Upload
others
View
4
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
11/27/2017
1
3.6 Phép đẳng tham số cho phần tử thanh dàn: Xét
thanh dàn trong mặt phẳng (2D) như hình vẽ:
Trong đó:
• T: lực tác dụng tại nút 1 và 2 dọc theo trục thanh
• x': trục tọa độ địa phương của thanh
• 𝑢1′ , 𝑢2
′ : chuyển vị của nút 1 và 2
• 𝑓1𝑥′ , 𝑓2𝑥
′ : ngoại lực tác dụng tại nút 1 và 2
74
T
𝑓1𝑥′ , 𝑢1
′
T1 2lEA, l x'
𝑓2𝑥′ , 𝑢2
′
Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn
Theo định luật Hooke, ta có: ε =𝜎
𝐸và ε =
𝛿
𝑙
Nội lực trong thanh được xác định theo công
thức:
75
Trong đó:
𝛿 = 𝑢2′ - 𝑢1
′
𝜎 = 𝑢2′ − 𝑢1
′
𝑙𝐸
𝑇 = 𝜎. 𝐴
(3.5)
(3.6)
T T1 2l
𝑓1𝑥′ , 𝑢1
′
x'
𝑓2𝑥′ , 𝑢2
′
Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn
11/27/2017
2
Từ công thức (3.5) và (3.6) ta có:
𝑇 = 𝐴𝐸(𝑢2′ − 𝑢1
′
𝑙)
Khi nút 2 cố định, ta có:
𝑓1𝑥′ = −𝑇
Khi nút 1 cố định, ta có:
𝑓2𝑥′ = 𝑇
Thay thế (3.7) vào công thức trên ta có
𝑓1𝑥′ = −𝐴𝐸(
𝑢2′ − 𝑢1
′
𝑙)
𝑓2𝑥′ = 𝐴𝐸(
𝑢2′ − 𝑢1
′
𝑙)
76
(3.7)
(3.8a)
(3.9b)
(3.9a)
Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn
(3.8b)
Công thức (3.9a) và (3.9b) được viết lại dưới
dạng ma trận:
𝑓1𝑥′
𝑓2𝑥′ = 𝐴𝐸
𝑙1 −1−1 1
𝑢1′
𝑢2′
Trong đó:
𝑘𝑒 =𝐴𝐸
𝑙: độ cứng của thanh
𝐾 𝑒 =𝐴𝐸
𝑙
1 −1−1 1
: ma trận độ cứng
𝑘𝑒 va 𝐾 𝑒 được tính trong hệ tọa độ địa phương
của thanh77
(3.10)
Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn
11/27/2017
3
Công thức (3.10) có thể được viết dưới dạng ma
trận như sau:
𝑓 𝑒 = 𝐾 𝑒 𝑢 𝑒
78
(3.11)
Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn
• Công thức (3.11) được viết cho một phần tử
• 𝑓 𝑒: Vector lực tác dụng lên các nút của phần tử
• 𝐾 𝑒: Ma trận độ cứng của phần tử
• 𝑢 𝑒: Vector chuyển vị tại các nút của phần tử
• Từ công thức (3.11) ta giải hệ phương trình để
tìm ra chuyển vị của các nút giàn
• Nội lực của thanh giàn được xác định bởi công
thức
𝜎𝑒 = 𝐸. 휀𝑥𝑒 = 𝐸.
𝑢2′ − 𝑢1
′
𝑙
𝑁𝑒 = 𝜎𝑒𝐴
79
(3.12a)
Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn
(3.12b)
11/27/2017
4
Trong bài toán thanh dàn chịu kéo nén đúng tâm ta thấy:
80
T
𝑓1𝑥′ , 𝑢1
′
T
1 2
EA, l x'
𝑓2𝑥′ , 𝑢2
′
Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn
1) Các thông số bài toán được tìm thông qua các
chuyển vị tại nút
2) Vector chuyển vị của phần tử: là bao gồm tất cả
các chuyển vị tại các nút của phần tử;
3) Bài toán có thể được giải khi biết ma trận độ
cứng của phần tử
3.6.1. Hàm dạng của phần tử thanh dàn: Xét thanh dàn
như hình vẽ
81
Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn
1) s: là hệ trục gắn với trục thanh với gốc tại trung
điểm của đoạn thanh
2) Thanh có hai bậc tự do với hai chuyển vị 𝑢1 tại nút
1 và 𝑢2 tại nút 2.
3) x: là hệ tọa độ tổng quát của phần tử.
