Chương 5 - stu.edu.vnstu.edu.vn/uploads/documents/310810-112620.pdf · Bài giảng: Xửlý sốtín hiệu 2 Chương 5 BIẾN ĐỔI Z 5.1 Biến đổi Z: ¾là phép chuyển

Bài giảng: Xử lý số tín hiệu

5/22/20101

Chương 5

BIẾN ĐỔI Z

Nội dung:5.1 Biến đổi Z

5.1.1 Định nghĩa biến đổi Z5.1.2 Các tính chất của biến đổi Z5.1.3 Giản đồ cực-không

5.2 Biến đổi Z ngược5.2.1 Phương pháp phân tích thành chuỗi lũy thừa5.2.2 Phương pháp phân tích thành phân thức sơ cấp5.3 Phân tích hệ thống dùng biến đổi ZBài tập


2

Chương 5 BIẾN ĐỔI Z5.1 Biến đổi Z:

là phép chuyển tín hiệu sang miền Z để thuận tiên trong phân tích, xử lý.

biến đổi Z có vai trò như phép biến đổi Laplace trong mạch tương tự.

được dùng để tính toán đáp ứng của hệ thống LTI, thiết kế các bộ lọc,vv...

5.1.1 Định nghĩa:

Biến đổi Z của một tín hiệu rời rạc x(n):

(z: biến phức)

Ký hiệu: hay:

Vùng hội tụ của biến đổi Z (ROC: Region Of Convergence)

ROC là tập hợp những giá trị của Z làm cho X(z) có giá trị hữu hạn.

Phải chỉ rỏ ra khi nói đến biến đổi Z.

5/22/2010

( ) ( ) n

nX z x n z

+∞−

= −∞

= ∑

( ) ( )Zx n X z⎯⎯→ [ ]( ) ( )X z Z x n=

{ }| ( )R O C z X z= ∈ ≠ ∞


3

Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt)5.1 Biến đổi Z (tt):

Ví dụ 1: Xác định biến đổi z của các tín hiệu sau

a. x(n) = {1,2,5,7,0,1}

b. x(n) = anu(n)

c. x(n) = -anu(-n-1)

d. x(n) = anu(n) - bnu(-n-1)

Lời giải:

a. Từ định nghĩa:

X(z) = z2 + 2z + 5 + 7z-1+ z-3 ; ROC: z ≠ 0; z ≠∞

b. Ta có:

Nếu: |az-1|<1 |z|>|a| thì:

ROC: |z| > |a|

5/22/2010

1

0 0

( ) ( ) ( ) ( )n n n n n n

n n n nX z x n z a u n z a z az

+∞ +∞ +∞ +∞− − − −

= −∞ = −∞ = =

= = = =∑ ∑ ∑ ∑

1

1( )1

X zaz −=

−

-1

ROCImZ

0 1aReZ


4


c. Ta có:

Nếu: |a-1z|<1 |z|<|a| thì:

ROC: |z| < |a|

d. Ta có:

Nếu |b|<|a|: ROC = {Ø}:

không tồn tại X(z).

Nếu |b|>|a|: ROC : |a|<|z|<|b|:

5/22/2010

1 11

1

( ) ( ) ( )n n n n n n

n n n nX z x n z a z a z a z

+∞ − +∞− − − −

= −∞ = −∞ =∞ =

= = − = − = −∑ ∑ ∑ ∑

1

1 1 1

1 1( ) 11 1 1

a zX zaz a z az

−

− − −= − + = − =− − −

1

0

0 1

( ) ( ) n n n n n

n n n

n n n n

n n

X z x n z a z b z

a z b z

+∞ +∞ −− − −

= −∞ = = −∞

+∞ ∞− −

= =

= = −

= −

∑ ∑ ∑

∑ ∑

1 1

1 1( )1 1

X zaz bz− −= +

− −

-1

ImZ

0 1aReZROC


5


Một số cặp biến đổi Z thông dụng:

5/22/2010


6

Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt)5.1.2 Các tính chất của biến đổi Z:

a. Tuyến tính:

Ví dụ 2: Tìm biến đổi Z của tín hiệu sau:

Áp dụng tính chất tuyến tính:

