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Christhian SanabriaDepartamento de Ingeniería Eléctrica
Facultad IngenieríaUniversidad Nacional Autónoma de Honduras
CIRCUITOS ELECTRICOS II
– Fundamentos Ingeniería Eléctrica
1
Contenido
IntroducciónRepresentación fasorialRelaciones de tensión y corriente
trifásicaCargas trifásicas Potencia trifásica Factor de potencia
2
Introducción
Antes de conducir a un análisis detallado de los modelos de los diferentes componentes que constituyen un circuito eléctrico de corriente alterna, es importante revisar algunos conceptos fundamentales para el análisis de redes eléctricas en CA.
3
Representación fasorial
Relación de tensiones y corrientes en el dominio del tiempo para un circuito serie R-L o R-C con fuente de corriente alterna (CA) con fuente de excitación tipo sinusoidal
4
Representación fasorial
exponencial
cos sin rectangular
polar
JEe
E jE
E
La representación fasorial permite representar cualquier función sinusoidal como un fasor o vector en un sistema de coordenadas complejo. Se puede usar las siguientes formas
En la mayoría de cálculos de redes eléctricas CA, es más conveniente trabajar en el dominio de la frecuencia, donde cualquier velocidad angular asociada con el fasor es ignorada, lo cuales se puede decir que el sistema de coordenadas complejo rota a velocidad angular
constante . 5
Fuente ideal de tensión
Fuente ideal de corriente
Circuitos Eléctricos Básicos
sv
+
-
i
+
-
si
Carga
Carga
si
i
i
v
sv
v
6
Ejemplo – Potencia para lampara incandescente Encontrar R si la lampara toma 60W a 12 V
Encontrar la corriente, I ¿Cuál es P si vs es el doble y R permanece
igual?
12sv V
+
-
i
Carga
125
2.4v
i AR
2vP v i
R
60P W2 212
2.460
vR
P
7
Resistencia equivalente para resistores en serie y paralelo Resistores en serie– la tensión se divide, la corriente es la
misma
v
+
-
1R
2R
NR
i
1 2EQ NR R R R
+
-
v
i
NodoTensiones
8
Resistencia equivalente para resistores en serie y paraleloResistores en paralelo– la corriente se divide, la
tensión es la misma
1 2
11 1 1
...EQ
N
R
R R R
Simplificación para 2 resistores
1 2
1 2EQ
R RR
R R
+
-
i
i
1R 2R NRv
Corrientes de rama
v
9
Divisores de tensión y corriente
i1R
2R
+
-
v
+
-outv
1 2EQ
v vi
R R R
2outv i R
2
1 2out
Rv v
R R
i
1R 2Rv
+
-2i1i 2
2
vi
R
1 2
1 2EQ
R Rv i R i
R R
12
1 2
Ri i
R R
Divisor de tensión
Divisor de corriente
10
Ángulos de fase Los ángulos son medidos con respecto a
una referencia, depende dónde se define t=0
Cuando se comparan señales, se define t=0 una vez y se mide toda otra señal con respecto a la referencia
La elección de la referencia es arbitrario– cambio de la fase relativa es lo que importa
La fase relativa cambia entre las señales independiente en donde se define t=0
11
Ejemplo: angulo de fase de referencia
Punto de onda abajo como refencia
1 sin4
v V t
2 sin 0v V t
1 sin 0v V t
2 sin4
v V t
1 2 4
1 2 4
• O punto de onda arriba como referencia, como se ve no importa!
