Upload
truongbao
View
341
Download
5
Embed Size (px)
Citation preview
May 2014
eng-hs.netنبزةاوةنق نمجاسا ننعلىنلةمةلك(نحلنلناملحاساتننلدوةباتنلضافة )نتذككن(نشوحننلماوةننمحلنك )نناكسنمةوتالنمننسنلاتتسلما نستس نلكتلونسة نال
eng-hs.net نق نبزةاوةأتسفلنبةاسنننباكتسودابلصنةوناكجمعة ناكوئةتسة ننأنصاكنننوسة نأما نهسدتس نأتسفلننلصنةوناكفوعنمنمجاسانملنس ننمطبنع ناكسنمةوتالسنلاتننكطلبن
net.hs-eng ,com.hs-engنباكمنقعةننمجاسا ناكسنلاتنملنفوةنننن ننن نن ن نننننن ن@hs.com-enginfoن 9 4444 260 حمادةنشعبان.ن
Chapter 5
Bracketing Methods
May 2014
eng-hs.netنبزةاوةنق نمجاسا ننعلىنلةمةلك(نحلنلناملحاساتننلدوةباتنلضافة )نتذككن(نشوحننلماوةننمحلنك )نناكسنمةوتالنمننسنلاتتسلما نستس نلكتلونسة نال
eng-hs.net نق نبزةاوةأتسفلنبةاسنننباكتسودابلصنةوناكجمعة ناكوئةتسة ننأنصاكنننوسة نأما نهسدتس نأتسفلننلصنةوناكفوعنمنمجاسانملنس ننمطبنع ناكسنمةوتالسنلاتننكطلبن
net.hs-eng ,com.hs-engنباكمنقعةننمجاسا ناكسنلاتنملنفوةنننن ننن نن ن نننننن ن@hs.com-enginfoن 9 4444 260 حمادةنشعبان.ن
Numerical Methods
Roots of Equations
Chapter 5 Chapter 6
Bracketing Methods Open Methods
ا يصرر اامهندسونررالاامهورر عثالا مرر ع ا رر ا ررا اكثيرر ما ررpolynomialsيصررمحاعادرر اا
ا:ب هط قامهنمت ةا ثل
امهـ(Numerical Methodsا)تمنرلا،اأيامهصموةامهنم ع تس عوافياإيج اجذارا ثلاهذها
.مهتياتجملاقينةامهنم هةا س ايةاهاصف اxقيماقينةاأااعاىاإيج ا
تسقسماط قامهحلاإهىاقسني ارئيسيي اعسحامهشكلاأعاله،اكلاقسرمايحتراياعارىا رالقاطر قا
.مهنم ع إليج اجذارا
ا
كررلا جناعررةاألامهنجناعررةامباهررىاتورروأامهحسرر ا رر اقينترري ااطرر قمهفرر قامه ئيسرريابرري ا
ةامهث يرةافتوروأابقينرةاامعروةاق يورةا ر امهجرذراتق يويتي ابيسدن امهجرذرامهنطارا ،اأ ر امهنجناعر
ا.مهنطاا
Graphical Method
Bisection Method
False Position Method
Simple Fixed Point Method
Newton Raphson Method
Secant Method
May 2014
eng-hs.netنبزةاوةنق نمجاسا ننعلىنلةمةلك(نحلنلناملحاساتننلدوةباتنلضافة )نتذككن(نشوحننلماوةننمحلنك )نناكسنمةوتالنمننسنلاتتسلما نستس نلكتلونسة نال
eng-hs.net نق نبزةاوةأتسفلنبةاسنننباكتسودابلصنةوناكجمعة ناكوئةتسة ننأنصاكنننوسة نأما نهسدتس نأتسفلننلصنةوناكفوعنمنمجاسانملنس ننمطبنع ناكسنمةوتالسنلاتننكطلبن
net.hs-eng ,com.hs-engنباكمنقعةننمجاسا ناكسنلاتنملنفوةنننن ننن نن ن نننننن ن@hs.com-enginfoن 9 4444 260 حمادةنشعبان.ن
This chapter on roots of equations deals with methods that use the
fact that a function changes sign around its root.
These techniques are called Bracketing Methods because two guesses for
the root are required, these guesses must “bracket” the root. These
methods will reduce the width of the bracket.
5.1 Graphical Methods
A simple method for obtaining an estimate of the root of the
equation f(x) = 0 is to make a plot of the function and observe where it
crosses the x axis. This point, which represents the x value for which
f(x) = 0, provides a rough approximation of the root.
x x root root
ا.اقيمامهومهةاقولاابموامهجذراهد اإش رم ا ختافةا-
ينك امهحصالا اهذهامهط يقةاعاىاقيماتق يويرةاا-
ا.هاجذاراتستخوماكسقطام طالقاهو قيامهط ق
. القاط قاإليج اجذارامهنم ع (ا5) س قشافياش بت ا -
.تق يويتي اهاجذراع اينيسهاايس رهتووأاكلاط يقةا سد ابقينتي ا -
كررلاوطرراةا رر اوطررام اهررذهامهطرر قامهررثالقاتمنررلاعاررىاتقاررييامهنسرر فةابرري امهقينترري امهاترري ا -
ا.تحص ملامهجذرابيسدن
الذين يسعون دائما نحو التميز واألفضل .يصبحون تلقائيا مثال لآلخرين
May 2014
eng-hs.netنبزةاوةنق نمجاسا ننعلىنلةمةلك(نحلنلناملحاساتننلدوةباتنلضافة )نتذككن(نشوحننلماوةننمحلنك )نناكسنمةوتالنمننسنلاتتسلما نستس نلكتلونسة نال
eng-hs.net نق نبزةاوةأتسفلنبةاسنننباكتسودابلصنةوناكجمعة ناكوئةتسة ننأنصاكنننوسة نأما نهسدتس نأتسفلننلصنةوناكفوعنمنمجاسانملنس ننمطبنع ناكسنمةوتالسنلاتننكطلبن
net.hs-eng ,com.hs-engنباكمنقعةننمجاسا ناكسنلاتنملنفوةنننن ننن نن ن نننننن ن@hs.com-enginfoن 9 4444 260 حمادةنشعبان.ن
EXAMPLE 5.1 The Graphical Approach
Problem Statement:
Use the graphical approach to determine the drag coefficient c needed for
a parachutist of mass m = 68.1 kg to have a velocity of 40 m/s after
free-falling for time t = 10 s. Note: The acceleration due to gravity is
9.8 m/s2.
Solution:
using the parameters t = 10, g = 9.8, v = 40, and m = 68.1:
or
Various values of c can be substituted into the
right-hand side of this equation to compute the
values of f(c).
