Chapter 3. 미분법의 응용

Chapter 3. 미분법의 응용

이문배

건국대학교 수학과

Chapter 3. 미분법의 응용

Contents

3.1 최대값과 최소값

3.2 평균값 정리

3.3 도함수가 그래프의 모양에 미치는 영향

Chapter 3. 미분법의 응용

3.1 최대값과 최소값

미적분학의 중요한 응용들 중 하나는 어떤 일을 하는 데 있어서 최적의

방법을 찾는 최적화 문제들이 있다.

▶ 생산 가격을 최소화하기 위한 캔(통)의 모양은 무엇인가?

▶ 우주왕복선의 최대 가속도는 무엇인가? (이것은 가속도의 영향에저항해야 하는 우주비행사에게는 매우 중요한 문제이다.)

Definitionf 의 정의역 D내의 임의의 원소 x에 대하여 f(c) ≥ f(x)가 성립할 때 함수 f는 c에서 최대값을 가진다고 한다. 이 때, f(c)는 D에서 f의 최대값이라한다. 마찬가지로, D의 모든 원소 x에 대하여 f(c) ≤ f(x)가 성립할 때 함수f는 c에서 최소값을 가진다고 하고 f(c)를 D에서 f의 최소값이라 한다. f의최대값과 최소값을 극값이라 한다.

Chapter 3. 미분법의 응용

3.1 최대값과 최소값

Definitionc 에 가까이 있는 x에 대하여 f(c) ≥ f(x)이면 함수 f는 c에서 극대값을갖는다고 한다. 마찬가지로, c 에 가까이 있는 x에 대하여 f(c) ≤ f(x)이면함수 f는 c에서 극소값을 갖는다고 한다.

Theorem (극값 정리)

함수 f가 폐구간 [a, b]에서 연속이면, f는 [a, b]의 어떤 점 c와 d에서 최대값f(c)와 최소값 f(d)를 갖는다.

Chapter 3. 미분법의 응용

3.1 최대값과 최소값

Remark다음의 그래프는 가정 중의 하나(연속성 또는 폐구간)가 극값정리에서생략되었다면 극값을 가지지 않음을 보여준다.

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3.1 최대값과 최소값

Theorem (Fermat의 정리)

만약 f가 c에서 극대값 또는 극소값을 가지며 f ′(c)가 존재하면 f ′(c) = 0이다

증명. f가 c에서 극대값을 갖는다고 가정하자. 그러면 정의에 의해 c에충분히 가까운 x에 대하여 f(c) ≥ f(x) 이다.즉 만약 h 가 0에 충분히 가까운수이면,

f(c) ≥ f(c+ h)

따라서

f(c+ h)–f(c) ≤ 0

그런데 f ′(c)이 존재하므로

limh→0+

f(c+ h)–f(c)

h≤ 0

과

limh→0−

f(c+ h)–f(c)

h≥ 0

이 성립하고 결론적으로 f ′(c) = 0이 성립한다. 극소값을 갖는 경우도마찬가지로 증명할 수 있다. 2

Chapter 3. 미분법의 응용

3.1 최대값과 최소값

Example

▶ f(x) = x3, f(x) = |x|

Definitionf 의 임계수란 f ′(c) = 0 이거나 f ′(c) 가 존재하지 않는 수 c를 말한다.

Remark폐구간 [a, b]에서 연속함수 f 의 최대값과 최소값을 구하는 방법:

(1) 구간 (a, b)에서 f의 임계수를 구한다.

(2) 구간의 양 끝점에서 f 의 값을 구한다.

(3) 1 과 2 에서 가장 큰 값이 최대값이며, 가장 작은 값이 최소값이다.

Example

함수 f(x) = x3 − 3x2 + 1, −1/2 ≤ x ≤ 4의 최대값과 최소값을 구하여라.

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3.2 평균값 정리

Theorem (Rolle의 정리)

함수 f 가 다음의 세가지 조건을 만족하면 f ′(c) = 0인 수 c가 (a, b)내에존재한다.

1. f 는 폐구간 [a, b]에서 연속이다

2. f 는 개구간 (a, b)에서 미분가능하다

3. f(a) = f(b)

증명. 경우 1. f(x) = k, k는 실수 이 경우는 f ′(x) = 0이므로 c를 (a, b)내의임의의 수로 택하면 된다.

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3.2 평균값 정리

경우 2. (a, b) 내의 한 점 x에서 f(x) > f(a)인 경우 f가 [a, b]에서 연속이므로

f는 [a, b]의 한 점 c에서 최대값을 갖는다. 그런데 f(a) = f(b)이므로 c는개구간 (a, b)내에 존재한다. 따라서 f는 c에서 극대값을 가지며 f 는 c에서미분가능하기 때문에 페르마의 정리에 의하여 f ′(c) = 0이 성립한다.경우 3. (a, b) 내의 한 점 x에서 f(x) < f(a)인 경우경우 2. 와 같은 방법으로 증명할 수 있다.

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3.2 평균값 정리

Example

운동하는 물체의 위치함수 s = f(t)에 대하여 Rolle의 정리를 적용하여 보자.

▶ 만약 두 개의 서로 다른 순간 t = a와 t = b에서 물체가 같은 위치에있다면 f(a) = f(b).

