Chuyen de HH on Thi Lop10

5/25/2018 Chuyen de HH on Thi Lop10

1/119

(Ngi gia vi cun sch, trongbcTrng AthenacaRafaeln)
http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tr%C6%B0%E1%BB%9Dng_Athena&action=edit&redlink=1http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tr%C6%B0%E1%BB%9Dng_Athena&action=edit&redlink=1http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tr%C6%B0%E1%BB%9Dng_Athena&action=edit&redlink=1http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Rafael&action=edit&redlink=1http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Rafael&action=edit&redlink=1http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tr%C6%B0%E1%BB%9Dng_Athena&action=edit&redlink=1


2/119

.:: CHUYN N THI VO LP 10 ::.

Bin son: Trn Trung Chnh 1

CAC K HIEU DUNG TRONG CHUYEN E(O) : ng trn tm O(O; R) : ng trn tm O, bn knh RABC : Tam gic ABCSABC : Din tch ABC(ABC) : ng trn ngoi tip ABCa, b, c : di cc cnh i din vi cc nh A, B, C ca ABC

ha, hb, hc : di cc ng cao xut pht t cc nh A, B, C ca ABCma, mb, mc : di cc ng trung tuyn xut pht t cc nh A, B, C ca ABCla, lb, lc : di cc ng phn gic xut pht t cc nh A, B, C ca ABCR, r : Bn knh cc ng trn ngoi tip, ni tip tam gicra, rb, rc : Bn knh cc ng trn bng tip i din vi cc nh A, B, C ca ABCpcm : iu phi chngminh

2p : Chu vi ca tam gic(p =a b c

2

l na chu vi)

n

k 1 2 n

k=1

a = a + a +...+a : Tng ca n s hng t a1n an.n

k 1 2 n

k=1

a = a a ...a : Tch ca n s hng t a1n an.

TONG KET KIEN THC1. ng thng:nh ngha:Mt ng thng c hiu nh l mt ng di (v tn), mng (v cng) v thngtuyt i.Tin 'Clit:Qua hai im bt k ta lun xc nh duy nht mt ng thng v ch mt ngthng.K hiu:Ngi ta thng dng cc ch ci inthng a, b, c, ..., m, n, p ... t tn cho cc ngthng hoc dng hai ch ci in hoa hay hai ch ci in thng t tn cho ng thng. V d: AB, xy, ...

yx

BA

im khng thuc ng thng: im A khng nm trn ng thng a, im A khng thucng thng a (hay ni cch khc l ng thng a khng i qua im A). K hiu: A a.2. on thng:nh ngha:on thng AB l hnh gm im A, im B v tt c cc im nm gia A v B.

BA Hai im A v B gi l hai u mt (hay cn gi l hai mt) caon thng AB.Lu :im M nm gia A v B khi v ch khi AM + MB = AB v A, M, B thng hng.

M BA

3. Tia:

Tia l hnh gm im O v mt phn ng thng bi chia ra bi im O c gi l mt tia gc O(c hai tia Ox v Oy nh hnh v).

www.VNMATH.com


3/119



Ox

Hai tia c chung mt gc O to thnh ng thng c gi hai tia i nhau (hai tia Ox v Oy tronghnh v l hai tia i nhau)4. im: k hiuim, ngi ta dng cc ch ci in hoa A, B, C, ...Bt c hnh no cng l mt tp hp cc im.Trung im ca on thng:Trung im M ca on thng AB l im nm gia hai im A, B v

cch u hai im A v B.

M BA

Trung im M ca on thng AB cn gi l im chnh gia ca on thng AB.Lu :im chnh gia hai im khc vi im nm gia hai im. 5. Mt phng:Na mt phng b a: Hnh gm ng thng a v mt phn mt phng b chia ra bi a c gi lmt na mt phng b a.

a

Mt phng l hai na mt phng hp li theo mt phng (phng ca vect) nht nh.

ud

Q

P

6. Gc:

Gc nhn Gc vungGc t

Gc bt

Gc phnGc y

Gc khi BA

A

B

ng phn gic


4/119



R

R

Chia i mt gcbngcompa v thc

kGc i nh Gc ngoi ca tam gic Gc tm ca ng

trn

(1) Hai gc ph nhau l hai gc c tng s o bng 900.

z

x

O

Gc xOy v gc yOz l hai gc ph nhau.

(2) Hai gc b nhau l hai gc c tng s o bng 1800.

z

y

x O

Gc xOy v gc yOz l hai gc b nhau

(3) Hai gc so le trong: Cho hai ng thng a //b v ng thng c ct a, b ln lt ti A, B.c

b

a

B

A

2

2

1

1

Khi :

A B1 1 v

A B2 2 .(4) Hai gc ng v: Cho hai ng thng a //b v ng thng c ct a, b ln lt ti A, B. Khi :

1 1A = B ,

2 2A B ,

3 3A B ,

4 4A B .

www.VNMATH.com
http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Compa&action=edit&redlink=1http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Compa&action=edit&redlink=1http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Th%C6%B0%E1%BB%9Bc_k%E1%BA%BB&action=edit&redlink=1http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Th%C6%B0%E1%BB%9Bc_k%E1%BA%BB&action=edit&redlink=1http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Th%C6%B0%E1%BB%9Bc_k%E1%BA%BB&action=edit&redlink=1http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Th%C6%B0%E1%BB%9Bc_k%E1%BA%BB&action=edit&redlink=1http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Th%C6%B0%E1%BB%9Bc_k%E1%BA%BB&action=edit&redlink=1http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Th%C6%B0%E1%BB%9Bc_k%E1%BA%BB&action=edit&redlink=1http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Compa&action=edit&redlink=1


5/119



4

4 3

3

c

b

a

B

A

2

2

1

1

7. Tam gic:7.1. K hiu:Tam gic ABC c k hiu l ABC.Mt tam gic ABC c ba nh (gc) ln lt l A, B, C v ba cnh l AB, BC, CA. 7.2. Cc ng trong tam gic:ng cao:L on thng ni mi nhv vung gc vicnh i dinnh .Mt tam gic cba ng cao.Giao im ca ba ng cao gi l trc tmca tam gic.Trong ABC, c cc ng cao AH, BK, CF.

FK

H CB

A

ng trung tuyn:L ng thng k t nh v i qua trung im ca cnh i din vi nh .Mt tam gic c ba ng trung tuyn. Giao im ca ba ng trung tuyn gi l trng tmcatam gic.

GN

P

M

CB

A

Trong ABC, c cc ng trung tuyn AP, BN, CM. di ng trung tuyn:

BG AG CG 2= = =

BN AP CM 3GN GP GM 1

= = =BN AP CM 3

GN GP GM 1= = =

GB GA GC 2

ng trung trc:L ng thng vung gc vi mt cnh ti trung im ca n.Mt tam gic cba ng trung trc. Giao im ca ba ng trung trc gi l tm ca ng trong ngoi tip tamgic.


6/119



d

BA

ng thng (d) l ng trung trc ca on thng AB.

O

CB

A

im O l giao im ca ba ng trung trc.ng phn gic:L ng thng chia mt gc thnh hai gc c s o bng nhau.Mt tam gic cba ngphn gic. Giao im ca ba ng phn gic gi l tm ca ng trong ni tip tip tamgic.Trong ABC c: OM = ON = ON.

P

N

M CB

A

ng trung bnh:L ng thng ni trung im hai cnh ca mt tam gic. Mt tam gic c bang trung bnh. Tam gic to bi ba ng trung bnh th ng dng vi tam gic cho.

NM

A

B C

MN gi l ng trung bnh ca tam gic. Ta c: MN // BC v1

MN BC2

.

7.3. Phn loi tam gic:Tam gic nhn:L tam gic c ba gc u nhn (s oba gc < 900).

www.VNMATH.com


7/119



A

BC

Tam gic u:L tam gic cba cnh v ba gc bng nhau.Trong tam gic u, ng cao cng l ng trung tuyn, ng phn gic, ng trung trc.

CB

A

600

600600

Tam gic cn:L tam gic c hai cnh bng nhauhoc hai gc mt y bng nhau.

B

A

C Tam gic vung:L tam gic c mt gc vung (bng900).Trong mt tam gic vung, cnh i din vi gc vung gi l cnh huyn v l cnh ln nht.

Cho ABC, c 0A 90 th BC2= AB2+ AC2. y l h thc trn l h thc Pitago.

B

A C

nh l PITAGO:nh l thun:Trong tam gic vung, bnh phng cnh huyn bng tng bnh phng hai cnh gc vung.

BC2= AB

2+ AC

2

nh l o:Tam gic c tng bnh phng mt cnh bng tng bnh phng hai cnh cn li l tam gic vung. Nu tam gic ABC tha mn BC2= AB2+ AC2th ABC l tam gic vung ti A.


8/119



7.4. Tnh cht ca cnh v gc ca tam gic:Tnh cht 1:Cho tam gic ABC, tng ba gc:

0A B C 180 . Tnh cht 2: di mtcnh ln hn hiu di hai cnh kia v nh hn tng di ca chng.

AB + BC > AC > |AB - BC|Tnh cht 3:Trong hai cnh ca cng mt tam gic, cnh i din vi gc ln hn l cnhln hn.Gc i din vi cnh ln hn l gc ln hn.

BC AC AB A B C. 7.5. Din tch tam gic:

(1) Cng thc tnh din tch tam gic:1

S b.h2

trong b l di ca cnhv h l di ng caong vi cnhb.

(2) Cng thc Heron: S p p a p b p c

trong 1

p a b c2

l na chu vi ca tam gic.

8. ng trn:8.1. Khi nim:ng trn tm O bn knh R (vi R > 0) l hnh gm cc im cch im Ocho trc mt khong khng i bng R.

K hiu: (O; R), ta cng c k hiu l (O).Lu :

- Qua ba im khng thng hng ta ch xc nh c mt ng trn.- Mt ng trn c mt tm i xng l tm ng trn.- Mt ng trn c v s trc i xng l cc ng knh ca ngtrn.

8.2. ng knh v dy cung:nh l 1:Trong cc dy ca mt ng trn, dy ln nht l ng knh.AB l ng knh, CD l dy cung th AB > CD.nh l 2:Trong mt ng trn, ng knh vung gc vi mt dy th iqua trung im ca dy y.Nu OH AB ti H th AH = HB. nh l 3:Trong mt ng trn, ng knh i qua trung im ca mtdy khng i qua tm th vung gc vi dy y.8.3. Lin h gia dy v khong cch t tm n dy:nh l 1:Trong mt ng trn:Hai dy bng nhau th cch u tm.

Nu AB = CD th OM = ON.Hai dy cch u tm th bng nhau.

Nu OM = ON th AB = CD.nh l 2:Trong hai dy ca mt ng trn:Dy no ln hn th dy gn tm hn.

Nu AB > CD th OM < ON.Dy no gn tm hn th dy ln hn.

Nu OM < ON th AB > CD.

NM

C

DB

A

O

NM C

DB

A

O

H BA

O

h

b

RO

D

C

BAO

www.VNMATH.com


9/119



8.4. Khong cch gia ng thng v ng trn:Gi R l bn knh ng trn v d l khong cch t tm O n ng thng a. Ta c:

Ha

O

(d > R)

O

a H

(d = R)

Ha

O

(d < R)

ng thng v ng trnkhng giao nhau.

ng thng v ng trn tipxc nhau.

ng thng v ng trnct nhau ti hai im (giao

nhau).nh l1:Nu mt ng thng l tip tuyn camt ng trn th n vung gc vibn knh i qua tip im.Nu a l tip tuyn vi (O) ti H th

a OH.nh l2:Tip tuyn vi ng trn:Nu haitip tuyn ca mt ng trn ctnhau ti mt im th im cchu hai tip im.

AH = BH.Tia k t im i qua tm l tia phn gic ca gc to bi hai tip tuyn.

HO l tia phn gic ca gc AHB .Tia k t tm i qua im l tia phn gic ca gc to bi hai bn knh i qua cc tip im.

OH l tia phn gic ca gc

AOB .

8.5. ng trn ni tip v ng trn bng tip:ng trn ni tip:- ng trn tip xc trong vi ba cnh ca tam gic l ngtrn ni tip tam gic.- Tm ng trn ni tip l giao im ca ba ng phn gicgc trong ca tam gic.ng trn ngoi tip:- ng trn tip xc ngoi vi ba cnh ca tam gic l ngtrn ngoi tip tam gic.

- Tm ng trn ngoitip l giao im ca ba ng phn gic gcngoi ca tam gic.

8.6. V tr tng i ca hai ng trn:Nu gi bn knh (O) l R v (O') l r th ta c:- Hai ng trn c hai im chung c gi l hai ng trn ctnhau.Hai im chung A, B gi l giao im. on thng AB ni haiim gi l dy chung.

O

aH

B

A

O H


10/119



B

A

O'O

(R - r < OO' < R + r)

AO'O

(R + r = OO')

AO'O

(R - r = OO')

Hai ng trong ct nhau. Hai ng trong tip xc nhau.Hia ng trn trong

nhau,

O'O

(OO' > R + r)Hai ng trong ngoi nhau.

8.7. Gc vi ng trn:Gc tm:nh ngha: Gc c nh trng vi tm ng trn gi l gc tm.

S o cung nh bng s o ca gc tm chn cung . s AmB AOB

S o cung ln bng hiu s gia 3600v s o cung nh.

AmB AnB 01s 360 s2

S o ca na ng trn bng 1800.

8.8. Lin h gia cung v dy cung:nh l 1:Vi hai cung nh trong mt ng trn hay trong hai ng trn bng nhau:Hai cung bng nhau cng hai dy bng nhau.Hai dy bng nhau cng hai cung bng nhau.nh l 2: Vi hai cung nh trong mt ng trn hay trong hai ngtrn bng nhau:Cung ln hn cng dy ln hn. Cung nh hn cng dy nh hn.8.9. Gc ni tip:nh ngha:Gc ni tip l gc c nh nm trn ng trn v hai cnhcha hai dy cung ca dng trn .nh l:Trong mt ng trn, s o ca gc ni tip bng na s o cacung b chn.

1AOB AB2

s

H qu: Trong mt ng trn:

n

m

B

A

O

O

BA

O

www.VNMATH.com


11/119



- Cc gc ni tip bng nhau chn cc cung bng nhau.

1AOB ACB AB2

s

- Cc gc ni tip cng chn mt cung hoc chn cc cung bng nhau thbng nhau.- Gc ni tip (nh hn hoc bng 900) c s o bng na s o ca gc tm cng chn mt cung.- Gc ni tip chn na ng trn l gc vung.