12
Propiedades importantes: RMS
RMS = the square root of the mean of the squares of the values
RMS para una forma de onda períodica
RMS para una senoide (derive esto para tarea)
21( )
o
o
t T
RMSt
V v tT
sea ( ) cos( )pv t V t 2p
RMS
VV
T periodo
13
Propiedades importantes:Valores de potencia instantanea
Potencia instantanea en una carga
p(t)= ( ) ( )v t i t( )v t
+
-
( )i t
( )= cos( )
( )= cos( )
p V
p I
v t V t
i t I t
( )= ( ) ( )p t v t i t
( )= cos cos 22p p
V I V I
V Ip t t
“convención de signo elemento pasivo” – corriente y potencia en la carga
1cos cos cos cos
2
Identidad trigonométrica
14
Propiedades importantes: Potencia promedio
Potencia promedio se encuentra de
Encontrar la potencia promedio en una carga (derive esto para tarea)
( )= cos cos 22p p
V I V I
V Ip t t
1( )
o
o
t T
t
P p t dtT
T periodo
P= cos2p p
V I
V I P= cosRMS RMS V IV I
15
Propiedades importantes:Potencia Real
P se llama Potencia Real
cos(θV-θI) se llama el Factor de Potencia(pf)
Antes se debe revisar el tema de fasores y volver luego a estas definiciones …
P= cosRMS RMS V IV I
P= Re{VI*}
16
Repaso del análisis fasorial Fasores son usados en ingeniería eléctrica
(sistemas de potencia) para representar senoides de la misma frecuencia
Una simple deducción…
2 f ( ) cos( )pA t A t
1cos( )
2jx jxx e e
cos( )2
j t j tAA t e e
Identidad (Euler)
Ap denota el valor píco (máximo) de A(t)
17
Use la identidad de Euler
Escrito en notación fasorial como
cos sinjxe x j x Identidad
( ) cos( )
( ) Re
p
j t jp
A t A t
A t A e e
cos Re jxx e
or jRMS RMSA A e A A “Tilde denota un fasor”
or jA A e A A Otra, notación simplificada
Independientemente de la notación que use, ayuda a ser consistente
Note, una convención- la amplitud usada aqui es el valor RMS , no el valor de pico como es usado en otras clases!
Repaso del análisis fasorial
18
¿Por qué fasores? Simplifica los cálculos Se vuelven derivadas e integrales en ecuaciones
algebráicas
Hace más fácil resolver circuitos de C.A.
dA j A
dt
R( )
R i (t)= Rv tR
L( )
L (t)= Ldi tv L
dt
C( )
C (t)= Cdv ti C
dt
=V
RI
=Lj IV Vj L
I
I=Cj V 1VI j C
LjX j L
1cjX j
C 19
¿Por qué fasores?: circuitos RLC
R j L
1j C
R L
C
( ) cosv t V t V V
1( ) ( ) ( )
div t Ri t L i t dt
dt C
I( )i t
1V RI j LI I
j C
Para resolver la corriente ¿cuál circuito Usted prefiere?
+
-
+
-
20
Ejemplo de un circuito RLC
( ) 2 100cos 30v t t
3LX L
2 f
60Hzf
2 24 3 5Z 1 3
tan 36.94Z
100 3020 6.9
5 36.9V
IZ
( ) 2 20cos( 6.9 )i t t 21
Potencia Compleja
VV= RMSV
II= RMSI
Asterisco denota complejo conjugado
*
*
VI
VI cos sin
RMS RMS V I
RMS RMS V I RMS RMS V I
V I
V I jV I
SPotencia Aparente
PPotencia Real
QPotencia Reactiva
S = P+jQ
SQ
P
(θV-θI)
Tríangulo de Potencia
22
Potencia Aparente (S), Real (P), Reactiva (Q)
P = potencia real (W, kW, MW)Q = potencia reactiva (var, kvar, Mvar) S = potencia aparente (VA, kVA, MVA) Angulo del factor de potencia Factor de potencia (p.f.)
*
*
*
VI
VI
VI cos sin
RMS RMS V I
RMS RMS V I RMS RMS V I
S P jQ
V I
V I jV I
V I
cos( )pf 23
Recuerde ELI el ICE man
ELI ICE
Cargas inductivas
I atrasa V (o E)Cargas capacitivas
I adelanta V (o E)
S Q
P
(θV-θI)P
QS(θV-θI)
Q y θ positivo Q y θ negativo(generando Q)
“Convención de signo elemento pasivo” – corriente y potencia en la carga
Potencia Aparente (S), Real (P), Reactiva (Q)
24
Relación entre P, Q, y S puede ser deducido del triangulo de potencia
Ejemplo: Una carga toma100 kW con p.f. de 0.85 en adelanto. ¿Cuá es el factor de potencia, el ángulo, Q, y S?
cos
sin
P S
Q S
-1cos 0.85 31.8
100 kW117.6 kVA
0.85Q=117.6 kVA sin( 31.8 ) 62.0 kVAr
S
Potencia Aparente (S), Real (P), Reactiva (Q)
25
Potencia Aparente (S), Real (P), Reactiva (Q)
26
Conservación de la Energía
Leyes de corrientes y tensiones de Kirchhoff (LVK y LCK) Suma de caidas de tensión en un lazo debe ser
cero Suma de corrientes entrando a uno nodo debe
ser cero La conservación de la energía La suma de potencia real entrando en cada nodo
debe ser igual a cero (potencia nodal) La suma de potencia reactiva entrando en cada
nodo debe ser igual a cero (potencia nodal) 27
Representación fasorial
28
Las impedancias de red se pueden representar como fasores usando relaciones vectoriales
La necesidad para resolver ecuaciones diferenciales complejas para determinar las respuestas del circuito desaparece. Las restricciones que se aplican son:
las fuentes deben ser sinusoidales
la frecuencia debe permanecer constante
R, L, C deben se constantes (linealidad).
