Chde cuctri-tieptuyen

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Cho (m 1)x m(Cm) : yx m− +

=−

. Ñònh m ñeå tieáp tuyeán vôùi (Cm) taïi ñieåm treân (Cm) coù hoaønh ñoä x0 = 4 thì

song song vôùi ñöôøng phaân giaùc thöù 2 cuûa goùc heä truïc.

y| = =|mf (x)

2

2

m(x m)−−

Ñeå tieáp tuyeán vôùi (Cm) taïi ñieåm vôùi ñöôøng phaân giaùc 2( ) : y xΔ = − , ta phaûi coù: 2

| 2m 2

mf 1 1 m (4 m) m(4 m)−

= − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ =−

2 2

Cho 2(3m 1)x m m(C) : y ,m 0.

x m+ − +

=+

≠ Tìm m ñeå tieáp tuyeán vôùi (C) taïi giao ñieåm vôùi truïc hoaønh

song song y = x. Vieát phöông trình tieáp tuyeán. Hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc hoaønh

2

0m m 1x , m 0,3m 1 3

− ⎧ ⎫= ∉⎨ ⎬+ ⎩ ⎭,1−

2|

2

4my(x m)

=+

Tieáp tuyeán taïi ñieåm (C) coù hoaønh ñoä // y = x 2

2 20 0 02

0

4m 1 4m (x m) x m x 3m(x m)

= ⇔ = + ⇔ = ∨ = −+

2

2

m m m 1m3m 1

1mm m3m 53m 1

⎡ − = −= ⎡⎢ + ⎢⎢⇔ ⇔⎢ = −−⎢

− = ⎣⎢⎣ +

• tieáp tuyeán taïi (-1,0) coù pt : y = x + 1 m = −1

• 1m5

= − tieáp tuyeán taïi 3 ,05

⎛⎜⎝ ⎠

⎞⎟ coù pt : 3y x

5= −

Cho m(C) : y x 1x 1

= − ++

.Tìm m ñeå coù ñieåm maø töø ñoù veõ ñöôïc 2 tieáp tuyeán vôùi ñoà thò vuoâng goùc nhau

Goïi laø ñieåm caàn tìm laø ñöôøng thaúng (d) qua M0 0 0M (x ,y ) 0y k(x x ) y⇒ = − + 0 0

(d) laø t2 0 0 0

20

mx 1 k(x x ) y kx k k kx yx 111 k

(x 1)

⎧ − + = − + = + − − +⎪ +⎪⇔ ⎨⎪ − =

+⎪⎩

0

0 0mx 1 k(x 1) (1 x )k y

x 11x 1 k(x 1)

x 1

⎧ − + = + − + +⎪⎪ +⇔ ⎨⎪ + − = +⎪⎩ +


0 0

2

m 1x 1 x 1 (1 x )k yx 1 x 1

1 1 k(x 1)

⎧ − + = + − − − +⎪ + +⎪⇔ ⎨⎪ = −⎪ +⎩

[ ]

00 0

0222 2

0 0

m 1 y 2y 2 (x 1)k kx 1 x 1m 1 (1 k)(m 1) y 2 (x 1)k (1 k)(m 1)x 1

+⎧ +⎧= + − +⎪ ≠+ ⎪⎪ +⇔ ⇔⎨ ⎨+⎛ ⎞⎪ ⎪= − + + − + = − +⎜ ⎟ ⎩⎪ +⎝ ⎠⎩

0

02 2 2

0 0 0 0 0 0

y 2kx 1

(x 1) k 2(2m x )y 2x y 2)k (y 2) 4m 0 (*)

+⎧ ≠⎪ +⇔ ⎨⎪ + + − − − − + + − =⎩

Töø M0 keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc nhau pt (*)⇔ coù 2 nghieäm thoûa k1k2 = -1 vaø khaùc 0

0

y 2x 1++

0

02 2

0 0

y 2kx 1 m 0

(x 1) (y 2) 4m

+⎧ ≠⎪ +⇔ ⇒⎨⎪ + + + =⎩

>

Tìm toaï ñoä giao ñieåm cuûa caùc tieáp tuyeán cuûa ñoà thò x 1yx 3+

=−

vôùi truïc hoaønh , bieát raèng tieáp tuyeán ñoù

vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng y = x + 2006

|2

4y ,(x 3)

= − ∀ ≠−

x 3

Goïi (T) laø tieáp tuyeán cuûa (C) vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng y = x + 2006 , khi ñoù (T) coù heä soá goùc laø KT = -1

. Goïi (x0,y0) laø tieáp ñieåm cuûa (d) vaø (C) , ta coù 0|2

00T

x 54K y 1x 1(x 3)

=⎡= ⇔ − = − ⇒ ⎢ =− ⎣

• 0 0 1x 1 y 1 (T ) : y x= ⇒ = − ⇒ = −• 0 0 2x 5 y 3 (T ) : y x= ⇒ = ⇒ = − + 8

{ } { }1 2(T ) (Ox) O(0,0) ; (T ) (Ox) A(8,0)∩ = ∩ =

Cho haøm soá x 2y f(x)x 1+

= =−

; goïi ñoà thò haøm soá laø (C) , vaø A(0,a).Xaùc ñònh a ñeå töø A keû ñöôïc 2 tieáp

tuyeán ñeán (C) sao cho 2 tieáp tuyeán töông öùng naèm veà 2 phía ñoái vôùi truïc Ox Phöông trình tieáp tuyeán (T) vôùi (C) taïi

00 0 0 0 0|(x )M (x ,y ) : y y f (x x )− = −

0 00 02 2

0 0 0 0

x 2 x 23 3y (x x ) ; A(0,a) (T) : ax 1 (x 1) x 1 (x 1)

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⇔ − = − − ∈ − = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( x )

00220 00 0 0(x )

x 1x 1 0g (a 1)x 2(a 2)x a 2 0(a 1)x 2(a 2)x a 2 0

≠⎧− ≠⎧ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ = − − + + + =− − + + + =⎩ ⎪⎩

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Qua A keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán khi

0(x )g 0= coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc 1

vaø | 2

2

g

a 1 0(a 2) (a 2)(a 1) 0 2 a 1

g(1) (a 1)1 2(a 2)1 a 2 0

⎧ − ≠⎪Δ = + − + − > ⇔ − < ≠⎨⎪ = − − + + + ≠⎩

Khi ñoù goïi laø 2 tieáp ñieåm naèm veà 2 phía Ox 1 1 1 2 2 2M (x ,y ),M (x ,y )

1 2 1 2 1 21 2

1 2 1 2 1 2

x 2 x 2 x x 2(x x ) 4y y 0 0 0 (1)x 1 x 1 x x (x x ) 1

⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + + +⇔ < ⇔ < ⇔ <⎜ ⎟⎜ ⎟− − − + +⎝ ⎠⎝ ⎠

Trong ñoù x1,x2 laø nghieäm cuûa coù 0g(x ) 0=1 2

1 2

2(a 2)x xa 1

a 2x xa 1

+⎧ + =⎪⎪ −⎨ +⎪ =⎪⎩ −

(1) a 2 4(a 2) 4(a 1) 9a 60 0a 2 2(a 2) a 1 3+ + + + − +

⇔ < ⇔+ − + + − −

<

20 a 2 a 133Ñk 2 a 1

⎫⇔ ⇔ > − ⎪⇒ − < ≠⎬⎪− < ≠ ⎭

Cho haøm soá coù ñoà thò (C) . Tìm ñieåm M thuoäc ñoà thò (C) sao cho tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M ñi qua goác toaï ñoä

3 2y 2x 3x 12x 1= + − −

Ta coù | 2

0 0y 6x 6x 12 , M(x ,y )= + − ⇒ tieáp tuyeán taïi M (C)∈ | 2 3 2

0 0 0 0 0 0 0 00(x )y y (x x ) y (6x 6x 12)(x x ) 2x 3x 12x 1 (T)= − + = + − − + + − −

(T) qua goác toaï ñoä O(0,0) 3 2 20 0 0 0 0: 4x 3x 1 0 (x 1)(4x x 1) 0+ + = ⇔ + − + =

0 0x 1 y 12 M( 1,1⇔ = − ⇒ = ⇒ − 2)

Cho haøm soá 31y x x3 3

= − +2 coù ñoà thò (C) . Tìm treân ñoà thò (C) ñieåm maø taïi ñoù tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C)

vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng 1 2y x3 3

= − +

Goïi 30 0 0

1A x , x x3 3

⎛ − +⎜⎝ ⎠

2 ⎞⎟ laø ñieåm baát kyø thoäc (C) .

