CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces ... Invers dari suatu matriks ortogonal adalah ortogonal. 2

  • View
    223

  • Download
    7

Embed Size (px)

Text of CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE PRODUCT SPACE • Inner Products • Angle and Orthogonality in...

  • CHAPTER 6.

    INNER PRODUCT SPACE

    Inner Products Angle and Orthogonality in Inner Product

    Spaces Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process;

    QR-Decomposition Best Approximation; Least Squares Orthogonal Matrices; Change of Basis

  • 6.3. Basis OrthogonalProses Gram-Schmidt;

    Dekomposisi QR

  • Basis Orthogonal dan Orthonormal

    Suatu himpunan vektor dalam ruang hasil kali dalam disebuthimpunan ortogonal jika semua pasangan vektor-vektoryang berbeda dalam himpunan tersebut ortogonal.

    Suatu himpunan ortogonal dimana setiap vektor mempunyainorma 1 disebut orthonormal.

    Dua vektor u dan v dalam suatu hasil kali dalam disebutortogonal jika u, v = 0.

    Himpunan W = { v1, v2, , vn} adalah ortonormal jika:

    vi,vj = =

    0, jika i j

    1, jika i = j

  • Basis Orthogonal dan Orthonormal

    Contoh: Jika u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (1, 0, -1) dan R3

    mempunyai hasil kali dalam Euclidean, maka himpunan vektor-vektor S = {u1, u2, u 3} adalah ortogonal karena :

    u1, u2 = u1, u3 = u2, u3 = 0.

    u1, u2 = 0.1+1.0+0.1 = 0u1, u3 = 0.1 + 1.0 + 0.(-1) = 0u2, u3 = 1.1 + 0.0 + 1.(-1) = 0

  • Matriks Orthogonal

    Himpunan ortogonal dalam Rn Matriks diagonal.

    Kolom-kolom matriks Qmxn membentuk himpunan yang ortonormal jika dan hanya jika QTQ = In.

    Matriks Anxn yang kolom-kolomnya membentuk himpunan yang ortonormal disebut matriks ortogonal.

    Matriks Anxn adalah matriks ortogonal jika dan hanya jika Q-1=QT (atau dengan kata lain QTQ=QQT=In)

    Q-1=QT QTQ = QQT= In

  • Matriks Orthogonal

    Tunjukkan bahwa matriks berikut merupakan matriks ortogonal:

  • Normalisasi Vektor tak- nol

    Jika v adalah vektor tak nol dalam suatu ruang hasil kali dalam, maka

    mempunyai norma 1, karena;

    Proses mengalikan suatu vektor tak-nol v dengan kebalikanpanjangnya untuk mendapatkan suatu vektor bernorma 1disebut menormalkan v.

    Suatu himpunan vektor-vektor yang orthogonal bisa selaludiubah menjadi suatu himpunan ortonormal denganmenormalkan masing-masing vektornya.

  • Contoh Menormalkan Vektor Tak-Nol

    Jika u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (1, 0, -1)

    Norma Euclidean :

    Normalisasi u1, u2, and u3 :

    Himpunan S = { v 1, v 2, v 3 } orthonormal dimana:

    1 2 31, 2, 2u u u

    )2

    1,0,

    2

    1(),

    2

    1,0,

    2

    1(),0,1,0(

    3

    33

    2

    22

    1

    11

    u

    uv

    u

    uv

    u

    uv

  • Koordinat Relatif Terhadap Basis Ortogonal

    Basis Orthogonal basis yang terdiri dari vektor-vektor orthogonal.

    Ruang Hasil Kali Dalam

    Basis Ortonormal basis yang berisi vektor-vektor ortonormalContoh: basis standard untuk R3 dengan hasil kali dalam Euclidean : I = (1,0,0); j = (0,1,0); k = (0,0,1)

    Secara umum, basis standard hasil kali dalam Euclidean Rn:

    e1 = (1,0,0,.., n); e2 = (0, 1,0,,n); .. ; en = (0,0,0,, 1)

  • Koordinat Relatif Terhadap Basis Ortonormal

    Teorema:

    Jika S= {v1, v2, , vn} adalah suatu basis ortonormaluntuk suatu ruang hasil kali dalam V, dan u adalahsebarang vektor dalam V, maka

    u = u, v1 v1 + u, v2 v2 + + u, vn vn

    u, v1 , u, v2 , , u, vn koordinat-koordinat dari u relatif terhadap basis ortonormal S = {v1, v2, , vn}

    (u)S = ( u, v1 , u, v2 , , u, vn ) vektor koordinat dariu relatif terhadap basis ini.