Representación fasorial
29
Sistemas trifásicos
30
120º
120º
120º 120º 120º
Sistemas trifásicos
BALANCEADO O
EQUILIBRADO
DESBALANCE
Ea(t) + Eb(t) + Ec(t) = 0
31
Relaciones de tensión y corriente trifásica
32
Relaciones de tensión y corriente trifásica
Diagrama fasorial para diversas potencias y funciones del operador “a”
20 3
42 0 3
2
1 31 120 1 0.5 0.866
2 2
1 31 240 1 0.5 0.866
2 2
1 0
j
j
a e j j
a e j j
a a
33
Relaciones de tensión y corriente trifásica
Diagrama fasorial de los tensiones línea a línea en relación con las tensiones de línea a neutro en un circuito trifásico balanceado.
34
Relaciones de tensión y corriente trifásica
Diagrama fasorial de los corrientes de línea en relación con las corrientes de fase en una carga trifásica conectada en delta.
35
Cargas trifásicas
producto de las Z
suma de las Z yZ
* Existen diferentes modelos de cargas según estudios
Impedancia o admitancia constante
36
Potencia trifásicaTensiones y corrientes monofásicas
an bn cnV V V V
an bn cnI I I I
Potencias monofásicas*~ ~ ~
~ ~ ~
~ ~ ~
.
cos
sin
p
p
S V I P jQ
P V I
Q V I
37
Potencia trifásicaPotencias trifásicas a partir de las monofásicas
Relaciones de tensiones y corrientes trifásicas
*~ ~ ~ ~
3
~ ~ ~
3
~ ~ ~
3
3. 3. .
3. cos
3. sin
p
p
S S V I
P V I
Q V I
~ ~~ ~ ~
3 3LL L
LN
V IV V I
38
Potencia trifásicaPotencias trifásicas
* *~ ~ ~ ~ ~
3
~ ~ ~ ~ ~
33 3
~ ~ ~
3
~ ~ ~
3
3. . 3. .
3.
3. cos
3. sin
LL L LN
LL L
LLL p
LLL p
S V I V I
S V I P Q
P V I
Q V I
39
Factor de potencia
Carga inductiva Cargas combinadas ( - Q2)
Triángulos de potencia
40
Factor de potencia
Corrección factor de potencia (F.P.)
41
Factor de potencia
Factor de potencia (F.P.)
Potencia activa (P)factor de potencia total
Potencia aparente (S)
* No necesariamente las formas de onda son sinusoidales
42
Potencia trifásica
Grandes sistemas de potencia son casi exclusivamente 3
Se puede transmitir más energía con la misma cantidad de conductores (más del doble que con un sistema monofásico)
El par (torque) producido por máquinas 3 es constante.
Máquinas trifásicas usan menos material para la misma potencia nominal.
Máquinas trifásicas arranca más fácil que las máquinas monofásicas. 43
Potencia trifásicas
Transformadores monofásicos son comunmente en sistemas de distribución residenciales. La mayoría de sistemas de distribución son trifásicos 4 hilos, con un conexión a tierra multipunto.
44
Potencia y Energía Energía: Integration de la potencia en el
tiempo; energía es lo que realmente quieren las personas.
Algunas unidades: Joule = 1 Watt-segundo(J) kWh = Kilowatt-hora (3.6 x 106 J) Btu = 1055 J; 1 Btu = 0.000293 KWh;1
MBtu=0.293 MWh; 1MWh=3.4MBtu Un galón (3.7 L) de gas natural tiene alrededor
de 0.125 MBtu (36.5 kWh); un galón de etanol como 0.084 Mbtu (2/3 que del gas).
1 hp = 746 watts = 0.746 kW 45
Bibliografía[1]John J. Grainger, William D. Stevenson Jr., Análisis de
Sistemas de Potencia, McGraw-Hill, México, 1996.[2]A. Gómez Expósito et.al., Análisis y Operación de
Sistemas de Energía Eléctrica, McGraw-Hill, España, 2002
[3]IEEE Std 399-1997, IEEE Recommended Practice for Industrial and Commercial Power Systems Analysis, published by IEEE, 1998.
[4] J.D. Glover, M: S. Sarma, T.J. Overbye, Power System Analysis and Design, CENGAGE Learning, 5th Ed., USA, Jan. 2011.
46