Chương 1 - GD&TĐstatic.giaoducthoidai.vn/.../2014_10_06/co_tuyen_YVFI.doc · Web viewVì vậy, ta sẽ tìm giao điểm K của AH và (SCD) và quy việc tính khoảng cách

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2013 - 2014 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN

TRƯỜNG THPT MỸ HÀO

----------

Một số khái niệm về khoảng cách trong không gian.

+ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Định nghĩa: Cho điểm O và đường thẳng a. Trong

mặt phẳng (O,a) gọi H là hình chiếu vuông góc của O

trên a. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H

được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng

a, kí hiệu là d(O,a).

+ Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Định nghĩa: Cho điểm O và mặt phẳng (). Gọi H

là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (.

Khi đó khoảng cách giữa 2 điểm O và H được gọi

là khoảng cách từ điểm O đến mp(kí hiệu là

d(O, ())

+ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Định nghĩa: Cho đường thẳng a song song với mặt

phẳng (), khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt

phẳng () là khoảng cách từ một điểm bất kì của a

đến mp(), kí hiệu là d(a, ()).

Gi¸o viªn: Lu ThÞ Kim TuyÕn Tæ To¸n - THPT MÜ Hµo

a

α

HO

O

H

a

A'

O

H

A


+ Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song

Định nghĩa: Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song

song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt

phẳng này đến mặt phẳng kia, kí hiệu là d((),(β)).

+ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Định nghĩa: Đường vuông góc chung: Đường thẳng

cắt 2 đường thẳng chéo nhau a, b và vuông góc với mỗi

đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của

2 đường thẳng a và b.

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: Nếu đường

vuông góc chung cắt 2 đường thẳng chéo nhau a và b

lần lượt tại M và N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là

khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b. Kí hiệu là d(a,b).

Nhận xét.

+ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai

đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại.

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

a'

b

a

N

M

a

b

M

N


A

A'

a

b

M

N


+ Thể tích của khối chóp (trong đó S là diện tích đáy và h là chiều

cao của khối chóp). Theo cách này, để tính khoảng cách từ đỉnh của hình chóp đến mặt

đáy, ta đi tính V và S.

+ Tính chất của tứ diện vuông: Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O (

) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Khi đó

đường cao OH được tính bằng công thức:

+ Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng () và M, N thì

.

Nếu đường thẳng cắt mặt phẳng () tại điểm I và M, N (M, N không trùng với I)

thì .

α

N'

N M

M'

α

I

M

N'

N

M'

Đặc biệt, nếu N là trung điểm của IM thì

nếu I là trung điểm của MN thì



+ Phương pháp tọa độ trong không gian: Trong chương III - §1 sách giáo khoa (SGK) hình

học 12, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), NXBGD 2008, đã nêu

định nghĩa và một số tính chất sau :

i=(1;0;0)j =(0;1;0)k=(0;0;1)

M1

M(x;y;z)

z

y

x

k

j iO


Trong không gian với hệ tọa độ cho :

Với : và , ta có :

Tích có hướng của hai vectơ

[ ]

;

cùng phương với [ ]

đồng phẳng


Một số lưu ý khi chọn hệ trục tọa độ trong không gian

Ta có : vuông góc từng đôi một. Do đó, nếu trong mô hình chứa các cạnh

vuông góc thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt thuộc các trục tọa độ. Cụ thể :

Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật

Với hình lập phương .

Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

Với hình hộp chữ nhật.


y

x

z

C'B'

D'

B

A'

C

DA

Với hình hộp đáy là hình thoi




- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của

hai đường chéo của hình thoi ABCD

- Trục đi qua 2 tâm của 2 đáy

O'

x

z

y

O

C'B'

D'

B

A D

C

A'

Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Giả sử cạnh hình vuông bằng a và

đường cao

Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông

Khi đó :

x

y

z

O

C

S

D

B

A

Với hình chóp tam giác đều S.ABC



Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và

đường cao bằng . Gọi I là trung điểm

của BC

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

cho I(0;0;0)

Khi đó :

x

y

z

I

A

B

C

S

H

Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA (ABCD)

ABCD là hình chữ nhật

chiều cao bằng


cho A(0;0;0)

Khi đó :

x

y

z

O

D

S

C

B

A

Với hình chóp S.ABC có ABCD là hình thoi và SA (ABCD)



ABCD là hình thoi cạnh

chiều cao bằng


cho O(0;0;0)

x

y

z

O

C

S

D

B

A

Với hình chóp S.ABC có SA (ABC) và ABC vuông tại A

Tam giác ABC vuông tại A có

đường cao bằng .


cho A(0;0;0)

Khi đó :

z

x

yA C

B

S

Với hình chóp S.ABC có SA (ABC) và ABC vuông tại B



Tam giác ABC vuông tại B có



cho B(0;0;0)

Khi đó :

z

yx

A C

B

S

Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S và ABC vuông tại C

ABC vuông tại C,

chiều cao bằng

H là trung điểm của AB


cho C(0;0;0)

Khi đó : ;

x y

zS

C

BA H

Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S và ABC vuông tại A



ABC vuông tại A

chiều cao bằng



cho A(0;0;0)

Khi đó :

z

x

y

H

A C

B

S

Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S và ABC vuông cân tại C

Tam giác ABC vuông cân tại C có




cho H(0;0;0)

Khi đó :

x

y

z

S

C

BA H

Nhuần nhuyễn trong việc tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh a, cạnh SA

vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a. Gọi I là trung điểm của cạnh SC và M là

trung điểm của cạnh AB.

a) Chứng minh rằng đường thẳng IO vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

b) Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng CM.

Giải



a) Ta có SA (ABCD) mà IO//SA

do đó IO (ABCD).

b) Trong mặt phẳng (ABCD) dựng H là hình

chiếu vuông góc của O trên CM, ta có IH

CM và IH chính là khoảng cách từ I đến

đường thẳng CM.

Gọi N là giao điểm của MO với cạnh CD.

Hai tam giác MHO và MNC đồng dạng nên .

Lại có và .

Vậy .

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng 2a,

và SA (ABCD).

a) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng SC.

b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng SB.

Giải

a) Trong mặt phẳng (SAC), kẻ đường thẳng d đi

qua O và vuông góc với SC tại I.

Ta có .

Do tam giác SAC vuông cân tại A

(SA=AC=2a) nên tam giác OIC vuông cân tại I.


I

N

M OD

A

BC

S

H

KO

C

A

B

D

S

I

J

H


Vậy hay .

b) Trong mp (ABCD) kẻ OJ AB.

Vì SA OJ nên OJ (SAB) hay OJ SB.

Trong mặt phẳng (SAB) kẻ JH SB. Khi đó ta có SB (OJH), suy ra SB OH tại H.

Vậy .

Trong mp (ABCD) kẻ CK AB. Ta có:

Xét tam giác OJH vuông tại J có .

Vậy .

Đối với bài toán tính khoảng cách từ điểm O đến một đường thẳng d, ta thực hiện quá

trình giải toán theo các bước sau:

- Bước 1: Xác định mặt phẳng đi qua O và vuông góc với đường thẳng d (Hoặc xác

định đường thẳng đi qua O, đồng phẳng và vuông góc với d).

- Bước 2: Xác định giao điểm H của mp và đường thẳng d (Hoặc xác định giao điểm

H của hai đường thẳng và d). Suy ra .

- Bước 3: Tính độ dài đoạn OH (dựa vào các hệ thức lượng trong tam giác,....)

Nhuần nhuyễn trong việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Đối với bài toán tính khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng (P), ta thường thực

hiện việc giải theo các bước sau:

- Bước 1: Tìm mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với (P).

- Bước 2: Tìm giao tuyến a của (P) và (Q).

- Bước 3: Trong (Q), kẻ MH vuông góc với a. Khi đó d(M;(P)) = MH.

