Aj.Pitipat Nittayakamolphun

1. ลักษณะของระบบแถวคอย 2. ข้อมูลการเข้ามารับบริการและการให้บริการ 3. ตัวแบบแถวคอย 4. ค่าใช้จ่ายของระบบถอยคอย 5. การตัดสินใจเกี่ยวกับระบบแถวคอย

ปัจจัยที่ก าหนดลักษณะพื้นฐานของระบบแถวคอยได้แก่ 1.1 ลูกค้า (customers) 1.2 แถวคอย (waiting line) 1.3 หน่วยบริการ (service unit) ผู้มารับบริการ แถวคอย หน่วยบริการ ผู้ที่ได้รับบริการแล้ว

คือจ านวนประชากรและลักษณะการเข้ารับบริการของลูกค้า 1) ประชากร (population) 2) ลักษณะการเข้ามารับบริการ (arrival characteristic) - แบบคงที่ (constant) - แบบสุ่ม (random)

คือความยาวของแถว และรูปแบบการจัดระบบแถวคอย 1) ความยาวของแถว - จ ากัด (finite queue length) - ไม่จ ากัด (infinite queue length) 2) รูปแบบการจัดระบบแถวคอย - ระบบแถวคอยแบบช่องทางเดียว – ขั้นตอนเดียว (single channel, single phase system)

- ระบบแถวคอยแบบช่องทางเดียว – หลายขั้นตอน (single channel, multiple phase system)

- ระบบแถวคอยแบบหลายช่องทาง – ขั้นตอนเดียว (multiple channel, single phase system)

- ระบบแถวคอยแบบหลายช่องทาง – หลายขั้นตอน (multiple channel, multiple phase system)

คือระเบียบการให้บริการและลักษณะการให้บริการ 1) ระเบียบการให้บริการ (service discipline) - ลูกค้าที่มาก่อนได้รับบริการก่อน - ลูกค้าที่มาทีหลังได้รับบริการก่อน - ลูกค้ามีความจ าเป็นมากกว่าได้รับบริการก่อน 2) ลักษณะการให้บริการ (service characteristic) - แบบคงท่ี (constant) - แบบสุ่ม (random)

ท าการเก็บข้อมูลการเข้ามารับบริการและการให้บริการ ถ้าข้อมูลเป็นลักษณะสุ่ม ต้องศึกษาการแจกแจงความน่าจะเป็นว่ามีลักษณะอย่างไร อาทิ normal distribution, Poisson distribution หรือ exponential distribution ฯ กรณีข้อมูลอยู่ในลักษณะจ านวนลูกค้าต่อหน่วยเวลา อาทิ arrival rate และ service rate จะเป็น Poisson distribution กรณีข้อมูลอยู่ในลักษณะเวลา อาทิ inter arrival time และ service time จะเป็น exponential distribution

Poisson distribution

𝑷 𝑿 =𝛌𝑿𝒆−𝛌

𝑿! , X = 1, 2, 3, ….,n

𝑿 = จ านวนลูกค้าต่อหน่วยเวลา

𝛌 = อัตราการเข้ามารับบรกิาร

𝒆 = 2.7183

Exponential distribution

𝑷 𝒔𝒆𝒗𝒊𝒄𝒆 𝒕𝒊𝒎𝒆 > 𝑿 = 𝒆−𝝁𝑿, X ≥ 0 𝝁 = อัตราการให้บริการ

𝑿 = เวลาที่ใช้ในการให้บรกิาร

𝒆 = 2.7183

จะใช้ตัวอักษรระบุสัญลักษณ์การเข้ามารับบริการและลักษณะการให้บริการดังนี้ M – Markovian = การเข้ามารับบริการหรือให้บริการลักษณะสุ่มแจกแจงแบบ Poisson หรือเวลาระหว่างการเข้ามารับบริการหรือเวลาในการให้บริการ แจกแจงแบบ exponential D - Deterministic = การเข้ามารับบริการหรือการให้บริการแบบคงที่ G – General = การเข้ามารับบริการหรือการให้บริการแจกแจงแบบทั่วไป