These points can be plotted as shown in the
figure.
f(c) = g m
c (1 – e –(c/m)t) - v
f(c) = 9.8 (86.1)
c (1 – e –(c/68.1)10) - 40
f(c) = 667.38
c (1 – e -0.146843c) - 40
دت أن تختلف مع إنسان، رإذا أ
.قل له ما يجب عمله
ا.ا.ا.اا21،اا21 امه نماينكر امنرتست وااجرا اجرذرابري ا
ا. اهذهامهط يقةامهنطاا اهذماهاا
May 2014
eng-hs.netنبزةاوةنق نمجاسا ننعلىنلةمةلك(نحلنلناملحاساتننلدوةباتنلضافة )نتذككن(نشوحننلماوةننمحلنك )نناكسنمةوتالنمننسنلاتتسلما نستس نلكتلونسة نال
eng-hs.net نق نبزةاوةأتسفلنبةاسنننباكتسودابلصنةوناكجمعة ناكوئةتسة ننأنصاكنننوسة نأما نهسدتس نأتسفلننلصنةوناكفوعنمنمجاسانملنس ننمطبنع ناكسنمةوتالسنلاتننكطلبن
net.hs-eng ,com.hs-engنباكمنقعةننمجاسا ناكسنلاتنملنفوةنننن ننن نن ن نننننن ن@hs.com-enginfoن 9 4444 260 حمادةنشعبان.ن
Special Cases
Graphical techniques are of limited practical value because they are
not precise. However, they can be used to obtain rough estimates of roots.
These estimates can be employed as starting guesses for the other
numerical methods discussed in this and the next chapter.
They are also important tools for understanding the properties of the
functions and guessing the pitfalls of the other numerical methods.
Figure (b) shows the case where a single root is bracketed by negative and
positive values of f(x).
However, fig(d) where f(xl) and f(xu) are also on opposite sides of the x
axis, shows three roots occurring within the interval.
In general, if f(xl) and f(xu) have opposite signs, there are an odd number of
roots in the interval.
As indicated by fig (a) and (c), if f(xi) and f(xu) have the same sign, there are
either no roots or even number of roots between the values.
غالبا ما تكون النهاية
.حسب الغاية
عاألامهست ئجامهتق يويةامهتيا حصلاعايد ا اهذهامهط يقةاغي ا قيقةاإعاأ د اتنثلاقيمام طالقاهور قيا
ا.مهط ق،ااأ ام ا دنةاهفدماطويمةاهذهامهوامل
May 2014
eng-hs.netنبزةاوةنق نمجاسا ننعلىنلةمةلك(نحلنلناملحاساتننلدوةباتنلضافة )نتذككن(نشوحننلماوةننمحلنك )نناكسنمةوتالنمننسنلاتتسلما نستس نلكتلونسة نال
eng-hs.net نق نبزةاوةأتسفلنبةاسنننباكتسودابلصنةوناكجمعة ناكوئةتسة ننأنصاكنننوسة نأما نهسدتس نأتسفلننلصنةوناكفوعنمنمجاسانملنس ننمطبنع ناكسنمةوتالسنلاتننكطلبن
net.hs-eng ,com.hs-engنباكمنقعةننمجاسا ناكسنلاتنملنفوةنننن ننن نن ن نننننن ن@hs.com-enginfoن 9 4444 260 حمادةنشعبان.ن
Although previous generalizations are usually true,
there are some cases where they do not hold.
For example, functions that are tangential to the x
axis as in figure(a) and discontinuous functions as in
fig(b) can violate these principles.
An example of a function that is tangential to the
axis is the cubic equation f(x) = (x – 2)(x – 2)(x – 4).
Notice that x = 2 makes two terms in this polynomial
equal to zero. Mathematically, x = 2 is called a
multiple root.
The existence of such cases makes it difficult to develop general
computer algorithms guaranteed to locate all the roots in an interval.
عسوام قط امهومهةااعومامنتن مريةامهنسحسىامهخ صابد ،ايحتنلااجا اجرذري ابري ا
ا.قينتي اتختافاقينةاإش رةامهومهةاهدن ،اأااعومااجا اأيةاجذاراعاىامإلطالق
المنافسة الحقيقيةة دائمةا مةا تكةون ةين
.وما أنت قادر على فعلهما قمت فعله
عسو اتكالاقيمامهومهةابرسف ا
مإلشررررررر رةاعسررررررروا قطتررررررري ا
يحتنررررلاعرررروماا تجرررر ارتي
اجا اجذاراأاااجرا اعرو ا
ا.جذارازاجي
عسرواتيير اإشر رةاقينررةا
مهومهررررررةاقوررررررلاابمرررررروا
ا قطتررررري ا تجررررر ارتي
يحتنررررلااجررررا اجررررذرا
امعرررواأااعرررو اجرررذارا
ا.ف ي
May 2014
eng-hs.netنبزةاوةنق نمجاسا ننعلىنلةمةلك(نحلنلناملحاساتننلدوةباتنلضافة )نتذككن(نشوحننلماوةننمحلنك )نناكسنمةوتالنمننسنلاتتسلما نستس نلكتلونسة نال
eng-hs.net نق نبزةاوةأتسفلنبةاسنننباكتسودابلصنةوناكجمعة ناكوئةتسة ننأنصاكنننوسة نأما نهسدتس نأتسفلننلصنةوناكفوعنمنمجاسانملنس ننمطبنع ناكسنمةوتالسنلاتننكطلبن
net.hs-eng ,com.hs-engنباكمنقعةننمجاسا ناكسنلاتنملنفوةنننن ننن نن ن نننننن ن@hs.com-enginfoن 9 4444 260 حمادةنشعبان.ن
EXAMPLE 5.2 Use of Computer Graphics to Locate Roots
Problem Statement:
Computer graphics can fasten and improve your efforts to locate roots of
equations. The function f(x) = sin 10x + cos 3x
has several roots over the range x = 0 to x = 5.
Use computer graphics to know about the behavior of this function.
Solution:
Packages such as Excel and MATLAB software can be used to generate
plots. The following figure(a) is a plot of f(x) for x = 0 to x = 5.
This plot suggests the presence of several roots, including a possible
double roots at x = 4.2 where f(x) appears to be tangent to the x-axis.
In fig(c), the vertical scale is narrowed further to f(x) = -0.15 to
f(x) = 0.15 and the horizontal scale is narrowed to x = 4.2 to x = 4.3.
This plot shows clearly that a double root does not exist in this region, but
there are two distinct roots at about x = 4.23 and x = 4.26.
لمسة األخيرة على عملك، وضع ال
. مثا ة التاج الذي يكلل نجاحك
May 2014
eng-hs.netنبزةاوةنق نمجاسا ننعلىنلةمةلك(نحلنلناملحاساتننلدوةباتنلضافة )نتذككن(نشوحننلماوةننمحلنك )نناكسنمةوتالنمننسنلاتتسلما نستس نلكتلونسة نال
eng-hs.net نق نبزةاوةأتسفلنبةاسنننباكتسودابلصنةوناكجمعة ناكوئةتسة ننأنصاكنننوسة نأما نهسدتس نأتسفلننلصنةوناكفوعنمنمجاسانملنس ننمطبنع ناكسنمةوتالسنلاتننكطلبن
net.hs-eng ,com.hs-engنباكمنقعةننمجاسا ناكسنلاتنملنفوةنننن ننن نن ن نننننن ن@hs.com-enginfoن 9 4444 260 حمادةنشعبان.ن
-8
-4
0
4
8
-5 0 5 10
Problem 5.1
Determine the real roots of f(x) = -0.5x2 + 2.5x + 4.5:
(a) Graphically.