Ví dụ 3. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là a. Tính khoảng cách từ A đến

mặt phẳng (A’BD).



Giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì AA’ (ABCD) nên AA’ (ABCD) nên AA’ BD.

Mặt khác AO BD suy ra BD (OAA’)

hay (A’BD) (OAA’).

Trong mặt phẳng(OAA’) kẻ AH OA’.

Khi đó AH (A’BD) hay .

Xét OAA’ vuông tại A có:

.

Vậy .

Ví dụ 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi O là tâm

của đáy. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD).

Giải

Vì hình chóp S.ABCD đều nên SO (ABCD),

suy ra SO CD.

Gọi I là trung điểm của CD. Ta có SI CD.

Do đó CD (SOI) hay (SOI) (SCD) theo

giao tuyến SI.

Trong mặt phẳng (SOI) kẻ OH SI, H SI.

Khi đó .

Xét SOI có: .

Vậy .


O

B

A

C

A'

C'

D'

B'

D

H

IO

C

A

B

D

S

H


Nhuần nhuyễn trong việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. có cạnh SA=h và

vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng chéo

nhau sau:

a) SB và CD b) SC và BD c) SC và AB.

Giải

a) Ta có:

Mặt khác .

Vậy BC là đoạn vuông góc chung của SB và

CD.

Khoảng cách giữa SB và CD là BC=a.

b) Ta có: tại O.

Trong mặt phẳng (SAC) từ O hạ OH CS tại H ta có OH SC và OH BD và BD

(SAC). Vậy OH là đoạn vuông góc chung của BD và SC.

Ta có . Vậy .

c) Ta có: .

Trong mp (SAD) ta có SD là hình chiếu vuông góc của SC, ta vẽ AK SD tại K. Trong

mặt phẳng (SCD) vẽ KE//CD với E SC.

Trong mặt phẳng (KE, AB) vẽ EF//AK với F AB. Ta có AB và CD cùng vuông góc với

mặt phẳng (SAD) nên AB AK và CD AK.

Ta có .

Vậy Ak AB và AK SC. Vì EF//AK nên EF AB và EF SC.


F

E

O

DA

BC

S

K

H


Do đó EF là đoạn vuông góc chung của AB và SC.

Ta có .

Ví dụ 6. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và

OA=OB=OC=a. Gọi I là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng

chéo nhau sau: a) OA và BC b) AI và OC

Giải

a) Ta có

=> OI là đoạn vuông góc chung của OA và BC.

Ta có .

b) Ta có tại O.

Từ I vẽ IK//OC thì IK (OAB) tại trung điểm K

của OB. Ta có AK là hình chiếu vuông góc của AI

trên mặt phẳng (OAB).

Trong mặt phẳng (OAB) vẽ OH AK. Dựng HE//OC với E AI và dựng EF//OH với H

OC. Khi đó EF là đoạn vuông góc chung của AI và OC.

Ta có EF=OH.

Trong tam giác vuông OAK ta có: .

Vậy .

Một cách tổng quát , để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có

các trường hợp sau:

a) Giả sử a và b là hai đường thẳng chéo nhau và

.


a

a

a

F

E

K I

O C

B

A

H

b

a

α

BA


- Ta dựng mặt phẳng chứa a và vuông góc với b.

- Trong dựng BA a tại A, ta được độ dài đoạn AB là khoảng cách giữa hai đường

thẳng chéo nhau a và b.

b) Giả sử a và b là hai đường thẳng chéo nhau nhưng không vuông góc với nhau.

Cách 1:

- Ta dựng mặt phẳng chứa a và song song

với b.

- Lấy một điểm M tùy ý trên b dựng MM’

tại M’.

- Từ M’ dựng b’//b cắt a tại A.

- Từ A dựng AB//MM’ cắt b tại B, độ dài đoạn

AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo

nhau a và b.

Cách 2:

- Ta dựng mặt phẳng a tại O,

cắt b tại I.

