(‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌14/11/1392به‌روزرساني:‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌)اي‌بهينه‌سازي‌در‌مهندسي‌شيمي‌و‌نفتش‌هرو

روش های بهینه یابي– معرفي1فصل

مقدمه nايي براي يافتن مقدار بهينه )بيشترين يا كمترين ( ي��ا ت��ابع بهين��ه ب��ا هاين جزوه در باب روش

س�ازي ي��ا بهينه ي��ابي يع��ني ج��رأت بت��وان گفت ك��ه بهينه است . ش��ايد بهه متغير حقيقي نگاشته شد وس��يعي از مس��ائلتعيين بهترين حالت بدون تكرار و ارزيابي تمام ح��االت ممكن. گس��ترة نس��بتا

طراحي، ساخت، عملي��ات و تحلي��ل كمي مبتالب��ه در عل��وم مهندس��ي، ك��اربردي و ح��تي محض ب��ا ش��وند. ش��ايد اولين دانش��مندي ك��ه ب��ه فرموالس��يون ي��ك مس��ئله سازي درگ��ير مي هاي بهينه روش س��ال قب��ل ميالد باش��د. مس��ئلة مرتب��ط او ي��افتن300 در (Euclid)س��ازي پ��رداخت، اقلي��دس بهينه موف��ق ب��ه (Fermat) ، فرما1657است. در س��ال )مسافت( يك نقطه تا خط بودهمسيرترين كوتاه

سازي بود يافتن قانون ضريب شكست نور شد، بطوريكه مسئلة و نكتة اصلي در اين مسئلة بهينه ( قانوني را بيان كرد كهGibbs، گيبس)1875كند. در سال را طي ميزمانكه نور مسير كوتاه ترين

اساس تعادالت فازي و ترموديناميك مخلوط ها مي باشد. اين قانون مي گويد براي ي��ك سيس��تم در (Simplex، الگوريتم زيمپلكس )1940حال تعادل فیزیکوشيميايي، انرژي آزاد مينيمم است. در سال

( ابداع شد و در ط��ول جن��گ جه��اني درDantzigنام دانتزيگ ) توسط يك افسر وظيفه آلماني تبار به د. در زمينه بهينه سازي ديناميكي )يافتن تابع بهينه(ه شكار گرفت مسائل لجستيكي و ترابري بهينه به

Shapeتوان به مسئله مي��نيمم دراگ ) طور عندالمثال مي نيز به Dragت��يز توس��ط رائ��و ( اجس��ام نوك هاي برگش��تي داراي س��اختار اش��اره ك��رد. ت��ا قب��ل از ح��ل اين مس��ئله، دماغ��ه کش��تی ها و موشك

ج��اي ط��ور تحليلي اثب��ات ك��رد ك��ه ش��كل بهين��ه آن به ( بهRaoتيز و مخروطي بودن��د ولي رائ��و) نوك Apollo )11 و آپولو (Apollo 10 )10مخروط بايد شلجمي )مقطع سهموي( باشد. اختالف شكل آپولو

باشد. ( حامل سرنشين ناشي از اين امر مي11 موازات نياز روزافزون ص��نعت المحاسب و به افزاري كامپيوترهاي سريع بعد از پيشرفت سخت

ب��رداري، مص��رف و همچ��نين ارتب��اط تنگاتن��گ ص��نعت و ص��رفه در زمينه ط��راحي، س��اخت و بهره�ر بهينه اقتصادي، روش ك�ار گرفت��ه ی�ابي اب�داع و به هاي مختلف و متنوعي ب��راي ح�ل مس�ائل متكث

اند. شده

بهینه یابي در مقابل بهسازی یک نکته مهم در ابتدای امر تعریف یا به ک��ارگیری ی��ک مس��ئله بهینه س��ازی، تش��خیص ض��رورت

( و ص��راحت مس��ئله بهینه س��ازیSuboptimalکار، سطح پیچیدگی، امکان وجود راه حل های زیربهینه )می باشد. با چند مثال به ابعاد این مفهوم ضروری و اساسی پرداخته می شود.

در یخچال های امروزی، پنکه کمپرسور در باالی دستگاه نصب شده و به ج��ای پره ه��ای خنک کن از مبدل های حرارتی )رادیاتورهای( صفحه ای یا ورقی استفاده می شود. این ی�ک تص�میم بهس�ازی اس��ت و ن��ه بهینه س��ازی، ب��دین مع��نی ک��ه نی��ازی ب��ه نوش��تن فرموالس��یون ریاض��ی و اس��تفاده از بسته های نرم افزاری نمی باشد! علت انتخاب نصب پنکه در باالی یخچال، حضور پریزهای ب��رق در ارتفاعی بسیار باالتر از قدیم )به خاطر رعایت مسائل ایمنی به ویژه برای کودک��ان( بوده اس��ت. از طرفی توصیه به نصب محافظ الکتریکی در باالی یخچال و مصرف طول کابل کمتر نیز منج��ر ب��ه این توفیق اجباری شده است. علت نصب رادیاتورهای ص��فحه ای ن��یز ش��کیل بودن، حف��ظ ایم��نی و

تمیزکردن راحت تر و سهولت در حمل و نقل بوده است. سطح پیچیدگی، مقیاس و اندازه مسئله نیز مهم است. یک ستون تقطیر ساده )غیرواکنشی(

س��ینی خ��وراک بهین��هفقط( تعادلی باشد و به دنب��ال effectرا درنظر بگیرید که دارای هفت مرحله ) هستیم. اگر کندانسور و ریب��ویلر را کن��ار بگ��ذاریم، عمال پنج س��ینی ب��رای انتخ��اب ب��اقی می مان��د. سینی باالیی معموال برای رفالکس خارجی نامزد می شود و سینی باالی ریبویلر نیز به عنوان سینی خوراک الاقل رایج نیست، لذا می ماند فقط سه سینی)!(. انتخاب سینی خوراک بهین��ه ب��ا امتح��ان

( هرکدام از سه س��ینی آلترن��اتیو توس��ط س��یموالتورهای رایج ص��نعتی به راح��تیenumerationکردن )

1

‌معرفي‌روش‌هاي‌بهينه‌سازي‌–‌1فصل‌

امکان پذیر بوده و نیازی به این همه آفتابه و لگن بهینه سازی )هفت دست!( برای این شام و نه��ارناچیز نیست!

