelerado y la componente x como un mov. Rec. uniforme

En el eje y, actúa la aceleración de la gravedad . La coordenada y del proyectil se describe mediante un mov. Unif. acelerado.

Vy = V0 y – gt = V0 senα – gt

y = V0 y t – ½ g t2 = sen α t – ½ g t2

La posición real del proyectil será

Inicialmente (t =0) se lanza el proyectil con una vel. que forma un determinado ángulo α con el eje x.

v0x=v0 cos α

v0y=v0 sen α

La coordenada x del proyectil en cualquier instante t

x = v0 cos α t = vx t

0v�

g− �

ˆ ˆ( ) ( ) ( )r t x t i y t j= +�

Movimiento circular con

En muchos fenómenos naturales el mov. es circular o casi circular, por ejemplo, el movimiento de los satélites o el de la

Tierra alrededor del Sol.

Consideremos una partícula moviéndose sobre una

circunferencia de radio r. Aunque v no cambie, su dirección de si cambia, lo que implica que la partícula está acelerada.

v cte v= =�

Sea ∆s la distancia recorrida en ∆t (el arco recorrido). La variación angular (en radianes) es ∆φ = ∆s/r ó∆s = r ∆ φ.

La celeridad media es

v = ∆s /∆t = r ∆ φ /∆t.

v = ∆s /∆t = r ∆φ /∆t.

Por triángulos semejantes

si ∆r es muy pequeño se puede aproximar a ∆s,

v r

v r

∆ ∆=

v s sv v

v r r

∆ ∆ ∆= ⇒ ∆ =

21v s va v

t t r r

∆ ∆≈ = =∆ ∆

El módulo de la aceleración (si ∆t pequeño)

expresión exacta cuando en el límite ∆t→ 0.

Es conveniente expresar los vectores velocidad y aceleración en sus componentes radial y tangencial, es decir, sus componentes sobre rectas que son perpendiculares o paralelas .

vv = 0 vt = v

ar = -v2/r at =0

La aceleración que señala al centro de la circunferencia se llama centrípeta. El signo negativo indica que la aceleración es hacia el centro, y por tanto, antiparalela al vector de posición.

Si la velocidad cambia de módulo, la aceleración puede descomponerse en dos partes, una radial y otra en la dirección tangente de la trayectoria.

ar = -v2/r at = dv/dt

La aceleración radial ar es responsable del cambio de dirección de , mientras que at es la responsable del cambio en el módulo de .

Esta descomposición de la aceleración y las interpretaciones de ar y at es general y no se restringe al caso circular, ya que cualquier segmento de curva puede considerarse como un arco de circunferencia.

v�

v�

v�

v�

DinDináámicamica

� La dinámica estudia la causa del movimiento� Hechos observacionales

� El movimiento de un cuerpo es el resultado de su interacción con otros.

� La masa inercial de un cuerpo es una propiedad que determina cómo cambia su velocidad al interaccionar con otros cuerpos.

� La interacción afecta por igual a los dos cuerpos ( acción-reacción)

Las Leyes de NewtonLas Leyes de Newton•1.- Si no existe fuerza externa que actúa sobre un cuerpo

(partícula) situado en un sistema de referencia inercial, éste

permanece en reposo o se mueve con velocidad cte.

2.- La variación respecto del tiempo del momento lineal es igual

a la fuerza externa resultante que actúa sobre el cuerpo

donde .

Si la masa es cte,

•3.- Las fuerzas se presentan siempre por parejas. Si el cuerpo

A ejerce una fuerza sobre el cuerpo B, éste ejercerá una fuerza

igual pero opuesta sobre el cuerpo A

•4.- Las fuerzas son vectores.

dpF

dt=∑�

� p mv=� �

F ma=∑�

�

AB BAF F= −� �

I. Ley de Inercia y I. Ley de Inercia y conservaciconservacióón del momento linealn del momento lineal

� Sistema de referencia inercial : Aquel que se mueve a velocidad constante respecto de otro sistema inercial.

� Ley de conservaciLey de conservaciLey de conservaciLey de conservacióóóón del momento lineal n del momento lineal n del momento lineal n del momento lineal : si la fuerza total que actúa sobre un cuerpo en nula, su momento lineal se conserva.