Tieáp tuyeán (T) vôùi (C) coù heä soá goùc 200

|(x )k y (x 1) (1)= = −

Do (T) vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng 1 2y x3 3

= − + k 3⇒ =

Khi ñoù 20 0x 1 3 x 2− = ⇔ = ±

Vaäy 1 24A 2, ,A ( 2,0)3

⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠


Cho haøm soá 2x 3x 6y

x 1− +

=−

, ñoà thò (C) . Töø goác toaï ñoä coù theå keû ñöôïc bao nheâu tieáp tuyeán ñeán haøm soá

(C) , tìm toaï ñoä tieáp ñieåm

Goïi (T) laø tieáp tuyeán cuûa (C) QuaOHeä soá goùc k⎧⎨⎩

(T) : y kx⇔ =

2

2

2

x 3x 6 kxx 1

x 2x 3 k(x 1)

⎧ − +=⎪ −⎪⇔ ⎨

− −⎪ =⎪ −⎩

coù nghieäm 2 2(x 1)(x 3x 6) (x 2x 3)x

x 1⎧ − − + = − −

⇔ ⎨≠⎩

2x 6x 3 0x 3 6

x 1⎧ − + =

⇔ ⇔ =⎨≠⎩

±

Vaäy töø O keû ñöôïc ñuùng 2 tieáp tuyeán ñeán (C)

1

2

M (3 6,3 6 3)x 3 6 y 3 6 3

M (3 6, 3 6 3x 3 6 y 3 6 3

⎡⎡ ⎡ = + −= + = −⇒ ⇒ ⎢⎢ ⎢

= − − −= − = − − ⎢⎢ ⎢⎣ ⎣ ⎣ )

Cho haøm soá 3 2y mx (m 1)x (m 2)x m 1 , (Cm)= − − − + + − 1.Tìm m ñeå (Cm) ñaït cöïc ñaïi taïi x = -1 2.Khi m = 1 , tìm treân ñöôøng thaúng y = 2 nhöõng ñieåm töø ñoù coù theå keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C) 1.m =1 2. 3(C) : y x 3x ; A(a,2) (d) : y 2 (d) : y k(x a) 2= − ∈ = ⇒ = − +

Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm heä 3

2

x 3x k(x a) 23x 3 k⎧ − = − +⎨

− =⎩

2

x 1f(x) 2x (3a 2)x 3a 2 0= −⎡

⇔ ⎢ = − + + + =⎣

Qua A keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C) coù 2 nghieäm khaùc 1 f(x) 0⇔ =

f( 1)

0f 0−

Δ >⎧⇔ ⎨ ≠⎩

2(3a 2) 8(3a 2) 0 a a3

2 3a 2 3a 2 0 a 1

⎧+ − + > 2< − ∨ >⎧ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨+ + + + ≠⎩ ⎪ ≠ −⎩

Vaäy ñieåm caàn tìm laø A(a,2) ; 2a a 2 a3

< − ∨ > ∧ ≠ −1

1

Cho haøm soá , ñoà thò (C). Tìm taát caû caùc ñieåm thuoäc truïc tung sao cho töø ñoù coù theå keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C)

4 2y x 2x= − + −

Goïi A(0,a) , (d) laø ñöôøng thaúng qua A daïng Oy∈ : y kx a= + Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm cuûa heä :

4 24 2

3

x 2x 1 kx a3x 2x 1 a 0 (1)

4x 4x k⎧− + − = +

⇔ − − − =⎨− + =⎩

Töø A coù theå keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C) khi (1) phaûi coù 3 nghieäm


1 a 0 a 1⇔− − = ⇔ = − . Khi ñoù 4 2 23x 2x 0 x 0 x3

− = ⇔ = ∨ = ±

Vaäy toaï ñoä ñieåm caàn tìm laø A(0,-1)

Cho haøm soá ; ñoà thò (C) 3 2y x 3x 2= − + 1.Qua A(1,0) coù theå keû ñöôïc maáy tieáp tuyeán vôùi (C) . Haõy vieát phöông trình tieáp tuyeán aáy 2.CMR khoâng coù tieáp tuyeán naøo khaùc cuûa (C) song song vôùi tieáp tuyeán qua A cuûa (C) noùi treân 1.Goïi (d) laø ñöôøng thaúng qua A(1,0) coù heä soá goùc k daïng y k(x 1)= − laø tieáp tuyeán cuûa (C) khi heä

3 2

2

x 3x 2 k(x 13x 6x k⎧ − + = −⎨

− =⎩

)

3b

coù nghieäm 3(x 1) 0 x 1 k 3⇔ − = ⇒ = ⇒ = −

Vaäy coù 1 tieáp tuyeán (d) : keû ñeán (C) y 3x= − +2.Goïi (T) laø tieáp tuyeán khaùc cuûa (C) song song tieáp tuyeán taïi A daïng y 3x= − + Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm heä :

3 2

2

x 3x 2 3x b3x 6 3⎧ − + = − +⎨

− = −⎩

3 2b x 3x 2b 3 (T) : y 3x 3

x 1⎧ = − +

⇔ ⇒ = ⇒ = −⎨=⎩

+

(T) (d)≡ vaäy khoâng coù tieáp tuyeán naøo khaùc song song vôùi tieáp tuyeán taïi A

Cho haøm soá 4

2xy 3x2 2

= − +5

a

, coù ñoà thò (C)

1.Goïi (d) laø tieáp tuyeán cuûa ñoà thò taïi ñieåm M coù hoaønh ñoä Mx = .CMR hoaønh ñoä caùc giao ñieåm cuûa tieáp tuyeán (d) vôùi ñoà thò laø nghieäm cuûa phöông trình 2 2 2(x a) (x 2ax 3a 6) 0− + + − = 2.Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa a ñeå tieáp tuyeán (d) caét ñoà thò taïi 2 ñieåm P,Q khaùc nhau vaø khaùc M.Tìm quõy tích trung ñieåm K cuûa ñoaïn thaúng PQ

1.Goïi 4 4

2 2(a)

|(a)

a 5 a 5M a, 3a (C) y 3a y 2a(a 3)2 2 2 2

⎛ ⎞− + ∈ ⇒ = − + ⇒ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠2

Tieáp tuyeán taïi M coù phöông trình 2 4 23 5y 2a(a 3)x a 3a2 2

= − − + +

Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (d) vaø (C) laø : 4

2 2 4x 5 33x 2a(a 3)x a 3a2 2 2− + = − − + +2 5

2

2

2 2 2(x a) (x 2ax 3a 6) 0⇔ − + + − = 2.Quõy tích trung ñieåm K Theo treân ñeå (d) caét (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät P vaø Q vaø khaùc M thì phöông trình : = 0 coù

2 nghieäm khaùc a

2x 2ax 3a 6+ + −| 2 2

2 2 2

a 3a (3a 6) 0a 1a 2a 3a 6 0

⎧⎧ <Δ = − − > ⎪⇔⎨ ⎨≠+ + − ≠ ⎪⎩ ⎩


Khi ñoù K

4 2K K K

x a ; x 3; xK 7 5y x 9x

2 2

⎧ = − ≤ ≠⎪⎨

= − + +⎪⎩

1

Vaäy quyõ tích trung ñieåm K laø ñöôøng cong 4 27y x 9x2 2

5= − + + vaø giôùi haïn bôûi 1 x 3≠ ≤

Cho haøm soá coù ñoø thò laø (Cm).Ñònh m ñeå caùc tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (Cm) taïi A vaø B ñieåm coá ñònh vuoâng goùc nhau

4 2y x 2mx 2m= − + − +1

x Ñieåm coá ñònh A(-1,0) B(1,0) vaø | 3y 4x 4m= − +

| |A By 4 4m ;y 4 4m⇒ = − = − +

Tieáp tuyeán taïi A vaø B vuoâng goùc nhau | |BAy .y 1⇔ = −

3 5(4 4m)(4m 4) 1 m m4 4

⇔ − − = − ⇒ = ∨ =

Cho haøm soá x 1yx 1+

=−

coù ñoà thò (C) . Tìm nhöõng ñieåm treân truïc tung maø töø moãi ñieåm aáy chæ coù theå keû

ñöôïc ñuùng 1 tieáp tuyeán ñeán (C) Goïi A(0,a) qua A coù phöông trình Oy∈ (d)⇒ y kx a= + Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm heä

22

2

x 1 kx ax 1 2xx 1 a (a 1)x 2(a 1)x a 1 0 (1

2 x 1 (x 1)k(x 1)

+⎧ = +⎪ + −−⎪ ⇒ = + ⇔ − − + + + =⎨ − − −⎪ =⎪ −⎩

)

Töø A coù theå keû ñöôïc 1 tieáp tuyeán ñeán (C) (1)⇔ coù 1 ngheäm

Xeùt (1) 1a 1 0 a 1 4x 2 0 x A(0,1)2

− = ⇔ = ⎯⎯→− + = ⇒ = ⇒

a 1 0 a 1

a 1 A(a, 1' 0 2a 2 0

⎧ − ≠ ≠⎧⇔ ⇔ = − ⇒⎨ ⎨Δ = + =⎩⎩

)−

Cho haøm soá x 1yx 1−

=+

coù ñoà thò (C)

Tìm treân ñöôøng thaúng y = x nhöõng ñieåm sao cho coù theå keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán vôùi ñoà thò vaø goùc giöõa 2

tieáp tuyeán ñoù baèng 4π

Goïi M(x0,y0) tieáp tuyeán taïi M tieáp xuùc (C) daïng 0 0y x M(x ,x )∈ = ⇔ ⇒ 0y k(x x ) x0= − + (d)

Phöông trình hoaønh ñoä cuûa (d) vaø (C) 0 0x 1kx kx x (1)x 1−

− + =+

Theo ycbt thì (1) coù nghieäm keùp 20 0 0 0kx (k kx x 1)x x kx 1 0⇔ + − + − + − + =

coù nghieäm keùp 2 2 2 20 0 0

k 0(1 x ) k 2(x 3)k (x 1) 0 (2)