به عنوان مثال آخر، تعیین تعداد بهینه مراحل یک تبخیرکننده صنعتی را درنظر بگیرید. با ف��رض وجود پارامترهای دقیق، قطعی و دردسترس بودن ی��ک م��دل ج��امع و دقی��ق و همچ��نین مطالع��ات اولیه مربوطه و تعقیب روال های آنالیز حساسیت اعم از متغیرها و پارامترها، اگر بتوانیم یک ت��ابع هدف مناسب و مقتضی یافته و سپس مسئله بهینه سازی را با یک روش کارآ به طور موفقیت آم��یز حل کرده و با روش های مقتضی فرابهینه سازی آن را تحلیل کنیم آنگ��اه توانس��ته ایم عمال مص��داق »کوه موش زایید« را بازآفرینی کرده باشیم! چراکه از نظر عملی، تع�داد مراح�ل ی�ک تبخیرکنن�ده به ندرت از پنج واحد تجاوز می کند. این کار یعنی تعیین تعداد مراحل بهینه را می توانس��تیم ب��ا چن��د

( و مقایسه مقادیر تابع هدف انجام دهیم.enumerationاجرای سیموالتور) این بدان معنیست که تقریبا تمام روالهای ط��راحی )برپای��ه ح��الت یکن��واخت( اعم از ط��راحی پایه و تفصیلی در مهندسی فرآیند، ذاتا دارای نوعی بهینگی هستند و در چارچوب قیود عملی��اتی و مواد سازنده، طرح و تدوین شده اند و قبال امتح��ان خ��ودرا پس داده ان��د، ل��ذا بای��د قب��ل از تعری��ف –مسئله بهینه سازی )فرآیند( و پرداختن به روش حل ص��رفا ریاض��ی، ب��ه تعب��یر و تحلی��ل ف��یزیکی

مهندسی، تعداد متغیرها، تعامل واحدهای عملیاتی، چندهدفی بودن و به طور خالصه به قد و ق��وارهمسئله توجه کافی داشت.

منظور از صراحت مسئله، نقش و جایگاه روش های بهینه سازی در مسئله می باشد. ممکنست مسئله موردنظر، اصالتا یک مسئله بهینه سازی باشد نظیر حداقل کردن ضایعات، سیکل های بهین��ه عملیاتی یک فرآیند ناپیوسته، بهینه کردن همزمان عملکرد و کنترل یک فرآیند. یع��نی م��ورد مس��ئله ابتدائا، اص��التا و ص��راحتا ی��ک مس��ئله بهینه س��ازی باش��د. در مقاب��ل، مس��ائلی وج��ود دارن��د ک��ه از بهینه سازی به شکلی ابزارگونه، غیرمستقیم و ضمنی استفاده می کنند. مسائلی چون حل دس��تگاه

، حل کنن��ده های الم��انODEمعادالت جبری غیرخطی، کن��ترل بهین��ه خط��ای ی��ک حل کنن��ده دس��تگاه ، رگرسیون غیرخطی، تخمین پارامترها یا حاالت دین��امیکی و نظ��ایر آنه��اRayleigh-Ritzمحدود برپایه

از جمل��ه م��واردی هس��تند ک��ه خ��ود روش ه��ای بهینه س��ازی در مق��ام اهمیت ثانوی��ه ق��رار دارن��د و به زعمی کاربردهای روش های بهینه سازی محسوب می شوند. از این نوع مسائل، شکل تابع هدف و قیود احتمالی به شکلی نسبتا م�دون و جاافت�اده ط�رح ش�ده اند و مح��ور اص�لی بحث ی�ا انتخ�اب

روش بهینه سازی شامل بار محاسباتی کمتر، تضمین همگرایی و وجود جواب مطلق می باشد.

ریاضي پشتیبان )تعاریف و قضایا(راحيس��ازي به ط��ور م��وازي ب��ا مس��ائل بهينهتحليليرياض��ي پش��تيبان و ‌ وكاربرده��ايط س�ازي بندي كلي، مس�ائلي ك��ه ج��واب بهينه اند. در ي��ك تقس�يم سازي رشد و پيشرفت داش�ته بهينه

« )یا جبری، یا پایا( استاتيكيسازي شوند، موسوم به »بهينه بعدي يافته ميnبه صورت يك نقطه ط�رف، مس��ائلي ك��ه از آن ش�وند. در حالي بوده و رياضي آنها از طرف آناليز كالسيك پشتيباني مي

��ر مس��تقل باش��د، موس��وم ب��ه »بهينه س��ازي كه جواب بهينه، خود يك متغير تابع از يك يا چن��د متغي كنندة اين مسايل از طرف آناليز م��درن،ی « )یا پویا( مي باشند. قضاياي تحليلي و پشتيبان ديناميكي

