Chukienthuc.com cach-tinh-tich-phan-vhquoc

Tích phân ôn thi đại học www.MATHVN.com Võ Hữu Quốc

www.MATHVN.com – Facebook: facebook.com/mathvn.com 1

CÁC DẠNG TÍCH PHÂN VÀ CÁCH TÍNH A - TÍCH PHÂN HÀM PHÂN TH ỨC: Dạng ( )

( )

P x

Q x

Dạng 1: Bậc của tử lớn hơn (hay bằng) bậc của mẫu: Cách giải: Ta thực hiện phép chia đa thức cho đa thức

Ví dụ 1: 1 12

0 0

2 3 5 192 7

2 2

x xI dx x dx

x x

+ + = = + + − − ∫ ∫ = ( )2 1

07 19ln | 2 | |x x x+ + −

Chú ý: 2

1b

a

I dxax bx c

=+ +∫ (Rất quan trọng trong tích phân hữu tỉ)

TH1: Mẫu có 2 nghiệm. Đặt 2

1

ax bx c+ + 1 2

A B

x x x x= +

− − giải ra tìm A, B

Ví dụ 2: 1 1

20 0

1 1

3 2 ( 1)( 2)I dx dx

x x x x= =

+ + + +∫ ∫ .

Làm ngài nháp: 0 11 ( 2) ( 1) ( ) 2

2 1 1( 1)( 2) 1 2 ( 1)( 2) ( 1)( 2)

A B AA B A x B x A B x A B

A B Bx x x x x x x x

+ = = + + + + + += + = = ⇒ ⇔ + = = −+ + + + + + + +

Khi đó ( )1 1 1

102

0 0 0

1 1 1 1ln | 1| ln | 2 | |

3 2 ( 1)( 2) 1 2I dx dx dx x x

x x x x x x = = = − = + − + + + + + + +

∫ ∫ ∫

TH2: Mẫu có 1 nghiệm. Phân tích ( )220ax bx c a x x+ + = − . Tính trực tiếp

Ví dụ 3: 1 1

102 2

0 0

1 1 1|

4 4 ( 2) 2I dx dx

x x x x

−= = =+ + + +∫ ∫

TH3: Mẫu vô nghiệm. Phân tích 2

222 4

bax bx c a x

a a

∆ + + = + −

. Đặt 2

tan2 4

bx t

a a

∆+ = −

Ví dụ 4: 1 1

2 20 0

1 1

4 7 ( 2) 3I dx dx

x x x= =

+ + + +∫ ∫

Đặt 22 3 tan 3(1 tan )x t dx t dt+ = ⇒ = + . đổi cận 2 30 tan , 1 tan

3 3x t Arc x t Arc= ⇒ = = ⇒ =

khi đó arctan3/ 3 arctan3/ 3 arctan3/ 3

2 2 arctan3/ 32 arctan 2/ 32

arctan 2/ 3 arctan 2/ 3 arctan 2/ 3

1 1 1 1.(1 tan ) .(1 tan ) |

3(tan 1) 3 3( 3 tan ) 3I t dt t dt dt t

tt= + = + = =

++∫ ∫ ∫

Đặc biệt: + 2

1I dx

x a=

+∫ . Đặt tana t x= + 2

1I dx

x a=

−∫ là dạng TH1 (a > 0)

Ví dụ 5: a)1

20

1

5I dx

x=

+∫ . Đặt 5 tanx t= . Giải hoàn toàn tương tự Ví dụ 4

b) 1 1

20 0

1 1

5 ( 5)( 5)I dx dx

x x x= =

− − +∫ ∫ . Giải tương tự Ví dụ 2

Dạng 2: Một số phép biến đổi thường dùng (phải nhớ từng dạng và cách biến đổi)

+ 2 2

( ) 1.

( ) ( )

nn

n

ax b ax bI dx dx

cx d cx d cx d+

+ + = = + + + ∫ ∫ . Từ đây đặt t = ax b

cx d

++

Ví dụ 6: a) 31 13

5 20 0

(2 3) 2 3 1.

(4 1) 4 1 (4 1)

x xI dx dx

x x x

+ + = = + + + ∫ ∫ . Đặt

2

2 3 10

4 )

1 (4 1

xdt dx

x xt

+ −⇒ =

+ +=



* Tương tự: 1/ 1 5

70

( 2)

(3 5)

xI

x

+=−∫ 2/

1 2

40

(5 2)

(3 1)

xI

x

−=+∫

b) Áp dụng phương pháp trên:

1 1 1

3 33 5 6 20 0 08

6 61 1

3 32 60 0

1 1 1 1 1. .