(b) Using the quadratic formula.
Solution
(a) A plot indicates that roots occur at about x = –1.4 and 6.4.
(b)
40512.6
40512.1
)5.0(2
)5.4)(5.0(4)5.2(5.22
x
الكثير من العمل الجيد يضيع سبب
.العجز عن ذل ما هو أكثر قليال
May 2014
eng-hs.netنبزةاوةنق نمجاسا ننعلىنلةمةلك(نحلنلناملحاساتننلدوةباتنلضافة )نتذككن(نشوحننلماوةننمحلنك )نناكسنمةوتالنمننسنلاتتسلما نستس نلكتلونسة نال
eng-hs.net نق نبزةاوةأتسفلنبةاسنننباكتسودابلصنةوناكجمعة ناكوئةتسة ننأنصاكنننوسة نأما نهسدتس نأتسفلننلصنةوناكفوعنمنمجاسانملنس ننمطبنع ناكسنمةوتالسنلاتننكطلبن
net.hs-eng ,com.hs-engنباكمنقعةننمجاسا ناكسنلاتنملنفوةنننن ننن نن ن نننننن ن@hs.com-enginfoن 9 4444 260 حمادةنشعبان.ن
5.2 The Bisection Method
When applying the graphical technique in example 5.1, you have
observed that f(x) changed sign on opposite sides of the root.
In general, if f(x) is real and continuous in the interval from xl to xu and f(xl)
and f(xu) have opposite signs, that is,
f(xl) f(xu) < 0
then there is at least one real root between xl and xu.
The bisection method, which is alternatively called binary chopping, is
one type of incremental search method in which the interval is always
divided in half. If a function changes sign over an interval, the function value
at the midpoint is evaluated. The location of the root is then suggested to lie
at the midpoint of that new subinterval. The process is repeated to obtain
refined estimates. The figure shows the steps for the bisection method.
Step 1: Choose lower xl and upper xu guesses for the root such that the function changes sign over the interval. (ensure that f(xl) f(xu) < 0)
Step2: An estimate of the root xr is determined by
Step3: Make the following evaluations to determine in which subinterval
the root lies: (a) If f(xl) f(xr) < 0, the root lies in the lower subinterval.
set xu = xr and return to step 2.
(b) If f(xl) f(xr) > 0, set xl = xr and return to step 2.
(c) If f(xl) f(xr) = 0, the root equals xr, terminate.
xr = xl + xu
2
ا.إهىامهسصفااxuاااxl قامابتضييقامهف قابي اااiterationأن ساهذهامهط يقةاأ هافياكلا
ا ذل كل ما تستطيع، لكل
.شيء أنت مسئول عنه
May 2014
eng-hs.netنبزةاوةنق نمجاسا ننعلىنلةمةلك(نحلنلناملحاساتننلدوةباتنلضافة )نتذككن(نشوحننلماوةننمحلنك )نناكسنمةوتالنمننسنلاتتسلما نستس نلكتلونسة نال
eng-hs.net نق نبزةاوةأتسفلنبةاسنننباكتسودابلصنةوناكجمعة ناكوئةتسة ننأنصاكنننوسة نأما نهسدتس نأتسفلننلصنةوناكفوعنمنمجاسانملنس ننمطبنع ناكسنمةوتالسنلاتننكطلبن
net.hs-eng ,com.hs-engنباكمنقعةننمجاسا ناكسنلاتنملنفوةنننن ننن نن ن نننننن ن@hs.com-enginfoن 9 4444 260 حمادةنشعبان.ن
The following figure shows a graphical description of the bisection
method. This plot conforms to the first three iterations from Example 5.3.
Example 5.3: Bisection Method
Use bisection method to solve the same problem approached graphically
in example 5.1.
Solution:
The first step in bisection is to guess two values of the unknown (xr) that
give values for f(xr) with different signs. We can see that the function
changes sign between values of 12 and 16. Therefore, the initial estimate
of the root xr lies at the midpoint of the interval
This estimate represents a true percent relative error of εt = 5.3%
(note that the true value of the root is (14.7802).
Next we compute the product of the function value at the lower bound
and at the midpoint:
f(12) f(14) = 6.067 (1.569) = 9.517
= 14 xr = 12 + 16
2
نقطةةة اطنطةةالل لكةةل اتنجةةا ات هةةي
.و استمرارالرغبة، تذكر هذا دائما
May 2014
eng-hs.netنبزةاوةنق نمجاسا ننعلىنلةمةلك(نحلنلناملحاساتننلدوةباتنلضافة )نتذككن(نشوحننلماوةننمحلنك )نناكسنمةوتالنمننسنلاتتسلما نستس نلكتلونسة نال
eng-hs.net نق نبزةاوةأتسفلنبةاسنننباكتسودابلصنةوناكجمعة ناكوئةتسة ننأنصاكنننوسة نأما نهسدتس نأتسفلننلصنةوناكفوعنمنمجاسانملنس ننمطبنع ناكسنمةوتالسنلاتننكطلبن
net.hs-eng ,com.hs-engنباكمنقعةننمجاسا ناكسنلاتنملنفوةنننن ننن نن ن نننننن ن@hs.com-enginfoن 9 4444 260 حمادةنشعبان.ن
Continue
which is greater than zero:
Since no sign change occurs between the lower bound and the midpoint,
the root must be located between 14 and 16.
Therefore, we create a new interval by redefining the lower bound to 14
and determining a revised root estimate
which represents a true percent error of εt = 1.5%.
f(14) f(15) = 1.569 (-0.425) = -0.666
Therefore, the root is between 14 and 15. The upper bound is redefined to
15, and the root estimate for the third iteration is calculated as:
which represents a percent relative error of εt = 1.9%. The method can be
repeated until the result is accurate enough to satisfy some standard error
(εs).
= 15 xr = 14 + 16
2
= 14.5 xr = 14 + 15
2
ا رع ذرة الرغبة في عقلك، وسوف
تشكل نواة ذات قوة تجذب إليه كل
.شيء تحتاجه لتحقيق نجاحه
May 2014
eng-hs.netنبزةاوةنق نمجاسا ننعلىنلةمةلك(نحلنلناملحاساتننلدوةباتنلضافة )نتذككن(نشوحننلماوةننمحلنك )نناكسنمةوتالنمننسنلاتتسلما نستس نلكتلونسة نال
eng-hs.net نق نبزةاوةأتسفلنبةاسنننباكتسودابلصنةوناكجمعة ناكوئةتسة ننأنصاكنننوسة نأما نهسدتس نأتسفلننلصنةوناكفوعنمنمجاسانملنس ننمطبنع ناكسنمةوتالسنلاتننكطلبن
net.hs-eng ,com.hs-engنباكمنقعةننمجاسا ناكسنلاتنملنفوةنننن ننن نن ن نننننن ن@hs.com-enginfoن 9 4444 260 حمادةنشعبان.ن
In the previous example the true error does not decrease with each
iteration. However, the interval is halved with each step in the process.