▶ Rolle의 정리에 의하여 a와 b 사이의 어떤 순간 t = c 에서 f ′(c) = 0, 즉속도가 0이 된다.

▶ 예를 들어, 공을 수직 방향으로 위로 던졌을 때 성립한다

Example

방정식 f(x) = x3 + x− 1 = 0이 (0, 1)에서 단 한 개의 실근을 가짐을 보이자증명.

▶ (0, 1)내에 근이 존재함은 중간값정리에 의해 보일 수 있다.

▶ 두 근 a 와 b를 갖는다고 가정하자. 즉, f(a) = 0 = f(b). f 는다항식이므로 (a, b)에서 미분가능하며 [a, b]에서 연속이다. 따라서 Roll의 정리에 의하여 f ′(c) = 0을 만족하는 c가 구간 (a, b)내에 존재한다.그런데, 모든 x에 대하여 f ′(x) = 3x2 + 1 ≥ 1 이므로 f ′(x)는 결코 0이될 수 없다. 따라서 방정식은 두 개의 실근을 갖지 않는다.

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3.2 평균값 정리

Theorem (평균값 정리)

함수 f 가 다음 두 조건을 만족한다고 하자:

1. f 는 폐구간 [a, b]에서 연속이다.

2. f 는 개구간 (a, b)에서 미분가능하다.

그러면,

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a

를 만족하는 수 c가 구간 (a, b) 내에 적어도 하나 존재한다.

Chapter 3. 미분법의 응용

3.2 평균값 정리

Example

f(0) = −3이고 모든 x에 대하여 f ′(x) ≤ 5라 가정하자. 이 때 f(2)의 값으로가능한 가장 큰 값은 무엇인가?

Chapter 3. 미분법의 응용

3.2 평균값 정리

Example

임의의 두 실수 a, b에 대하여 | sin a− sin b| ≤ |a− b|가 성립함을 보여라.

풀이.

Theorem만약 구간 (a, b)내의 모든 x에 대하여 f ′(x) = 0이면 f는 (a, b)에서 상수이다.

Theorem모든 x ∈ (a, b)에 대하여 f ′(x) = g′(x)이면 f − g는 (a, b)에서 상수이다. 즉f(x) = g(x) + c이다. 여기서 c는 상수이다.

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3.3 도함수가 그래프의 모양에 미치는 영향

Theorem (I/D 판정법)

1. 구간 I 에서 f ′(x) > 0이면 f 는 I에서 증가한다.

2. 구간 I 에서 f ′(x) < 0이면 f 는 I에서 감소한다.

증명.

Theorem (일계도함수 판정법)

c 가 연속함수 f 의 임계수라 하자.

1. f ′ 이 c에서 양수에서 음수로 바뀌면 f 는 c에서 극대값을 갖는다.

2. f ′ 이 c에서 음수에서 양수로 바뀌면 f 는 c에서 극소값을 갖는다

3. f ′ 이 c에서 부호가 변하지 않으면 f 는 c 극대값이나 극소값을 갖지않는다.

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3.3 도함수가 그래프의 모양에 미치는 영향

Example

함수 f(x) = 3x4–4x3–12x2 + 5의 극대값과 극소값을 구하고 그 그래프를그리시오.

Definition함수 f의 그래프가 구간 I에서 모든 접선보다 위에 놓여 있을 때, 함수 f는 I에서 위로 오목이라한다. 함수 f의 그래프가 구간 I에서 모든 접선보다아래에 놓여 있을 때, 함수 f는 I에서 아래로 오목이라한다.

Chapter 3. 미분법의 응용

3.3 도함수가 그래프의 모양에 미치는 영향

Theorem (오목성의 판정법)

1. 구간 I 내의 임의의 점 x에 대하여 f ′′(x) > 0이면 f 는 I에서 위로오목이다.

2. 구간 I 내의 임의의 점 x에 대하여 f ′′(x) < 0이면 f 는 I에서 아래로오목이다.

Definition곡선 위의 점 P에서 곡선이 아래로 오목에서 위로 오목 또는 위로 오목에서아래로 오목으로 변할 때 점P를 변곡점이라 한다.

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3.3 도함수가 그래프의 모양에 미치는 영향

Example

다음 조건을 만족하는 함수 f의 그래프를 그리자.

1. f(0) = 0, f(2) = 3, f(4) = 6, f ′(0) = f ′(4) = 0

2. 0 < x < 4에서 f ′(x) > 0이고 , x < 0와 x > 4에서 f ′(x) < 0

3. x < 2에서 f”(x) > 0이고 x > 2에서 f”(x) < 0

Theorem (이계도함수 판정법)

함수 f ′′은 c의 근방에서 연속이라 하자.

1. f ′(c) = 0 이고 f ′′(c) > 0이면 f는 c에서 극소값을 갖는다.

2. f ′(c) = 0 이고 f ′′(c) < 0이면 f는 c에서 극대값을 갖는다.

Chapter 3. 미분법의 응용

3.3 도함수가 그래프의 모양에 미치는 영향

Example

곡선 y = x4–4x3의 오목성, 변곡점, 극대 및 극소에 대하여 알아 보고 곡선을그리자.