Aj.Pitipat Nittayakamolphun

1. ลกษณะปญหาทใชก าหนดการเชงเสน 2. สมมตฐานของก าหนดการเชงเสน 3. โครงสรางของก าหนดการเชงเสน 4. การสรางตวแบบก าหนดการเชงเสน 5. การแกปญหาตวแบบก าหนดการเชงเสนดวยวธกราฟ 6. การแกปญหาตวแบบก าหนดการเชงเสนดวยวธซมเพลกซ

5.1 ก าหนดบรเวณผลลพธทเปนไปได (Feasible region or feasible area) 5.2 หาผลลพธทเหมาะสมทสด (Optimal solution)

จาก Example 3.1 บรษทลายผาการเมนต เงอนไขบงคบท 1 : 2X1 + X2 ≤ 100 ชวโมง (1) solution แทนคา X1 = 0 ลงในสมการ (1) จะได (จดตดแกน X2) X2 = 100 และแทนคา X2 = 0 ลงในสมการ (1) จะได (จดตดแกน X1) X1 = 50

A

B X1

X2

50

100

O

จาก Example 3.1 บรษทลายผาการเมนต เงอนไขบงคบท 2 : 1.5X1 + 2X2 ≤ 150 เมตร (2) solution แทนคา X1 = 0 ลงในสมการ (2) จะได (จดตดแกน X2) X2 = 75 และแทนคา X2 = 0 ลงในสมการ (2) จะได (จดตดแกน X1) X1 = 100

C

D X1

X2

75

100 O

A

B X1

X2

50

100

O

C

D

75

100

E

2X1 + X2 ≤ 100 (1)

1.5X1 + 2X2 ≤ 150 (2)

พจารณาฟงกชนวตถประสงคทใหผลลพธทเหมาะสมทสด ซงสามารถพจารณาได 2 วธ 1. การทดสอบจดยอด (Corner point) 2. การลากเสนวตถประสงค (Isoprofit or Isocost line)

จดยอด พกด (X, Y) Profit

O 0, 0 0

C 0, 75 16,500

E 20, 60 17,200

B 50, 0 10,000

จาก Example 3.1 บรษทลายผาการเมนต Maximize Z = 200X1 + 220X2

If profit = 11,000 bath Max profit : 200X1 + 220X2 = 11,000 solution แทนคา X1 = 0 ลงในสมการ (Max profit) จะได X2 = 50 (จดตดแกน X2) แทนคา X2 = 0 ลงในสมการ (Max profit) จะได X1 = 55 (จดตดแกน X1)

A

X1

X2

50

100

O

C

D

75

100

E

B 55

50

Profit = 11,000 Bath

1

2

1

จากเสนวตถประสงคเสนท 2 จะท าใหเกดก าไรสงสด โดยทจด E เปนจดเดยวทอยบนเสน ซงเปนจดทใหผลลพธทเหมาะสม ดงนนตองหาวาบรษทลายผาการเมนตจะผลตเสอและกระโปรงอยางละกตว Solution 2X1 + X2 = 100 (1) 1.5X1 + 2X2 = 150 (2) (1) x 2 : 4X1 + 2X2 = 200 (3) (3) – (2) : 2.5X1 = 50 X1 = 20 ตว

Solution (ตอ) แทนคา X1 = 20 ใน (1) จะได 2(20) + X2 = 100 X2 = 60 ตว Conclusion ทจด E บรษทจะผลตเสอ 20 ตว และผลตกระโปรง 60 ตว โดยมก าไรสงสดคอ 17,200 บาท Maximize Z = 200X1 + 220X2

200(20) + 220(60) = 17,200 Bath

จาก Example 4.2

X1

X2

0

B

A

C D (20, 10)

E

(1) (2) (5)

(3)

(4)

50

60

30

10

10 30 80 100 2 1

Z = 3,750 1 Z = 1,750 2

จดยอด คาตวแปร (X1, X2) คา Z (50X1 + 75X2)