8.10. Gc to bi tip tuyn v dy cung:S o ca gc to bi tip tuyn v dy cung bng na s o ca cung b chn.

a

OA

B (s AB ABa )

8.11. Gc c nh bn trong ng trn v gc c nh bn ngoi ng trn. S o ca gc c nh bn trong ng trn bng na tng s o hai cung b chn.

E

n

m

O

D

B C

A

1BEC = sBmC +sAnD

2

S o ca gc c nh bn ngoi ng trn bng na hiu s o hai cung b chn.

O

C

A

DBM

O

C

B

A

M

O

m

n

B

A

M

1CMD = sCD - s AB

2; 1BMC = sBC - sAB

2; 1AMB = sAmB -sAnB

2

8.12. di ng trn, cung trn:

CO

BA

O


12/119



- Cng thc tnh di ngtrn:C = 2R = d.

(R l bn knh, d l ng knh)- Cng thc tnh di cung trn:Trn ng trn bn knh R, di l ca mt cung n0c tnh nh sau:

Rn

180

l

8.13. Din tch hnh trn, hnh qut trn:- Din tch hnh trn:

S = R2.- Din tch hnh qut trn:

2R nS

360

hay

RS

2 l

9. Hnh hc khng gian:Hnh tr - din tch xung quanh ca hnh tr:-Din tch xung quanh:

Sxq= 2Rh.(R l bn knh y v h l chiu cao)-Din tch ton phn:

Stp= 2Rh + 2r2= 2R(h + R)

- Th tch hnh tr:V = Sh = R2h.

(S l din tch y, h l chiu cao)Hnh nn - hnh nn ct:* Hnh nn:-Din tch xung quanh ca hnh nn:

Sxq= Rl.

(vil l di ng sinh, r l bn knh y)- Din tch ton phn ca hnh nn (tng din tch xung quanh v din tch y) l

Stp= Rl + R2= R(l + R)

(vi l l di ng sinh, r l bn knh y)- Th tch hnh nn:

21V R h3

(vil l di ng sinh, r l bn knh y)* Hnh nn ct:- Cng thc tnh din tch xung quanh ca hnh nn ct:

xq 1 2S r r l

- Th tch ca hnh nn ct:

2 21 2 1 21

V h r r r r 3

(h l chiu cao)-Hnh cu:

h

R

l

r1

r2

hl

l

n0R

O

l

n0R

O

R

h

www.VNMATH.com


13/119



- Cng thc tnh din tch mt cu:S = 4R2hay S = d2.

(Vi R l bn knh mt cu, d l ng knh mt cu)- Th tch hnh cu:

34V R3

(Vi R l bn knh mt cu)


14/119



CAC PHNG PHAP CHNG MINHCHUE 1NHAN BIET VA TM IEU KIEN CUA MOT HNH

1. Kin thc c bn:1.1. Tam gic cn:

Cc phng php chng minh tam gic cn:Phng php 1: Tam gic c hai cnh bng nhau l tam gic cn. Phng php 2: Tam gic c hai gc bng nhau l tam gic cn. Phng php 3: Tam gic c mt ng cao va l ng trung tuyn, ng trung trc, ngphn gic ca mt gc v ngc li th tam gic l tam gic cn.Lu : C th chng minh mt tam gic l tam gic cn da vo cc biu thc hoc cc h thc c chng minh.1.2. Tam gic u:Cc phngphp chng minh tam gic u:Phng php 1: Tam gic c ba cnh bng nhau l tam gic u.Phng php 2: Tam gic c ba gc bng nhau v bng 600l tam gic u.Phng php 3: Tam gic cn c s o gc nh cn bng 600l tam gic u.Phng php 4: Tam gic c cc ng cao va l ng trung tuyn, ng phn gic, ngtrung trc v ngc li l tam gic u.1.3. Tam gic vung:Cc phng php chng minh tam gic vung:Phng php 1: Tam gic c mt gc vung l tam gic vung. Phng php 2: Tam gic c hai cnh nm trn hai ng thng vung gc l tam gic vung. Phng php 3: S dng nh l o v ng trung tuyn ca tam gic vung. nh l:Trong mt tam gic c ng trung tuyn ng vi cnh huyn bng mt na cnh huyn thtam gic l tam gic vung.Phng php 4: S dng nh l o ca nh l Pitago.nh l:Nu mt tam gic tha mn bnh phng mt cnh bng tng bnh phng hai cnh cn lith tam gic l tam gic vung.Tc l, nu BC2= AB2+ AC2th tam gic ABC vung ti A.Phng php 5: Tam gic ni tip ng trn c mt cnh l ng knh th tam gic l tam gicvung.1.4. Tam gic vung cn:Cc phng php chng minh tam gic vung cn:Phng php 1: Tam gic vung c hai cnh gc vung bng nhau l tamgic vung cn.Phng php 2: Tam gic vung c mt gc nhn bng 450l tam gic vung cn.Phng php 3: Tam gic cn c s o mt gc y bng 450l tam gic vung cn.1.5. Hnh thang, hnh thang cn, hnh thang vung:

Din tch hnh thang:

ABCD

1S AB CD .AH

2

Tnh cht:nh l 1: Trong hn thang cn, hai cnh bn bng nhau. nh l 2: Trong hnh thang cn, hai ng cho bng nhau.nh l 3: Hnh thang c hai ng cho bng nhau l hnh thang cn.ng trung bnh ca hnh thang: ng trung bnh ca hnh thang l on thng ni trung im haicnh bn ca hnh thang.

www.VNMATH.com


15/119



NM

D C

BA

nh l 1:

ng thng i qua trung im mt cnh bn ca hnh thang v song song vi hai y th i quatrung im cnh bn th hai.nh l 2:ng trung bnh ca hnh thang th song song vi hai y v bng na tng hai y.

1

MN AB CD2

Phng php chng minh hnh thang:Phng php 1: Hnh thang l t gic c hai cnh i song song.Phng php chng minh hnh thang vung:Phng php 1: Hnh thang vung l hnh thang c mt gc vung.Phng php chng minh hnh thang cn:

Phng php 1: Hnh thang cn l hnh thang c hai gc k mt y bng nhau.Phng php 2: Hnh thang cn l hnh thang c hai gc k mt y bng nhau.Phng php 3: Hnh thang cn lhnh thang c hai ng cho bng nhau.1.6. Hnh bnh hnh:nh ngha: Hnh bnh hnh l t gic c cc cnh i song song.

O

H

A B

D C

Din tch hnh bnh hnh:

ABCDS AH.CD AH.AB

Cc phng php chng minh hnh bnh hnh:Phng php 1: T gic c cc cnh i song song.Phng php 2: T gic c cc cnh i bng nhau.Phng php 3: T gic c cc cnh i song song v bng nhau.Phng php 4: T gic c cc gc i bng nhau.Phng php 5: T gic c hai ng cho ct nhau ti trung im ca mi ng.1.7.Hnh ch nht:nh ngha: Hnh ch nht l t gic c bn gc vung.

A B

D C

Chu vi hnh ch nht: ABCDC 2 AB BC 2 AD DC


16/119



Din tch hnh ch nht:

ABCDS AB.CD

Cc phng php chng minh hnh ch nht:Phng php 1: T gic c ba gc vung.Phng php 2: Hnh thang cn c mt gc vung.Phng php 3: Hnh bnh hnh c mt gc vung.Phng php 4: Hnh bnh hnh c hai ng cho bng nhau. 1.8. Hnh thoi:

O

A

BD

C

nh ngha: Hnh thoi l t gic c bn cnh bng nhau. Tnh cht:Trong hnh thoi: Hai ng cho vung gc vi nhau.

Hai ng cho l cc ng phn gic ca cc gc ca hnh thoi. Chu vi hnh thoi:

ABCDC 4AB 4BC 4CD 4DA

Din tch hnh thoi:

ABCD

1S AC.BD BO.AC OD.AC

2

Cc phng php chng minh hnh thoi:Phng php 1: T gic cbn cnh bng nhau.Phng php 2: Hnh bnh hnh c hai cnh k bng nhau.Phng php 3: Hnh bnh hnh c hai ng cho vung gc vi nhau.

Phng php 4: Hnh bnh hnh c mt ng cho l ng phn gic ca mt gc. 1.9. Hnh vung:

D C

A B

nh ngha: Hnh vung l t gic c bn gc vung v bn cnh bng nhau. Tnh cht:

Hnh vung c tt c cc tnh cht ca hnh ch nht v hnh thoi.Chu vi hnh vung:

ABCDC 4AB 4BC 4CD 4AD

Din tch hnh vung:2 2 2 2

ABCDS AB BC CD AD

Phng php chng minh hnh vung:Phng php 1: Hnh ch nht c hai cnh k bng nhau. Phng php 2: Hnh ch nht c hai ng cho vung gc vi nhau. Phng php 3: Hnh ch nht c mt ng cho l ng phngic ca mt gc.

www.VNMATH.com


17/119



Phng php 4: Hnh thoi c mt gc vung.Phng php 5: Hnh thoi c hai ng cho bng nhau.2. Bi tp p dng:Bi tp 1: Cho ABC c ba gc u nhn, ni tip ng trn tm O. Gi H l trc tm ca ABC.D l mt im trn cung BC khng cha im A. Xc nh v tr ca im D t gic BHCD lhnh bnh hnh.

GiiGi s tm c im D trn cung BC sao cho t gic BHCD l hnh

bnh hnh.Khi : BD // HC v CD // HB.V H l trc tm tam gic ABC nn CH AB v BH AC.BDAB v CD AC.

Do : 00ABD 90 v ACD 90 .Vy AD l ng knh ca ng trn tm ONgc li nu D l u ng knh AD ca ng trn tm O th t gicBHCD l hnh bnh hnh.Bi tp 2: Cho ng trn (O) ng knh AB = 2R v C l mt im thuc ng trn(C A; C B) . Trn na mt phng b AB c cha im C. K tia Ax tip xc vi ng trn (O),

gi M l im chnh gia ca cung nh AC. Tia BC ct Ax ti Q , tia AM ct BC ti N. Chng minhcc BAN v MCN cn.Gii

Xt ABM v NBM, ta c:AB l ng knh.

Nn 0NMB 90AMB .M l im chnh gia ca cung nh AC nn

MBNABM BAM BNM .BAN cn ti nh B.Xt t gic AMCB ni tip:

MCNBAM (cng b vi

MCB) MCN MNC (cng bng BAM )MCN cn ti nh M.Bi tp 3: Cho ABC cn ti A, (AB > BC). im D di ng trn cnh AB, (D khng trng vi A,B). Gi (O) l ng trn ngoi tip BCD. Tip tuyn ca (O) ti C v D ct nhau K.a) Chng minh t gic ADCK ni tip? b) T gic ABCK l hnh g? V sao?c) Xc nh v tr im D sao cho t gic ABCK l hnh bnh hnh?

Giic) Theo cu b, t gic ABCK l hnh thang.Do , t gic ABCK l hnh bnh hnh. AB // CK BAC = ACK

M 1

ACK =2

s EC =1

2s BD = DCB

Nn BCD = BAC

Dng tia Cy sao cho BCy = BAC .

Khi , D l giao im ca AB v Cy.

D

HO

CB

A

NQ

M

x

C

BA

O

K

D

CB

A


18/119



Vi gi thit AB > BC th BCA > BAC > BDC.D AB.Vy im D xc nh nh trn l im cn tm.

3. Bi tp t luyn:Bi tp 1:Cho tam gic u ABC ni tip ng trn tm O. D v E ln lt l im chnh gia cacc cung AB v AC. DE ct AB I v ct AC L.a) Chng minh DI = IL = LE.b) Chng minh t gic BCED l hnh ch nht.c) Chng minh t gic ADOE l hnh thoi v tnh cc gc ca hnh ny.Bi tp 2:Cho t gic ABCD ni tip ng trn c cc ng cho vung gc vi nhau ti I. a) Chng minh rng nu t I ta h ng vung gc xung mt cnh ca t gic th ng vunggc ny qua trung im ca cnh i din ca cnh . b) Gi M, N, R, S l trung im ca cc cnh ca t gic cho. Chng minh MNRS l hnh chnht.c) Chng minh ng trn ngoi tip hnh ch nht ny i qua chn cc ng vung gc h t Ixung cc cnh ca t gic.Bi tp 3:Cho tam gic vung ABC ( A = 1v) c AH l ng cao. Hai ng trn ng knhAB v AC c tm l O1v O2. Mt ct tuyn bin i i qua A ct ng trn (O 1) v (O2) ln ltti M v N.a) Chng minh tam gic MHN l tam gic vung.b) T gic MBCN l hnh g?c) Gi F, E, G ln lt l trung im ca O 1O2, MN, BC. Chng minh F cch u 4 im E, G, A, H.d) Khi ct tuyn MAN quay xung quanh im A th E vch mt ng nh th no?Bi tp 4:Cho hnh vung ABCD. Ly B lm tm, bn knh AB, v 1/4 ng trn pha trong hnhvung.Ly AB lm ng knh , v 1/2 ng trn pha trong hnh vung. Gi P l im tu trncung AC ( khng trng vi A v C). H v K ln lt l hnh chiu ca P trn AB v AD, PA v PBct na ng trn ln lt I v M.a) Chng minh I l trung im ca AP.b) Chng minh PH, BI, AM ng qui.c) Chng minh PM = PK = AHd) Chng minh t gic APMH l hnh thang cn.) Tm v tr im P trn cung AC tam gic APB l u.Bi tp 5:Cho tam gic u ABC ni tip ng trn (O). Trn cung nh AB ly mt im M.ng thng qua A song song vi BM ct CM ti N.Chng minh rng tam gic AMN l tam gicu.Bi tp 6: T mt im A bn ngoi ng trn (O; R) v hai tip tuyn AB, AC vi ng trn. Gi Ml trung im ca AB. Tia CM ct ng trn ti im N. Tia AN ct ng trn ti im D.a) Chng minh rng MB2 = MC. MNb) Chng minh rng AB// CDc) Tm iu kin ca im A cho t gic ABDC l hnh thoi. Tnh din tch c hnh thoi .

