62
@T|ih e wW,+ A+56+AW5 # AO,W+ A+W,5 e wW,+ A+56+AW5 Ai Ui?|h@* LMiU|i Lu *?i@h @*}iMh@ t |i @?@*)tt Lu *?i@h u?U|L?t _i?i_ L? @ ?|i_4i?tL?@* iU|Lh tT@Ui 6Lh i@4T*ic @?@*)tt Lu |i ti@h |h@?tuLh4@|L? t @ ThLM*i4 Lu |t tLh| 6ht| i _i?i |i UL?UiT| Lu @ *?i@h u?U|L? Lh |h@?tuLh4@|L? #i?|L? e wi| T @?_ ` Mi hi@* iU|Lh tT@Uit E|ih _4i?tL?t U@? Mi _gihi?|c @?_ *i| A Mi @ u?U|L? | _L4@? T @?_ h@?}i ? ` Eh||i? A G T $ ` `i t@) A t @ *?i@h |h@?tuLh4@|L? u E@ 6Lh @** c ) 5 T c A E n )' A En A E)EA t @__|i EM 6Lh @** 5 Tco 5 7cA Eo' oA EEA t L4L}i?iLt Wu T @?_ ` @hi UL4T*i iU|Lh tT@Uitc |i _i?|L? t |i t@4i iUiT| ? EMc o 5 . Wu T ' ` c |i? A U@? Mi U@**i_ @ *?i@h LTih@|Lh ,@4T*i wi| T ' ` ' . #i?i A E%' 6%c ihi 6 t @ i_ hi@* ?4Mih 5L |@| A t @ *?i@h |h@?tuLh4@|L? 2Sb

Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

������� �

�� ��� ������ ���� ������ � �����

��� �� � �� ������ ����

��� ������ ����� �� � ���� ������ � ��� ����� � � ���� ����� �������� � � �� ���� ���� �� ����� ������ �� ������� ����� � � �������� ���������� � � � ����� � �� � ���� � ��� �� ����� ��� ������ �� ���� ����� � � ���������� ��

��������� ������ ��� � ��� � �� ��� ����� ������ ���� � � ���� �� ����� � �����!� ��� �� � �� � ����� � � �� ��� � � ��� ����� �� ��� ����� " � �� !� #� ��� � � � ������ �������������� �

��! �� � �! � � � � � $ !! % � � ! $ � �!!�� � �""���#�!�

��! �� � � �� � � �� � �� ! % �� � !�� � ����$����%�!�

&� � ��� � ��� ����� ����� ������� ��� ���� � � � ��� ���� ������ ��&!� � � �� &� � %� � ���� � ��� �� ���� � ������ ���������

� ����� �� ��� � % � % ��� '���� � ��! % ��� ����� � � � ���� ���������� (�� ���� � � � ���� ���������� ��

)*+

Page 2: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

),- ������� � ����� ���� ���������

���%���� #� ���� ��� ���� � � ��� � �� ��� ��������� �� ������ � � ��� �� �� � ��� �� � �� ��� �������

� ��$ ! % ���$ ! % ��$�

� ��! $ � �! % ��$�

( ��� � �� $ ! % � ��! $ � �!� �� .�� ���� � � ��� � ��� /� � ��������� � ���

� ���! % ����! % ���!� % ����! % �� ��!

���� � � � ���� ���������� ��

� ����� '� ��� � %� % ��� �� � � � � ����� ��! % ��$ �� ����� ���� � ��� ��� ������� ��� � �% -� (�� ���� � ��� � ���� ���������� ��

���%���� � ��� �� ����. ��� � � ��� �� �� ��! % ���! $ �" ��$ ! % ���$ ! $ � % ��$� $ �

0������

��! $ �! % ���$ �! $ �� $ �! % ��$� $ )�

( ��� � �% -� )� �% � � ��$ ! �% ��! $ �! �� � �� � � � ��� � �� �����

� ����� (� ��� � % �? ���� % �?3�� ��� ������ �� � � �� � " � ���� �� ��!! % � ���!� � �� ���� �� � � � ����� �� �� ��� ��������� .�� ���� �� � ����� ��� ����� �� � ��� � �� $ !� % � � $ � ������!� % �� �� � � � �����

� ����� �� ��� � % ���������� ����� �� ������ ��� ��� ���� �

1�� �2� % �1�� �2� ��� � % �� ��� ����� � " � � � �� � ��! %�K

@���! ���

���� � � ���� ������� ��� ������ �� .�� ���� �� �������� ����� ��� ��� ��

K

@���! $ ��! �� %

�K

@���! ��$

�K

@ ��! �� ���

�K

@����! �� % �

�K

@���! ���

�� � � ��

� ����� )� ��� � % �?? ��� �� � % ��� '���� � " � � � �� � ��! %�� �� �� � � �??� ( � � ���� �� ������ �� � ��� ����� � � ���� ��

Page 3: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

�� ����� ���� ��������� ),3

� ����� *� ��� � % 6? ��� � % ?6� ��� ����� � ��! % �A �� � � 6?� ���� � � ���� �� ������ �� � ��� ���������

&� 4������ 3 ��� )� ��� ����� �� � ��� ���� ������ �� ���� ��� ������� � 4����� ) �� ���� ��� �� ����� ��� � ������ ������� � ��� � � ��� ������� ����� &� � % -� �� ���� ���� ��5 � ��� �� � �� ���� ���� ��� &� ������� 6 ������ *� � ��! % �� �� � � ��� �� � ��� � ��� ����������� � ���� ���������� ���

������� ������ ��� � ��� � �� ���� � ���� �� � " � � � �� � ������������������� ���� � ��T ! % �` � ���� ������ �� �� ������ ��� ����� �� ���� ��� ��� ���� ��� �����

���� ( ��� �T $ �T % �T �

� ��T !� �� �W? `

% � ��T $ �T !�) @__�|���|)@

% � ��T ! $ � ��T !� �� �W? `

��� �� ��T ! % � ��T ! $ � ��T !

7� �� 8������ � �` � � � ��� �� ��� ��� ��� �8��� � ��� �� � �� ��T ! % �` �

�� � ������ ��� ���� ��� �� ���� � ��� ���������� �� ��� �� ������ / � �� ����8����� � ��� ������ �

&� � ��T ! �% �` � ���� � � �� �����

� ����� +� (�� ���� � " �2 � �2� ������ ��

� ����� �2!! % ��� $ �2� �� �2 $ 3!

� �� ����

���%���� &� �2� � ��! % � ��-� -!! % �-� 3! �% �� ��������� � � �� �����

� ����� ,� ��� � " �2 � �� �� ������ ��

� ����� �2!! % ��2 $ �2

2

(�� ���� � � �� ���� ���� ����� � ��! % ��

Page 4: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

),) ������� � ����� ���� ���������

���%���� #� ���� � ��! % � ��-� -!! % -2 $ -2 % -� �� �� � ��� 9�� � ����� � ��� � ����� �5 ��� ���� � � � ���� �� ���� �� ����� � ����.��� � � �� �� �������

� � $ !! % � ����� �2! $ ��� 2!!

% � ���� $ �� �2 $ 2!! % ��� $ 2!2 $ ��2 $ 2!

2

% ��2 $ )��� $ �

2 $ �22 $ )�22 $ 2

2

���

� � ! $ � �!! % � ����� �2!! $ � ���� 2!! % ��2 $ �2

2 $ �2 $ 2

2

( ��� � � $ !! �% � � !$� �!!� �� .�� ���� � � �� ����� &� ��� ������ ������� �� ���� �� � �� ���� �� � � ���������� �� �� ��� ��� ���� � ��

� ����� -� (�� ���� ��� �� �� ���������� � ��� �����

��! � " �� � �� ������ ��

� ����� �2� ��!! % ��� $ �2� �2 $ ��� �� $ ��!

�&! � " �� � �� ������ ��

� ����� �2� ��!! % # � ���� �2� ��!

����� # � � ���� ����� � ��

�.! � " �� � �� ������ ��

� ����� �2� ��!! % ��� $ ��2 $ ���

����� �� �� ��� � ��� ���� ��� �������

�"! � " 22 � 22 ������ ��

��� �� �

��%

�3 3) :

��� �� �

��! � " �� � �2 ������ ��

� ���$ �! %��2

)$ ��

Page 5: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

�� ����� ���� ��������� ),6

��! � " �2 � �2 ������ ��

� ����� �2!! % ��� $ �2� �� )�2!

���%���� ;���� ��! ������ ��! ��� ��� � ��� �������

��! � ����� �2! $ ���� �2!! % � ��� $ ��� �2 $ �2!

% ��� $ �� $ �2 $ �2� �� $ �� )�2 )�2!

% ��� $ �2� �� )�2! $ ��� $ �2� �� )�2!

% � ���� �2! $ � ���� �2!

� ������ �2!! % � ����� ��2! % ���� $ ��2� ��� )��2!

% ���� $ �2� �� )�2!

% �� ���� �2!

���� � � �����

� ����� �/� (�� ���� � " �22 � �22 ������ �� � ��! % <� � �� �����

���%���� #� .�� ���� � ���! % �� % <� <� % <�� ��! �% �� ��! ����� � � ����� � ��� ���� � ��9�� ��� ���� ����� ( � � �� ����� 10������� � ���� .��0%$��� ������ ������� � ���! % <�� ��! ��� � �� $ �! %� ��! $ � ��!�2

� ����� ��� ��� � % ?� ��� � % 6�� ��� � �� �� � � � ������� �� '���� � " � �� ��

� ��! %��

� � ���� ������� �� ���� � ������

� �� $ � ! %��� $ � ! %�� $��

� ���! %����! % ����!

� ����� �'� ��� � % �?� ��� � % �6� ��� �� � �� �� � � � ���� ���� �6?� '���� � " � �� �� � ��! % ��� ���� � � ���� ������� ������ � ������

��� $ � ! % �� $ ��

����! % ����!

Page 6: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

),: ������� � ����� ���� ���������

(�� ���� � ���� ���������� �� ���� �� ���� �� ������ ���� ���1��� ���������� � �w ��� � � � � ������ ��

� � ! % �` �� � � �

��� �"�����! ���������� � � ��� � � � � ������ ��

�� ! % �� � � �

��� .�����.���� ���������� � �k ��� � � � �

�k� ! % � - � 3� �� � � �

��� "������� ���������� � �q ��� � � � �

�q % ! 3 !� �� � � �

=�� ���� � ���� ����� ��� ���� ���������� �� � ��� � ��� �������/����� ������ ������� � ���� ���������� �� ���� �� ���� � ����

�� ���� �� ��� ����� � ����9� ���� ���������� ��� &� ������� ����� �� ����� �� ��� ��� � �� ������ � ��� ����� ��� � �%� ������� ���%2����� 3� �%�� %�%���! &� �������" 3����%� ��� �!��� �� $����� 3�"��3 �� ��$�&��� >���� �� ���� ?�������@ �� �� ����� � � �� :�3�3��������� ��� ��� A�� ��� � �� � ��� �� ��� �� ���� � ��� � ������� �� � �?� � % 3� )� � 6� A���� ����� ��8� �� ��� ������ ��� ��� ��B�� ��� 4����� 36�

� ����� �(� ?C����@ ��� ���������� � � " �2 � ��� ������ �� � ���� �2!% �

2���� �2� -!�

���%���� ��� � ��� 9�� �� � �2 ��� �� �� �� �� ��� ���� � ��������� ���� � � �� :�3�)� ��� ���� � ����� ������ ����� � ���� � ���� ��� ���� � ���� ������ &� �� ��� ��� ������ � ����� 3 � ��� � ��� � � �� :�3�)�� ��� ���� �� � ��� � ��� ����� � � ��� � ��� � ��� ���2� �� � � �� :�)�)&� �� � ������� �� ��� � �� ��� �� ���� � ?��� �.�@ ������� � ��� ��� �� ���� .� � ������� � ���������� ��

( ��� ������ ��� �� � ��� �� ���� ���������� ��� �� ���� �� ��� �����9� ���� � ���� ������ �� ��� >���� ���� ��� ����� ��� � ����������� ��� �� � ��� ������� � �� �� ���� ���� ��� A�� � ��� ��� ��� �� ��� ����� � � ���� ���������� �� � ��� �� ��"

Page 7: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

�� ����� ���� ��������� ),D

E���� �����

C ��� � " � � � � ��� � � � ���� ���� � ��! % �� ��� ���� � ���� � ���� ��� 4����� �� � ��� �� ���� .��� �

F���� ����. ��� ��� .���� ����� � ���� ���� .� ��� ����� ��������� � �� �� ��� �8��� � ���! % -� �� ������� �� �� �2)�6 % -�&� ������ �� � ����� � ���� �� ����� �� � �� �� ��� 8������ � ������&� ���� ������ ��� ��� � � ��� .���� ����� ���� � ��� �������� �� �� � �8��� �� � � ��.���� ���� ?���� ��� � ����� � ����������@!�

� ����� ��� � �� .��� � ����� � " �� � �2 � ������ �� � ����� �2� ��!! %��� $ �2� �2 ��!����%���� ( ��� .��� % � �� � ! % ��� �� ���� ��� � ����� �2� ��!! % �-� -!����� ��

��� $ �2� �2 ��! % �-� -!

��� ����� �� �8��� �� ���

�� $ �2 % -

�2 �� % -

�� �� ���� ��� � �"� "� "!� ��������.��� % �# � ���# % "�3� 3� 3!� % ������3� 3� 3!�

&� ������ 3: ��� .���� � ��� � ��� ���� ���������� � ��� � ��������� ��� ��� �� &� ����� � ��� � �� .��� ��� ��3� 3� 3!�� ��� .���� � � ���� ���������� � � ����� � ����� ������

������� ����'� ��� � ��� � �� ���� � ���� ��� ��� � " � � � �� ������� ������������� ��� ��� .��� �� � ���� �� � � �

���� ��� .���� � � � ������� ������� � ��! % �� #� ���� � ������� .��� � ���� ����� ��� � � ��� ����� ��� � ��� �� F��� ���� � .��� � ��� �� � � % �� ��� ��� ! �� � .��� � ��� �� � �� �������� 7� ��� ���� �� � � �

� � $ !! % � � ! $ � �!! % � $ � % �

Page 8: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

),* ������� � ����� ���� ���������

���� �� ! % �� � ! % �� % �

� $ ! � .��� ��� � .��� � ���� .��� � � �������� � � �

( ��� .��� � � �������� � � � � ��� � ���� �� ��� � ���� � � .��� � ���� ��� �%����! � � � ���� �� ��� ���� ���������� � � 4����� 3:��� �� �� � 3� #� �� �� �� �

#�� ! % 3

� ����� �)� B������ #�� ! �� ��� ���� ���������� � � " �� � �2

������ ��� ���� �� �!! % ��$ )�$ ���$ 6�$ �!