(2 3) (4 1) (4 1) (4 1)2 3 2 3.(4 1)

4 1 4 1

1 1 2.(2 3) (4 1) 1 1 1 2 3 1. . . .2. 1 .

5 4 1 (4 1) 5 4 1 (42 3 2 34 1 4 1

I dx dx dxx x x xx x

xx x

x x xdx

x x xx x

x x

= = =+ + + ++ + + + +

+ − + + = = − + + + + + + +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ 21)dx

x+

Đặt t =

2 3

4 1

x

x

++

* Tương tự: 1/ 1

3 70

1

(3 4) (3 2)I dx

x x=

+ −∫ 2/ 1

3 40

1

(2 1) (3 1)I dx

x x=

− −∫

Ví dụ 7: Các phép biến đổi hay

a) 3 3 3 3 3 32 2 2 2

3 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1

1 ( 3) 1 3 1 1

3 ( 3) 3 ( 3) 3 ( 3) ( 3) 3 3

dx dx x x dx x x xI dx dx dx

x x x x x x x x x x x x

− − −= = = = − = − − − − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

+ I1: Đặt t = x2 - 3 + I2: ln|x|

* Tương tự: 1/ 3

9 51 3

dxI

x x=

+∫ 2/ 3

61 3

dxI

x x=

+∫

Tổng quát: 1 ( )

( ) ( ) ( ) ( )

b b b bm m m m

n m n m n m n ma a a a

dx x x k x x kI dx dx dx

x x k k x x k x x k x x k

− + += = = −+ + + +∫ ∫ ∫ ∫

b) 3 3 32 2 2

42 21 1 1

2

1 11 11

1 11 ( ) 2

x x xI dx dx dxx x x

x x

+ ++= = =+ + − +

∫ ∫ ∫ . Từ đây đặt t = 1x

x− (ở bước đầu chia cho x2)

* Tương tự: 1/ 3 2

41

1

1

xI dx

x

−=+∫ 2/

3 2

4 3 21

1

5 4 5 1

xI dx

x x x x

−=− − − +∫

BÀI TẬP TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ

1/ 1 3

3 20

1

5 6

xI dx

x x x

+=− +∫ 2/

3 2

22

3 3 3

( 2)( 1)

x xI dx

x x

+ +=+ −∫ 3/

2

31 ( 1)

dxI dx

x x=

+∫

4/ 1

0

3 1

( 2)( 1)

xI dx

x x

+=+ +∫ 5/

1

30

3 1

( 1)

xI dx

x

+=+∫ 6/

3 3

20 1

xI dx

x=

+∫

7/ 4 3

23

3

3 2

xI dx

x x=

− +∫ 8/ 2 3

21 ( 1)

xI dx

x=

+∫ 9/ 3

30

dxI dx

x x=

+∫



10/ 2

5 31

dxI dx

x x=

+∫ 11/ 1

30 1

dxI dx

x=

+∫ 12/ 1 5

20 1

xI dx

x=

+∫

13/ 1

30 (1 2 )

xI dx

x=

+∫ 14/ 1 7

90

(3 5)

(1 2 )

xI dx

x

−=+∫ 15/

2

0

1

( 1)( 1)( 3)I dx

x x x=

− + +∫



B – TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC www.DeThiThuDaiHoc.com

Dạng 1: sin . osb

n m

a

I x c xdx= ∫

+ Nếu n hoặc m lẻ: Đặt hàm số dưới mũ chẵn bằng t (Tức là sinx = t hoặc cosx = t) + Nếu n, m cùng lẻ: Đặt t = sinx hoặc t = cosx đều được

+ Nếu n, m cùng chẵn thì dùng công thức hạ bậc: 2 21 cos 2 1 cos 2sin ,cos

2 2

x xx x

− += =

Dạng 2: [cos ].sinI f x xdx= ∫ - Hàm số ta có thể đưa hết về cosx và chỉ còn lại sinx là phần dư ở sau

(cách nhận dạng là số mũ của sinx lẻ). Đặt t = cosx. Các phép biến đổi: A1 = 3 2 2sin sin .sin (1 cos )sinx x x x x= = − ⇒ Tổng quát lên 2 1 2 2sin . os sin . os .sin (1 cos ) . os .sink batki k batki k batkix c x x c x x x c x x+ = = − (nhận dạng: sinx mũ lẻ)