CHUE 2CHNG MINH SONG SONG1. Kin thc c bn:Cc phng php chng minh:Phng php 1:Hai ng thng song song vi nhau khi v ch khi chng cng vung gc vi mtng thng th ba.

www.VNMATH.com


19/119



Phng php 2:Dng mi quan h gia cc gc: So le bng nhau, ng v bng nhau, trong c ngpha bngnhau, Phng php 3:S dng nh l o ca nh l Talt.nh l: Nu mt ng thng ct hai cnh ca mt tam gic v nh ra trn hai cnh ny nhngon thng t l th hai ng thng song song vi cnh cn li ca tam gic. Phng php 4: p dng tnh cht ca cc t gic c bit, ng trung bnh ca tam gic.Phng php 5:p dng tnh cht hai dy chn gia hai cung bng bng nhau ca ng trn. 2. Bi tp p dng:

Bi tp 1: Cho ABC, trung tuyn AM, ng phn gic ca gc AMB ct cnh AB ti D. ngphn gic ca gc AMC ct cnh AC E. Chng minh rng: ED // BC.

Gii

Trong ABM c MD l phn gic ca AMB nn, ta c:AD

DB=

MA

MB (1) (nh l)

Trong AMC c ME l phn gic ca AMC nn, ta c:AE

EC=

MA

MC (2) (nh l)

V MB = MC (gi thit).Nn t (1)v (2).

Suy ra:AD

DB=

AE

EC

Trong ABC c DE nh ra 2 cnh AB, AC nhng on thng t l nn DE // BCBi tp 2: Cho t gic ABCD. Gi K, L ln lt l trng tm ca cc tam gic ABC v tam gicBCD. Chng minh rng KL // AD.

GiiGi M l trung im ca BC.V K l trng tm ca ABC

nn MK=1

3MA (tnh cht trng tm ca tam gic)

hayMK

MA=

1

3 (1)

V L l trng tm ca BCD

nn ML =1

3MD hay

ML

MD=

1

3 (2)

T (1) v (2) suy raMK ML

=MA MD

nn KL //AD (nh l Talt o)

Do trong AMD c KL nh ra trn 2 cnh MA, MD nhng on thng t l nn KL // AD (nh l Talt o).

Bi tp 3: Cho hnh thang ABCD (AB // CD), M l trung im ca CD. Gi I l giao im ca AMv BD v K l giao im ca BM v AC. Chng minh rng: IK //AB. Gii

Ta c:IM MD

=IA AB

(do AB // MD hay AIB MID)

v (Do AB // MC)M MD = MC (gi thit)

M

L

K

D C

BA

KI

MD C

BA

ED

CB

A

M


20/119



Nn:IM KM

=IA KB

.

Suy ra IK // AB (iu phi chng minh)V trong AMB c IK nh ra trn 2 cnh MA, MB nhng on thng t l nnIK // AB (nh l Talt o).3. Bi tp t luyn:Bi tp 1: Cho hnh thang ABCD (AB // CD, AB < CD). K AK // BC, AKBD = E; K BI //AD;BIAC = F (K, I CD). Chng minhn rng: EF // AB.Bi tp 2:Cho t gic ABCD. Qua B, v Bx // CD ct AC ti E. Qua C v Cy // BA ct BD ti F.Chng minh rng: EF // AD.Bi tp 3:Cho hnh bnh hnh ABCD ng phn gic ca gc BAD ct BD ti M, ng phngic ca gc ADC ct AC ti N. Chng minh rng: MN //AD.Bi tp 4:Cho ABC. Ly im M ty trn cnh BC. Ly N ty trn cnh AM. ng thngDE // BC (D AB, E AC). Gi P l giao im ca DM v BN v Q l giao im ca CN v EM.Chng minh rng: PQ // BC.Bi tp 5: Tam gic cn ABC c BA = BC = a, AC = b. ng phn gic gc A ct BC ti M,ng phn gic ca gc C ct BA ti N. Chng minh rng: MN // AC.Bi tp 6: Cho ng trn (O), im A nm bn ngoi ng trn. Kcc tip tuyn AM, AN ving trn (M, N l cc tip im). Vng knh NOC. Chng minh rng AO // MN.

CHUE 3CHNG MINH HAI NG THANG VUONG GOC1. Kin thc c bn:Phng php chng minh ng thng a v ng thng b vung gc vi nhau:Phng php 1:Chng minh chng song song vi hai ng vung gc khc. Phng php 2: ng thng vung gc vi mt trong hai ng thng song song th vung gcvi ng thng cn li.Phng php 3:Dng tnh cht caba ng cao v cnh i din trong mt tam gic.Phng php 4:ng knh i qua trung im ca mt dy.Phng php 5:Phn gic ca hai gc k b nhau.Phng php 6:S dng gc ni tip na ng trn.Phng php 7:S dng tnh cht ng trung trc.Phng php 8:Tnh cht tip tuyn v ng knh ca ng trn.2. Bi tp p dng:Bi tp 1: Cho ABC, cc ng cao BD v CE. Gi M, N l chn cc ng vung gc ktB, Cn DE. Gi I l trung im ca DE, K l trung im ca BC. Chng minh rng: KI ED?

Chng minh

Xt BDC c: DK l ng trung tuyn1

DK = BC

2

(1)

Xt BEC c: EK l ng trung tuyn1

EK = BC2

(2)

T(1) v (2), suy ra: DK = EK.Suy ra: EKD cn ti K.M I l trung im ca DE.Do : KI l ng cao ca EKD KI ED.Bi tp 2:Cho ng trn tm O, ng knh AB. S l mt im nm bn ngoi ng trn. SA vSB ln lt ct ng trn ti M, N. Gi H giao im ca BM v AN. Chng minh rng SH AB.

www.VNMATH.com


21/119



Chng minh

Ta c: 0AMB 90 (t/c gc ni tip chn na ng trn) 0ANB 90 (t/c gc ni tip chn na ng trn)

Xt SAB c AN, BM l hai ng cao.M H l giao im ca AN v BM H l trc tm ca SAB.Suy ra: SH thuc ng cao th ba ca SAB.Vy SH AB.

Bi tp 3: Cho hnh thang vung ABCD, 0A D 90 , c CD = 2AB. Gi H l chn ng

vung gc h t D xung AC v M l trung im ca HC. Chng minh rng ng thng qua DMvung gc vi ng thng qua BM.

Gii

E

MH

D C

BA

K BE CD (E CD).V CD = 2AB nn AB = DE = EC.Hay E l trung im ca CD.Xt DHC c EM l ng trung bnh.EM // DH EM AC (V DH AC).

Xt t gic MADE c 0ADC 90 v 0AME 90 .Suy ra: T gic MADE ni tip ng trong ng knh AE. Tc l bn im M, A, D, E nm trnmt ng trn. (1)

Xt t gic ABED c: 0ADE 90 v AB = DE.T gic ABCD l hnh ch nht.

Bn im A, B, E, D nm trn mt ng trong ng knh AE. (2)T (1) v (2), suy ra: M thuc ng trn ng knh AE.Ta c: T gic ABMD ni tip.

M 0BAD 90 0BMD 90 .BM DM.Bi tp 4: Cho tam gic cn ABC, gi H l trung im ca BC v E l hnh chiu ca H trn AC.Gi O l trung im ca on thng HE. Chng minh AO vung gc vi BE.

Chng minhGi K l trung im ca EC.Ta c: HK l ng trung bnh ca BEC nn HK // EB (1)

Trong EHC, ta c: OK l ng trung bnh nn OK // HC. (2)M AH HC (gi thit) (3)T (2) v (3), suy ra: OK AH (*)Ta li c: HE AC (v E l hnh chiu ca H trn AC) (**)T (*) v (**), suy ra: O l trc tm ca AHKAO HK (4)T (1) v (4), suy ra: AO BE (iu phi chng minh).


22/119



Bi tp 5: Cho AHC, c 0H 90 . ng cao HE. Gi O, Kln lt l trung im ca EH vEC. Chng minh AO vung gc vi HK.

Chng minhT gi thit c OK l ng trung bnh ca tam gic EHCOK // HC.Mt khc: HC AHOK AH

Xt AHK c: HE AC, OK AHO l trc tm ca AHKAO HK.Bi tp 6: Cho t gic ABCD ni tip ng trn ng thi ngoi tip ng trn khc c cc tipim M, N, P, Q ln lt vi cc cnh AB, BC, CD, DA ca t gic cho. Chng minh rng MPvung gc vi NQ.

Chng minh

k

l

n

m

I

Q

N

P

M

D

C

B

A

O O'

Gi (O) l ng trn ni tip t gic v (O) l ng trn ngoi tip t gic.Ta c:

sMQPN-sMnNB =2

(gc c nh bn ngoi ng trn)

s PNMQ-sPkQ

D =2

(gc c nh bn ngoi ng trn)

D + B= 1800(v t gic ABCD ni tip (O))

0s PNMQ - sPkQ sMQPN - sMnN+ =1802 2

02PIN+2MmQ

=180

2

PlN+MmQ = 1800

M 0

0PlN MnQ 180MIQ PIN 902 2

s s

MP QN. (iu phi chng minh)

3. Bi tp t luyn:

www.VNMATH.com


23/119



Bi tp 1: Cho ABC u. Gi H l trung im ca BC v E l hnh chiu ca H trn AC. Gi O ltrung im ca on thng HE. Chng minh: AO BE.

Bi tp 2:Cho tam gic vung cn ABC 0A 90 . Gi H l trung im ca BC v E l hnh chiuca H trn AC. Gi O l trung im ca on thng HE. Chng minh: AO BE.Bi tp 3: Cho ABC cn ti A, ng cao AH. H HI AC, M l trung im ca HI. Chng minhBI AM.Bi tp 4: Cho hnh ch nht ABCD. Gi H l hnh chiu ca B trn AC. I v N ln lt l trungim ca AD v HC. Chng minh: BN IN.Bi tp 5: Cho ABC cn ti A, ng cao AH. Dng hnh ch nht AHCK, HI AC. Gi M , Nln lt l trung im ca IC v AK . Chng minh: MN BI.Bi tp 6: Cho hnh ch nht ABCD. Gi H l hnh chiu ca B trn AC. Gi E, F, M ln lt ltrung im ca AB, DH, BH. Chng minh: AM EF.Bi tp 7: Cho hnh ch nht ABCD. Gi H l hnh chiu ca B ln AC. E, F, M, N ln lt l trungim ca AB, DH, HC, AD. Chng minh: EF MN.

Bi tp 8: Cho ABC 0A 90 . H l hnh chiu ca A trn BC. I, K l th t hai im thuc AH

v CK sao choHK HI

=

KC IA

. Chng minh: BI AK.

Bi tp 9: Cho hnh thang vung ABCD 0A B 90 v AC = m, BD = n. Gi H l hnh chiu

ca A trn BC. Ly im K HC, sao choKH n

=HC m

. Chng minh: DK AK.

Bi tp 10: Cho t gic ABCD ni tip ng trn tm O. Gi E l giao im ca hai cnh i ADv BC. Gi F l giao im ca hai cnh i DC v AB. Chng minh rng cc tia phn gic trong cahai gc E v F vung gc vi nhau.Bi tp 11: Cho hnh ch nht ABCD. Trn tia AD v BC ln lt ly hai im E v F sao choDF=CE=DC. Trn tia DC ly im H sao cho CH = CB. Chng minh: AE FH.Bi tp 12: Cho hnh vung ABCD. T l mt im bt k trn cnh AB (T khc A v B). Tia DT

ct tia CB ti E. ng thng CT ct AE ti M. Chng minh rng ng thng DE vung gc ving thng DM.Bi tp 13: Cho hnh vung ABCD c nh. Ly im T trn cnh AB (T khc A v B). Tia DT cttia CB ti E. ng thng CT ct ng thng AE ti M .ng thng BM ct ng thng DE tiF. Tm qu tch im F khi T chy trn cnh AB.

Bi tp 14: Cho TBE 0B 90 . V ng phn gic BD v ng cao BF. T D dng DA vDC theo th t vung gc vi cnh TB v cnh BE (A trn cnh TB, C trn BE). Chng minh rngcc ng thng TC, AE, BF ct nhau ti mt im.Bi tp 15: ng trn tm O ni tip trong tam gic ABC. Gi M v N ln lt l hai tip imca ng trn vi hai cnh AB v AC. Tia MN ct tia phn gic ca gc B ti P. Chng minh

BP vung gc vi CP. CHUE 4CHNG MINH HAI OAN THANG BANG NHAU1. Kin thc c bn:Phng php 1:Chng minh hai on thng c cng di (theo cng n v o chiu di). Phng php 2:Chng minh hai on thng cng bng on thng th ba th bng nhau.


24/119



Phng php 3:Chng minh cc on thng bng nhau l cc cnh ca cc tam gic, t gic cbit (hnh c bit), tam gic bng nhau.V d: Hai cnh bn ca tam gic cn th bng nhau, cc cnh ca tam gic u th bng nhau, haicnh bn ca hnh thang cn, cc cp cnh i ca hnh bnh hnh, hnh ch nht, hnh thoi, hnhvung th bng nhau.Phng php 4:Chng minh t s di ca cc cp cnh cn chng minh lun t gi tr bng 1. Phng php 5:S dng nh ngha, tnh cht ca:Trung im, trung trc ca on thng.

ng trung tuyn, ng trung bnh, ng trung trc, ... trong tam gic. ng cho ca hnh bnh hnh, hnh ch nht, hnh thoi, hnh vung, ... 2 im, 2 on thng i xng qua 1 im, 1 trc.Phng php 6:Chng minh hai tam gic c cng din tch vi cc ng cao, cnh y tngng.Phng php 7:S dng tnh cht ca dy cung v tip tuyn vi ng trn.

2. Bi tp p dng:Bi tp 1:Cho ng trong (O) ng knh, dy CD khng ct ng knh AB. Gi H v K theoth t l chn cc ng vung gc k t A v B n CD. Chng minh rng: CH = DK.

Chng minh

Theo gi thit, ta c: AH CD v BK CD nn AH // BK.Suy ra: AHKB l hnh thang.K OM CD ti M MC = MD (t/c ng knh v dycung) (1)Xt hnh thang AHKB c OA = OB = R; OM // AH // BK(cng vung gc vi CD)OM l ng trung bnh ca hnh thangMH = MK (2)T (1) v (2), ta c: CH = DK.Bi tp 2:Trong hnh vung ABCD v na ng trn ng knh AD v v cung AC m tm l

D. Ni D vi im P bt k trn cung AC, DP ct na ng trn ng knh AD K. Chng minhPK bng khong cch t P n AB.

Chng minhK PI AB.Xt APK v API:APK vung ti K

(V AKD = 900gc ni tip chn na ng trn ng knh AD)ADP cn ti DAD = DP

2P DAP

Mt khc:

1P DAP (So le trong v AD // PI)

Do : 1 2P P

APK = API (c chung cnh huyn v mt cp gc nhn bng nhau) PK = PI.Bi tp 3:Cho hnh thang ABCD (AB// CD) c ACD = BDC. Chng minh rng: AD = BC.