สัญลักษณ์ที่ใช้ในการแสดงข้อมูลต่างๆ

𝛌 = อัตราการเข้ามารับบริการ 𝑳𝒔 = จ านวนลูกค้าโดยเฉลี่ยที่อยู่ในระบบ

𝝁 = อัตราการให้บริการ 𝑳𝒒 = จ านวนลูกค้าโดยเฉลี่ยที่อยู่ในแถวคอย 𝟏

𝝁 = เวลาโดยเฉลี่ยที่ใช้ในการให้บริการลูกค้า 1 ราย

𝝆 = ความน่าจะเป็นที่ระบบจะท างาน

𝑷𝟎 = ความน่าจะเป็นที่ระบบจะว่าง

𝑾𝒔 = เวลาโดยเฉลี่ยที่ลูกค้าแต่ละรายจะเสียไปในการรับบริการในระบบ

𝑾𝒒 = เวลาโดยเฉลี่ยที่ลูกค้าแต่ละรายจะเสียไปในการรออยู่ในแถวคอย

𝑷𝒏 = ความน่าจะเป็นที่มีลูกค้า n รายในระบบ

ส าหรับข้อมูลของค่า 𝛌 และ 𝝁 จะต้องเป็นหน่วยเวลาเดียวกัน ในบทนี้จะศึกษาตัวแบบแถวคอยดังนี้ 3.1 Model M/M/1 3.2 Model M/M/s 3.3 Model M/G/1 3.4 Model M/D/1

1. อัตราการเข้ามารับบริการเป็นแบบสุ่ม มีการแจกแจงแบบ Poisson

2. เวลาในการให้บริการเป็นแบบสุ่ม มีการแจกแจงแบบ Exponential (หรืออัตราการให้บริการเป็นแบบสุ่ม มีการแจกแจงแบบ Poisson)

3. เป็นการให้บริการแบบชอ่งทางเดียว ขั้นตอนเดียว

4. ไม่จ ากัดความยาวของแถวคอย

5. จ านวนประชากรมากราย

6. มีระเบียบการให้บริการแบบมาก่อนได้รับบริการก่อน

สมมติฐาน คือ อัตราการเข้ามารับบรกิารน้อยกว่าอัตราการให้บริการ (𝛌< 𝝁)

M/M/1 มีสูตรดังนี้

𝑳𝒔 = 𝛌

𝝁−𝛌 𝑳𝒒 =

𝛌𝟐

𝝁(𝝁−𝛌)

𝑾𝒔 = 𝟏

𝝁−𝛌 𝑾𝒒 =

𝛌

𝝁(𝝁−𝛌)

𝝆 = 𝛌

𝝁 𝑷𝟎 = 𝟏 −

𝛌

𝝁

𝑷𝒏 = 𝑷𝟎(𝛌

𝝁)𝒏

ตัวอย่าง 8.1 จะได้ 𝛌 = 20 ราย/ชั่วโมง, 𝝁 = 30 ราย/ชั่วโมง

𝑳𝒔 = 2 ราย 𝑳𝒒 = 1.33 ราย

𝑾𝒔 = 1/10 ชั่วโมง 𝑾𝒒 = 1/15 ชั่วโมง

𝝆 = 0.67

𝑷𝟎 = 0.33

1. อัตราการเข้ามารับบริการเป็นแบบสุ่ม มีการแจกแจงแบบ Poisson

2. เวลาในการให้บริการเป็นแบบสุ่ม มีการแจกแจงแบบ Exponential (หรืออัตราการให้บริการเป็นแบบสุ่ม มีการแจกแจงแบบ Poisson)