شوند. ( پشتيباني ميVariational Calculusيعني حساب تغييرات ) ه��اي مسائل مهندسي نوع��ا ب��ه دو نح��و از دانش و عل��وم رياض��ي به��ره مي جوين��د. يكي روش

ه��اي مبت��ني ب��ر تعري��ف، عموم��ا ب��ا هاي مبتني بر »قضيه«. روش مبتني بر »تعريف« و ديگر روش سعي و خطا و حجم محاسباتي باال همراه بوده و بسيار سرراست و قابل فهم هس��تند. ب��ه همين

هاي حل تا ظه��ور كامپيوتره��اي ديجيت��ال و پرس��رعت ب��ه كن��دي پيش��رفت خاطر توسعة اين روش هاي مستقيم هاي مبتني بر تعريف به روش یابي، روش است. در اصطالح و ترمينولوژي بهينه كرده

اي س��ازي ب��ه مس��ئله هاي مبتني بر قضيه، سعي بر اين اس��ت ك��ه مس��ئلة بهينه معروفند. در روش شود كه بحث تحليلي آن قبال در حيط��ة دانش بش��ري ب��ه ش��كلی ك��امال م��دون و جاافت��ادهتحويل

سازي استاتيكي، شرط الزم مينيمم يا ماگزيمم ب��ودن ي��ك است. به طور مثال در بهينه مطرح شده��ر تابع به صورت يك قضية رياضي طرح مي شود كه از خاصيت مشتق )مش��تقات( مرتب��ة اول متغي

2

(‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌14/11/1392به‌روزرساني:‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌)اي‌بهينه‌سازي‌در‌مهندسي‌شيمي‌و‌نفتش‌هرو

س��ازي اي مش��تقات مرتب��ة اول هم��ان ج��واب بهينه هت��ر ريشه كند. به بي��اني دقيق تابع استفاده مي��ر ت��ابع كافيس��ت ي��ك مي باشد. همان طور كه معلوم است براي يافتن ماگزيمم يا مي��نيمم ي��ك متغي

س��ازي تحوي��ل ش��د، تقلی��ل ی��افت ی��ا دستگاه معادلة جبري را حل كنيم، يعني حل يك مس��ئله بهينه س�ازي ك�ه ه�اي بهينه تبدیل شد ب�ه ح�ل ي�ك مس�ئلة م��أنوس و مس�بوق ب��ه س�ابقة رياض�ي. روش

كنند موسوم ب��ه روش ه��اي غيرمس��تقيم، تحليلي، رياض��ي و به ط��ور کلی صورت تحويلي كار ميه بMathematicalبرنامه ریزی ریاضی ) Programmingباشند. الزم به ذکرست که در روش های مبت��نی ( مي

بر تعریف نیز یک تقسیم بندی روش ها به دو حالت مستقیم و غیرمس��تقیم مرسومس��ت و نبای��د ب��اتقسیم بندی فوق المذکور اشتباه شود.

ادبیات، ترمینولوژی و مبادی تصور اندركاران باشد ت��ا دست هرشاخة علمي يا كار تخصصي محتاج يك لسان و قاموس خاصي مي

راحتي و باسهولت بتوانند با هم��ديگر ارتب��اط برق��رار ك��رده و س��ر از مسائل مرتبط با آن زمينه به معماري، مقدمات، مسلمات، ب��دیهیات، معلوم��ات و مجه��والت آن رش��ته درآورن��د. به ط��ور مث��ال،

مع��ادل و م��ترادف45(� snowاسكيموها كه با برف و در يخ زندگي مي كنن�د، ب��راي كلم��ه “ب��رف“ ) س�ازي ن��يز از اين ام��ر مس��تثني نيس��تند. مب��ادي تص��ور و هاي بهينه مصطلح دارند! مسائل و روش

زنند: مؤلفه زير دور مي10اصطالحات موضوعه حول حداقل

Objective ) تابع هدف. 1 Function ��)–جوهر و فلز هر مسئله بهینه یابی، یک ه��دف ی��ا آبجک��تیو موض��وعه ب��ه بی��انی کمی می باش��د ک��ه بای��د نمای��انگر و خط کش ک��اربرد و ک��ارآیی سیس��تم تحت مطالعه باشد. این آبجک��تیو می توان��د س��ود حاص��ل از ف��روش، زم��ان عملی��ات انج��ام ک��ار، ان��رژی پتانسیل، انتروپی )!( یا هر ترکیب از مقادیر عددی و مهندسی باشد که منجر به یک عدد )اسکالر(

باش��د ك��ه دنب��المی تركيب يا عبارت و يا تابعي شود. به بیان خالصه، منظور از )متغیر( تابع هدف، س��ازي ص��ورت ج��بري باش��د، بهينهه مقدار بهينة )ح��داقل / ح��داکثر( آن هس��تيم. اگ��ر ت��ابع ه��دف ب

هاي مختل��ف عل��وم استاتيكي و اگر شامل انتگرال باشد، به صورت ديناميكي خواهد بود. در رش��ته گ�يرد. عب��ارات م��دل اقتضاي زمينة كاري، ت��ابع ه��دف اس�امي گون��اگوني ب��ه خ�ود مي مهندسي، به

( نوعا" در مهندسيCost Function( و تابع هزينه )Profit Function( ، تابع سود )Economic Modelاقتصادي) هاي اقتصادي )اقتصاد مهندسي( به جاي ت��ابع ه��دف مص��طلح هس��تند، در حالي ك��ه صنايع و ارزيابي