Chng minhGi E l giao im caAC va BD

O

K

H

M D

C

BA

I

2

1

K

P

D C

BA

www.VNMATH.com


25/119



Xt ECD c: 1 1D C (do

ACD BCD )

ECD l tam gic cn.Suy ra ED = EC (1)

Do 1 1B D v

1 1A C (so le trong)

M 1 1D C

EAB l tam gic cn.

Suy ra: EA = EB (2)T (1) v(2), suy ra: AC = BD.Hnh thang ABCD c hai ng cho bng nhau nn l hnh thang cn.Suy ra: AD = BC.Bi tp 4:cho hnh bnh hnh ABCD. Gi E, F ln lt l trung im ca AD, BC. Chng minhrng: BE = DF.

Chng minh

Ta c: DE =1

2AD; BF =

2

1BC

M AD = BC (hai cnh i ca hnh bnh hnh ABCD)DE = BF.Mt khc: DE // BF.EBFD l hnh bnh hnh.Vy BE = DF.Bi tp 5:Cho hnh bnh hnh ABCD. Gi I, K ln lt l trung im ca CD, AB. ng cho BDct AI, CK theo th t ti M, N. Chng minh rng: DM = NB.

Chng minhT gicAICK c: AK // IC v AK = ICT gic AICK l hnh bnh hnh. AI // CK.DCN c IC = ID v IM // CN.

Suy ra: DM = MN (1)BAM c: BK = KA v KN // AM.Suy ra: MN = NB (2)T (1) v (2), suy ra: DM = NB.Bi tp 6: Cho tam gic ABC cn ti A.Trn tia i ca tia BC ly im M, trn tia i c a tia CBly im N sao cho BM= CN.a) Chng minh: AM = AN. b) K BH AM (H AM), CK AN (K AN). Chng minh: BH = CK.c) Chng minh: AH = AK.Chng minh

a) AMB cn ABC ACB 0ABM ACN 180 ABC ABM v ACN c:AB = AC (gi thit)

ABM ACN (chng minh trn)BM = CN (gi thit)ABM = ACN (c.g.c)

D C

BA

D

EF

C

BA

I

K

D

M

C

BA

H

M

O

N

K

CB

A


26/119



M N AMN cn ti A AM = AN

b) Xt HBM v KNC c: M N (theo cu a)MB = CNHMB = KNC (chgn)NK = CK.c) Theo cu a) ta c AM = AN (1)Theo chng minh trn: HM = KN (2)

T (1), (2) HA = AK.

3. Bi tp t luyn:Bi tp 1: Cho hnh vung ABCD. K AC ct BD tiH. Ly hai im E, F ln lt thuc AD, BCsao cho AE = CF, AF ct HB ti I. Gi M l trung im ca IB. Chng minh: AE= IM.Bi tp 2: Cho tam gic ABC c AP l phn gic. Trn na mt phng b BC cha nh A, v tiaPx sao cho gc CPx bng gc BAC. Tiany ct AC E. Chng minh rng: PB = PE.Bi tp 3: Gi P l im nm trn ng trn (O) ngoi tip tam gic ABC. H cc ng vunggc PA1, PB1, PC1xung cc cnh BC, CA, AB.a) Chng minh rng A1, B1, C1thng hng.b) Gi H l trc tm ca tam gicABC. ng thng A1B1C1ct PH ti I. Chng minh IP = IH.

Bi tp 4: Dng pha ngoi tam gic ABC cc tam gic u ABD v ACE. V hnh bnh hnhEADF. Chng minh BCF l mt tam gic u.Bi tp 5: Cho 3 im A, B, C thng hng theo th t . Ly AB v BC l cnh dng hai tam gicu ABE v BCF nm v cng mt pha b AC. Gi I v J l trung im ca AF v CE. Chng

minh rng:EF

IJ =2

.

Bi tp 6: Cho tam gic ABC v (I) l ng trn ni tip tam gic ABC. Cc tip im trn cccnhBC, CA, AB ln lt l A1, B1, C1. Gi E l im i xng ca B qua CI, F l im i xngca B qua AI. Chng minh rng B1E = B1F.Bi tp 7: Cho ng trn (O) v ng thng d khng ct ng trn (O). Gi A l hnh chiu ca(O) trn d. Qua A k mt ct tuyn ct (O) B v C. Hai tip tuyn ca (O) ti B v C ct d E vF. Chng minh: AE = AF.Bi tp 8: Cho ng trong (O) ng knh AB, dy CD ct ng knh AB ti G. Gi H v K lnlt l hnh chiu ca A v B trn CD. Chng minh rng: CH = DK.Bi tp 9:Cho t gic ACBD ni tip ng trn ng knh AB. Chng minh rng hnh chiuvung ca cc cnh i dinca t gic trn ng cho CD bng nhau.

CHUE 5CAC GOC BANG NHAU1. Kin thc c bn:

Cc phng php chng minh hai gc bng nhau:Phng php 1: Hai gc c cng mt s o th bng nhau.Phng php 2:Hai gc ca hai tam gic bng nhau hoc hai tam gic ng dng, hai gc ca tamgic cn, u; hai gc ca cng mt y trong hnh thang cn, hai gc i ca hnh bnh hnh, thbng nhau.Phng php 3:Hai gc cng bng mt gc th 3.Phng php 4:Tia phn gic chia mt gc thnh hai phn bng nhau.Phng php 5:Cc gc so le trong, ng v, i nh, ...Phng php 6: Cc gc ni tip cng chn mt cung trong mt ng trn th bng nhau.

www.VNMATH.com


27/119



Phng php 7: T gic ni tip c gc ngoi bng gc i trong.Phng php 8: S dng hm s lng gic: sin, cos, tan v cot.Phng php 9:S dng tnh cht ca php tnh tin, i xng, quay.

2. Bi tp p dng:Bi tp 1: Cho hai ng trn (O) v (O) ct nhau ti A v B. V ng knh AC v AD ca (O)v (O). Tia CA ct ng trn (O) ti F, tia DA ct ng trn (O) ti E. Chng minh:

EFC EDC Chng minh

Ta c: 0CED 90 (gc ni tip chn na ng trn (O)) 0CFD 90 (gc ni tip chn na ng trn (O))

0CED CFD 90 Hai nh E, F cng nhn cnh CD mt gc bng 900.T gic CEFD ni tip.

EFC EDC (cng chn EC ).Bi tp 2: Cho hnh vung ABCD c nh. E l im di ng

trn cnh CD (khc C v D). Tia AE ct ng thng BC ti F. Tia Ax vung gc vi AE ti A ctng thng DC ti K. BD ct KF ti I.

a) Chng minh: CAF CKF

b) Chng minh: IDF IEF c) Chng minh: KAF vung cn.

Chng minh

a) Ta c: 0KAF 90 (AK AF) v 0KCF 90 (ABCDl hnh vung)

Suy ra: 0KAF KCF 90

Hai nh A, C cng nhn on KF mt gc bng 90

0

.T gic ACFK ni tip.

CAF CKF b) T gic ACKF ni tip nn ta c:

AFK ACK m 0 0ACK 45 , BDC 45 (ABCD lhnh vung)

Suy ra: 0AFK BDC 45 Do : T gic IDEF ni tip (V gc ngoi bng gc trong ca nh i din)

IDF IEF c) AKF vung ti A (gi thit), ta c:

0 0AFK 45 AKF 45 KAF vung cn ti A.Bi tp 3: Cho ABC c ba gc nhn ni tip ng trn (O; R). Hai ng cao BE v CF ct nhautiH.a) Chng minh t gic BFEC ni tip ni tip c ng trn.b) Hai tia BE v CF ct ng trn (O) ln lt ti M v N. Ax l tip tuyn ti A. Chng minh

xAN ANM .

c) Chng minh: MNC EFC .

EF

DC B

A

O'

O

M

IK

F

ED

C

BA


28/119



Chng minha) T gic BFEC c:

0BFC 90 (CF l ng cao) 0BEC 90 (BE l ng cao)Hai nh F, E cng nhn cnh BC mt gc bng 900.T gic BFEC ni tip.b) V Ax l tia tip tuyn ca (O).

Suy ra: AO Ax.V xAN ACN (1) (gc to bi tip tuyn v dycung vi gc ni tip cng chn mt cung).

Ta c: ANM ABM (cng chn AM )

V ABM ACN (cng chn EF )

Suy ra: ANM ACN (2)

T (1) v (2), suy ra: xAN ANM . (iu phi chng minh)

c) Ta c: MNC MBC (gc ni tip chn na ng trn)

V EFC MBC (t gic BFEC ni tip)

Suy ra:

MNC EFC . (iu phi chng minh).Bi tp 4:Cho ABC c 3 gc nhn ni tip ng trn (O). M l im thuc cung nh AC. VMH BC ti H, MI AC ti I.

Chng minh: IHM ICM .Chng minh

Xt t gic MIHC, c: 0MIC 90 (MI AC) 0MHC 90 (MH BC)

Hai nh I, H cng nhn on MC mt gc bng 900.T gic MIHC ni tip.

IHM ICM (cng chn MI )(iu phi chng minh)

Bi tp5: ( thi HSG 12 tnh ng Nai 2013 - 2014)

Cho ABC ni tip ng trn (O) c AB < BC < AC v ABC l gc nhn. ng trn(I) ni tiptam gic v tip xc vi BC ti D. M, N ln lt l giao im ca hai ng thng AO, AI vi (O).

Bit A khng trng vi M v N. Chng minh: IND IMO .Chng minh

Gi T l giao ca ON v BC.D chng minh c:

IN = BN =

aBT a2A AcosNBC cos 2cos2 2

IN a a sin A A IDsin

A A a AAM 2 IA2.2R.cos 2cos . 2cos

2 2 sin A 2

Mt khc, ta c: DIN IAM IMO TD

OI

CB

M

A

x

O

M

HF

E

CB

M

A

I

O

H CB

MA

www.VNMATH.com


29/119



Suy ra: DIN IAM

IND IMO . (iu phi chng minh)

3. Bi tp t luyn:Bi tp 1: Cho ABC, trn cnh AB v AC ln lt ly hai im D v E sao cho BD = CE. Gi Mv N ln lt l trung im ca BC v DE. ng thng qua M v N ln lt ct AB v AC ti P v

Q. Chng minh rng: MPB MQC .

Bi tp 2:Cho D l trung im ca on thng AM. Trn cng na mt phng b AM ta v nang trn ng knh AM v na ng trn ng knh AD. Tip tuyn ti D ca ng trn nhct na ng trn ln ti C v cc tip tuyn ti C v A ca ng trn ln ct nhau ti B. Ni Pbt k trn cung nh AC vi im D ct na ng trn nh ti K. Chng minh rng : AP l phn

gic ca BAK.Bi tp 3:Cho hnh vung ABCD cnh a. E l im nmgia A v B, ng thng CE ct dngthng AD ti K. Qua C k ng thng vung gc vi CE, ct AB ti I.a) Chng minhrng: Trung im ca IK di ng trn mt ng thng c nh khi E di ng trnon AB.b) Cho BE = x. Tnh BK, CK, IK v din tch t gic ACKI theo a v x.

Bitp 4:

Cho tam gic ABC vi

A < 90

o, c AB < AC ni tip trong ng trn tm O. V ng

cao AH v bn knh OA. Chng minh rng OAH = B-C .Bi tp 5:Cho hai ng trn (O1) v (O2) ct nhau A v B (O1v O2thuc hai na mt phng bAB). Qua A k ct tuyn ct ng trn (O1) C, ct ng trn (O2) D. Cc tip tuyn ca haing trn k t C v D ct nhau I. Chng minh rng khi ct tuyn CAD thay i th:

a) CBDkhng i

b) CID khng i

Bi tp 6:Cho hnh bnh hnh ABCD, P trong hnh bnh hnh sao cho PAB = PCB . Chng minh

rng: PBA = PDA .Bi tp 7:Cho hnh bnh hnh ABCD, trn BC v CD ly 2 im tng ng l M v N sao cho

BN=DM. Gi I l giao im ca BN v DM. Chng minh:

AID = AIB .Bi tp 8:Cho (O1) v (O2) tip xc trong vi nhau ti A. im C thuc (O 1). K tip tuyn ca

(O1) ti C ct (O2) ti B v D. Chng minh: BAC = CAD .

Bi tp 9:Cho hnh bnh hnh ABCD v im P nm ngoi hnh bnh sao cho PAB = PCB ngthi A v C khc pha vi ng thng PB. Qua A v ng thng Ax //DP, qua P v ng thngPy // AD hai ng thng ny ct nhau Q.a) chng minh t gic ABPQ ni tip.

b) Chng minh: APB = DPC .

Bi tp 10: (NK 20062007 CD) cho ABC nhn, c trc tm H. Cc ng thng BH v CH ln

lt ct AC, AB ti M, N. Bit: 0

NHM =120 .

a) Chng minh: AMN = ABC . Tnh:

MN

BC.

b) Tnh:AH

BC.

CHUE 6CHNG MINH HAI TAM GIAC BANG NHAU


30/119



1. Kin thc c bn:Hai tam gic bng nhaukhi v ch khitha mn mt trong ba trng hpsau:Trng hp1:Hai tam gic c ba cp cnh tng ng bng nhau th bng nhau (cnh-cnh-cnh).

A'

B' C'CB

A

AB A ' B'

AC A 'C ' ABC A 'B'C '

BC B 'C '

(cnh-cnh-cnh)

Trng hp 2:Hai tam gic c hai cp cnh tng ng bng nhau v cp gc xen gia cc cnh bng nhau th bng nhau (cnh-gc-cnh).

A'

B' C'CB

A

AC A ' C'

C C' ABC A'B'C'

BC B 'C '

(cnh-gc-cnh)

Trng hp 3:Hai tam gic c mt cp cnh bng nhau v hai cp gc k vi cp cnh y bngnhau th bng nhau (gc-cnh-gc).