� �� � ��� � �� .��� �

���%���� #� ���� ��� ��� ��� � � ������ ��� �� �! � �� ���� � ��� �� �! %�-� -!� ���� �� ��� �8��� ��

�$ )�$ ��$ 6�$ �

�%

�-

-

����� �� ����� ��� ��� � ��

���

� %

� "

)"D"

��� .��� % ������3�)� D!�� �������� � ��.��� ! % 3� � #�� ! % 3� /��� � � ��3�)� D!��

� ��� ��� ��� ����� � � ���� ���������� ��� �� ��� ��� ��� ���$��� � � &� ������ ��� �� ��� ����� � � ����� � � � ������� � ����� �� % ���!� �� ������� % �2 )� 6 ��� ����� �� : ��� ������ �� � �2 )� 6 % - ��� � % 6 ��� � % 3� ����� �� ��� .���� � � � �3� 6��! / �� � ������ � � ���� � � �� :�3�6� ��� ����� � � �������������� � ����� ����� �� ���� � ��� � � ����� � � � ��� � � 8� ������� � ���� �����

��������� ����'� ��� � " � � � �� � ���� ���������� �� ��� ���$��� � � ��� ��� � � ��� �� # � � ���� ���� ! % � � ! �� ��� � � ���� ����� � � � �� ���� ����� � � ��� ����� � � � � �������� � � ������� ������!�

Page 9: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

�� ����� ���� ��������� ),,

� ����� �*� '���� � ��� �� � �� �� � ���� �� �!! % �� �$ �� )�$ ���� )� $ )�!� '����� �� ����� � ��� � ������� � !� � �� �� ������ � ����� � ��� �� ������ �� � ����� � � � �� � ��� � �� ����� � � � ��.��� � C���� .��� ��� ����� � � /������ � ����� � � �

���%���� ��� ! % ��� 2� �! �� � ����� � � ���� ! % � ���� �� �!! �� �������� ��� �� �! � ��� ���� �� ��� �8��� � ! % � ���� �� �!! �%�� &� .��2�������� #� ������ ��� �8��� �� ��� ��� ���� ��� � �� ��� ��� ������������ ��� �8��� �� ���

� �$ � % �

)�$ � � % 2

� )�$ )� % �

��� ���� ������ �

� �$ � % �

6� 6� % 2 )�

- % � $ 2 $ �

( � ! % ��� 2� �! � � �� ��� ����� � � ���� � $ 2 $ � % -� ���� ��

����� � % ���� 2� �!�� % 2 $ ��

��� ��� � � � �� 2� ��� � � ��� � �� ��� � �� ���� � � ����� � �(�� ������ � ����� � ��� �)�3�3! ��� �-�3� 3!� (�� ������ �� � ����� � ��� �3�3�3! ��� �3�-�-!� ��� � ���� � � ����� � � )� � ��� ����8��� � � $ 2 $ � % - ��� ��� ��� ������ � ��� ����� ����� � ����3� � ��� ����� � &�

� ��� � � ��� �� �� ��� ��� �)�3�3! ��� �-�3� 3! �� ����� � ������� ��� ����� ���������� � ��� ����� ��� � ������� � ! % )� &� �������� �� ����� ���������� ������ � ����� � ��� � ��� � �� ����� � ���� .���� � � � ���� �� ���� �� � % 2 % � % - � ��� ���� �8��� ������� #� ��� � .��� % ������-� 3� 3!�� C����� ��� ���� � � �� :�3�:�

��� � ���� � � ��� ����� � � ���� ���������� � � � ���� ������4 � � ��� �� ���� ��� !� ���� ��

��� ! % � ������� � !

Page 10: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

),G ������� � ����� ���� ���������

��� ���. ��� �� �� � � ���� ���������� � ��� ������ � ���� ���� ����� �8��� �

���. � $ �� �� � % � ����� �!

�� � � ��� ����� � ��� �� �� ��� � ������� �� � ��� ��� ������� � ���� ������"

������� ����(� �� � " � � � �� � ������ ������������ ��� � �� % ������

��� ! $ #�� ! % � �:�3�3!

����� ����� ���� ������� �� ������ �� ���� �� � ��� ����

� ����� �+� � �� ��� �� �� � ��� ���� ���������� � � 4����� 3*�

���%���� #� ��� � " �� � �� ��� ���� ��� ! % )� ( ��� � �� %� ��� % 6� 48� �:�3�3! ���� �

) $ #�� ! % 6

�������� #�� ! % 3

��� � ������ �!�"� ( ��� .��� ��� ����� � ��� ����� ������� ��� !��� #�� ! ��� ������� #� ��� ��� ����� �����" #�� ! % -� #�� ! % �� ���3 #�� ! � 3�

B��� 3" #�� ! % -� (����� ��� ! % " �� ���� �� ������ ����#�� ! $��� ! �� #� � ��� � � ������ �� �� ( ��� ��� ! % "� ��� ���� ��� ���� " ������ � ����� � � ����� ���������� ��� �#�� � � � �#?� ��� ��� � �� � � ( ��� " �� �� �#�!� � � � � � �#?!� ���� �� ����� ������������ � ����� �� �� ��� � � � � �?� �� � 9��� � ��

��� �#�! $ � � �$ �?� �#?! % �

���� �� ���� �� � ���#� $ � � � $ �?#?! % � ��� ��#� $ � � � $ �?#? � .��� �( ��� .��� % ��� ��� �� � ��� ��H� ��� 9��� �� ���� �#�� � � � �#?� �� �� ����� ���������� �� �� � � ������ �� �� ��������� ��� ! % � ���#�� ! $��� ! % - $ � % ��

B��� )" #�� ! % �� ( ��� .��� � � �������� � � ��� � ��.��� ! %� �� � �� ������ ���� .��� % � ��� � � ! % � �� � � � � ������������� � % ��� ��� � ������� � ! % -� ���� ��� ! $ #�� ! % - $ � % ��

Page 11: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

�� ����� ���� ��������� ),+

B��� 6" #�� ! % "� 3 " � 3� ��� � % �#�� � � � �#&� �� � ���� � �� .��� � 7� � ���� �� ������ � ��� �� �������� � � ��� � $ %�#�� � � � �#&�%&n�� � � � �%?� � � � � ��� � �� % �� #� � ��� ���� � %�� �%&n�!� � � � � � �%?!� � � ��� � �� ����� � � ���� �� � ���� ��� ! % �"���

��� ! $ #�� ! % �� "! $ " % �� �� ������! �"����"��� B�� ���

�&n�� �%&n�! $ � � �$ �?� �%?! % �7� ��� ���� �� � � �

� ��&n��%&n� $ � � �$ �?%?! % ���� � �&n�%&n� $ � � �$ �?%? � � .��� � ( ����� �� �� ��� � � � � �& � ��

��#� $ � � �$ �&#& % �&n�#&n� $ � � �$ �?%?���� ��

��#� $ � � �$ �&#& �&n�%&n� � � � �?%? % ���� � ��� $ � � ��� � �� � � �� .�� ���� �� % � � � % �& % �&n� % � � � % �? %-� ���� � � ����� �����������

� ����� ���$� � ��� ! � ����� � � � ���� ! % � � ! �� ��� � 5� ( ���$ � � ��� � �� � � �� ��� �� �� % ��#�$ � � �$�&#&$ �&n�%&n�$ � � �$ �?%?���� �

! % � � ! % � ���#� $ � � �$ �&#&! $ �&n�� �%&n�! $ � � �$ �?� �%?!% � $ �&n�� �%&n�! $ � � �$ �?� �%?!

���� ! � ���� � �� ����� �,� ?C����@ � " �� � ��� ������ �� � ����� �2� ��!! % ��� $�2 $ ��� )�� �2� �� $ �2 $ 6��!� �� ��� �� .��� ��� ����� � �

���%���� (� �� � � ! % !� �� ���� 3 3 3 �

- 3 ) 2 $ )�- - - � )2 6�

� �:�3�)!

Page 12: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

)G- ������� � ����� ���� ���������

� ������ �� .��� � ��� ! % �� ��� ��� � � ��� ����� �� �8��� �� � % �"�)"� "!� � .��� % ���� ��3�)� 3!�� ��� 48� �:�3�)! ����� ���� ����� � % �!�� )2 6� % -� % �!�! % �%� &� 6% $ )&!� %���� ��3� -� 6!� �-� 3� )!�� / ����� � ���� � � �� :�3�D�

�� ��� ���� � � �� ��� ��� � � � ���� ���������� � ��� � ������� �� ��� ����� ����� � � ������ � ������ ���� �� �8����� ��� � �����

� ����� �-� &� ��� �� ���� ���� ��� ������! ���� � � " 2� � 2�

� � ���� ���������� � ������ ��

�����2

��% �

����2

����� � � � ��� ����� ���� �� ���� ��� ���� � � ���� ���� �� ���������� ' � ( � �2 � �� � ���� ���� �� ������� ��� � �' ! � � �(!� ���� �� ������ ��

�����2

��%

�3 )6 3

�����2

�� �� ��� ���� ����� � � ��� ?�� � �8����@ ���� � � �� :�3�*�

���%���� #� ��� ��� ����� � ��� ���� ���� ( ��� ���� � �� � ��� �8���� �� ���� ���� �� �������� ��� ���� � ��� �8���� � �� ��� ����� ����������� � � �� ��� ����� � ��� ���� �� � �� � ���� ���� �� �������� I�

��--

��%

�--

��

��3-

��%

�36

��-3

��%

�)3

��

��33

��%

�6:

�������� ��� ���� � ��� ��������� ���� � � �� :�3�,� I�� ����� ��� ��� ���� ���� � �� ���� �� � ��� � ��� ������ ������� ���� ����� �� ��� ������� � 2��

� ����� '/� (�� ���� � " 2� � 2� ������ ��

�����2

��%

�) -- 6

�����2

��������� ��� �� � � ��� ��2 % �2

2 % 3 � �� � ����

Page 13: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

�� ����� ���� ��������� )G3

���%���� ( ��� ��� ���� � ����2

������ � � �

�2

�%

�)��6�2

��� ����

�2

:$2

2

+%:��

2

:$+�2

2

+% ��

2 $ �22 % 3

�������� ��� ���� � ��� � ��� � �� � ���� �� � ��� � � � � ���� �� �� :�3�G�

/� ���������� � � � �� :�3�G � ���� � � ���� � �� ������� 6 � ��� �2� ���� � ��� ������� ) � ��� �� � ���� ��

� ����� '�� (�� ���� � " �� � �� ������ ����2�

� % �

�����2��

�� %

�� - -- � -- - �

����2��

� �� �� � ) -

��������� ��� ������ ��2 $ �2

2 $ ��2 % *2 � �� � �� ��

���%���� ��� ���� � ����2��

� �

������2���

�������!

2

�2$���2!

2

�2$����!

2

�2% ��

2 $ �22 $ ��

2 % *2

' � � � �� *2 � ���

�2

��*!2$

22

��*!2$

�2

��*!2% 3

�� �� � �� �8��� � �� ��� � �� � ���� � � �� :�3�+�

Page 14: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

)G) ������� � ����� ���� ���������

&������� ������� � ���� ���������� �� �� �� �� �� ����� �� �����9�� ������ ��� ������ � ��� ������ 9�� ���� A�� ������ � � " �? ��?n� ������ ��

� ��f $ ���$ � � �$ �?�?! % �f�$ ���2 $ � � �$ �?�?n�

���� �� �� � � �?� � ��! � ��� ����� � ��� ��� �� ���� � �� ��� �� �����! �� �� ���� ��

�� ��!!��! % ����!

�� � ���� ���������� � � � ���� � ���� � ��� .���"����� �������� �8������ ������ ���

&� �� �� ����� ����� ������ ��� ��� ��� ��� ��� � �������������� �� � �� ����� ��J� ���� � �� ��� ���� ����� �� �� �?� ��� ���� � ����� ����� �?

X� #� ��� ����� � ���������� �

� ��f $ ���$ �2�2 $ � � �$ �?�?! % +��� $ )�2�$ � � �$ ��?�?3�!

���� ��

�� ��!!��! % + ���

����!!

I� � � ����� ��� ��� ��� �� � � ��� ���� �� ��� ��� �� ���������%��������� � 8������ ������ ��� 0������ ��� ������� ������ ��� �� ����� ��� ��

6��7��� ���

3� '����� �� ������� ��� �� �� ���������� �� � " �� � �� ��� �����

��! � ����� �2� ��!! % ���� �� �2� �2 $ ��!�&! � ����� �2� ��!! % ���� �2� �2��!

�.! � ����� �2� ��!! % ���� -� -!

�"! � ����� �2� ��!! % �3� -� -!

��! � ����� �2� ��!! % �6�� $ )�2� ��� ��2�!��! � ����� �2� ��!! % ��� �2� �� $ �2� ��!

)� '����� �� ������� ��� �� �� ���������� �� ������ � 22 ��� �����

Page 15: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

�� ����� ���� ��������� )G6

��! � ��! % �A

�&! � ��! % �$�A

�.! � ��! % �A�

�"! � ��! % �$ � ������ � � ��� ���� �� ���� �!

��! � ��! % "� ������ " � � ��� ������!� " �% -

��! � ��! % �2

�$! � ��! % ����

��! � ��! % �� � ������ � � % ��� � ��� � ���� �������!