A2 = 2 1 2 2 2 1 2 1

1 sinx s inx s inx

sin sin (sin ) (1 os )k k k kx x x c x+ + + += = =−

A3: Hàm số có chứa sin 2 2sin cosx x x=

áp dụng: 1/ 4

20

sin 2

3sin 4sin 1

xI dx

x x

π

=− +∫ 2/

4

30

1

sinI dx

x

π

= ∫ 3/ 2

0

sin 2 sin

cos 3

x xI dx

x

π

+=+∫

Dạng số 3: [sin ].cosI f x xdx= ∫ - Hàm số ta có thể đưa hết về sinx và chỉ còn lại cosx là phần dư ở

sau (cách nhận dạng là số mũ của cosx lẻ). Đặt t = sinx Các phép biến đổi: A1 = 3 2 2cos os . os (1 sin ) osx c x c x x c x= = − ⇒ Tổng quát lên 2 1 2 2cos .sin cos .sin .cos (1 cos ) .sin .cosk batki k batki k batkix x x x x x x x x x x+ = = − (nhận dạng: cosx mũ lẻ)

A2 = 2 1 2 2 2 1 2 1

1 cos cos cos

cos cos (cos ) (1 sin )k k k k

x x x

x x x x+ + + += = =−

A3: Hàm số có chứa sin 2 2sin cosx x x=

áp dụng: 1/ 4

2 5

0

sin . osI x c xdx

π

= ∫ 2/ 4

0

1

cosI dx

x

π

= ∫ 3/ 2

0

sin 2 cos

sin 3

x xI dx

x

π

+=+∫

Dạng số 4: 2 2[sin ,cos ].sin 2I f x x xdx= ∫ - Hàm số chứa 2 2sin ,cosx x và sin2x tách rời ra

Cách biến đổi: Đặt t = 2 2[sin ,cos ]f x x - Chú ý: + 2 2(sin ) ' sin 2 , (cos ) ' sin 2x x x x= = −

+ Đôi khi người ta không cho sin2x mà cho sinx.cosx ta biến đổi sinx.cosx = 1sin 2

2x

Ví dụ 8: a) /2

20

sin 2

1 os

xI dx

c x

π

=+∫ . Ta nhận thấy hàm số có chứa cos2x và sin2x

Đặt 21 cos sin 2sin 2

dtt x dt xdx dx

x= + ⇒ = − ⇒ =

−. đổi cận: x = pi/2 thì t = 1, x = 0 thì t = 2

Khi đó: 1

12

2

sin 2ln | || 2

sin 2

x dtI t ln

t x= = − =

−∫



b) /2

2 20

sin 2

cos 4sin

xI dx

x x

π

=+∫ . Ta nhận thấy hàm số có chứa đồng thời sin2x, cos2x và sin2x

Đặt 2 2 2 2 2 2cos 4sin cos 4sin 2 ( sin 2 4sin 2 )

3sin 2

tdtt x x t x x tdt x x dx dx

x= + ⇒ = + ⇒ = − + ⇒ = .

Đổi cận: x = pi/2 thì t = 2, x = 0 thì t = 1

Khi đó: 1

21

2

sin 2 2 2 2|

3sin 2 3 3

x tdtI t

t x= = =∫

Dạng 5: 2

1(tan ).

cosI f x dx

x= ∫ - Hàm số chứa mình tanx và

2

1

cos x tách rời ra

Cách biến đổi: Đặt t = tanx

Ví dụ 9: a) /4 2

20

(tan 1)

cos

xI dx

x

π += ∫

Đặt 22

1tan cos .

cost x dt dx dx x dt

x= ⇒ = ⇒ = . Đổi cận 0 0, / 4 1x t x tπ= ⇒ = = ⇒ =

Khi đó: 1 12

2 22

0 0

( 1) 7.cos ( 1)

cos 3

tI xdt t dt

x

+= = + =∫ ∫

Nhưng đề thi không cho một cách đơn giản vậy, có nghĩa là mình phải qua các phép biến đổi mới

nhận dạng được chứ lúc đầu chưa thấy có mình tanx và 2

1

cos x (yêu cầu kỹ năng và làm nhiều)

b) /4 2

4 2/4

sin

cos (tan - 2 tan 5)

xI dx

x x x

π

π−

=+∫ . Mới nhìn vào ta thấy có tanx nhưng có thêm 2 4sin ,cosx x . Ta sẽ

cố gắng tìm cách đưa về đúng dạng, Ở ví dụ sau ta sẽ thấy điều đó: /4 /42 2

4 2 4 2/4 /4

/4 /422

2 2 2 2 2/4 /4

2

2 2

sin sin 1.