The interval width provides an exact estimate of the upper bound of the
error for the bisection method.
5.2.1 Termination Criteria and Error Estimates
We must now develop an objective criterion for deciding when to
terminate the method. An initial suggestion might be to end the
calculation when the true error falls below some pre-specified level.
For instance, in Example 5.3, the true percent relative error dropped from
5.3% to 1.9% during the computation. We might decide that we should
terminate when the percent error drops below, say, 0.1% percent.
This strategy is not useful because the error estimates in the example
were based on knowledge of the true root of the function. This would not
be the case in an actual situation. Therefore, we require an error estimate
that does not depend on the knowledge of the root. An approximate
percent relative error εa can be calculated as
where xrnew is the root for the present iteration and xr
old is the root from
the previous iteration. The absolute value is used because we are usually
concerned with the magnitude of εa rather than its sign. When εa becomes
less than a pre-specified stopping criterion εs, the computation terminates.
األمر ط ينتهي أ دا، فهناك دائما
.الغاية التالية، والهدف التالي
100% εa = xrnew – xr
old
xrnew
(5.2)
May 2014
eng-hs.netنبزةاوةنق نمجاسا ننعلىنلةمةلك(نحلنلناملحاساتننلدوةباتنلضافة )نتذككن(نشوحننلماوةننمحلنك )نناكسنمةوتالنمننسنلاتتسلما نستس نلكتلونسة نال
eng-hs.net نق نبزةاوةأتسفلنبةاسنننباكتسودابلصنةوناكجمعة ناكوئةتسة ننأنصاكنننوسة نأما نهسدتس نأتسفلننلصنةوناكفوعنمنمجاسانملنس ننمطبنع ناكسنمةوتالسنلاتننكطلبن
net.hs-eng ,com.hs-engنباكمنقعةننمجاسا ناكسنلاتنملنفوةنننن ننن نن ن نننننن ن@hs.com-enginfoن 9 4444 260 حمادةنشعبان.ن
EXAMPLE 5.4 Error Estimates for Bisection
Continue Example 5.3 until the approximate error falls below a stopping
criterion of εs = 0.5%. Use the error approximate equation.
Solution:
The result of the first two iterations for example
5.3 were 14 and 15. Substituting these values
into Eq. (5.2) yields
Recall that the true percent relative true error for the root estimate
of 25 was 2.5%. Therefore, εa is greater than εt. This behavior is clear for
the other iterations:
Thus, after six iterations εa = 0.442% and the computation can be terminated.
في أي مكان ترى فيه عمال ناجحا، ستجد
.شخصا اتخذ ذات مرة قرارا شجاعا
100% εa = 15 - 14
15 = 6.667%
May 2014
eng-hs.netنبزةاوةنق نمجاسا ننعلىنلةمةلك(نحلنلناملحاساتننلدوةباتنلضافة )نتذككن(نشوحننلماوةننمحلنك )نناكسنمةوتالنمننسنلاتتسلما نستس نلكتلونسة نال
eng-hs.net نق نبزةاوةأتسفلنبةاسنننباكتسودابلصنةوناكجمعة ناكوئةتسة ننأنصاكنننوسة نأما نهسدتس نأتسفلننلصنةوناكفوعنمنمجاسانملنس ننمطبنع ناكسنمةوتالسنلاتننكطلبن
net.hs-eng ,com.hs-engنباكمنقعةننمجاسا ناكسنلاتنملنفوةنننن ننن نن ن نننننن ن@hs.com-enginfoن 9 4444 260 حمادةنشعبان.ن
The plot shows that εa εt thus, when εa falls below εs. the
computation could be terminated with confidence that the root is known
to be at least as accurate as the pre-specified acceptable level.
Although it is always dangerous to draw general conclusions from a
single example, it can be demonstrated that εa will always be greater than
εt for the bisection method. This is because each time an approximation
root is located using bisection as xr = (xl + xu)/2, we know that the true root
lies somewhere within an interval of (xu – xl)/1 = Δx/1.
Therefore, the root must lie within ± Δx/1 of our estimate.
xr = 14.5 ± 0.5
Because Δx/1 = xrnew – xr
odd, Eq. (5.2) provides an exact upper bound
on the true error. For this bound to be exceeded, the true root would have
to fall outside the bracketing interval, which, by definition, could never
occur for the bisection method.
Although bisection is generally slower than other methods,
the neatness of its error analysis is certainly a positive aspect that could
make it attractive for certain engineering applications.
وصةةةل إليهةةةا ت التميةةةز هةةةو النتيجةةةة التةةةي ي
.من أجل التحسن متدريجيا عد الكفاح الدائ
May 2014
eng-hs.netنبزةاوةنق نمجاسا ننعلىنلةمةلك(نحلنلناملحاساتننلدوةباتنلضافة )نتذككن(نشوحننلماوةننمحلنك )نناكسنمةوتالنمننسنلاتتسلما نستس نلكتلونسة نال
eng-hs.net نق نبزةاوةأتسفلنبةاسنننباكتسودابلصنةوناكجمعة ناكوئةتسة ننأنصاكنننوسة نأما نهسدتس نأتسفلننلصنةوناكفوعنمنمجاسانملنس ننمطبنع ناكسنمةوتالسنلاتننكطلبن
net.hs-eng ,com.hs-engنباكمنقعةننمجاسا ناكسنلاتنملنفوةنننن ننن نن ن نننننن ن@hs.com-enginfoن 9 4444 260 حمادةنشعبان.ن
The following figure shows three ways in which the interval may
bracket the root. In (a) the true value lies at the center of the interval,
whereas in (b) and (c) the true value lies near the extreme.
Notice that the difference between the true value and the midpoint
of the interval never exceeds half the interval length, or Δx/1.
افعل الشيء الصحيح، في الوقت
.الصحيح، الطريقة الصحيحة
اΔxأكث ا ا صفااrtع ااxrعسوا ستصفامهنس فة،اب هت هياه ايوموااxrب س افياكلا ةا خت را
May 2014
eng-hs.netنبزةاوةنق نمجاسا ننعلىنلةمةلك(نحلنلناملحاساتننلدوةباتنلضافة )نتذككن(نشوحننلماوةننمحلنك )نناكسنمةوتالنمننسنلاتتسلما نستس نلكتلونسة نال
eng-hs.net نق نبزةاوةأتسفلنبةاسنننباكتسودابلصنةوناكجمعة ناكوئةتسة ننأنصاكنننوسة نأما نهسدتس نأتسفلننلصنةوناكفوعنمنمجاسانملنس ننمطبنع ناكسنمةوتالسنلاتننكطلبن
net.hs-eng ,com.hs-engنباكمنقعةننمجاسا ناكسنلاتنملنفوةنننن ننن نن ن نننننن ن@hs.com-enginfoن 9 4444 260 حمادةنشعبان.ن
The following figure shows a graphical description of why the error
estimate for bisection (Δx/1) is equivalent to the root estimate for the
present iteration (xrnew) minus the root estimate for the previous iteration
(xrodd).