6� '����� �� ������� ��� �� �� ���������� �� � " �2 � �2 ��� �����

��! � ��$ ��$ ��2! % ��$ ��2

�&! � ��$ ��$ ��2! % � ��.! � ��$ ��$ ��2! % )

�"! � ��$ ��$ ��2! %3

�$ ��$ ��2

��! � ��$ ��$ ��2! % �� �! $ ��$ �!�$ �� �!�2

:� '����� �� ������� ��� �� �� ���������� � �22 � �22 ��� �����

��! � ��! % �W

�.! � ��! % �$ <��&! � ��! % �W��"! � ��! % +�

D� �� ���� ������ ���������� � ��� ;��� 3� ������ �� .��� �������� � � ��� ����� �� .��� ��� ����� � � ��� ��� �� ��� �8��� �#�� ! $ ��� ! % � ����� � � !� (.���� � ?�����@ � � �� � 4������ 36 � 3+�

*� �� ���� ������ ���������� � ��� ;��� )� ������ �� .��� �������� � � ��� ����� �� .��� ��� ����� � � ��� ��� �� ��� �8��� �#�� ! $��� ! % � ����� � � !�

,� �� ���� ������ ���������� � ��� ;��� 6� ������ �� .��� �������� � � ��� ����� �� .��� ��� ����� � � ��� ��� �� ��� �8��� �#�� ! $��� ! % � ����� � � !�

Page 16: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

)G: ������� � ����� ���� ���������

G� (�� ���� ��� 9�� ���������� � � �����

+� (�� ���� ��� ���� �� ���������� � � �����

3-� (�� ���� � ������� � ������ � �����

33� (�� ���� � � �� � ���������� � � �����

3)� (�� ���� � ���� ���������� � � " �2 � �2 ������ ��

�����2

��%

�� -- �

�����2

��������� ��� � ��� ��2 $ �2

2 % 3 � ��� � ��� �2,�2 $ 2

2,�2 % 3�

36� '��� ��� ���� ����� � � ��� �� � �8���� � �2 �� � ������ ��

��! �

�����2

��%

��

3�)

3�)

3�)

3�)

��

���2

���! �

����2

�%

��� �2)�� $ 6�2

3:� (�� ���� ��� ��� � � �� ��� � � � � $ !! % � � ! $ � �!! �� ������ � �� ! % �� � ! �� ��� �� � �� ������ ��

3D� (�� ���� ��� ��� � � �� ��� � � � � $ !! % � � !$� �!! �� �� ����� ��-,.! ! % �-,.!� � !� ����� - ��� . ��� �� � �� �������� 1����" 7�;��� 3:� -� � ! % � �- ! % � �.�-,.! !�2

3*� (�� ���� �� � ���� � � � �8� ����� � '��� � � :�3�3"

��� � ���� �� ������ ������� ��� �� � �� � ����� � � ����� � � ��� ����� �� � ���� � � � ���� ���������� � � �� � �� � � �� �! � � � � �� $ �!! % �� � ! $ �� �!!�

3,� ��� � " � � � �� � ���� ���������� �� (�� ���� ����� � � ��������� � � �

3G� B����� ��� ���� � � 4����� +� ������ ��

3+� =�� �� ���� ��� ��� ���� ������ �� ������ � �� � ���� � � �����

Page 17: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

�� ������ ����� ���� ��������� )GD

)-� =�� �� ���� ��� ������� ������ �� ������ � �� � ���� � � �����

)3� ��� � " �� � �� �� ����� ��� ������ ���� � ��3� -� 3!! % �3�3� 6!��� � ��)� 3� -!! % �-� )� 3!� '����� �� � ��G� 6� )!!� 1����" �� �� �G�6�)!�� � ���� ��� ��� � � �3�-�3! ��� �)�3�-!� ��� ��� ��� ���� �� �� �2

))� F����� �� � �� � ;��� )3� ������� � ��3� )�6!! ��� � ��:�:� 3)!!�

)6� F����� �� � �� � ;��� )3� ��� ��� � ��6� -� :!! �� �� �������� ������ ������ � � ���K

):� '���� � " �2 � 22 �� ���� � � �2 ��

� ��! %

���3! ��-!��-! ��)!

&� � � ���� ���������� �K

)D� '���� � " 2� � 2� ��

����

��%�

���

����� � � �� ����� �� ) � ) ��� ���� �� (�� ���� ��� ���� � � �� ����� � � ��� � � �� �����" '���� �� � �� � ��� ��� � �� �� #�.��� �8%�����5 ���� ��� ��� ���� �� � � �!

��' � ��9 ��6������ ��� 6��72

�� ��� �� � �� ������ ����

��� ������ � (��� :�3 ��� �� ���� � � ����� ������� � ���� �8��� ����� � ��� � �8��� ��

�6f?�?f� % �6f�

��� ���� � � ��� �������� � �� ���������� � ���� ���������� � ��� ?�

� 6� �������� �� ��� ��� � ���� � ������� ���� $ �� ! % ��� $��� � ��� .���� � ��� ���� ���������� � � ��� ��� � ��� �� ����������� �8��� � �� % �� ��� ����� � ��� ���� ���������� � �

Page 18: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

)G* ������� � ����� ���� ���������

��� ��� � � ������ � �� �� �� �� % � ��� � ��� �� ��� ?���.�.�����8��� �@ ��� ������ :�3�6 � (��� :�3 ����� ����

� ����� � ����� � �� % �! $ � �������! % �

0����� ��� ���� �� �������� �� .�� ���� ��� � ���� � � ��� ��� ������ � ��� ������ � 9�� ��� � ��� ������� �� ����� ��� � �� (��� ��� �8��� � ��� �� ���� ����

�� � � ��� � ����� � �� % �! $ ����. �! % � % �� � ����� � �

� ����� �� � �� ��� � ���� � � ��� ��� � ����� � �� % �� �����

� %

���

3 ) 3 )6 3 ) )) 3 6 -3 ) : )

���%���� ( ��� � % :� � �� ��� �� ���� : ���. � � � ��� ������ ����� ��� ( ��� ���. � % �� ���. �� �� ��������� �"�

��3 ) 3 )6 3 ) )) 3 6 -3 6 : )

� �

���

3 ) 3 )- D D :- - - -- - - -

� ��� ���. � % )� �������� ��� � ���� � � ��� ��� � ����� � �� % � � )� I� �� ���� �� � � �� ��� ������ � ��.���� �� �� ��� �� ��� ���� ����� ���� ��� ���� ��� ) "�$���� �� ����"���

4����� 3 �������� �� � ������ �� �� ��"

&� � � � ���� ���������� � ��������� �� � ���� � �� ����#�� ! ��" ��� ! .�� &� ��%�" &! ��32��"%.��$ ����� ������ �� ����������� �&�%� � ������ �������������� .�� &�$����" &! ����!1��$ � ����� �

�� �� � ����� ���� ����� �� �� ������ ����!� ����������� � � � �������������� � �� � ���� � � �������� ���� �� ��� � ��� �� �� ��� ������ � ���� �������

Page 19: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

�� ������ ����� ���� ��������� )G,

����" 7���. 6��&��� �� ����� �$�&��

C ��� � ���� ���������� � � " � �� � ����� � �� % � ���� �� % �� ��� �� �� � ���� � � �� �� ?����������@ � �

7���� ���� �� ���� ��� ���� ��� ��� ���������� ������ �� ��� ������ � ��� ��������

� ����� '� B�� ��� ��� ���� �� ���������� � � " �� � ��� �������� � � ! % � ��� � % � !- � ����� � � ��� �������� ������ ��� ���3� -� -!� �-� 3� -!��-� -� 3!�� ����

� %

����2��

���� % ���� �2� ��!� (

��f�� %

�3 - -- 3 -- - 3

����2��

� %

����2��

� % �

��� ��� � � ��� �"�����! �������������� � ����������� �� ���� � ���� � ��� � � ��� ���� ���� ��� �� ��� �"�����! ����� ��

� ����� (� B�� ��� ��� ������ � ' " �� � �� ������ �� ' ���� �2� ��! %���� �2� -!� �� � �� � 4����� )�

�� %

�3 - -- 3 -- - -

����2��

� %

� ���2-

�� ��� ���� ��� ��� � � ' � ����������� �� ���� � ��� � ��� � ��

� %

�3 - -- 3 -- - -

I�� ���� ' �' ��!! % ' ��!5 �� �� % � � #� ���� ��� ������ ������������ �� �� �������� ���� ��

Page 20: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

)GG ������� � ����� ���� ���������

� ����� �� B�� ��� � ����� �� �/ " �� � �� ������ ��/��$��! % ��&� �� ��� ��� �������� ������ ��� � � % �3� ��� ����

��$ ��!- %

���

��� �� ��� �� ��

/ "

���

��

��-

�I� ��� ���� �

� %

�- 3- -

���� ����

���

�%

�- 3- -

����

�%

��-

����� �� ��� ��� � � / � ����������� �� ��� � ��� � �� � � #� ��� ����

/�/��$ ��!! % /��$ -�! % - $ -� % �

���

�� %

�- 3- -

��- 3- -

�%

�- -- -

���� ���������� � / � ����������� �� � ���� � �� �� � � ����� � �������� )� �� � ���� ����� ���� ��� ����� ��� ��� �� � � ����������� ����� � � 9���

4������ ) � : ������ � ��� ���� ���� �� ���� ��� �������� ��� � ���������� ��� ������ � ���� ����� ������ #� � ��� ���� � ������ ��������������$ ����� "����"� �� ��� &���� %��" ��� ��� "����� ��"���$��

���%���� �� �������������� 6��&��� ��� ��� � �� �� �� �� �� ���� ���� ��� � � ��� ��� � ����� �� � ���� ���������� � � " � � � ��� ���"

&� � �� % � ��� �#��#2� � � � �#?� � � ��� � �� � � ���� ��� ������ � � ������� ����� ���� � ����� � ��� ����� � �#�!� � � � � � �#?!� ��� ��� � �������

Page 21: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

�� ������ ����� ���� ��������� )G+

� ��� �� �� �� �� ��� ����� � � � ����� �� �� �������� ��� � � � � �?���� ���� % ��#� $ �2#2 $ � � � $ �?#?� ��������� � � ! % ��� �#�! $�2� �#2 $ � � � $ �?� �#?! ��� �� ��� ���� ����� ������ � � ! � ��� ����� � � ���� ��� ��� � � ��� ����� � ��� � �������� ���� � � � ! ����� �� �#�!� � � � � � �#?!��

��� ����� ��� �������� �� �� �� ��� ����������� � ����� ��� �����"

(����� � �� % ��� % �#�� � � � �#?� � �� ������ ��� � �� � ���� ������ � �� % � ��� � % �3�� � � � �36� � �� ��������� � �� � �

3� B������ � �#�!� � �#2!� � � � � � �#?!�

)� � �� ��� ��� ���� ������ �� �#�!!9 � �� �#2!!9 � � � � � �� �#6!!9 �

6� #� �� ��� ���� � � �� ����� �� ��� ���� ������ ��������� � (��� )"

� % ��� �#�!!9 �� �#2!!9 � � � �� �#?!!9 !

��� � � � ���� � � ���������� � � �� �� ����� � � �� :�)�3� #����������������� �� �� �� �A � ����� ��� ���� � � � � ��� � ����� � ��� ��������� � ��� ������ ���� �� � ����� �� ��� ��� � � ��� ����������� ������� 7���� ��� �� �� ��� ������� �� ��� ��� ������ �������� &������ �������� �� �� �� ����! � �� ���� ��� ����� ����� � � �� ��� � �� ����� )� ��� � " ��2��! � ��2�� ! �� ������ �� � ����� �2!! % ��� $)�2� �� �2!� � �� ��� ���� � � ��������� �� � ����

��! � % � % ���� �2�� ��� �������� ��� �

�&! � % � % ��3� )!� �6�3!��.! � % � % ��6�3!� �3� )!��"! � % ��3�3!� �3� 3!�� � % ��3� -!� �-�3!���! � % ��3�3!� �3� 3!�� � % ��-�3!� �3� -!�

&� ���� ����� ������� � ��6� )!! � ����� ��� �� �� �� � �

Page 22: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

)+- ������� � ����� ���� ���������

���%���� ��! � ���! % �3� 3! % 3�3� -! $ 3�-� 3! � �� ���!!9 %

�33

�� ��2! % �)�3! % )�3� -! $ �3!�-� 3! � �� ��2!!9 %

�)

3�

��� ���� � �

� %

�3 )3 3

�I� � ��6� )!! % �,� 3! ��� ��� ���� � � � � � 7��

��6� )!!4 %

�6)

��

�� �6� )!!9 %�

�6)

�%

�3 )3 3

��6)

�%

�,3

���� ����� �

,3

�� ,�3� -! $ 3�-� 3! % �,� 3!

&� �� � ����� � ��� � % � � �� ��� ���� � � ��� ����� �� � 3��� �����.��� �� /�� � ��� � % � % ��� �������� ��� �� � � ���� ��� ����"��"����� �� � �

�&! #� ��. �� � ��!"

� ��3� )!! % �D�3! % 2.�3� )! $ ��

.�6�3! � �� �3� )!!9 %

�2.��.

� ��6�3!! % �3� :! % ��.�3� )! $ � 2

.!�6�3! � �� �6�3!!9 %

���.

2.

�( �� ���� ��� ���� � � � � �� ������� � �"

� %

�2.

��.

��.

2.

��� ��� ���� � � � �� � �6� )! % �,� 3!5 � ���

��6� )!!4 %

� b

.b.e.

Page 23: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

�� ������ ����� ���� ��������� )+3

�� �� ��� ���� � � �� ����

�� �6� )!!9 %�

�b.e.

�%

�2.

��.

��.

2.

��b.e.

�%

��f.��.

� ��� ��f.��.

�� �f

.�3� )! $ ��

.�6�3! % �,� 3!

�.! ��� ���� � ��� ��� �&! � ���� ��� ���� � � ��� ���� ������������ ������ ��� ������� ��� � � ��"

� ��6�3!! % �3� :! % 2.�6�3! $ ��

.�3� )! � �� �6�3!!9 %

�2

.��.