Returnها، تابع برگشت ) ( در مهندسي كنترل و مهندسی سيستمPerformance Indexشاخص عملكرد )Function( در زمان بن��دي عملي��ات )Schedulingريزي پوي��ا ) ( و برن��امهDynamic Programmingو س��طح ،) Responseپاسخ ) Surfaceروند. در ي��ك مواجه��ة عم��ومي ن��يز كار مي ( در علوم رياضي و توپولوژي به

متداول(� Benefit Function)( و تابع انتفاع Effectiveness(، ميزان مؤثربودن )Criterionاصطالحات معيار)باشند. مي

س��ازي اس��تاتيكي ساختار تابع هدف در انتخاب روش حل مؤثر است. به طور مثال ب��راي بهينه ( باش��د ازQuadraticه��ا و اگ��ر مج��ذوري) ( باشد از يك فاميلي روشLinearاگر فرم تابع هدف خطي)

كنيم. ها استفاده مي دسته ديگر روش اگر در صورت مسئله یا هدف بهينه يابي، حل هم زمان )اكسترمم سازي( چند تابع هدف مدنظر

Multi-objectiveباشد، مسئله بهينه ي�ابي، ي�ك مس�ئله چنده�دفي ) Optimization)–موس�وم ب��ه مس��ائل Vectorبهینه یابی برداری ) Optimizationخواهد بود كه قطعا حل و بررسي آن پيچيده تر از مس��ائل -) تك هدفي مي باشد.

��ر ت��ابعی از ی��ک ی��ا چن��د متغ��یر- مجهوالت یا متغیرهای مستقل 2 - تابع هدف عمال متغی مس��تقل می باش��د. این متغیره��ای مس��تقل ی��ا مجه��والت به ط��ور ت��اریخی موس��وم ب��ه متغیره��ای

Decisionتصمیم گیری ) Variablesهستند. اگر این متغیرهای مستقل، خ��ود ن��یز ت��ابعی از متغیره��ای ) ( یعنی تواب��ع ت��ابعFunctionalsمستقل دیگر باشد، آنگاه از نظر ریاضی مواجه با تئوری فانکشنال ها )

هستیم. این نوع متغیرها در بهینه سازی دینامیکی طرح می شوند.

3

‌معرفي‌روش‌هاي‌بهينه‌سازي‌–‌1فصل‌

دوديت3ود و محئله - مسئلة قي س��ازي عملي و معم��وال ه��ر مس��ئلة بهينه– هاي مس باشد. اين نوع قيود اگر به صورت تحليلي باشند، واقعي حداقل محدود به يك قيد يا دستة قيود مي

Equalityبه صورت معادالت جبري )يا ديفرانسيلي( موسوم به قيود تساوي) Constraintsيا به ص��ورت ) Inequalityنامعادالت جبري موسوم به قيود نامساوي ) Constraintsهستند. منظ��ور از قی��ود مس��اوی )

معادالت جبري و يا ديفرانسيلي هس��تند ک��ه رابطه ی آنه��ا ب��ه ص��ورت ی��ک رابطه ی تس��اوی ظ��اهر می شود در حالی که قي�ود نامس�اوي ب�ه ص�ورت نامع�ادالت ج�بري می باش�ند. قی�ود نامس�اوی در فرایندهای مهندسی به دالیل مختلفی همچون محدودیتهای عملی��اتی، مالحظ��ات ایم��نی و ی��ا م��واد اولیه در دسترس بسیار ظاهر می شوند. ب��رای نمون��ه می ت��وان ب��ه اس��تاندارد انتش��ار آالین��ده ها از صنایع و یا دمای بیشینه ی مجاز برای عملکرد مطلوب کاتالیست اشاره نمود. حل مسائل ب��ا قي��ود

تر از مسائل مقيد به قيود تر از مسائل نامقيد و حل مسائل با قيود نامساوي سخت مساوي سختباشد. فقط تساوي مي

( باش��ند، اگرچ��ه مي ت��وان آنه��ا را به ص��ورت قي��ودUncertaintyاگ��ر قي��ود داراي ع��دم قطعيت ) نامساوي بي��ان ك��رد ولي چ��ون مس��ئله هم��راه ب��ا قي��د نامس��اوي عمال ح��ل تحليلي ج��دي ن��دارد و پيچيده تر از ساير مسائل بهينه يابي است، رويكرد آلترن��اتيوي وج��ود دارد به ن��ام مس��ائل بهينه ي��ابي

Heuristicsغيرقطعي كه روش هاي حل تجربي ) Programming( و بهينه يابي ف��ازي )Fuzzy Optimization) از جمله روش هاي حل و مواجهه با آنها مي باشد.

اگر برخي از متغيرهاي مستقل مس�ئله ي��ا هم��ة آنه��ا به ص��ورت ع�دد–جنس متغيرها - 4 (exponential( و نم��ايي )Combinatorialسازي يك حالت تركي��بي ) صحيح باشند، ممکنست مسئلة بهينه

Complexityاز نظر پيچيدگي و زمان حل ) Functionب��ودن ابع��اد متغيره�ا ( پيدا كن��د. در ص�ورت بزرگ Mixed) باش��د. مس��ائل آميخته باال( ح��ل اين ن��وع مس��ائل بس��يار س��خت ميه ب20)معموال Integer

Programmingكه ب��رخي متغيره��ا به ط�ور س�نتي غيرص��حيح و ب��رخي ديگ��ر ع�دد ص��حيح هس��تند در ) ( نيز درMixed Integer Dynamic Optimization - MIDOمسائل طراحي فرآيند و مسائل آميخته ديناميكي )

مسائل كنترل پذيري فرآيند از عناوين و مطالب مهم تحقيقاتي و مفهومي عصر حاضر مي باشند.