A (10, 45) 3,875.00

B (40 ,30) 4,250.00

C (66.67, 10) 4,083.50

D (20, 10) 1,750.00

E (10, 20) 2,000.00

วธซมเพลกซ เปนวธการทางพชคณต ประกอบกบการค านวณเมทรกซ โดยใชการปรบเปลยนตวแปรอยางมหลกเกณฑ ซงจะค านวณหาผลลพธทเหมาะสมทสด ส าหรบการค านวณแบงเปน 3 ขนตอน

การตงผลลพธเบองตน

การตรวจสอบผลลพธ

พฒนาผลลพธใหม

หยดการค านวณแสดงผลลพธ เหมาะสม

ไมเหมาะสม

ปรบตวแบบก าหนดการเชงเสนทตองการแกปญหาใหอยในรปแบบทเรยกวา รปแบบมาตรฐาน (standard form) ซงมลกษณะดงน 1. ฟงกชนวตถประสงคเปนการหาคาสงสดหรอต าสด 2. คาขวามอของเงอนไขบงคบตองไมเปนเครองหมายลบ 3. เงอนไขบงคบทกขอมเครองหมายเทากบ (=) ถาเดมเปน ≤ ใชตวแปรสวนขาด (Slack variable) และถาเดมเปน ≥ ใชตวแปรสวนเกน (Surplus variable) 4. ตวแปรทกตวมคาไมตดลบ

จาก Example 3.1 บรษทลายผาการเมนต Maximize total profit = 200X1 + 220X2 + 0S1 + 0S2

Subject to 2X1 + X2 + S1 = 100 (1) 1.5X1 + 2X2 + S2 = 150 (2) X1 ,X2 ,S1, S2 ≥ 0

น าขอมลจากตวแบบก าหนดการเชงเสนรปแบบมาตรฐานมาสรางตารางผลลพธเบองตนดงน (ตารางผลลพธท 1)

Cj 200 220 0 0

Cb Basic X1 X2 S1 S2 bi

0 S1 2 1 1 0 100

0 S2 1.5 2 0 1 150

Zj 0 0 0 0 0

Cj - Zj 200 220 0 0

Cj = สมประสทธของตวแปรตางๆในฟงกชนวตถประสงค ซงในตวอยางนคอ ก าไรตอการผลตเสอและกระโปรง 1 ตว Basic = แสดงตวแปรมลฐาน (basic variable) ซงในผลลพธเบองตนคอตวแปรสวนขาด S1, S2

ผลลพธ (bi) = คาทางขวามอของสมการเงอนไขบงคบ แสดงคาตวแปรมลฐาน Cb = สมประสทธของตวแปรมลฐานในฟงกชนวตถประสงค X1, X2, S1, S2 = แสดงสมประสทธของตวแปร X1, X2, S1, S2 ในฟงกชนวตถประสงคและสมการเงอนไขบงคบตางๆ Zj = คาเสยโอกาสหรอก าไรทลดลงถามการเพมคาตวแปรตวท j ขน 1 หนวย

เมอไดผลลพธขนมาชดหนง ไมวาจะเปนผลลพธเบองตนหรอผลลพธอนๆทไดมาจากการพฒนาใหดขนกตาม จ าเปนตองมการตรวจสอบวาผลลพธทไดมานนเปนผลลพธทเหมาะทสด หลกในการพจารณาผลลพธวาเหมาะสมหรอไมนน ใหพจารณาคา Cj – Zj ในกรณปญหาทหาคาสงสด ถาคา Cj - Zj เปนลบและศนยหมดทกคาแสดงวาผลลพธทมอยนนเหมาะสมทสดแลว แตในในกรณปญหาทหาคาต าสด ถาคา Cj - Zj เปนบวกและศนยหมดทกคาแสดงวาผลลพธทมอยนนเหมาะสมทสดแลว

การพฒนาผลลพธใหม คอการพจารณาตวแปรมลฐานและตวแปรอมลฐานทมอยวาควรจะมการสบเปลยนกนอยางไร ซงการพฒนาผลลพธใหมแยกออกเปน 3 ขนตอนดงน 1. การเลอกตวแปรเขา (Entering variable) 2. การเลอกตวแปรออก (Leaving variable) 3. การเปลยนผลลพธ (Result change)