- Dựng hình chiếu vuông góc của b là b’

trên .

- Trong mp , vẽ OH b’, H b’.

- Từ H dựng đường thẳng song song với a

cắt b tại B.

- Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A.

Độ đoạn AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.


b

b'a

α

A

B M

M'

a

b'

b

α

AB

HO

I


Mềm dẻo trong việc tính khoảng cách giữa một điểm và một mặt phẳng

Ví dụ 7. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O có cạnh bằng a,

và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC).

b) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến (SAC).

Phân tích: Do , nên thay vì việc tính ta đi tính

, tương tự như vậy ta có thể quy việc tính thông qua việc tính

hay .

Giải.

a) Ta có: nên:

Gọi H là hình chiếu của A trên SB ta có:

Trong tam giác vuông SAB có:

b) Gọi E là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác SAB.

Do nên

Ta có:


O

FE

HG

D

CB

A

S


Ví dụ 8. (Đề thi Đại học khối B năm 2011). Cho lăng trụ ABCDA1B1C1D1 có đáy ABCD

là hình chữ nhật . Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng

(ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD, góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và

(ABCD) bằng 600. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến

mặt phẳng (A1BD) theo a.

Giải.

Phân tích: Do B1C // (A1BD) nên nên thay vì việc tính ta đi tính

.

* Gọi O là giao điểm của AC

và BD

Gọi E là trung điểm AD

* Tính :

Cách 1: Do B1C // (A1BD)

Hạ

Cách 2:


K

H

E

O

D

CB

A

D1

C1B1

A1


Trong đó:

. Mềm dẻo trong việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Ví dụ 9. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O có cạnh AB=a. Đường

cao SO của hình chóp vuông góc với đáy (ABCD) và có SO=a. Tính khoảng cách giữa

hai đường thẳng SC và AB.

Giải

Vì AB//CD nên AB//(SCD). Mặt

khác SC (SCD) nên khoảng cách

giữa AB và SC chính là khoảng

cách giữa AB và (SCD).

Gọi I, K lần lượt là trung điểm của

AB và CD thì ta có O là trung điểm

của IK và IK CD.

Do đó: .

Ta có .

Trong tam giác vuông SOK ta có OH SK nên OH (SCD), do đó

.


KI

O

D

CB

A

S

H


Ta có

Do đó .

Vậy .

Ví dụ 10. Cho lăng trụ đều ABC. A’B’C’ có AA’ = a, AB’ tạo với (ABC) góc 600 . Tính

khoảng cách giữa AA’ và BC’.

Giải

Do lăng trụ đều nên các cạnh bên vuông góc với đáy.

AB’ có hình chiếu trên đáy là AB nên góc giữa AB’ và

đáy là .

Do đó .

Vì

.

Mp( ABC) vuông góc với (BCB’) theo giao tuyến BC nên

từ A kẻ AH vuông góc với BC thì AH (BCC’).

. Vậy .

Ví dụ 11. Cho lăng trụ đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M, N lần

lượt là trung điểm của và . Tính khoảng cách giữa và CN.

Giải

Phân tích. Để tính khoảng cách giữa và CN ta tìm một mặt phẳng chứa CN và

song song với , tiếp theo ta dùng các phép trượt để quy việc tính khoảng cách từ

một điểm đến một mặt phẳng về việc tính khoảng cách trong tứ diện vuông.


H

C'

B'

A'

C

B

A


Gọi O, D lần lượt là trung điểm của BC và CN

thì OACD là tứ diện vuông tại O.

là hình bình hành .

Mặt phẳng (ACN) chứa CN và song song với nên

Áp dụng tính chất của tứ diện vuông ta được

.

Vậy .

Ví dụ 12. Cho hình lập phương có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm

của . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và .

Lời giải.

Gọi N là trung điểm của thì

là hình bình hành nên

. Mặt phẳng ( )

chứa và song song với nên

với .

Gọi

thì G là trọng tâm của tam giác .

Do đó .

Tứ diện vuông tại A nên

.