ح��ل كلي و نكته مهمي كه باي��د ب��ه آن توج��ه داش��ت، ع��دم وج��ود ي��ك راه–روش حل - 5 زي��ا وپهمان دليلي كه براي ه��ر غ��ذا از اب��زار پخت سازيست. به كاره براي مسائل مختلف بهينه همه

سازي ن�يز متناس�ب ب�ا تناول آن متناسب با آن خوراك استفاده مي كنيم، بايد براي هر مسئله بهينه در ادام�ه، لیس��ت ک��وچکی ازك�ار بگ�يريم. تابع ه��دف، قي�ود و جنس متغيره�ا روش مناس�ب را به

روش های مختلف حل مسائل بهگزینی به منظور آش��نایی اولی��ه آورده ش��ده اس��ت: »برن��امه ریزی خطی«، »برنامه ریزی هندسی«، »برنامه ریزی مجذوری«، »برنامه ریزی پویا«، »برنامه ریزی ع��دد

صحیح«، ...

انتخاب ابزار رياضي مناسب و پش��تيبان–فانكشن)تابع( و فانكشنال )تابع تابع( – 6 دنب��ال ي��افتن ش�رايط باش�د. اينك��ه به سازي، يك امر راهبردي و اساسي مي براي حل مسائل بهينه

بيان رياضي، در جستجوي نقطه بهينه هستيم ي��ا س�اختار بهينه عملياتي، سايز مناسب دستگاه و بهباشد. كننده راهبردی مباحث رياضي درگير مي )تابع( بهينه، عمال تعيين

صورت تحليلي يك تابع هدف چندمتغيره باشد، آنگ��اه از قض��اياي كه مسئله مطرح به درصورتي ك��نيم ولي اگ��ر ت��ابع ه��دف، ت��ابع متغيره��ايي باش��د ك��ه خ��ود ن��يز ت��ابع آناليز كالس��يك اس��تفاده مي

ها )توابع ت��ابع( ي��ا هم��ان حس��اب متغيرهاي ديگري باشند آنگاه از قضاياي آناليز )مدرن( فانكشنال كنيم. اگر حل مسئله به صورت مس��تقیم )مبت��نی ب��ر تعری��ف( م��د نظ��ر جامع تغييرات استفاده مي

آن گ��اه– ک��ه معم��وال ب��رای مس��ائل س��ایز ب��زرگ و و دارای قی��ود نامس��اوی مص��داق دارد –باشد ممکنست که حتی مسئله بهینه یابی دینامیکی به یک مسئله بهینه یابی استاتیکی تحویل ش��ود، چ��را که روش های )ماشین های( حل مستقیم مسائل بهینه یابی جبری جاافتاده تر، قوی تر و قابل فهم ت��ر

4

(‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌14/11/1392به‌روزرساني:‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌)اي‌بهينه‌سازي‌در‌مهندسي‌شيمي‌و‌نفتش‌هرو

هستند. به هرحال باید این نکته را اضافه کرد که برای مسائل امروزی و واقعی عمال ب��ا ترکی��بی از روش های مبتنی بر قضیه و مبتنی بر تعریف کار می کنیم. برنامه ریزی مجذوری یک ش��اهد وثی��ق و

گویای این نوع امتزاج روش ها و انتزاع حل می باشد.

ازی - 7يون (، Modeling) مدل سا پيش( Formulation)فرموالسازي بهينه ي-Pre) سOptimization)–سازي جدی، با اندازه متوسط به باال و صریح )مس��تقیم( به ط��ور حل هر مسئلة بهينه

س�ازي و نهايت� سيستماتيك و كلي شامل سه مرحلة مقدماتي ي�ا فرموالس�يون، ح�ل مس�ئلة بهينه ا تحليل جواب مي باشد. در اولين گام، بايد مس�ئلة واقعي و تحت قي�ود عملي را پ��ردازش و تحلي�ل

یا مدلكرده و به صورت كمي، بسته و فرم تحليلي )مناسب براي ابزار رياضي مهندسي( فرموله كرد. اينكه فرم تابع هدف و قيود خطي است يا غيرخطي و جواب مسئله يك نقطة بهينه است ي��ا

باشد، بسيار مؤثر و راهگشاست. يك تابع بهينه، در مرحلة بعدي كه حل مسئله مي

در مواجهه با مسائل واقعي و–( Post-Optimization)سازي تحليل جواب يا فرابهينه - 8 قطعيت مقادير روبرو هس��تيم، سازي، هميشه با عدم تعريف پارامتريك توابع هدف يك مسئله بهينه

لذا سئوال درباره حساسيت جواب و ميزان تأثير مق��ادير متغيره��ا ب��ر ج��واب بهين��ه، م��تين، مهم و) طور مگر؟ ( ) به لسان رياضي( ، چهSensitivity Analysisكاربرديست. اصطالحات آناليز حساسيت )

What-If Analysisسازي و مطالعات ( )به لسان مهندسي صنايع(، عمال ناشي از فعاليت هاي فرابهينه باشد. الزم به ذکرست اگر آنالیز حساسیت روی نوع و تعداد »متغیره��ای تص��میم گیری« بعدي مي

باشد عمال متعلق به فعالیتها و مطالعات پیش بهینه ی��ابی می باش��د ولی اگ��ر آن��الیز حساس��یت روی دامنه و تغییرات متغیرهای تصمیم گیری یا مقادیر »پارامترهای« تابع هدف و/یا قیود مسئله باش��د،

آن گاه دخیل در مطالعات پسابهینه یابی خواهند بود.