� ��3� )!! % �D�3! % ��.�6�3! $ 2

.�3� )! � �� �3� )!!9 %

���.2.

��������� ��� ���� � � � � �� ������� � � �

� %

�2

.��.

��.

2.

I�� ���� �� � ���� � � ��� ��� ��� ��������� �� ���� � � �&! � ���� �� ���������� � ��� ��� ����� ��� �������� B����� �� � � �6� )! � ���� ��� �������

�"! &� �� � ���� � �% � � ��� �� ���� �������� ��� �� �����

� ��3�3!! % �3� )! % 3�3� -! $ �)!�-�3! � �� �3�3!!9 %

� 3)

�� ��3� 3!! % �6� -! % 6�3� -! $ -�-�3! � �� �3� 3!!9 %

�6-

���� ����� �� � 3��� �����.� �� � ��� � �

� %

� 3 6) -

I� � ������� � �6� )! � �� ����� � �6� )! % �,� 3! �� ���� � �� ��� ���� ����

��6� )!!4 %

��2D2

Page 24: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

)+) ������� � ����� ���� ���������

���

��2D2

�%

�,

3�

� ,�3� -! $ �3!�-�3! % �,� 3!

��! ��� ���� � � �� � ���� ��� ��� � ��� ������� ��� ���� � � �� � ���� �

� %

� ) -3 6

I�� ���� ��� � ������ ������� �"! ��� ��! � ���� ��� ���� � ��� ��� � � ��� ����� � ��������� �� � ������� � �� ���������� � ��� � ������������ �� ���� ��

0�� �� ���� ��� �������� �� �� ����� ��� ���� ��� ������ �� ������ ���� �� �������� �� ��� ��� � � ��� ����������� � �����

������� ��'��� �#����� � ��� �� ���������� ������ ��� � " � �� ������ � �� % � ��� � �� % �� �� � ������ ������������� ��� � %�#�� � � � �#?� ��� � % �3�� � � � �36� �� ����� �� � ��� � � ��� ������$������ ������ �� ��� ������ � ����%�� � ��� ������ ����� � ��� � � ������� � ���$ ���� �� ��$ � � � �� � !!9 %�� !4�

���� ��� � � � 7������ � � � ��� �� ����� �� ��� � �� 8�� ��� ���� � � � � �?�� �������� ���� ���� % ��#�$�2#2$ � � �$�?#?� I� � � ! % ���� �#�!!$�2�� �#2!! $ � � � $ �?�� �#?!! �� ��� ���� �� � � � �� ���� " �3 " �!�� �#&! � � � ��� ��� �� ����������� �� ��� ��� � ������� �� � "

� �#&! % ��&3� $ �2&32 $ � � �$ �6&36

���������

� � ! % ������3� $ �2�32 $ � � �$ �6�36!

$ �2���23� $ �2232 $ � � �$ �6236! $ � � �$ �?���?3� $ �2?32 $ � � �$ �6?36!

��� ����� ���� �� ����� �� ����

� � ! % ������ $ ��2�2 $ � � �$ ��?�?!3�

$ ��2��� $ �22�2 $ � � �$ �2?�?!32 $ � � �$ ��6��� $ �62�2 $ � � �$ �6?�?!36

Page 25: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

�� ������ ����� ���� ��������� )+6

��� ��J� ���� � 3�� � � � �36 � ��� ��� ������� � ��� ������ ��� ������� ������� ���

��������?

� %

����� ��2 � � � ��?�2� �22 � � � �2?� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��6� �62 � � � �6?

�������2����?

� � ��� �#�!!9 �� �#2!!9 � � � �� �#?!!9

�������� ��� � � � ���� � � � ��� ����� � �� �� ��� ��� ��� ���������� � � �#�!� � � � � � �#?!� � ��� ��� ��� ���� �� ��� ���� � � �� 8�� ���� �� � � ����� � ��� ��� ���� ������ ��� �� 8�� � � � ��� ��� ��

� ����� *� ��� � " �� � �2 �� ������ �� � ��$ ��! % ��$��,)!�2� C ���� ��� �2 ��� �������� ����� � % �3� �� ��� � % �3� �� �2�� ������� ����� �� ��� ���� � � � � �� ������� � ����� ������ ' ��� ���� �� 0 " �2 ��� ������ �� 0��$ ��$ ��2! % �$ )���

���%���� I� � �3! % �� �

�� �3!!9 %

�-3-

� .�� ��� � ��! % �2�2� �

�� ��!!9 %

�--�2

�������� ��� ���� � �A ��������� �� � �

�A %

�- -3 -- �

2

�� ��� ���������� � 0�

0�3! % -� 0��! % 3 0��2! % )�

Page 26: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

)+: ������� � ����� ���� ���������

����

�0�3!!4 %

�--

��0��!!4 %

�3-

��0��2!!4 %

�-)

���� ��� ���� � �u ��������� �� 0 �

�u %

�- 3 -- - )

�I�� ����

�u�A %

�3 -- 3

�% �2

� ���� �� ��� �� �u � ���� ��#���� � �A � 0������

�A�u %

�- - -- 3 -- - 3

� �% ��

��� �A � ��� � ��� ������ � �u� I�� ���� � � ���� ��� � ����� �� �� �� ��� ����� ������� ��� � 9��� #��� �� ��� � ����� ��� ��� ����� ����� ���� �� ��� ��� � � �� ����� � ���.� �� � � ��L����� ���u�A %��

� ����� +� ��� � " 22 � 22 �� ������ �� � ��! % ��A � C �� 22

��� �������� ��� �

� %

��3 -- -

��

�- 3- -

��

�- -3 -

��

�- -- 3

��% ���� �2� ��� �e�

��� ��� ��� ���� � �� � � �� ������� � �����%���� � ��� �� ������� ��� ����� � ��� ��� � ������"

��3 -- -

��%

�- -- -

�% -�� $ -�2 $ -�� $ -�e

��- 3- -

��%

�- 3

3 -

�% -�� $ �2 �� $ -�e

��- -3 -

��%

�- 33 -

�% -�� �2 $ �� $ -�e

��- -- 3

��%

�- -- -

�% -�� $ -�2 $ -�� $ -�e

Page 27: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

�� ������ ����� ���� ��������� )+D

���������

� %

���

- - - -- 3 3 -- 3 3 -- - - -

� ����� ,� '���� � " �2 � �

2 �� � ����� �2!! % �+��� �3 $ +!�2 ��!� ����2 ���� ��� ��� � � % ��+� -!� �-� 3!�� B������ �A �

���%����

� �+� -! % �3�+! % +�+� -! $ �+!�-� 3!� �-� 3! % �-� 3 $ +! % -�+� -! $ �3 $ +!�-� 3!

��������

�A %

�+ -

+ 3 $ +

����� �$�&�� �� ����� ��������������� ��� � ��� � �� ������������ ��� �� 0 ��� � �� ���� ���������� �� ��� � � � � #� �������� ��� ����� ��� �� �0 � 0 ��� ��� ��� 0 $ � � 0 ��� � �� �������������� �� ��� � � � �� ��� ����

��0!�1! % ��0�1!! � � ������� 1 � ��0$ � !�1! % 0�1! $ � �1! 1 � �

&� �u ��� �A ��� ��� ��������� �� ���� ��� � �� ������� � ����� � ��� � �������� ���� ���� ��u ���������� �0 ��� �u $�A ���������� 0$ � � �� ���� �� ���� �� ��� ����� � ��� � ������ :�)�3�

� ����� -� B�� ��� � �� ������ � 4����� D�� ��� ����� 0 " �2 � �2

�� 0����� �2!! % ��2� ��!� ��� �������� ���� ��� �� � ��� 0 ���

�A %

�3 )3 3

��u %

�- 33 -

�( � $ 0 � ������ ��

�� $ 0!����� �2!! % � ����� �2!! $ 0����� �2!!

% ��� $ )�2� �� �2! $ ��2� ��!

% ��� $ 6�2� )�� �2!

Page 28: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

)+* ������� � ����� ���� ���������

��� �� � ������ ��

��� !����� �2!! % ��� ����� �2!!! % ���� $ )�2� �� �2!% ���� $ )��2� ��� ��2!

��� �������� ���� � �� � $ 0 ��3 6) 3

���� ��� �������� ���� � �� �� ��

� )�� �

�' ���� ������ � ���� ����

�Anu %�A $�u

�ou % ��u

6��7��� ��'

3� �� ��� �� �� ���� � �������� �8��� �� �� % -� ��� ���. ��� � ���� � �����!� ��� ��� �� ����

� ����� � �����! $ ���. � % �� � ����� � �

��! � %

�3 ) 6: D *, G +

� �&! � %

� 3 3 )

- 3 33 - 6

�.! � %

���

3 ) 3 -: ) 6 3* ) 3 36 : : 3

)� �� ��� �� �� ���������� �� � " � � � � ��� ��� ���� � � � ����%���$ ��� ����"��" &���� �� &��� � ��� � �

��! � " �2 � �2� � ����� �2!! % �6��� )�2 D�2!

�&! � " �� � �2� � ���$�! % �6�� )�D�! �� ��� $ % �3� ��

Page 29: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

�� ������ ����� ���� ��������� )+,

�.! � " �2 � ��� � ����� �2!! % ���� �� $ �2� 6�� �2!�"! � " �2 � �� � � ���2 $ ��$ �! % ��$ � �� �2� $ % �3� �� �2�

��! � " 22 � 22� �

��� �� �

��%

�� �� �

��! � " 22 � 2�� �

��� �� �

��%

���

6� ��� � " �� � �2 �� ������ �� � ����� �2� ��!! % ��� �2 $ ��� �2 ��!� �� �

� ���� ��� �������� ��� �� ��� �� �2 ���� ��� ��� � � %��3� 3!� �3�3!��

��! � �� ��� ���� � � � � �� ������� � ����� ������

�&! B������ � ��3�3� )!! � ����� ��� �� �� �� ��� ���� � � � �

:� ��� � " �� � �� �� ������ �� � ����� �2� ��!! % ���$�2� �2$��� ��$��!� ��� �� �� ���� ��� ��� � � % ��3� 3� -!� �-� 3� 3!� �3� -� 3!��

��! � �� ��� ���� � � � � �� ������� � ���&! B������ � ��3� 3� 3!! � ����� ��� �� �� �� ��� ���� � � � �

D� ��� � " �2 � �2 �� � ���� ���������� � � �� ��� ������� � �3� 3! %�3� -! ��� � �3�3! % �-� 3!� � �� � ���� � ����������� � � � � 1����"�� ��� ��� � ��� � % ��3� 3!� �3�3!� �� � ��� ��2

*� '���� 0 " �? � �? �� 0����� �2� ��� � � � � �?!! % ��2� ��� � � � � �?� -! ��������* " �? � �? ��*����� �2� ��� � � � � �?!! % �-� ��� �2� ��� � � � � �?3�!�� �� ��� ���� ��� �� 0 ��� * � �� ������� � ��� �������� ��� ��

,� (�� ���� ��� ���� � ��������� �� ��� 9�� ���������� � � ��� 9������ � ��������� � ��� ��

G� (�� ���� � ������� � � � �� � ���������� � ��� � � � ��� �� ���� ���� � ����������� � ��������� � ��� ��� � � ��� � � �������� � � ��� � ��� �����!�

+� ��� � �� ������ �� � " �? � �?n� �� ��� ��� ���� ������

�� ��!!��! % ����!

Page 30: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

)+G ������� � ����� ���� ���������

(�� ���� ��� �������� ���� � � � ���������

- - - � � � -3 - - -

- 3� � � � � �

������

� � � � � � -- � � � - 3 -- � � � - 3

E?n2�fE?n��

3-� ��� � �� ��� ������� ������ ������ �� ��� ��� � (��� :�3� C ������� �?

X ��� ��� �������� ������ ��� � �3� �� � � � � �?�� ��� ���� ����������� ���� � � � ��

�������

- + - - - � � � -- - )+ - - � � � -- - - 6+ - � � � -���

���� � � � � �

������

���� � � � � � -

- - � � � - � � � �+

?fE?n��

33� �� ��� �� �� ���������� �� � " � �� � ��� ��� �������� ���� �� � �

��! � " �2 � �

2� � ����� �2!! % ��� $ �2� +�2!

�&! � " �� � �2� � ����� �2� ��!! % �+�2� +��� -!

�.! � " �22 � �22� � ��! % �$ +�A

��( �� � � ����� �� �� �:�

�� 7 ��

��� ������ � � ���� � ����������� � � �� � ���� ���������� � � �� ����� �� � ����9� � �� ��. �� � �� � � &� � � ���� � ��. � ����� ���� �� ��� �� ���������5 � ��� �� ���� � ���������� ( ��� � ���������� ��� � � ����� ���� ���� ��� ?� ���@ �� �� � ��� � � ��� � � � ������� �� � �������� ��� � ��� �� �� � ��� � � �� �� ��� �� 4����� 3�����

Page 31: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

�� ����� ������� ��� ������ �� �� � )++

� ����� �� (�� ���� � " �2 � �2 ������ �� � ���� �2! % ���$*�2� 6��$:�2! ��� �������� ���� � �

3 *6 :

����� ��� ����� � �� ������� � ��� ��� � � % ��)�3!� �3� 3!�� � ��� �� ���� ���� � ����������� ��

���%���� �� ��� �������� ���� � �� ����

� ��3� -!! % �3� 6! % 3�3� -! $ 6�-� 3! � �� ��3� -!!!t|_ %

�36

� ��-� 3!! % �*� :! % *�3� -! $ :�-� 3! � �� ��-� 3!!!t|_ %

�*:

���

�t|_ %

�3 *6 :

�7�� � �� ������� � � �

� ��)�3!! % �:� )! % )�)�3! $ -�3� 3! � 1� ��3� -!!29 %

� )-

� ��3� 3!! % �,� ,! % -�)�3! $ ,�3� 3! � 1� ��3� 3!!29 %

�-,

��� ��� ���� � � �� ������� � � �

� %

� ) -- ,

#� ���� ��� ���� � ������ ���� � ���� ���� ��� ��� ���� � ��.� �� �� ����� � ����� ��" ����� �� ������ ������ ��� ��� � ��� �� ����� ������ /� ��� � ���� � � ��� ����� ������ ���� � 9� � ��� ���� ���!����� �� � � ���� ��� ��� ����� #� ����� ����� � ��� � ��� � ���� ����� � ����� ��� �� ���� � � ��������� � ���������� � � � � ��� �� ������ �� ��� � � ��������� � B���� D!� �� ���� � ����� �� � ������ � ����� ���� � ����������� �� �� ��� � ��� ���� ���������� �� #������ �� �� ������ � � ��� ���� � % � � �� ��� ���� ��� � � � ��� � ��� � ���� ����� ��� ���8����� � ��� ��� ���

Page 32: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

6-- ������� � ����� ���� ���������

� � ����� ��� ���� ��� �� ������ �����E4� � ��� ���� � ��������� ��� " ����! � ����! ��� ���� �E9 � ���������� � " ���� ! � ��� � !� ��� ' ����� ����� � � ���� � ��� ��� � � � ��� � �� � ���� �� ��� � � � �

�E9 �� !9 % � !9 % '3��� !4 % '3���E4�� 4!