3. multiple channel, single phase system

4. ไม่จ ากัดความยาวของแถวคอย

5. จ านวนประชากรมากราย

6. First come, First serve

สมมติฐาน คือ อัตราการเข้ามารับบรกิารน้อยกว่าอัตราการให้บริการ (𝛌< 𝒔𝝁)

M/M/s มีสูตรดังนี ้

𝑳𝒔 = 𝑳𝒒 +𝛌

𝝁 𝑳𝒒 = 𝑷𝟎

𝛌

𝝁

𝒔𝝆

𝒔!(𝟏−𝝆)𝟐

𝑾𝒔 = 𝑾𝒒 +𝟏

𝝁 𝑾𝒒 =

𝑳𝒒

𝛌

𝝆 = 𝛌

𝒔𝝁

𝑷𝟎 = 𝟏

𝛌𝝁

𝒏

𝒏!+

𝛌𝝁

𝒔

𝒔!×

(𝒔𝝁)

(𝒔𝝁−𝛌)𝒔−𝟏𝒏=𝟎

1. อัตราการเข้ามารับบริการเป็นแบบสุ่ม มีการแจกแจงแบบ Poisson

2. เวลาในการให้บริการเป็นแบบสุ่ม มีการแจกแจงแบบ General

3. single channel, single phase system

4. ไม่จ ากัดความยาวของแถวคอย

5. จ านวนประชากรมากราย

6. First come, First serve

สมมติฐาน คือ อัตราการเข้ามารับบริการน้อยกว่าอัตราการให้บริการ (𝛌< 𝝁)

M/G/1 มีสูตรดังนี ้

𝑳𝒔 = 𝛌𝑾𝒔 𝑳𝒒 = 𝛌𝟐𝝈𝟐+

𝛌

𝝁

𝟐

𝟐 𝟏−𝛌

𝝁

𝑾𝒔 = 𝑾𝒒 +𝟏

𝝁 𝑾𝒒 =

𝑳𝒒

𝛌

𝝆 = 𝛌

𝝁 𝑷𝟎 = 𝟏 −

𝛌

𝝁

𝑷𝒏 = 𝑷𝟎(𝛌

𝝁)𝒏

หมายเหตุ 𝝈 คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของเวลาในการให้บริการ

1. อัตราการเข้ามารับบริการเป็นแบบสุ่ม มีการแจกแจงแบบ Poisson

2. เวลาในการให้บริการเป็นแบบคงที่ (constant)

3. single channel, single phase system

4. ไม่จ ากัดความยาวของแถวคอย

5. จ านวนประชากรมากราย

6. First come, First serve

สมมติฐาน คือ อัตราการเข้ามารับบริการน้อยกว่าอัตราการให้บริการ (𝛌< 𝝁)

M/D/1 มีสูตรดังนี ้

𝑳𝒔 = 𝑳𝒒 +𝛌

𝝁 𝑳𝒒 =

𝛌𝟐

𝟐𝝁(𝝁−𝛌)

𝑾𝒔 = 𝑾𝒒 +𝟏

𝝁 𝑾𝒒 =

𝛌

𝟐𝝁(𝝁−𝛌)

𝝆 = 𝛌

𝝁 𝑷𝟎 = 𝟏 −

𝛌

𝝁

ประกอบด้วย 2 ส่วน

1. ค่าใช้จ่ายในการให้บริการ (service cost, 𝑪𝒔) 2. ค่าใช้จ่ายในการเสียเวลาของลูกค้าหรือค่าใช้จ่ายในการรอ (waiting cost, 𝑪𝒘) ดังนั้นค่าใช้จ่ายรวม

𝐓𝐂 = 𝐬 𝑪𝒔 + 𝑳𝒔(𝑪𝒘)

5.1 การตัดสินใจก าหนดจ านวนหน่วยให้บริการ 5.2 การตัดสินใจจัดรูปแบบแถวคอย 5.3 การตัดสินใจเลือกหน่วยให้บริการ 5.4 การเพิ่มประสิทธิภาพหน่วยให้บริการ