ومي 9 وي��ژه در بخش ارزي��ابي اكس��ترمم، ي��ك بحث مهم و به– - اكسترمم محلي و عم باشد. بنا به تعريف، اكسترمم )مينيمم يا ماگزيمم ( ممكن است در مسئله تكرر و تنوع جواب مي

يك همسايگي معلوم از نقطه بهينه مشمول تعريف م��اگزيمم ي��ا مي��نيمم ش��ود. در حالي ك��ه همين تعريف در نواحي ديگري از تابع هدف نيز ص��ادق باش��د، در اين ح��الت ب��ا اكس��ترمم محلي روب��رو

اي ي��افت ش��ود ك��ه تعري��ف اكس��ترمم هاي محلي نقطه هستيم. اگ��ر در مي��ان مجموع��ه اكس��ترمم مطلقا صادق باشد آنگاه با يك اكسترمم مطلق یا جامع روبرو هستيم. قضایای بهینه یابی کالس��یک

)اعم از الزم و کافی( نوعا دربرگیرنده اکسترمم های محلی می باشند. ها و اطمينان براي محك ايده–( Benchmarks)كارگاه حل(، Test functions)توابع نمونه -10

ها و همچنين انتقال مفهوم ايده پايه و اساسي هر الگوريتم، از يك س��ري از صحت و كارآيي روش طور مفصل تحلي��ل شود. هركدام از توابع مزبور، قبال به توابع هدف استاندارد و نمونه استفاده مي

دقت شود در بخش تحلیل کارآیی و عملک��رد الگ��وریتم از اینباشند. شده مي شده و كامال شناخته توابع هدف که نوعا پیچیده یا دارای نقطه اولیه خیلی بد هستند با یک نگرش ریاض��ی ع��ددی دی��ده

(Case studiesمی شوند، در حالی که برای محک آنها در مسائل عملی از کاربردهای مطالعاتی نمونه) و س��ازمان یافته نظ��یر چ��رخش پروت��ئین، برپ��ایی چ��ادر س��یرک، مس��ئله می��نیمم دراگ، تنفس و

-Tennessee، فرآین��د Amocoخنک س��ازی خش��ت ی��ا ک��وزه گلی، مس��ئله فروش��نده دوره گ��رد، فرآین��د Eastmanو امثالهم استفاده می شود. این تواب�ع در فص�ول مقتض�ی و طی مثال ه�ا و مس�ائل بحث ،

می شوند و لذا در ادامه به همان موارد اول، یعنی توابع نمونه پرداخته می شود. ( نوش��تهLeast-Squaresتوابع نمون��ه اس��تاندارد غالب��ا به ف��رم مج��ذوری و ح��داقل مربع��ات خط��ا )

می شوند:(1)

f ( x )=∑i=1

m

f i2( x )

5

‌معرفي‌روش‌هاي‌بهينه‌سازي‌–‌1فصل‌

توابع مذکور روی تابع هدف )و نه قیود( تمرکز داشته و راندمان هر الگوریتم بهینه یابی توس��ط ( تابع هدف ارزیابی می شود، یعنی هرچه کمتر، بهتر. ل��ذا بهره گ��یریrecallشاخص تعداد فراخوانی)

از این توابع غالبا در زمینه بهینه یابی نامقید می باشد.

اولین بار در تابع روزنبرک(:� Rosenbrock's parabolic valley)چاله یا دره سهموی روزنبروک-� توسط هوارد روزنبروک به منظور آزمایش و تحلیل کارآیی الگوریتمهای بهینه یابی1960سال

نقطه ی کمینه ی مطلق این تابع بر روی یک دره ی سهمی شکل مسطح قرار [.1] معرفی شد داشته و از این رو این تابع به نام دره ی سهموی روزنبرک معرفی می شود. رفتار تابع ب��ر روی

( ت��ابع1این دره به گونه ایست که همگرایی به سمت نقطه ی بهینه را دشوار می نماید. شکل )هدف نمونه ی روزنبرک و منحنی های تراز آن را نشان می دهد.

(2)f ( x1 , x2 )=100( x1

2−x2)2+(1−x1 )

2 x∘=[−1 .21 .0 ] , xopt .=[11 ]

f ∘=24 .0 , f opt .=0 .0(، رفتار تابع نشان داده شده است.1در شکل )

05.0

15.1

0

5.0

1

5.10

05

001

051

x1x2

x(f

1x,2

)

02

02

02

02

02

04

04

04

04

04

06

06

06

06

08

08

08

001

001

021

021

x1

x 2

0 2.0 4.0 6.0 8.0 10

2.0

4.0

6.0

8.0

1

. تابع هدف روزنبروک، رویه )راست( و منحنیهای تراز )چپ(.1شکل

:یک تابع هدف نمونه به فرم مجذوری- (3)

f ( x1 , x2 )=(x1+2x2−7)2+(2 x1+x2−5 )2 x∘=[0.00.0 ] , xopt .=[13 ]

f ∘=74 .0 , f opt .=0 .0(، رفتار تابع نشان داده شده است.2در شکل )

6

(‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌14/11/1392به‌روزرساني:‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌)اي‌بهينه‌سازي‌در‌مهندسي‌شيمي‌و‌نفتش‌هرو

2-

0

2

4

6

1-0123450

05

001

051

002

x1x2

x(f

1x,2

)

02

02

0202

02

02

04

04

04

04

04

04

06

06

06

06

08

08

08

08

001

001

021

021

041

041

x1

x 2

1- 0 1 2 3 4 51-

0

1

2

3

4

5

. تابع هدف مجذوری نمونه، رویه )راست( و منحنیهای تراز )چپ(.2شکل

[:2] (Powell's quadratic function)تابع هدف مجذوری پاول - (4)f ( x1 , x2 , x3 , x4 )=(x1+10 x2 )