≠⎧⇔ ⎨Δ = + − + + − =⎩


Qua M keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán ñeán (C) taïo thaønh goùc 4π

(2)⇔ coù 2 nghieäm phaân bieät thoûa 2

1 2 1 2

1 2 1 2

k k k ktan 1 1

1 k .k 4 1 k .k⎛ ⎞− −π

= = ⇔ =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

002 22 2

0 0 0

1 2 1 2 0 0

k

x 1x 1 08(x 1) 0 2(x 3) x 15 1(k k ) 5k .k 1 0 (1 x ) x 1

≠⎧+ ≠⎧⎪⎪⇔ Δ = + > ⇔ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎨ ⎨ + − 0− − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪+ − − = + +⎩ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩

002

0

x 1 M( 7, 7)x 7

x 1 8 M( 7, 7)

⎧≠ − − −⎧ ⎪⇔ ⇔ = ± ⇒⎨ ⎨+ =⎩ ⎪⎩

Cho Parabol . Tìm nhöõng ñieåm treân truïc Oy sao cho töø ñoù ta coù theå veõ ñöôïc 2 tieáp tuyeán ñeán (P) vaø 2 tieáp tuyeán naøy hôïp vôùi nhau 1 goùc 45

2(P) : y 2x x 3= + −0

Goïi M(0,m) . Phöông trình qua M coù heä soá goùc k laø y kOy∈ x m (d)= + Phöông trình hoaøng ñoä giao ñieåm cuûa (P) vaø (d) laø :

2 22x x 3 kx m 2x (1 k)x m 3 0 (1)+ − = + ⇔ + − − − = (d) laø tieáp tuyeán cuûa (P) khi (1) coù nghieäm keùp 0⇔Δ =

2k 2k 8m 25 0 (2⇔ − + + = )5

Coù 1 2 1 2k k 2 ; k .k 8m 2+ = = +

Hai tieáp tuyeán hôïp nhau 1 goùc 450 khi 0 2 1

1 2

k ktan 45 11 k .k

−= =

+

2 21 2 1 2 1 2(k k ) 4k k (1 k k )⇔ + − = + (3)

Qua M keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán taïo nhau goùc 450 khi (2) coù 2 nghieäm phaân bieät thoûa (3) |

22k m 31 8m 25 0

16m 112m 193 04 4(8m 25) (8m 26)< −⎧Δ = − − = ⎧

⇔ ⇔⎨ ⎨ + + =− + = + ⎩⎩

3 14 3 14m m4 4+ −

⇔ = − ∨ =

Vaäy 1 23 14 3 14M 0, ,M 0,

4 4⎛ ⎞ ⎛+ −

−⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎠

Cho haøm soá 2xy

x 1=

− goïi ñoà thò laø (C) . Tìm treân ñöôøng y = 4 taát caû caùc ñieåm maø töø moãi ñieåm ñoù coù theå

keû tôùi (C) 2 tieáp tuyeán laäp nhau goùc 450

Goïi A(a,4) laø ñöôøng thaúng tuyø yù treân y = 4

Goïi (T) laø ñöôøng thaúng QuaA(a,4)

coù daïng: y k(x a) 4Coù heä soá goùc laø k⎧

= − +⎨⎩

Vaø moïi ñöôøng thaúng (T1) vaø (T2) ñi qua A coù heä soá goùc k ñeàu coù daïng : 1 2y k (x a) 4 vaø y k (x a) 4= − + = − +


Do (T1) vaø (T2) taïo nhau 1 goùc 450 khi 0 1 2

1 2

k ktan 451 k .k

−=

+

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2(1 k k ) (k k ) (1 k k ) (k k ) 4k k 0 (1)⇔ + = − ⇔ + − + + =

Do (T) laø tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C)2x k(x a) 4

x 1⇔ = − +

− coù nghieäm keùp

2(1 k)x (4 ka k)x 4 ka 0⇔ − − − − + − = coù nghieäm keùp khaùc

1 22 2

k 11 k 0k (a 1) 4(a 2) 0 (2)(a 1) k 4(a 2)k 0

⎧ ≠⎧− ≠⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎡ ⎤− − − =Δ = − − − = ⎪⎪ ⎣ ⎦⎩⎩Qua A keû ñöôïc tôùi (C) 2 tieáp tuyeán laäp vôùi nhau 1 goù 450 khi phöông trình (2) coù 2 nghieäm k1,k2 (k 1)≠

vaø thoûa maõn heä thöùc (1) 2

k 04(a 2)k(a 1)

=⎧⎪

−⎨ =⎪ −⎩

thoûa maõn (1) khi

2

222

2

4(a 2)k 1 a 3(a 1)a 1

4(a 2) a 2a 7 0k 0.(1 0) 0 4.0 0(a 1)

−⎧ = ≠ ≠⎧⎪ −⎪ ⎪⇔ ≠⎨ ⎨−⎡ ⎤⎪ ⎪ + − == + − + + = ⎩⎢ ⎥⎪ −⎣ ⎦⎩

a 1 2

a 1 2

⎡ = − −⇔ ⎢

= − +⎢⎣

2

2

Vaäy 1 2A ( 1 2 2,4) , A ( 1 2 2,4)− − − +

Cho haøm soá 2x x 2yx 1+ +

=−

coù ñoà thò (C) . Tìm treân (C) caùc ñieåm A ñeå tieáp tuyeán cuûa ñoà thò taïi A vuoâng

goùc vôùi ñöôøng thaúng ñi qua A vaø coù taâm ñoái xöùng cuûa ñoà thò

Giaû söû 0 00

4A x ,x 2x 1

⎛+ +⎜ −⎝ ⎠

⎞⎟ laø ñieåm baát kyø treân (C) vaø I(1,3) laø giao ñieåm 2 ñöôøng tieám caän

0 00

4AI 1 x ,1 xx 1

⎛ ⎞⇒ = − − −⎜ ⎟−⎝ ⎠

uur

Nhö vaäy laø moät vectô chæ phöông cuûa ñöôøng thaúng AI AIuur

Goïi (d) laø tieáp tuyeán cuûa (C) tieáp xuùc vôùi (C) taïi A , coù heä soá goùc

|2

0 00(x )

4k y 1 a 1,1(x 1) (x 1)

⎛ ⎞= = − ⇒ = −⎜− −⎝ ⎠

r2

4⎟ laø vectô chæ phöông cuûa (d) ; do ñoù (d) (AI) a.AI 0⊥ ⇔ =

r uur

04x 1 8⇒ = ±

Vaäy coù 2 ñieåm 4 4

4 41 24 4

4 3 8 8 4 3 8 8A 1 8, , A 1 8,8 8

⎛ ⎞ ⎛− + + +− +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎠


Cho haøm soá 2x 3x 2y

x− +

= .Tìm treân ñöôøng thaúng x = 1 nhöõng ñieåm M sao cho töø M keû ñöôïc 2 tieáp

tuyeán ñeán (C) vaø 2 tieáp tuyeán ñoù vuoâng goùc nhau Goïi M(1,m) .Ñöôøng thaúng (T) qua M coù heä soá goùc k daïng : x 1∈ = y k(x 1) m= − + Töø M keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi nhau tôùi (C) khi heä

2

2

2

x 3x 2 k(x 1) mx

x 2 kx

⎧ − += − +⎪⎪

⎨−⎪ =⎪⎩

( I ) coù 2 nghieäm thoûa maõn 1 1

2 2

(x ,k )(x ,k )⎧⎨⎩

1 2k .k 1= −

Töø ( I ) 2(m 2)x 4x 2 0 (*) , x 0⇒ + − + = ≠

Theo ycbt 2 21 2

2 21 2

m 2 0' 4 2(m 2) 0

(x 2) (x 2). 1x x

⎧⎪ + ≠⎪⎪⇔ Δ = − + >⎨⎪ − −⎪ = −⎪⎩

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

m 2m 0

(x x ) 2 (x x ) 2x x 4 (x x )

⎧ ≠ −⎪⎪⇔ <⎨⎪ ⎡ ⎤− + − + = −⎪ ⎣ ⎦⎩

2 2

2 m 0

2 4 42 4m 2 m 2 m 2 m 2

− ≠ <⎧⎪

⎡ ⎤⇔ ⎨⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + = −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦⎩

22+

2

2 m 02 m 0m 3

m 6m 2 0 m 3 7

− ≠ <⎧− ≠ <⎧ ⎪⇔ ⇔ ⇔ =⎨ ⎨+ + = = − ±⎪⎩ ⎩

7− ±

Vaäy 1 2M (1, 3 7) , M (1, 3 7)− − − + Cho haøm soá .Tìm taát caû caùc ñieåm treân truïc hoaønh maø töø ñoù veõ ñöôïc ñuùng 3 tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C) , trong ñoù coù 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi nhau.