A'

B' C'CB

A

B B'

BC B'C ' ABC A 'B'C'

C C'

(gc-cnh-gc)

Lu trng hp bng nhau ca tam gic vung:Trng hp 1:Nu hai cnh gc vung ca tam gic vung ny bng hai cnh gc vung ca tamgic vung kia th hai tam gic vung bng nhau.Trng hp 2:Nu mt cnh gc vung v mt gc nhn k cnh y ca tam gic vung ny bngmt cnh gc vung v mt gc nhn k cnh y ca tam gic vung kia th hai tam gic bngnhau.

www.VNMATH.com
http://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90i%E1%BB%81u_ki%E1%BB%87n_c%E1%BA%A7n_v%C3%A0_%C4%91%E1%BB%A7http://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90i%E1%BB%81u_ki%E1%BB%87n_c%E1%BA%A7n_v%C3%A0_%C4%91%E1%BB%A7http://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90i%E1%BB%81u_ki%E1%BB%87n_c%E1%BA%A7n_v%C3%A0_%C4%91%E1%BB%A7


31/119



Trng hp 3:Nu cnh huyn v gc nhn ca tam gic vung ny bng cnh huyn v gc nhnca tam gic vung kia th hai tam gic vung bng nhau.Trng hp 4: Nu cnh huyn v cnh gc vung ca tam gic vung ny bng cnh huyn vcnh gc vung ca tam gic vung kia th hai tam gic vung bng nhau. 2. Bi tp p dng:

Bi tp 1: Cho ABC c 0A 90 . Trn tia i ca AB, ly im D sao cho AB = AD. Chng minh:ABC = ADC.

Chng minhXt ABC v ADC c:

AB = AC (gi thit) 0CAD CAB 90 AC cnh chung.

ABC = ADC (cnh - gc - cnh)

Bi tp 2: Cho ABC c 0A 90 . ng thng AH BC ti H. Trn ng vung gc vi BC tiB ly im D khng cng na mt phng b BC vi im A sao cho AH = BD.a) Chngminh: AHB = DBH.b) Chng minh: AB // HD.

Chng minha) Xt AHB v DBH, ta c:

AH = BD (gi thit) 0A B 90 (gi thit)BH l cnh chung.

AHB = DBH (cgc)

b) V AHB = DBH ABH BHD (gc tng ng)

M ABH v BHD v tr so leAB // HD.Bi tp 3: Cho ABC vung ti A. V BD l tia phn gic ca gc B. V AE BC ti E.Chngminh: ABD = EBD.

Chng minhXt ABD = EBD, ta c:

0BAD BED 90 (gi thit)BD cnh chung.

1 2B B (gi thit)

ABD = EBD (cnh huyn gc nhn).

3. Bi tp t luyn:Bi tp 1: Cho ABC c AB =AC. Gi M l trung im cacnh BC.a) Chng minh: ABM = ACM.b) Chng minh: AM BC.Bi tp 2:Cho ABC. Qua A k ng thng song song vi BC, qua C k ng thng song songvi AB hai ng thng ny ct nhau ti Da) Chng minh: ABC = ADC.b) Chng minh: ADB = CBD.c) Gi O l giao im ca ACv BD. Chng minh: ABO = COD.

21

E

D C

B

A

D B

C

A

D

H

C

B

A


32/119



Bi tp 3:Cho gc vung xAy. Trn tia Ax ly 2 im Bv D, trn tia Ay ly 2 im Cv E saocho AB = AC v AD = AE.a) Chng minh: ACD = ABE.b) Chng minh: BOD = COE.Bi tp 4:Cho gc xOy khc gc bt. Trn tia Ox ly 2 im A v D, trn tia Oy ly 2 im C v Esao cho OD = OE v OA = OB.a) Chng minh: ODC = OBE.b) Gi A l giao im ca BEv CD. Chng minh: AOB = AOC.Bi tp 5:Cho ABC, c AB = AC. Tia phn gic ca gc A ct BC ti M.a) Chng minh: AMB = AMC.b) Chng minh M ltrung im ca cnh BC.c) K l mt im bt k trn on thng AM, ng thng CK ct cnh AB ti I. V IH vung gc

vi BC ti H. Chng minh gc BAC 2BIH .Bi tp 6: Cho gc xOy khc gc bt. Ly cc im A, B thuc tia Ox sao cho OA < OB. Ly ccim C, D thuc tia Oy sao cho OC = OA, OB = OD. Gi M l giao im ca AD v BC. Chngminh rng:a) AD = BC.b) MAB = MCD.

c) OM l tia phn gic ca gc xOy.Bi tp 7: Cho ABC, (AB < AC) c AM l phn gic ca gc A (M thuc BC). Trn AC ly D saocho AD = AB.a) Chng minh: BM = MDb) Gi K l giao im ca AB v DM. Chng minh: DAK = BAC.Bi tp 8:Cho tam gic ABC vung ti A. K AH BC. K HP AB v ko di c PE = PH.K HQ AC v ko di c QF = QH.a) Chng minh: APE = APH, AQH = AQF.b) Chng minh: E, A, F thng hng v A l trung im ca EF.

Bi tp 9:Cho ABC vung C, c 0A 60 . Tia phn gic ca gc BAC ct BC E, k EK AB(K AB), k BD AE (D AE).Chng minh:a) AK = KBb) AD = BCBi tp 10:Cho ABC, AB = AC v M l trung im ca AC v N l trung im ca AB . Gi K lgiao im ca BM v CN. Chng minh:a) BNC = CMBb) BKC cn ti K.Bi tp 11:Cho on thng BC. Gi I l trung im ca BC.Trn ng trung trcca BC lyim A (A I)a) Chng minh: AIB = AIC.

b) K IH AB, k IK AC. Chng minh: AHK c 2 cnh bng nhauc) Chng minh: HK // BC.Bi tp 12:Cho ABC vung ti A, c BD l phn gic. K DE BC (E BC). Gi F l giaoim ca AB v DE. Chng minh rng:a) BD l ng trung trc ca AEb) DF = DCc) AD < DCd) AE // FC

www.VNMATH.com


33/119



Bi tp 13: Cho bit 0AOB 120 . K tia phn gic OC ca AOB . Trn tia OC ly im M vOAHM, OB MK.

a) Tnh s o cc HMO v KMO .b) Chng minh: MHO = MKO.

CHUE 7CHNG MINH HAI TAM GIAC ONG DANG1. Kin thc c bn:Phng php 1: Hai tam gic c gi l ng dng vi nhau nu chng c cc cp cnh tngng t l v cc gc tng ng t l.Xt ABC vA'B'C', ta c:

NuAB AC BC

A 'B' A 'C ' B'C' v A A '; B B'; C C' th ABC A'B'C'.

Phng php 2: nh l Talet: Nu mt ng thng song song vi mt cnh ca tam gic v cthai cnh cn li th n nh ra trn cnh nhng on thng tng ng t l.

NM

CB

A

(MN // BC)

Ta c:AM AN

=AB AC

;AM AN

=MB NC

Phng php 3: Chng minh cc iu kin cn v hai tam gic ng dng:

Hai tam gic c cc cp cnh tng ng t l th ng dng.Hai tam gic c hai cp gc tng ng bng nhau th ng dng.Hai tam gic c hai cp cnh tng ng t l, hai gc xen gia hai cp cnh y bng nhau. Phng php 4:Chng minh trng hp th nht (cnh-cnh-cnh): Nu 3 cnh ca tam gic nyt l vi 3 cnh ca tam gic kia th 2 tam gic ng dng.

ABC AB AC BC

A'B'C'A 'B' A 'C' B'C'

Phng php 5:Chng minh trng hp th 2 (cnh-gc-cnh): Nu 2 cnh ca tam gic ny t lvi 2 cnh ca tam gic kia v 2 gc to bi to cc cp cnh bng nhau th hai tam gic ngdng.

ABC ABC

AB AC

A 'B ' A 'C '

A A '

.

Phng php 6:Chng minh trng hp th 3 (gc-gc): Nu 2 gc ca tam gic ny ln ltbng 2 gc ca tam gic kia th hai tam gic ng dng.

ABC ABC

A A '

B B'

.

Phng php 7:S dng chng minh cho tam gic vung:


34/119



- Tam gic vung ny c mt gc nhn bng gc nhn ca tam gic vung kia th hai tam gic ng dng.- Tam gic vung ny c hai cnh gc vung t l vi hai cnh gc vung ca tam gic vung kiath hai tam gic ng dng.-Nu cnh huyn v mt cnh ca tam gic vung ny t l vi cnh huyn v cnh gc vung catam gic vung kia th hai tam gic ng dng.Phng php 8:Chng minh cc tnh cht ca t sng dng suy ra hai tam gic ng dng:

- T s hai ng phn gic, hai ng cao, hai ng trung tuyn, hai bn knh ni tip v ngoitip, hai chu vi tng ng ca hai tam gic ng dng bng t s ng dng. - T s hai ng cao ca hai tam gic ng dng:Ta c: ABC A'B'C' , BH v BH l hai ng cao.

Nu a l t s ng dng ca hai tam gic ABC v A'B'C' thBH

= aB'H'

.

- T s hai ng phn gic ca hai tam gic ng dng:

Ta c: ABC A'B'C' , BD v BD l hai ng phn gic ln lt caB v B ' .

Nu a l t s ng dng ca hai tam gic ABC v A'B'C' thBD

= aB'D'

.

- T s hai ng trung tuyn ca hai tam gic ng dng:Ta c: ABC A'B'C' , BM v BM l hai ng trung tuyn.

Nu a l t s ng dng ca hai tam gic ABC v A'B'C' thBM

= aB'M'

.

- T s chu vi ca hai tam gic ng dng:Ta c: ABC A'B'C' .

Nu a l t s ng dng ca hai tam gic ABC v A'B'C' thABC

A'B'C'

C AB+BC+CA= = a

C A'B'+ B'C'+ C'A'.

- T s bn knh ng trn ngoi ca hai tam gic ng dng:Ta c: ABC A'B'C' v OM, ON, OP l bn knh ng trn ngoi tip ABC , OM, ON,

OP l bn knh ng trn ngoi tip A'B'C' N'u a l t s ng dng ca hai tam gic ABC v A'B'C' th

OM ON OP= = = a

O'M' O'N' O'P'.

- T s bn knh ng trn ngoi ca hai tam gic ng dng:Ta c: ABC A'B'C' v OM, ON, OP l bn knh ng trn ngoi tip ABC , OM, ON,OP l bn knh ng trn ngoi tip A'B'C' N'u a l t s ng dng ca hai tam gic ABC v A'B'C' th

OM ON OP

= = = aO'M' O'N' O'P' .- T sdin tchca hai tam gic ng dng th bng bnh phng t s ng dng.Nu ABC A'B'C' v l t s ng dng ca hai tam gic th

2ABC

A'B'C'S

S= a

2. Bi tp p dng:Bi tp1: Cho ABC cn ti A; BC = 2a. Gi M l trung im ca BC. Ly cc im D v E trn

AB; AC sao cho DME = B .

www.VNMATH.com
http://vi.wikipedia.org/wiki/Di%E1%BB%87n_t%C3%ADchhttp://vi.wikipedia.org/wiki/Di%E1%BB%87n_t%C3%ADchhttp://vi.wikipedia.org/wiki/Di%E1%BB%87n_t%C3%ADch


35/119



a) Chng minh rng: BDM CMEb) Chng minh: MDE DBMc) Chng minh: BD.CE khng i?

Chng minh

a) Ta c: DBM ECM (1)

v DBM DME (gi thit)M

0

0

DBM BMD MDB 180

DME BMD CME 180

MDB CME (2)T (1) v (2), suy ra: BDM CME (g - g).b) V BDM CME nn

BD DM

CM ME v BM = CM (gi thit)

BD DM

BM ME

MDE

DBM.c) V BDM CME

BD BM

=CM CE

BD.CE = CM . BM

M CM = BM =BC

2= a BD . CE =

2a

4(khng i)

Bi tp2: Cho ABC, BD v CE l 2 ng cao ca ABC. DF v EG l 2 ng cao ca ADE.Chng minh rng:ADE ABC ng dng.

Chng minh

Xt ADB v AEC, ta c:A l gc chung. 0AEC ADB 90 ADB AEC (g - g)Suy ra:AD AB

AE AC

AD AE

AB AC

V A = 900ADE ABC (g - c - g)

Bi tp3: Ly im M trn ng cho AC ca t gic ABCD c 0B D 90 . K MNBC (N BC)

v MP AD (P AD). Chng minh:MN MP

1AB CD

.

Chng minhV AB BC (gi thit)MN BC (gi thit)Nn MN // AB

E

D

M CB

A

GF

E

D

C

A

B


36/119



CNM CBA MN MC

AB AC (1)

Ta c: MP // CD nn AMP ACD

MP AM

CD AC (2)

Cng v vi v ca (1) v (2) ta c:MN MP MC AM AC

1

AB CD AC AC

VyMN MP

1AB CD

.

Bi tp4: Cho on thng AB. Gi O l trung im ca AB. V v 1 pha AB cc tia Ax v Byvung gc vi AB. Ly C trn Ax, D trn By sao cho gc COD = 90 0.a) Chng minh rng: ACO BDO.b) Chng minh rng: CD = AC + BD.c) K OM CD ti M, gi N l giao im ca AD vi BC. Chng minh rng: MN // AC.

Chng minha) Ta c:

AOC BOE (1)

0

0

BOE BOD 90

BDO BOD 90

BOE BDO (2)Xt ACO v BDO, c:

0OAC DBO 90 (gi thit) BOE BDO (theo (2))

ACO BDO (g - g)b) K CO ct DB ti E.Ta c: AOC = BOE (g - c - g)OC = OE.Xt COD v EOD, c:

OC = OE (chng minh trn) 0COD EOD 90 OD l cnh chung.

COD = EOD (c - g - c).CD = ED (cnh tng ng).Ta c: AC = BE AC + BD = BE + BD = ED (V CD = ED)Vy: AC + BD = CD.

c) Ta c: ANC DNB.

AN AC

ND BD

AN BE

ND BD (V AC = BE)

V CD = ED nn CDE cn ti D.OD l ng cao h t nh D.Theo chng minh cu b, ta c:

OB = OM (2 ng cao tng ng)

P

M

N

D

B

CA

N

M

E

D

C

O BA

www.VNMATH.com


37/119



CM = BE (hnh chiu ng vi cc cnh bng nhau)MD = BD (hnh chiu ng vi cc cnh bng nhau)

AN BE CM

ND BD MD

AN CM

ND MD

Theo nh l Talet, ta c: MN // AC.

