Cálulo IntegralUnidad 1.

Evidencia de aprendizaje. Desarrollo de integración

∫0

2

2 x dx−∫0

2

2dx= x2|02−2x|0

2=[4−4 ]−[0+0 ]=0

u=−x2;du=−2 xdx∴ du−2

=xdx

∫0

2

[ xe− x2+3 x3 ]dx=∫0

2

xe−x2

dx+∫0

2

3 x3dx=¿−12∫0

2

eudu+ 3 x4

4 |0

2

=− eu

2 |0

2

+ 3 x4

4 |0

2

=¿¿

− e−x2

2 |0

2

+ 3 x4

4 |0

2

=[− e−222 |0

2

+3(2)4

4 |0

2]−[− e−022 |0

2

+3(0)4

4 |0

2]=[−.009157+ 484 ]−[−12 +0]=12.49084

u=x2 ;du=2x dx∴ du2

=x dx∫0

√π

[ xcos x2+x2 ] dx=∫0

√π

xcos x2dx+∫0

√π

x2dx=12∫0

√ π

cos udu+∫0

√π

x2dx=¿

sinu2 |

0

√π+ x

3

3 0

√π|= sin x22 |0

√π

+ x3

3 |0

√π

=[ sin x22 + x3

3 ]−[ sin x22 + x3

3 ]=¿

[ sin√ π22+(√π )3

3 ]−[ sin 022 + 03

3 ]=[ sin π2 +(√π )3

3 ]−[ sin 022 + 03

3 ]=[0+ 5.5683273 ]− [0+0 ]=1.8561

Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

Cálulo IntegralUnidad 1.

Evidencia de aprendizaje. Desarrollo de integraciónu=ln x ;du=dx

x

∫e

e4

3 x

x2√ ln xdx=∫

e

e4

3x √ ln x

dx=3∫e

e4

du

√u=3∫

e

e4

u−12 du=3 ∙2u

12|e

e4

=6u12|e

e4

=6√ ln x|ee4

[6√ ln e4 ]−[6√ ln e ]=[6√4 ]−[6√1 ]=[6 ∙2 ]− [6 ∙1 ]=12−6=6

∫−π4

π3

sin5θd θ=∫−π4

π3

sin2θ∙ sin2θ ∙ sinθ dθ=∫−π4

π3

[1−cos2θ ] ∙ [1−cos2θ ] ∙ sin θd θ=¿

∫−π4

π3

[1−2cos2θ+cos4θ ] ∙ sinθd θ=∫−π4

π3

sinθdθ−2∫−π4

π3

sinθ ∙cos2θ dθ+∫−π4

π3

cos4θ ∙ sinθd θ

z=cos θ ;dz=−sinθ

−cosθ|−π4

π3 −2∫ z2dz+∫ z4dz=−cosθ|−π

4

π3 + 2 z

3

3 |−π4

π3 −z5

5 |−π4

π3

=¿

−cosθ|−π4

π3 + 2cos

3θ3 |−π

4

π3 −cos5θ

5 |−π4

π3

=¿

[−cosθ+ 2cos3θ3− cos

5θ5 ]−[−cosθ+ 2cos3θ3

− cos5θ5 ]=¿

−cosπ3+2cos3

π3

3−cos5

π3

5+cos

−π4

−2cos3

−π4

3+cos5

−π4

5=¿

−12

+ 112

− 1160

+.7071−.2357+.0353=0.08384

Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

Cálulo IntegralUnidad 1.