3y x 3x= + 2

Goïi M(m,0) laø ñieåm baát kyø treân truïc hoaønh Ñöôøng thaúng (d) ñi qua M coù heä soá goùc laø k daïng : y k(x m)= −

(d) laø tieáp tuyeán (C) khi 3 2

2

x 3x k(x m)( I )

3x 6x k⎧ + = −⎨

+ =⎩Qua M keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán cuûa (C) trong ñoù coù 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi nhau khi ( I ) coù 3 giaù trò k sao cho 2 trong 3 giaù trò ñoù tích baèng -1 Khi ñoù ( I ) 3 2 2 2x 3x (3x 6x)(x m) x 2x 3(1 m)x 6m 0⎡ ⎤⇔ + = + − ⇔ + − − =⎣ ⎦

2

x 02x 3(1 m)x 6m 0 (*)=⎡

⇔ ⎢ + − − =⎣

Theo ycbt (*) coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc 0 2 m 3

3m 10m 01 m 0m 03

< −⎡⎧Δ = + + > ⎢⇔ ⇔⎨ ⎢− < ≠≠⎩ ⎣


Khi ñoù pt (*) coù 2 nghieäm vaø 1 2

1 2

2x x (m 13

x x 3m

⎧ + = −⎪⎨⎪ = −⎩

)

Khi qua M keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán cuûa (C) thì 2 21 1 1 2 2 2 3k 3x 6x , k 3x 6x , k 0= + = + =

Theo baøi toaùn : 2 21 2 1 1 2 2k k 1 (3x 6x )(3x 6x ) 1= − ⇔ + + = −

1m27

⇒ = thoûa hoaëc m < −3 1 m 03

− < ≠

Vaäy 1M ,027

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Cho haøm soá 22x x 1yx 1− +

=−

coù ñoà thò (C) . Tìm treân truïc hoaønh 4 ñieåm töø ñoù döïng ñöôïc tieáp tuyeán hôïp

vôùi Ox goùc 450 . Vieát phöông trình tieáp tuyeán ñoù Tieáp tuyeán hôïp vôùi Ox goùc 450 laø tieáp tuyeán coù heä soá goùc k 1= ±

TH1: |2

2k y 1 2 1 x 1 2(x 1)

= = ⇔ − = ⇒ = ±−

1

2

(T ) : y x 2 2 2x 1 2 y 3 3 2

(T ) : y x 2 2 2x 1 2 y 3 3 2

⎡⎡ ⎡ = + −= − = −⇒ ⇒ ⇒ ⎢⎢ ⎢

= + += + = + ⎢⎢ ⎢⎣ ⎣ ⎣

TH2: |2

2 2k y 1 2 1 x 1(x 1) 3

= = − ⇔ − = − ⇔ = ±−

3

4

2 2x 1 y 3 5 (T ) : y x 4 2 63 3(T ) : y x 4 2 62 2x 1 y 3 5

3 3

⎡ ⎡= − = −⎢ ⎢ ⎡ = − − −⎢ ⎢⇒ ⇒ ⇒ ⎢

⎢ ⎢ = − + +⎢⎣= + = +⎢ ⎢⎣ ⎣

Cho haøm soá coù ñoà thò (C) 3 2y x 3x 2= − +

1.Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) ñeå tieáp tuyeán ñoù qua 23A , 29

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

2.Tìm treân ñöôøng thaúng y = -2 caùc ñieåm töø ñoù coù theå keû ñeán ñoà thò (C) 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc

1.Tieáp tuyeán (C) qua A : 23y k x 29

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

Ta coù : 3 2

2

23x 3x 2 k x 29

3x 6x k

⎧ ⎛ ⎞− + = − −⎪ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎨

⎪ − =⎩

2(x 2)(3x 10x 3) 0⇒ − − + =

x 2, k 0x 3, k 9

1 5x , k3 3

⎡⎢ = =⎢

⇔ = =⎢⎢

= = −⎢⎣

tieáp tuyeán ⇒(d) : y 2(d) : y 9x 25

5 6(d) : y x3 2

⎡⎢ = −⎢

= −⎢⎢

= − +⎢⎣

17

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 2.Goïi A(a,-2) y 2∈ = −Ñöôøng thaúng (T) qua A coù heä soá goùc laø k , coù phöông trình y k(x a) 2= − − Ñieàu kieän (T) vaø (C) tieáp xuùc nhau laø:

3 22

2

x 3x 2 k(x a) 2(x 2) 2x (3a 1)x 2 0

3x 6x k⎧ − + = − − ⎡ ⎤⇒ − − − + =⎨ ⎣ ⎦− =⎩

21 2 1 2

x 2 ; k 0 y 23a 1g(x) 2x (3a 1)x 2 0 coù x x ;x .x 1

2

= = ⇒ = −⎡⎢⇔ −⎢ = − − + = + = =⎣

Ñeå töø A döïng 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc khi g(x) = 0 coù 2 nghieäm x1,x2 sao cho k1(x1).k2(x2) = -1

2

2 21 2 1 1 2 2

g

(2)

5a 1 a0 (3a 1) 16 0 3k .k 1 (3x 6x )(3x 6x ) 1 27a 55g 0 a 2 a 2

⎧ < − ∨ >Δ > ⎪⎧ ⎧ − − >⎪⎪ ⎪⇔ = − ⇔ − − = − ⇔ =⎨ ⎨ ⎨

⎪ ⎪ ⎪≠ ≠ ≠⎩⎩ ⎪⎩

55 55a A ,27 27

⎛ ⎞⇔ = ⇒ −⎜ ⎟⎝ ⎠

2

2

Cho haøm soá . Tìm nhöõng ñieåm treân ñöôøng thaúng y = 2 töø ñoù döïng ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán ñoà thò

3 2y x 3x= − + −

Goïi A(a,2) y 2∈ =Ñöôøng thaúng (T) qua A coù heä soá goùc k coù phöông trình : y k(x a) 2= − + laø tieáp tuyeán cuûa (C) khi heä :

coù nghieäm 3 2

2

x 3x 2 k(x a) 23x 6x k

⎧− + − = − +⎨− + =⎩

2

2

(x 2) 2x (3a 1)x 2 0 x 2 02x (3a 1)x 2 g(x) 0

⎡ ⎤⇒ − − − + = ⇔ − =⎡⎣ ⎦⎢ − − + = =⎣

Ñeå qua A keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C) khi g(x) = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc 2 thoûa :

g

(2)

50 3(a 1)(3a 5) 0 a 1 a3

g 0 a 2 a 2

⎧Δ >⎧ + − > < − ∨ >⎧⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨≠ ≠⎩⎪ ⎪⎩ ≠⎩

Vaäy 5a 1 a a3

< − ∨ > ∧ ≠ 2

Cho hoï ñöôøng cong (m 1)x m(Cm) : y ,m 0x m− +

=−

≠ .Chöùng minh raèng (Cm) tieáp xuùc 1 ñöôøng thaúng coá

ñònh taïi 1 ñieåm coá ñònh khi m: thay ñoåi

Goïi (x0,y0) laø ñieåm coá ñònh maø (Cm) ñi qua khi 00

0

(m 1)x my

x m− +

=−

0 0 0 0(x y 1)m x (y 1) 0 :⇔ + − − + = coù nghieäm m 0∀ ≠ ; 0x m≠


0 0 0 0

0 0 0 0

x y 1 0 x 0 x 2x (y 1) 0 y 1 y 1

⎧+ − = = =⎧ ⎧⎪⇔ ⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨+ = = = −⎪⎩ ⎩⎩

Ñieàu kieän ; neân A(0,1) thoûa baøi toaùn m 0∀ ≠ 0x m≠

Vaäy A(0,1) laø ñieåm coá ñònh maø (Cm) ñi qua

Ta laïi coù 2 2

| |2 2(0)

m my y 1 ;(x m) (0 m)

=− −

= ⇒ = − ∀− −

m 0≠

Vaäy phöông trình tieáp tuyeán vôùi (Cm) taïi A laø |A A(0)y y y (x x )− = −

y x 1⇔ = + Cho haøm soá ,ñoà thò laø (C) . Tìm treân ñöôøng thaúng y = -4 nhöõng ñieåm A maø töø ñoù coù theå keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C)

3y x 12x 12= − +

Goïi A(a,-4) y 4∈ = − (d) : y k(x a) 4⇒ = − −

Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm heä 3

2

x 12x 12 k(x a) 43x 12 k⎧ − + = − −⎨

− =⎩

2

x 2g(x) 2x (4 3a)x 8 6a 0=⎡

⇔ ⎢ = + − + − =⎣

Ñeå qua A keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán phaân bieät g(x) 0⇔ = coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc 2

(2)

g40 a 4 a3

g 0 a 2

⎧ ⎧Δ > < − ∨ >⎪ ⎪⇔ ⇒⎨ ⎨≠⎪ ⎪ ≠⎩⎩

Vaäy nhöõng ñieåm 4A(a, 4);a 4 a a 23

− < − ∨ > ∧ ≠ thoûa baøi toaùn

Cho haøm soá , coù ñoà thò laø (C) 4 3y x 4x 3= − + 1.Chöùng minh raèng toàn taïi moät tieáp tuyeán duy nhaát tieáp xuùc vôùi ñoà thò (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät 2.Vieát phöông trình tieáp tuyeán thöù 2 vôùi ñoà thò song song vôùi tieáp tuyeán vöøa keå . Cho bieát hoaønh ñoä tieáp ñieåm 3.Döïa vaøo caùc keát quaû treân , tuyø theo tham soá m , suy ra soá nghieäm phöông trình :

4 3x 4x 8x m 0− + + = 1.Tieáp tuyeán taïi 2 ñieåm cuûa (C) daïng y ax b= + (d) Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø (d) laø: 4 3x 4x 3 ax b− + = +

4 3x 4x ax 3 b 0⇔ − − + − = (1) Ñeå (d) tieáp xuùc (C) thì phaûi coù ñoàng thôøi 2 nghieäm keùp