�Una partícula libre (sobre la que no actúa ninguna fuerza) se mueve con velocidad constante.

ctepF

dt

pdFvmp

=⇒=

==�

�

�

�

��

0

II. Ley: Fuerza y Masa.II. Ley: Fuerza y Masa.

� Masa : propiedad intrínseca de un cuerpo que mide su resistencia a la aceleración.� Posibilidad de definir una masa patrón.

� La unidad de masa es el kg.

� La fuerza es un vector proporcional a la aceleración que produce en un cuerpo.

� 1 Newton (N) : es la fuerza necesaria para producir una aceleración de 1m/s2 en un cuerpo de 1 kg.

amdt

pdF

�

�

�

==

III. Ley de acciIII. Ley de accióón y reaccin y reaccióónn

� Fuerza = interacción entre dos objetos : Dos objetos que interaccionan se ejercen fuerzas entre sí.

� Si un cuerpo A ejerce una fuerza sobre un cuerpo B, entonces B ejerce sobre A una fuerza de igual magnitud y dirección opuesta. FA + FB = 0

Pero ⇒

ConservaciConservacióón del momento linealn del momento linealConsideremos dos cuerpos aislados, de modo que las únicas fuerzas que actúan sobre ellos son las que se ejercen entre sí(acción-reacción). Si es la acción del cuerpo 2 sobre el cuerpo 1, por la 2ª ley de Newton

1F�

1 1 11

( )dP d m vF

dt dt= =�

�

es la reacción del cuerpo 1 sobre el 2 2F�

2 2 22

( )dP d m vF

dt dt= =�

�

2 1F F= −� �

1 21 2( ) 0

dP dP dP P

dt dt dt+ = + =� �

� �

la variación del momento lineal total con el tiempo es 0, y por tanto

1 2P P+� �

1 2P P P cte= + =� � �

El momento lineal total de un sistema se conserva si sobre el sistema no hay fuerzas exteriores (si el sistema está aislado).

TRABAJOTRABAJO� Una fuerza realiza trabajo cuando modifica el

movimiento de un cuerpo. Unidades [J]=[N.m]

F es la fuerza aplicada al objeto.Fs es la componente a lo largo de un pequeño desplazamiento ds sobre la curva.

cos

= s

dW F ds

dW F ds Fds

φ==

�

�

El elemento de trabajo El elemento de trabajo El elemento de trabajo El elemento de trabajo dWdWdWdW es es es es

Trabajo en un desplazamiento Trabajo en un desplazamiento finitofinito

( )C

W F s ds= ⋅∫�

�

Para determinar el trabajo total realizado por la fuerza cuando la partícula se desplaza entre los puntos 1 y 2, basta calcular Fs dspara cada elemento de la trayectoria y sumar

Puede dependerdel camino

F(sF(sF(sF(s))))

dsdsdsds

dsdsdsds

Trabajo y EnergTrabajo y Energíía Cina CinééticaticaEL trabajo realizado por la fuerza neta se puede expresar como la variación de energía cinética

Fs = m at = m dv/dt,

Total f oW T T T= − = ∆2

2 2 2 2

1

2( )x y z

T mv

v v v v

=

= + +

dv dv ds dvv

dt ds dt ds

⋅= =⋅

2 2 2 2

1 1 1 1

2 22 1

1 1

2 2

S S S V

s

S S S V

dv dvW F ds m ds mv ds mvdv mv mv

dt ds= ⋅ = = = = −∫ ∫ ∫ ∫

F�

Fuerzas conservativasFuerzas conservativas

1 2

( ) ( )C C

W F s ds F s ds= ⋅ = ⋅∫ ∫� �

� �

•Una fuerza es conservativa si el trabajo total que realiza sobre una partícula a lo largo de una trayectoria cerrada es cero.•Una fuerza es conservativa si el trabajo total que realiza sobre una partícula es independiente de la forma como se mueva la partícula.•Una fuerza es conservativa si deriva de una función (energía) potencial o

)( abFC UUW −−=¡Unidades de trabajo!J=N·m

- F grad U=�

-dU Fds=�

�

dsdsdsds

Ejemplos fuerzas conservativasEjemplos fuerzas conservativas

� La fuerza de la gravedad, -mg ĵ

� La fuerza elástica de un muelle –kx î

212eU k x=gU mgh=

EnergEnergíía potencial (1Dim)a potencial (1Dim)La energía potencial toma un valor en cada punto del espacio