3. Bi tp t luyn:Bi tp1: Cho hnh bnh hnh ABCD vi ng cho AC > BD. Gi E v F l chn ng vunggc k t C n cc ng thng AB v AD. Gi G l chn ng vung gc k t B n AC. a) Chng minh rng: CBG ACF.b) Chng minh rng: AB.AE + AD.AF = AC2.Bi tp 2: Cho ABC, M l trung im ca cnh BC. T mt im E trn cnh BC, ta k Ex // AM.Ex ct tia CA F v tia BA G. Chng minh rng: FE + EG = 2AM.Bi tp 3: Cho hnh bnh hnh ABCD, trn ng cho AC ly I. Tia DI ct ng thng AB ti M,ct ng thng BC ti N.

a) Chng minh rng:AM DM CB

AB DN CN

b) Chng minh rng: ID2

= IM.IN.Bi tp 4: Cho ABC, BD v CE l 2 ng cao ca ABC. DF v EG l 2 ng cao ca ADE.Chng minh rng:a) ADE ABC.b) FG // BC.Bi tp 5: Cho ABC (AB < AC). Hai ng cao BD v CE ct nhau ti H.

a) So snh BAH CAH .b) So snh 2 on thng BD v CE.c) Chng minh: ADE ABC.Bi tp 6: Cho 4 im A, E, F, B theo th t y trn 1 ng thng. Trn cng 1 na mt phng b

AB, v cc hnh vung ABCD; FGHE.a) Gi O l giao im ca AG v BH. Chng minh: OHE OBC.b) Chng minh rng: Cc ng thng CE v FD cng i qua O.Bi tp 7: Cho ABC c cc trung im ca BC, CA, AB theo th t l D, E, F. Trn cnh BC lyim M v N sao cho BM = MN = NC. Gi P l giao im ca AM v BE; Q l giao im ca CFv AN. Chng minh rng:a) F, P, D thng hng v D, Q, E thng hng.b) ABC DQP.Bi tp 8: Cho ABC; H, G, O ln lt l trc tm, trng tm, giao im 3 ng trung trc ca .Gi E, D theo th t l trung im ca AB v AC.Chng minh :

a) OED HCBb) GOD GBHc) Ba im O, G, H thng hng v GH = 2OG.

Bi tp 9: Cho ABC, AD l phn gic A ; AB < AC. Trn tia i ca DA ly im I sao cho ACI = BDA . Chng minh rng:a) ADB ACI; ADB CDIb) AD2= AB.AC - BD.DC.


38/119



Bi tp 10: Cho tam gic ABC c cc gc u nhn. Cc ng cao AD, BE, CF ct nhau H.Chng minh rng:a) AE.AC = AF.ABb) AFE ACBc) FHE BHCd) BF.BA + CE.CA = BC2.

CHUE 8HE THC LNG TRONG TAM GIAC VUONG1. Kin thc c bn:

(1) AB2= BH.BC;AC2= CH.BC

(2) AB.AC = AH.BC(3) AH2= BH.HC

(4)2 2 2

1 1 1

AH AB AC

Kt qu:

Vi tam gic u cnh l a, ta c:2a 3 a 3

h = ; S =2 4

T s lng gic p dng trong tam gic vung:

t ACB ; ABC , khi :AB AH

sin ;BC HC

AC HCcos ;

BC AC

AB AHtan

AC HCAC HC

cotAB AH

b a sin B a cosC c tan B ccot C

c acosB asinC bcotB b tanC

Kt qu suy ra:(1) sin cos ; cos sin ; tan cot ; cot tan

sin cos(2) 0 sin 1; 0 cos 1; tan ; cot

cos sin

2 2 2

2 2

1 1

(3) sin cos 1; tan .cot 1; 1 tan ; 1 cotcos sin 4) Cho ABC nhn, BC = a; AC = b; AB = c. khi :

2 2 2

ABC

1a b c 2bc.cos A; S bc.sin A

2

2. Bi tp p dng:Bi tp 1:Cho ABC vung ti A, ng cao AH. Bit AH = 9cm, CH = 16cm.a) Tnh di cc cnh AB, AC.b) Tnh chiu cao AH.

H CB

A

H

CB

A

www.VNMATH.com


39/119



Giia) Ta c: BC = BH + HC = 9 + 16 = 25 (cm)ABC vung ti A, AH BC (gi thit)S dng h thc v gc vung v hnh chiu ca n ln cnh huyn, ta c: AB2= BH.HC = 9.25 = 225.

AB 225 15 cm

AC2= CH.CB = 16.25 = 400Suy ra:

AC 400 20 cm

b) Theo h thc lin h gia ng cao thuc cnh huynv hnh chiu ca hai gc vung trn cnhhuyn, ta c:AH2= BH.HC = 9.16 = 144 AH = 12 (cm)

Bi tp 2:Cho ABC vung ti A, AB = 30 (cm), tanB = 8

15 a) Tnh AC, BC.

b) Tnh sinB, cosB, cotB.Gii

a) Trong ABC vung ti A, tac:

tanB =AC 8

AB 15

m AB = 30 (cm) nn ta c:

AC 8 30.8AC 16

AB 15 15

(cm)

Theo nh l Pitago, ta c:BC2= AB2+ AC2= 302+ 162= 1156Suy ra: BC = 34 (cm)

b) Theo nh ngha, ta c cc t s lng gic ca cc gc l:AC 16sin B 0,4706

BC 34

AB 30cosB 0,8824

BC 34

AB 30tan B 1,875

AC 16

Bi tp 3: Cho ABC, ng cao AH (H BC), 0

B 42 AB = 12cm, BC = 22cm. Tnh cc cnh vgc cn li ca tam gic.

Gii

Trong AHB vung ti H, 0B 42 nn 0 0 0HAB 90 42 48 p dng h thc lng lin h gia cc cnh v gc trong ca tam gic vung AHB, ta c: AH = AB.sinB = 12.sin 42012.0,669 8,028 (cm)BH = AB.cosB = 12.cos 42012.0,743 8,916 (cm)Trong tam gic vung AHB, ta c:

169

H CB

A

30

C

BA


40/119



0

0 0 0

AH 0,028tan C 0,614

HC 13,084

C 31 30'

HAC 90 31 30' 58 30'

Do : 0 0 0BAC 48 58 30' 106 30'

AH AC.sin C

Suy ra:

0

AH 8,028AC 15,35 cm

sinC sin3130'

3. Bi tp t luyn:Bi tp 1:Cho ABC vung ti A, bit:

a) a = 72cm, 0B 58

b) b = 20cm, 0B 48

c) b = 15cm, 0

C 30 d) b = 21cm, c = 18cm.

Bi tp 2: Cho ABC vung ti A, ng cao AH. Bit HB = 25cm, HC = 64cm. Tnh B, C .Bi tp 3:Chng minh rng: Nu mt tam gic c hai cnh bng a v b, gc nhn to bi hai ng

thng bng c th din tch ca tam gic bng:1

S ab.sinc2

Bi tp 4:Cho ABC c, AB = 16cm v 0B 60 .a) Tnh BC.b) Tnh SABCD.Bi tp 5:Cho ABC vung ti A. Gi H l chn ng cao h t A. Bit rng AB = 7cm, AC =

9cm. Tnh BH, CH, AH.Bi tp 6: Cho ABC vung cn ti A, ng cao AH. Bit BC = a, AH = h. Tnh di cnh bntheo a, h.

Bi tp 7:Cho ABC vung ti A, ng cao AH, k HM AB ti M. Chng minh:3

2

ABBM

BC

Bi tp 8:Cho ABC c AB = 48cm, AC = 14cm, BC = 50cm. T nh di ng phn gic cagc C.Bi tp 9:Cho ABC vung ti A c AB = 3cm; BC = 5cm. AH l ng cao. Tnh BH; CH; ACv AH.Bi tp 10: Cho ABC cn ti A c BC = 16cm; AH = 6cm. Mt im D BH sao cho BD = 3,5

cm. Chng minh: DAC vung.Bi tp11: Cho ABC vung ti A c AC = 10cm; AB = 8cm. Tnh: a) BC.b) Hnh chiu ca AB v AC ln BC.c) ng cao AH.Bi tp 12: Cho ng trn tmO bn knh R = 10cm.Dy cung AB bt k c trung im I.a) Tnh AB nu OI = 7cm.b) Tnh OI nu AB = 14cm.

H CB

A

www.VNMATH.com


41/119



Bi tp 13: Cho ng trn tm O c ng knh AB = 26,5 cm. V dy cung AC = 22,5cm. H lhnh chiu ca C trn AB, ni BC. Tnh BC; BH; CH v OH. Bi tp 14: Hnh thang ABCD cn; y ln AB = 30cm, y nh CD = 10cm v gc A l 600.a) Tnh cnh BC.b) Gi M; N ln lt l trung im AB v CD. Tnh MN.Bi tp 15: Cho a gic li ABCD c AB = AC = AD = 10cm, gc B bng 600v gc A l 900.a) Tnh ng cho BD.b) Tnh khong cch BH v iu kin t B v D n AC.

c) Tnh HK.d) V BE DC ko di. Tnh BE; CE v DC.Bi tp 16: Cho on thng AB=2a. T trung im O ca AB v Ox AB ti O. Trn Ox ly D:

OD =a

2. T B k BC AD ko di.

a) Tnh AD; AC v BC theo a.b) Ko di DO mt on OE = a. Chng minh: Bn im A, C, B v E cng nm trn mt ngtrn.b) Xc nh tnh cht CE vi gc ACB.c) V ng vung gc vi BC ti B ct CE ti F. Tnh BF.d) Gi P l giao im ca AB v CE. Tnh AP v BP.

Bi tp 17: Cho ABC nhn, ni tip (O; R) c: 0AOB 90 v 0AOC 120 a) Chng minh: O trong tam gic ABC.b) Tnh cc gc tam gic ABC.c) Tnh ng cao AH v BC theo R.Bi tp 18: Cho ABC c ba gc nhn. AB = c, AC = b, BC = a. Chng minh rng:

a b c

sinA sinB sinC

Bi tp 19:Cho ABC c ba gc nhn. AB = c, AC = b, BC = a. Chng minh rng:b2= a2+ c2- 2ac.cosB.

Bi tp 20:Cho ABC vung ti A,

0C a, a 45 trung tuyn AM. ng cao AH. Bit BC = a,

AC = b, AH = h.a) Tnh: sina, sin2a theo a, b, h.b) Chng minh rng:sin2a = 2sina.cosa.Bi tp 21:Cho ABC cn ti A. ng cao thuc cnh bn bng h, gc y bng a. Chng minh

rng:2

ABC

hS

4sina.cosa .

Bi tp 22:Cho hnh thang ABCD, y ln AB = 20cm, cnh bn AD = 8cm v to vi y ln ABmt gc 650.a) Tnh di ng cao AH v y nh CD.

b) Tnh s gc ABD v ng cho BD.

Bi tp 23:Cho hnh thang ABCD c 0A D 90 , AD = 30cm, CD = 18cm v BC = 20cm.

a) Tnh cch gc ABC, BCD .

b) Tnh cc gc DAC, ADB v d di cc ng cho AC, BD.

Bi tp 24:Cho ABC. Bit AB = 10cm, AC = 24cm, BC = 26cm.a) Chng minh rng: ABC vung ti A.b) Tnh: sinB, sinC.c) Tnh chiu cao AH v on thng m chiu cao n chia ra trn BC.


42/119



CHUE 9CHNG MINH CAC HE THC HNH HOC1. Kin thc c bn:- Dng nh l Talet, tnh cht ng phn gic, tam gic ng dng, cc h thc lng trong tamgic vung, Gi s cn chng minh: MA.MB = MC.MD

Lp s : MA.MB = MC.MD MA MD MADMC MB

MCB hoc MAC MDB

Ngoi ra cn ch n vic s dng cc h thc trong tam gic vung; phng tch ca mt imvi ng trn.2. Bi tp p dng:Bi tp 1:Cho ng trn (O; R), tip tuyn Ax. Trn tip tuyn Ax, ly im F sao cho BF ctng trn ti C. Tia phn gic ca gc ABFct Ax ti E v ct ng trn ti D.a) Chng minh OD // BC.b) Chng minh h thc: BD.BE = BC.BF

Chng minha) BOD cn O (v OD = OB = R)

OBD ODB

M OBD = CBD (ga thit) nn ODB = CBD .Do : OD // BC.b) Ta c:

0ADB = 90 (gc ni tip chn na ng trn (O)AD BE .

0ACB 90 (gc ni tip chn na ng trn (O)AC BF .

EAB vung A (do Ax l tip tuyn ), c AD BE nn AB2= BD.BE (1)FAB vung A (do Ax l tip tuyn), c AC BF nn AB2= BC.BF (2)

T (1) v (2) suy ra: BD.BE = BC.BF.Bi tp 2:Cho tam gic ABC nhn, cc ng cao BD v CE ct nhau ti H.a) Chng minh t gic BCDE ni tip.b) Chng minh: AD.AC = AE.AB.

Chng minha) Xt t gic BCDE, c:

0

0

BDC 90

BEC 90

Ta c hai nh D, E cng nhn cnh BC vi mt gc bng 900.T gic BCDE ni tip.

b) Xt ADB v AEC, ta c: 0ADB AEC 90 (V BD, CE l hai ng cao) A l gc chung.ADB AEC (g - g).

AD AB

AE AC

AD.AC = AE.AB

H

C

D

E

B

A

DE

C

B

F

x

A O

www.VNMATH.com


43/119



Bi tp 3: T im A ngoi ng trn (O), k hai tip tuyn AB, AC ti ng trn (B, C l cctip im). ng thng qua A ct ng trn (O) ti D v E (D nm gia A v E, dy DE khngqua tm O). Gi H l trung im ca DE, AE ct BC ti K .a) Chng minh t gic ABOC ni tip ng trn .

b) Chng minh: HA l tia phn gic ca BHC

c) Chng minh:2 1 1

= +AK AD AE

.

Chng minha) Ta c: 0ABO = ACO = 90 (tnh cht tip tuyn)

Trong t gic ABOC c 0ABO+ ACO =180 nn ni tip c trong mt ng trn.b) Ta c: AB = AC (tnh cht hai tip tuyn ct nhau).

Suy ra: AB = AC .

Do : AHB = AHC .

Vy HA l tia phn gic ca BHC.

c) Chng minh:2 1 1

= +AK AD AE

:

Xt ABD v AEB, c:BAE l gc chung

ABD = AEB (=1

2s BD)

Suy ra: ABD AEB

Do : 2AB AD

AB AD.AEAE AB

(1)

Xt ABK v AHB, c:BAH l gc chung ABK = AHB (do AB = AC )

ABK AHB.Suy ra: 2

AK ABAB AK.AH

AB AH (2)

T (1) v (2) suy ra: AE.AD = AK. AH1 AH

AK AE.AD

2 2AH

AK AE.AD =

2 AD DHAE.AD

=

2AD 2DH

AE.AD

AD AD ED

AE.AD

=

AE+AD

AE.AD=

1 1+

AD AE

(do AD + DE = AE v DE = 2DH).

Vy2 1 1

= +AK AD AE

(pcm).