𝑥1
1 2L
u, x
𝑠 = 0𝑠 = −1
1 2L
u, x
𝑠 = 1𝑥2
11/27/2017
5
Khi trục 𝒔 song song với trục 𝒙: Khi đó, tọa độ trọng
tâm được xác định bởi:
𝑥𝑐 =𝑥1 + 𝑥22
Mối liên hệ giữa 𝑥 và 𝑠, ta có:
𝑥 = 𝑥𝑐 +𝐿
2. 𝑠
Mối liên hệ giữa 𝑠 và 𝑥, ta có:
𝑠 =𝑥 − (𝑥1 + 𝑥2)
2
2
𝑥2 − 𝑥182
Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn
Khoảng chia
số khoảng chia
(3.37a)
(3.37b)
(3.37c)
Gọi 𝑁1 𝑥 ,𝑁2 𝑥 là các hàm dạng của phần tử tại nút 1
và 2, theo (3.31) tọa độ 𝑥 có thể viết theo các hàm dạng
như sau:
𝑥 = 𝑁1 𝑥 𝑥1 +𝑁2 𝑥 𝑥2
Dưới dạng ma trận:
𝑥 = 𝑁1(𝑥) 𝑁1(𝑥)𝑥1𝑥1
83
Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn
(3.38a)
(3.38b)
Mặt khác, mối liên hệ giữa tọa độ 𝒙 và 𝒔 có thể được
viết bằng đa thức cấp 1 sau:
𝑥 = 𝑎1 + 𝑎2. 𝑠 (3.39)
11/27/2017
6
Ta có:
𝑠 = −1, 𝑥 = 𝑥1, thay vào (3.39), ta có: 𝑎1 − 𝑎2 = 𝑥1
𝑠 = 1, 𝑥 = 𝑥2, thay vào (3.39), ta có: 𝑎1 + 𝑎2 = 𝑥2
Thay vào (3.39), ta có:
𝑥 =1
21 − 𝑠 𝑥1 + 1+ 𝑠 𝑥2
Hoặc dưới dạng ma trận:
𝑥 =1 − 𝑠
2
1 + 𝑠
2
𝑥1𝑥2
= 𝑁1(𝑥) 𝑁1(𝑥)𝑥1𝑥1
84
Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn
(3.40)
(3.41)
Ta có:
𝑁1 𝑥 =1 − 𝑠
2
𝑁2 𝑥 =1 + 𝑠
2
85
Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn
(3.42a)
𝑠
𝑠 = −1 𝑠 = 1
𝑁2 =1 + 𝑠
2
𝑁2
1
𝑠
𝑠 = −1 𝑠 = 1
𝑁1 =1 − 𝑠
2
𝑁1
1
(3.42b)
Hàm dạng trong hệ tọa độ s của phần tử
11/27/2017
7
Do phân tử là đẳng tham số, vì vậy có thể xác định
chuyển vị của phần bởi các hàm dạng 𝑁1 𝑥 ,𝑁2 𝑥 , ta
có:
𝑢 = 𝑁1 𝑥 𝑢1 +𝑁2 𝑥 𝑢2
86
Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn
(3.43)
𝑠𝑠 = −1 𝑠 = 1
𝑢
1 2
𝑢 = 𝑁1𝑢1 + 𝑁2𝑢2
𝑢1𝑢2
Hàm chuyển vị trong hệ tọa độ s của phần tử
3.6.2 Biến dạng và chuyển vị trong thanh dàn: Trong hệ
tọa độ tổng quát, biến dạng tỉ đối của thanh dàn là:
휀𝑥 =𝑑𝑢
𝑑𝑥Mặt khác, ta có:
𝑑𝑢
𝑑𝑠=𝑑𝑢
𝑑𝑥.𝑑𝑥
𝑑𝑠Từ (3.45) và (3.44), ta có:
휀𝑥 =(𝑑𝑢𝑑𝑠)
(𝑑𝑥𝑑𝑠)
87
Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn
(3.44)
(3.45)
(3.46)
11/27/2017
8
Từ định nghĩa của các số gia 𝑑𝑢, 𝑑𝑠, ta có:
𝑑𝑢
𝑑𝑠=𝑢2 − 𝑢12
;𝑑𝑥
𝑑𝑠=𝑥2 − 𝑥12
=𝐿
2
Từ (3.47) và (3.46), ta có:
휀𝑥 = −1
𝐿
1
𝐿
𝑢1𝑢2
Mặt khác, gọi 𝛿 𝑒 là chuyển vị tại các nút của phần tử,
ta có:
𝑢 = 𝑁 𝛿 𝑒
88
Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn
(3.47)
(3.48)
(3.49)
Theo lý thuyết đàn hồi, ta có:
Dưới dạng ma trận
휀 = 𝜕 𝑢
89
Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn
(3.50)
휀𝑥휀𝑦휀𝑧𝛾𝑥𝑦𝛾𝑦𝑧𝛾𝑧𝑥