5/22/2010

1 11 1 2 2 1 1 2 2 1 2

2 2

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ), ,

( ) ( )x n X z

a x n a x n a X z a X z a ax n X z

↔⎧⇒ + ↔ + ∀⎨ ↔⎩

( ) 3(0.8) ( ) 5( 1.2) ( )n nx n u n u n= − −

1 2

1 2

( ) (0.8) ( ) ( ) ( 1.2) ( )&

3 5

n nx n u n x n u na a

⎧ ⎧= = −⎨ ⎨

= = −⎩ ⎩

1

1

1(0.8) ( ) ,| | 0.81 0.8

1( 1.2) ( ) ,| | 1.21 1.2

n

n

u n zz

u n zz

−

−

⎧ ↔ >⎪⎪ −⎨⎪ − ↔ >⎪ +⎩

1 1

3 5( ) ,| | 1.21 0.8 1 1.2

X z zz z− −⇒ = − >

− +


7

Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt)5.1.2 Các tính chất của biến đổi Z (tt):

b. Dịch chuyển trong miền thời gian rời rạc:


Viết lại x(n):

Áp dụng tính chất trên:

5/22/2010

1( ) ( 2)2

n

x n u n⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

21

1( ) 4 , | | 0.51 0.5

X z z zz−

= ∞> >−

0

0

0

0

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

n

n

x n n z X zx n X z

x n n z X z

−⎧ − ↔⎪↔ ⇒ ⎨+ ↔⎪⎩

21 1( ) ( 2) 4 ( 2)2 2

n n

x n u n u n+

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


8


c. Vi phân trong miền Z:


Viết lại x(n):

Áp dụng cặp biến đổi cơ bản:


5/22/2010

( ) ( )nx n na u n=

( )1

121 1

( ) 1( ) ; | | | |1 1

dX z d azX z z z z adz dz az az

−

− −

⎛ ⎞=− =− = >⎜ ⎟−⎝ ⎠ −

( )( ) ( ) ( ) dX zx n X z nx n zdz

↔ ⇒ ↔−

1 1( ) ( ), ( ) ( )nx n nx n x n a u n= =

1 1 1

1( ) ( ) ( ) , | | | |1

nx n a u n X z z aaz−

= ↔ = >−


9


d. Tích chập:

chuyển đổi phép tích chập trong miền thời gian sang phép nhân thông thường trong miền Z thuận tiện trong phân tích hệ thống.

Ví dụ 5: Tính tích chập của hai tín hiệu sau:

Ta có: X1(z) = 1- 2z-1 + z-2; ROC: z ≠ 0;

X2(z) = 1+ z-1 + z-2 + z-3 + z-4 + z-5; ROC: z ≠ 0;


X(z) = X1(z)X2(z) = (1- 2z-1 + z-2)(1+ z-1 + z-2 + z-3 + z-4 + z-5)

= 1- z-1 - z-6 + z-7

Suy ra: x(n) = {1,-1,0,0,0,0,-1,1} 5/22/2010

1 11 2 1 2

2 2

( ) ( )( ) ( ) * ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )x n X z

x n x n x n x z X z X zx n X z

↔⎧⇒ = ↔ =⎨ ↔⎩

1 2( ) {1, 2,1}; ( ) ( ) ( 6)x n x n u n u n= − = − −


10


e. Đảo thời gian:


Đặt:

Áp dụng cặp biến đổi cơ bản:


5/22/2010

1( ) ( )3

n

x n u n⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1( ) ( ) ; | | 1/31 3

X z Y z zz

−= = <−

1( ) ( ) ( ) ( )x n X z x n X z−↔ ⇒ − ↔

1( ) ( ) ( ) 3 ( )3

nny n x n u n u n

−⎛ ⎞= − = =⎜ ⎟⎝ ⎠

1

1( ) ( ) , | | 31 3

y n Y z zz−

↔ = >−


11


Tóm tắc một số tính chất quan trọng của biến đổi Z

5/22/2010


12

Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt)5.1.3 Giản đồ cực-không:

Biến đổi Z của các tín hiệu thực và các hệ thống LTI thường có dạng hữu tỉ, nghĩa là, ta có thể biểu diễn:

Các giá trị zi và pi được gọi lần lượt là các điểm không, các điểm cực.

Đồ thị biểu diễn các giá trị điểm cực, điểm không trên mặt phẳng phức Z được gọi là giản đồ cực - không.