3. Bi tp t luyn:Bi tp1:Cho (O) c ng knh AB. Qua A k tip tuyn xy. Ly im M Ax; ni BM ct (O)ti C. Chng minh: MA2= MB.MC.Bi tp2:Cho ABC u, ni tip ng trn (O). D l mt im trn cung BC (BC l cung nh).CD v AB ko di ct nhau M; BD v AC ko di ct nhau N. Chng minh: AB2= BM.CN.Bi tp3:Cho ABC c AB < AC. T M AB v MEF //BC ct AC ti E v ng thng songsong AB v t C ti F. AC ct BF ti I. Chng minh: IC2= IE.IA.

HKD

EC

B

A O


44/119



Bi tp4:Cho hnh ch nht ABCD c AB = 36mm; AD = 24mm. T D ni n trung im M caAB ct AC ti I v CB ko di ti K. Chng minh: ID2= IM.IK.Bi tp5:Cho ABC vung ti A. V phn gic trong AD ca gc A (D BC). Gi khong cch

t D n AB l d. Bit AB = c, AC = b, BC = a.Chng minh:1 1 1

= +d b c

.

Bi tp6:Cho (O; R) v hai dy cung song song nhau AD v BE v hai pha ca dy AB v cnghp vi AB mt gc 450. Ni DE ct AB ti M. Chng minh: MA2+ MB2+ MD2+ ME2= 4R2.

Bi tp 7: Cho ba im A, B, C cng nm trn mt ng thng xy theo th t trn. V ngtrn(O) i qua B v C. T A v hai tip tuyn AM v AN. Chng minh AM2= AN2= AB.AC.Bi tp 8:Trn cung nh BC ca ng trn ngoi tip tam gic u ABC, ly mt im P tu .Gi l giao im ca AP v BC.a) Chng minh: BC2 = AP . AQ .b) Trn AP ly im M sao cho PM = PB. Chng minh: BP + PC = AP.

c) Chng minh:1 1 1

= +PQ PB PC

.

Bi tp 9: Cho hnh bnh hnh ABCD (AC > BD). V CE AB v FC AD. Chng minh rng:AB.AE + AD.AF = AC2.Bi tp 10:Cho tam gic ABC, M l trung im ca cnh BC. T 1 im E trn cnh BC ta k

Ex // AM. Ex ct tia CA F v tia BA G. Chng minh rng: FE + EG = 2AM.Bi tp 11: Cho Cho hnh bnh hnh ABCD, trn ng cho AC ly I. Tia DI ct ng thng ABti M, ct ng thng BC ti N.

a) Chng minh rng:AM DM CB

AB DN CN

b) Chng minh rng: ID2= IM.IN.Bi tp 12: Ly 1 im O trong tam gic ABC. Cc tia AO, BO, CO ct BC, AC, AB ln lt ti P,

Q, R. Chng minh rng:OA OB OC

2AP BQ CR

.

Bi tp 13: Cho tam gic ABC (AB = AC) c gc nh bng 20 0; cnh y l a; cnh bn l b.

Chng minh rng: a

3

+ b

3

= 3ab

2

.Bi tp 14:Cho ABC c = 300. Dng bn ngoi BCD u. Chng minh: AD2= AB2+ AC2.

Bi tp 15: Cho ABC cn ti A ( 0A 90 ). T B k BM AC. Chng minh rng:2

AM AB2 1

AC BC

.

CHUE 10TGIAC NOI TIEP NG TRON1. Kin thc c bn:Cc phng php chng minh t gic ni tip:- Chng minh bn nh ca t gic cng cch u mt im.- Chng minh t gic c tng hai gc i din bng 1800(b nhau).- Chng minh hai nh cng nhn mt on thng di mt gc bng nhau.- Chng minh tng ca gc ngoi ti mt nh vi gc trong i din b nhau.Hay din t l: Gc ngoi bng gc i trong.-Nu MA.MB = MC.MD hoc NA.ND = NC.NB th t gic ABCD ni tip.(Trong : M = AB CD; N = AD BC)

www.VNMATH.com


45/119



-Nu PA.PC = PB.PD th t gic ABCD ni tip. (Trong P= AC BD)- Chng minh t gic l hnh thang cn; hnh ch nht; hnh vung; Nu cn chng minh cho nhiu im cng thuc mt ng trn ta c th chng minh ln lt 4im mt lc. Song cn ch tnh cht Qua 3 im khng thng hng xc nh duy nht mt ng trn2. Bi tp p dng:Bi tp 1:Cho ABC, BD, CE l hai ng cao. Chng minh: T gic BCDE v AEHD ni tip.

Chng minh

Xt t gic BCDE, c: 0BDC BEC 90 (V BD, CE l hai ng cao) A l gc chung.Hai nh E, D cng nhn cnh BC vi mt gc bng 900.T gic BCDE ni tip.Xt t gic AEHD, c:

0AEH 90 (EC l ng cao) 0ADH 90 (BD l ng cao)

0AEH ADH 180

T gic AEHD ni tip.Bi tp 2:Cho hnh thang cn ABCD (AB > CD, AB // CD) ni tip trong ng trn (O). K cctip tuyn vi ng trn (O) ti A v D chng ct nhau E. Gi M l giao im ca hai ngcho AC v BD. Chng minh t gic AEDM ni tip c trong mt ng trn.

ChngminhTa c:

1EAC =2

s AC (gc to bi tia tip tuyn AE v dy AC ca

ng trn (O))Tng t:

1

xDB = 2 s

DB (Dx l tia i ca tia tip tuyn DE)M AC = BD (do ABCD l hnh thang cn) nn AC = BD .

Do EAC = xDB .Vy t gic AEDM ni tip c trong mt ng trn.Bi tp 3: Cho na ng trn (O) ng knh AB = 2R, dy cung AC. Gi M l im chnh giacung AC. ng thng k t C song song vi BM ct tia AM K v ct tia OM D. OD ct AC tiH. Chng minh t gic CKMH ni tip.

Chng minhTa c:

0AMB = 90 (gc ni tip chn na ng trn ng knh AB)AM MB .

M CD // BM (githit) nn AM CD .

Vy 0MKC = 90 .Ta c:

AM = CM (gi thit)OM AC 0MHC 90 .

H

C

D

E

B

A

E M

OA B

CD

H

K

D

M

C

BA O


46/119



T gic CKMH c 0MKC + MHC =180 nn ni tip c ng trn.Bi tp 4: Cho na ng trn tm O ng knh AB. T im M trn tip tuyn Ax ca nang trn v tip tuyn th hai MC (C l tip im). ng thng MB ct na ng trn (O) tiQ. Gi giao im ca MO v AC l I. Chng minh rng: T gic AMQI ni tip.

Chng minhTa c:MA = MC (tnh cht hai tp tuyn ct nhau)OA = OC (bn knh ng trn (O))

Do : MO AC 0MIA 90 . 0AQB 90 (gc ni tip chn na ng trn (O)) 0MQA 90 .

Hai nh I,Q cng nhn cnh AM vi mt gcbng900T gic AMQI ni tip ctrong ng trn.Bi tp 5: Cho ng trn (O) ng knh AB. Trn tiaAB ly im D nm ngoi on AB v k tip tuyn DC vi ng trn (O) (C l tip im). Gi El chn ng vung gc h t A xung ng thng CD v F l chn ng vung gc h t D

xung ng thng AC.Chng minh: T gic EFDA ni tip.Chng minh

Ta c: 0AED = 90 (V AE CD ti E)

0AFD = 90 (V DF AC ti F)Hai nh E, F cng nhn cnh AD vi mt gc bng 900.T gic EFDA ni tip.Bi tp 6:S dng tnh cht ca nh l Pltm:nh l Ptolemyhay ng thc Ptolemyl ng thctronghnh hc Euclidmiu t quan h gia di bn cnh vhai ng cho ca mtt gic ni tipng trn.nh lny mang tnnh ton hcvthin vnhcngiHy Lp c iPtolemy (Claudius Ptolemaeus).

AC

ADBD

CD

BC

AB

D

C

B

A

NuA, B, C, v D l 4 nh ca t gic ni tip ng trn th:AC . BD = AB . CD + BC + AD

(vi du gch ngang k hiu di ca cc cnh) nh l ny cng c th pht biu thnh nh l thun vo:nh l thun:Nu mt t gic ni tip trong mt ng trn th tch ca hai ng cho bng tngcc tch ca cc cp cnh i din.nh l o:Nu mt t gic tha mn iu kin tng cc tch ca cc cp cnh i din bng tchca hai ng cho th t gic ni tip mt ng trn.Chng minh

I

Q C

M

x

BA O

FE

C

O DBA

www.VNMATH.com
http://vi.wikipedia.org/wiki/H%C3%ACnh_h%E1%BB%8Dc_Euclidhttp://vi.wikipedia.org/wiki/H%C3%ACnh_h%E1%BB%8Dc_Euclidhttp://vi.wikipedia.org/wiki/H%C3%ACnh_h%E1%BB%8Dc_Euclidhttp://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BB%A9_gi%C3%A1c_n%E1%BB%99i_ti%E1%BA%BFphttp://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BB%A9_gi%C3%A1c_n%E1%BB%99i_ti%E1%BA%BFphttp://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BB%A9_gi%C3%A1c_n%E1%BB%99i_ti%E1%BA%BFphttp://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BB%A9_gi%C3%A1c_n%E1%BB%99i_ti%E1%BA%BFphttp://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BB%A9_gi%C3%A1c_n%E1%BB%99i_ti%E1%BA%BFphttp://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BDhttp://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BDhttp://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BDhttp://vi.wikipedia.org/wiki/Nh%C3%A0_to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dchttp://vi.wikipedia.org/wiki/Nh%C3%A0_to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dchttp://vi.wikipedia.org/wiki/Nh%C3%A0_to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dchttp://vi.wikipedia.org/wiki/Nh%C3%A0_thi%C3%AAn_v%C4%83n_h%E1%BB%8Dchttp://vi.wikipedia.org/wiki/Nh%C3%A0_thi%C3%AAn_v%C4%83n_h%E1%BB%8Dchttp://vi.wikipedia.org/wiki/Nh%C3%A0_thi%C3%AAn_v%C4%83n_h%E1%BB%8Dchttp://vi.wikipedia.org/wiki/Nh%C3%A0_thi%C3%AAn_v%C4%83n_h%E1%BB%8Dchttp://vi.wikipedia.org/wiki/Hy_L%E1%BA%A1p_c%E1%BB%95_%C4%91%E1%BA%A1ihttp://vi.wikipedia.org/wiki/Hy_L%E1%BA%A1p_c%E1%BB%95_%C4%91%E1%BA%A1ihttp://vi.wikipedia.org/wiki/Ptolemyhttp://vi.wikipedia.org/wiki/Ptolemyhttp://vi.wikipedia.org/wiki/Hy_L%E1%BA%A1p_c%E1%BB%95_%C4%91%E1%BA%A1ihttp://vi.wikipedia.org/wiki/Nh%C3%A0_thi%C3%AAn_v%C4%83n_h%E1%BB%8Dchttp://vi.wikipedia.org/wiki/Nh%C3%A0_thi%C3%AAn_v%C4%83n_h%E1%BB%8Dchttp://vi.wikipedia.org/wiki/Nh%C3%A0_thi%C3%AAn_v%C4%83n_h%E1%BB%8Dchttp://vi.wikipedia.org/wiki/Nh%C3%A0_to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dchttp://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BDhttp://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BB%A9_gi%C3%A1c_n%E1%BB%99i_ti%E1%BA%BFphttp://vi.wikipedia.org/wiki/H%C3%ACnh_h%E1%BB%8Dc_Euclid


47/119



A

B

C

D

K

A

B

C

D

KK

D

C

B

A

Gi ABCD lt gic ni tip ng trn.Trn cung nh BC, ta c ccgc ni tip:

BAC BDC , v trn cung AB, ADB ACB .

Ly 1 im K trn AC sao cho ABK CBD ;

T ABK CBK ABC CBD ABD .

Suy ra: CBK ABD .Do vytam gicABK DBC, v tng t c ABD KBC.

Suy ra:AK CD

=AB BD

, vCK DA

=BC BD

;

T AK.BD = AB.CD, v CK.BD = BC.DA;Cng cc v ca 2 ng thc trn: AK.BD + CK.BD = AB.CD + BC.DA;Hay: (AK+CK).BD = AB.CD + BC.DA;M AK+CK = AC, nn ACBD = AB.CD + BC.DA. (iu phi chng minh)

3. Bi tp t luyn:Bi tp 1: Cho ng trn (O) ng knh AB. M l mt im trn tip tuyn xBy. AM ct (O) tiC; ly D BM; ni AD ct (O) ti I. Chng minh: T gic CIDM ni tip.

Bi tp 2: Cho ABC vung ti A c AB = 5cm v AC = 5 3 cm. ng cao AH (H BC).ng trn (H; HA) ct AB ti D v AC ti E. Chng minh: T gic CEBD ni tip.Bi tp 3: Cho ng trn (O) ng knh AB. T A v B v Ax AB v By BA. V tip tuynxMy (tip im M) ct Ax ti C v By ti D. OC ct AM ti I v OD ct BM ti K. Chng minh :T gic CIKD ni tip.Bi tp 4: Cho ng trn (O) ng knh AB, v bn knh OC AB. T B v tip tuyn Bx. GiM l trung im OC, AM ko di ct ng trn ti E v Bx ti I. Tip tuyn t E ct Bx ti D.Chng minh: T gic MODE ni tip.

Bi tp 5: Cho tam gic ABC ( 0BAC < 45 ) ni tip trong na ng trn tm Ong knh AB.Dng tip tuyn vi ng trn (O) ti C v gi H l chn ng vung gc k t An tip tuyn. AH ct ng trn (O) ti M (M A). ng vung gc vi AC k t M ct AC ti K. Chngminh t gic MKCH ni tip.