cos (tan - 2 tan 5) cos tan - 2 tan 5

sin 1 1 1 1. . tan . .

cos cos tan - 2 tan 5 cos tan - 2 tan 5

tan 1.

tan - 2 tan 5 cos

x xI dx dx

x x x x x x

xdx x dx

x x x x x x x

x

x x x

π π

π ππ π

π π

− −

− −

= = + +

= = + +

=

+

∫ ∫

∫ ∫/4

/4

dxπ

π−

∫

Từ bài này ta có thể tổng quát được rằng cứ số mũ của sin ở trên tử nhỏ hơn số mũ của cos ở dưới mẫu là ta tách như vậy Chú ý: Các phép biến đổi thường dùng để đưa về dạng này

A1 = 24 2 2 2

1 1 1 1. (1 tan ).

cos cos cos cosx

x x x x= = + . Từ đây làm cho thầy

6

1

cos x???

Tổng quát lên cosx mũ chẵn ta sẽ giải quyết được hết bằng cách này (Nếu cosx mũ lẻ ta cũng giải quyết được bằng A2 dạng 3)

A2 = 2 2

1

sin sin .cos cosa x b x x c x d+ + + ta sẽ chia cả tử và mẫu cho cos2x

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

1/ cos 1/ cossin sin .cos cos tan tan (1 tan )cos cos cos cos

x x

x x x x d a x b x c d xa b c

x x x x

= =+ + + ++ + +



A3 = 2 2 2 2

1 1

cos cos ( os sin ) ( os sin )2 2 2 2 2 2x x x x x xasinx b x c asin b c c c

=+ + + − + +

(Chia cả tử và mẫu cho

2s2

xco )

A4 = 2 2 2 2 2

1 1

( s inx os ) sin 2 sin cos cosa bc x a x ab x x b x=

+ + + (phải dạng A2 chưa?)

A5 = 2 2 2 2 2 2

1 1 1

osx (sin os ) ( os sin ) ( 1)sin ( 1)cos2 2 2 2 2 2x x x x x xa c a c c a a

= =+ + + − − + +

(Chia cả tử và mẫu

cho?)

A6 = 2 2 2 2

1 1 1

sinx (sin os ) 2sin os sin 2sin os cos2 2 2 2 2 2 2 2x x x x x x x xa a c c a c a

= =+ + + + +

(Chia cả tử và mẫu

cho?)

Dạng 6: 2

1(cot ).

sinI f x dx

x= ∫ - Hàm số chứa mình cotx và

2

1

sin x tách rời ra

Cách biến đổi: Đặt t = cotx

Ví dụ 10: a) /4

2/6

3cot 1

sin

xI dx

x

π

π

+= ∫ . nếu theo 1 cách máy móc thì thấy hàm số chứa cotx và 2

1

sin x thì ta

đặt t = cotx. Nhưng nếu tinh ý ta đặt nguyên căn bằng t bài toán sẽ đơn giản hơn rất nhiều. Không tin hãy thử? Cũng giống dạng 6 thì đề rất ít khi cho sẵn dạng, mà phải qua phép biến đổi.

A1 = 24 2 2 2

1 1 1 1. (1 t ).

sin sin sin sinco x

x x x x= = + . Từ đây làm cho thầy

6

1

sin x???

A2, A3, A4, A5, A6 Ở dạng 4 ta có thể giải quyết bằng cách này bằng cách không chia cho cos nữa mà ta sẽ chia cả tử và mẫu cho sin. Thử coi? Từ đây ta có nhận xét: hầu hết các bài tích phân của hàm lượng giác mà tử số là hằng số sẽ được giải quyết bằng 2 cách dạng 4 hoặc dạng 5.