% '3��E4��� !4

% '3��4�''3�!� !4

% �'3��E4�' !�'3�� !4!

% �'3��E4�' !� !9

��������

�E9 �� !9 % �'3��E4�' !� !9 �� � � �

� �����E9 � % '3��E4�' � ����� �8��� �� ������ � �� � ��� � ��� ��� �

������

������� ��(��� ��� � " � � � �� � ������ ������������ ���� �������E4� ���� ��� �� � � ����� � ��� ���� ������ �E9 � ���� ��� �� � � ������ � �� ' �� ��� ��������� ������ ��� ����� � � ����� �� ����

�E9 � % '3��E4�'

��� ������� �E9 � % '3��E4�' �� �� ����� ����� � �� ����� � �����

��������� ��(��� �� �� � ���� ��� � ��� � ��� ������� � ����� �� ����� ����� �� ���� � ' ���� ���� � % '3��' �

I�� ���� ��� ���� � � � � ��� ��� �� �� � ��� ��� ���������!��������� ' � &� ��� ���� � �� ����������� � ���� ��� �� � ���� ����������� �� ' � � ����� � � ���� � ��� �� ��� � � ������� �� �� ��� ������� :�6�3�

/� ������� ����������� � ������ :�6�3 � �� ���"

��� � " � � � �� � ���� ���������� �� /�� �� ��������� ������ ��� � � ��� � � ���

� ����� '� &� 4����� 3� ����� ��� �������� ��� � �� �� &������� ������� :�6�3 �� � � �� ��� � � �� � ��� � 4����� 3�

Page 33: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

�� ����� ������� ��� ������ �� �� � 6-3

���%���� ��� �������� ���� �� �� ������ �

�E4� %

�3 *6 :

�I� ������� ��� ����� � � ���� � ��� � � �"

�)�3! % )�3� -! $ �3!�-� 3!�3� 3! % 3�3� -! $ 3�-� 3!

' %

�) 3

3 3

�� '3� %

���

��

��

2�

����

'3��E4�' % '3��3 *6 :

�' %

���

��

��

2�

��3 *6 :

��) 3

3 3

%

���

��

��

2�

�� : ,) ,

%

� ) -- ,

�%�E9 �

A�� ��� � �������� �� � ����� ���� ��� � �� ������� � � ��� � �� ��� ��� � �����

����!M ) � ) �V ) ����!M� �� '4{V�M�'V{4�������!M ) �4 ) � ) ����!��� � �� � ���� ��� ����� � � ���� � � ���� ��� ���� � �� �� ���������� ��� ���� �� ���������� �� ��� ���� � '�{� �� ����� ��� ����� � � ���� ���� � � �� I�� ����

�E9 � %'9 {4�E4� '4{9

� � ��** |�i t@4i

��� �������� ���� '9 {4 % �'4{9 !3�

� ��� � ��� ��� ����� � ������ :�6�3� �� � ���� ��� ��� ������� �� � � � �� ���� ����

Page 34: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

6-) ������� � ����� ���� ���������

������� ��(�'� ��� ������� ���������� ��������� ���������$ ��� ����� ����� ���� ��� ������� ��� �� ����� &����� � �� ������� � ��

�&� �� � �� ������� � �� ���� � �� ������� � ��

�.� �� � �� ������� � � ��� � �� ������� � �� ���� � �� ������� � ��

�"� �� � �� ������� � �� ���� ���� % �����

��� �� � �� ������� � �� ���� �� � % �� ��

��� �� � �� ������� � �� ���� �6 �� ������� � �6 �� ��$ ������ ���������

�$� �� � �� ������� � �� ���� � �� ���������� �� ��� ��$ �� � �� ������������� ���� ��� �3� �� ������� � �3��

1����" ;���� �"!� ��!� ��� �$! ������ ������� ���� ���� ��� ������ ����������� ��� ����� � �� ��� ��#������ %�"�� ���������!�2

���� ��! ( ��� � % ��� % �3����� � � � �� � ��

�&! &�� � � � �� ��� ����� % '3��' � ���� '�'3� % ' �'3��' !'3� %�� ���� � % �'3�!3���'3�!� B� �� '3� �� ��� ���� �� �� ����� % �3���� ��� � � � � �� � ��

�.! &� � � � � �� � � ��� � � � � �� � �� �� ���� � % '3��' ���� % (3��(� ����� ' ��� ( ���� � ������� �� �8��� I� �� ����

� % (3���!( % (3��'3��' !( % �(3�'3�!��'(! % �'(!3���'(!

( ��� '( � ����� ��� � � � � �� � ��

�"! &� � % '3��' � ����

���� % ����'3��' !

% ����'3�!�����!����' ! % �����!����'3�!����' !

% �����!

�3

���'

�����' ! % ����

Page 35: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

�� ����� ������� ��� ������ �� �� � 6-6

��! &�� % '3��' � � ��� �� ���! % �� ���! �� ���� �� � % �� �'3��' ! %�� ��'3��!' ! % �� �' �'3��!! % �� ��

��! &� � % '3��' � ����

�2 % �'3��' !2 % �'3��' !�'3��' !

% �'3��!�''3�!��' !

% '3��2'

���� �2 � � � �� � �2 ��� ��� ��� ���� � � �� �� �������� ' �

I� �� ��� ����� �� (����� �� ��� ����� � ������� � ���� �& �� � �� � �& � �� �& % '3��&' � I� �� ��� ���� �&n� � � � ��� �&n�� 7� ��� ����� � ������� �

�& % '3��&'

I�

�&n� % �'3��&' % �'3��' !'3��&'

% '3����&'

% '3��&n�'

������� �&n� � � � �� � �&n� � �� � � �� �� �������� ' � 7� ����� �� �� � �������� �� ����� �� ��! � ������

�$! ( ��� ���� % ����� �� .�� ���� ���� �% - � ��� �� � ���� �% -��� ��� ����� ���� ��� ����

� % '3��'��3� % �'3��' !3� % '3��3��'3�!3� % '3��3�'�

;���� �"! ��� ��! ��� �������� �� ��� � � �� ���� ����3 *6 :

����

� ) -- ,

���� 4����� 3� 7�� ���� ��� ���� ����� D ��� ������ ���� 3:�

��� ����� � ������ � �� ������� �� � ��� ���� ��� ��� � � �� �������� � J���� 7�� ����� �"! ��� ��! ��� �� ���� � ��� �� � � �� ��"&� �� � �% �� � � ���� �% ����� ���� � ����� �� � � �� � ��

Page 36: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

6-: ������� � ����� ���� ���������

� ����� (� �� ��� �� �� �� �� � ���� ���� ������ �� ������� � �� � �� � ��

��! � %

�3 3) 6

�� %

�) 3) )

�&! � %

� ) * )

D 3 3: 3 6

� � %

�3 3 6- 3 )) ) D

�.! � %

�3 3- 3

�� %

�3 -- 3

����%����

��! /����� �� � % �� ������ �% ����� � � � �� � � �� � ��

�&! ( ��� �� � �% �� �� ���� � � � �� � � �� � ���� � ��

�.! &� �� � ����� ��� ������ ��� ������ ����� � � ��� � � �� ��� � � �� �� �� ����� �� ��� � ���� ��� ( ��� � ��� � ��� ���� �� �������. ��� �8��� �

� % '3��'

&� �� � � � ��� �� ���� ����

'� % �'

�� � ��� ����� ���� � -� ���

' %

�� �� �

����� ��� ��8� ��� �8��� � ��

� �� �

��3 -- 3

�%

�3 3- 3

��� �� �

��� �� ���� �

� % �$ �� - % �

� % �$ �� - % �

� % � � � % �

� % � � � % �

Page 37: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

�� ����� ������� ��� ������ �� �� � 6-D

�������� � ��� � ��� ��� ���� �� ��� � % � % - �� �� ���� �

' %

�� �- -

��� �� � � ������ �������� � � �� � � �� � �� �� ���� ���� ������ � ����� � ��� � � �� ����� ���

6��7��� ��(

&� ;���� 3 � + � ���� ���������� � � " � � � ��� ����� � ��� � ���� ����

��! � �� ��� ���� � � � � �� ������� � ���&! � �� ��� ���� � � � � �� ������� � � �� �� �� ��� ����� � � ���� ��

�.! � �� ��� ���� � � � � �� ������� � � � ������

3� � " �2 � �2� � ����� �2!! % ���� -!� % �������� ��� � � % ��3� 3!� �3�3!�

)� � " �2 � �2� � ����� �2!! % �)��� )�2!� % �������� ��� � � % ��3� 3!� �3�3!���� � � � � �� �� B����� ��� ����� � �� � ����� � �� ;��� G ���� ��� ���� ��!

6� � " �2 � �2� � ����� �2!! % ��� $ �2� )�� 6�2!� % �������� ��� � � % ��3� 3!� �3�3!�

:� � �� � ;��� 6� % ��3� 3!� �3�3!� � % ��3� 3!� �3� )!�

D� � " �2 � �2� ����� � � ���� � ������ 2,: ��� ��� ��������.�� ���� % �������� ��� � � % ��3� 3!� �3� )!�

*� � " �� � ��� � ����� �2� ��!! % ���� �� $ �2� �2 ��!� % �������� ��� � � % ��3� 3� -!� �3� 3� -!� �-� -� 3!�

,� � " �� � ��� � ����� �2� ��!! % ��� $ )�2� �� $ �2 $ ��� ��!� % �������� ��� � � % ��3� 3� -!� �-� 3� 3!� �3� -� 3!�

Page 38: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

6-* ������� � ����� ���� ���������

G� � " �� � ��� � ��$ ��! % �$ �$ �)� 6�!�� % �������� ��� � � % �3 $ �� 3 ��

+� � " 22 � 22� � ��! % �A

� % �������� ��� � � %

��3 3- -

��

�- -3 3

��

�3 -3 -

��

�3 -- 3

��

3-� (�� ���� � � � � � �� � � ��� � � ����� ��� ���� �3& � � � ��� �3& �� " % 3� )� � � �

33� ;� �� � ���� ��� � ��� � ��� � ���� &� ���� ���� ��� ���� � ��� ���� �� � � ���

��! � %

�3 -) 6

�� %

�6 36 )

�&! � %

�+ 6 ,- D *- - -

� � %

�3 ) 6: D *, G +

�.! � %

�) -3 )

�� %

�) -- )

�3)� (�� ���� � � ��� � ��� � � �� ���� ���� ���� ���. � % ���. ��

�����" >�� ��� ���� ���� � � �� ���� ��� ��������� ��� ���� �������������� ��!

36� B����� ��� ������ � ;���� 6 ��� G� &� ����� � �������� ���� ����� � � ��� ���������� �� ���� � ! � ����� ������K

3:� ��� � �� �� � � � ���� �� ��� � �� �� ��� ���� �� ����� ������ �� ��� � $� ��� �� � �� �� ��� ���� �� ����� ����� � �� ��� �� � ��� �� � � � '���� � ���������� � 0 ��� � �� �� �� � ���"0 ��.�� � � � ! � � �� ���"

3� F����� � �� � !7� ��� ��� ���� ���� � � ��

)� B������ � � !7�

6� ��� �� ��� ����� � � � �� �!!A %�� !7�

(�� ���� 0 � ������ � ����� �� � ����� ���� ��� ���� � ��������� � ���� ���������� ��

Page 39: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

�� ��������� ���� ��������� 6-,

��� �5���7� �� ������ ���� ��

� ���;�: �� ������ ����

A�� � ��� ��� ������� ������ � ��� �� �������� �� � � ���

� � ! % ! �:�:�3!

����� � " � � � � � ���� ���������� �� � � � ����� ������ ! � � ������� � � �� ����� &� � � � ��� � ��� � � % �#�� � � � �#?� ��� � � ������� � � � � �� ������� � �� ���� ��� �������� �� ���� � ����� �

�� !4 % �!!4 �:�:�)!