OG

E

N

M

B

B'A'

C'

DC

D'

A

D

O

N

M

A'

B'

C A

B

C'


Vậy

Rèn luyện tính độc đáo

Ví dụ 13. Cho hình lập phương có

cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng

và .

Giải

Cách 1:

Vì (AB’D’)//(C’BD) nên

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Trong mặt phẳng (ACC’A’), kẻ AH C’O.

Ta có: .

+ Tính AH:

Vậy

Cách 2:

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc

như sau : ;

; ; ;

; ;

Tính


z

x

yC'B'

D'

B

A D

C

A'

O

C'B'

D'

B

A'

C

DA

H


Ta có :

//

Như vậy giải bài toán tính khoảng cách trong không gian bằng phương pahps tọa độ

có thể thực hiện theo các nước sau:

Bước 1: Chon hệ toạ độ Oxyz gắn với hình đang xét.

Bước 2: Chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ - véc tơ

Bước 3: Giải bài toán bằng phương pháp toạ độ, rồi chuyển sang ngôn ngữ hình học.

Ví dụ 14. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối D năm 2002 ). Cho hình tứ diện

ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng(ABC); ; ;

. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD)

Giải.

Cách 1: Vì ; ;

nên tam giác ABC vuông tại A.

Do đó tứ diện ABCD vuông tại A.

Vậy nếu gọi H là hình chiếu vuông góc của A

trên mp(BCD) thì

và .

Vậy .

Cách 2: có : nên vuông tại A.


y

x

z

B

D

CA

I

H


Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau: ; ;

.

Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (BCD):

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Ví dụ 15. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh . Gọi E là điểm đối

xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC.

Tính (theo ) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.

Giải

Cách 1:

Ta có: ;

nên tứ giác là hình bình hành

Do hình chóp S.ABCD đều

Cách 2: Gọi O là tâm của hình vuông

ABCD


M

E

P

N

O

C

S

D

B

A

z

y

x

M

E

P

N

O

C

A

B

D

S


Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau: ; S ;

A ; C D ; B

Toạ độ trung điểm P của SA P ; E

M N

Ta có , .

Vì nên MN và AC chéo nhau.

Cách 3:

Đặt :

Ta có :

Gọi là đoạn vuông góc chung của và , ta có:


c

b

a

P

N

M

E

O

S

D

CB

A


Ví dụ 16. ( Trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2008 )

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, , cạnh bên

. Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo khoảng cách giữa hai đường thẳng

AM, B’C.

Giải

Cách 1: Gọi E là trung điểm BB’.

Khi đó (AME)//B’C nên

Gọi h là khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME).

Do tứ diện BAME có BA, BM, BE đôi một vuông góc nên:

.

Do đó . Vậy .


E

M

A

C

B

C'

A'B'


Cách 2: Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc

như sau: ; A ; C ; B’

; M .

; ;

,

Vì nên AM và B’C chéo nhau.

Ví dụ 17. (Đề thi đại học khối D năm 2007).

Cho hình chóp có đáy là hình thang. ,

. Cạnh bên vuông góc với đáy và . Gọi là hình chiếu

vuông góc của trên . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .

Giải.

Cách 1: Đặt

Ta có:

Gọi là chân đường vuông góc hạ từ

lên mặt phẳng (SCD)

Dễ dàng tính được


x

y

z

M

A

C

B'A'

C'

B

Q

P

N

EHK

M

D

CB

A

S


Khi đó :

Ta có:

Cách 2:

Gọi lần lượt là khoảng cách từ các điểm H và B đến mp(SCD),

ta có:

Trong đó

Ta có:

Cách 3: Sử dụng tính chất của tứ diện vuông.

Phân tích. Trong bài toán này, việc tìm chân đường vuông góc hạ từ H xuống mặt phẳng

(SCD) là khó khăn. Vì vậy, ta sẽ tìm giao điểm K của AH và (SCD) và quy việc tính

khoảng cách từ H đến (SCD) về việc tính khoảng cách từ A đến (SCD)

Gọi M là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AH với SM.