Ví dụ 7: Vẽ giản đồ cực – không

Ta có:

5/22/2010

1 2 3

1 2 3

( )( )( )......( )( )( )( ) ( )( )( )......( )

L

M

A z z z z z z z zN zX zD z z p z p z p z p

− − − −= =

− − − −

1

1( ) ( ) ( )1 1

zx n u n X zz z−= ↔ = =

− −ReZ

ImZ

0 *z1 p1

-1

1

1

0 ;1

zp

=⎧⎨ =⎩

Ñieåm khoâng

Ñieåm cöïc


13

Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt)5.2 Biến đổi Z ngược:

biến đổi tín hiệu từ miền Z trở về miền thời gian rời rạc, ký hiệu:

5.2.1 Phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa:

Biểu diễn X(z) thành dạng lũy thừa sau:

So sánh với định nghĩa:

Suy ra, chuỗi tín hiệu x(n):

Ví dụ 8: Tìm biến đổi Z ngược của tín hiệu sau:

Chia đa thức để có dạng lũy thừa:

5/22/2010

( ) nn

nX z C z

+∞−

= −∞

= ∑( ) ( ) n

nX z x n z

+∞−

= −∞

= ∑

( ) { } ,nx n C n= ∀

1( ) { ( )}x n Z X z−=

1 2

1( ) , :| | 11 1 .5 0 .5

X z RO C zz z− −= >

− +


14

Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt)5.2.1 Phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa (tt):

Lời giải:

Chia đa thức để có dạng lũy thừa:

Suy ra giá trị chuỗi x(n):

5.2.2 Phương pháp khai triển thành các phân thức sơ cấp:

Biểu diễn X(z) thành dạng sau:

trong đó: Xk(z) là các biểu thức có biến đổi Z ngược xk(n) đã biết.

Lúc đó:

5/22/2010

1 21 2

1 3 7( ) 1 .....1 1 .5 0 .5 2 4

X z z zz z

− −− −= = + + +

− +

3 7( ) 1 , , , . . .2 4

x n ⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭

Không cho dạng biểu thức khép kín

của x(n)

0

( ) ( )N

k kk

X z a X z=

= ∑

0

( ) ( )N

k kk

x n a x n=

= ∑


15

Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt)5.2.2 Phương pháp khai triển thành các phân thức sơ cấp (tt):

Ví dụ 9: Tìm biến đổi Z ngược của tín hiệu sau:

Lời giải:

Đưa về dạng tổng các phân thức sơ cấp:

Mặc khác,áp dụng cặp biến đổi Z cơ bản:

Suy ra:

5/22/2010

1 2

1( ) , :| | 11 1 .5 0 .5

X z RO C zz z− −= >

− +

1 2 1 1

1 1

1 1( )1 1 .5 0 .5 (1 )(1 0 .5 )

2 11 1 0.5

X zz z z z

z z

− − − −

− −

= =− + − −

= −− −

1

1

1

1( ) ,| | 11 1( ) , | | | |

11 (0.5) ( ) ,| | 0.51 0.5

n

n

u n Zza u n z a

az u n zz

−

−

−

⎧ ↔ >⎪⎪ −↔ > ⇒ ⎨− ⎪ ↔ >⎪ −⎩

( ) 2 ( ) (0.5) ( )nx n u n u n= −


16

Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt)Phương pháp đưa về tổng các phân thức sơ cấp:

Giả sử X(z) có dạng hữu tỉ:

Trường hợp 1: (bậc tử số nhỏ hơn mẫu số) xét 2 khả năng

D(z) chỉ có các nghiệm thực đơn, tức là có thể biểu diễn:

trong đó, các hệ số được xác định như sau:

5/22/2010

1

1

( )( )( )

N zX zD z

−

−=

1 1

1 1 1 11 2 3

31 21 1 1

1 2 3

( ) ( )( )( ) (1 )(1 )(1 ).......