�� �� � ��� ���� ���������� ����� � ���� ������� ( �� ��� ������ �������� � ��� ����������� � ����� � ����� �� ���������� ��8��� �� � ��� �� �������� �� � ���� � �8��� ��� &� �� ��� 48� �:�:�)!��� ���� ������ �� ������� ��� ���������� � � � �� � ������ ���� ���� ��������

��������� ������ ��� � " � � � ��� 0 " � � �� ����� ��� � ��� ���� ����� ������� ��� ���� � � � 0 ��� � � ������ 0 � � � � ������ �� � � ��

�0 � � !� ! % 0�� � !!; ��� �� ��� � ���� � � '��� � � :�:�3 � ���� � � �� :�:�3� &� �

�� ���� � ����� ���� ��� ��� � ���� � �� 0�� �3� !! ��� � ��� ������0 � � ! � 3!� ! % �0 � �� � 3!!� !�� ����� �� ��� � " �2 � �� ��� 0 " �� � �2 �� ������ �� � ����� �2!! %���� �� $ �2� �2! ��� 0����� �2� ��!! % ��� �2� �2 ��!� B������ �0 �� !����� �2!!� (�� ���� 0 � � � � ���� ���������� �� '����� �� ����������� ���� ��� �� 0� � � ��� 0 � � � (�� ���� ��� ���� � � 0 � � � ��������� � ��� ���� � � 0 ��� ��� ���� � � � �

���%���� 7� '��� � �� �0 � � !����� �2!! % 0�� ���� �2!! % 0����� �� $�2� �2!! % ��� ��� $ �2!� ��� $ �2! �2! % ��2� ��!� I� �� ���� �2!��� ��� 2! �� �� ������ � �2� #� ���� �0 � � !����� �2! $ ��� 2!! %�0 � � !���� $ �� �2 $ 2!! % ���2 $ 2!� �� $ �!� /� �0 � � !����� �2!! $�0 � � !���� 2!! % ��2� ��! $ �2� �! % ��2 2� �� $ �!� &� � ���� ���� ���� �0 � � !������ �2!! % ��0 � � !����� �2!!5 �������� 0 � � � �����7� ��� ������ � (��� :�6 �� ���� ��� �� ��"

Page 40: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

6-G ������� � ����� ���� ���������

�� ������ ��� �� �� �� � ��9

0 �u %

�3 3 -- 3 3

� �A %

�3 -3 3- 3

0 � � �u�A %

�- 33 -

������������

�u�A %

�3 3 -- 3 3

��3 -3 3- 3

� %

�- 33 -

�%�u�A

I�� �����A�u �%�u�A � �� � ��L���� ����� �� �� ������ .��" N��� ���� � ��� � �� � ������� �� ������� ���

4����� 3 �������� ��� �� �� �������

������� ������ �� � " ����! � ���� ! ��� 0 " ��� � ! � ����! ��� ���'���� ���� �0 � � ! " ����! � ����! �� ������� �� �A � �u� ��� �u�A ��� ���������� �� ��������� �� 0� ��� 0 � � � ��� ������$� ����

�u�A %�u�A

���� �� ��� ���� ��� �� % ��� # �� ������ � � � ��� �� � ��� % ���������� 7� ��� ���� �� � 0 ��� � ���������� �0�� !��%$%#! % 0�� ��%$%#!! % 0��� �%!$%� �#!! % �0�� �%!!$%0�� �#!! % ��0�� !�%!$%�0�� !�#!����� 0 � � � ����� � ��� ���� ��� ���� � ����������� �� �� � � �� � ! % !� ��� 0�� � !! % 1� I� �!!9 % �A � !4 ��� �1!� % �u�!!9 ��������� �1!� %�u��A � !4! % ��u�A !� !4 � 7�� �� �� ����

�1!� %�u�A � !4

7� ��� �� 8������ � ���� � ����������� ��

�u�A %�u�A

��� ��� � ��� ���� � � � ���������� � � ���5 �� ��� ����� ��� ������ � � ���������� ��

Page 41: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

�� ��������� ���� ��������� 6-+

��������� ����'� ��� � " � � � �� � ���� ���������� �� ��� ����� ���! ������ � � � � ���������� � �3� " � � � �� �� ��

��3� � � !� ! % �� � � �

���

�� � �3�!� ! % �� � � �&� �3� �� ���� ��� � � ���� ��#����&���

#� ��� ���� �3� � ����� &� ����� �3�� $ !! % �3��� ��3�� !! $� ��3��!!!! % �3��� ��3�� ! $ �3��!!!! % ��3�� !��3�� ! $ �3��!!! %�3�� ! $�3��!! ��� �3����! % �3���� ��3�� !!! % �3��� ���3�� !!! %��3�� !���3�� !! % ��3�� !� A���� ������� ������ �� � ������� ��� ���� ��� � ������ :�:�)�

������� ����'� ��� � " ����! � ����! �� � ������ �������������

��� ��� � �� ��� ������ � � ���� ��� �� � �� ���� � �� ���������� ����� ��$ �� �3� ������� &������ ��� ������ �� �3� �� ���� ��� �� ������$ �3��

�&� � �� ���������� �� ��� ��$ �� #�� ! % - (���� ��� � ��.��� ! % -)�

�.� � �� ���������� �� ��� ��$ �� � � ! % � �!! �� ���� ���� % ! �� ��� �! � � � ����� ��� � �� � ��'�'�� ��������

���� ��! � ( ��� �� � �3�!� ! % � �� ����

����� � � � � ��� ���� � � �3�!� !r % � !r

&� �A3� ������ ��� ���� � �� �3�� ��� ��� �8��� � �

��A3�� !r % � !r

�� �� ����� ���� ��A3� % �� �������� �A3� %�3��

��! (����� �3� �� ���� ( ��� � ���������� � ���� ���������� � 0�����3� %�3�� % �� �� .�� ���� �0�� !� ! % ��� �� �0!� ! % ����� 0 % �3�� ��� � � ����� ���

�&! ��� � �� % � ��� � �� ��� ���� � � � �

Page 42: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

63- ������� � ����� ���� ���������

��! (����� � � ����� �� ��� #�� ! ) -� ���� � ��� #�� !$ ���.� % �� ���. � �� �������� ���. � � ��� �3� ��� �� �� ��� ������� �� � � ��� � �3� �� ���� �3� ���� �� ����

��! &� #�� ! % -� ����

#�� ! $��� ! % �

�� ���� ��� ! % ���. � % �� ���� ���. � % � ��� � �� ���� F���� ���� � ��! ��� �� ��� ���� �3� ���� �� ���

�.! ��! (����� � � ����� �� ��� ����� �� �� � ��� !� � � � �� � �% !� ��� � � �! % � �!�!� ���� � !� �% � ��� � � � !�! % �� 7�� ����� ��.��� ! �% -� ���� �� #�� ! �% -� �� �� ������ ��� �&!�

��! (����� � � ! % � �!! �� �� ���� % ! �� � <! � � ��� ����� � �� ����� ��� ���� �� �&! � �.��� �% -� �������� .��� ���� �� ������ � ��� ��� 1 �% �� I� � ��� .��� � � ��������� 1 � � .��� � ����� �1 �! % � �1! � ��! % �� ( �� ���� � �1! % � ��!� ��� 1 �% �� �� �������� ��� �� ������� ��

;��� ��! � ������ :�:�) ��� �� ���� �� ��� ������ �� ��� ����� � � �� � � ���������� � �� ������ � �� ��� ����� � �� � ��� ��������� ������ �� �� � � � ������� � � ��� � ��� ��� �� ��������� �� ���� �������� ���� ��� � � ��" � % '3��' � I� � ��� ���� % ����� ���� � � � ����� �� � ��� �� � ���� � � � ����� ��� ( � �� ��������� �� ���� � � ����� ��� � ����

� ����� '� '���� � " �� � �� �� � � ! % � ����� �2� ��!! % ���� ��2� ��� ���� ��2 ���!� �� � ���������� � ���� ���� �2� ��! � ��� �� �!������� �2� ��!� ��� ���� ������ � ��� ���� ����� ��� �� �! � �� � (�� ����� � �� ����� ��� ������� ��� �� ���� �� ����� ������ �� � ����� ��� �� ���� ������ � �� � .��� ����� ��� �� �!�

���%���� #� � ��� � ���� � � ��������� �� � ��� ��� ���� �3�

��� �� �� ��� ( ��� ����� � �� � ��������� �� � � �� ��� �� ��� ��� ������������ �� ���� � � ������ �� ����� � ��� #� ��� ��� �������� ���� �� ��� � � ��� ��� � ������� #� ����

� �3� -� -! % �-� ���!� �-� 3� -! % ��� -� �!� �-� -� 3! % ����� -!

4Sure1 45 ri Vhf1 716 vkrzv wkdw udqn W lv gh�qhg dv udqn PW 1

Page 43: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

�� ��������� ���� ��������� 633

� ��� ���� � �

� %

� - � �

� - �� � -

I�� ���� � � ��� ������� �� I� ���� % ��� ��� % -� � �3� ����� �� ��� �������� � � �� ����� ���

� ����� (� �(���� ��� � ���! &��� �� � ���� � ���� � ��� ������� �������� �� � ���� ��� ��� � �� � � �� :�:�)�� (����� ��� ����� ���� ����� � ��� � ��� " �� �� �" � ���!� ���� ��� �� ��� � ��� ���� � � �� ������ ����� ��� ��� � �� � �� � . .� � ���������� �� � ��� � � ������ �� ���� � ������ &� � �� :�:�)&� ��� ������ ��� ����� � ������� � ��� ���� �� ��%���$ ���� ��� ����� �� � ������ ��������������$� ��� � ���� � ��������� �� $ ��� ��� ���� $ � ����� ��� �&����� � �� � ��������" � ?���@ ��� ������ �� ��� ���� ��� ��� �� ���� ���. � �� � � �� �� � ��!

���%���� /� ������ ������ ��� ��� � �� �� �� �� ��� �� ���� � ������������ �� � ���� � ���� ���������� � � ������ ��� �� �� ��� � � ��� ��������� ( ��� � % ��3� -!� �-� 3!� � � ��� � �� �2� ��� ��� �� � $ � �3�-!��� �-�3! ��� �� ����"

$��3� -!! % �3� -! % 3�3� -! $ -�-� 3!

$��-� 3!! % �"� 3! % "�3� -! $ 3�-� 3!

�������� ��� ���� � � � $ � �� ������� � � �

� %

�3 "- 3

N��� � � � ����� ��5 �������� �� ������ :�:�)�� $ � ����� ��� I������

�3� %

�3 "- 3

��� �� ���������� ����� � �� ��� ����� ���� � ��� ���� �� �� " �� �� ���� � ���� �� �� ����� " �� �� � ��� ���� �� �� � ������ ��.�� �����" ���� �� �� ��� ����� ���� � ��� � ���� � ��� ��� � � ��� ��� ��� ����� �������

Page 44: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

63) ������� � ����� ���� ���������

� ����� �� B�� ��� � �8���� �� ���� � � �� :�:�6� ��� * �� � ���������.� �� ���� � ���� � � +-�� (��� �� �� ���� ���� ���� ��� ������� ����� ��� �� � * � �� ��� ���� �� ���������� ��

���%���� #� ��� ��� �������� ���� � � * ��� ������� �� ����� �����( ��� *�3� -! % �-� 3! % -�3� -! $ 3�-� 3! ��� *�-� 3! % �3� -! % 3�3� -! $-�-� 3!� ��� �������� ���� � �

� %

�- 33 -

�I�

�2 %

� 3 -- 3

���� �e %�2�2 % �

�������!��$ ����� ��������������� #� ���� ���� ���� � � ���� � � � ����� �� ��� � ���� � � � � � �� � �� ���� � � ����� �� ��� ���� �� ����� � �� � ��������� ����� � � �� ��� /� � ����� � ������ :�)�)�� ����� ���� � ���� ���������� � � � ����� �� � ��� ���� � ����������� � �� � �� ����� �� ���� �� 7������ ���� ������ �� � ���� ��� ��� �������������� � � �� ��� �� ��.� ��� �� �� ���� � ��

��������� ����(� ��� � �� � ������� � ���� ��� �� �� � ��������� ������ � �� ��� #� ���� �� � ���� ���������� � � " � � � �� ��� �� �������� � � ��� ��� � ��� ���� � ��������� �� � ��� ������� � �� ����� )� (�� ���� ��� ������� � ��������� � ��������� ����� � �� �� ���

���%���� ��� � �� �������� ����� �� �2 % �!� ��� �� � �� � � �� �� " � % '3��' � I� �2 % �'3��' !�'3��' ! % '3����' % '3��2' %'3��' % �� �������� � � ���������

� ����� *� (�� ���� ��� ���� ���������� � � " �� � �� � ������ �� ����� �2� ��!! % ���� -� ��! � ���������

���%���� 7� 4����� D� ��������� � ��������� ����� � � �� ��� / ������ � � � � ��� � ���� � ����������� � � � �� �� � �� ������������ �� #� . �� ��� �������� ���� �� �� �� � ��� ��� � ������� &� �

� %

�3 - -- - -- - 3

Page 45: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

�� ��������� ���� ��������� 636

I� �2 %� � � � � ���������

/����� ������� ��������� ����� � � �� �� � � �������

� ����� +� (�� ���� � ������ � ��������� ����� � � �� ��� ���� ������� ��� ����2����� ���� ���������� � � " �e � �e ������ �� � ���� �2� ��� �e!% ��2� ��� �e� -! � � � ����� ���������� ��

���%���� ��� � �� � ����� � ������� "� � ���� �& % -� &� � � � � ��� �� ���� �& % '3��&' �� ������ :�6�)�� ���� �& % '3�-' % -� ���� � � ����� � ������� "� ��� �������� ���� � �� � �

� %

���- 3 - -- - 3 -- - - 3- - - -

��� ����� � � ���

�2 %

���- - 3 -- - - 3- - - -- - - -

� �� %

���- - - 3- - - -- - - -- - - -

� �e % -

�������� � � � ����� � ������� :� ( ��� ������� �� ��� ��� �� �� ������ ��� 9�� ������ I�� ���� � � �� ����� �� ������� � � �� ����� ��� ��� �� ����� � �� ��.�� ����� ������� ���� �� �� �� ���� ���� ��� ��� ��� ������ � ��� ��� ���� ��������

����� �8%������ =�������> /� �� �� � �� ��� ��� �� �� � �� � ���� ����� ����� � �� ��

0� ! % !

�� � � � � ��� ��� ���� ���������� � 0 " � � � ��� ! � � � �� ������ 9�� � � ��� ���� ��� � ����� � ���� ������� #��� � ��� ���� ���� ��� ��� ����� ������� � ��� ���� ��� � ����� � �� �� ���� �8��� �� ��� � ��� � � ��� ���� � � ��� � ���� � ��������� �� 0 � ����� &� �� � ���� ��� �8��� � 0� ! % ! � �� 8��� ����� � ����� � �u � ����� ��� #��� �u � �� ����� ��� � ��.��0! �% - ������ ������ ��� � � � ��� ��� �$ � ����� � � � ���� ���� ��� �� 0� ! % ! ��� � � � ��� � � ��� ���� ���� �������� �����

Page 46: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

63: ������� � ����� ���� ���������

0� ! % �� �(�� ������ 3�D�D�! � ������� �� �� ��� ��� 0 " �2 � �2������ 0 � � ����� �� �� #� � �� � ��� 0��! % � ��� �������� ���� ��� 0 �

� %

�- 3 -- - )- - -

��� ���� � � �� ����� ��� � �� ����� ������ � �� 8�� ��� �� ���

� !4%

����

����

���!4%

����

��� ���� � ��� � � ��� �� � � % -� #��� � �% -� � �� � ��� ����� �0� I� ���� � % -� � � ��� ����� � 0� ��� �� �� ��� ���� � �8��� �

���!4% � !