2+5( x3−x4 )2+( x2−2 x3 )

4+10( x1−x4 )4

x∘=[3−101 ] , xopt .=[0000 ]

f ∘=215 . 0 , f opt .=0 . 0

:[3 ](Fletcher and Powell's helical valley – )چاله مارپیچ - تابع هدف فلچر و پاول(5)

f ( x1 , x2 , x3 )=100 { [ x3−10 θ ]2+[√x12+x2

2−1 ]2 }+x32

where 2 πθ ( x1 , x2)=¿ {Arc tan (x2

x1) if x1≻0 ¿ ¿¿

¿

¿

:[2] یک تابع هدف غیرخطی نمونه-

7

‌معرفي‌روش‌هاي‌بهينه‌سازي‌–‌1فصل‌

(6)f ( x1 , x2 , x3 )=

11+( x1−x2 )

2 +sin(π2

x2 x3 )+exp[−( x1+ x3

x2−2)

2 ]x∘=[012 ] , xopt .=[111 ]f ∘=1 .5 , f opt .=3 . 0

Freudenstein )- تابع هدف فرونشتاین و رات and Roth Function)[ : یکی دیگر از توابع ه��دف[4 ( رویه ی این تابع3( می باشد. شکل )7استاندارد و نمونه، تابع هدف فرودنشتاین و رات )رابطه ی

هدف و منحنیهای تراز آن را نشان می دهد. منحنی های تراز به خ��وبی رفت��ار ت��ابع را ح��ول نقطه یبهینه ی این تابع نشان می دهد.

(7)f ( x1 , x2)={−13+x1+[(5−x2) x2−2 ] x2}2+{−29+x1+[( x2+1) x2−14 ] x2 }2

x∘=[0 .5−2 ] , xopt .=[54 ] , ⋯ f ∘=400 .5 , f opt .=0 .0 , ⋯

(، رفتار تابع نشان داده شده است.3در شکل )

05

0151

0123450

005

0001

0051

0002

0052

0003

0053

0004

0054

x1x2

x(f

1x,2

)

005

005

005 005 005

005005 005

0001

0001

0001

0001 0001 0001

00010001

0001

0051 0051 0051

0051

0051

0051

0002 0002 0002

0002

0052 0052 00520003 0003 00030053 00530004

x1

x 2

0 5 01 510

5.0

1

5.1

2

5.2

3

5.3

4

5.4

5

. تابع هدف فرونشتاین و رات، رویه )راست( و منحنیهای تراز )چپ(.3شکل

اولPowell's )- تابع هدف بدمقیاس پ badly scaled function)[ : ت��ابع ه��دف ب��دمقیاس پ��اول[5 (، یکی دیگر از تواب��ع ه��دف اس��تاندارد و نمون��ه می باش��د ک��ه جهت آزم��ایش و تحلی��ل8)رابطه ی

( رویه ی این ت��ابع ه��دف و4ک��ارایی الگوریتمه��ای بهینه ی��ابی پیش��نهاد ب��ه ک��ار می رود. ش��کل ) منحنی های تراز آن را نشان می دهد. منحنی های تراز به خوبی رفت��ار ت��ابع را ح�ول نقطه ی بهینه ی

( مش��اهده می ش��ود، رفت��ار این ت��ابع ب��ه4این ت��ابع نش��ان می ده��د. هم��ان گون��ه ک��ه در ش��کل ) گونه ایست که تغییرات کوچکی در مقدار متغیرهای ورودی باعث تغییرات ش��دیدی در مق��دار ت��ابع

می شود.

(8)f ( x1 , x2 )=(10000 x1 x2−1 )2+[exp (−x1 )+exp(−x2)−1.0001 ]2

x∘=[0 .01. 0 ] , xopt .=[1. 098×10−5

9 .106 ] f ∘=1 .1354 , f opt .=0. 0

8

(‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌14/11/1392به‌روزرساني:‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌)اي‌بهينه‌سازي‌در‌مهندسي‌شيمي‌و‌نفتش‌هرو

.

01

23

45

0

2

4

60

2

4

6

8

01 x01

x1x2

x(f

1x,2

)

00000000001

00000000001

00000000002

00000000002

00000000003

00000000004

x1

x 2

0 5.0 1 5.1 2 5.2 3 5.3 4 5.4 50

5.0

1

5.1

2

5.2

3

5.3

4

5.4

5

. تابع هدف بدمقیاس پاول، رویه )راست( و منحنیهای تراز )چپ(.4شکل

Brown's )- تابع هدف بدمقیاس براون badly scaled function)[ : تابع هدف ب��دمقیاس ب��راون[6 ( نیز همچون تابع هدف بدمقیاس پ��اول، یکی دیگ�ر از تواب��ع ه��دف اس�تاندارد و نمون��ه9)رابطه ی

( رویه ی این تابع ه��دف و5جهت آزمایش و تحلیل کارایی الگوریتم های بهینه یابی می باشد. شکل ) منحنیهای تراز آن را نشان می دهد. منحنیهای تراز به خوبی رفتار تابع را ح��ول نقطه ی بهینه ی این تابع نشان می دهد. مختصات نقطه ی بهینه و تفاوت مع��نی دار مقی��اس دو متغ��یر در آن، ب��ه خ��وبی رفت��ار فریب ک��ارانه ی این ت��ابع و امک��ان انح��راف و ع��دم همگ��رایی الگوریتم ه��ای بهینه ی��ابی را در

اطراف نقطه ی بهینه نشان می دهد.