4 3 2x 4x ax 3 b (x ) (x )⇔ − − + − = −α −β 2 4 3 4 3 2 2 2x 4x ax 3 b x 2( )x ( 4 )x 2 ( )x⇔ − − + − = − α +β + α +β + αβ − αβ α +β


Ñoàng nhaát thöùc 2 veá 2 2

2 2

2 24 0

2 ( ) a a 83 b b 1

α+β = α +β =⎧ ⎧⎪ ⎪α +β + αβ = αβ = −⎪ ⎪⇔⎨ ⎨αβ α +β = = −⎪ ⎪⎪ ⎪α β = − = −⎩ ⎩

2

1tieáp tuyeán : y 8x 1 (d )

hoaønh ñoä tieáp ñieåm : 1 3 ; 1 3

= − −⎧⎪⇒ ⎨α = − β = +⎪⎩

2.Tieáp tuyeán song song y 8 x= − −1Ta coù | 3 2y 8 4x 12x 8 x 1 y 0

x 1 3

x 1 3

= − ⇔ − = − ⇔ = ⇒ =⎡⎢

= −⎢⎢ = +⎣

)Vaäy tieáp tuyeán thöù 2 coù phöông trình 2y 8x 8 (d= − + 3. 3 34 4x 4x 8x m 0 x 4x 3 8x m− + + = ⇔ − + = − + 3Laø phöong trình hoaønh ñoä giao ñieåm giöõa 34(C) : y x 4x 3

(d) : 8x m 3⎧ = − +⎨

− +⎩

{ } { }{ }

1

2

(d ) Oy 0, 1 , (d) Oy 0,3 m

(d ) Oy 0,8

∩ = − ∩ = −

∩ =

-m + 3 m Nghieäm phöông trình +∞ m < -5 2 nghieäm 8 m = -5 3 nghieäm (coù 1 nghieäm keùp x = 1) -5 < m < 4 4 nghieäm phaân bieät -1 m = 4 2 nghieäm keùp x = 1 3 ± −∞ m > 4 Voâ nghieäm

Cho haøm soá 2(3m 1)x m my

x m+ − +

=+

, m 0≠ coù ñoà thò laø (Cm)

1.Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì giao ñieåm cuûa ñoà thò vôùi truïc hoaønh , tieáp tuyeán seõ song song vôùi ñöôøng thaúng y = x – 20 . Vieát phöông trình tieáp tuyeán aáy 2.CMR : (Cm) luoân tieáp xuùc vôùi 2 ñöôøng thaúng coá ñònh 3.Treân ñöôøng thaúng x = 1 , chæ ra taát caû caùc ñieåm maø khoâng coù ñöôøng naøo cuûa (Cm) ñi qua

1.2

20 0

m m 1(Cm) Ox : (3m 1)x m m 0 x ;m 0;m3m 1 3

−∩ + − + = ⇔ = ≠ ≠

+−

Ta coù : 2 2

| |02 2

4m (3m 1)y y(x m) 4m

+= ⇒ =

+

Tieáp tuyeán song song vôùi ñöôøng thaúng y = x – 10 2

|0 2

(3m 1)y 14m+ 1⇔ = ⇔ =

10 0

20 0

A( 1,0) , (T ) : y x 1m 1 , x 1 , y 03 31 3 B ,0 , (T ) : y xm , x , y 05 55 5

− =⎡= − = − =⎡⎢⎢⇔ ⇔ ⎛ ⎞⎢⎢

+

= −= − = = ⎜ ⎟⎢⎣ ⎝ ⎠⎣

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 2.Goïi ñöôøng thaúng coá ñònh laø y = ax + b

Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm : 2(3m 1)x m m ax b

x m+ − +

= ++

[ ]2 2ax (a 3)m b 1 x m (b 1)m 0⇔ + − + − + + − =

ÑKTX : [ ]2 2

a 0a 0m

(a 10a 9)m 2 (a 3)(b 1) 2a(b 1) m (b 1) 00≠⎧≠⎧

∀ ⇔⎨ ⎨ − + + − − − − + − =Δ =⎩ ⎩2

1

2

a 1(T ) : y x 1

a 9(T ) : y 9x 1

b 1

⎧ =⎡= +⎧⎪⎢⇔ ⇔=⎨ ⎨⎣ = +⎩⎪ =⎩

3.Goïi A(1,a) x 1∈ =

Ycbt : 23m 1 m mA (Cm)Khi: a

1 m+ − +

∉ =+

voâ nghieäm m

2m (a 4)m a 1⇔ + − + − = 0 voâ nghieäm m khi m 0Δ < 2a 12a 20 0 2 a 10⇔ − + < ⇔ < <

Nhöõng ñieåm maø (Cm) khoâng qua laø A(1,a) ; 2 a 10< < Cho ñöôøng cong ; ñoà thò (C) 3y 3x 4x= − 1.Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) ñeå tieáp tuyeán ñoù ñi qua M(1,3) 2.Tìm treân ñöôøng cong y = -9x + 8 nhöõng ñieåm maø töø ñoù veõ ñöôïc 2 tieáp tuyeán ñeán (C) vaø chuùng vuoâng goùc nhau 1.Goïi (d) laø ñöôøng thaúng qua M(1,3) vaø coù heä soá goùc laø k coù pt : y = k (x – 1) vaø coù x0 laø hoaønh ñoä tieáp ñieåm , khi ñoù ta coù : 3

0 0 0 020

0

3x 4x k(x 1) 3 x 0 ; k 3 ; y 3x3 12x k 3x ; k 24 ; y 24x 27

2

⎧ − = − + ⇔ = = =⎧⎪⎨⎨− =⎩ = = − = − +⎪⎩

2.Goïi . Moïi ñöôøng thaúng qua A coù heä soá goùc laø k ñeàu coù phöông trình : A(a, 9a 8) y 9x 8− + ∈ = − +y k(x a) 9a 8= − − + vaø x0 laø hoaønh ñoä tieáp ñieåm khi heä

30 0

20

3x 4x k(x a) 9a 83 12x k⎧ − = − − +⎨

− =⎩ coù nghieäm

0

20 0 0

020 0( )x

(x 1) 2x (2 3a)x 2 3a 0

x 1 ; k 9f 2x (2 3a)x 2 3a

⎡ ⎤⇔ − − − + − =⎣ ⎦= =⎡

⇔ ⎢ = − − + − =⎣ 0

Theo baøi toaùn ta coù = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät 0( )xf

2 2(2 3a) 8(2 3a) 0 a a 2 (*)3

⇔ − − − > ⇔ > ∨ < −

0( )xf = 0 thoûa k1.k2 = -1

0

2 21 2

2 2 21 2 1 1 1 2 1 2 (x )

(3 12t )(3 12t ) 1

9 36 (t t ) 2t t 144t t 1 Vôùi t t laø 2 nghieäm cuûa f = 0

⇔ − − = −

⎡ ⎤⇔ − + − + = −⎣ ⎦


Goïi (Cm) laø ñoà thò 2x (1 2m)x my f (x)

x 1+ − −

= =−

. Haõy xaùc ñònh giaù trò m ñeå (Cm) caét Ox taïi 2 ñieåm vaø 2

tieáp tuyeán ñoù vuoâng goùc vôùi Giaûi

2

2

x 2x my ' f '(x)(x 1)+ +

= =+

; my x 2m ;(m 0)x 1

= − + ≠+

(Cm) caét Ox taïi hai ñieåm phaân bieät ⇔ phöông trình : 2x (1 2m)x m 0+ − − = (1) coù hai nghieäm

phaân bieät khaùc -1 ⇔2

2

(1 2m) 4( m) 0( 1) (1 2m)( 1) m 0

⎧Δ = − − − >⎪⎨− + − − − ≠⎪⎩

⎧⎨ ñuùng. ⇔

24m 1 0m 0

+ >≠⎩

≠Vaäy vôùi m thì (Cm) caét Ox taïi 2 ñieåm phaân bieät vôùi 0 1 2( ,0), ( ,0)M x N x 1 2,x x laø 2 nghieäm cuûa phöông trình (1). Khi ñoù ta coù : 1 2x x 2m 1+ = − vaø 1 2x x m= − Tieáp tuyeán taïi M, N vuoâng goùc nhau ⇔ 1 2'( ) '( ) 1f x f x = −

( ) ( )( ) ( )

2 21 1 2 2

2 21 2

2 22 21 1 2 2 1 2

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2

2

x 2x m x 2x m 1x 1 x 1

(x 2x m)(x 2x m) x 1 x 1

(x x ) 2x x (x x ) m(x x ) 2m(x x ) m 4x x (x x x x 1)

4m m(2m 1) 4m mm(4m m 3) 0

⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⇔ = −⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠

⇔ + + + + = − + +

⇔ + + + + + + + + = − + + +

⇔ + − − = −

⇔ + − =

2

m 0⇔ = (loaïi) V m 1 V = −3m4

=

V 1m = −34

m = Vaäy

Nhaän xeùt : 1) Neáu ko ñaët ñieàu kieän ñeå toàn taïi (Cm) laø haøm höõu tæ hoaëc khoâng noùi roõ (Cm) caét Ox coù hai nghieäm khaùc maãu soá (nghóa laø ) thì aét haún ta nhaän m=0 laøm nghieäm thì keát quaû sai.