Evidencia de aprendizaje. Desarrollo de integraciónu= t6;6du=dt

∫0

2

[ t+cos t6 ]dt=∫0

2

t dt+∫0

2

cost6dt=∫

0

2

t dt+6∫0

2

cos udu= t2

2 |02

+6 sin t6|02

=¿

[ 222 +6sin 13 ]−[ 022 +6 sin 0

6 ]=2+6sin 13−0−0=2+6sin 13

u=sin x ;du=cos x d x

∫−π2

π2

sin x ∙cos xd x=∫−π2

π2

u ∙du=u2

2 |−π2

π2

=sin2 x2 |−π

2

π2

=sin2

π2

2−sin2

−π2

2=12−12=0

u=x+2 ;du=d x; x=u−2 ;x3=u3−6u2+12u−8

∫0

2

x3√x+2dx=∫0

2

[u3−6u2+12u−8 ] ∙ u12dx=∫

0

2 [u 72−6u52+12u 32−8u12 ]dx=¿

∫0

2

u72dx−∫

0

2

6u52dx+12∫

0

2

u32 dx−∫

0

2

8u12 dx=2

9u92−12

7u72+ 245u52−16

3u32=¿

[ 29 [ x+2 ]92−127

[x+2 ]72+ 245

[x+2 ]52−16

3[ x+2 ]

32]|0

2

=¿

[ 29 [2+2 ]92−127

[2+2 ]72+ 245

[2+2 ]52−16

3[2+2 ]

32 ]−[ 29 [2 ]

92−127

[2 ]72+ 245

[2 ]52−16

3[2 ]

32 ]=¿

[29 [4 ]92−127

[4 ]72+ 245

[4 ]52−163

[4 ]32 ]−[ 29 [2 ]

92−127

[2 ]72+ 245

[2 ]52−163

[2 ]32 ]=¿

29

[4 ]92−12

7[4 ]

72+ 245

[4 ]52−16

3[4 ]

32−29

[2 ]92+ 127

[2 ]72−24

5[2 ]

52+163

[2 ]32=¿

Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

Cálulo IntegralUnidad 1.

Evidencia de aprendizaje. Desarrollo de integración29

[4 ]92−12

7[4 ]

72+ 245

[4 ]52−16

3[4 ]

32−29

[2 ]92+ 127

[2 ]72−24

5[2 ]

52+163

[2 ]32=¿

29∙ [512−√512 ]+ 12

7[−128+√128 ]+ 24

5[32−√32 ]+16

3[−8+√8 ]=¿

70∙ [512−√512 ]+540 [−128+√128 ]+1512 [32−√32 ]+1680 [−8+√8 ]315

=¿

35840−70√512−69120+540√128+48384−1512√32−13440+1680√8315

=¿

1664−70√512+540√128−1512√32+1680 √8315

=¿

1664−70√512+270 ∙√128 ∙√4−1512√32+840 ∙√8∙√4315

=¿

1664−70√512+270 ∙√512−1512√32+840 ∙√32315

=1664+200 ∙√512−672√32315

=¿

1664+200 ∙√512−168 ∙√32∙√16315

=1664+200 ∙√512−168 ∙√512315

=¿

1664+32 ∙√512315

=7.5811

u=2−x ; du2

=dx ; x=2−u

∫1

2

(x−1)√2−x dx=12∫1

2

(2−u−1)u12 du=1

2∫1

2

(1−u)u12du=1

2∫1

2

u12du−1

2∫1

2

u32 du

13u32−15u52=13

[2−x ]32|1

2

−15

[2− x ]52|1

2

=[ 13 [2−x ]32−15

[2−x ]52 ]−[ 13 [2−x ]

32−15

[2−x ]52 ]=¿

[ 13 [2−2 ]32−15

[2−2 ]52 ]−[ 13 [2−1 ]

32−15

[2−1 ]52 ]=[0−0 ]−[ 13 [1 ]

32−15

[1 ]52 ]=−1

3+ 15=3−515

=−215

Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

Cálulo IntegralUnidad 1.

Evidencia de aprendizaje. Desarrollo de integración

z=6 x ;dz=6dx ;u=ln x ;du=¿ dxx;dv=dx; v=x¿

∫0

2

[ e6 x+ ln x ]dx=¿∫0

2

e6 xdx+∫0

2

ln x dx=¿ 16∫0

2

ezdz+∫0

2

ln x dx=¿ 16e6 x+x ln x−∫

0

2

dx=¿¿¿¿¿

[ 16 e6x+x ln x−x]02

=[ 16 e12+2 ln 2−2]−[ 16 e0+0−0]=16 e12+2 ln 2−2−16=¿

16e12+2 ln2−13

6=16∙ [e12−13 ]+2 ln 2

Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología