1

MỤC LỤC

Trang

Lời cam đoan …………………………………………………………………………i

Danh mục các từ viết tắt……..……………………………………………………….ii

Tóm tắt kết quả đề tài………………………………………………………………..iii

Summary……………………………………………………………………………..iv

MỞ ĐẦU............................................................................................................... 3

1. Lí do chọn đề tài ..................................................................................................... 3

2 Mục tiêu nghiên cứu................................................................................................ 4

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ......................................................................... 4

4 Phương pháp nghiên cứu ....................................................................................... 4

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn…………………………………………………..5

6. Cấu trúc của đề tài .................................................................................................. 5

NỘI DUNG

Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄNError! Bookmark not

defined.

1.1. Tổng quan về bài toán ......................................................................................... 6

1.1.1. Bài toán là gì? ............................................................................................... 6

1.1.2. Vị trí và chức năng của bài tập Toán........................................................... 7

1.1.3. Các yêu cầu của lời giải bài tập Toán.......................................................... 9

1.2. Khái quát về môn học PTVP .............................................................................10

1.2.1. Nội dung chương trình. ..............................................................................10

1.2.2. Một số đặc điểm cơ bản về PTVPTT không thuần nhất. .........................12

1.2.3. Các phương pháp tìm nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất. .....16

1.3. Khảo sát thực trạng khả năng giải bài tập Toán tìm nghiệm riêng PTVPTT

không thuần nhất của sinh viên SP Toán, trường Đại hoạc Đồng Tháp ...............18

1.3.1 Phương pháp khảo sát...................................................................................18

1.3.2. Kết quả khảo sát..........................................................................................18

1.3.3. Những sai sót cơ bản của sinh viên SP Toán trường Đại học Đồng Tháp khi

tìm nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất .......................................................20

Chương 2. CÁC BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC SAI SÓT KHI TÌM NGHIỆM RIÊNG CỦA

PTVPTT KHÔNG THUẦN NHÂT ...........................................................................28

2

2.1. Các Nguyên tắc chỉ đạo việc sử dụng các biện pháp sư phạm nhằm hạn chế và

sửa chữa các sai sót ...................................................................................................28

2.2.1. Nguyên tắc 1: Tính kịp thời .......................................................................28

2.2.2. Nguyên tắc 2. Tính chính xác ....................................................................28

2.2.3. Nguyên tắc 3: Tính giáo dục .......................................................................29

2.2. Các biện pháp khắc phục. .................................................................................29

2.3.1. Biện pháp 1: Trang bị đầy đủ, tính chính xác các kiến thức về việc tìm

nghiệm của PTVPTT không thuần nhất........................................................................29

2.3.2. Biện pháp 2: Phân tích làm rõ các sai sót và giúp sinh viên khắc phục các

sai sót đó. ........................................................................................................................34

2.3.3. Biện pháp 3: Rèn cho sinh viên về tính chính xác trong giải các bài toán tìm

nghiệm liên quan đến các phép toán Đại số, Đạo hàm, Tích phân. ............................41

Chương 3. THỰC NGHIỆM..................................................................................45

3.1. Mục đích và nội dung thực nghiệm...................................................................45

3.2. Tổ chức thực nghiệm .........................................................................................45

3.2. Kết quả thực nghiệm ..........................................................................................46

KẾT LUẬN ..........................................................................................................48

TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................................49

3

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài

Theo luật Giáo dục số 38/2005/QH11, mục tiêu giáo dục: ”là đào tạo con người

Việt Nam phát triển toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khoẻ, thẩm mỹ và nghề nghiệp,

trung thành với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội; hình thành và bồi dưỡng

nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp xây

dựng và bảo vệ Tổ quốc.” Từ đó, đã góp phần thúc đẩy ngành giáo dục và đào tạo phải

thay đổi, phát triển nhằm đáp ứng yêu cầu đặt ra.

Để đào tạo được những công dân toàn diện về mọi mặt, một công dân có trình

độ cao, đáp ứng theo xã hội công nghiệp hóa – hiện đại hóa đất nước phát triển theo

hướng xã hội chủ nghĩa, thì theo luật Giáo dục số 38/2005/QH11 nói chung trong đó

có giáo dục Đại học cần “Đào tạo trình độ đại học giúp người học nắm vững kiến thức

chuyên môn và có kỹ năng thực hành thành thạo, có khả năng làm việc độc lập, sáng

tạo và giải quyết những vấn đề thuộc chuyên ngành được đào tạo.”

Để làm được điều này, trước hết người học của trường Đại học Đồng Tháp cần

có thái độ học tập đúng đắn, nghiêm túc trong thời kỳ chuyển hóa từ học tập theo

chương trình niên chế sang chương trình hệ thống tín chỉ. Trong đó có ngành sư phạm

Toán – một ngành đòi hỏi người học cần có thái độ nghiệm túc, tích cực, tự học và tự

nghiên cứu.

Cùng với sự đổi mới trong cách học, cách dạy của các phân môn trong chuyên

ngành sư phạm Toán, môn học PTVP cũng không ngoại lệ. Đó là điều tất yếu, cách

dạy và học cần đổi mới phù hợp với yêu cầu đặt ra, yêu cầu người học tích cực trong

hoạt động học phải tự học hỏi như thế nào? Cách học ra sao? Làm sao để chiếm lĩnh tri

thức mà không nhầm lẫn?....

Môn học PTVP dù đã được nghiên cứu cách đây khá lâu và tương đối hoàn

chỉnh, chẳng hạn các dạng toán về phương trình vi phân thường, phương trình đạo

hàm riêng, phương trình vi phân chậm và các ứng dụng của chúng trong lĩnh vực đời

sống xã hội,… Do đó, việc vận dụng chúng cần chính xác, rõ ràng và không có sai sót.

Tuy nhiên, trong quá trình nghiên cứu môn học này, chúng tôi thấy vẫn còn rất nhiều

vấn đề cần lưu ý khi giảng dạy và học tập, vì đây không những là môn học bắt buộc

4

cho các lớp ĐHSToan, CĐSToan và các lớp ngoài chuyên ngành mà nó là công cụ

hữu ích cho nhiều ngành khoa học khác. Đặc biệt, việc tìm nghiệm của lớp phương

trình vi phân tuyến tính (PTVPTT) không thuần nhất đã có các bước giải tương đối rõ

ràng, tuy nhiên người học vẫn còn rất nhiều sai sót khi viết nghiệm hoặc tính toán

trong quá trình giải PTVP. Do đó tôi chọn đề tài “Những sai sót thường gặp của sinh

viên khi tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất”

nhằm góp một phần giúp người học tránh được những sai sót không nên có.

2. Mục tiêu nghiên cứu

- Xác định các sai sót cơ bản của người học khi giải bài tập Toán tìm nghiệm

riêng của PTVPTT không thuần nhất.

- Đưa ra một số biện pháp nhằm hạn chế và khắc phục các sai sót của người

học khi tìm nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất.

Để thực hiện mục tiêu trên, đề tài cần giải quyết các vấn đề

+ Cần hiểu được bài tập toán là gì?

+ Bài tập toán có vị trí, chức năng như thế nào?

+ Bài tập toán có các yêu cầu gì?

+ Những sai sót nào mà người học thường gặp khi tìm nghiệm riêng của

PTVPTT không thuần nhất?

+ Những giải pháp nào giúp người học hạn chế và khắc phục các sai sót đó?

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Nghiên cứu các sai sót thường gặp của người học tìm nghiệm của PTVPTT

không thuần nhất.

+ Phạm vi nghiên cứu: Người học 6 lớp ĐHSToan09AB; CĐSToan 10A,B;

.ĐHSToan 10A,B của trường Đại học Đồng Tháp.

4. Phương pháp nghiên cứu + Nghiên cứu lý luận, từ cơ sở lý luận làm sáng tỏ các vấn đề bài tập Toán,

phân tích giúp người học hạn chế, phát hiện và sửa chữa sai sót khi tìm nghiệm riêng

của PTVPTT không thuần nhất.

+ Phương pháp điều tra quan sát: thông qua việc giải bài tập, bài kiểm tra, phiếu

điều tra trắc nghiệm tìm hiểu những vấn đề mà người học thường mắc sai sót.

5

+ Phương pháp thực nghiệm: nhằm khẳng định tính chính xác của các sai sót

cho người học khi tìm nghiệm riêng.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Nếu hệ thống được những sai sót thường gặp trong việc tìm nghiệm của

PTVPTT không thuần nhất và đề xuất những phương pháp giải quyết phù hợp thì sẽ

giúp người học học tốt hơn và giúp cho giảng viên dạy tốt hơn nội dung phần này, qua

đó góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn PTVP.

6. Cấu trúc của đề tài

Ngoài Mở đầu, kết luận, lời cam đoan và tài liệu tham khảo thì nội dung chính

được trình bày trong 3 chương.

Chương 1 Trình bày cơ sở lý luận và thực tiễn và đồng thời chỉ ra những sai sót

thường gặp của Sinh viên trong quá trình tìm nghiệm riêng của PTVPTT không thuần

nhất cấp n.

Chương 2 Phân tích và đưa ra các biện pháp để người học khắc phục những sai

sót trên.

Chương 3 Đưa ra kết quả khảo sát thực nghiệm của các lớp đã giảng dạy các

năm học 2010 – 2011 và 2011 – 2012.

6

NỘI DUNG

Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Tổng quan về bài toán

1.1.1. Bài toán là gì?

Bài toán được hiểu là: “Tất cả những câu hỏi cần giải đáp về một kết quả chưa

biết cần, tìm bắt đầu từ một số dữ kiện, hoặc về một phương pháp cần khám phá, mà

theo phương pháp này sẽ đạt được kết quả đã biết”(Từ điển Petit Robert, trích theo Lê

Văn Tiến, 2005). Polya lại viết: “Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm hiểu một cách

có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trong thấy rõ ràng nhưng

không thể đạt được ngay”.

Ví dụ 1.1: Khi viết nghiệm riêng của một PTVPTT không thuần nhất, ta cần có

những phải biết dữ kiện nào? Chẳng hạn, đối với phương trình

1 2 3''' ( ) '' ( ) ' ( ) ( )y p x y p x y p x y f x có hệ nghiệm cơ bản của PTVP thuần nhất là

1 2 3{ ; ; }y y y thì cách viết như thế nào? Hay cách viết nghiệm riêng của phương trình

(4) 24 '' 2 xy y x e cần xét những tính chất nào? Hoặc khi viết nghiệm riêng của

phương trình '' 3 ' 2 siny y y x x ta cần những yếu tố nào?

Rubinstein viết: “Một vấn đề hoặc một tình huống có vấn đề được xác định

trước hết ở chỗ trong nó có cái chưa biết, cũng là cái lỗ hổng cần lấp đầy, có cái x

nào đã cần được thay bởi giá trị tương ứng. Như vậy một tình huống có vấn đề luôn

luôn chứa cái gì đã còn là ẩn - trong quan hệ với cái đã cho - cần được xác định dưới

dạng hiện”. Ông cũng viết “Bài toán là sự phát biểu vấn đề bằng lời”.

Chẳng hạn, để viết nghiệm tổng quát của PTVPTT không thuần nhất, ta cần biết

những gì? Ngoài cách viết nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất, còn cách viết

nghiệm khác không? Có phải mọi PTVPTT không thuần nhất đều có thể sử dụng

phương pháp hệ số bất định để tìm nghiệm riêng?

Ví dụ 1.2 Để viết được nghiệm riêng của phương trình '' 3 ' 2 xy y y xe bằng

phương pháp hệ số bất định, trước hết phải nhận xét được hàm ( ) xf x xe có gì đặc

biệt? Rõ ràng hàm f(x) có =1 là nghiệm phương trình đặc trưng, nên phương trình đã

7

cho có một nghiệm riêng: * 2( ) xy Ax Bx e ; tương tự, phương trình 2 '' 3 ' 2 xx y xy y xe có phải cũng được một nghiệm riêng: * 2( ) xy Ax Bx e ?

Bài toán là yêu cầu cần có để đạt được mục đích nào đó. Với cách hiểu này bài

toán đồng nghĩa với đề toán, bài tập, câu hỏi, vấn đề, nhiệm vụ,….Mục đích nêu trong

bài toán có thể là một tập hợp bất kỳ (của các số, các hình, các biểu thức,..) hoặc sự

đúng đắn của một hoặc nhiều kết luận….

1.1.2. Vị trí và chức năng của bài tập Toán

a. Vị trí

Dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với người học, có thể xem việc giải

toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài tập Toán ở hầu hết các học

phần là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp

người học nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo

ứng dụng toán học vào thực tiễn. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc giải bài tập Toán có

vai trò quyết định đối với chất lượng dạy và học toán. Trong thực tiễn dạy học, bài tập

Toán được sử dụng với những dụng ý khác nhau. Một bài tập có thể dùng để tạo tiền

đề xuất phát, để gợi động cơ để làm việc với nội dung mới. Ví dụ trong việc xác định

nghiệm riêng của phương trình '' 3 ' 2 xy y y xe , ta có thể viết nghiệm riêng bằng

phương pháp biến thiên hằng số: * 21 2( ) ( )x xy C x e C x e . Tuy nhiên, để viết nghiệm

riêng của phương trình '' 3 ' 2 sinxy y y xe x bằng phương pháp biến thiên hăng số

thì không phải dễ; hoặc để củng cố hoặc kiểm tra,…. .Chẳng hạn, khi nghiên cứu xong

vấn đề về nghiệm riêng của PTVP bằng phương pháp hệ số bất định, có thể cho người

học viết nghiệm riêng của các phương trình sau:

a. '' 3 ' 2 xy y y xe ;

b. '' 3 ' 2 siny y y x x ;

c. '' siny y x x ;

d. '' 2 ' 2 sinxy y y xe x ;

e. 3''' 3 '' 3 4y y x x ;

f. 3''' 3 '' 3 4 cosy y x x x , …

8

Tất nhiên, việc giải một bài tập cụ thể thường không nhằm vào mục đích nào đó

mà thường bao hàm những ý đồ nhiều mặt như đã nêu. Mỗi bài tập Toán cụ thể được

đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh

hay tàng ẩn những chức năng khác nhau. Chẳng hạn, khi viết nghiệm riêng của

phương trình '' 3 ' 2 xy y y xe ta cần xét điều kiện gì? Hay dựa vào đâu để viết chính

xác nghiệm riêng phương trình '' 3 ' 2 siny y y x x . Tóm lại vị trí của bài tập Toán là

hướng đến việc thực hiện các mục đích dạy học Toán.

b. Chức năng

Chức năng dạy học

- Bài tập củng cố kiến thức, rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo những vấn đề lý thuyết đã

học (khái niệm, định lí, quy tắc,…). Qua đó người học hiểu sâu hơn và biết vận dụng

những kiến thức đã học vào việc giải quyết những tình huống cụ thể.

Chẳng hạn, có thể đưa ra các bài tập tương tự,

Ví dụ1.3 Giải các phương trình sau

a) '' 3 ' 2 xy y y xe ;

b) '' 3 ' 2 siny y y x x ;

c) '' siny y x x ;

d) '' 2 ' 2 sinxy y y xe x ;

e) 3''' 3 '' 3 4y y x x ;

f) 3''' 3 '' 3 4 cosy y x x x .

- Có khi bài tập lại là một định lí, vì lí do nào đó không đưa vào lí thuyết. Cho

nên qua việc giải bài tập người học mở rộng được tầm hiểu biết của mình.

Chức năng giáo dục

Qua việc giải bài tập mà hình thành cho người học thế giới quan duy vật biện

chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức của con người lao động mới

(sáng tạo, kỉ luật, cần cù, chịu khó, óc thẩm mỹ).

Chức năng phát triển

Bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy cho người học, đặc biệt là rèn luyện

những thao tác trí tuệ và hình thành những phẩm chất tư duy khoa học.

9

Ví dụ 1.4 Giúp người học có năng lực nhận biết chính xác các cách viết nghiệm

riêng của PTVPTT không thuần nhất; Chẳng hạn viết chính xác các nghiệm riêng

phương trình

a) '' 3 ' 2 siny y y x x có nghiệm riêng là * ( ) cos ( )s inxy Ax B x Cx D . (Vì

i = i không là nghiệm phương trình đặc trưng)

b) '' siny y x x có nghiệm riêng là * cos sinxy Ax x Bx . (Vì i = i

không là nghiệm phương trình đặc trưng)

c) '' xy y xe có nghiệm riêng là * ( ) xy Ax B e . (Vì = 1 không là nghiệm

phương trình đặc trưng)

d) 3''' 3 4y y x x có nghiệm riêng là * 3 2y Ax Bx Cx D . (Vì = 0

không là nghiệm phương trình đặc trưng)

Chức năng kiểm tra

Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy và học toán, đánh giá khả năng độc

lập học toán và trình độ phát triển của người học.

Trên thực tế các chức năng trên không bộc lộ riêng lẻ mà nó kết hợp chặt chẽ

thống nhất.

1.1.3. Các yêu cầu của lời giải bài tập Toán

Theo GS TS Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn toán, Nhà

xuất bản Đại học sư phạm. Lời giải một bài toán có các yêu cầu sau

a. Lời giải một bài toán phải không có sai sót

Kết quả cuối cùng phải là một đáp án đúng, một biểu thức phải thỏa mãn các

yêu cầu đề ra. Kể cả các bước trung gian cũng phải là một đáp số đúng. Như vậy lời

giải không thể chứa những sai sót khi tính toán, vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận.

Thông thường người học sai sót do các nguyên nhân sau:

- Kiến thức toán học

- Phương pháp suy luận bài toán như suy diễn và quy nạp.

- Tính toán sai do sử dụng ngôn ngữ, ký hiệu chưa đúng với yêu cầu của đề toán

đặt ra.

Ví dụ 1.5 Khi viết nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất, người học cần

xác định những mục tiêu nào của nội dung môn học phải có, biết phát triển như thế nào?

Chẳng hạn, cách viết nghiệm riêng phương trình ( ) ( 1)1 1.... ' ( )n n

n ny a y a y a y f x

10

khi biết hàm ( ) ( )xmf x e P x , với Pm(x) là đa thức bậc m và không là nghiệm của

phương trình đặc trưng thì phương trình đã cho có một nghiệm * ( )xmy e P x , bây giờ

( ) ( )mf x P x chỉ là một đa thức, thì cách viết nghiệm riêng như thế nào?

b. Lời giải phải có cơ sở lý luận

Khi giải một bài toán cần tuân thủ những quy tắc sau:

- Luận đề phải nhất quán.

- Luận cứ phải đúng.

- Luận chứng phải logic.

c. Lời giải phải đầy đủ

Khi giải một bài toán không được bỏ sót một trường hợp nào, một khả năng

nào, một chi tiết nào. Giảng viên yêu cầu người học xét tất cả các trường hợp có thể

xảy ra của bài toán.

d. Lời giải phải đơn giản nhất

Khi giải một bài toán cần phải tìm ra nhiều cách giải khác nhau, sau đã chọn

cách giải ngắn nhất, hay nhất và hợp lý nhất.

1.2. Khái quát về môn học PTVP

1.2.1. Nội dung chương trình

Chương I: PHƯƠNG TÌNH VI PHÂN CẤP MỘT

1.1. Phương trình vi phân cấp một

1.1.1. Các khái niệm mở đầu

1.1.2. Điều kiện Lipsit, dãy xấp xỉ Picard – Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

1.2. Các phương trình vi phân cấp một thường gặp

1.2.1. Phương trình biến số phân ly và phân ly được

1.2.2. Phương trình thuần nhất

1.2.3. Phương trình tuyến tính và phương trình Becnuli

1.2.4. Phương trình Ricati

1.2.5. Phương trình vi phân toàn phần, thừa số tích phân

1.3. Các phương trình vi phân cấp một chưa giải ra đạo hàm

1.3.1. Phương trình không chứa hàm cần tìm

1.3.2. Phương trình không chứa biến số độc lập

11

1.3.3. Phương trình tổng quát – Phương trình Lagrange và phương trình

Clairaut

1.4. Nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân – Quỹ đạo trực giao

1.4.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

1.4.2. Tìm nghiệm kỳ dị bằng phương pháp p - biệt tuyến

1.4.3. Tìm nghiệm kỳ dị bằng phương pháp c - biệt tuyến

Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO

2.1. Các khái niệm – Điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm

2.1.1. Các khái niệm ban đầu

2.1.2. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

2.1.3. Các phương trình vi phân cấp cao giải được bằng cầu phương

2.2. Lý thuyết tổng quát về phương trình vi phân cấp n

2.2.1. Các khái niệm

2.2.2. Lý thuyết tổng quát về phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp n

2.2.3. Phương trình vi phân tuyến tính không thuầ nhất

2.3. Phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng cấp n

2.3.1. PTVPTT thuần nhất cấp n với hệ số hằng

2.3.2. PTVPTT không thuần nhất cấp n với hệ số hằng

2.3.3. Một số tính chất về PTVPTT cấp hai

Chương 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

3.1 Hệ phương trình vi phân cấp một

3.1.1. Các khái niệm

3.1.2. Mối quan hệ giữa PTVP cấp n và hệ gồm n PTVP cấp một

3.1.3. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

3.1.4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp khử và phương pháp tổ hợp

giải tích

3.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một

3.2.1. Hệ PTVP tuyến tính thuần nhất

3.2.2. Hệ PTVP tuyến tính không thuần nhất

3.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một với hệ số hằng

3.3.1. Hệ PTVP tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng

3.3.2. Hệ PTVP tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng

12

1.2.2. Một số đặc điểm cơ bản về PTVPTT không thuần nhất

a. Các khái niệm [3, tr132-180]

Định nghĩa 1.1 Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp n là

PTVP có dạng ( ) ( 1)

0 1 1( ) ( ) .... ( ) ' ( ) ( )n nn na x y a x y a x y a x y x

với 0{ ( )} , ( )ni ia x x là những hàm liên tục trên I R và 0 ( ) 0a x , Ix .

Gọi ( ) ( 1)1 1L[ ] ( ) .... ( ) ' ( )n n

n ny y p x y p x y p x y là toán tử vi phân tuyến tính.

Suy ra ( ) ( 1)1 1L[ ] ( ) .... ( ) ' ( ) ( )n n

n ny y p x y p x y p x y f x , (1.1)

với 0 01

( ) ( )p ( ) , ( ) .( ) ( )

n

ii

i

a x xx f xa x a x

Định nghĩa 1.2 Nếu ( ) 0f x , Ix thì ( ) ( 1)

1 1( ) .... ( ) ' ( ) 0n nn ny p x y p x y p x y (1.2)

được gọi là PTVPTT thuần nhất cấp n.

Định nghĩa 1.3 Nếu 1p ( ) n

i i ix a

là những hằng số thì phương trình (1.1)

được viết lại ( ) ( 1)

1 1.... ' ( ) ( )n nn ny a y a y a x y f x (1.3)

phương trình (1.3) được gọi là PTVPTT không thuần nhất cấp n với hệ số hằng

Nếu phương trình (1.3) có ( ) 0f x thì phương trình ( ) ( 1)

1 1.... ' 0n nn ny a y a y a y

được gọi là PTVPTT thuần nhất cấp n với hệ số hằng số.

Định nghĩa 1.4 Phương trình

11 1.... 0n n

n na a a (1.4)

được gọi là phương trình đặc trưng của PTVPTT thuần nhất cấp n với hệ số hằng.

Định nghĩa 1.5 Hàm ( )y x khả vi đến cấp n được gọi là nghiệm của phương

trình (1.2) trên I khi và chỉ khi nó thỏa mãn điều kiện

( ) ( 1)1 1( ) ( ) ( ) .... ( ) '( ) ( ) ( ) 0n n

n nx p x x p x x p x x , Ix .

Định nghĩa 1.6 Hàm 1 2( , , ,..., )ny x C C C được gọi là nghiệm tổng quát của

phương trình (1.2) khi và chỉ khi thỏa mãn 2 điều kiện:

- Hàm 1 2( , , ,..., )ny x C C C là nghiệm của phương trình (1.2), Ix .

13

- Với mọi ' '' ( 1)0 0 0 0( , , ,..., )nx y y y ( 0 Ix ) thỏa mãn ( ) ( )

0 0( ), 0,1, 2,....,k ky y x k n

tồn tại duy nhất nghiệm 0 0 01 2, ,..., nC C C .

Định nghĩa 1.7 Giả sử hệ hàm 1y ( ) n

i ix

khả vi đến cấp n-1 trên I R , khi đó,

định thức Wronsky của hệ hàm đã cho là

W(x) =

1 2

1 2

( 1) ( 1) ( 1)1 2

y ( ) y (x) ............... y (x)y '(x) y '(x) .............. y '(x)..................................................y (x) y (x) ........ y (x)

n

n

n n nn

x

Định nghĩa 1.8 Hệ n nghiệm 1y ( ) n

i ix

độc lập tuyến tính của phương trình

(1.2) được gọi là hệ nghiệm cơ bản của nó.

b. Các tính chất

Định lý 1.1

+ Nếu 1 2( ), ( )y x y x là nghiệm của phương trình (1.2) thì tổng 1 2( ) ( )y x y x là

nghiệm của phương trình (1.2);

+ Nếu ( )y x là nghiệm phương trình (1.2) thì tích ( )Cy x với C là hằng số bất kỳ

cũng là nghiệm của phương trình (1.2).

Chứng minh

+ Ta có ( ) ( ) ( )1 2 1 2 , 0,1, 2,..., .k k ky y y y k n ;

Do 1 2L[ ] 0;L[ ] 0y y , suy ra 1 2 1 2L[ ] L[ ] L[ ] 0y y y y , nên 1 2y ( ) y (x)x là

nghiệm phương trình (1.2).

+ Ta có ( ) ( )1 1 ; 0,1, 2,..., .k kCy Cy k n ;

Do 1L[ ] 0;y , suy ra 1 1L[C ] L[ ] 0y C y , nên 1Cy ( )x cũng là nghiệm phương

trình (1.2).

* Nhận xét: Nếu 1y ( ) m

i ix

là hệ nghiệm phương trình (1.2) thì 1

( )m

i ii

y C y x

; là

nghiệm của phương trình (1.2).

Định lý 1.2 Giả sử hệ hàm 1y ( ) n

i ix

là nghiệm của phương trình (1.2) khi đó

điều kiện cần và đủ để hệ hàm 1y ( ) n

i ix

phụ thuộc tuyến tính trên I R là định thức

Wronsky W(x) = 0 với mọi x I .

14

Chứng minh

Điều kiện cần: Theo giả thiết hệ hàm 1y ( ) n

i ix

phụ thuộc tuyến tính nên tồn tại

bộ giá trị 1

ni i

không đồng thời bằng 0 sao cho:

1

y ( ) 0n

i ii

x

.

Lấy đạo hàm 2 vế của đẳng thức trên đến cấp n-1, ta được

1 1 2 2

1 1 2 2

( 1) ( 1) ( 1)1 1 2 2

y ( ) + y (x) +.............+ y (x)=0y '(x) + y '(x) +.............. + y '(x)=0

..................................................y (x)+ y (x)+ ........ + y (x) 0

n n

n n

n n nn n

x

Do 1

ni i

không đồng thời bằng 0 nên

W(x) =

1 2

1 2

( 1) ( 1) ( 1)1 2

y ( ) y (x) ............... y (x)y '(x) y '(x) .............. y '(x)..................................................y (x) y (x) ........ y (x)

n

n

n n nn

x

= 0

Điều kiện đủ

Giả sử W(x) =

1 2

1 2

( 1) ( 1) ( 1)1 2

y ( ) y (x) ............... y (x)y '(x) y '(x) .............. y '(x)..................................................y (x) y (x) ........ y (x)

n

n

n n nn

x

= 0, x I

Lấy bất kỳ 0x I và xét hệ phương trình đại số tuyến tính

1 1 0 2 2 0 0

1 1 0 2 2 0 0

( 1) ( 1) ( 1)1 1 0 2 2 0 0

y ( ) + y (x ) +.............+ y (x )=0y '(x ) + y '(x ) +.............. + y '(x )=0

..................................................y (x )+ y (x )+ ........ + y (x

n n

n n

n n nn n

x

) 0

(1.5)

Do W(x0) = 0, nên hệ phương trình có nghiệm không tầm thường 0

1

n

i i

.

Xét hàm: 0 0 01 1 2 2( ) y ( ) + y (x) +.............+ y (x)n ny x x , (1.6)

theo định lý 1.1 ta có y(x) là nghiệm của phương trình (1.2).

Mặt khác, 0

1

n

i i

là nghiệm của hệ phương trình (1.5), nên từ (1.5) và (1.6) ta có

( ) ( )0 0y ( ), 0,1,2,..., -1k ky x k n

15

Do phương trình (1.2) có nghiệm tầm thường z(x) = 0 và thỏa mãn ( )

0( )=0, 0,1, 2,..., -1kz x k n . Nên theo định lý tồn tại và duy nhất nghiệm ta phải có

( ) ( )z x y x .

Hay 0 0 01 1 2 2y ( ) + y (x) +.............+ y (x)=0n nx . Vì 0

1

n

i i

không đồng thời bằng 0

nên hệ hàm 1y ( ) n

i ix

phụ thuộc tuyến tính trên I R .

* Nhận xét: Nếu hệ hàm 1y ( ) n

i ix

là nghiệm của phương trình (1.2) thì hoặc

W(x) = 0 với mọi x I hoặc W(x) ≠ 0 với mọi x I .

Định lý 1.3 Nếu 1y ( ) n

i ix

là hệ nghiệm cơ bản của phương trình (1.2) thì

1 1 2 2 ... n ny y C y C y C là nghiệm tổng quát của phương trình (1.2).

Chứng minhTa có 1 1 2 2 ... n ny y C y C y C là nghiệm của phương trình (1.2)

Giả sử ( 1) ( 1)0 0 0 0 0( ; ; '; '';...; )n nx y y y y D R thỏa

y(x0) = y0; y’(x0) = y0’; y’’(x0) = y0’’; ….; y(n-1)(x0) = y0(n-1)

Khi đó:

1 1 0 2 2 0 0 0

1 1 0 2 2 0 0 0

( 1) ( 1) ( 1)1 1 0 2 2 0

y ( ) + C y (x ) +.............+C y (x )=yy '(x ) + y '(x ) +.............. + y '(x )=y '

..................................................y (x )+ y (x )+ ........ + y

n n

n n

n n nn n

C xC C C

C C C ( 1)0 0(x ) y n

(1.7)

Do hệ 1y ( ) n

i ix

là hệ nghiệm cơ bản của phương trình (1.2) nên nó độc lập

tuyến tính, suy ra:

1 0 2 0 0

1 0 2 0 0

( 1) ( 1) ( 1)1 0 2 0 0

y ( ) y ( ) ............... y ( )y '( ) y '( ) .............. y '( )

0;..................................................y ( ) y ( ) ........ y ( )

n

n

n n nn

x x xx x x

x x x

hay hệ (1.7) có nghiệm duy nhất 0

1C

n

i i.

Nên 1 1 2 2 ... n ny y C y C y C là nghiệm tổng quát của phương trình (1.2).

Tính chất 1.4 Nếu %y là nghiệm tổng quát của PTVPTT thuần nhất (1.2) và *y

là một nghiệm của PTVPTT không thuần nhất (1.1) thì % *y y y là nghiệm tổng quát

của phương trình (1.1).

Chứng minhGiả sử: % 1 1 2 2 ... n ny y C y C y C là nghiệm tổng quát của phương

trình (1.2) và *y là một nghiệm của phương trình (1.1), khi đó % *y y y là nghiệm của

phương trình (1.1), vì % %* *L[ ] L[ ] L[ ] L[y ] ( )y y y y f x

16

Ta cần chứng minh % *y y y là nghiệm tổng quát: với mỗi điểm ( 1) ( 1)

0 0 0 0 0( ; ; '; '';...; )n nx y y y y D R thỏa

y(x0) = y0; y’(x0) = y0’; y’’(x0) = y0’’; ….; y(n-1)(x0) = y0(n-1)

Ta có:

*1 1 0 2 2 0 0 0 0

*1 1 0 2 2 0 0 0 0

( -1) ( -1)1 1 0 2 2 0

( ) ( ) ............. ( ) ( )

'( ) '( ) .............. '( ) ' '( )..................................................

( ) ( )

n n

n n

n n

C y x C y x C y x y y xC y x C y x C y x y y x

C y x C y x

( -1) ( 1) *( 1)0 0 0........ ( ) ( )n n n

n nC y x y y x

Do

1 0 2 0 0

1 0 2 0 0

( 1) ( 1) ( 1)1 0 2 0 0

y ( ) y ( ) ............... y ( )y '( ) y '( ) .............. y '( )

0;..................................................y ( ) y ( ) ........ y ( )

n

n

n n nn

x x xx x x

x x x

hay hệ trên có nghiệm duy nhất 0

1C

n

i i.

Nên % *y y y là nghiệm tổng quát của phương trình (1.1)

Tính chất 1.5 Nếu 1 2;y y lần lượt là các nghiệm tổng quát của PTVPTT không

thuần nhất 1L[ ] ( )y f x và 2L[ ] ( )y f x thì 1 2y y y là nghiệm tổng quát của phương

trình 1 2L[ ] ( ) ( )y f x f x . Đây được gọi là nguyên lý chồng chất nghiệm.

Chứng minh tương tự tính chất 1.4

Tính chất 1.6 Nếu hàm y U iV là nghiệm của phương trình ( ) ( 1)

1 1L[ ] .... ' 0n nn ny y a y a y a y với ,U V là các hàm thực thì ,U V là các nghiệm

của phương trình L[ ] 0y .

Chứng minhTheo giả thiết: y U iV là nghiệm của phương trình L[ ] 0y nên

L[ ] L[ ] L[ ] L[ ] 0y U iV U i V suy ra vì L[ ] 0U và L[ ] 0V hay ,U V là các

nghiệm của phương trình L[ ] 0y .

1.2.3. Các phương pháp tìm nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất

Ta đã biết, để tìm được nghiệm tổng quát của PTVPTT không thuần nhất, trước

hết cần có nghiệm tổng quát của PTVPTT thuần nhất và một nghiệm (nghiệm riêng)

của PTVPTT không thuần nhất. Việc xác định có thể dựa vào các cách sau:

Phương pháp biến thiên hằng số đây là phương pháp tổng quát để tìm

nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất *y :

Giả sử phương trình ( ) ( 1)1 1( ) .... ( ) ' ( ) 0n n

n ny p x y p x y p x y

17

có nghiệm tổng quát là % 1 1 2 2 3 3 .... n ny C y C y C y C y , khi đó phương trình

( ) ( 1)1 1( ) .... ( ) ' ( ) ( )n n

n ny p x y p x y p x y f x sẽ có một nghiệm:

*1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) .... ( )n ny C x y C x y C x y C x y ,

với các hàm 1 2 3( ), ( ), ( ),...., ( )nC x C x C x C x được xác định từ hệ:

' ' ' '1 1 2 2 3 3

' ' ' ' ' ' ' '1 1 2 2 3 3

' ( 2) ' ( 2) ' (1 1 2 2 3 3

( ) ( ) ( ) .... ( ) 0

( ) ( ) ( ) .... ( ) 0.........................................................................

( ) ( ) ( )

n n

n n

n n n

C x y C x y C x y C x yC x y C x y C x y C x y

C x y C x y C x y

2) ' ( 2)

' ( 1) ' ( 1) ' ( 1) ' ( 1)1 1 2 2 3 3

.... ( ) 0

( ) ( ) ( ) .... ( ) ( )

nn n

n n n nn n

C x yC x y C x y C x y C x y f x

(1.8)

Phương pháp hệ số bất định: phương pháp này thường dung cho những

PTVPTT không thuần nhất với hệ số hằng, có vế phải là những hàm đặc biệt, mà nếu

dùng phương pháp biến thiên hằng số sẽ gặp rất khó khăn trong quá trình xác định các

hàm 1 2 3( ), ( ), ( ),...., ( )nC x C x C x C x .

+ Nếu hàm ( ) ( )xmf x e P x , với Pm(x) là đa thức bậc m và không là nghiệm

của phương trình đặc trưng (1.4) khi đó phương trình (1.3) sẽ có một nghiệm: * ( )x

my e P x với ( )mP x là đa thức bậc m có các hệ số được xác định, khi thế

* ( )xmy e P x vào phương trình (1.3) và áp dụng phương pháp hệ số bất định.

+ Nếu hàm ( ) ( )xmf x e P x , với Pm(x) là đa thức bậc m và là nghiệm bội k

của phương trình đặc trưng (1.4) khi đó phương trình (1.3) sẽ có một nghiệm: * ( )k x

my x e P x với ( )mP x cũng là đa thức bậc m có các hệ số được xác định tương tự

như trên, tức là cũng thế * ( )k xmy x e P x vào phương trình (1.3) và áp dụng phương

pháp hệ số bất định.

+ Nếu hàm ( ) [ ( ) os ( )sin ]xm nf x e P x c x Q x x , với Pm(x), Qn(x) là các đa thức

lần lượt có bậc m và n. gọi ax{ , }s m n m và i không là nghiệm của phương trình

đặc trưng (1.4) khi đó phương trình (1.3) sẽ có một nghiệm: * [ ( ) os ( ) sin ]x

s sy e P x c x Q x x với ( )sP x ; ( )sQ x là những đa thức bậc s có các hệ số

được xác định, khi thế * [ ( ) os ( ) sin ]xs sy e P x c x Q x x vào phương trình (1.3) và áp

dụng phương pháp hệ số bất định.

18

+ Nếu hàm ( ) [ ( ) os ( ) sin ]xm nf x e P x c x Q x x , với Pm(x), Qn(x) là các đa thức

lần lượt có bậc m và n. gọi ax{ , }s m n m và i là nghiệm bội k của phương trình

đặc trưng (1.4) khi đó phương trình (1.3) sẽ có một nghiệm: * [ ( ) os ( ) sin ]k x

s sy x e P x c x Q x x với ( )sP x ; ( )sQ x là những đa thức bậc s có các hệ

số được xác định tương tự như trên.

1.3. Khảo sát thực trạng khả năng giải bài tập Toán tìm nghiệm

riêng PTVPTT không thuần nhất của sinh viên SP Toán, trường

Đại học Đồng Tháp

1.3.1 Phương pháp khảo sát (Xem phần phụ lục 1)

Môn học PTVP là môn học kế thừa và phát triển các môn học Giải tích cổ điển.

Đồng thời lại là tiền đề cho các môn học khác, do đó để người học dễ dàng tiếp thu và

hiểu sâu sắc môn học này, cần đưa ra các sai sót mà người học thường gặp, nhằm sửa

chữa và khắc phục chúng.

Ngoài ra, để đáp ứng yêu cầu dạy học theo chương trình hệ thông tín chỉ, và tạo

điều kiện cho người học có thể tự nghiên cứu đồng thời tránh được những sai

lầm về môn học này, chúng tôi đưa ra 24 câu khảo sát, và các bài kiểm tra giữa kỳ

nhằm tìm hiểu về kiến thức cơ bản và quy trình tìm nghiệm PTVPTT không thuần

nhất của 120 sinh viên ở các lớp ĐHSToan 09, CĐSToan 10A,B, nhằm tìm hiểu

những bước mà sinh viên thường mắc sai sót nhất.

1.3.2. Kết quả khảo sát

Qua khảo sát, ta thấy còn rất nhiều sinh viên chưa hiểu rõ bản chất của các khái

niệm, tính chất nghiệm của PTVPTT không thuần nhất. Đặc biệt là cách biến thiên các

hằng số, các dạng hệ số bất định,…Cụ thể qua bảng thống kê sau:

Số sinh viên có đáp án đúng/tỷ lệ Câu SV trả

lời sai

/tỷ lệ

a b c d

Nhận xét

1 89

74%

31

26%

Người học (SV) chưa nắm

vững về các hằng số.

19

2 72

60%

48

40%

SV còn lúng túng trong việc

biến thiên các hằng số

3 39

32%

81

68%

Vẫn còn SV chưa viết được

nghiệm PTVPTT thuần nhất

4 56

47%

64

53%

SV còn chưa thành thạo khi

biến thiên các hằng số

5 74

62%

46

38%

Vẫn còn sai sót trong các

phép toán đại số.

6 94

78%

26

22%

Có nhiều SV còn chưa thành

thạo các phép toán tích phân

7 43

34%

77

64%

Một số sai sót là do SV

không nhìn kỹ nghiệm.

8 73

61%

47

39%

Nhiều SV không xây dựng

được hệ phương trình đại số

9 90

75%

30

25%

Còn rất nhiều SV chưa thành

thạo các phép toán đại số

10 85

71%

35

29%

Có nhiều SV còn chưa thành

thạo các phép toán tích phân

11 88

73%

32

27%

Không nắm vững bản chất

của hàm f(x).

12 47

39%

73

61%

SV chưa phân biệt là

nghiệm PT đặc trưng

13 52

43%

68

57%

Không nắm vững bản chất

của hàm f(x).

14 76

63%

44

37%

Không nắm vững bản chất

của hàm f(x).

15 97

81%

23

19%

Không nắm vững bản chất

của hàm f(x).

16 94

78%

26

22%

Không nắm vững bản chất

của hàm f(x).

20

17 93

77%

27

23%

Không nắm vững bản chất

của hàm f(x).

18 80

67%

40

33%

Không nắm vững bản chất

của hàm f(x).

19 91

76%

29

24%

Không nắm vững bản chất

của hàm f(x).

20 88

73%

32

27%

Không nắm vững bản chất

của hàm f(x).

21 44

37%

76

63%

Không nắm vững bản chất

của hàm f(x).

22 74

62%

46

38%

Không nắm vững bản chất

của hàm f(x).

23 89

74%

31

26%

Không nắm vững bản chất

của hàm f(x).

24 76

63%

44

37%

Không nắm vững bản chất

của hàm f(x).

Bên cạnh đó, trong thời gian giảng dạy các lớp trên chúng tôi cho người học

kiểm tra giữa kỳ mỗi lớp một bài để đánh giá kết quả nhận thức các nội dung đã học

đồng thời phát hiện các sai sót để có thể hướng dẫn người học cách khắc phục và lấy

cột điểm kiểm tra giữa kỳ thì kết quả như sau

Kết quả điểm số giữa kỳ của 3 lớp

Điểm

Lớp Dưới 4

Từ 4đến

dưới 5,5

Từ 5,5 đến

dưới 7

Từ 7 đến

dưới 8,5

Từ 8,5 trở

lên

LHP: MA412001;

MA414501 và

MA414502 (gồm

121sinh viên)

TS: 14(sv)

Tỷ lệ: 11,6%

TS:34(sv)

Tỷ lệ 28,1%

TS:35 (sv)

Tỷ lệ 28,9%

TS: 24(sv)

Tỷ lệ: 19,8%

TS: 14(sv)

Tỷ lệ: 11,6%

21

1.3.3. Những sai sót cơ bản của sinh viên SP Toán trường Đại học Đồng Tháp

khi tìm nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất

Qua những năm giảng dạy, kết quả khảo sát và kết quả kiểm tra giữa kỳ của

người học các lớp ĐHSToan 09, CĐSToan10A,B; học kỳ I năm học 2011 – 2012 tại

trường Đại học Đồng Tháp đã rút ra các vấn đề mà người học thường mắc sai sót.

a. Hiểu không đầy đủ, chính xác lý thuyết khi tìm nghiệm riêng bằng

phương pháp biến thiên hằng số

Chúng ta biết rằng: khái niệm là một trong các sản phẩm của tư duy Toán học.

Mỗi khái niệm đều có ý nghĩa và là cơ sở quan trọng là tiền đề cho những môn học

tiếp theo. Do đó, việc người học không nắm vững các khái niệm và các nội dung khác

của bài học sẽ dẫn tới sự hiểu biết không trọn vẹn, thậm chí sai lệch cả bản chất bài

toán. Từ đó, các sai sót khi giải Toán xuất hiện, nếu chúng ta không kịp thời có những

đổi mới về phương pháp dạy và học các khái niệm thì người học sẽ rất khó khăn trong

việc lĩnh hội các khái niệm về Toán học.

Khi tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính bằng phương pháp

biến thiên hằng số. Người học thường mắc sai sót khi xác định các hàm số

1,2,3,....{ ( )}i iC x từ các hệ phương trình chưa đúng hoặc còn hiểu sai sót về các hằng số

hay các nghiệm của hệ nghiệm cơ bản của PTVPTT thuần nhất.

Ví dụ 1.6: Tìm nghiệm riêng của phương trình '' 3 ' 2 cosxy y y xe x . Ta có,

nghiệm của PTVPTT thuần nhất % 21 2

x xy C e C e , khi đó phương trình có 1 nghiệm

riêng * 21 2( ) ( )x xy C x e C x e , với các hàm 1 2( ), ( )C x C x được người học xác định sai sót

S1:

21 2

21 2

( ) ( ) 0( ) 2 ( ) cos

x x

x x x

C x e C x eC x e C x e xe x

S2:

21 2

21 2

( ) ( ) 0( ) 4 ( ) cos

x x

x x x

C x e C x eC x e C x e xe x

S3:

' ' 21 2

' ' 21 2

( ) 2 ( ) 0( ) 4 ( ) cos

x x

x x x

C x e C x eC x e C x e xe x

22

Ví dụ 1.7 Phương trình '' 3 ' 2 xy y y x e có nghiệm tổng quát của PTVP

thuần nhất là: % 21 2

x xy C e C e , bằng phương pháp biến thiên hằng số, phương

trình đã cho có nghiệm riêng * 21 2( ) ( )x xy C x e C x e với các hàm số 1 2( ), ( )C x C x được

xác định sai sót:

S1: ' ' 21 2' ' 21 2

( ) ( ) 0( ) ( )

x x

x x x

C x e C x eC x e C x e x e

.

S2: ' ' 21 2' ' 21 2

( ) 2 ( ) 0( ) 4 ( )

x x

x x x

C x e C x eC x e C x e x e

S3: ' ' 21 2' ' 21 2

( ) ( ) 0( ) 2 ( ) 0

x x

x x

C x e C x eC x e C x e

Ví dụ 1.8 Xét phương trình 4'' 4sin 2

y yx

, có nghiệm tổng quát của phương

trình thuần nhất % 1 2cos 2 sin 2y C x C x . Khi đó, những sai sót của người học khí xác

định các hàm 1 2( ), ( )C x C x của nghiệm riêng: *1 2( )cos2 ( ) sin 2y C x x C x x từ hệ:

S1: ' '1 2

' '1 2

( )cos2 ( ) sin 2 04( )( sin 2 ) ( )cos2

sin 2

C x x C x x

C x x C x xx

S2 ' '1 2' '1 2

( )cos2 ( ) sin 2 0( )( 2sin 2 ) 2 ( )cos2 0

C x x C x xC x x C x x

S3: ' '1 2

' '1 2

( )cos2 ( )sin 2 04( )c s 2 ( )sin2

sin 2

C x x C x x

C x o x C x xx

b. Chưa phân biệt được PTVPTT với hệ số hằng và hệ số bất kỳ

Đối với PTVPTT không thuần nhất với hệ số hằng, ngoài việc tìm nghiệm của

riêng bằng phương pháp biến thiên hằng số, chúng ta có thể áp dụng phương pháp hệ

số bất định, khi hàm f(x) ở vế phải của PTVPTT không thuần nhất có dạng đặc biệt.

Từ vấn đề này, khi người học chưa hiểu rõ cách xác định nghiệm bằng phương pháp

hệ số bất định của PTVPTT không thuần nhất với hệ số hằng, hay nguyên lý chồng

chất nghiệm, hoặc những phương trình có vế phải chứa hàm lượng giác,…thì sẽ có rất

nhiều sai sót trong việc xác định nghiệm.

23

Ví dụ 1.9 Xét phương trình 2 '' 2 ' 2 xx y xy y xe có nghiệm tổng quát của

PTVPTT thuần nhất là % 21 2y C x C x . Khi đó cách viết nghiệm riêng của phương trình

đã cho:

S1: * ( ) xy Ax B e ,

S2: * 2( ) xy Ax Bx e ,

S3: * 2 xy Ax e .

Ví dụ 1.10 Những sai sót của người học khi viết nghiệm riêng của phương

trình x2y’’- xy’ - 3y = x2

S1: * 2y Ax Bx C ,

S2: * 2y Ax Bx ,

S3: * 2y Ax .

c. Chưa hiểu sâu và chưa thuần thục khi tìm nghiệm riêng của PTVPTT

không thuần nhất với hệ số hằng bằng phương pháp hệ số bất định

Trong PTVPTT không thuần nhất với hệ số hằng, việc xác định nghiệm riêng

của phương trình dựa vào hàm f(x) của vế phải phương trình đó, tức là dựa vào các

tính chất về nghiệm của phương trình đặc trưng nhằm xây dựng nghiệm hoàn thiện và

chính xác. Tuy nhiên khi chưa nắm vững và chưa hiểu sâu các tính chất này thì người

học dễ bị nhầm lẫn và sai sót.

Ví dụ 1.11 Xét phương trình '' 2 ' 3 2 cosy y y x x , ta đã biết hàm

( ) 2 cosf x x x là dạng đặc biệt trong PTVPTT với hệ số hằng. Khi đó, việc viết

nghiệm riêng sai sót của người học từ phương trình đã cho

S1: * cosy Ax x ,

S2: * ( )cosy Ax B x ,

S3: * cos siny Ax x Bx x .

Ví dụ 1.12 Xét phương trình '' 2 ' 2 2 cosxy y y e x , khi đó, những sai sót của

người học khi viết nghiệm riêng của phương trình đã cho

S1 : * cos sin xy A x B x e ,

S2 : * cos xy A xe ,

S3 : * ( )cos ( ) sin xy Ax B x Cx D x e ,

24

S4: * ( ) cos xy Ax B xe .

Ví dụ 1.13 Xét phương trình '' 2 ' 3 2sin 3 cosy y y x x , khi đó việc xác định

nghiệm riêng sai sót của người học

S1: * cos sin 3y A x B x ,

S2: * cos siny A x B x ,

S3: * cos 3 sin 3y A x B x ,

S4: *1 cos siny A x B x và *

2 cos3 sin 3y A x B x .

Ví dụ 1.14 Với phương trình '' 2 ' 3sin

xey y yx

, thì sai sót của người học

thường gặp khi viết nghiệm riêng của phương trình

S1: * 1 1cos sin xy A x B x e ,

S2: * sinxy Ae x ,

S3: * cos sin xy A x B x e .

Ví dụ 1.15. Sai sót của người học khi viết nghiệm riêng của phương trình 2

(4)2

24 ''xey y

x :

S1: 2

*2

xeyAx

S2: 2

*2

xeyAx Bx C

S3: * 2 2( ) xy Ax Bx C e

Ví dụ 1.16 Khi viết nghiệm riêng của phương trình (4) 24 '' 2 xy y x e người

học có những sai sót:

S1: * 3 xy Ax e

S2: A * 2 2( ) xy x Ax Bx C e

S3: * 2( )y Ax Bx C

Ví dụ 1.17 Đối với phương trình '' 3 ' 2 xy y y xe , người học thường mắc các

sai lầm khi viết nghiệm riêng

S1: * xy Axe

S2: * 2( ) xy Ax Bx C e

25

S3: * 2( ) xy Ax Bx e

Ví dụ 1.18 Khi xét phương trình (4) 24 '' 2y y x thì các sai sót mà người học

gặp phải khi viết nghiệm riêng

S1: * 4y Ax

S2: * 2y Ax Bx C

S3: * 2y Ax

Ví dụ 1.19 Nghiệm riêng của phương trình '' 3 ' 2 sin cosy y y x x x sẽ được

người học xác định sai sót là:

S1: * ( ) sin cosy Ax B x C x

S2: * sinx+ cosy Ax B x

S3: * s inx+ cosy Ax Bx x

Ví dụ 1.20 Trong phương trình 4'' 4sin 2

y yx

thì các cách viết nghiệm riêng

sai sót của người học:

S1: * 2 2( )sin 2 ( )cos 2y Ax Bx x Cx Dx x

S2: * ( ) sin 2 ( ) cos 2y Ax B x Cx D x

S3: * 2( )sin 2y Ax Bx x .

d. Người học chưa thành thạo và nhạy bén trong các phép toán đại số, đạo

hàm, tích phân

Trong quá trình tìm nghiệm riêng, cần có sự góp sức của các phép toán đại số,

tích phân, đạo hàm,…do đó, nếu người học chưa thuần thạo các phép toán này chắc

chắn sẽ có nhiều sai sót xảy ra.

Ví dụ 1.21 Bằng phương pháp biến thiên hằng số, phương trình

'' 3 ' 2 xy y y x e , có một nghiệm riêng * 21 2( ) ( )x xy C x e C x e , với các hàm số

1 2'( ), '( )C x C x của hệ: ' ' 21 2' ' 21 2

( ) ( ) 0( ) 2 ( )

x x

x x x

C x e C x eC x e C x e x e

được xác định thì những sai sót của

người học

S1: '1' 22

( ) 1( )

x

x x

C x xeC x xe e

26

S2:- '1' 22

( ) 1( )

x

x x

C x xeC x xe e

S3: '1' 22

( ) 1( )

x

x x

C x xeC x xe e

Ví dụ 1.22 Ta có, với'1' 22

( ) 1( )

x

x x

C x xeC x xe e

thì các hàm 1 2( ), ( )C x C x sẽ được người

học xác định sai sót:

S1:1

22

2

( )

( )2 4

x x

xx x

C x xe x ex eC x e e

S2: 1

22

2

( )

( )2 4

x x

xx x

C x xe x ex eC x e e

S3: 1

22

2

( )

( )2 4

x x

xx x

C x xe x ex eC x e e

Ví dụ 1.23 Cách xác định sai sót các hàm các hàm số ' '1 2( ), ( )C x C x từ nghiệm

riêng *1 2( ) os2 ( ) sin 2y C x c x C x x của phương trình 4'' 4

sin 2y y

x là:

S1: '1

'2

sin( )sin 2

cos( )sin 2

xC xx

xC xx

S2: '1

'2

1( )2

cos 2( )2sin 2

C x

xC xx

S3: '1'2

( ) 0( ) 0

C xC x

Ví dụ 1.24 Phương trình '' 4 cos2y y x x có nghiệm riêng * 2 2(Ax )cos2 ( )sin 2y Bx x Cx Dx x . Những cách người học lấy đạo hàm không

chính xác:

S1: * 2 2' [ ( 2 ) ]cos 2 [- ( 2 ) ]sin 2y Cx D A x B x Ax B C x D x

27

và * 2 2'' [ (4 ) 2 2 ]cos 2 [- (4 ) 2 2 ]sin 2y Ax C B x A D x Cx A D x C B x

S2: * 2 2' [ ( 2 ) ]cos 2 [ ( 2 ) ]sin 2y Cx D A x B x Ax B C x D x

và * 2 2'' [ (4 ) 2 2 ]cos 2 [ (4 ) 2 2 ]sin 2y Ax C B x A D x Cx A D x C B x

28

Chương 2. CÁC BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC SAI SÓT KHI TÌM NGHIỆM

RIÊNG CỦA PTVPTT KHÔNG THUẦN NHÂT

2.1. Các nguyên tắc chỉ đạo việc sử dụng các biện pháp sư phạm

nhằm hạn chế và sửa chữa các sai sót

Để hạn chế và sửa chữa các sai sót của người học khi tìm nghiệm riêng của

PTVPTT không thuần nhất, chúng tôi đưa ra các biện pháp dựa trên những nguyên tắc

[5, tr85-86]

2.1.1. Nguyên tắc 1: Tính kịp thời

Các biện pháp phải chú ý thích ứng với thời điểm thích hợp. Biện pháp chỉ phát

huy hiệu quả nếu được áp dụng đúng lúc. Không thể tùy tiện trong việc phân tích và

sửa chữa, cũng như hạn chế các sai sót của học sinh. Đặc biệt, khi thời gian tiếp xúc

của giáo viên với học sinh là có hạn.

Tính kịp thời của các biện pháp đòi hỏi sự nhanh nhạy của giáo viên trước các

tình huống điển hình, nhằm tác động đúng hoạt động học tập của học sinh. Tính kịp

thời đòi hỏi sự tích cực hóa hoạt động của cả hai phía.

Tính kịp thời đòi hỏi giáo viên phải nghiên cứu và dự đoán được các sai sót của

học sinh ở từng thời điểm, từng lớp học.

Nó đòi hỏi giáo viên luôn ở tư thế sẵn sàng với mục tiêu hạn chế và sửa chữa

các sai sót của học sinh khi giải toán. Ngoài ra nó còn là cầu nối để giáo viên giao tiếp

với học sinh không những ở trên lớp, mà còn có thể giao tiếp trong những hoàn cảnh

khác nhằm tận dụng cơ hội thực hiện các biện pháp dạy học.

Bên cạnh đó, giáo viên cần tìm cách hạn chế các nguyên nhân dẫn đến sai sót của học

sinh, ngay cả khi các sai sót chưa xuất hiện.

2.1.2. Nguyên tắc 2. Tính chính xác

Sự chính xác trong lời giải là sự đòi hỏi của toán học và cũng là cũng là sự đòi

hỏi của nhiệm vụ dạy học. Các biện pháp đề xuất phải đi tới mục tiêu làm sao cho lời

giải của học sinh đảm bảo độ chính xác cao.

29

Tính chính xác đòi hỏi giáo viên phải diễn đạt chính xác từ ngôn ngữ thông

thường đến ngôn ngữ toán học, phải chuẩn về phương pháp, tư duy chính xác, lời giải

chính xác cho các bài toán và lựa chọn đúng biện pháp tối ưu trong từng tình huống

điển hình. Đồng thời chỉ ra nguyên nhân sai sót của học sinh trong lời giải, không nên

nói sai sót của học sinh một cách chung chung.

Tính chính xác đòi hỏi các bài toán của giáo viên đưa ra không được sai sót vì

nếu ngược lại có thể gây tác động ngược đối với học sinh do học sinh không định

hướng được.

Tính chính xác đòi hỏi giáo viên phải biết hướng dẫn, điều chỉnh, sửa chữa một

lời giải sai để học sinh tự tìm ra lời giải đúng.

2.1.3. Nguyên tắc 3: Tính giáo dục

Tính giáo dục đòi hỏi giáo viên phải lấy sự phát triển nhân cách của học sinh

làm mục tiêu cho các biện pháp, không xúc phạm vì nhân cách khi người học mắc sai

sót, biết khen ngợi khích lệ khi học sinh sửa chữa được sai sót. Đồng thời không nóng

vội trong việc thực hiện các biện pháp để mong muốn chấm dứt ngay sai sót của học

sinh, dám nhận sai sót của mình trong lời giải, trong cách đánh giá học sinh.

Ngoài ra, tính giáo dục giúp học sinh thấy được tầm quan trọng của sự chính

xác trong lời giải, tránh được các sai sót nhằm xác định chính xác định được đúng

động cơ học tập. Nó còn giúp cho học sinh tính kiên trì, cẩn thận để đi đến lời giải

đúng, có thói quen tốt như: biết tự kiểm tra, tích cực suy nghĩ, tăng cường hoạt động

học đưa đến sự đam mê chiếm lĩnh kiến thức chuẩn xác.

2.2. Các biện pháp khắc phục

2.2.1. Biện pháp 1: Trang bị đầy đủ, chính xác các kiến thức về việc tìm

nghiệm của PTVPTT không thuần nhất

Cách tìm nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất có thể dùng phương

pháp biến thiên hằng số, hoặc phương pháp hệ số bất định. Tuy nhiên, để có thể nhận

dạng chính xác và vận dụng tốt các cách tìm nghiệm trên, người học cần được trang bị

đầy đủ, chính xác các kiến thức về cách tìm nghiệm của PTVPTT không thuần nhất và

phân biệt được khi nào có thể dùng phương pháp biến thiên hằng số, khi nào vận dụng

30

phương pháp hệ số bất định. Để làm được điều đó, người học cần hiểu rõ các cách xác

định nghiệm riêng và biểu diễn đúng đắn nhất.

a. Phương pháp biến thiên hằng số

Khi vận dụng phương pháp này, trước hết cần tìm được %y là nghiệm tổng quát

của PTVPTT thuần nhất, sau đó từ nghiệm %y , biến thiên các hằng số, ta sẽ được

nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất.

● Việc xác định các hàm số 1,2,3,....( )i iC x

cần phải được biểu diễn một cách

chính xác, rõ ràng, hợp lý.

Ví dụ 2.1: Biểu diễn nghiệm riêng của phương trình '' 3 ' 2 cosxy y y xe x .

Ta có, nghiệm tổng quát của PTVPTT thuần nhất là % 21 2

x xy C e C e , khi đó

phương trình đã cho có 1 nghiệm * 21 2( ) ( )x xy C x e C x e , với các hàm 1 2( ), ( )C x C x

được xác định từ hệ ' ' 21 2

' ' 21 2

( ) ( ) 0( ) 2 ( ) cos

x x

x x x

C x e C x eC x e C x e xe x

Hay xét phương trình 4'' 4sin 2

y yx

, biết rằng nghiệm tổng quát của phương

trình thuần nhất % 1 2cos 2 sin 2y C x C x . Khi đó phương trình đã cho có nghiệm riêng: *

1 2( ) os2 ( ) sin 2y C x c x C x x , với các hàm số 1 2( ); ( )C x C x của nghiệm y* được xác định

từ hệ: ' '1 2

' '1 2

( ) os2 ( ) sin 2 04( )( 2sin 2 ) 2 ( ) os2

sin 2

C x c x C x x

C x x C x c xx

● Không nên rập khuôn, khi biến thiên các hằng số của nghiệm %y

Ví dụ 2.2 Giả sử phương trình y’’’ + p1(x)y’’ + p2(x)y’ + p3(x)y = f (x) có

hệ nghiệm cơ bản của PTVP thuần nhất là: 1 2 3{ ; ; }y y y , thì việc biến thiên các hằng

số nghiệm %y để được nghiệm riêng của phương trình:

- *1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( )y C x y C x y C x y ;

- *3 1 1 2 2 3( ) ( ) ( )y C x y C x y C x y ;

- *2 1 3 2 1 3( ) ( ) ( )y C x y C x y C x y .

31

* Cần lưu ý: việc tìm nghiệm riêng bằng phương pháp biến thiên hằng số là

phương pháp tổng quát nhất, tuy nhiên khi áp dụng nó cũng có nhiều trở ngại: gặp

những phương trình vi phân cấp cao, hay xác định các hàm số 1,2,3,....'( )i iC x

, hoặc khi

lấy tích phân để tìm các hàm 1,2,3,....( )i iC x

…

Ví dụ 2.3 Xét phương trình ''' 3 '' 4 ' 2 cosxy y y y xe x .

Ta thấy rằng, nghiệm tổng quát của PTVPTT thuần nhất %

1 2 3( cos s inx)x xy C e C x C e , khi đó phương trình đã cho có 1 nghiệm *

1 2 3( ) ( ) cos ( ) sinxx x xy C x e C x e x C x e , với các hàm C1(x), C2(x), C3(x) được xác

định từ hệ:

' ' '1 2 2

' ' '' ' '1 2 2

'' '' ''' ' '1 2 2

( ) ( ) cos ( ) s inx 0

( ) ( ) cos ( ) s inx 0

( ) ( ) cos ( ) s inx cos

x x x

x x x

x x x x

C x e C x e x C x e

C x e C x e x C x e

C x e C x e x C x e xe x

Đây là hệ sẽ gặp khó khăn khi xác định các hàm 1,2,3,....'( )i i

C x

và các hàm

1,2,3{ ( )}i iC x đối với các phép toán đại số và tích phân.

b. Phương pháp hệ số bất định

Đối với PTVPTT không thuần nhất với hệ số hằng, ngoài việc tìm nghiệm của

riêng bằng phương pháp biến thiên hằng số, chúng ta có thể áp dụng phương pháp hệ

số bất định, khi hàm f(x) ở vế phải của PTVPTT không thuần nhất có dạng đặc biệt.

Vấn đề này, người học cần trang bị đầy đủ các cách xác định nghiệm bằng phương

pháp hệ số bất định, tức là phương pháp này, sẽ trang bị cho người học đầy đủ các kiến

thức sau:

● Người học cần phải xác định rõ, phương trình đã cho có phải là PTVPTT

không thuần nhất với hệ số hằng không?

Ví dụ 2.4 Xét phương trình 2 '' 2 ' 2 xx y xy y xe có nghiệm tổng quát của

PTVPTT thuần nhất là % 21 2y C x C x . Bài toán này, ta không thể vận dụng phương

pháp hệ số bất định, vì nó không là PTVPTT không thuần nhất với hệ số hằng. Khi đó

một nghiệm của phương trình đã cho là: * 21 2( ) ( )y C x x C x x .

32

Hay xét phương trình x2y’’- xy’ - 3y = x2, có nghiệm của PTVPTT thuần nhất

là: % 1 31 2y C x C x , thì nghiệm riêng của phương trình là * 1 3

1 2( ) ( )y C x x C x x .

● Hiểu rõ bản chất của hàm f(x) của PTVPTT không thuần nhất với hệ số

hằng, tức là hàm ( ) ( )xmf x e P x , hay ( ) [ ( ) os ( ) sin ]x

m nf x e P x c x Q x x để xây dựng

nghiệm riêng của phương trình chính xác.

Ví dụ 2.5

a) Phương trình (4) 24 '' 2 xy y x e có hàm 2( ) 2 xf x x e với = -1 không là

nghiệm của phương trình đặc trưng, nên phương trình đã cho có 1 nghiệm riêng: * 2( ) xy Ax Bx C e .

b) Phương trình 2'' 3 ' 2 xy y y xe , ta thấy hàm 2( ) xf x xe có = 2 là nghiệm

phương trình đặc trưng nên phương trình đã cho có 1 nghiệm riêng: * 2 2( ) xy Ax Bx e .

c) Hay phương trình (4) 24 '' 2y y x có vế phải là một đa thức nên nghiệm riêng

đúng của phương trình sẽ là: * 2 2( )y x Ax Bx C .

d) Với phương trình 3'' 3 ' 2 4 5y y y x x , ta thấy hàm 3( ) 4 5f x x x là

một đa thức, có = 0 không là nghiệm phương trình đặc trưng nên phương trình đã

cho có 1 nghiệm riêng: * 3 2y Ax Bx Cx D .

Ví dụ 2.6

a) Xét phương trình '' 2 ' 2 2 cosxy y y e x , với ( ) 2 cosxf x e x có 1i i

là nghiệm phương trình đặc trưng, nên nghiệm riêng của phương trình đã cho được xác

định là * sin cos xy Ax x Cx x e .

b) Hay phương trình '' 3 ' 2 siny y y x x có ( ) sinf x x x với i i không

là nghiệm phương trình đặc trưng. Do đó, nghiệm riêng đúng phương trình là * ( )sin ( )cosy Ax B x Cx D x .

c) Cũng với phương trình '' 3 ' 2 sinxy y y xe x có ( ) sinxf x xe x với

1i i không là nghiệm phương trình đặc trưng. Do đó, nghiệm riêng đúng

phương trình là * ( )sin ( ) cos xy Ax B x Cx D x e .

d) Với phương trình 2'' 2 ' 2 2y y y x , ta có nghiệm tổng quát của phương trình

thuần nhất: % 1 2sin os xy C x C c x e và 2( ) 2f x x là một đa thức có 0 không là

nghiệm phương trình đặc trưng, nên nghiệm riêng của phương trình là

33

* 2y Ax Bx C

● Cần nắm vững tính chất nghiệm, đặc biệt là nguyên lý chồng chất nghiệm

của phương trình.

Ví dụ 2.7

a) Xét phương trình '' 2 ' 3 2sin 3 cosy y y x x , có

- ( ) 2sin 3 cos sin 4 s inxf x x x x khi đó phương trình đã cho được xác định:

'' 2 ' 3 siny y y x và '' 2 ' 3 sin 4y y y x .

- Từ đó, nghiệm riêng tương ứng với các phương trình trên: *1 sin cosy A x B x

và *2 sin 4 cos 4y A x B x .

b) Hay xét phương trình 3'' 3 ' 2 3 xy y y x xe , có

- 3( ) 3 xf x x xe khi đó phương trình đã cho được xác định: 3'' 3 ' 2y y y x

và '' 3 ' 2 3 xy y y xe .

- Từ đó, nghiệm riêng tương ứng với các phương trình trên: * 3 21y Ax Bx Cx D và y2* = *

1 1 1xy x A x B e .

* Lưu ý Với việc biểu diễn nghiệm của PTVPTT không thuần nhất với hệ số

hằng, người học cần lưu ý chỉ sử dụng được đối với hàm f(x) là những hàm đặc biệt của

các dạng nêu trên, còn những dạng khác của hàm f(x) thì không được vận dụng mà chỉ

có thể dùng phương pháp biến thiên hằng số.

Ví dụ 2.8

a) Xét phương trình '' 2 ' 3sin

xey y yx

, khi đó nghiệm riêng của phương trình

được xác định: * 31 2( ) ( )x xy C x e C x e :

b) Hay phương trình 2

(4)2

24 ''xey y

x có nghiệm tổng quát của PTVPTT thuần

nhất % 2 21 2 3 4

x xy C xC C e C e khi đó phương trình đã cho có1 nghiệm riêng:

* 2 21 2 3 4( ) ( ) ( ) ( )x xy C x xC x C x e C x e

34

2.2.2. Biện pháp 2: Phân tích làm rõ các sai sót và giúp sinh viên khắc phục

các sai sót đó

● Người học còn lúng túng trong biễu diễn '1{ ( )}n

i iC x qua hệ phương trình ( I ),

người học không hiểu cách biểu diễn hệ ( I ) khi biết hệ nghiệm cơ bản.

Ví dụ 2.9

a) Xét phương trình '' 3 ' 2 cosxy y y xe x , có, nghiệm tổng quát của PTVPTT

thuần nhất % 21 2

x xy C e C e , khi đó phương trình đã cho có 1 nghiệm riêng:

* 21 2( ) ( )x xy C x e C x e , với các hàm 1 2( ), ( )C x C x được xác định từ hệ

* Cách viết sai sót của người học

_ 2

1 22

1 2

( ) ( ) 0( ) 2 ( ) cos

x x

x x x

C x e C x eC x e C x e xe x

- 2

1 22

1 2

( ) ( ) 0( ) 4 ( ) cos

x x

x x x

C x e C x eC x e C x e xe x

- ' ' 2

1 2' ' 21 2

( ) 2 ( ) 0( ) 4 ( ) cos

x x

x x x

C x e C x eC x e C x e xe x

* Cách viết đúng: Ở đây, các hàm C1(x), C2(x) được xác định từ hệ ' ' 21 2

' ' 21 2

( ) ( ) 0( ) 2 ( ) cos

x x

x x x

C x e C x eC x e C x e xe x

* Nguyên nhân dẫn đến sai sót: người học còn lúng túng trong biễu diễn

' '1 2{ ( ), ( )}C x C x qua hệ

' '1 1 2 2' ' ' '1 1 2 2

( ) ( ) 0( ) ( ) ( )

C x y C x yC x y C x y f x

.

b) Xét phương trình 4'' 4sin 2

y yx

, nghiệm tổng quát của phương trình thuần

nhất %1 2cos 2 sin 2y C x C x . Khi đó phương trình đã cho có nghiệm riêng:

*1 2( )cos2 ( )sin 2y C x x C x x , với các hàm số 1 2( ), ( )C x C x của nghiệm y* được xác

định từ hệ:

* Cách viết chưa đúng của người học: Vì không hiểu rõ bản chất của việc biến

thiên hằng số nên cách viết của người học thường gặp:

35

- ' '1 2

' '1 2

( )cos2 ( )sin 2 04( )( sin 2 ) ( )cos2

sin 2

C x x C x x

C x x C x xx

- ' '1 2' '1 2

( )cos2 ( )sin 2 0( )( 2sin 2 ) 2 ( )cos2 0

C x x C x xC x x C x x

* Cách viết chính xác của việc tìm các hàm 1 2( ), ( )C x C x là từ hệ

' '1 2

' '1 2

( )cos2 ( )sin 2 04( )( 2sin 2 ) 2 ( )cos2

sin 2

C x x C x x

C x x C x xx

* Nguyên nhân dẫn đến sai sót: Người học chưa lưu ý đến hệ nghiệm cơ bản

của PTVPTT thuần nhất.

● Người học không hiểu bản chất về hệ nghiệm cơ bản của phương trình.

Ví dụ 2.10 Giả sử phương trình 1 2 3''' ( ) '' ( ) ' ( ) ( )y p x y p x y p x y f x có hệ

nghiệm cơ bản của PTVP thuần nhất là: 1 2 3{ ; ; }y y y .

* Cách viết nghiệm sai sót của người học: Khi biết rõ hệ nghiệm cơ bản của

PTVPTT thuần nhất, do chưa hiểu rõ bản chất của các hằng số nên luôn gọi nghiệm

riêng của phương trình đã cho là: *1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( )y C x y C x y C x y .

* Cách viết đúng: do các hằng số 1 2 3{C , , }C C đều có vai trò như nhau, nên vận

dụng phương pháp biến thiên hằng số có thể viết nghiệm của phương trình đã cho ở

một trong các dạng:

- *1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( )y C x y C x y C x y ;

- *3 1 1 2 2 3( ) ( ) ( )y C x y C x y C x y

- *2 1 3 2 1 3( ) ( ) ( )y C x y C x y C x y

* Nguyên nhân dẫn đến sai sót: Người học có tính khuôn rập, mà không để ý

đến các tính chất của hằng số có vai trò như nhau.

● Chưa phân biệt được PTVPTT với hệ số hằng và hệ số bất kỳ

Ví dụ 2.11

a) Xét phương trình 2 '' 2 ' 2 xx y xy y xe có nghiệm tổng quát của PTVPTT

thuần nhất là % 21 2y C x C x . Khi đó một nghiệm của phương trình đã cho:

* Cách viết nghiệm sai sót của người học:

36

- * ( ) xy Ax B e .

- * 2( ) xy Ax Bx e .

- * 2 xy Ax e .

* Cách gọi nghiệm đúng của phương trình đã cho là: * 21 2( ) ( )y C x x C x x , tức

là đối với phương trình này ta phải vận dụng phương pháp biến thiên hằng số nghiệm

của PTVPTT thuần nhất.

* Nguyên nhân dẫn đến sai sót: Do người học khi biến đổi về phương trình mới,

vẫn còn nhớ phương trình đã cho.

Vì, bằng cách đặt tx e , thì phương trình đã cho được đưa về dạng:

'' 3 ' 2tt ey y y e e ,

Khi đó phương trình đặc trưng của PTVPTT thuần nhất có nghiệm 1

2

12

Mà hàm ( ) xf x xe , vì 1 là nghiệm phương trình đặc trưng người học gọi

sai sót về nghiệm riêng của phương trình đã cho. Thay vì, phải nhớ tt tf t e e nên

nghiệm đã cho không thể biểu diễn bằng phương pháp hệ số bất định.

b) Xét phương trình 2 2'' ' 3x y xy y x , có nghiệm riêng của PTVPTT không

thuần nhất là:

* Cách viết sai sót của người học thường gặp:

- * 2y Ax Bx C

- * 2y Ax Bx

- * 2y Ax

* Cách gọi nghiệm đúng của phương trình đã cho là: * 2ty Ae , với ( 0)tx e x .

* Nguyên nhân dẫn đến sai sót: Do người học khi biến đổi về phương trình mới,

vẫn còn nhớ phương trình đã cho. Vì

Bằng cách đặt tx e , thì phương trình đã cho được đưa về dạng 2'' 2 ' 3 ty y y e ,

Khi đó phương trình đặc trưng của PTVPTT thuần nhất có nghiệm 1

2

13

37

Mà hàm 2( )f x x , vì 0 không là nghiệm của phương trình đặc trưng, nên

người học gọi sai sót về nghiệm riêng của phương trình đã cho. Thay vì, phải nhớ

2 tf t e và nghiệm riêng của phương trình đã cho phải được xác định theo phương

trình vừa biến đổi.

Trong PTVPTT không thuần nhất với hệ số hằng, việc xác định nghiệm riêng

của phương trình dựa vào hàm f(x) của vế phải phương trình đó, tức là dựa vào các

tính chất về nghiệm của phương trình đặc trưng nhằm xây dựng nghiệm hoàn thiện và

chính xác. Tuy nhiên khi chưa nắm vững và chưa hiểu sâu các tính chất này thì người

học dễ bị nhầm lẫn và sai sót.

● Chưa hiểu sâu và chưa thuần thục khi tìm nghiệm riêng của PTVPTT không

thuần nhất với hệ số hằng bằng phương pháp hệ số bất định

Ví dụ 2.12

Xét phương trình '' 2 ' 3 2 cosy y y x x , ta đã biết hàm ( ) 2 cosf x x x là dạng

đặc biệt trong PTVPTT với hệ số hằng. Khi đó nghiệm riêng của phương trình đã cho:

* Sai sót về cách xác định nghiệm riêng của người học:

- * cosy Ax x ,

- * ( ) cosy Ax B x ,

- * cos siny Ax x Bx x

* Cách viết đúng nghiệm của phương trình: * ( ) cos ( )siny Ax B x Cx D x

* Nguyên nhân dẫn đến sai sót: người học chưa nhận dạng 0i i i

không là nghiệm của phương trình đặc trưng và cách biểu diễn nghiệm của phương

trình với hàm f(x) chứa hàm lượng giác.

Ví dụ 2.13

Xét phương trình '' 2 ' 2 2 cosxy y y e x , khi đó nghiệm riêng của phương trình

đã cho được xác định:

* Cách viết sai lầm của người học :

- * ( cos sin ) xy A x B x e ,

- * cosxy Ae x ,

- * ( )cos ( ) sin xy Ax B x Cx D x e ,

38

- * ( ) cosxy Ax B e x .

* Cách viết đúng nghiệm của phương trình: * ( cos sin ) xy Ax x Bx x e

* Nguyên nhân dẫn đến các sai sót: người học chưa xác đinh được dạng

1i i là nghiệm của phương trình đặc trưng và cách biểu diễn nghiệm của

phương trình với hàm f(x) chứa hàm lượng giác.

Ví dụ 2.14

Xét phương trình '' 2 ' 3 2sin 3 cosy y y x x , Khi đó việc xác định nghiệm riêng

* Cách xác định sai sót của người học

- * cos sin 3y A x B x ,

- * cos siny A x B x ,

- * cos3 sin 3y A x B x ,

- *1 cos siny A x B x và *

2 cos3 sin 3y C x D x .

* Cách viết đúng nghiệm: *1 cos siny A x B x và *

2 cos 4 sin 4y C x D x .

* Nguyên nhân dẫn đến các sai sót: khi hàm f(x) = 2sin3x.cosx có dạng đặc biệt

chứa hàm lượng giác, tuy nhiên nó lại là dạng tích của 2 hàm sin và cos không cùng

một góc, dẫn đến người học thường phân vân cách viết nghiệm, nên có những cách

xác định nghiệm chưa chính xác. Đối với những phương trình ở dạng nầy cần biến đổi

vế phải đưa về dạng tổng của 2 hàm lượng giác (không thể cùng góc) và áp dụng

nguyên lý chồng chất nghiệm.

Ví dụ 2.15:

Phương trình (4) 24 '' 2 xy y x e có 1 nghiệm riêng:

* Cách xác định sai sót của người học: với hàm 2( ) 2 xf x x e , người học không

nắm vững các yếu tố viết nghiệm của PTVPTT không thuần nhất, nên đưa ra;

- * 3 xy Ax e

- * 2 2( ) xy x Ax Bx C e

- * 2( )y Ax Bx C

* Cách viết đúng nghiệm: * 2( ) xy Ax Bx C e

* Nguyên nhân dẫn đến các sai sót: người học chưa nhận ra hàm f(x) vế phải có

1 không là nghiệm phương trình đặc trưng, nên không viết được chính xác

nghiệm phương trình.

39

Ví dụ 2.16.

Phương trình '' 3 ' 2 xy y y xe có 1 nghiệm riêng

* Cách xác định sai sót của người học:

- * xy Axe

- * 2( ) xy Ax Bx C e

- * 2( ) xy Ax Bx e

* Cách viết đúng nghiệm riêng: * ( ) xy Ax B e

* Nguyên nhân dẫn đến các sai sót: Ta nhận thấy = -1 không là nghiệm

phương trình đặc trưng và người học cứ nghĩ đa thức của vế phải như thế nào thì

nghiệm tương tự như thế đó nên thường đưa vào dạng * xy Axe

Ví dụ 2.17

Khi xét phương trình '' 3 ' 2 xy y y xe có khá nhiều người học biểu diễn

nghiệm riêng của phương trịnh:

* Cách xác định sai sót của người học:

- * 2 xy Ax e

- * 2( ) xy Ax Bx C e

- * ( ) xy Ax B e

* Cách viết đúng nghiệm riêng: * 2( ) xy Ax Bx e

* Nguyên nhân dẫn đến các sai sót: người học chưa nhận ra hàm f(x) vế phải có

1 là nghiệm phương trình đặc trưng và đa thức của hàm f(x) là bậc nhất, nên việc

trình bày nghiệm còn lung tung.

Ví dụ 2.18.

Theo anh (chị) phương trình (4) 24 '' 2y y x có 1 nghiệm riêng

* Cách xác định sai sót của người học:

- * 4y Ax

- * 2y Ax Bx C

- * 2y Ax

* Cách viết đúng nghiệm riêng * 2 2( )y x Ax Bx C

40

* Nguyên nhân dẫn đến các sai sót: Ta thấy hàm 2( ) 2f x x là đa thức bậc 2, ở

đây người học cứ nghĩ là không có giá trị , nên viết nghiệm riêng của phương trình

không chính xác, nhưng nếu nhì rõ hơn ta có = 0 là nghiệm bội 2 của phương trình

do đó nghiệm riêng của phương trình phải là * 2 2( )y x Ax Bx C

Ví dụ 2.19.

Nghiệm riêng của phương trình '' 3 ' 2 sin cosy y y x x x sẽ được xác định là:

* Cách xác định sai sót của người học:

- * ( ) sin cosy Ax B x B x

- * s inx+ cosy Ax B x

* Cách viết đúng nghiệm riêng: * ( ) sin ( )cosy Ax B x Cx D x

* Nguyên nhân dẫn đến các sai sót: Người học đã quên nhận dạng vế phải của

phương trình có dạng ( ) ( )sin ( ) cosn mf x P x x Q x x , đầu tiên, gọi s= max{n, m}, sau

đó hình thành nghiệm riêng của phương trình là * ( ) sin ( )coss sy P x x Q x x . Do đó,

với vế phải phương trình là ( ) sin cosf x x x x , có 0i i không là nghiệm

phương trình đặc trưng nên nghiệm chính xác * ( ) sin ( )cosy Ax B x Cx D x .

Ví dụ 2.20.

Nghiệm riêng của phương trình '' 4 sin 2y y x x được xác định:

* Cách xác định sai sót của người học:

- * sin 2 cos 2y Ax x Bx x

- * ( )sin 2 ( ) cos 2y Ax B x Cx D x

- * 2( )sin 2y Ax Bx x

* Cách viết đúng nghiệm riêng: * 2 2( ) sin 2 ( )cos 2y Ax Bx x Cx Dx x

* Nguyên nhân dẫn đến các sai sót: Ở đây, việc nhận dạng hàm f(x) của vế phải

phương trình chưa được thành thạo cách xác nghiệm còn hạn chế, để xác định chính

xác trước hết, gọi s = max{n, m}, sau đó hình thành nghiệm riêng của phương trình là * ( )sin ( )coss sy P x x Q x x . Do đó, với vế phải phương trình là ( ) sin 2f x x x , có

0 2i i là nghiệm phương trình đặc trưng và dù hàm f(x) không chứa hàm cos

nhưng theo cách gọi nghiệm tổng quát thì nghiệm riêng chính xác của phương trình

vẫn là: * ( )sin ( )cosy x Ax B x x Cx D x .

41

Ví dụ 2.21

Phương trình '' 2 ' 2 cosxy y y e x có 1 nghiệm riêng được xác định là:

* Cách xác định sai sót của người học:

- * [( )sin ( ) cos ]xy e Ax B x Cx D x

- * [ sin cos ]xy e A x B x

- * cosxy e Ax x

* Cách viết đúng nghiệm riêng: * ( sin cos ]xy e Ax x Bx x

* Nguyên nhân dẫn đến các sai sót: Nhận thấy rằng, sai sót của người học chưa

nhận thấy được vế phải của phương trình ( ) sxf x e co x có i =1+i là nghiệm

phương trình đặc trưng, nên dãn đến việc sinh viết nghiệm của phương trình chưa

chính xác

Ví dụ 2.22.

Hãy viết nghiệm riêng của phương trình: 3'' 2 ' 2 5 6y y x x

* Cách xác định sai sót của người học

- * 3y Ax

- * 3y Ax Bx C

- * 3 2y Ax Bx Cx D

* Cách viết đúng nghiệm riêng: * 3 2y x Ax Bx Cx D

* Nguyên nhân dẫn đến các sai sót: người học lúng túng khi thấy hàm 2( ) 2f x x không có giá trị mà cũng không có i nên không nhận dạng được

phương trình thuộc dạng nào. Tuy nhiên nếu nhìn kỹ thì = 0 không là nghiệm

phương trình đặc trưng và nghiệm riêng chính xác của phương trình đã cho là

* 3 2y x Ax Bx Cx D .

2.2.3. Biện pháp 3: Rèn cho sinh viên về tính chính xác trong giải các bài

toán tìm nghiệm liên quan đến các phép toán Đại số, Đạo hàm, Tích phân

Trong quá trình tìm nghiệm riêng, cần có sự góp sức của các phép toán đại số,

tích phân, đạo hàm,…do đó, nếu người học chưa thuần thạo các phép toán này chắc

chắn sẽ có nhiều sai sót xảy ra.

42

● Người học cần chính xác trong các bài toán giải hệ phương trình đại số, cần

biết tính toán thông thao, nhanh nhẹn và chính xác.

Người học phải tự rèn luyện cho mình năng lực cách giải hệ phương tình bậc nhất

2 ẩn, 3 ẩn có chứa tham số, hay các phép toán cộng trừ nhân chia đơn giản có chứa

hàm mũ,…

Ví dụ 2.23. Bằng phương pháp biến thiên hằng số, phương trình

'' 3 ' 2 xy y y x e , có một nghiệm * 21 2( ) ( )x xy C x e C x e , với các hàm số

1 2'( ); '( )C x C x của hệ: ' ' 21 2' ' 21 2

( ) ( ) 0

( ) 2 ( )

x x

x x x

C x e C x eC x e C x e x e

được xác định:

* Cách giải sai sót của người học:

- '1' 22

( ) 1( )

x

x x

C x xeC x xe e

- '1' 22

( ) 1( )

x

x x

C x xeC x xe e

- '1' 22

( ) 1( )

x

x x

C x xeC x xe e

* Cách viết đúng hệ: '1' 22

( ) 1( )

x

x x

C x xeC x xe e

* Nguyên nhân dẫn đến các sai sót: người học chưa thành thạo trong các phép

toán đại số, đặc biệt khi nhân hay chia 2 vế cho các hàm ex và e2x.

Hay khi xét phương trình 4'' 4sin 2

y yx

, có nghiệm tổng quát của phương

trình thuần nhất là % 1 2os2 sin 2y C c x C x ; khi đó phương trình đã cho có nghiệm riêng *

1 2( )cos2 ( ) sin 2y C x x C x x , với các hàm số ' '1 2( ), ( )C x C x của nghiệm y* xác định từ hệ

' '1 2

' '1 2

( )cos2 ( )sin 2 04( )( 2sin 2 ) 2 ( )cos2

sin 2

C x x C x x

C x x C x xx

sẽ là

* Cách giải sai sót của người học:

- '1

'2

sin( )sin 2

cos( )sin 2

xC xx

xC xx

43

- '1

'2

1( )2

cos 2( )2sin 2

C x

xC xx

- '

1'2

( ) 0( ) 0

C xC x

* Cách viết đúng hệ: '1

'2

( ) 22cos 2( )sin 2

C xxC x

x

* Nguyên nhân dẫn đến các sai sót: người học chưa thành thạo trong các phép

toán đại số, đặc biệt các công thức lượng giác 2 2sin os 1u c u .

● Rèn luyện cho người học khả năng lấy chính xác các đạo hàm của hàm số:

Khi gặp các hàm số gồm tích của các hàm số sơ cấp, người học còn lúng túng trong

quá trình lấy đạo hàm, đặc biệt những nghiệm *y chứa các hàm lượng giác.

Ví dụ 2.25 Phương trình '' 4 os2y y xc x có nghiệm riêng * 2 2(Ax )cos2 ( )sin 2y Bx x Cx Dx x . Vì *y là nghiệm của phương trình nên khi thế

vào đẳng thức luôn đúng với mọi x

* Cách giải sai sót của người học: với * 2 2(Ax )cos2 ( )sin 2y Bx x Cx Dx x , ta

có: - * 2 2' [ ( 2 ) ]cos 2 [- ( 2 ) ]sin 2y Cx D A x B x Ax B C x D x

và * 2 2'' [ (4 ) 2 2 ]cos 2 [- (4 ) 2 2 ]sin 2y Ax C B x A D x Cx A D x C B x

- * 2 2' [ ( 2 ) ]cos 2 [ ( 2 ) ]sin 2y Cx D A x B x Ax B C x D x

và * 2 2'' [ (4 ) 2 2 ]cos 2 [ (4 ) 2 2 ]sin 2y Ax C B x A D x Cx A D x C B x

* Cách viết đúng hệ:

* 2 2' [2 (2 2 ) ]cos 2 [-2 ( 2 2 ) ]sin 2y Cx D A x B x Ax B C x D x

và * 2 2'' [ 4 (8 4 ) 2 4 ]cos 2 [-4 (8 4 ) 4 2 ]sin 2y Ax C B x A D x Cx A D x B C x

● Vì môn học này là sự nối tiếp của các môn Giải tích cổ điển, nên người học tự

trang bị cho mình bản năng, thông thạo các bài toán tích phân: tích phân các hàm số sơ

cấp, các phép đổi biến trong tích phân, tích phân từng phần hay tích phân các hàm hữu

tỷ, hàm lượng giác,…

Ví dụ 2.22. Ta có, với'1' 22

( ) 1( )

x

x x

C x xeC x xe e

thì các hàm 1 2( ); ( )C x C x được xác định:

44

* Cách giải sai sót của người học:

- 1

22

2

( )

( )2 4

x x

xx x

C x xe x ex eC x e e

- 1

22

2

( )

( )2 4

x x

xx x

C x xe x ex eC x e e

- 1

22

2

( )

( )2 4

x x

xx x

C x xe x ex eC x e e

* Cách viết đúng hệ: 1

22

2

( )

( )2 4

x x

xx x

C x xe x ex eC x e e

* Nguyên nhân dẫn đến các sai sót: người học chưa thành thạo và còn hạn chế

trong các bài toán tích phân.

45

Chương 3. THỰC NGHIỆM

3.1. Mục đích và nội dung thực nghiệm

3.1.1. Mục đích thực nghiệm

Làm sáng tỏ thêm khẳng định sai sót của người học khi tìm nghiệm PTVPTT

không thuần nhất.

Thực nghiệm nhằm xác định và điều chỉnh các biện pháp cho phù hợp để hạn

chế các sai sót của người học khi giải các bài toán về PTVP.

3.1.2 Nội dung thực nghiệm

Trang bị các kiến thức về môn học PTVP, đặc biệt là PTVPTT không thuần

nhất cấp n.

Trang bị cho người học các cách xác định nghiệm riêng của PTVPTT không

thuần nhất bằng phương pháp biến thiên hằng số và các dạng nghiệm bằng phương

pháp hệ số bất định.

3.2. Tổ chức thực nghiệm

Trong thời gian giảng dạy môn học PTVP, chúng tôi đã chọn đối tượng thực

nghiệm là người học chuyên ngành SP Toán gồm các lớp:, ĐHSToan 10A, ĐHSToan

10B với số lượng 72 người học.

3.2.1. Đặc điểm của đối tương thực nghiệm là các lớp sư phạm chuyên ngành

Toán của trường Đại học Đồng Tháp, trong quá trình thực hiện đề tài chúng tôi đã vận

dụng các biện pháp cho lớp ĐHSToan 10B, còn lớp ĐHSToan 10A vẫn dạy theo

phương pháp cũ.

3.2.2. Quá trình thực nghiệm: Qua giảng dạy phân môn PTVP cho các lớp

trên, do năng lực thực sự của người học còn hạn chế nên việc tiếp thu chưa tốt khi dạy

kiến thức mới. Mặt khác, thời lượng giảng dạy không nhiều nên không thể truyền đạt

hết nội dung như yêu cầu. Do đó, chúng tôi phối hợp các phương pháp dạy học:

phương pháp giải quyết vấn đề và phương pháp đàm thoại để thể hiện các nguyên tắc

và các biện pháp đã đề xuất.

Chúng tôi luôn nhắc nhở về những sai sót thường gặp của người học khi tìm

nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất.

46

a) Nắm vững lý thuyết khi tìm nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất

bằng phương pháp biến thiên hằng số gồm:

+ Cách biến thiên các hằng số từ nghiệm tổng quát của PTVPTT thuần nhất.

+ Xác định chính xác hệ phương trình tìm các hàm 1'( ) n

i iC x

.

b) Cần phân biệt rõ PTVPTT với hệ số hằng và hệ số bất kỳ nhằm viết nghiệm

chính xác hơn

c) Nắm vững các cách xác định nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất

với hệ số hằng bằng phương pháp hệ số bất định .

d) không nên sai sót trong các phép toán đại số, cũng như các bài toán đạo hàm,

tích phân. Cẩn thận với các bước giải và kiểm tra kết quả sau khi giải xong.

3.3. Kết quả thực nghiệm

Công tác thực nghiệm được đánh giá qua các mặt định lượng và định tính.

3.3.1 Kết quả định lượng

Thông qua bài khảo sát và kiểm tra giữa kỳ các người học còn mắc sai sót ở các

mục: 2.1.1; 2.1.2; 2.1.3; 2.1.4.

Sai sót mục

Lớp 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4

Thực nghiệm(39 người

học)

ĐHSToan 10A

TS: 5(sv)

Tỷ lệ: 12,8%

TS: 6(sv)

Tỷ lệ 15,4%

TS:8 (sv)

Tỷ lệ 20,5%

TS: 3(sv)

Tỷ lệ: 7,7%

Đối chứng (33 người học)

ĐHSToan 10B

TS: 8(sv)

Tỷ lệ 24,2%

TS: 10(sv)

Tỷ lệ 30,3%

TS:6 (sv)

Tỷ lệ 18,2%

TS: 7(sv)

Tỷ lệ:21,2%

Kết quả điểm số giữa kỳ của 2 lớp

Điểm

Lớp Dưới 4

Từ 4đến

dưới 5,5

Từ 5,5 đến

dưới 7

Từ 7 đến

dưới 8,5

Từ 8,5 trở

lên

Đối chứng (39

người học)

ĐHSToan 10A

TS: 7(sv)

Tỷ lệ: 18%

TS:14(sv)

Tỷ lệ 35,9%

TS:10 (sv)

Tỷ lệ 25,6%

TS: 5(sv)

Tỷ lệ: 12,8%

TS: 3(sv)

Tỷ lệ: 7,7%

Thực nghiệm

(33 người học)

ĐHSToan 10B

TS: 2(sv)

Tỷ lệ 6,1%

TS: 5(sv)

Tỷ lệ 15,2%

TS:10 (sv)

Tỷ lệ 30,3%

TS: 8(sv)

Tỷ lệ:24,2%

TS: 8(sv)

Tỷ lệ:24,2%

47

3.3.1 Kết quả định tính

Người học được trang bị chính xác các khái niệm, tính chất, các thuật toán giải,

nên luôn có ý thức sử dụng hợp lý khi tìm nghiệm riêng PTVPTT không thuần nhất.

Người học dễ dàng tiếp cận các cách giải và ít bị nhầm lẫn giữa các dạng toán

khác nhau.

Người học sử dụng chính xác các ký hiệu toán học và diễn đạt tương đối chuẩn

về các bài toán.

48

KẾT LUẬN

1. Kết quả đạt được

Qua những năm giảng dạy phân môn PTVP ở trường Đại học Đồng Tháp và

quá trình nghiên cứu, đề tài đã đạt một số kết quả sau:

- Xây dựng được cơ sở lý luận và thực tiễn cho việc hạn chế, phát hiện và sửa chữa

sai sót của sinh viên khi tìm nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất.

- Phân tích các sai lầm thường gặp của sinh viên khia tìm nghiệm riêng của

PTVPTT không thuần nhất.

- Đưa ra một số biện pháp nhằm hạn chế, phát hiện và sửa chữa các sai lầm trên.

- Tiến hành thực nghiệm đánh giá hiệu quả và tính khả thi phương pháp dạy học

dựa trên các số liệu thu được.

2. Hạn chế của đề tài

- Đề tài chỉ sử dụng một vài phương pháp dạy học, chưa phối hợp nhiều phương

pháp dạy học hiện đại để phát hiện và sửa chữa các sai sót cho sinh viên.

- Mẫu thực nghiệm của đề tài nhỏ.

- Chưa thành lập diễn đàn để sinh viên trao đổi về môn học

3. Hướng phát triển của đề tài

- Nghiên cứu thêm một số phương pháp dạy học khác để bài giảng ngày càng

hoàn thiện hơn.

- Trau đổi với các đồng nghiệp để rút kinh nghiệm cho bản thân nhằm cải thiện

cách dạy và cách đánh giá.

- Xây dựng các phương tiện dạy học cho các môn học khác.

Tóm lại: Tuy có sự cố gắng trong học hỏi cũng như trong giảng dạy nhưng chắc

hẳn trong đề tài này không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý

kiến của quý thầy cô và tất cả các bạn đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn.

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn !

49

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Phạm Minh Hạc, Lê Khanh, Trần Trọng Thủy, Phạm Hoàng Gia, Tâm Lý học

tập 2, NXB Giáo dục, năm 1989

[2] Nguyễn Thế Hoàn, Trần Văn Nhung, Bài tập phương trình vi phân , NXB

Giáo dục

[3] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2000), phương trình vi phân và lý thuyết ổn

định, NXB Giáo dục.

[4] Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại học sư

phạm Hà Nội

[5] Lê Thống Nhất, luân án tiến sĩ (1996)

[6] Nguyễn Đình Phư (2004), Phương trình vi phân, NXB Đại học quốc gia TP Hồ

Chí Minh

[7]. Nguyễn Ngọc Quang, Lý luận dạy học đại cương(1986-1989).

[8] Trần Trọng Thủy – Nguyễn Công Uẩn (2003), Tâm lí học đại cương, NXB Hà

Nội

[9] Luật Giáo dục 2005 - QH11

50

PHỤ LỤC 1

Với kiến thức đã học, các anh (chị) hãy lựa chọn câu thích hợp cho các câu sau

a. Bằng phương pháp biến thiên hằng số hãy xác định tính đúng đắn của các

câu sau

Câu1. Giả sử phương trình 1 2 3''' ( ) '' ( ) ' ( ) ( )y p x y p x y p x y f x có hệ

nghiệm cơ bản của PTVP thuần nhất là: 1 2 3; ;y y y . Bằng phương pháp biến thiên

hằng số, theo các anh (chị) câu nào đúng

a) Phương trình đã cho có một

nghiệm: *1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( )y C x y C x y C x y

c) Phương trình đã cho có một

nghiệm: *2 1 3 2 1 3( ) ( ) ( )y C x y C x y C x y

b) Phương trình đã cho có một

nghiệm: *3 1 1 2 2 3( ) ( ) ( )y C x y C x y C x y

c) Cả ba ý trên đều đúng

Câu2. Giả sử phương trình 1 2 3''' ( ) '' ( ) ' ( ) 0y p x y p x y p x y có một nghiệm *

1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( )y C x y C x y C x y , theo các anh (chị) cấu nào chính xác nhất

a) Các hàm số 1 2 3( ), ( ), ( )C x C x C x được

xác định từ hệ:

1 1 2 2 3 3

' ' '1 1 2 2 3 3

'' '' ''1 1 2 2 3 3

( ) ( ) ( ) 0( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) ( )

C x y C x y C x yC x y C x y C x yC x y C x y C x y f x

c) Các hàm số 1 2 3( ), ( ), ( )C x C x C x được

xác định từ hệ:

' ' ' ' ' '1 1 2 2 3 3

' '' ' '' ' ''1 1 2 2 3 3' ''' ' ''' ' '''1 1 2 2 3 3

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) ( )

C x y C x y C x y

C x y C x y C x yC x y C x y C x y f x

b) Các hàm số 1 2 3( ), ( ), ( )C x C x C x được

xác định từ hệ:

' ' '1 1 2 2 3 3' ' ' ' ' '1 1 2 2 3 3

' '' ' '' ' ''1 1 2 2 3 3

( ) ( ) ( ) 0( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) ( )

C x y C x y C x yC x y C x y C x yC x y C x y C x y f x

d) Cả ba ý trên đều đúng

Câu3. Xét phương trình '' 3 ' 2 xy y y x e , theo các anh (chị) phương trình đã

cho có 1 nghiệm:

a) * 21 2( ) ( )x xy C x e C x e

c) * 21 2( ) ( )x xy C x e C x e

b) * 21 2( ) ( )x xy C x e C x e

d) * 21 2( ) ( )x xy C x e C x e

51

Câu4. Theo các anh (chị) bằng phương pháp biến thiên hằng số, các

hàm số 1 2( ), ( )C x C x của nghiệm riêng trong câu 3 được xác định từ hệ:

a) ' ' 21 2' ' 21 2

( ) ( ) 0( ) ( )

x x

x x x

C x e C x eC x e C x e x e

c) ' ' 21 2' ' 21 2

( ) ( ) 0( ) 2 ( )

x x

x x x

C x e C x eC x e C x e x e

b) ' ' 21 2

' ' 21 2

( ) ( ) 0( ) ( )

x x

x x x

C x e C x eC x e C x e x e

d) ' ' 21 2

' ' 21 2

( ) ( ) 0( ) 2 ( )

x x

x x x

C x e C x eC x e C x e x e

Câu5. Theo kết quả câu 4, các hàm số ' '1 2( ), ( )C x C x các anh (chị) xác định là

a) '1' 22

( ) 1( )

x

x x

C x xeC x xe e

c) '1' 22

( ) 1

( )

x

x x

C x xeC x xe e

b) '1' 22

( ) 1( )

x

x x

C x xeC x xe e

d) '1' 22

( ) 1

( )

x

x x

C x xeC x xe e

Câu6. Từ kết quả câu 5, các anh (chị) xác định được 1 2( ), ( )C x C x là

a) 1

22

2

( )

( )2 4

x x

xx x

C x xe x ex eC x e e

c) 1

22

2

( )

( )2 4

x x

xx x

C x xe x ex eC x e e

b) 1

22

2

( )

( )2 4

x x

xx x

C x xe x ex eC x e e

d) 1

22

2

( )

( )2 4

x x

xx x

C x xe x ex eC x e e

Câu7. Phương trình 4'' 4sin 2

y yx

có nghiệm tổng quát của phương trình

thuần nhất % 1 2cos 2 sin 2y C x C x Theo các anh (chị) nghiệm riêng của phương trình

đã cho có dạng

a) *1 2cos 2 sin 2y C x C x

c) *1 2( )cos ( ) siny C x x C x x

b) *1 2( )cos2 ( )sin 2y C x x C x x

d) *1 2( )cos ( )sin 2y C x x C x x

Câu8. Theo anh (chị) các hàm số 1 2( ), ( )C x C x của nghiệm *y ở câu 7 được xác

định từ hệ:

a) ' '1 2

' '1 2

( )cos2 ( )sin 2 04( )( sin 2 ) ( )cos2

sin 2

C x x C x x

C x x C x xx

c) ' '1 2' '1 2

( )cos2 ( ) sin 2 0( )( 2sin 2 ) 2 ( )cos2 0

C x x C x xC x x C x x

b) ' '1 2' '1 2

( )cos ( ) sin 0( )( sin ) ( )cos sin 2

C x x C x xC x x C x x x

d) ' '1 2

' '1 2

( )cos2 ( )sin 2 04( )( 2sin 2 ) 2 ( )cos2

sin 2

C x x C x x

C x x C x xx

52

Câu9. Từ câu 8, anh (chị) sẽ tìm được ' '1 2( ), ( )C x C x là:

a) '1

'2

sin( )sin 2

cos( )sin 2

xC xx

xC xx

c) '1

'2

1( )2

cos 2( )2sin 2

C x

xC xx

b) '1

'2

( ) 22cos 2( )sin 2

C xxC x

x

d) '1'2

( ) 0( ) 0

C xC x

Câu 10. Các hàm số 1 2( ), ( )C x C x ở câu 9 sẽ là

a) 1

2

1 cos( ) ln1 cos

1 sin( ) ln1 sin

xC xx

xC xx

c) 1

2

( ) 1( ) 2

C xC x

b) 1

2

( ) 2( ) ln(sin 2 )

C x xC x x

d) 1

2

1( )2

ln(sin 2 )( )4

C x x

xC x

b. Bằng phương pháp hệ số bất định hãy xác định tính đúng đắn của các

câu sau

Câu11. Theo anh (chị) phương trình (4) 24 '' 2 xy y x e có 1 nghiệm:

a) * 3 xy Ax e

c) * 2( ) xy Ax Bx C e

b) * 2 2( ) xy x Ax Bx C e

d) * 2( )y Ax Bx C

Câu12. Theo anh (chị) phương trình '' 3 ' 2 xy y y xe có 1 nghiệm:

a) * 2 xy Ax e

c) * 2( ) xy Ax Bx C e

b) * ( ) xy Ax B e

d) * 2( ) xy Ax Bx e

Câu13. Theo anh (chị) phương trình '' 3 ' 2 xy y y xe có 1 nghiệm:

a) * xy Axe

c) * 2( ) xy Ax Bx C e

b) * ( ) xy Ax B e

d) * 2( ) xy Ax Bx e

Câu14. Theo anh (chị) phương trình '' 3 ' 2 siny y y x x câu nào có đáp án

chính xác nhất

a) Phương trình có 1 nghiệm riêng * sin cosy Ax x Bx x

b) Phương trình có 1 nghiệm riêng * ( ) s inxy Ax B

53

c) Phương trình có 1 nghiệm riêng * ( ) sin ( )cosy Ax B x Cx D x

d) Cả ba ý trên đều sai

Câu15.Theo anh (chị) phương trình (4) 24 '' 2y y x câu nào có đáp án đúng

a) Phương trình có 1 nghiệm riêng * 3y Ax

c) Phương trình có 1 nghiệm riêng * 2( )y Ax Bx C

b) Phương trình có 1 nghiệm riêng * 2 2( )y x Ax Bx C

d) Cả ba ý trên đều sai.

Câu16.Theo anh (chị) phương trình 2

(4)2

24 ''xey y

x câu nào có đáp án đúng

a) Phương trình có 1 nghiệm riêng * 3 2 xy Ax e

c) Phương trình có 1 nghiệm riêng 2

*2

xeyAx Bx C

b) Phương trình có 1 nghiệm riêng * 2 2 2( ) xy x Ax Bx C e

d) Cả ba ý trên đều sai.

Câu17. Theo anh (chị) phương trình '' 4 sin 2y y x x có 1 nghiệm:

a) * 2 2( )sin 2 ( )cos 2y Ax Bx x Cx Dx x

c) * sin 2 cos 2y Ax x Bx x

b) * ( )sin 2 ( ) cos 2y Ax B x Cx D x

d) * 2( )sin 2y Ax Bx x

Câu18. Theo anh (chị) phương trình 4'' 4sin 2

y yx

câu nào có đúng

a) Phương trình có 1 nghiệm riêng * 2 2( ) sin 2 ( )cos 2y Ax Bx x Cx Dx x

c) Phương trình có 1 nghiệm riêng * 2( )sin 2y Ax Bx x

b) Phương trình có 1 nghiệm riêng * ( ) sin 2 ( ) cos 2y Ax B x Cx D x

d) Cả 3 ý trên đều sai

Câu19. Theo anh (chị) phương trình '' 3 ' 2 2sin 3 cosy y y x x câu nào có

chính xác nhất

a) Phương trình có 1 nghiệm riêng * sin 3 cosy A x B x

c) Phương trình có 1 nghiệm riêng * sin cos 3y A x B x

b) Phương trình có 1 nghiệm riêng * sin 3 cosy Ax x Bx x

d) Cả 3 ý trên đều sai.

54

Câu20. Theo anh (chị) phương trình '' 2 cos 2y y x x có 1 nghiệm:

a) * ( ) cos 2y Ax B x

c) * sin 2 cos 2y Ax x Bx x

b) * ( )sin 2 ( ) cos 2y Ax B x Cx D x

d) * ( )sin 2y Ax B x

Câu21. Theo anh (chị) phương trình '' 2 ' 2 sxy y y e co x có 1 nghiệm:

a) * ( sin cos ]xy e Ax x Bx x

c) * [ sin cos ]xy e A x B x

b) * [( )sin ( ) cos ]xy e Ax B x Cx D x

d) * osxy e Axc x

Câu22. Theo anh (chị) phương trình '' 2 ' 2 sy y y xco x có 1 nghiệm:

a) * sin cosy Ax x Bx x

c) * siny Ax x

b) * ( ) sin ( )cosy Ax B x Cx D x

d) * cosy Ax x

Câu23.Theo anh (chị) phương trình 2'' 2 ' 2 2y y y x câu nào có đáp án đúng

a) Phương trình có 1 nghiệm riêng * 3y Ax

c) Phương trình có 1 nghiệm riêng * 2( )y Ax Bx C

b) Phương trình có 1 nghiệm riêng * 2 2( )y x Ax Bx C

d) Cả ba ý trên đều sai.

Câu24. Theo anh (chị) phương trình ''' ' s inxxy y xe có 1 nghiệm:

a) * [( )cos ( )sinx] xy Ax B x Cx D e

c) * [ cos sin ] xy Ax x Bx x e

b) * 2 2[( )cos ( )s inx]xy e Ax Bx x Cx Dx

d) * ( ) sinxxy Ax B e

55

PHỤ LỤC 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP

Khoa Toán học

Kiểm tra giữa kỳ

Lớp: Các lớp SP Toán

Thời gian : 90 phút

Câu 1 (4 điểm). Hãy viết nghiệm riêng của các phương trình sau.

a. '' 2 ' 2 sxy y y e co x ,

b. (4) 24 '' 2y y x ,

c. 2

(4)2

24 ''xey y

x ,

d. ''' ' s inxxy y xe .

Câu 2 (6 điểm). Giải các phương trình sau

a. 4'' 4sin 2

y yx

,

b. '' 3 ' 2 xy y y xe ,

c. '' 4 sin 2y y x x .

Hết