Bi tp 6: Cho tam gic ABC vung A, ng cao AH. ng trn tm Ong knh AH ct cccnh AB, AC ln lt ti M v N ( A M v N). Chng minh:

a) AHN = ACB b) T gic BMNC ni tip.Bi tp 7: Cho ng trn (O;R) ng knh AB. Gi C l im bt k thuc ng trn (C Av B). Gi M, N ln lt l im chnh gia ca cc cung nh AC v BC. Cc ng thng BN vAC ct nhau ti I, cc dy cung AN v BC ct nhau P. Chng minh t gic ICPN ni tip. Xcnh tm K ca ng trn ngoi tip t gic .
http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=G%C3%B3c_n%E1%BB%99i_ti%E1%BA%BFp&action=edit&redlink=1http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=G%C3%B3c_n%E1%BB%99i_ti%E1%BA%BFp&action=edit&redlink=1http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=G%C3%B3c_n%E1%BB%99i_ti%E1%BA%BFp&action=edit&redlink=1http://vi.wikipedia.org/wiki/Tam_gi%C3%A1chttp://vi.wikipedia.org/wiki/Tam_gi%C3%A1chttp://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=G%C3%B3c_n%E1%BB%99i_ti%E1%BA%BFp&action=edit&redlink=1


48/119



Bi tp 8: Cho ng trn (O;R), ng knh AB . Trn tip tuyn k t A ca ng trn ny lyim C sao cho AC = AB. T C k tip tuyn th hai CD ca ng trn (O;R), vi D l tip im.Chng minh rng t gic ACDO ni tip.Bi tp 9: Cho ng trn (O) ng knh AB bng 6cm . Gi H lim nm gia A v B. Qua Hv ng thng vung gc vi AB, ng thng ny ct ng trn (O) ti C v D. Hai ng thngBC v DA ct nhau ti M.T Mh ng vung gc MN vi ng thng AB ( N thuc thng AB). Chng minh MNAC l t gic ni tip.

CHUE 11CAC NG THANG ONG QUY1. Kin thc c bn:Phng php 1:p dng tnh cht cc ng ng quy trong tam gic.Phng php 2:Chng minh cc ng thng cng i qua mt im: Ta ch ra hai ng thng ctnhau ti mt im v chng minh ng thng cng i qua im .Phng php 3:Dng nh l o ca nh l Talet.Phng php 4:nh l Lyness m rng(B Sawayama):Cho tam gic ABC ni tip ng trn (O). M BC.

Mt ng trn (O') tip xc vi hai cnh MA v MC ti E v F ng thi tip xc vi c ngtrn (O) ti K. Khi ta c tm ng trn ni tip ca tam gic ABC nm trn ng thng EF.nh l Pascal:Cho 6 im A, B, C, D, E, F cng thuc mt ng trn. Khi cc giao im cacc cp cnh AB v DE, BC v EF, CD v FA thng hng.Phng php 6:nh l CEVA:Cho tam gic ABC. Ly cc im D, E v F ln lt nm trn cc cnh BC, AC, AB.

OF

E

D CB

A

nh l pht biu rng cc ng thng AD, BE v CF l nhng ng thng ng quy khi v chkhi:

AF BD CE. . = 1

FB DC EA

2. Bi tp p dng:

Bi tp 1: Cho tam gic ABC dng tam gic u MAB, NBC, PAC thuc min ngoi tam gicABC. Chng minh rng:a) MC = NA = PB

b) 0AM.MC = MC,BP = BP,NA = 60 c) MC, NA, PB ng quy

Chng minha) Xt ABN v MBC, c:AB = MB;BC = BN (cc cnh ca tam gic u)

www.VNMATH.com


49/119



ABN = MBC (cng bng 060 +ABC )ABN = MBC (c.g.c) AN = MC (*)Tng t: ABP = AMC (c.g.c)AB = AM;BC = BN (cc cnh ca tam gic u)

BAP = MAC (cng bng 060 +BAC )

BP = MC (**)T (*) v (**) ta c: AN = MC = BP (pcm).b)

Trong APC, c: 01 1 22A +C +P +P =180 m 1 1P = C

Trong PCK, c: 02 21 2C + C + P K = 180

0 0 02 2 2160 C P K 180 K 60 (1)Tng t: ABN = MBC

1 3N = C m 0

1 2N + N = 60

02 3N + C = 60 m 0

4C = 60

NKC c 02 3 4 3N + C +C + K =180

03K = 60 (2)

Tng t: ACN = PCB

2 2P = A m 0

21P +P = 60

01 2P +A = 60 m 0

1A = 60

Trong AKP, c: 01K = 60 (3)

T (1), (2), (3) ta c iu phi chng minhc) Gi s MC BP = K, ta chng minh cho A, K, N thng hng.

Theo chng minh trn ta c: 0 0 0 02 3 1 1 2 3K 60 ,K 60 ,K 60 K K K 180

A,K,N thng hngVy AN, MC, BP ng quy (pcm)Bi tp 2: Cho hnh bnh hnh ABCD. Trn AB v CD ly 2 im E v F sao cho AE = CF. TrnAD v BC ly H v G sao cho DH = BG.a) Chng minh: T gic EGFH l hnh bnh hnhb) Chng minh: AC, BD, EF, GH ct nhau ti 1 im.

Chng minha) Xt DHF v BGE, ta c:DH = BG

HDF GBE (V ABCD l hnh bnh hnh)DF = BE (V AE = CF)DHF = BGEHF = EG. (1)Mt khc, ta c:

DHG BGH v DHF BGE FCG EGH (2)T (1), (2) suy ra: T gic EGFH l hnh bnh hnh.b) (Theo cu a)T gic EGFH l hnh bnhhnh.

21

4

321

32

1

2

1

K

P

N

M

CB

A

I GH

F

E

D C

BA


50/119



Gi I l giao im ca 2 ng cho HG v EF (ca hnh bnh hnh EGFH) Ta li c: T gic AGCH l hnh bnh hnh (AH // CG v AH = CG) Giao ca 2 ng cho HG v AC l I (I trung im HG)Tng t, ta c: Hnh bnh hnh HBGD c giao im ca 2 ng cho l HG v BD ti I (I l trungim HG)Suy ra: HG, EF, AC, BD ct nhau ti im I (cng l im duy nht).Bi tp 3:Cho hai ng thngd1v d2ct nhau tiO. Trn d1ln lt ly ba im phn bitA, B,C khc O sao cho OA = AB = BC. Trn d 2ln lt ly ba imE, M, N khc O sao cho OE = OM =

MN. Chng minh rng ba ng thngAE, BN v CM ng quy.Chng minh

GiD l giao im caBN v CM.Qua M k ng thng song song viOC ct BCtiF.Qua O k ng thng song song viBN ctMF tiG.Xt FBO v OGF, ta c:

BOF GFO (so le trong)OF l cnh chung

BFO GOF (so le trong)FBO = OGF (g-c-g).

FG = BO. (1)Xt NFM v OGM, ta c: GOM FNM MO=MN OMG NMF (i nh)NFM = OGM.MF = MG. (2)

T (1) v (2), suy ra: MF = OA = AB = BC.S dng kt qu va tm c ny kt hp:

DCB DMF (so le trong) v DBC DFM (so le trong)

Suy ra: DBC = DFM (g-c-g).Do : DC = DMhay D l trung im caCM. (3)Xt CEM, ta c:

CO l trung tuyn ng vi cnhME (do OE=OM)

CA =2

3CO

A l trng tm ca CEM.Suy ra: AE i qua trung im ca cnhCM. (4)T (3) v (4), ta suy ra: AE i quaD.VyBN,CM v AE ng quy tiD.

Bi tp 4: Cho ABC, cc ng cao AD, BE, CF ca tam gic ng quy ti H. Gi I l trung imca HC.a) Chng minh BCEF l t gic ni tip. b) Chng minh rng H l tm ng trn ni tip DEF v DIEF l t gic ni tip 1 ng trn.c) V pha ngoi ABC dng cc ABM v CAN sao cho chng l cc tam gic vung cn ti ccnh B v C tng ng. Chng minh rng cc ng thng AD, BN, CM ng quy.

Chng minha) HS t lm.b) Ta d dng chng minh c cc t gic AEHF, AEDB ni tip trong ng trn.

E

G

N

MF

D

OAB

C

www.VNMATH.com


51/119



Khi , ta c: FAH FEH (cng chn FH )

v FAH BAD BAD BED (cng chn BD)

v BED HED

FEH HED

HE l tia phn gic ca

FED .Tng t, ta c:

HF l tia phn gic ca EFD.

HD l tia phn gic ca EDF . H l giao im ca 3 ng phn gictrong ca DEF.Vy H l tm ca ng trong ni tip DEF.* Theo chng minh trn, ta c:

FED 2FAD v FAD FCD (HS t chng minh t gic ACDF ni tip) HID 2FCD (gc ngoi bng tng ca 2 gc trong khng k)

FED 2FAD 2FCD HID FID Hay FED FID T gic EIDF ni tip.c) Trn tia i tiaAD, lyT sao cho AT = BC.

0MBC 90 ABC TAB MBC = BAT (c - g - c)

BTD BCM CM TBTng t, ta c: BN TC.

M TD BCVy TD, CM, BN ng quy (3 ng cao caTBC)Bi tp 5: Cho t gicABCD, AD, BC khng song song, ni tip ng trn(O). P l giao imcaAC v BD. ng trn(O1) tip xc vi cc on PA, PB v tip xc trong vi(O) tiE.ng trn(O2) tip xc vi cc onPC, PD v tip xc trong vi(O) tiF. Chng minh rngAD,BC, EF ng quy.

Chng minhGi s(O2) tip xcPB, PC tiX, Y v tipxc (O) tiF.Theo b Sawayama (nh l Lyness m rng) tac XY iqua H, K (viH,K l tm ni tip cc ADC,

BDC.GiZ, T l giao im caHK trn AD, BC. GiM, N,P, Q l trung im cc cungAD, BD, AC, BC ca(O).V (O2) tip xcAC, BD nn F, X, N v F, Y, P thnghng.Ta s chng minh:M, Z, F thng hng.Tht vy: GiZl giao caFM v AD.AN giao BM tiS. GiR l trung im cungCD.Theo nh l Pascancho lc gicMFNADB ta c S, Z,X thng hng.

T

N

M

A

H I

F

E

D CB

K

R

ZH

S

QM

T

PN

Y

E

X

O1

F

O2

P

D C

BA

O


52/119



Tip tc vi lc gicNARBMC ta c H, K, S thng hng.M H, K, X thng hng, nn ta cZ, X, H, Kthnghng hay Ztrng Z.Tng t, ta c:F, T, Q thng hng.Gi(O3) l ng trn tip xcAD, BC v tip xc(O) ti cung nhDC.Ta s chng minh(O3) l (ZFT).Tht vy,giZ", T" l tip im trnAD, BC ca(O3) th theo b Sawayama, ta cng cZ", T",H, K thng hnghay Z", T" trng Z, T.M MZ v NT ct nhau tiF nn ta c ngay ZFT chnh l (O3).

T , ta quy bi ton v pht biu n gin hn nh sau: (O3) tip xcAD, BC v tip xc cungnhCD tiF.Tng t cE.Khi AD, BC, EF ng quy.Bi tp 6:Chng minh da vo nh l CEVA.nh l CEVA: Cho tam gic ABC. Ly cc im D, E v F ln lt nm trn cc cnh BC, AC,AB.nh l pht biu rng cc ng thng AD, BE v CF l nhngng thng ng quy khi v ch khi:

AF BD CE. . =1

FB DC EA

Chng minhGi sAD, BE v CF ng qui ti mt imO no (tronghay ngoi tam gic). Do BOD v COD c chung chiu cao( di ca ng cao), ta c:

BOD BD=

COD DC

Tng t,BAD BD

=CAD DC

Ta suy ra

BAD BOD ABOBD

DC CAD COD CAO

Tng t,BCOCE

,EA ABO

vCAOAF

.FB BCO

Nhn ba ng thc trn cho ta:

AF BD CE. . 1.FB DC EA

(iu phi chng minh).Ngc li, gi s rng ta c nhng imD, E v F tha mn ng thc. Gi giao imcaAD v BE l O, v gi giao im caCO v AB l F'. Theo chng minh trn,

AF' BD CE. . 1.

F'B DC EA

Kt hp vi ng thc trn, ta nhn c:

OF E

D CB

A

www.VNMATH.com


53/119



AF' AF.

F'B FB

Thm 1 vo mi v v ch rng AF'' + F''B = AF + FB = AB, ta c:AB AB

.F'B FB

Do F''B = FB, vyF v F'' trng nhau . V vyAD, BE v CF = CF'' ng qui tiO, v nh l c chng minh (l ng theo c hai chiu).

3. Bi tp t luyn:Bi tp 1:Cho tam gic ABC dng cc tam gic u MAB, NBC, PAC thuc min ngoi tam gicABC. Chng minh MC, NA, PB ng quy.Bi tp 2:Cho tam gic ABC dng cc tam gic u MAB, NBC, PAC v c tm ln lt l O1, O2,O3. Chng minh cc ng trn ngoi tip 3 tam gic u trn u ng quy ti mt im. Bi tp 3:Gi A', B', C' l tip im ca ng trn ni tip ABC vi cc cnh BC, CA, AB.Chng minh rng: AA', BB', CC' ng quy.

Hng dn

Chng minhA'B B'C C'A

. . = 1A'C B'A C'B

AA', BB', CC' ng quy

Bi tp 4: Cho hnh thang ABCD (AB > CD). Gi E l giao im hai cnh bn AD v BC; F l

trung im ca AB. Chng minh rng: AC, BD, CF ng quy.Bi tp 5: Cho tam gic nhn ABC. Cc ng cao AH, BK, CL ct nhau ti I. Gi D, E, F ln ltl trung im ca BC, CA, AB. Gi P, Q, R ln lt l trung im ca IA, IB, IC. Chng minh PD,QE, RF ng quy. Gi J l im ng quy, chng minh I l trung im ca mi ng.

Hng dnChng minh PEDQ, PRDF l hnh ch nhtPD, QE, RF l ng cho ca 2 hnh ch nht iu phi chng minh.Bi tp 6: Cho ABC ni tip ng trn (O) v c H l trc tm. Gi A', B', C' l im i xngca H qua BC, CA, AB. Qua H, v ng thng d bt k. Chng minh rng: Cc ng thng ixng ca d qua cc cnh ca ABC ng quy ti mt im trn (O).

Hng dnGi d1, d2, d3l cc ng thng i xng ca d qua cc cnh ca ABC.Gi I l giao ca d1v d2Chng minh t gic A'B'C'I l t gic ni tip. Suy ra A'B'C'I l ni tip (O).Chng minh I thuc d3.

CHUE 12BA IEM THANG HANG1. Kin thc c bn:

Phng php 1:Tin clit: Qua mt im A nmngoi ng thng a k c duy nht mt ng thng songsong vi a.H qu: Qua mt im A nm ngoi ng thng a k c duy nht mt ng thng vung gcvi a.Phng php 2:Chng minh qua mt im c hai ng thng vung gc vi 1 ng thng chotrc ti im .Phng php 3:Chng minh tng hai gc bng 180 (s dng t gic ni tip, cc gc bngnhau...).

5/25/2018 Chuyen de HH on Thi Lo

Documents

Chuyen de HH on Thi Lop10