Upload
phungkien
View
240
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
CHAPTER 3Moment Distribution
• Objectives1. เพื่อใหเ้ขา้ใจวเิคราะห์ของโครงสร้าง Statically Indeterminate ดว้ยวธีิ Moment Distribution (MOM-DIS)
2. เพื่อใหท้ราบและเขา้ใจสมการ joint equilibrium
3. เขา้ใจพฤติกรรมของคานและเสา ท่ีมี sidesway, no sidesway
Method of Analyzing Indeterminate Structure
• Moment Distribution• Developed by Prof Hardy Cross 1930• ใชก้ารหาค่า joint moment ในคานต่อเน่ืองและโครงสร้างแขง็
• Principles and Definition• เป็นวธีิการประมาณอยา่งต่อเน่ือง โดยสมมุติฐานวา่ joint เป็น
fixed ดว้ย unlocking และ locking แต่ละ joint แลว้ moment ภายในมีการกระจายจนกวา่ joint จะหมุนตวัไปในตาํแหน่งสุดทา้ย
General Principles
• Sign Convention เหมือนกบั slope-deflection
• Fixed-End Moments (FEMS)
• Member Stiffness Factor
• Joint stiffness factorLEIK 4
Derivation of Slope-Deflection Eqs
• Moment due to angular displacement @A, θA
• เพื่อท่ีจะหา MAB จะหา disp เราจะใชว้ธีิ conjugate bm method
4
2
AB A
BA A
EIMLEIML
General Principles• Distribution Factor (DF)
• เศษส่วนของ ตา้นแรง moment ท่ีไดรั้บมาจาก ช้ินส่วนโครงสร้าง
KKDF
KK
MMDF
i
iii
General Principles• Member relative stiffness factor
• ส่วนมาก คานต่อเน่ืองกบัโครงดดัจะมาจากวสัดุเดียวกนั ทาํใหค่้า modulus มีค่าคงท่ี
• Carry-over factor
LIKR
AA 2 ; 4
LEIM
LEIM BAAB
ABBA MM 5.0
Example 1
• จงหาค่า DF
kNmwLFEM
kNmwLFEM
CB
BC
800012
)(
800012
)(
2
2
Example 1 cont’d
• เราเร่ิมจาก assume Joint B เป็น fixed หรือ locked
• FEM@B จะยดึ span BC ในตาํแหน่งท่ียดึ• เราจะตอ้ง apply ขนาด 8000 N.m ท่ีมีขนาดเท่ากนัแต่ทิศทางตรงกนัขา้ม ไปท่ี joint เพื่อให ้joint หมุดอยา่งอิสระ
Example 2
• จงหาค่า internal moment @ support
Example 2 cont’d
Stiffness-Factor Modification
• กรณีท่ีผา่น เราจะเห็นไดว้า่ MOM DIS มี fixed support ท่ีปลาย เม่ือมีการ carry over ของ moment
• ในบางกรณีเราสามารถ ปรับเปล่ียนค่า factor เพื่อให ้ขั้นตอนของวธีิ MOM DIS ไม่ซบัซอ้น
• ถา้ในกรณี ท่ีมี pin support ท่ีปลายคานเราจะไดว้า่
3AB A
EIML
Stiffness-Factor Modification
• (cont’d) member ทีมี pin support ท่ีปลายคาน เราจะได้• Stiffness factor
• Carry over factor = 0 เพราะวา่ pin support ไม่สามารถรับแรง moment ได้
• ถา้ทาํการเปล่ียนเทียบ ระหวา่ง fixed และ pin support จะเห็นได้วา่ stiffness factor จะเป็น 3/4
3EIKL
Stiffness-Factor Modification
• Symmetric BM & Loading
• BMD จะเป็นรูปสมมาตร• จะเห็นไดว้า่ internal MOM @ B, C จะมีค่าเท่ากนั• สมมุติใหค่้าเท่ากบั M บน span BC
Stiffness-Factor Modification
• Symmetric BM & Loading (cont’d)
• เราจะได ้MOM ของคร่ึงคาน สามารถหาค่า stiffness factor ได้
LEIK
LEIM
EIMLV
LLEIMLVM
B
BC
2
22
'
02
)(' - 0'
Stiffness-Factor Modification
• Symmetric BM & Asymmetric Loading
• พิจารณา BM ตามรูป เราจะได ้internal MOM @ B มีค่าเท่ากบั MOM @C แต่เคร่ืองหมายตรงขา้ม
Stiffness-Factor Modification
• Symmetric BM & Asymmetric Loading (cont’d)
• สมมุติให ้มีค่า MOM = M
LEIK
LEIM
EIMLV
LLEIMLL
EIMLV
M
B
B
C
6
66
'
0622
16
522
1)(' -
0'
Moment Distribution for Frames:No Sidesway
• ขั้นตอนทัว่ไป เหมือนกบัใน BM
Example 3 จงหา internal moment @joint, @E เป็น pinned, @D fixed
Example 3 cont’d
Moment Distribution for Frames: Sidesway• ในการหาค่า internal moment และ การเซ @joint ดว้ยวธีิ moment
distribution เราจะไดใ้ชว้ธีิ principle of superposition
• โครงสร้างดดั หรือ frame จะรับการเซดว้ยการ สร้าง joint support ข้ึนมาเพื่อนรับการแรง
• เราจะหาค่า แรงท่ีรับจาก R จาก sidesway ได้
Moment Distribution for Frames: SideswayMulti-story Frames• Multistory frameworks may have several independent joints disp• Consequently, the moment distribution analysis using the above
techniques will involve more computation• The structure shown can have 2 independent joint disp since the
sidesway of the first story is independent of any disp of the second story
Moment Distribution for Frames: SideswayMulti-story Frames• These disp are not known initially• The analysis must proceed on the basis of superposition• 2 restraining forces R1 and R2 are applied• The fixed end moments are determined & distributed• Using the eqn of eqm, the numerical values of R1 and R2 are then determined• The restraint at the floor of the first story is removed & the floor is given a disp• This disp causes fixed end moment (FEMs) in the frame which can be assigned
specific numerical values• By distributing these moments & using the eqn of eqm, the associated numerical
values of R1’ and R2’ can be determined• In a similar manner, the floor of the second story is then given a disp• With reference to the restraining forces we require equal but opposite application of
R1 and R2 to the frame such that:
111
222
"'''
"'''
RCRCR
RCRCR
Moment Distribution for Frames: SideswayMulti-story Frames
• Simultaneous solution of these eqn yields the values of C’ and C”• These correction factors are then multiplied by the internal joint
moments found from moment distribution • The resultant moments are found by adding these corrected
moments to those obtained for the frame
Example 4
• จงหา moment @joint, EI มีค่าคงท่ี
Example 4 cont’d
• จงหา moment @joint, EI มีค่าคงท่ี
Example 4 cont’d
• จงหา moment @joint, EI มีค่าคงท่ี
Example 4 cont’d
• จงหา moment @joint, EI มีค่าคงท่ี
Example 4 cont’d