....1 1 1

N z N zX zD z p z p z p z

AA Ap z p z p z

− −

− − − −

− − −

= =− − −

= + + +− − −

1(1 ) ( )ii i z pA p z X z−

=⎡ ⎤= −⎣ ⎦


17

Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt)Ví dụ 9: Tìm biến đổi Z ngược của tín hiệu sau:

Biểu diễn thành tổng các phân thức sơ cấp:

Xác định các hệ số:

Các biến đổi Z ngược có thể có:

5/22/2010

1

1 2

2 2 .05( )1 2 .05

zX zz z

−

− −

−=

− +

1 11 2

1 2 1 1 1 1

2 2.05 2 2.05( )1 2.05 (1 0.8 )(1 1.25 ) (1 0.8 ) (1 1.25 )

A Az zX zz z z z z z

− −

− − − − − −

− −= = = +

− + − − − −

11

1 0.8 10.8

2 2.05(1 0.8 ) ( ) 11 1.25z

z

zA z X zz

−−

= −=

⎡ ⎤−⎡ ⎤= − = =⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎣ ⎦1

12 1.25 1

1.25

2 2.05(1 1.25 ) ( ) 11 0.8z

z

zA z X zz

−−

= −=

⎡ ⎤−⎡ ⎤= − = =⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎣ ⎦

(0.8) ( ) (1.25) ( ), | | 1.25( ) (0.8) ( ) (1.25) ( 1), 1.25 | | 0.8

(0.8) ( 1) (1.25) ( 1), | | 0.8

n n

n n

n n

u n u n zx n u n u n z

u n u n z

⎧ + >⎪= − − − > >⎨⎪− − − − − − <⎩


18


D(z) có các nghiệm thực bội, tức là có thể biểu diễn:


5/22/2010

1 1

1 1 1 11 2

1 21 21 1 1 1 2 1

1 2 3 3 3

( ) ( )( )( ) (1 )(1 )...(1 ) ......

... ...1 1 1 (1 ) (1 )

hk

k k hkh

N z N zX zD z pz p z p z

A A AA Apz p z p z p z p z

− −

− − − −

− − − − −

= =− − −

⎛ ⎞= + + + + + +⎜ ⎟− − − − −⎝ ⎠

1(1 ) ( ) ;ii i z pA p z X z i k−

=⎡ ⎤= − ≠⎣ ⎦

11 (1 ) ( ) ; 1,...,( )! k

h jh

jk k z ph jdA p z X z j h

h j dz

−−

=−⎡ ⎤= − =⎣ ⎦−


19


Trường hợp 2: (bậc tử số bằng bậc mẫu số)


Ví dụ 10: Tìm tất cả các biến đổi Z ngược có thể có của X(z):

5/22/2010

1 1

1 1 1 11 2 3

31 20 1 1 1

1 2 3

( ) ( )( )( ) (1 )(1 )(1 ).......

....1 1 1

N z N zX zD z p z p z p z

AA AAp z p z p z

− −

− − − −

− − −

= =− − −

= + + + +− − −

10 0[ ( )] ; (1 ) ( )

iz i i z pA X z A p z X z−= =⎡ ⎤= = −⎣ ⎦

2

2

1 10( )0 .25

z zX zz

−

−

− + +=

− +


20

Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt)Biểu diễn thành tổng các phân thức sơ cấp:

Xác định các hệ số:

Suy ra:

Các biến đổi Z ngược có thể có:

5/22/2010

[ ]1 2

0 0 20

10( ) 40.25z

z

z zA X zz

− −

= −=

⎡ ⎤− −= = =⎢ ⎥−⎣ ⎦

11 0.5(1 0.5 ) ( ) 4zA z X z−

=⎡ ⎤= − =⎣ ⎦

4 ( ) 4(0.5) ( ) 2( 0.5) ( ); | | 0.5( )

4 ( ) 4(0.5) ( 1) 2( 0.5) ( 1); | | 0.5

n n

n n

n u n u n zx n

n u n u n zδδ

⎧ + + − >=⎨

− − − − − − − >⎩

2 1 21 2

02 2 1 1

1 10 10( )0.25 1 0.25 1 0.5 1 0.5

A Az z z zX z Az z z z

− −

− − −

− + + + −= = = + +

− + − − +

12 0.5(1 0.5 ) ( ) 2zA z X z−

=−⎡ ⎤= + =⎣ ⎦

1 1

4 2( ) 41 0.5 1 0.5

X zz z− −= + +

− +


21


Trường hợp 3: (bậc tử số lớn hơn mẫu số)Chia tử số cho mẫu số để đưa về dạng:

Việc tìm biến đổi Z ngược của Q(z) là dễ dàng, còn với đa thức còn lại dùng trường hợp 1.

Ví dụ 11: Tìm tất cả các biến đổi Z ngược có thể có của X(z):

Biểu diễn thành tổng các phân thức sơ cấp:

Xác định các hệ số: (tương tự trường hợp 1)…..

5/22/2010

1 11

1 1

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

N z R zX z Q zD z D z

− −−

− −= = +

5

2

6( )1 0 .25

zX zz

−

−

+=

−

5 11 3

2 2

6 6 16( ) 16 41 0.25 1 0.25

z zX z z zz z

− −− −

− −

+ += = − − +

− −


22

Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt)5.3 Phân tích hệ thống dùng biến đổi Z:

Xét hệ thống rời rạc có đáp ứng xung h(n). Biến đổi Z của đáp ứng xung được gọi là hàm truyền (transfer function) của hệ thống.

Hàm truyền của hệ thống rời rạc:

Quan hệ giữa ngõ vào- ngõ ra:

5/22/2010

( ) ( ) n

nH z h n z

+∞−

= −∞

= ∑

Hệ thống

rời rạc

H

Tín hiệu ra

x(n) y(n)=h(n)*x(n)

Tín hiệu vào

X(z) Y(z)=X(z)H(z)

H(z) thường được sử dụng để mô tảvà phân tích hệ

thống rời rạc


23

Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt)5.3 Phân tích hệ thống dùng biến đổi Z (tt):

Tính ổn định và nhân quả:

Nhân quả:

Hệ thống LTI nhân quả: h(n) = 0, n<0.

ROC của biến đổi Z của một chuỗi nhân quả nằm ngoài một vòng tròn.

Do vậy, hệ thống LTI nhân quả <=> ROC nằm ngoài vòng tròn có bán kính r.

Ổn định:

Hệ thống LTI ổn định:

Do vậy, ROC của H(z) phải chứa vòng tròn đơn vị.

Tóm lại, một hệ thống LTI là nhân quả và ổn định nếu và chỉ nếu mọi cực của H(z) đều nằm trong vòng tròn đơn vị.

5/22/2010

| ( ) |n

h n+∞

= −∞

< ∞∑1| ( ) | , | | 1

nh n z z

+∞−

= −∞

⇒ < ∞ =∑-1

ROCImZ

0 1*pi *p1*p2*pm ReZ


24

Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt)5.3 Phân tích hệ thống dùng biến đổi Z (tt):

Ví dụ 12: Hàm truyền của một hệ thống LTI:

Tìm đáp ứng xung khi hệ thống là nhân quả. Lúc này, hệ có ổn định không?

Lời giải:

Viết lại:

H(z) có hai cực tại z = 1/2 và z = 3. Do đó, để thỏa điều kiện nhân quả thì

ROC: |z|>3. Đáp ứng xung của hệ thống:

Lúc này, hệ thống sẽ không ổn định do ROC không chứa vòng tròn đơn vị.

5/22/2010

1

1 2

3 4( )1 3 .5 1 .5

zH zz z

−

− −

−=

− +

1

1 2 1 1

3 4 1 3( )1 3 .5 1 .5 1 0.5 1 3

zH zz z z z

−

− − − −

−= = −

− + − −

1( ) ( ) 2.3 ( )2

nnh n u n u n⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠


25

Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt)Bài tập:

5.1 (bài 8.1.3 trang 311)

5.2 (bài 8.2.1 trang 312)

5.3 (bài 8.2.2 trang 312)

5.3 (bài 8.2.3 trang 312)

5.4 (bài 8.2.9 trang 313)

5.5 (bài 8.2.11 trang 313)

5.6 (bài 8.3.6 trang 315)

5.7 (bài 8.3.9 trang 315)

5.8 (bài 8.4.1 trang 315)

5.9 (bài 8.5.2 trang 316)

5.10 (bài 8.5.3 trang 316)

5/22/2010

Documents

Chương 5 - stu.edu.vnstu.edu.vn/uploads/documents/310810-112620.pdf · Bài giảng: Xửlý sốtín hiệu 2 Chương 5 BIẾN ĐỔI Z 5.1 Biến đổi Z: ¾là phép chuyển