En forma infinitesimal

Y así

)()( fi

x

x

xFC xUxUUxdFWf

i

−=∆−== ∫

dUdxFdW xFC −==

dx

xdUFx

)(−=Fuerza repulsiva F>0

Fuerza nula F =0

Fuerza atractivaF

FunciFuncióón energn energíía potencial (3Dim)a potencial (3Dim)

Se puede generalizar el trabajo en 3D

donde el gradiente se puede expresar en coordenadas

kz

Uj

y

U

x

UrU ˆˆˆ)(

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇ ι�

�

)()( fi

r

r

FC rUrUUrdFWf

i

���

�

�

�

−=∆−=⋅= ∫ )(rUF�

��

∇−=

φφθ

θθ

ˆ1ˆ1ˆ)(∂∂+

∂∂+

∂∂=∇ U

senr

U

rr

r

UrU�

�

Polares Cartesianas

Superficies equipotencialesSuperficies equipotenciales� El potencial es constante en todos sus puntos.

� El vector gradientees ortogonal a S.

� El gradiente va de menores a mayores valores de U.

1U

ctezyxU =),,(

U0

U1U2

UN

0|||| =−=∆⋅∇−=∆⋅ ii UUrUrF�

�

�

�

El gradiente y r||

son ortogonales

ij

ij

UU

UUrUrF

>

Trabajo y EnergTrabajo y Energííaa� El trabajo realizado por todas las fuerzas se

puede expresar como la variación de energía cinética

� El trabajo realizado por todas las fuerzas conservativas es menos la variación de la energía potencial

� EL trabajo realizado por las fuerzas no conservativas será:

TotalW T= ∆

UWFC ∆−=

( )FNC Total FC mW W W T U T U E= − = ∆ + ∆ = ∆ + = ∆

Definimos la energía mecánica como la suma de la cinética y la potencial

Teorema de conservaciTeorema de conservacióón de la n de la EnergEnergíía Meca Mecáánicanica

� Si todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo son conservativas la Energía Mecánica se conserva.

FNC =0 ���� EM =cte

Sistemas de Unidades Sistemas de Unidades

�� El Sistema Internacional (MKS, SI)El Sistema Internacional (MKS, SI)�� Unidades fundamentalesUnidades fundamentales

�� Longitud: el metro (m)Longitud: el metro (m)

�� Masa: el kilogramo (Masa: el kilogramo (kgkg))

�� Tiempo: el segundo (s)Tiempo: el segundo (s)

�� MMáás unidades fundamentaless unidades fundamentales�� Intensidad elIntensidad elééctrica: el amperio (A)ctrica: el amperio (A)

�� Temperatura: el kelvin (K)Temperatura: el kelvin (K)

�� Cantidad de algo: el mol (Cantidad de algo: el mol (molmol))

�� Intensidad lumIntensidad lumíínica: la candela (nica: la candela (cdcd))

Unidades derivadaspara velocidad, fuerza, etc.

Mecánica

Electromagnetismo

Termodinámica

Óptica

Sistemas de Unidades Sistemas de Unidades

�� Prefijos para mPrefijos para múúltiplos ltiplos y submy submúúltiplos.ltiplos.

teratera (T)(T)10101212giga (G)giga (G)101099mega (M)mega (M)101066kilo (k)kilo (k)101033mili (m)mili (m)1010--33micro (micro (µµ))1010--66nanonano (n)(n)1010--99pico (p)pico (p)1010--1212PrefijoPrefijoFactorFactor

ConversiConversióón de Unidades n de Unidades

�� Cambio de UnidadesCambio de Unidades::�� Multiplicar por el correspondiente factor de Multiplicar por el correspondiente factor de

conversiconversióón n

�� EjemploEjemplo: : ¿¿CuCuáántos m/s son 120 ntos m/s son 120 kmkm/h?/h?

�� ExpresiExpresióón de unidades: (fn de unidades: (fíísica) = 33 m ssica) = 33 m s--11

km

m

h

km

11000

120 ×= sm/33≅hkm/120s

h

36001×