  • Contoh

    Jika v1 = (0, 1, 0), v2 = (-4/5, 0, 3/5), v3 = (3/5, 0, 4/5), buktikan bahwa S = {v1, v2, v3} adalah suatu basis ortonormal untuk R3 dengan hasil kali dalam Euclidean.

    Nyatakan vektor u = (1, 1, 1) sebagai kombinasi linier darivektor-vektor dalam S dan cari vektor koordinat (u)s.

    Jawab: u, v1 = 1, u, v2 = -1/5, u, v3 = 7/5 u = v1 1/5 v2 + 7/5 v3

    Vektor koordinat u relatif terhadap S(u)s=( u, v1 , u, v2 , u, v3 ) = (1, -1/5, 7/5)

    ortonormal

  • Basis Orthonormal

    Jika S adalah suatu basis ortonormal untuk suatu ruang hasilkali dalam berdimensi n dan jika (u)s = (u1, u2, , un) dan(v)s = (v1, v2, , vn) maka:

    nn

    nn

    n

    vuvuvu

    vuvuvud

    uuu

    2211

    22

    22

    2

    11

    22

    2

    2

    1

    ,

    )()()(),(

    vu

    vu

    u

  • Basis Orthonormal

    Contoh:

    Diketahui v1 = (0, 1, 0), v2 = (-4/5, 0, 3/5), v3 = (3/5, 0, 4/5), dan

    S = {v1, v2, v3} adalah suatu basis ortonormal untuk R3 dengan hasil kali dalam Euclidean. Vektor u = (1, 1, 1) merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor dalam S dan vektor koordinat (u)s =( u, v1 , u, v2 , u, v3 ) = (1, -1/5, 7/5)

    Maka norma vektor u = (1,1,1) adalah :

    Norma u juga bisa dihitung berdasarkan vektor koordinat(u)s = (1, -1/5, 7/5)

  • Kombinasi Linier Vektor dalam Basis Ortogonal S

    Jika S = {v1, v2, , vn} adalah suatu basis ortogonal untuk suatu ruang vektor V, maka menormalkan masing-masing vektor ini menghasilkan basis ortonormal:

    Jika u sebarang vektor dari V berlaku:

    atau

    Rumus ini menyatakan u sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor dalam basis ortogonal S.

    n

    nSv

    v

    v

    v

    v

    v,,,'

    2

    2

    1

    1

    n

    n

    n

    n

    v

    v

    v

    vu

    v

    v

    v

    vu

    v

    v

    v

    vuu ,,,

    2

    2

    2

    2

    1

    1

    1

    1

    n

    n

    nv

    v

    vuv

    v

    vuv

    v

    vuu

    222

    2

    2

    12

    1

    1 ,,,

  • Orthonormal Basis

    Jika S = {v1, v2, , vn} adalah suatu himpunan vektor-vektortak nol yang ortogonal dalam suatu ruang hasil kali dalam, maka S bebas linier

  • Proyeksi Ortogonal

    Dalam R2 atau R3 denganhasil kali dalam Euclidean,secara geometris, jika Wadalah suatu garis ataubidang yang melalui titikasal, maka setiap vektor udalam ruang tersebutdinyatakan sebagai:

    u = w1 + w2

    dimana w1 berada dalam Wdan w2 tegak lurusterhadap W (W ).

    w1 proyeksi ortogonal u pada W proywuw2 komponen u yang ortogonal terhadap W proy w u

  • Proyeksi Ortogonal

    w1 proyeksi ortogonal u pada W proywuw2 komponen u yang ortogonal terhadap W proy w u

    Karena w2 = u w1

    u = proyw u + (u proy w u)

  • Basis Orthonormal

    Anggap W adalah suatu sub-ruang berdimensi terhingga darisuatu ruang hasil kali dalam V.