Dạng 7: cos

'sin 'cos '

asinx b x cI dx

a x b x c

+ +=+ +∫ - Hàm bậc nhất của sinx, cosx chia hàm bậc nhất của sinx,cosx

Hướng giải quyết: Tử = cos ( 'sin 'cos ') ( 'cos 'sin )asinx b x c A a x b x c B a x b x C+ + = + + + − +

Ví dụ 11: /2

0

sin 7cos 6

4sin 3cos 5

x xI dx

x x

π + +=+ +∫

Ta phân tích tử số: sin 7cos 6 (4sin 3cos 5) (4cos 3sin ) (4 3 )sin (3 4 )cos 5x x A x x B x x C A B x A B x A C+ + = + + + − + = − + + + +

Khi đó ta có hệ phương trình: 4 3 1

3 4 7

5 6

A B

A B

A C

− = + = + =

(tức là ta cho hệ số sinx, cosx ở đầu bằng cuối)

giải hệ phương trình ta được: A = 1, B = 1, C = 1

Khi đó: /2 /2

0 0

sin 7cos 6 (4sin 3cos 5) (4cos 3sin ) 1

4sin 3cos 5 4sin 3cos 5

x x x x x xI dx

x x x x

π π+ + + + + − += =+ + + +∫ ∫

/2 /2 /2

0 0 0

4sin 3cos 5 4cos 3sin 1

4sin 3cos 5 4sin 3cos 5 4sin 3cos 5

x x x xdx dx dx

x x x x x x

π π π+ + −= + ++ + + + + +∫ ∫ ∫



/2 /2

1

0 0

4sin 3cos 5

4sin 3cos 5 2

x xI dx dx

x x

π π π+ += = =+ +∫ ∫

/2

2

0

4cos 3sin

4sin 3cos 5

x xI dx

x x

π −=+ +∫ đặt t = mẫu

/2

3

0

1

4sin 3cos 5I dx

x x

π

=+ +∫ quay lại A3 của dạng 5

MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG DÙNG TRONG TÍNH TÍCH PHÂN

2 2 2 21/ sin 2 2sin .cos 2/ cos 2 cos sin 2cos 1 12sinx x x x x x x x= = − = − = − 2 2 21 cos 2 1 cos 2 1 cos 2

3 / sin 4 / cos tan2 2 1 cos 2

x x xx x x

x

− + −= = ⇒ =+

3 33sin sin 3 3cos cos35 / sin 6 /cos

4 2

x x x xx x

− += =

2 22 2

1 17 / 1 tan 8/ 1 t

cos sinx co x

x x= + = +

4 4 2 21 1 1 3 19 / sin cos 1 sin 2 cos 2 cos 4

2 2 2 4 4x x x x x+ = − = + = +

6 6 23 5 310 / sin cos 1 sin 2 cos 4

4 8 8x x x x+ = − = + 211/1 sin 2 (sin cos )x x x+ = +

CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM QUAN TRỌNG

2 2

2 22 2

1/ (sin ) ' sin 2 2 / (cos ) ' sin 2

1 13 / (tan ) ' 1 tan 4 / ( t ) ' 1 t

cos sin

x x x x

x x co x co xx x

= = −

= = + = = +

BÀI TẬP TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC

1/ /2

2

0

sin .cos (1 cos )I x x x dxπ

= +∫ 2/ /2

3

0

tanI xdxπ

= ∫ 3/ /2

0

sin 2 sin

1 3cos

x xI dx

x

π +=+∫

4/ /2

0

sin 2 .cos

1 cos

x xI dx

x

π

=+∫ 5/

/2 3

0

4sin

1 cos

xI dx

x

π

=+∫ 6/

/12

0

tan 4I xdxπ

= ∫

7/ /2 3

0

cos

1 sin

xI dx

x

π

=+∫ 8/

/2

2 20

3sin 4cos

3sin 4cos

x xI dx

x x

π +=+∫ 9/

/32

0

sin . tanI x xdxπ

= ∫

10/ /2 3

20

sin

1 cos

xI dx

x

π

=+∫ 11/

/2

0

cos 2

1 cos

xI dx

x

π

=+∫ 12/

/2cos

0

sin 2xI e xdxπ

= ∫

13/ /4

sin

0

(tan cos )xI x e x dxπ

= +∫ 14/ /2

sin

0

( cos )cosxI e x xdxπ

= +∫ 15/ /2

20

sin 2

4 cos

xI dx

x

π

=−∫

16/ /4 3

40

4sin

1 cos

xI dx

x

π

=+∫ 17/

/4 2

0

1 2sin

1 sin 2

xI dx

x

π −=+∫ 18/

/3

0

cos

2 cos 2

xI dx

x

π

=+∫

19/ 2

/2sin

0

.sin 2xI e xdxπ

= ∫ 20/ /2

0

cos

2 cos 2

xI dx

x

π

=+∫ 21/

/22 3

0

sin 2 (1 sin )I x x dxπ

= +∫

22/ /2

20

cos

1 cos

xI dx

x

π

=+∫ 23/

/24 4

0

cos 2 (sin cos )I x x x dxπ

= +∫ 24/ /2 3

20

sin .cos

1 cos

x xI dx

x

π

=+∫



25/ /2

20

sin 2

1 cos

xI dx

x

π

=+∫ 26/

/2

20

sin 4

1 cos

xI dx

x

π

=+∫ 27/

/22 3

0

sin 2 (1 sin )I x x dxπ

= +∫

28/ /2

2 20

sin 2

cos 4sin

xI dx

x x

π

=+∫ 29/

/2

2 20

sin cos

4cos 9 in

x xI dx

x s x

π

=+∫ 30/

/2

0

1

1 tanI dx

x

π

=+∫

31/ /4

40

1

cosI dx

x

π

= ∫ 32/ /4

6

0

tanI xdxπ

= ∫ 33/ /4

3

0

tanI xdxπ

= ∫

34/ /4

2 20 sin 2sin cos cos

dxI dx

x x x x

π

=+ −∫ 35/

/4 3

2 2 50

sin

(tan 1) os

xI dx

x c x

π

=+∫ 36/

/6 4

0

tan

cos 2

xI dx

x

π

= ∫

37/ /6 3

0

tan

cos 2

xI dx

x

π

= ∫ 38/ /2

0

1

1 sin 2I dx

x

π

=+∫ 39/

/4

20

1

(sin 2cos )I dx

x x

π

=+∫

40/ 4 /3 1

sin2

I dxx

π

π

= ∫ 41/ /2

0 1 cos

dxI

x

π

=+∫ 42/

/2

20

1

2 cosI dx

x

π

=−∫

43/ /2

4/4

1

sinI dx

x

π

π

= ∫ 44/ /2

2/4

3cot 1

sin

xI dx

x

π

π

+= ∫ 45/ /4

2/6

1

sin cotI dx

x x

π

π

= ∫

46/ /3

2 2/3

1

sin 9cosI dx

x x

π

π−

=+∫ 47/

/2 cot

2/4 sin

xeI dx

x

π

π

= ∫ 48/

/4

30

cos 2

(sin cos 2)

xI dx

x x

π

=+ +∫

49/ /4

0

cos 2

sin cos 2

xI dx

x x

π

=+ +∫ 50/

/2

/4

sin cos

sin cos

x xI dx

x x

π

π

−=+∫ 51/

/2

/4

1

1 sin 2I dx

x

π

π

=+∫

52/ /2

3/4

sin cos

sin cos

x xI dx

x x

π

π

+=−∫ 53/

/3

/4

sin cos

3 sin 2

x xI dx

x

π

π

+=+∫ 54/

/2

/4

sin cos

1 sin 2

x xI dx

x

π

π

−=+∫

55/ /2

30

cos 2

(sin cos 3)

xI dx

x x

π

=− +∫ 56/

/2

/4

sin cos

1 sin 2

x xI dx

x

π

π

−=+∫

57/ /2 6

6 6/4

sin

sin cos

xI dx

x x

π

π

=+∫ 58/

/2 3

3 3/4

sin

sin cos

xI dx

x x

π

π

=+∫ 59/

/2

/4

sin

sin cos

xI dx

x x

π

π

=+∫



C - TÍCH PHÂN HÀM VÔ T Ỉ (CHỨA CĂN) www.DeThiThuDaiHoc.com

Dạng 1: 2( ; )b

a

I f x x k dx= −∫ - Hàm số có chứa 2x k−

Hướng giải quyết: đặt 2

2 2 2 2 2 2( ) 22

t kx k t x x k t x x k t xt x x

t

+− = − ⇒ − = − ⇒ − = − + ⇒ =

Ví dụ 1: 1 2

20 3

xI dx

x=

−∫ . Nếu đặt t = căn thì việc giải sẽ rất khó khăn

Khi đó ta sẽ định hướng đặt 2 3x t x− = − 2 2

2 2 2 2 2 22

3 33 3 ( ) 3 2 ( )

2 2

t tx t x x t x x t xt x x dx dt

t t

+ −− = − ⇒ − = − ⇒ − = − + ⇒ = ⇒ =

22

3 6 3 6 3 62 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 23 3 3

32 3 ( 3) 2 ( 3) ( 3)( 3)

. .3 2 (2 ) ( 3) 2 (2 ) .

2

t

t t t t t t tI dt dt dt

t t t t t t tt

t

+ + +

+ − + − + − = = =

+ − + −−∫ ∫ ∫

Đến đây rồi việc giải tiếp dành cho các em!!!

Dạng 2: ( )( )I x a x b dx= + +∫ - Hàm số có chứa ( )( )x a x b+ +

Hướng giải quyết: 2

a bt x

+= +

Ví dụ 2: 1

0

( 1)( 3)I x x dx= + +∫

Đặt 1 32

2t x x

+= + = + dt dx⇒ = , 1 1, 3 1x t x t+ = − + = +

3 32

2 2

( 1)( 1) 1I t t dx t dx= − + = −∫ ∫ Hình như là đã quay về dạng 1. hehe!!!

Dạng 3: 1,

( )( )I dx a b

x a x b= <

− − +∫

Hướng giải quyết: 2( )sin , (0 )2

x a b a t tπ= + − < <

2 2 2

2( )sin cos

( )sin , ( )(1 sin ) ( ) os t

dx b a t tdt

x a b a t x b b a t b a c

= −− = − − + = − − = −

2 2 2

2( )sin cosI= 2 2

( ) sin cos

b a t tdt dt t

b a t t

− = =−∫ ∫

Ví dụ 3: 2

20

1

3 4I dx

x x=

− + +∫

Ta sẽ phân tích: 2 2

20 0

1 1

( 1)( 4)3 4I dx dx

x xx x= =

+ − +− + +∫ ∫ . Trình bày lời giải cho thầy.

Nhưng nếu phương trình trong căn vô nghiệm thì chắc chắn cách này sẽ không giải quyết được!!!!



Dạng 4 2( ; )I f x a x dx= −∫ - Hàm số có chứa 2a x−

Hướng giải quyết: Đặt sinx a t=

Ví dụ 4: 1

20

1

3I dx

x=

−∫ . đặt 3 sinx t= , trình bày lời giải tiếp.....

Ta quay lại với trường hợp phương trình trong căn vô nghiệm, coi cách này có giải quyết được không?

Ví dụ 5: 1

20

1

2 4I dx

x x=

− + +∫ đúng là phương trình trong căn vô nghiệm và có hệ số a < 0

Thử biến đổi: 2 2 22 4 ( 2 1) 5 5 ( 1)x x x x x− + + = − − + + = − + 1

20

1

2 4I dx

x x=

+ +∫ = 1

20

1

5 ( 1)I dx

x=

− +∫ . đặt 1 5 sinx t+ = thử coi được không?

Từ đó đặt câu hỏi: vô nghiệm nhưng hệ số a dương bài toán sẽ được giải quyết như thế nào?

Dạng 5: 2( ; )I f x x a dx= +∫

Hướng giải quyết: sẽ có 2 cách Cách 1: đặt tanx a t=

Cách 2: đặt 2x a x t+ + =

Ví dụ 6: 1

20

1

3I dx

x=

+∫

cách 1: đặt 23 tan 3(1 tan )x t dx t dt= ⇒ = + . đổi cận x = 0, t = 0: x = 1, t = / 6π

khi đó: 1 /6 /6 /6 /62 2

2

2 220 0 0 0 0

1 3(1 tan ) 3(1 tan ) 11 tan

cosx3 3(tan 1)( 3 tan ) 3

t dt t dtI dx tdt dx

x tt

π π π π+ += = = = + =+ ++

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = ???

cách 2: đặt 2 2

2 2 2 22

3 33 3 3 ( )

2 2

t tx x t x t x x t x x dx dt

t t

− ++ + = ⇒ + = − ⇒ + = − ⇒ = ⇒ =

đổi cận: x = 0, t = 3 : x = 1, t = 3

khi đó: 1 3 3 32 2

32 2 2 2 32

0 3 3 3

1 1 3 2 3 1. . ln | ln 3

3 2 3 232

t t tI dx dt dt dt t

t t t t tx tt

+ += = = = = =− ++ −

∫ ∫ ∫ ∫

Ví dụ 7: Đề thì sẽ không cho sẵn như trên, hoặc đó chỉ là bước tính cuối cùng của 1 bài tích phân 1