We should note that the relationships
can be substituted into Eq.(5.2)ا to develop an alternative formulation for
the approximate percent relative error
xu - xl xrnew – xr
old = ا2
xu + xl xr
new = ا2
نجز عض األعمال شكل أفضل أ
.مما تم إنجا ها ه من قبل
May 2014
eng-hs.netنبزةاوةنق نمجاسا ننعلىنلةمةلك(نحلنلناملحاساتننلدوةباتنلضافة )نتذككن(نشوحننلماوةننمحلنك )نناكسنمةوتالنمننسنلاتتسلما نستس نلكتلونسة نال
eng-hs.net نق نبزةاوةأتسفلنبةاسنننباكتسودابلصنةوناكجمعة ناكوئةتسة ننأنصاكنننوسة نأما نهسدتس نأتسفلننلصنةوناكفوعنمنمجاسانملنس ننمطبنع ناكسنمةوتالسنلاتننكطلبن
net.hs-eng ,com.hs-engنباكمنقعةننمجاسا ناكسنلاتنملنفوةنننن ننن نن ن نننننن ن@hs.com-enginfoن 9 4444 260 حمادةنشعبان.ن
This equation yields identical results to Eq. (5.2) for bisection, in
addition, it allows us to calculate an error estimate on the basis of of our
initial guesses, that is, on our first iteration. For instance, on the first
iteration of Example 5.2, an approximate error can be computed as
Another benefit of the bisection method is that the number of
iterations required to reach an absolute error can be computed
before starting the iterations. This can be seen by recognizing that before
starting the technique, the absolute error is
Ea0 = xu
0 – xl0 = Δx0
where the superscript designates the iteration. Hence, before starting the
method, we are at the “zero iteration.” After the first iteration, the error
becomes
Because each succeeding iteration halves the error, a general formula
relating the error and the number of iterations, n, is
100% = 14.29% εa = 16 - 12
16 + 12
Ea1 = Δx0
2
نحةةةن مجةةةانين إذا لةةةم نسةةةتطع أن
نفكةةةر، متعصةةةبون إذا لةةةم نةةةرد أن
.نفكرنفكر، عبيد إذا لم نجرؤ أن
Ean = Δx0
2n
(5.4)
May 2014
eng-hs.netنبزةاوةنق نمجاسا ننعلىنلةمةلك(نحلنلناملحاساتننلدوةباتنلضافة )نتذككن(نشوحننلماوةننمحلنك )نناكسنمةوتالنمننسنلاتتسلما نستس نلكتلونسة نال
eng-hs.net نق نبزةاوةأتسفلنبةاسنننباكتسودابلصنةوناكجمعة ناكوئةتسة ننأنصاكنننوسة نأما نهسدتس نأتسفلننلصنةوناكفوعنمنمجاسانملنس ننمطبنع ناكسنمةوتالسنلاتننكطلبن
net.hs-eng ,com.hs-engنباكمنقعةننمجاسا ناكسنلاتنملنفوةنننن ننن نن ن نننننن ن@hs.com-enginfoن 9 4444 260 حمادةنشعبان.ن
If Ea,d is the desired error, this equation can be solved for
Let us test the formula. For Example 5.4, the initial interval was
Δx0 = 16 – 12 = 4. After six iterations, the absolute error was
We can substitute these values into Eq. (5.5) to give
Thus, if we know in advance that an error of less than 0.0625 is
acceptable, the formula tells us that six iterations will yield the desired
result.
إنك ط تقوى على أسر فكرتي،
ألنهةةةةةةا حةةةةةةرة كالنسةةةةةةيم فةةةةةةي
.الفضاء، ط حد له وط مدى
= 6 n = log (4 / 0.0625)
log 2
= 0.0625 Ea = |14.875 – 14.75|
ا2
= log2 n = log (Δx0 / Ea,d)
log 2 (5.5)
Δx0
Ea,d
May 2014
eng-hs.netنبزةاوةنق نمجاسا ننعلىنلةمةلك(نحلنلناملحاساتننلدوةباتنلضافة )نتذككن(نشوحننلماوةننمحلنك )نناكسنمةوتالنمننسنلاتتسلما نستس نلكتلونسة نال
eng-hs.net نق نبزةاوةأتسفلنبةاسنننباكتسودابلصنةوناكجمعة ناكوئةتسة ننأنصاكنننوسة نأما نهسدتس نأتسفلننلصنةوناكفوعنمنمجاسانملنس ننمطبنع ناكسنمةوتالسنلاتننكطلبن
net.hs-eng ,com.hs-engنباكمنقعةننمجاسا ناكسنلاتنملنفوةنننن ننن نن ن نننننن ن@hs.com-enginfoن 9 4444 260 حمادةنشعبان.ن
-8
-4
0
4
8
-1 0 1
EXAMPLE 5.2
Determine the real root of f(x) = 5x3 – 5x2 + 6x - 2
(a) Graphically.
(b) Using bisection to locate the root, Employ initial guesses of xl = 0 and
xu = 2 and iterate until the estimated error εa ≤ εs = 10%
Solution
(a) A plot indicates that a single real root occurs at about x = 0.42.
(b) First iteration:
5.02
10
rx
%100%10001
01
a
75.0)375.0(2)5.0()0( ff
Therefore, the new bracket is xl = 0 and xu = 0.5
The process can be repeated until εa falls below 10%. As summarized
below, this occurs after 5 iterations yielding a root estimate of 0.40625.
iteration xl xu xr f(xl) f(xr) f(xl)f(xr) a
1 0 1 0.5 -2 0.375 -0.75 2 0 0.5 0.25 -2 -0.73438 1.46875 100.00% 3 0.25 0.5 0.375 -0.73438 -0.18945 0.13913 33.33% 4 0.375 0.5 0.4375 -0.18945 0.08667 -0.01642 14.29% 5 0.375 0.4375 0.40625 -0.18945 -0.05246 0.009939 7.69%
عجيةةةةب أن نمجةةةةل مةةةةا وجةةةةب
.عمله اآلن ثم نصر على الندم
May 2014
eng-hs.netنبزةاوةنق نمجاسا ننعلىنلةمةلك(نحلنلناملحاساتننلدوةباتنلضافة )نتذككن(نشوحننلماوةننمحلنك )نناكسنمةوتالنمننسنلاتتسلما نستس نلكتلونسة نال
eng-hs.net نق نبزةاوةأتسفلنبةاسنننباكتسودابلصنةوناكجمعة ناكوئةتسة ننأنصاكنننوسة نأما نهسدتس نأتسفلننلصنةوناكفوعنمنمجاسانملنس ننمطبنع ناكسنمةوتالسنلاتننكطلبن
net.hs-eng ,com.hs-engنباكمنقعةننمجاسا ناكسنلاتنملنفوةنننن ننن نن ن نننننن ن@hs.com-enginfoن 9 4444 260 حمادةنشعبان.ن
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
0 0.5 1 1.5
Problem 5.5
Locate the first nontrivial root of sin x = x3, where x is in radians.