จาก Example 3.1 บรษทลายผาการเมนต เลอกตวแปรทมคา Cj – Zj สงสดเปนตวแปรน าเขาเพราะจะเพมคาฟงกชนวตถประสงคไดมากทสด ซงตามตวอยางจะเลอก X2

การเลอกตวแปรออก ซงจะเลอกตวแปรทใหคาอตราสวนต าสดเปนตวแปรออก เพอสลบกบตวแปร X2 โดยการค านวณอตราสวนจะค านวณอตราสวนระหวางคาในแถวตงผลลพธ (bi) กบคาสมประสทธตวแปรเขา X2 ในเงอนไขบงคบขอท i ถาหากสมประสทธมคาเปนลบไมตองค านวณหาอตราสวน เพราะจะขดกบสมมตฐาน

จาก Example 3.1 บรษทลายผาการเมนต

Cj 200 220 0 0

Cb Basic X1 X2 S1 S2 bi อตราสวน

0 S1 2 1 1 0 100 100/1 =100

0 S2 1.5 2 0 1 150 150/2 = 75

Zj 0 0 0 0 0

Cj - Zj 200 220 0 0

Cj 200 220 0 0

Cb Basic X1 X2 S1 S2 bi

0 S1 2 1 1 0 100

220 X2 1.5 2 0 1 150

Zj 330 440 0 220 33,000

Cj - Zj -130 -220 0 -220

Cj 200 220 0 0

การค านวณ Cb Basic X1 X2 S1 S2 bi

0 S1 2 1 1 0 100

R’2 = R2 /2 220 X2 0.75 1 0 0.5 75

Zj 165 220 0 110 16,500

Cj - Zj 35 0 0 -110

(ตารางผลลพธท 2) Cj 200 220 0 0

การค านวณ Cb Basic X1 X2 S1 S2 bi

R’1 = R1 – 1R’2 0 S1 1.25 0 1 -0.5 25

R’2 = R2 /2 220 X2 0.75 1 0 0.5 75

Zj 165 220 0 110 16,500

Cj - Zj 35 0 0 -110

ผลลพธทไดยงไมเหมาะสมทสด ดงนนจงตองยอนกลบไป Step 2 และ 3

จาก Example 3.1 บรษทลายผาการเมนต

Cj 200 220 0 0

Cb Basic X1 X2 S1 S2 bi อตราสวน

0 S1 1.25 0 1 -0.5 25 25/1.25 = 20

220 X2 0.75 1 0 0.5 75 75/0.75 = 100

Zj 165 220 0 110 16,500

Cj - Zj 35 0 0 -110

Cj 200 220 0 0

Cb Basic X1 X2 S1 S2 bi

200 X1 1.25 0 1 -0.5 25

220 X2 0.75 1 0 0.5 75

Zj 415 220 200 10 21,500

Cj - Zj -215 0 -200 -10

Cj 200 220 0 0

การค านวณ Cb Basic X1 X2 S1 S2 bi

R’1 = R1/1.25 200 X1 1 0 0.8 -0.4 20

220 X2 0.75 1 0 0.5 75

Zj 365 220 160 10 20,500

Cj - Zj -165 0 -160 -10

Cj 200 220 0 0

การค านวณ Cb Basic X1 X2 S1 S2 bi

R’1 = R1/1.25 200 X1 1 0 0.8 -0.4 20

R’2 = R2 – 0.75R’1

220 X2 0 1 -0.6 0.8 60

Zj 200 220 28 96 17,200

Cj - Zj 0 0 -28 -96

ผลลพธทไดเหมาะสมทสด เพราะ Cj – Zj ไมมคาบวก

(ตารางผลลพธท 3)