20

1

2 4I dx

x x=

+ +∫ - vô nghiệm và hệ số a dương

Ta có thể biến đổi: 2 22 4 ( 1) 3x x x+ + = + +

khi đó 1 1

2 20 0

1 1

2 4 ( 1) 3I dx

x x x= =

+ + + +∫ ∫

cách 1: 1 3 tanx t+ = . Giải tiếp.....

cách 2: 2( 1) 3 ( 1)x x t+ + + + = . Giải tiếp.... (ta xem x + 1 như là x trong ví dụ 6)

Dạng 6: 2

1

( ' ')I dx

a x b ax bx c=

+ + +∫



Hướng giải quyết: đặt 1

' 't

a x b=

+

Dạng 7: 1 1 or I dx dx

ax b ax c ax b ax c=

+ + + + − +∫ ∫

Hướng giải quyết: nhân cho lượng liên hợp (nếu cộng nhân tử và mẫu cho dấu trừ và ngược lại)

Dạng 8: 1n m

I dxx x k

=+∫

hướng giải quyết: đặt mx k

tx

+= (cách này sẽ sử dụng rất hiệu quả khi đặt t = căn không được)

Tổng kết lại - Hướng thứ nhất: đặt t = căn

- Hướng thứ hai: đặt tx

=

- Hướng thứ ba: dựa vào bảng sau Dấu hiệu Cách chọn

2 2a x− Đặt x = |a| sint; với ;

2 2t

π π ∈ −

hoặc x = |a| cost; với [ ]0;t π∈

2 2x a−

Đặt x = a

sint; với { }; \ 0

2 2t

π π ∈ −

hoặc x = a

cost; với [ ]0; \

2t

ππ ∈

2 2a x+ Đặt x = |a|tant; với ;

2 2t

π π ∈ −

hoặc x = |a|cost; với ( )0;t π∈

a x

a x

+−

hoặc a x

a x

−+

Đặt x = acos2t

( )( )x a b x− − Đặt x = a + (b – a)sin2t

2 2

1

a x+ Đặt x = atant; với ;

2 2t

π π ∈ −

BÀI TẬP TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ

1/ 4

27 9

dxI

x x=

+∫ 2/ 7 3

3 20 1

xI dx

x=

+∫ 3/ 1

3 2

0

1I x x dx= −∫

4/ 3

2 33/2 (1 )

dxI

x=

+∫ 5/ 3 3

33 31 2

dxI

x x=

−∫ 6/ 4

1 (1 )

dxI

x x=

+∫

7/ 4

4 21 1

dxI

x x=

+∫ 8/ 1

33 4 ( 4)

dxI

x x

−

−

=+ + +∫ 9/

6

4

4.

2 2

x dxI

x x

−=+ +∫



10/ 6

32

4

4.

2 (2 )

x dxI

x x

−=+ −∫ 11/

23

32

2

1.

1 ( 1)

x dxI

x x

− = + − ∫ 12/

16

41 (1 )

dxI

x x=

+∫

13/ 1

54

0

(1 )I x x dx= +∫ 14/ 3 5 3

20

2

1

x xI dx

x

+=+∫ 15/

2 3

25

1

4I dx

x x=

+∫

16/ 2 4

50 1

xI dx

x=

+∫ 17/ 3 3

20 1

xI dx

x=

+∫ 18/ 1

5 2

0

1I x x dx= −∫

19/ 9

3

1

1I x xdx= −∫ 20/ 2

4 21 1

dxI

x x−

=+∫ 21/

2

31 1

dxI

x x=

+∫

22/ 3/2

22 1

dxI

x x=

−∫ 23/ ( )

1

20 1 1

dxI

x x x=

+ + +∫ 24/ ( )

1

20 2 4 2

dx

x x x+ +∫

25/ 3

20

dxI=

x -3x+2∫ 26/

1

20

dxI=

x +2x+1∫ 27/

1

20 1

dxI

x x=

+ +∫

28/ 1

20 - - 2 3

dxI

x x=

+∫ 29/ 1

2

0

1.I x x dx= + +∫ 30/ 1

2

0

2 3.I x x dx= − − +∫

31/ 1

0 3 1 3 6

dxI

x x=

+ + +∫ 32/ 1

0 2 4 2 9

dxI

x x=

+ − +∫

Documents

Chukienthuc.com cach-tinh-tich-phan-vhquoc