4

�� ���

��!4%

� "��,)

����� " � ��� ������ ���� �� ���! % "$ ��$ ��2,)� ����� ��� ������� " ���� ����� ��������� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ����� ?������� � �������� �@K!� I�� ���� -��! % �� $ ��2,) � � ���� ���� ��� � � 0��! % ���� 4��! % " � ��� ��� ������ ��� � � 0��! % �� ���� ��� ��������� �� �� �� �� ��� �� ���� � �� � 8������ � �� % -!� � � ��� ���-$ 4� ����� 4 � � ��� .���� � 0�

�� � ���� ���� � ����� ��� ���

�$ � $ 5 % 3

)�$ 5 % )� $ � )5 % 6 )� $ 65 % :

Page 47: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

�� ��������� ���� ��������� 63D

��� �8��� �� ��� �8� ����� ����

3 - 3 ) 6- 3 ) 6 :- - - - -- - - - -

���� ��� ��� � �� ��� ��� � �� �� 8��� / ���� ���� ��� � � ��� ����� ���� �� � % 3 ��� 5 % 3� �� �� ���� � % 6 ��� � % )� �. �� ����� ���� ���� �������� �������

��3 - 3 ) -- 3 ) 6 -- - - - -- - - - -

�� ��� � ��� �

� %

���)% �)� 6%�%

���� ��� ��� ������ ��� � �

�$ � %

���

)633

�$

���)% �)� 6%�%

��� ������ �� ������� ������� ��� �� �� ������� �� �� � ������� ���� ����

������� ����(� ��� � �� � ���� � �� ���� � �� � 3� ��� ������ ��������� �%�����

0� ! % !

����� 0 " � � � �� ������� � ������� 0! � 3� ��� ! �� �� � � �� ! �� ����� ����� � 0� ���� ������ ��� ��� �%����� ��� � ���%�� ������ � ��� ����%����� ��� �� ��*���� ������ � ������� ���� ��� � ��� ��� �$ ������� � �� ��� ������� ������ � 0� ! % � ��� - �� ��$ �������� ������� 0� ! % !� �� ! �� �� �� ��� ����� � 0� ���� ��� �%����� ��� � �������

Page 48: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

63* ������� � ����� ���� ���������

� ��� �� �� ��� ��� � ���� �� �� ��� �� �� � ��� ��� ��" ������� ��� ��� 0� ! % ! ���� ! � �� � ��� ����� � 0" ������ :�:�6 ��� ������ � ��� � � ��� ���� ����� ����� �� �������� ��� � �� ���� ��������� �� ������ � � � �� ��� �� � ����� O �� ����� ����� ���%���� �

�0�O ! !�2 �0� ! !�2 �� � � �

B�� ���� ��� ����� � �� ��

�� $ �2 % )

�� $ �2 % 3

�� �� ��� � ��� �� '��� �� 0 " 2� � 2� ��

0

�����2

��%

�3 33 3

�����2

��� ��� ���� �

)3

���� � �������� � �� � ��� �8��� ��� � �� � ��� ����� � 0� >� �� ����������� ���� ������ � 2�� �� ��������0

�����2

���)3

�����2 % ��� $ �2 )!2 $ ��� $ �2 3!2

N����� � ������ ��� ���� �� � ��� ������� � � � � � 9�� � ��$�2 %�

25

�� � ��� �� � �� � �� 8�� ����� ���� ��� �� A�� ��� � �� � �� ������ � � ��8� �� ���� ��� ����� ���� ��� � �� � �����%� ����� � �� � ����� ��� �� ����� � ��� � � �!� # �� �� � ��8� ������ �� ��� �O� %

��

e� �e

����� � �� :�:�:!� � �� �� � � ��� ��� ��� �� ���� � ���

������� � $�������1�" ��#����� ��" ��$%����1������ �� �� ��� ��������������� ��� ��� � ����� ���� �� ��$������� ��" ��� �����26������6��%"���#����� �� /�4� /���� �/����� � ;����� I�� P�.� 3+,)!�

6��7��� ���

&� ;���� 3 � *� � ���� ���������� � ��� � ������� � ������ �� �� � ��� �� ���������! ��� � ���� '����� �� ������� ��� � ��� ���������� � ������ � ��� ��������

Page 49: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

�� ��������� ���� ��������� 63,

3� � " �� � ��� � ����� �2� ��!! % ���� �2� -!5 ����� � ��� ���������

)� � " �2 � �2� � ���2 $ ��$ �! % )��$ �5 ����� � ��� � ������

6� � " 22 � 22� � ��! % �A 5 ����� � ��� ���������

:� � " �2 � �2� � � ���� � �� 3G-�5 ����� � ��

D� � " �� � ��� � ����� �2� ��!! % ���� �� $ �2� �� $ �2 $ ��!5 ����� � ���� ������

*� � " �� � ��� � ��$ ��! % �$ ��5 ����� � ��� ���������

,� B�� ��� �� �8� ����� �� ���� � �� ������ �� ���* �� � ��������.�� �� ���� � ���� � � 3)-�� (�� ���� ����� ������� �� ��� ��� ��� * � �� ��� ���� �� ���������� �� �>�� ���� ����!

G� ��� � �� � ��������.� �� ���� � ���� � � ):-�� (�� ����� � � � � % ��

+� B�� ��� � " �? � �

? ������ ��

� ����� �2� � � � � �?!! % �-� ��� �2� � � � � �?3�!

�� � ���� � ��$�� ������! &� � ����� ��K &� � � �����K &� � ��������K

3-� B�� ��� � " �? � �? ������ ��

� ����� �2� � � � � �?!! % ��2� ��� � � � � �?� ��!

&� � ����� ��K &� � � �����K &� � ��������K

33� &� � � �� ������ ���� � ��2 % �! ��� � � � � �� � �� � � ������K

3)� &� � � �� ������ ���� � ��� � � � � �� � �� � � ������K

36� &� � � � ������� � ���� �� ' � ������� ��� � % ' A�' � � �������� �K

3:� ��� �� ��� ���� � ���� � �?f? � � ���� 9��� � � � � � �� � �� ���� ���� � /� &� � � � � �� � �� � � � � �� � � � �������� �K

Page 50: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

63G ������� � ����� ���� ���������

3D� ��� 0 �� �� ����� �� ���� ������ ��� � � � � ��� �� � %�#��#2� � � � �#&� �� � ����� ���������� ��� � � � (�� ���� ������ �0�#�!� 0�#2!� � � � � 0�#&!� � ����� ���������� � ��� ����� � 0�

��) � �??� ��5����

�� � ��� ��� ������� ���� ���������� �� � ��� �� �������� ����� � ����� �� � ��� ���� �� ������� �� �� �� ��� ���� �� � ���������� ��� �� ����2

������! $ ��!! %

�����! $

�� ��!

�������!! % �

�����!� K

@

1���! $ ��!2 �� %

� K

@

���!��$

� K

@

��! ��� K

@

����! �� % �

� K

@

���! ��

��� ���� ��� ��� ����� �� ������ �� ��� ��� ��� ��� �������� ��������� ��� ���� ���������� � ���� ��� &� ����� � �� ����� � ����� �� � ��/� ��� ���� �� ���� ���� ��� ����

/�� $ ! % /��! $/� ! ��� /���! % �/��!

� ����� �� ��� / �� ��� ���������� � � � ����� �� �� (�� ����/ " �� � �� � �� ����� ��� C �� �� ��� �������� ��� � � % �3� �� �2� ����� �� ��� ���� � � / � �� ������� � �� (�� ���� / � � ������

���%���� � ��� ���� / � �� ����� ��� �� ��� ���� � ��.��/! �% -�I� .��/ � ��� ��� � ���� �� � �� �� ��/��! % - ���� 9�� ����� �!����� �� ��� .���� � ��� ��� � � ���� �� �� �� ���� ��� ��� �� 9������ ������ �� .�� ���� �� � � ��� ��� � ������� ����� ��� ����.�� % / % ���� 3� ��� #�/! % 3� �������� / � �� ����� ��� � ��� ���

5Zklfk/ ri frxuvh/ frph iurp wkhruhpv lq zklfk i dqg j pxvw vdwlvi| fhuwdlq frqglwlrqv1

Page 51: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

�� ����� ���� ���� 63+

���� �� �� �������

/���! % 6�2 % -�� $ 6�2 $ -�$ -

/��2! % )� % -�� $ -�2 $ )�$ -

/��! % 3 % -�� $ -�2 $ -�$ 3

/�3! % - % -�� $ -�2 $ -�$ -

� ���

� %

���- - - -6 - - -- ) - -- - 3 -

I� �� ����� � �� ����� ��� �� �� ��� ������ � ��� / � �� ����� ���I� � ��� �e % -� ���� � � � � ����� ��� ���� / � � ����� � ����:� �� � � ���� � ���� ������ ��� � ��� �� ���� � �� � ����� ��� � ��� �: � ��� � ���� �� ��� � ��� 9�� ����� ��

(�� ������ �������� ��� ����� � ��� ��������� ?/ � �� ������ ��@ ������� ?4������ .��� ������� � ��� � ����� �� � ��� ���� ���� �� ����� ���@ #� ���� �� ������ � ��� ��� ������ � ��� � ����� �� � ����� ��� ��� � � � �� ��� ����� �������� &� �� �� � ����� ��� �� ����� �� �� ����� �� ������� ��)�! % �� $ �� ����� � � �� ��� ������������� &� � ���� � �� �� ������ � /� �� ��� ���� ��/��2!! % �25������� ��/��2!! % ��)�! % �2 $ �� �� �� � �8�� � �2 �� � � % -� ( � ������ ��/ �% �" ��������� � ��� / ��� �� �������� ��� ���� ����������� ������� ���� �� ��� ����� ������ ��� � ����� �� � �� ��� ������� � ����� �� ��

� ����� '� ��� � �� ��� �������� � �� ������ �� � % ����! � �����-! %-�� (�� ���� � �� % 6� (�� ���� ��� ����� � / � �� ��� � ����� ����� � � �2� '���� �f " �2 � � �� ��� � ����� �� � � �� ��� ����� �������9��� (�� ���� ��f �/!��! % � % ���! �� ��� � � ���

���%���� / ������ ��� � �� � � � % ��� �2� ��� � ��� ��� ��� � -��! %��� $ ��2 $ ��$ � ��� ��� ������� -�-! % - � ��� �� � � % -� ��������� �� % 6� I� �� ������� ��� ����� � /� ��� ����� � / � ������� ��

Page 52: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

6)- ������� � ����� ���� ���������

��� ����� ����� / � ��� ��� � ������ �� � 5 �� ����

/��! % 3

/��2! % )�

/���! % 6�2

� ���� �����/ % ���� �3� )�� 6�2�� ��� ����� �/ � � ���� ��� ��� ��� 3� )�� ��� 6�2 �� �� � �2� � ��� ���� �f � / % �� �� ������� ������� ��� �� �f ��� /� �� �� ��� ������ ����� �� � ��� �2� #� ���

/��! % 3 $ -�$ -�2

/��2! % - $ )�$ -�2

/���! % - $ -�$ 6�2

���

�f�3! % 3�$ -�2 $ -��

�f��! % -�$ �

2�2 $ -��

�f��2! % -�$ -�2 $ �

���

��������

�( %

�3 - -- ) -- - 6

� ��f

%

� 3 - -

- �

2-

- - �

� ��f

�( % �

/� �� ��� ���� �(��f% �� � ���� / � � % �� &� �� � ������ �� ����

����� ��� ��� ����� ������� � ��� � ����� �� � � �� 9���

4����� ) ���� ���� ������ �� �� �� ���� � ? �����@ � ����� �� ���� ���� ��� ��� � �� � ��� ��� � � /� &� 4����� ) ��� ��� � ���� ��-! % -� &� ������� ���� ��� � �� ��� �� ���� ������� .��"������5���� �� �� � ������ � ��� ���� � �������� �� .��� �� "�@���������8%������� &� ��� �����.� ��� �� �� � � � ����� � �8��� � � ��������� � �� ����$�����$ ��� �8��� �� �� � ���� ��� ���� �� �������� ��� ������ ���� � �� ���� ���� �����

� ����� (� (�� ���� ��� ���������� � � ������ � �1-� 32 ��

����!!��! �� %

%f

��&! �& �� � � � 1-� 32

� �����

Page 53: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

�� ����� ���� ���� 6)3

���%���� ��� � ��� �� ����� �� � �1-� 32� #� ����

���� $ !!��! �� %

%f

1��&! $ �&!2 �&

%

� %

%f

��&! �&$

� %

%f

�&! �&

% ����!!��! $ ��� !!��!

���

�����!!��! �� %

%f

���&! �&

% �

� %

%f

��&! �&

% �����!!��!

��� � � ����� I� �� ���� ����!!��f! % - �� � � �

��� ���������� ������ � ������ ��� �� ������ � �� � ���"

&� � ���! � ��� ���� � 1-�32� ���� �� � ���� �f � 1-� 32 ��� ���� � 1-� 32� � %

%f

� ��&! �& % ���! ���f!

>� �� �� ���� � � / ��� �� �� ��� ���� ��� ��� �8��� � �

��/��!!��! % ���! ���f!