จากตารางผลลพธท 3 แสดงถงผลลพธทเหมาะสมทสดและใหคาก าไรสงทสดคอ X1 = 20, X2 = 60, S1 = 0, S2 = 0 หมายถงบรษทควรผลตเสอ 20 ตว และผลตกระโปรง 60 ตวและจะท าใหไดรบก าไรรวมเทากบ 17,200 บาท

จาก Example 4.2 Minimize Z = 3A – 2C + 0S1 + 0S2 + 0S3

subject to 2A + S1 = 20 A + B + S2 = 3 A – 3B + 2C + S3 = 12 A, B, C, S1, S2, S3 ≥ 0

(ตารางผลลพธท 1)

Cj 3 0 -2 0 0 0

Cb Basic A B C S1 S2 S3 bi

0 S1 2 0 0 1 0 0 20

0 S2 1 1 0 0 1 0 3

0 S3 1 -3 2 0 0 1 12

Zj 0 0 0 0 0 0 0

Cj - Zj 3 0 -2 0 0 0

Cj 3 0 -2 0 0 0

Cb Basic A B C S1 S2 S3 bi อตราสวน

0 S1 2 0 0 1 0 0 20 20/0 = ∞

0 S2 1 1 0 0 1 0 3 3/0 = ∞

0 S3 1 -3 2 0 0 1 12 12/2 = 6

Zj 0 0 0 0 0 0 0

Cj - Zj 3 0 -2 0 0 0

Cj 3 0 -2 0 0 0

Cb Basic A B C S1 S2 S3 bi

0 S1 2 0 0 1 0 0 20

0 S2 1 1 0 0 1 0 3

-2 C 1 -3 2 0 0 1 12

Zj -2 6 2 0 0 -2 -24

Cj - Zj 1 -6 -4 0 0 2

Cj 3 0 -2 0 0 0

การค านวณ Cb Basic A B C S1 S2 S3 bi

0 S1 2 0 0 1 0 0 20

0 S2 1 1 0 0 1 0 3

R’3 = R3/2 -2 C 0.5 -1.5 1 0 0 0.5 6

Zj -1 3 -2 0 0 -1 -12

Cj - Zj 4 -3 0 0 0 1

(ตารางผลลพธท 2)

ผลลพธทไดยงไมเหมาะสมทสด ดงนนจงตองยอนกลบไป Step 2 และ 3

Cj 3 0 -2 0 0 0

Cb Basic A B C S1 S2 S3 bi อตราสวน

0 S1 2 0 0 1 0 0 20 20/0 = ∞

0 S2 1 1 0 0 1 0 3 3/1 = 3

-2 C 0.5 -1.5 1 0 0 0.5 6 -

Zj -1 3 -2 0 0 -1 -12

Cj - Zj 4 -3 0 0 0 1

Cj 3 0 -2 0 0 0

Cb Basic A B C S1 S2 S3 bi

0 S1 2 0 0 1 0 0 20

0 B 1 1 0 0 1 0 3

-2 C 0.5 -1.5 1 0 0 0.5 6

Zj -1 3 -2 0 0 -1 -12

Cj - Zj 4 -3 0 0 0 1

Cj 3 0 -2 0 0 0

การค านวณ Cb Basic A B C S1 S2 S3 bi

0 S1 2 0 0 1 0 0 20

0 B 1 1 0 0 1 0 3

R’3 = 1.5R2 + R3 -2 C 2 0 1 0 1.5 0.5 10.5

Zj -4 0 -2 0 -3 -1 -21

Cj - Zj 7 0 0 0 3 1

(ตารางผลลพธท 3)

ผลลพธทไดเหมาะสมทสด เพราะ Cj – Zj ไมมคาลบ

จากตารางผลลพธท 3 แสดงถงผลลพธทเหมาะสมทสดและใหคาฟงกชนวตถประสงคต าทสดคอ A = 0, B = 3, C = 10.5, S1 = 20, S2 = 0, S3 = 0 จากฟงกชนวตถประสงค 3A – 2C + 0S1 + 0S2 + 0S3 คาฟงกชนวตถประสงคคอ 3(0) – 2(10.5) + 0(20) + 0(0) + 0(0) = -21