    a. Jika {v1, , vr} adalah suatu basis orthonormal untuk W dan u adalah sebarang vektor dalam V, maka

    projwu = u,v1 v1 + u,v2 v2 + + u,vr vr

    b. Jika {v1, , vr} adalah suatu basis ortogonal untuk W danu adalah sebarang vektor dalam V, maka

    r

    r

    rv

    v

    vuv

    v

    vuv

    v

    vuuW 222

    2

    2

    12

    1

    1 ,,,proj

  • Contoh

    Jika R3 memiliki hasil kali dalam Euclidean, dan anggap Wadalah sub ruang yang terentang oleh vektor-vektorortonormal v1 = (0, 1, 0) dan v2 = (-4/5, 0, 3/5) maka :

    Proyeksi ortogonal u = (1, 1, 1) pada W adalah

    Komponen u ortogonal terhadap W adalah:

  • Basis Ortogonal dan Ortonormal

    Teori

    Setiap ruang hasil kali dalam tak-nol berdimensi terhinggamempunyai suatu basis ortonormal.

    Proses mengubah suatu basis sebarang menjadi suatu basisortonormal disebut Proses Gram-Schmidt

  • Proses Gram-Schmidt

    Misal V adalah sebarang ruang hasil kali dalam tak-nol berdimensi terhingga , {u1, u2, , un} adalah sebarang basis untuk V.Untuk menghasilkan suatu basis ortogonal {v1, v2, , vn} untuk Vdilakukan proses Gram Schmidt berikut:

    Langkah 1:Anggap v1 = u1

    Langkah 2:Hitung v2 ortogonal v1 denganmenghitung komponen u2 yang ortogonal terhadap ruangW1 yang terentang v1 :

  • Proses Gram-Schmidt

    Langkah 3 :Susun vektor v3 yang ortogonal terhadap v1 dan v2, denganmenghitung komponen u1 yang ortogonal terhadap ruang W2 yangterentang oleh v1 dan v2.

    Langkah 4:Untuk menentukan vektor v4 yang ortogonal terhadap v1, v2 dan v3,hitung komponen u4 yang ortogonal terhadap ruang W3 yangterentang oleh v1, v2 dan v3.

    Vektor-vektor basis ortogonal dinormalkan basis ortonormal V

  • Contoh Proses Gram-Schmidt

    Tinjau ruang vektor R3 dengan hasil kali dalam Euclidean. Terapkan proses Gram Schmidt untuk mengubah vektor-vektor basis u1 = (1, 1, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0, 0, 1)

    Menjadi suatu basis ortogonal {v1, v2, v3}; kemudian normalkan vektor basis ortogonal tersebut untuk mendapatkan suatu basis ortonormal {q1, q2, q3}.

    Jawab :

    Step 1: Anggap v1 = u1 v1 = u1 = (1, 1, 1)

    Step 2: Anggap v2 = u2 projW1u2.

  • Step 3: Anggap v3 = u3 projW2u3.,

    Jadi v1 = (1, 1, 1), v2 = (-2/3, 1/3, 1/3), v3 = (0, -1/2, 1/2) membentuk suatu basis ortogonal untuk R3. Norma vektor-vektor ini adalah:

    Sehingga basis ortonormal untuk R3 adalah:

    u1 = (1, 1, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0,0, 1)

  • Dekomposisi QR

    Jika A adalah suatu matriks nxn dengan vektor-vektor kolomyang bebas secara linier, maka A bisa difaktorkan sebagai :

    A = QRQ matriks m n dengan vektor-vektor kolom yang

    ortonormal, dimana QTQ = IR matriks segitiga atas nxn yang dapat dibalik.

    Jika QTQ = I, maka : QTA = QTQR= IR

    QTA = R

  • Dekomposisi QR

  • Example : QR-Decomposition of a 3 3 Matrix

    Carilah dekomposisi QR dari

    Jawab :

    Vektor-vektor kolom A adalah:

    Dengan menerapkan proses Gram-Scmidht dengan rangkaian normalisasi seperti contoh sebelumnya didapat:

    1 0 0

    1 1 0

    1 1 1

    A

    1 2 3

    1/ 3 2 / 6 0

    1/ 3 , 1/ 6 , 1/ 2

    1/ 3 1/ 6 1/ 2