0m ≠0m ≠

2) Thoâng thöôøng caùc em quen duøng Viet cho y' . Nhöng yeâu caàu baøi toaùn khoâng ñeà caäp y' ñeå trong Viet cuûa phöông trình baäc hai. 1 2'( ) '( ) 1f x f x = −

1/ Cho haøm soá coù ñoà thò (C) .Tìm phöông trình tieáp tuyeán tieáp xuùc (C) taïi hai ñieåm phaân bieät , tính toaï ñoä tieáp ñieåm.

4 3 22 3y x x x= − − + 5

62/ Chöùng minh raèng coù 1 tieáp tuyeán duy nhaát tieáp xuùc (C) : 4 3 24 2 7y x x x x= + − + + taïi hai ñieåm phaân bieät . Tìm toaï ñoä tieáp ñieåm. 3/ Xaùc ñònh a, b ñeå (d) : y= ax+b tieáp xuùc vôùi ñöôøng cong (C) : 4 3 26 26 3y x x x x= − + + + taïi hai ñieåm phaân bieät. Tìm toaï ñoä tieáp ñieåm

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 1/ Goïi (d) : y = ax + b. Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø (d) : 3x ≠ 4 3 22 3 5x x x ax b− − + = +

4 3 22 3 5x x x ax b⇔ − − + − − = 0 Phöông trình (1) phaûi coù 2 nghieäm keùp 1 2,x x phaân bieät. (1) vieát laïi 4 3 2 2 2

1 22 3 5 ( ) ( )x x x ax b x x x x⇔ − − + − − = − − = 024 3 2 4 3 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 3 5 2( ) ( ) 2 2 ( )x x x ax b x x x x x x x x x x x x x x x x⎡ ⎤⇔ − − + − − = − + + + + − + +⎣ ⎦ = 0

Ñoàng nhaát thöùc hai veá ta ñöôïc: 1 2

21 2 1 2

1 2 1 22 2

1 2

2( ) 2

( ) 22 ( )

5

x x

x x x xx x x x a

x x b

+ =⎧⎪ + + = −⎪⎨ + =⎪⎪ = −⎩

3

1 2

1 2

12

41

x xx xab

+ =⎧⎪ = −⎪⇔ ⎨

= −⎪⎪ =⎩

⇒ tieáp tuyeán cuûa (C) taïi hai ñieåm phaân bieät (d): y= -4x+1. Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm phöông trình : ⇔ x= -1 V x= 2 2 2 0x x− − = Vaäy 2 tieáp ñieåm laø ; A (-1,5) ; B (2,-7) 2/ Töông töï y = 5x - 3 ; C (1,2) ; D (-3,-18) 3/ Töông töï y = 2x - 13; E (-1,-15) , F (4,-5)

Cho (C) : 2( 1) (5 2) 2 1

3m x m x my

x− − + + −

=−

4 vaø (d) : y = 2mx + 2 .

1. Xaùc ñònh m ñeå (C) vaø (d) caét nhau taïi 2 ñieåm phaân bieät A, B. 2. Goïi M laø giao ñieåm cuûa (d) vaø truïc Oy. Tính theo m toaï ñoä cuûa ñieåm N treân (d) thoaû maõn heä thöùc

NA MANB MB

= −uuur uuur

uuur uuur .

3. Tìm quyõ tích ñieåm N khi m thay ñoåi.

1. Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø (d):2(m 1)x (5m 2)x 2m 14

x 3− − + + −

−=2mx+2; 3x ≠

2( 1) (4 ) 8 2m x m x m⇔ + + − + − = 0 (1). (d) caét (C) taïi hai ñieåm A, B phaân bieät ⇔ (1) coù 2 nghieäm phaân bieät


2

m 1 09m 32m 16 0

+ ≠⎧⎨Δ = − − >⎩

4m V m >9

m -1

⎧ < −⎪⇔ ⎨⎪ ≠⎩

4

2. A N A M

B N B M

x x x xNA MAx x x xNB MB

⎛ ⎞− −= − ⇔ = −⎜ ⎟− −⎝ ⎠

uuur uuur

uuur uuur

( ) 2A B N A B Nx x x x x x⇔ + = ⇔ = 4 2 2 2 8N Ny mx m= + = − ⇒ N (-4,2-8m).

3. Nx = -4 : x = -4 giôùi haïn bôûi:⇒ ( )N d∈

149

4

m

m

m

≠ −⎧⎪⎪⎡ < −⎨⎢⎪⎢⎪ >⎣⎩

2 18

2 98 4

2 48

y

y

y

−⎧ ≠ −⎪⎪

−⎪⎡⇔ < −⎨⎢⎪⎢⎪ −⎢ >⎪⎢⎣⎩

1030

509

yy

y

≠⎧⎪ < −⎪⎡⇔ ⎨⎢⎪⎢ >⎪⎣⎩

Quyõ tích ñieåm N laø phaàn ñöôøng x = -4 , öùng y< -30 V y > 509

vôùi 10y ≠

Cho haøm soá : ; (C) .Tìm caùc ñieåm thuoäc ñoà thò (C) maø qua ñoù keû ñöôïc moät vaø chæ moät tieáp tuyeán tôùi ñoà thò (C).

3 23y x x= − + − 2

Goïi . Phöông trình ñöôøng thaúng (t) qua M coù heä soá goùc laø k coù daïng 3 2

0 0 0 0 0 0( , ) ( ) 3 2M x y C y x x∈ → = − + −

0 0( )y k x x y= − +

(t) tieáp tuyeán cuûa (C) khi heä sau coù nghieäm :3 2

0

2

3 2 ( )

3 60x x k x x

x x k

⎧ y− + − = − +⎪⎨− + =⎪⎩

vôùi 3 20 0 03 2y x x= − + −

20 0 0 0

02

0 0 0

02

0 0

0

00

( ) 2 (3 ) ( 3)

0

2 (3 ) ( 3) 0;(3)

(3) : 9( 1) 0, 1

3V2

x x x x x x x

x x

x x x x x

x x

x x

x xxx x x

⎡ ⎤⇔ − − + + + − =⎣ ⎦− =⎡

⇔ ⎢− + + + − =⎣=⎡

⇔ ⎢Δ = − > ∀ ≠⎣

=⎡⎢⇔ −⎢ = =⎣

0

20 00

20 0 0

3 6

3 3 33 62 2 2

k x xx xx x xx k

⎡ = − +=⎡⎢⎢⇔ ⇒− − −⎢ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ = = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣

Vaäy qua 0 0 0( , ) ( )M x y C∈ coù 2 tieáp tuyeán vôùi tieáp ñieåm 00

3,2

xx x x −= = . Muoán coù 1 vaø chæ 1 tieáp tuyeán

vôùi (C) , ñieàu kieän caàn vaø ñuû laø 2 tieáp ñieåm phaûi truøng nhau 00 0

3 1, 02

xx x 0y−⇔ = ⇔ = = . Khi ñoù heä soá

goùc cuûa tieáp tuyeán laø k = 3.


2

Keát luaän : Vaäy coù tieáp tuyeán duy nhaát cuûa (C) laø : y=3(x -1) vôùi tieáp ñieåm 0 (1,0)M Cho ñöôøng cong 3 3y x x= − + + tìm caùc ñieåm treân truïc hoaønh sao cho töø ñoù veõ ñöôïc 3 tieáp tuyeán vôùi ñöôøng cong

Goïi 0( ,0)M x ∈Ox : Ñöôøng thaúng qua M coù daïng 0( )y k x x= − ;(t) (t) laø tieáp tuyeán cuûa (C) khi heä sau coù nghieäm:

3 20 2

0 02

3 2 ( )( 1) 2 (3 2) 3 2 0;(1

3 6

x x k x xx x x x x

x x k

⎧− + − = −⎪ ⎡ ⎤⇔ + − + + + =⎨ ⎣ ⎦− + =⎪⎩)

Qua veõ ñöôïc 3 tieáp tuyeán vôùi ñöôøng cong khi : (1) coù 3 nghieäm phaân bieät 0( ,0)M x2

0 0 20 0

( 1) 0

0 0 0

(3 2) 8(3 2) 0; ( ) 2 (3 2) 3 2

6 6 0

21; 1 ; 23

x xf x x x x x

f x

x x x

−

⎧Δ = + − + >⎪⇔ = −⎨ = + >⎪⎩

⇔ < − < < − >

+ + +

Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa 2 2y x x= − ; 3 2 4y x x= + − Goïi y= ax+b laø tieáp tuyeán chung vaø giaû söû 1 2,x x laø hoaønh ñoä tieáp ñieåm. Vôùi 2 2y x= − x

4 vaø

3 2y x x= + − . Khi heä sau coù nghieäm

2 2 21 1 1 1 1 1 1 1

21 2 2

1 2 132 2 2

22 3 2 22 2 2 2 2

2 ;(1) 2 (2 2)2 2 ;(2) 3 42 3 2

22 4 ;(3)(3 4)3 2 ;(4) 2 4 (3 2)