(9)f ( x1 , x2 )=(x1−106 )2+( x2−2×10−6 )2+( x1 x2−2)2

x∘=[1. 01. 0 ] , xopt .=[106

2×10−6] f ∘=1012 , f opt .=0 . 0

5.0

1

5.1

2

01 x6

0

500.0

10.00

2

4

6

8

01

21

01 x11

x1x2

x(f

1x,2

)

000000000001000000000001

000000000002000000000002

000000000003000000000003

000000000004000000000004

000000000005000000000005

000000000006000000000006

000000000007000000000007

000000000008000000000008

000000000009000000000009

00000000000010000000000001

x1

x 2

9.0 1 1.1 2.1 3.1 4.1 5.1 6.1 7.1 8.1 9.1 2

01 x6

0

100.0

200.0

300.0

400.0

500.0

600.0

700.0

800.0

900.0

10.0

. تابع هدف بدمقیاس براون، رویه )راست( و منحنیهای تراز )چپ(.5شکل

:[6 ](Beale's function )- تابع هدف پیشنهادی بییله

9

‌معرفي‌روش‌هاي‌بهينه‌سازي‌–‌1فصل‌

(10)f ( x1 , x2 )=[1 .5−x1(1−x2 )2 ]2+[ 2. 25−x1(1−x2

2) ]2+[ 2. 625−x1 (1−x23) ]2

x∘=[1.01.0 ] , xopt .=[30 . 5] f ∘=14 .203125 , f opt .=0. 0

(، رفتار تابع نشان داده شده است.6در شکل )

01

23

45

0

2

4

60

5.0

1

5.1

2

01 x4

x1x2

x(f

1x,2

)

0002

0002

0002

0004

0004

0006

0008

00001

00021

x1

x 2

0 5.0 1 5.1 2 5.2 3 5.3 4 5.4 50

5.0

1

5.1

2

5.2

3

5.3

4

5.4

5

. تابع هدف بییله، رویه )راست( و منحنیهای تراز )چپ(.6شکل

:[7 ]( Wood's function )- تابع هدف وود(11)f ( x1 , x2 , x3 , x4 )=100( x1

2−x2)2+(1−x1 )

2+90 (x 4−x32)2+(1−x3 )

2+10( x2+x4−2)2+0 . 1( x2−x4 )

x∘=[−3−1−3−1 ] , xopt .=[1111 ]

f ∘=19192 .0 , f opt .=0. 0

یکی از جالب ترین توابع هدف نمونه جهت:� [8 ](Rastrigin's function)تابع هدف رستریجین-� ( می باشد. ش��کل )12آزمایش کارایی الگوریتم های بهینه یابی، تابع هدف رستریجین )رابطه ی

( رویه ی این تابع ه��دف و منحنی ه��ای ت��راز آن را نش��ان می ده��د. هم��ان گون��ه ک��ه در ش�کل7 مشاهده می شود، تابع رس��تریجین در عین وج��ود نقطه ی کمینه ی مطل��ق، دارای تع��داد زی��ادی نقاط بیشینه و کمینه ی محلی است. چنین رفتاری برای آزمایش الگوریتم های بهینه یابی بس��یار کاربردی بوده و می توان احتمال ب��ه دام افت��ادن فراین��دهای جس��تجو را در تله ی نق��اط بهینه ی

محلی بررسی نمود.(12)f ( x1 , x2)=20+x1

2+x12−10(cos (2 π x1 )+cos(2 π x2)

x∘=[ .. ... . ] , xopt .( global )=[00 ]

f ∘=. .. , f opt .(global )=0. 0

10

(‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌14/11/1392به‌روزرساني:‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌)اي‌بهينه‌سازي‌در‌مهندسي‌شيمي‌و‌نفتش‌هرو

5-

0

5

5-

0

50

02

04

06

08

x1x2

x(f

1x,2

)

x1

x 2

5- 4- 3- 2- 1- 0 1 2 3 4 55-

4-

3-

2-

1-

0

1

2

3

4

5

. تابع هدف رستریجین، رویه )راست( و منحنیهای تراز )چپ(.7شکل

مراجع

[1]. H. H. Rosenbrock, An Automatic Method for Finding the greatest or Least Value of a Function , Computer Journal, Vol. 3, No.3, pp. 175-184, 1960.

[2]. M. J. D. Powell, An Efficient Method for Finding the Minimum of a Function of Several Variables without calculating Derivatives, Computer Journal, Vol. 7, No. 4, pp. 303-307, 1964.

[3]. R. Fletcher, and M. J. D. Powell, A Rapidly Convergent Descent Method for Minimization, Computer Journal, Vol. 6, No. 2, pp. 163-168, 1963.

[4]. F. Freudenstein and B. Roth, Numerical Solution of Systems of Nonlinear Equations, Journal of ACM, Vol. 10, No. 4, pp. 550-556, 1963.

[5]. M. J. D. Powell, A Hybrid Method for Nonlinear Equations, pp. 87-114, in Numerical Methods for Nonlinear Algebraic Equations, P. Robinowitz, Ed. Gordon & Breach, New York, 1970.

[6]. J. J. More, B. S. Garbow, and K. E. Hillstorm, Testing unconstrained Optimization Software, ACM Transactions on Mathematical Software, Vol. 7, No. 1, pp. 17-41, 1981.

[7]. S. S. Rao, Engineering Optimization, Theory and Practice, 3d Ed. New Age Int. (reprint), 2002.[8]. MATLAB v.7.Genetics Algorithm and Pattern Search Toolbox, MathWorks,

11