Use a graphical technique and bisection with the initial intervals from 0.5
to 2. Perform the computation until εa is less than of εs = 2%. Also, perform
an error check by substituting your final answer into the original equation.
Solution A graph indicates that a nontrivial root (nonzero) is located at about 0.93. Using bisection,
75.02
15.0
rx
092067.0)2597638.0(354426.0)75.0()5.0( ff
Therefore, the root is in the second interval and the lower guess is
redefined as xl = 0.75.
All the iterations are displayed in the following table:
i xl f(xl) xu f(xu) xr f(xr) a
1 0.5 0.354426 1 -0.158529 0.75 0.2597638 2 0.75 0.259764 1 -0.158529 0.875 0.0976216 14.29% 3 0.875 0.097622 1 -0.158529 0.9375 -0.0178935 6.67% 4 0.875 0.097622 0.9375 -0.0178935 0.90625 0.0429034 3.45% 5 0.90625 0.042903 0.9375 -0.0178935 0.921875 0.0132774 1.69%
Consequently, after five iterations we obtain a root estimate of 0.921875
with an approximate error of 1.69%, which is below the stopping criterion
of 2%. The result can be checked
0132774.0921875.0)921875.0sin()sin()( 33 xxxf يخدع المظهر
ا.األول الكثيرينا
May 2014
eng-hs.netنبزةاوةنق نمجاسا ننعلىنلةمةلك(نحلنلناملحاساتننلدوةباتنلضافة )نتذككن(نشوحننلماوةننمحلنك )نناكسنمةوتالنمننسنلاتتسلما نستس نلكتلونسة نال
eng-hs.net نق نبزةاوةأتسفلنبةاسنننباكتسودابلصنةوناكجمعة ناكوئةتسة ننأنصاكنننوسة نأما نهسدتس نأتسفلننلصنةوناكفوعنمنمجاسانملنس ننمطبنع ناكسنمةوتالسنلاتننكطلبن
net.hs-eng ,com.hs-engنباكمنقعةننمجاسا ناكسنلاتنملنفوةنننن ننن نن ن نننننن ن@hs.com-enginfoن 9 4444 260 حمادةنشعبان.ن
5.3 The False-Position Method
Although bisection is a perfectly valid technique for
determining roots, it's "brute-force" approach is relatively inefficient.
False position is an alternative based on graphical knowledge.
A shortcoming of the bisection method is that, in dividing the
interval from xl to xu into equal halves, no account is taken of the
magnitudes of f(xl) and f(xu). For example, if f(xl) is much closer to zero
than f(xu), it is likely that the root is closer to xl than to xu.
An alternative method that uses the graphical knowledge is to join
f(xl) and f(xu) by a straight line. The intersection of this line with the
x-axis represents an improved estimate of the root. The fact that the
replacement of the curve by a straight line gives a "false position" of the
root is the origin of the name, method of false position.
من األفضل أن تكون مكروها
لشيء فعلته، من أن تكون
.محبو ا لشيء فعله غيرك
May 2014
eng-hs.netنبزةاوةنق نمجاسا ننعلىنلةمةلك(نحلنلناملحاساتننلدوةباتنلضافة )نتذككن(نشوحننلماوةننمحلنك )نناكسنمةوتالنمننسنلاتتسلما نستس نلكتلونسة نال
eng-hs.net نق نبزةاوةأتسفلنبةاسنننباكتسودابلصنةوناكجمعة ناكوئةتسة ننأنصاكنننوسة نأما نهسدتس نأتسفلننلصنةوناكفوعنمنمجاسانملنس ننمطبنع ناكسنمةوتالسنلاتننكطلبن
net.hs-eng ,com.hs-engنباكمنقعةننمجاسا ناكسنلاتنملنفوةنننن ننن نن ن نننننن ن@hs.com-enginfoن 9 4444 260 حمادةنشعبان.ن
Using similar triangles,
Which can be solved for
This is the false position formula. The value of xr computed with
the previous equation then replaces whichever of the two initial guesses xl
or xu, yields a function value with the same sign as f(xr). In this way, the
values of xl and xu always bracket the true root.
The process is repeated until the root is estimated adequately. The
algorithm is identical to the one for bisection with the exception that the
previous equation is used for step 2. In addition, the same stopping
criterion is used to terminate the computation.
= f(xl)
xr – xl
f(xu)
xr – xu (5.6)
أسةةاا النجةةاح فةةي اتدارة أن تسةةتفيد
أقصةةى مةةا يمكةةن مةةن قةةوة اآلخةةرين،
.وتتضرر أقل ما يمكن من ضعفهم
xr = xu - f(xu)(xl – xu)
f(xl) – f(xu) (5.7)
May 2014
eng-hs.netنبزةاوةنق نمجاسا ننعلىنلةمةلك(نحلنلناملحاساتننلدوةباتنلضافة )نتذككن(نشوحننلماوةننمحلنك )نناكسنمةوتالنمننسنلاتتسلما نستس نلكتلونسة نال
eng-hs.net نق نبزةاوةأتسفلنبةاسنننباكتسودابلصنةوناكجمعة ناكوئةتسة ننأنصاكنننوسة نأما نهسدتس نأتسفلننلصنةوناكفوعنمنمجاسانملنس ننمطبنع ناكسنمةوتالسنلاتننكطلبن
net.hs-eng ,com.hs-engنباكمنقعةننمجاسا ناكسنلاتنملنفوةنننن ننن نن ن نننننن ن@hs.com-enginfoن 9 4444 260 حمادةنشعبان.ن
EXAMPLE 5.5 False Position
Use the false position method to determine the root of the same equation
in Example 5.1.
Solution:
Initiate the computation with guesses of Xl = 12 and xu = 16
First iteration:
xl = 12 f(xl) = 6.0699
xu = 16 f(xu) = - 2.2688
which has a true relative error of 0.89 percent.
Second iteration:
f(xl) f(xu) = - 1.5426
Therefore, the root lies in the first subinterval, and xr becomes the upper
limit for the next iteration, xu = 14.9113:
xl = 12 ا f(xl) = 6.0699
xu = 14.9113 f(xu) = - 0.2543
xr = 14.9113 -
which has a true and approximate relatives errors of 0.09 and
0.79 percent. Additional iterations can be performed to refine the
estimate of roots.
xr = 16 - -2.2688 (12-16)
6.0669 – (-2.2688) = 14.9113
-0.2543 (12 – 14.9113)
6.0669 – (-0.2543) = 14.7942
له، فال تفع إذا لم يكن ما ستفعله صحيحا
.فال تقله صادقاوإذا لم يكن ما ستقوله
May 2014
eng-hs.netنبزةاوةنق نمجاسا ننعلىنلةمةلك(نحلنلناملحاساتننلدوةباتنلضافة )نتذككن(نشوحننلماوةننمحلنك )نناكسنمةوتالنمننسنلاتتسلما نستس نلكتلونسة نال
eng-hs.net نق نبزةاوةأتسفلنبةاسنننباكتسودابلصنةوناكجمعة ناكوئةتسة ننأنصاكنننوسة نأما نهسدتس نأتسفلننلصنةوناكفوعنمنمجاسانملنس ننمطبنع ناكسنمةوتالسنلاتننكطلبن
net.hs-eng ,com.hs-engنباكمنقعةننمجاسا ناكسنلاتنملنفوةنننن ننن نن ن نننننن ن@hs.com-enginfoن 9 4444 260 حمادةنشعبان.ن
A feeling for the relative efficiency of the bisection and false-position
method can be appreciated by plotting the true percent relative errors for
Examples 5.4 and 5.5.