=
𝜕
𝜕𝑥𝜕
𝜕𝑦𝜕
𝜕𝑧𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑥𝜕
𝜕𝑧
𝜕
𝜕𝑦𝜕
𝜕𝑧
𝜕
𝜕𝑥
𝑢𝑣𝑤
11/27/2017
9
Thế (3.49) vào (3.50), ta có:
휀 = 𝜕 𝑁 𝛿 𝑒 = 𝐵 𝛿 𝑒
Trong đó: 𝐵 = 𝜕 𝑁 : ma trận chứa đạo hàm của các
hàm dạng (ma trận để tính biến dạng)
Đồng nhất công thức (3.48) và (3.51), ma trận tính biến
dạng 𝐵 có dạng sau:
𝐵 = −1
𝐿
1
𝐿
90
Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn
(3.51)
(3.52)
3.6.3 Ứng suất trong thanh dàn: Theo định luật Hooke
tổng quát ta có:
𝜎 = 𝐸 휀 = 𝐸 𝐵 𝛿 𝑒
Trong đó:
𝐸 : ma trận các module đàn hồi, trong trường
hợp bài toán thanh dàn 𝐸 = const, do vậy
𝐸 = 𝐸, công thức (3.53) được viết lại như sau:
𝜎 = 𝐸 𝐵 𝛿 𝑒
91
Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn
(3.53)
(3.54)
11/27/2017
10
3.6.4 Độ cứng của thanh dàn: Theo phương pháp thế
năng toàn phần, độ cứng của phần tử thanh dàn được
xác định bởi công thức
𝐾 𝑒 =
𝑉
𝐵 𝑇 𝐸 𝐵 𝑑𝑉
Trong bài toán 1D - thanh dàn, ta có:
𝐸 = 𝐸
𝑑𝑉 = 𝐴. 𝑑𝑥
Ta có:
𝐾 𝑒 =
0
𝐿
𝐵 𝑇 𝐸 𝐵 𝐴. 𝑑𝑥
92
(3.55)
(3.56)
Công thức (3.56), 𝐵 là ma trận được viết trong hệ trục
s, do vậy ta phải chuyển tọa độ 𝑥 sang 𝑠, ta có:
0
𝐿
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
−1
1
𝑓 𝑠 𝐽 𝑑𝑠
Trong bài toán 1 chiều – thanh dàn, ta có:
𝐽 = J =𝑑𝑥
𝑑𝑠=𝐿
2Thay (3.57b) vào (3.56), ta có:
𝐾 𝑒 =𝐿
2
−1
1
𝐵 𝑇 𝐸 𝐵 𝐴. 𝑑s
93
(3.57a)
(3.57b)
(3.58)
11/27/2017
11
Trong hệ tọa độ s (tọa độ địa phương), độ cứng thanh
dàn được xác định bởi:
𝐾 𝑒 =𝐴𝐸𝐿
1 −1−1 1
Trong hệ tọa độ tổng quát, áp dụng công thức chuyển
trục, ta có ma trận độ cứng của phần tử được xác định
bởi công thức:
𝐾 𝑒 =𝐴𝐸
𝑙
𝐶2 𝐶𝑆 −𝐶2 −𝐶𝑆𝐶𝑆 𝑆2 −𝐶𝑆 −𝑆2
−𝐶2 −𝐶𝑆 𝐶2 𝐶𝑆−𝐶𝑆 −𝑆2 𝐶𝑆 𝑆2
94
(3.59a)
(3.59b)
3.6.5 Vector tải trọng tác dụng lên thanh dàn:
a) Trọng lượng bản thân: trong hệ tọa độ địa phương
trọng lượng bản thân thanh dàn được quy về lực tập
trung tác dụng ở hai nút
𝑓𝑏 𝑒 =𝐴𝐿𝜌
211
Trong đó:
𝜌: trọng lượng riêng của thanh dàn
95
(3.60)
Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn
11/27/2017
12
b) Lực phân bố dọc theo chiều dài thanh 𝒒(𝒙):
Trường hợp 1: Khi 𝑞(𝑥) là hàm của biến 𝑥:
𝑓𝑠 𝑒 =
0
𝐿
𝑁𝑠𝑇 𝑞(𝑥) 𝑑𝑥
Thay hàm dạng theo tọa độ s và 𝑑𝑥 =𝐿
2𝑑𝑠 , ta có:
𝑓𝑠 𝑒 =
−1
1 1 − 𝑠
21 + 𝑠
2
𝑇
𝑞(𝑥)𝐿
2𝑑𝑠
Trường hợp 2: Khi 𝑞 𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ta có
𝑓𝑠 𝑒 = 𝑞(𝑥)𝐿
211
96
(3.60)
(3.61)