Ta có . Suy ra H là trọng tâm của tam giác SAM.



Từ đó ta có:

Do tứ diện ASDM vuông tại A nên:

Vậy .

Ví dụ 18. Cho hình lập phương có cạnh bằng 1. Gọi M là trung điểm của

BC, tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng .

Giải

Cách 1:

Gọi là hình chiếu của trên (1)

Gọi là hình chiếu của trên (2)

Có (3)

Từ (1) và (3) (4)

Từ (2) và (4)

Xét vuông tại B

Xét vuông tại

Chu vi tam giác là

Áp dụng công thức Hê-rông ta có diện tích tam giác là


K

H

Å

M

A'Å D'

B'

B

Å

C'

Å

C

Å

A

Å

D


Mặt khác ta có:

Xét tam giác vuông có

Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng là

Cách 2: Chọn hệ tọa độ như hình vẽ, có

Kéo dài cắt tại , do và

Phương trình mặt phẳng theo đoạn

chắn là:

Ta có:

Vậy khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng bằng

Nhận xét: Theo suy nghĩ thông thường học sinh sẽ dùng phương pháp tổng hợp để giải

bài toán trên như cách giải 1 nên đã gặp phải khó khăn khi dựng và chứng minh

, đặc biệt khi sử dụng công thức Hê- rông để tính diện tích tam giác

.Vì vậy với bài tập này, giáo viên cần khéo léo dân dắt và đặt các câu hoi gợi ý giup học

sinh biết sử dụng phương pháp tọa độ hóa, đưa bài toán về tính khoảng cách từ một điểm

đến một mặt phẳng theo công thức. Đó chính là cách giải thể hiện tính độc đáo của tư duy

sáng tạo. Hơn nữa, tính độc đáo trong lời giải theo cách 2 còn thể hiện ơ các phát hiện:


z

x

y

M

A' D'

B'

B

C'

C

A D

E


tìm ra tọa độ điểm nhận ra rằng mặt phẳng chứa điểm để lập

được phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn. Đến đây bài toán đã trơ nên vô

cùng đơn giản.



III. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. (Đề thi Đại học khối D năm 2011).

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng

(SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = và . Tính thể

tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.

Bài 2. Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O, góc

. Các cạnh bên SA = SC; SB = SD .

a) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC).

b) Tính khoảng cách giữa các đường thẳng SB và AD.

Bài 3. Cho tứ diên OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và .

Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh Tính khoảng cách giữa hai đường

thẳng OM và CN.

Bài 4. (Đề thi Đại học khối A năm 2011).

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt

phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của

AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng

(SBC) và (ABC) bằng 60o. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai

đường thẳng AB và SN theo a.


Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên

AA' a 2. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ

ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C.


Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ =

2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’,I là giao điểm của AM và A’C.

Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A điểm đến mặt phẳng (IBC)



Bài 7. (Đề thi Đại học khối A năm 2013). Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác

vuông tại A, , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy.

Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng

(SAB).

Bài 8. (Đề thi Đại học khối B năm 2013).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tính của khối chóp

S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).

d(A, SCD)=


Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với

đáy, , M là trung điểm cạnh BC và . Tính theo a thể tích của khối

chóp S.ABCD và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC).

V= d(D, (SBC))= d(A, (SBC))=


Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, A’AC vuông cân, A’C =

a. Tính

a)

b)

Bài 11. (Đề thi Đại học khối A năm 2012).

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, h.c.v.g của S lên (ABC) là điểm H

thuộc AB sao cho HA = 2HB, góc giữa SC và (ABC) bằng 600. Tính



a) b) ( = )


Documents

Chương 1 - GD&TĐstatic.giaoducthoidai.vn/.../2014_10_06/co_tuyen_YVFI.doc · Web viewVì vậy, ta sẽ tìm giao điểm K của AH và (SCD) và quy việc tính khoảng cách