Recall that in the bisection method- the interval between xl and xu
grew smaller during the course of a computation. The interval, as defined
by ∆x /2 = │xu – xl│/2 for the first iteration, therefore provides a
measure of the error for this approach. This is not the case for the method
of false position because one of the initial guesses may stay fixed
throughout the computation as the other guess converges on the root.
For instance, in Example 5.6 the lower guess xl remained at 12 while xu
converged on the root. For such cases, the interval does not shrink but rather
approaches a constant value.
الخيال هو داية ات داع، إنك تتخيل
يما تتخيله، ما ترغب فيه، وترغب ف
.فيه وأخيرا تصنع ما ترغب
May 2014
eng-hs.netنبزةاوةنق نمجاسا ننعلىنلةمةلك(نحلنلناملحاساتننلدوةباتنلضافة )نتذككن(نشوحننلماوةننمحلنك )نناكسنمةوتالنمننسنلاتتسلما نستس نلكتلونسة نال
eng-hs.net نق نبزةاوةأتسفلنبةاسنننباكتسودابلصنةوناكجمعة ناكوئةتسة ننأنصاكنننوسة نأما نهسدتس نأتسفلننلصنةوناكفوعنمنمجاسانملنس ننمطبنع ناكسنمةوتالسنلاتننكطلبن
net.hs-eng ,com.hs-engنباكمنقعةننمجاسا ناكسنلاتنملنفوةنننن ننن نن ن نننننن ن@hs.com-enginfoن 9 4444 260 حمادةنشعبان.ن
5.3.1 Pitfalls of the False-Position Method
Although the false-position method would seem to always be the
bracketing method of preference, there are cases where it performs poorly. In
fact, as in the following example, there are certain cases where bisection yields
superior results.
EXAMPLE 5.6 A Case Where Bisection Is Preferable to False Position
Use bisection and false position to locate the root of
f(x) = x10 - 1
between x = 0 and 1.3.
Solution:
Using bisection, the results can be summarized as
Thus, after five iterations, the true error is reduced to less than 2 percent.
For false position, a very different outcome is obtained:
.لئيمأذل الناا معتذر إلى ا
May 2014
eng-hs.netنبزةاوةنق نمجاسا ننعلىنلةمةلك(نحلنلناملحاساتننلدوةباتنلضافة )نتذككن(نشوحننلماوةننمحلنك )نناكسنمةوتالنمننسنلاتتسلما نستس نلكتلونسة نال
eng-hs.net نق نبزةاوةأتسفلنبةاسنننباكتسودابلصنةوناكجمعة ناكوئةتسة ننأنصاكنننوسة نأما نهسدتس نأتسفلننلصنةوناكفوعنمنمجاسانملنس ننمطبنع ناكسنمةوتالسنلاتننكطلبن
net.hs-eng ,com.hs-engنباكمنقعةننمجاسا ناكسنلاتنملنفوةنننن ننن نن ن نننننن ن@hs.com-enginfoن 9 4444 260 حمادةنشعبان.ن
Continue
After five iterations the true error has only been reduced to about
59 percent. In addition, note that εa ‹ εt. Thus, the approximate error is
misleading.
As in the figure, the curve violates the idea which false position was
based on, that is, if f(xl) is much closer to zero than f(xu), then the root is
closer to xl than to xu. Because of the shape of the present function, the
opposite is true.
القدر من الخيال يمكن أن يحقق نفس
.النجاح أو الفشل وفقا لتوجيهك له
May 2014
eng-hs.netنبزةاوةنق نمجاسا ننعلىنلةمةلك(نحلنلناملحاساتننلدوةباتنلضافة )نتذككن(نشوحننلماوةننمحلنك )نناكسنمةوتالنمننسنلاتتسلما نستس نلكتلونسة نال
eng-hs.net نق نبزةاوةأتسفلنبةاسنننباكتسودابلصنةوناكجمعة ناكوئةتسة ننأنصاكنننوسة نأما نهسدتس نأتسفلننلصنةوناكفوعنمنمجاسانملنس ننمطبنع ناكسنمةوتالسنلاتننكطلبن
net.hs-eng ,com.hs-engنباكمنقعةننمجاسا ناكسنلاتنملنفوةنننن ننن نن ن نننننن ن@hs.com-enginfoن 9 4444 260 حمادةنشعبان.ن
-8
-4
0
4
8
0 0.5 1 1.5
EXAMPLE 5.3
Determine the real root of f(x) = -25 + 82x – 90x2 + 44x3 – 8x4 + 0.7x5
(a) Graphically.
(b) Using bisection to determine the root to εs = 10%.
Employ initial guesses of xl = 0.5 and xu = 1.0.
(c) Perform the same computation as in (b) but use the false-position
method and εs = 0.2%.
Solution
(a) A plot indicates that a single real root occurs at about x = 0.58. (b) Bisection:
First iteration:
75.02
15.0
rx
%33.33%1005.01
5.01
a
063213)072362(478131)750()50( ....f.f
Therefore, the new bracket is xl = 0.5 and xu = 0.75. The process can be
repeated until the approximate error falls below 10%. As summarized
below, this occurs after 4 iterations yielding a root estimate of 0.59375.
ط يمكنك أن تصنع ما هو أكثر حماقة من أن تجلس على
.جانب الطريق حتى يأتيك أحدهم ويحاول مساعدتك
May 2014
eng-hs.netنبزةاوةنق نمجاسا ننعلىنلةمةلك(نحلنلناملحاساتننلدوةباتنلضافة )نتذككن(نشوحننلماوةننمحلنك )نناكسنمةوتالنمننسنلاتتسلما نستس نلكتلونسة نال
eng-hs.net نق نبزةاوةأتسفلنبةاسنننباكتسودابلصنةوناكجمعة ناكوئةتسة ننأنصاكنننوسة نأما نهسدتس نأتسفلننلصنةوناكفوعنمنمجاسانملنس ننمطبنع ناكسنمةوتالسنلاتننكطلبن
net.hs-eng ,com.hs-engنباكمنقعةننمجاسا ناكسنلاتنملنفوةنننن ننن نن ن نننننن ن@hs.com-enginfoن 9 4444 260 حمادةنشعبان.ن
Continue
iteration xl xu xr f(xl) f(xr) f(xl)f(xr) a
1 0.50000 1.00000 0.75000 -1.47813 2.07236 -3.06321 2 0.50000 0.75000 0.62500 -1.47813 0.68199 -1.00807 20.00% 3 0.50000 0.62500 0.56250 -1.47813 -0.28199 0.41682 11.11% 4 0.56250 0.62500 0.59375 -0.28199 0.22645 -0.06386 5.26%
(c) False position:
First iteration:
xl = 0.5 اf(xl) = –1.47813
xu = 1 f(xu) = 3.7
64273.07.347813.1
)15.0(7.31
rx
35808.1)91879.0(47813.1)64273.0()5.0( ff
Therefore, the bracket is xl = 0.5 and xu = 0.64273.