�������� � � ��� ������ � / � ��� �� � ���f! % -� /�� � �� ��� ������� ��� � � � ��������� ����� � �� � � ����� �� ��

� ������� �� � ��� � ��� �� ��� ��� � � ��� � ����� � �8��� �"� �� � ����� � ��!� � ����!� �� �� ��� ����

���! % ��! � � �

I� �� .�� ���� ��! ����� � � ��� ��� ��! % ��% ��� ���� �� ��8��� �� ( ��� � � ��� ������ �� ���� �� %��8%��! ���#�" ��� ������� 0������ � �� ��8� �� ������� � ��� � � ���� �� �-! % 6� �� ���

Page 54: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

6)) ������� � ����� ���� ���������

��! % 6�% �� ��� ��� ��� � � ��� ������ >� 8�� ���� �� � � � �������� � �8��� � ��� ����� � �� � ��� � ����� �� � ������ ��� �������������

� ���� ���������� �� �� �� � ���������� ��� ������ ��� F��� ������� ���" ��� � " �� � � � �� 5 % ���� � �!� #� ����

����� �!��� � �! %

�6�

6���� � �!�

6�

6��� � �!�

6�

6���� � �!

���� ��� ������ ��

���� �� $ ! % ���� � $ ����

���� ���! % ������ �!

��� �� ���� � ���� �������� ��� ���� ��� ����� � � � ���� ����������� � ��� ��� ����� � � ��������� ����� �� � ����� ��� ���� � ����� ���� ��� ��� ��� � ��� ����� ����� � ������ �� ��� � ��� ��������� �� � ����� ��� �����

��� A�.�&��� � ������ ���� ������ �� �� � ���� �� � ���������� ��� ������� &� � ��������� �� � ���� �� &� � � � ����� � ��������

���� ! % � ��� !� 4��� !!

���� ��� Q��� �� � � � ��� ���� � � ����� ��

7��� ! %

��6 ��� !

6�

6 ��� !

664��� !

6�

64��� !

6

/� ���� � �� ��f� f!� 7��f� f! � � ���� ) � ) ���� �� &� 7��f� f! � �� ����� �� ���� �� ���� � � ����� �� � ��� �� ������ � ��f� f!� &� �� ���� ��� �� ����� � �� � � ��������� ����� � � � ���� �� �� ������ � ����� ����� � �� � �� ���� ���� ������ ���������� � ���������� �� ���Q��� ��!�

� ����� �� B�� ��� ��� �� ���� ���������� � � " �2 � �2 �������� ���� ! % �� �� � � � � !� � �� ��� Q��� �� � �� #���� � � ��� ����� ��K

6Wklv lv suryhg lq gl�huhqwldo htxdwlrqv frxuvhv1

Page 55: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

�� ����� ���� ���� 6)6

���%����

7��� ! %

��6�� �� !

6�

6�� �� !

66��� � !

6�

6�� � � !

6

%

��� � � � � � � ��

��� � ���� � � ����� �� � ��� �� �

���7��� ! �% -

���� �� ����2 $ � �2 ! % � �% -� �������� �� ��� � � ��.���! ��#����&�� � � �� ������ � ��� � �� ��f� f! � �� �f �% -�

����� ������� ������� ��� ���� ���� ��� ����� �� � � ����� �� ���� ������� � ��� ��� ����� � ���� ���� ���������� �� � ��� ���������� ���

6��7��� ��)

3� ��� � �� ��� ��� � � ����� �� ���! �� �� �� �%<@ ���! �� ���� (������ � � � �� ��� ���� ���� � �� � ��� � � ��� ����� ��� � ��� ��� ����� ��� � � ����� ������ 0� ��� ��� ����� ����� ��������������� � ��� ���� �� � ��� ���������� � 0@ " � � � ������ ��0@��! % �%<@ ���!K

)� ��� � �� � ���� ����� � � �1-� 22� '���� 0s " �1-� 22 � � ��0s � ! %

� Z

f���! ��! ��� (�� ���� 0s � � ���� �������

6� B�� ��� ��� ���� ������ � ;��� )� ��� .���� � 0s � ��� ���� � ����� �� ������ � � 1����� ��� �� ������ � �� ! %� Z

f���! ��! ��2� (�� ���� � ���! % � ��� ���� ��! % � ���� � �% 3� �

� �� � �� ������� � � .��0s �

:� ��� ���� ! % ��2� 2! �� � �� ���� ������ ���� �� �2 �� �2� >����� Q��� �� � ������ �� ��� �� ����� � �� � ��

D� (�� ���� /2 " �� � �� ������ �� /2�-��!! % -����! � � �������������� �� � �� ��� �������� ���� � �/2� (�� ���� �� � ���� � � ��� �8���� � ��� ���� � �� / ���� � 4����� 3�

Page 56: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

6): ������� � ����� ���� ���������

*� ��� � �� ��� ��� � � ����� �� � " � � � � �� N����� � ��� ����������� � ��� ����� � �� � �� ���

���! % �f $ ���$ �2�2 $ � � �$ �?�? $ � � �

��! % �f $ ���$ �2�2 $ � � �$ �?�? $ � � �

��� �����

�� $ !��! % ��f $ �f! $ ��� $ ��!�$ ��2 $ �2!�2 $ � � �$ ��? $ �?!�

? $ � � ����!��! % ��f $ ����$ ��2�

2 $ � � �$ ��?�? $ � � �(�� ���� � � �� ����� ����� �� � � ����� ����� ����� ����������� ��������� ���� ��� ��!�

,� B�� ��� ��� ����� ����� � ��� ;��� *� ��� ������ �� .�� ���� � � � � � ��� � � � ����� ��� � � ����

� ���! % �� $ )�2�$ 6���2 $ � � �$ ��?�?3� $ � � �

�������� / " � � � � #��� ��� �� �� ������ ������ � /K

G� F����� �� ;��� ,� ��� �� �� � ��� ��� ��� ��� ? ��� �� ���� �@

� %

��������������

- 3 - - � � � � � � � � � � � � � � � � �- - ) - � � � � � � � � � � � � � � � � �- - - 6 � � � � � � � � � � � � � � � � �- - - - � � � � � � � � � � � � � � � � ����

������

���� � �

������

������ � -

������

������ - -

� � � � � ����

������

������ � � �

� �� ��� ���� � � /� 1����" #��� ��� �� � �� �� �� �� �?��� �@ � � K2

+� F��� ���� �� � " �� � �� ��� ��� � � ��� �� ������� ���� ���� � �! % ����� � �!� �2��� � �!� ����� � �!!� ��

��� � % ?���@

���

� 0 46

6�

6

6

6

6��� �2 ��

Page 57: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

�� ����� ���� ���� 6)D

(�� ���� ��� � � ���� ���������� � ��� ��� ����� � �������� ��� � ��� ����� � ����� ��� ����� �� � ����� ��� ���� � �������� � ������ �� ��� � ��� ���� ����� �� � ����� ��� �����

3-� �� � ����� � � " �� � �� � ��� ��

���� � �! % ������ � �!� �2��� � �!� ����� � �!!

��� � �������� � � � ������ ��

� � � %6��6�

$6�26

$6��6�

(�� ���� � � � � ���� ���������� � ��� ��� ����� � �������� ��� � ��� ����� � ����� ��� ����� �� � ����� ��� ���� � �������� � ��������� ��� ���� ����� �� � ����� ��� �����

33� ��� � �� ��� ����� � � ��������� ����� �� � " 1-� 32 � �� ���� �� ��� �������� ����� �� � ��� � � ��� ����� ��� � ��� ��

��! (�� ���� � " � � � ������ ��

� ��!��! % ����! �� � � � 1-� 32

� �����

�&! (�� ���� ������ ��

��! %

�3 � % -- � �% -

� � .��� �

�.! &� � ����� ��K

3)� ��� � % �1-� 32� ��� ����� � �� � ;��� 33�� &� � ����� �� � �� �� ���� �K �B���. ��� .�����!

�?�� �;

����� ���������������� ������ � ��� �� �������� ��� ���� ������ ������� ����9�� �� ��� ��� �� ��� 4����� ��" ���$� � ��� ���������� ��� �� �� ��� ����� �����������$ ��� ��������������� � ��� ���

Page 58: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

6)* ������� � ����� ���� ���������

���� � ��������� �� � ���������� � � ��� ����" &���. ���&��� �� ��������$�&���

����� ��������������� ��� � ����� ����� � ���� .�� &� .�����2��" � � ���� �� ��� ������� ����� � ������ �� � ���� ��� ��� ���� �������� � � �� �� � ����� � ��� � ������� ��� ��������� ��� �����! ������ �����������$ �����.�� �� � �������������� ���� ����! �� ����!��� �������� ��� � � �� �� �������� ' � ����� ����� � � ��� � ����� � ����� �� �� ������ � B���� 6�

0�� �� ��� ���� � ���� � ������� ���� ���������� ��� ��� ����������� � �� ������ ��� �� ��� ����� � ���.� �� �������� ������������� � ���� ������" ��� � ��������� �������� ����� ��� ��� � ����� 9�� � ������ &� B���� D� ������ ������ �������� ������� � ��������� �8��� ��� ����� ������� ������ � ���� �� ���� ����������� ���� ������������ � � �� ��� ��� ������ �� ��� � ���� � ��� ����� �������� ���� ��� ������ ��� ��� ���� ��� �������� � �� ��� ��� �������� ��� ������� ������ �� ��� ����� �� �������

����� 6��7���

3� '���� � " ?? � ?? �� � ��! % � �A � (�� ���� � � �����'���� �� ��� .���� � � �

)� '���� 0 " ?? � ?? �� 0��! % � $ �A � (�� ���� 0 � �����'���� �� ��� .���� � 0�

6� B����� ��� � ���� � � ��� ����� ����� � ��� ������� � ���� ������ ��� � ���� � � ��� ����� ����� � ��� ����� �� ������ ���� ����

:� ��� � �� �� � � � ����� �� ���� �� '���� � " ?? � ?? ��� ��! % �3���� &� � ����K &� � �������K

D� ��� ' �% - �� � ���� � � �� ' 2 % ' � ��� ����� � " ?? � ?? ��� ��! % '�� (�� ���� � � ����� &� � �������K

*� ��� � �� � � ��� � �� � �??� '���� � " �?� � �?� �� � ��! %�� ���� (�� ���� � � �����

,� ��� � �� � �8���� ���� �� B�� ��� ��� ���� � � % � $ �� N�� ���1� � $ �2 �� $ � � � $ �3!?�?2 �� � ����� ����� � �� &� � �

Page 59: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

�� ����� ���� ���� 6),

� ����� � ������� "� ��� �� ��� ��� � ��� ����.��� ��� �� ����� ������ �� $�!3��

G� ��� � �� � �8���� ���� � ���� ���� �? ����� � ��� 9�� ���� � �� � �������� � ���� ����� 0� ��� �� ?��������@ �� $�!3� �� �� ��� ��� ���� �� � ;��� ,K

+� '���� �� ��� ���� ���������� � 0 � � � ����� 0 ��� � ��� ���;���� 3 ��� )� &� 0 � � % � � 0K

3-� '���� 8 " ?? � ?? �� 8��! % �A � >� �� 0 ��� � ��� ;���� 3

��� )� ������� � �8 ��� 0�8 � B����� � �8 ��� 8 �� � B�����0 �8 ��� 8 � 0�

33� � ���� ���������� �� ��� �� ������ �� � ��� ���� �� ������� � ����� �� � ���� �� ���� ��� � � � � ��� ���� � �� ������� ��������� �� 9� ��� �� � � � ��� ���� �� � ������ ���

��&!�&!

�%

���9& � �9&� �9& ��9&

���ff

����� ��ff

� � ��� � � � �� � � ������ I� �� ���� ��� )� ) ���� � ��&! � ����8��� � � � ���� � ����� �� (�� ���� �� � &���&! � ����� ���(�� ���� �� � &���&! � �������

3)� ��� ���� �

� %

��������

�� �2 �� � � � �?3 �� - - � � � -- 3 �2 - � � � -- - 3 �� � � � -���

������

� � ����

- - - � � � 3 �?3� -

� ���� � � ������ �8��� �� �� ������ � �� ��� � ��� ��� �� � ������ ��5 ���� �� ������ � �� ��� ������� � �� � ���� � � ����� �������.���� ��� ���� � ���������� � ���� ���������� � ��� ��� �����

Page 60: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

6)G ������� � ����� ���� ���������

� ��� � ��� ��� �� �� �� ������� � � �� � ��� ����� ��� �& ���� ��� ������ ��� ��� �& ��� ����� ����� �� ��� "�� ��� ����.��� B������� ���� �� ��� �� ����� � �� B�� �� �������� � ����� �� ������ ��� ����� �K

36� &� ������ ��� ���� � ��� � ��������� � ������ ��� ������ � ����� �� �� � �� � ���� ��� � ��� ��� ��� ������ �� ������� ����� �� � ����� ��� ���� �� �� � �� � � ��� � ��� ������ �������������� �� � ������ � ���� �� �� � � � .��� �� ������� ��� ��������$����%� ������ ������ � ���� � � �� �� ��� ��� ��� ����� �� ����� � � ��� � ��� �� � � ��� ��� ������ � ��� � ��� ������� ��� �� � � ��� �� � % ��� ����� � � � 6� 6 ��� ���� �� (������ �� �������� ���� � ���� ��� ��� ���� � ���� ����

3:� (�� ���� � ��� ���� � �������� ���� �� ����� ���� ��� ������� � ������

3D� I����H� ����� �� �� �� ���! % - ��� �� �������� � ��� ������ �� ��

���� ! % - ��� ! % -

F��� ���� ��� ����� �� ���� �� I����H� ����� �

�?n� % �? ���?!

� ���?!

�� ��� ���� � ��� �� �8��� �� ��� �� ���� ! ��� ��� !� �� ����

��?n�?n�

� %

��??

��6���?� ?!

6�

6���?� ?!

66 ��?� ?!

6�

6 ��?� ?!

6

�3��

���?� ?! ��?� ?!

/��� �� � �

�2 $ 2 ) % -

� % -

��� ����� � �� ����

�%

�3-

Page 61: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

�� ����� ���� ���� 6)+

B����� ����� ����� � ��� ����� �� /���� ��� �� ����33

����

�33

Page 62: Chapter 4 LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR MATRICES

66- ������� � ����� ���� ���������