4

x x ax b b x x x x xx a xx x x

x x ax bxx a x x x x

⎧⎧ − = + ⎪ = − − − = −⎪ ⎪− = +⎪ ⎪⇒ − = + ⇒ =⎨ ⎨

+ − = +⎪ ⎪⎪ ⎪ ++ =⎩ + − = + −⎪⎩

4 32 2 2

222

22

1

21

9 8 24 003 2

23 442

x x xxa xaxx b

b x

⎧ − + =⎪ =⎧= +⎪⎪ ⎪⇔ ⇒ = 2 4y x⇒ = −⎨ ⎨+

=⎪ ⎪ = −⎩⎪⎪ = −⎩

Cho haøm soá 22

xyx+

=−

.Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá ñi qua A (-6,5)

Phöông trình ñöôøng thaúng qua A (-6,5) coù heä soá goùc laø k : ( 6)y k x 5= + + , (d) (d) laø tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C)


2 2

4 41 ( 6) 5 1 ( 2) 82 2

4 4( 2) ( 2)

k x k x kx x

k kx x

⎧ ⎧+ = + + + = − + +⎪ ⎪− −⎪ ⎪⇔⎨ ⎨⎪ ⎪− = − =

− −⎪ ⎪⎩ ⎩

5

22

4 41 8 5 2 2 12 2 24(2 1)( 2)

k kx x xk k kx

⎧ + = − + + ⎧⎪ = +− −⎪ ⎪⇔ ⇔ −⎨ ⎨⎪ ⎪− = − + =⎩−⎪⎩

114

k

k

= −⎡⎢⇔⎢ = −⎣

vôùi k = -1 :y= -x -1 vôùi 14

k = − : 1 74 2

y x= − +

Cho haøm soá 24 3

4mx xyx m

+ −=

+.Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì tieáp tuyeán cuûa ñoà thò taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x = 0

vuoâng goùc vôùi tieäm caän. • Tieäm caän ñöùng : . 4 0x m+ =

• Tieäm caän xieân : 3 7 .4 16

y x= − + m

• y' =2 212 6 16

(4 )2x mx m

x m− + −

+

Heä soá goùc tieáp tuyeán cuûa ñoà thò taïi 0 0x = laø 2

(0) 2

16' my km−

= =

tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi TCÑ thì k = 02

2

16 0 4m mm−

⇔ = ⇔ = ±

TCX 3 14

k⇔ − = − voâ nghieäm.

⇒ tieáp tuyeán taïi x = 0 chæ vuoâng goùc TCÑ khi 4m = ±

Cho haøm soá 3( ) :4

mxHm yx m

−=

+ −

1/ Ñònh m nguyeân ñeå haøm soá nghòch bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh 2/ Vôùi m= 2 . Tìm nhöõng ñieåm treân (H) maø taïi ñoù tieáp tuyeán cuûa (H) laäp vôùi Ox 1 goùc döông . Vieát phöông trình tieáp tuyeán.

0135

1/ 2

2

4'( 4m myx m− +

=+ −

3)

. Haøm soá nghòch bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh 2' 0 4 3 0y m m⇔ < ⇔ − + <

1 32

:m

mgt m< < ⎫

⇔ ⇒⎬∈Ζ⎭=

2/ m=2 ⇒ 2 32

xyx−

=−

.


Goïi 00 0 0

0

2 3( , ) ( )2

xM x y H yx

−∈ ⇒ =

−

0 20 2

000

0 0 1

0 0 2

1' 1( 2) 1( 2)

' tan135 1

3; 3 (1,1)1; 1 (3,3)

yx

xk y

x y Mx y M

⎫= − ⎪− ⇒ =⎬ −⎪= = = − ⎭= =⎡ ⎡

⇒ →⎢ ⎢= = ⎣⎣

phöông trình tieáp tuyeán taïi 1

2

: 2: 6

M y xM y x

= − += − +

Cho haøm soá 22 1

1x xy

x− +

=−

1/ Chöùng toû treân ñöôøng thaúng y = 7 coù 3 ñieåm M keû ñöôïc ñeán (C) chæ 1 tieáp tuyeán // Ox 2/ Chöùng toû treân ñöôøng thaúng y = 7 coù 4 ñieåm sao töø ñieåm ñoù coù theå keû ñeán (C) 2 tieáp tuyeán laäp vôùi nhau 1 goùc 045ÑS: 1/ 1 2 3(1,7), (2,7), (3,7)M M M

2/ 1 2( 3 2 6); (5 2 2)M M− ± ±

Cho haøm soá 2

2x mx my

x+ +

=+

; ñoà thò (Cm) ; m tham soá .Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá caét truïc hoaønh taïi hai

ñieåm phaân bieät vaø tieáp tuyeán taïi 2 ñieåm ñoù vuoâng goùc vôùi nhau.

Ñoà thò haøm soá caét truïc hoaønh taïi 2 ñieåm phaân bieät khi phöông trình : 2

02

x mx mx+ +

=+

coù hai nghieäm phaân

bieät khi 2x mx m+ + =0 coù 2 nghieäm phaân bieät 2 4 0

24 2 0

x mx

m m⎧Δ = − >

≠ − ⇔ ⎨− + ≠⎩

04

mm<⎡

⇔ ⎢ >⎣ . Vaäy vôùi m< 0 V m > 4 thì ñoà thò haøm soá caét truïc hoaønh taïi 2 ñieåm phaân bieät A, B coù hoaønh

ñoä ,A Bx x laø nghieäm cuûa phöông trình : 2x mx m+ + = 0. Hai tieáp tuyeán taïi A vaø B vuoâng goùc vôùi nhau . ( ) ( )' 'A By y 1⇔ = −

[ ]

2 2

2 2

2

4 4 1( 2) ( 2)

(4 ) 2( ) 4 0, (1)

A A B B

A B

A B A B A B

x x m x x mx x

m x x x x x x

⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + +⇔ =⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠⇔ − + + + + =

−

Vôùi A B

A B

x x mx x m

=⎧⎨ + = −⎩

thì (1) 2 2(4 ) (4 ) 0m m m⇔ − + − =

m= 4 (loai) vì m >4 1

m= -1 ( nhân) vì m< 0m⎡

⇔ = −⎢⎣

Cho haøm soá coù ñoà thò laø (Cm). Tìm m ñeå ñöôøng thaúng (d) : y= -x+1 caét (Cm) taïi 3 ñieåm phaân bieät A (0,1) , B,C sao cho caùc tieáp tuyeán taïi B vaø C cuûa (Cm) vuoâng goùc

3 2 1y x mx= + +


f m⇔Δ = − >

Ta coù : . Ñeå (d) caét (Cm) taïi 3 ñieåm phaân bieät thì f(x) = 0

buoäc coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc 0

3 22

( )

01 1

1 0x

xx mx x

f x mx=⎡

+ + = − + ⇔ ⎢ = + + =⎢⎣2' 4 0 ⇔ m< -2 V m > 2

vaø 1 2,x x laø hoaønh ñoä cuûa B vaø C thoaû : 1 2

1 2

( )1

x x mI

x x+ =⎧

⎨ =⎩

Ta coù heä soá goùc tieáp tuyeán taïi B laø : 1

21 ( ) 1 1' (3 2xk y x mx= = + )

) heä soá goùc tieáp tuyeán tai C laø : 2

22 ( ) 2 2' (3 2xk y x mx= = +

Ñeå 2 tieáp tuyeán taïi B vaø C vuoâng goùc thì: 1 2 1k k = − 2

1 2 1 2 1 29 6 ( ) 4 1;( )x x x x m x x m II⎡ ⎤⇔ + + + = −⎣ ⎦

Töø (I) vaø (II) 2 5m m⇒ = ⇒ = ± 5 thoaû m< -2 Vm> 2. Vaäy 5m = ± thoaû baøi toaùn. Cho ñöôøng cong (Cm) : 3 2y x mx m= − + − vaø ñöôøng thaúng : y= k(x+1)+1 . Tìm ñieàu kieän giöõa k vaø m ñeå caét (Cm) taïi 3 ñieåm phaân bieät . Tìm k ñeå caét (Cm) thaønh 2 ñoaïn baèng nhau.

( )kd( )kd ( )kd

( )kd : y=k(x+ 1)+1 luoân qua A(-1,1) neân ( coù ñieåm chung (Cm) laø A. Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa ( vaø (Cm) :

)kd)kd 3 2x mx m− + − = k(x+1)+1

2

2

( 1) (1 ) 1 0

1( ) (1 ) 1 0

x x m x m k

xg x x m x m k

⎡ ⎤⇔ + − + + + + =⎣ ⎦=⎡

⇔ ⎢ = − + + + + =⎣

Ñeå ( caét (Cm) taïi 3 ñieåm phaân bieät khi g(x)= 0 coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc -1 )kd

2

( 1)

10 ( 24

0 2 3

g k m mg k m−

⎧Δ >⎧ < − −⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨≠⎪ ⎪⎩ ≠ − −⎩

3)

Do qua A (-1,1) ∈ (Cm) neân ( caét (Cm) thaønh 2 ñoaïn baèng nhau thì qua ñieåm uoán

I

( )kd )kd ( )kd

32,3 27m m m⎛ − +⎜

⎝ ⎠⎞⎟ cuûa (Cm) khi ñoù toaï ñoä I thoaû : ( )kd 32 1

27 3mm m k ⎛ ⎞− + = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

34 2(27( 1) 2

m mkm m

+⇒ = −

+ +1)

Xeùt haøm soá 2 3

1x x ay

x+ +

=+

, a laø tham soá .