Second iteration:
xl = 0.5, f(xl) = –1.47813
xu = 0.64273, f(xu) = 0.91879
58802.091879.047813.1
)64273.05.0(91879.064273.0
rx
%304.9%10058802.0
64273.058802.0
a
The process can be repeated until the approximate error falls below
0.2%. As summarized below, this occurs after 4 iterations yielding a root
estimate of 0.57956.
iteration xl xu f(xl) f(xu) xr f(xr) f(xl)f(xr) a
1 0.5 1.00000 -1.47813 3.70000 0.64273 0.91879 -1.35808 2 0.5 0.64273 -1.47813 0.91879 0.58802 0.13729 -0.20293 9.304% 3 0.5 0.58802 -1.47813 0.13729 0.58054 0.01822 -0.02693 1.289% 4 0.5 0.58054 -1.47813 0.01822 0.57956 0.00238 -0.00351 0.169%
إن المعةةةةةةةةةاذير
.ي ش و ها الكذبا
May 2014
eng-hs.netنبزةاوةنق نمجاسا ننعلىنلةمةلك(نحلنلناملحاساتننلدوةباتنلضافة )نتذككن(نشوحننلماوةننمحلنك )نناكسنمةوتالنمننسنلاتتسلما نستس نلكتلونسة نال
eng-hs.net نق نبزةاوةأتسفلنبةاسنننباكتسودابلصنةوناكجمعة ناكوئةتسة ننأنصاكنننوسة نأما نهسدتس نأتسفلننلصنةوناكفوعنمنمجاسانملنس ننمطبنع ناكسنمةوتالسنلاتننكطلبن
net.hs-eng ,com.hs-engنباكمنقعةننمجاسا ناكسنلاتنملنفوةنننن ننن نن ن نننننن ن@hs.com-enginfoن 9 4444 260 حمادةنشعبان.ن
-2
0
2
4
6
0 1 2 3 4 5
Problem 5.7
Determine the real root of f(x) = (0.8 – 0.3x) / x
(b) Graphically.
(c) Using three iterations of the false-position method and initial
guesses of 2 and 3. Compute the approximate error εa and the true
error εt after each iteration. Is there a problem with the result?
Solution
(b) The graph of the function indicates a root between x = 2 and 3.
Note that the shape of the curve suggests that it may be ill-suited for
solution with the false-position method
(c) Using false position, the first iteration is
875.2)03333.0(5.0
)31(03333.03
rx
%81.7%10066667.2
875.266667.2
t
01087.0)02174.0(5.0)875.2()1( ff
إن كل فكرة من أفكارك هي لبنة إما تضيفها
.إلى قصر أحالمك أو إلى قبر مشاريعك
May 2014
eng-hs.netنبزةاوةنق نمجاسا ننعلىنلةمةلك(نحلنلناملحاساتننلدوةباتنلضافة )نتذككن(نشوحننلماوةننمحلنك )نناكسنمةوتالنمننسنلاتتسلما نستس نلكتلونسة نال
eng-hs.net نق نبزةاوةأتسفلنبةاسنننباكتسودابلصنةوناكجمعة ناكوئةتسة ننأنصاكنننوسة نأما نهسدتس نأتسفلننلصنةوناكفوعنمنمجاسانملنس ننمطبنع ناكسنمةوتالسنلاتننكطلبن
net.hs-eng ,com.hs-engنباكمنقعةننمجاسا ناكسنلاتنملنفوةنننن ننن نن ن نننننن ن@hs.com-enginfoن 9 4444 260 حمادةنشعبان.ن
Continue
Therefore, the root is in the first interval and the upper guess is
redefined as xu = 2.875. The second iteration is
79688.2)03333.0(5.0
)875.21(03333.0875.2
rx
%793.2%10079688.2
875.279688.2
a
%88.4%10066667.2
79688.266667.2
t
00698.0)01397.0(5.0)79688.2()1( ff
Consequently, the root is in the first interval and the upper guess is
redefined as xu = 2.79688. All the iterations are displayed in the
following table:
i xl xu f(xl) f(xu) xr f(xr) f(xl)f(xr) a t
1 1 3.00000 0.5 -0.03333 2.87500 -0.02174 -0.01087 7.81% 2 1 2.87500 0.5 -0.02174 2.79688 -0.01397 -0.00698 2.793% 4.88% 3 1 2.79688 0.5 -0.01397 2.74805 -0.00888 -0.00444 1.777% 3.05%
Therefore, after three iterations we obtain a root estimate of 2.74805
with an approximate error of 1.777%. Note that the true error is greater
than the approximate error. This is not good because it means that we
could stop the computation based on the erroneous assumption that
the true error is at least as good as the approximate error.
This is due to the slow convergence that results from the function’s
shape.
دينيةة، : لتكن أهدافك منوعةة
أسةةةةةةةةةةةةةرية، اجتماعيةةةةةةةةةةةةةة،
.اقتصادية، مهنية، رياضية
May 2014
eng-hs.netنبزةاوةنق نمجاسا ننعلىنلةمةلك(نحلنلناملحاساتننلدوةباتنلضافة )نتذككن(نشوحننلماوةننمحلنك )نناكسنمةوتالنمننسنلاتتسلما نستس نلكتلونسة نال
eng-hs.net نق نبزةاوةأتسفلنبةاسنننباكتسودابلصنةوناكجمعة ناكوئةتسة ننأنصاكنننوسة نأما نهسدتس نأتسفلننلصنةوناكفوعنمنمجاسانملنس ننمطبنع ناكسنمةوتالسنلاتننكطلبن
net.hs-eng ,com.hs-engنباكمنقعةننمجاسا ناكسنلاتنملنفوةنننن ننن نن ن نننننن ن@hs.com-enginfoن 9 4444 260 حمادةنشعبان.ن
Problem 5.8
Find the positive square root of 18 using the false-position method within
εs = 0.5%. Employ initial guesses of xl = 4 and xu = 5.
Solution
The square root of 18 can be set up as a roots problem by determining the
positive root of the function
018)( 2 xxf
Using false position, the first iteration is
22222.472
)54(75
rx
34568.0)17284.0(2)22222.4()4( ff
Therefore, the root is in the second interval and the lower guess is
redefined as xl = 4.22222. The second iteration is
24096.4717284.0
)522222.4(722222.4
rx
%442.0%10024096.4
22222.424096.4
a
Thus, the computation can be stopped after just two iterations because
0.442% < 0.5%.
إننةةي ط أستسةةلم أ ةةدا، حتةةى عنةةدما
.يقول لي الناا أنني لن أنجح أ دا