1/ Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò khi : a= 3 ; ( ) ( )HS C= , TCX x=1, x= 5 hoaëc ( ) ( )HS C= , TCX x= -3, x= -2 . 2/ Vôùi nhöõng giaù trò naøo cuûa tham soá a thì ñoà thò cuûa haøm soá treân coù tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi ñöôøng phaân giaùc thöù nhaát cuûa heä truïc toaï ñoä ? CMR khi ñoù ñoà thò haøm soá coù ñieåm cöïc ñaïi vaø ñieåm cöïc tieåu .


2

2

2 3'( 1)

x x ayx

+ + −=

+; 1x ≠ tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi ñöôøng phaân giaùc , goùc phaàn tö thöù nhaát y=x laø ñöôøng

thaúng coù phöông trình : y= -x +m. (t). vôùi (t) laø tieáp tuyeán cuûa(C) khi heä sau coùnghieäm 2

2

2

3 , (1)1

2 3 1, (2)( 1)

x x a x mx

x x ax

⎧ + += − +⎪ +⎪

⎨ + + −⎪ = −⎪ +⎩

(1) coù nghieäm coù nghieäm 21 3 ( )(x x x a x m x≠ ⇔ + + = − + +1) 1x ≠ − 2

2( 1)

2

(4 ) 4.2( ) 02( 1) (4 )( 1) 0

8 162

m x mg m a

m aa

−

⎧ − − − ≥⎪⇔ ⎨= − + + − + − ≠⎪⎩

⎧ ≥ +⇔ ⎨

≠⎩

m

21)

(2) coù nghieäm . Coù nghieäm 21 2 3 (x x x a x≠ − ⇔ + + − = − + 1x ≠ − . 22( 1) 2x a⇔ + = − coù nghieäm 1x ≠ −

2( 1)

2 0 22

2( 1 1) 2 2a a

ah a a−

− ≥⎧ ≥⎧⎪⇔ ⇔⎨ ⎨= − + ≠ − ≠⎪ ⎩⎩⇔ >

Ñieàu kieän chung cuûa heä (1),(2) ñeå coù nghieäm 1x ≠ − laø : 2 8 1

2c aa⎧ ≥ −⎨

>⎩

6

Vôùi a > 2 , y'= 0 2

2

2 3 0( 1)

x x ax

+ + −⇔ =

+

2 2 3 0; '1

x x a ax

⎧ + + − = Δ = −⇔ ⎨

≠ −⎩

2

0

3

y'= 0 coù , do ñoù coù 2 nghieäm phaân bieät , neân ñoåi daáu 2 laàn qua nghieäm . Haøm soá coù cöïc ñaïi , cöïc tieåu.

' 2aΔ = − >

Coù theå kieåm nghieäm vôùi choïn 23 8a C= ⇒ ≥ 2 9C C= ⇒ = ± . Khi ñoù coù 2 tieáp tuyeán :

y = -x – 3 ; y = -x + 3 . Laàn löôït tieáp xuùc vôùi (C) taïi 1 25 4 1 10, ; ,3 3 3 3

M M⎛ ⎞ ⎛− − −⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

Cho haøm soá : y = x + 1+ 41x −

; coù ñoà thò laø (C)

Tìm quyõ tích nhöõng ñieåm trong maët phaúng töø ñoù döïng ñöôïc 2 tieáp tuyeán vôùi (C) vaø 2 tieáp tuyeán naøy vuoâng goùc vôùi nhau . Goïi M(x0 , y0) laø ñieåm baát kì thuoäc maët phaúng ; x0 ≠ 1 Ñöôøng thaúng qua M, coù heä soá goùc la k daïng : y = k( x – x0) + y0 ; (d) Phöông trình hoaønh ñoä cuûa (d) vaø (C) laø:

k(x- x0) + y0 = x + 1 + 41x −

<=> (k – 1)x2 – ((x0 + 1)k – y0)x + kx0 – y0 – 3 = 0 (*)

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Ñeå (d) tieáp xuùc (C) khi (*) coù nghieäm keùp

<=> <=> 1 00

k − ≠⎧⎨Δ =⎩

2 2 20 0 0 0

1( ) ( 1) ( 2 5) ( 2) 16 0

kg k x k x y k y≠⎧

⎨= − + + + + − − =⎩

Ñeå töø M keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc thì g(k) = 0 phaûi coù 2 nghieäm phaân bieät k1, k2 sao cho k1k2 = -1 vaø k 1 ≠

<=>

20

20

20

( 2) 16 1( 1)

(1) 0( 1) 0

yx

gx

⎧ − −= −⎪ −⎪⎪ ≠⎨

⎪ − ≠⎪⎪⎩

<=> 2 2

0 0

0 0 0

( 1) ( 2) 161 6

x yx y y

⎧ − + − =⎪⎨

≠ => ≠ ∨ ≠ −⎪⎩ 2

Vaäy quyõ tích nhöõng ñieåm M töø ñoù keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc ñeán ñoà thò (C) laø ñöôøng troøn taâm I(1,2) , baùn kính R = 4 coù phöông trình : (x -1)2 + (y – 2)2 = 16 tröø ñi 2 ñieåm : (1,-2) vaø (1, 6)

Cho haøm soá y = x3 +3x2 +mx +1 ; coù ñoà thò laø (Cm) 1. Chöùng minh raèng vôùi moïi m thì (Cm) luoân caét ñoà thò (C) : y = x3 + 2x2 + 7 taïi hai ñieåm phaân bieät

A vaø B . Tìm quyõ tích trung ñieåm I cuûa AB 2. Xaùc ñònh m ñeå (Cm) caét ñöôøng thaúng y = 1 taïi 3 ñieåm phaân bieät C(0,1); D vaø E . Tìm m ñeå caùc

tieáp tuyeán cuûa (Cm) taïi D vaø E vuoâng goùc vôùi nhau 3. Tìm a ñeå moïi x : f(x) = (x -2)2 + 2 ≥ x a− 3

1. Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (Cm) vaø (C) laø : x3 + 3x2 + mx +1 = x3 + 2x2 +7 <=> f(x) = x2 +mx – 6 = 0 f(x) = 0 luoân coù 2nghieäm phaân bieät (Vì 2 24f mΔ = + >

7 7

0) A,B thoûa

A(x1, ) ; B( x3 21 12x x+ + 2 , ) ; vôùi x3 2

2 22x x+ + 1, x2 laø nghieämsoá cuûaf(x) = 0 coù x1 + x2 = -m Goïi I laø toïa ñoä trung ñieåm cuûa AB thì :

I

1 2

3 32 2 21 2 1 21 2

2 218( ) 7

2 2 2

I

I

x x mx

y y x x m my x x

+ −⎧ = =⎪⎪⎨

+ + − −⎪ = = + + + = + +⎪⎩

19m

<=> 32

2

( 2 ) 18( 2 ) ( 2 ) 192

I

I II I

m x

x xy x

= −⎧⎪⎨ =>y− − − −

= + − +⎪⎩

I = 3 24 4 18 19I I Ix x x+ + +

Vaäy quyõ tích trung ñieåm I laø ñöôøng cong : y = 4x3 + 4x2 +18x +9 2. Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (Cm) vaø y = 1 laø : x3 + 3x2 +mx + 1 = 1 <=> x(x2 + 3x + m) = 0

<=> ⎡⎢ 2

0( ) 3 0(2)

xg x x x m=

= + + =⎣


Ñeå (Cm) caét y = 1 taïi 3 ñieåm C(0,1) ; D vaø E khi (2) coù hai nghieäm phaân bieät khaùc 0 <=> 9 4 0 90

0 4m

mm− >⎧

<=> ≠ <⎨ ≠⎩

Khi ñoù goïi xD , xE laø hoaønh ñoä cuûa D,E ta coù : 3

.D E

D E

x xx x m

+ = −⎧⎨ =⎩

Tieáp tuyeán cuûa (Cm) taïi D, E vuoâng goùc khi ( ) ( )' . 'D Ex xy y 1= −

2 2

2 2 2 2

(3 6 )(3 6 ) 1

. [( ) 2 ]D D E E

D E D E D E

x x m x x m

x x m x x x x m

⇔ + + + + = −

⇔ − + − + = 1−

<=> 4m2 – 9m + 1 = 0 <=> 9 65 9;08 4

m m±= ≠ <

Vaäy 9 658

m ±=

3. f(x) = (x – 2)2 + 2 x a− ≥ 3, ñaët g(x) = (x -2)2 + 2 3x a− −

ta caàn chöùng minh f(x) ≥ <=> min g(x) ≥ ; 3 0 x∀ * Neáu x – a <=> x ≥ ; khiñoù g(x) = (x – 2)0≥ m 2 +2(x – a) – 3 coù:

g’(x) = 2x - 2 ; g’(x) = 0 <=> x = 1

x a 1 +∞ g’(x) - 0 + g(x -2a x a =>a≤ 1 => min g(x) = -2a >0 <=> a ≥ ≤ 0 *Neáu x – a ≤ 0; g(x) = (x – 2)2 - 2 ; g’(x) = 2x – 6 3x a− −

g’(x) =0 <=> x = 3 x −∞ 3 a +∞ g’(x) - 0 + g(x) 2a – 8 x≤ a => a ≥ 3 =>min g(x) = 2a – 8 0 => a ≥ 4≥

Vaäy a a 0 4≤ ∨ ≥

Documents

Chde cuctri-tieptuyen