Chapter 2: Probability ความนาจะเปนและการแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสม

1

เนอหา:• ความนาจะเปนพนฐาน (Basic Probability Concepts)• ความนาจะเปนแบบมเงอนไข (Conditional Probability)• เหตการณทอสระกน (Independence events)• ทฤษฎของเบย (Bayes’ Theorem)• ตวแปรสม (Random variable)• การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสม (Probability distribution of random

variable)

2

การทดลองเชงสมและสเปซตวอยางการทดลองเชงสม (Random experiment) เปนการทดลองทไมสามารถท านายผลลพธไดแนนอนลวงหนาวาอะไรจะเกดขน เชน การโยนเหรยญ การทอดลกเตาการหยบไพจากส ารบ จ านวนผลตภณฑเสยในการผลตครงหนง เหลานถอเปนการทดลองเชงสม ทงสน และในการท าการทดลองเชงสมครงหนง ๆ นแมวาจะไมามารถท านายผลลพธไดแนนอนลวงหนา แตสามารถทราบบอกไดวาจะมผลลพธอะไรกดขนไดบาง ซงเซตของผลลพธทเปนไปไดทงหมดทเกดขนในการทดลองเชงสมน เรยกวา สเปซตวอยาง (Sample space : S) และผลลพธ (Outcome) หรอ สมาชกแตละตวในสเปซตวอยาง เรยกวา จดตวอยาง (Sample point)

3

ตวอยางการทดลองเชงสม เชน• โยนเหรยญ 1 เหรยญ 1 ครง• ทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง• ทดลองหยบไพจากส ารบมาอยางสม 1 ใบ• ยงปนไปทเปา 1 นด• โยนเหรยญ 1 เหรยญ 2 ครง• สมคนมา 1 คน เพอสอบถามหมเลอด

4

Sample Spaces

เซตของผลลพธทงหมดทเปนไปไดในการทดลองเชงสมหนง (Collection or Set ofAll Possible Outcomes) เชน โยนลกเตา 1 ลก 1 ครง

S = { All 6 faces of a die } = { 1,2,3,4,5,6 }

เชน ทดลองหยบไพจากส ารบมาอยางสม 1 ใบS = { All 52 cards of a bridge deck }

5

Sample Spaces

เชน โยนเหรยญ 1 เหรยญ 2 ครง

S={ HH,HT,TH,TT } , H แทน หว ,T แทน กอย

และสมาชกทเปนไปไดแตละตวในเซต S เรยกวา Sample point

6

เนองจากเหตการณเปนเซตของสมาชกทเราสนใจ ดงนนโดยอาศย การกระท าของเซต (Operationof sets) จะท าใหเกดเหตการณใหม

ให A, B เปนเหตการณใด ๆ ใน Sample space1. เหตการณ A หรอ B แทนดวย

หมายถง เหตการณ A เกดหรอ B เกด หรอทงสองเหตการณเกดขนหรอกลาวไดวามอยางนอยหนงเหตการณเกดขน

นนคอ ผลลพธของเหตการณ จะเปนผลลพธทอยในเหตการณ A หรอ B หรออยทงใน A และ B

7

BA

BA

2. เหตการณ A และ B แทนดวยหมายถง เหตการณ A และ B เกดขนพรอมกนนนคอ ผลลพธของเหตการณ จะเปนผลลพธทอยทงในเหตการณ A และ เหตการณ B

8

BA

BA

3. Complement ของเหตการณ A แทนดวย หรอ หมายถง เหตการณทไมใชเหตการณ Aนนคอ ผลลพธของเหตการณ จะเปนผลลพธทอยใน S แตไมอยใน A

*** S และ Ø เปนเหตการณหนงดวย เพราะแตละกรณเหลานเปนเซตยอยของสเปซตวอยาง

9

A cA

A

Mutually Exclusive Events (M.E.E.)

เหตการณ A และ B จะเรยกวา Mutually exclusive events ถาเหตการณA และ B ไมมผลลพธรวมกน (Disjoint events) นนคอ

10

BA

ตวอยาง 2.1 โยนเหรยญ 1 อน 2 ครงS = {HH, HT, TH, TT}

ถาให A แทน เหตการณทเหรยญขนหนาเหมอนกนทงสองB แทน เหตการณทเหรยญขนหวอยางนอย 1 ครงC แทน เหตการณทเหรยญขนหว 1 ครง

จะไดวา A = {HH, TT}B = {HH, HT, TH}C = {HT, TH}

จงเขยนเซตของเหตการณตอไปน

11

B,A,CA,CA,BA

แนวความคดเกยวกบความนาจะเปน

ในการทดลองเชงสมหนงๆ เหตการณทสนใจอาจจะเกดขนหรอไมเกดขนกไดถาเราจะวดโอกาสหรอความนาจะเปน (Chance or Probability) ทเหตการณทาดหวงจะเกดขน ความนาจะเปนดงกลาวจะถกก าหนดเปนตวเลขในชวง 0 ถง 1 ถาแนใจวาเหตการณเกดขนแนนอน กกลาวไดวาความนาจะเปนของเหตการณนนเปน 1แตถาแนใจวาเหตการณนนไมเกดขน จะไดวาความนาจะเปนของเหตการณนนเปน 0

12

ดงนนกลาวไดวา…ความนาจะเปน (Probability) คอ ตวเลขทใชเปนมาตรในการวดหรอบอกโอกาสของการเกดเหตการณวามโอกาสเกดขนมากหรอนอยเพยงใด

และความนาจะเปนจะมความหมายกตอเมอเหตการณนนหรอเหตการณทเราสนใจยงไมเกดขนหรอเกดขนแลวแตเรายงไมทราบผล

แตถาทราบผลของเหตการณนนแลวความนาจะเปนกจะหมดความหมาย

13

ความนาจะเปนของเหตการณ (Probability of Event)

1. Frequency Probabilty or Frequency Approach or Empirical Probabilty

2. Classical Probabilty or Classical Approach or Mathematical Probabilty

3. Subjective Probabilty

14

Frequency Approach

15

16

Classical Approach

17

ในการท าการทดลองเชงสมหนง สนใจเหตการณ A ความนาจะเปนของเหตการณA แทนดวย P(A)

ซง

โดยท n(A) แทน จ านวนสมาชกของเหตการณ An(S) แทน จ านวนสมาชกทงหมดในแซมเปลสเปซ S

กรณนสมาชกแตละตวในสเปซตวอยางตองมโอกาสเกดขนไดเทา ๆ กนและเกดขนไมพรอมกน (Each of the Outcomes in the Sample Space is Equally Likely to Occur and mutually exclusive)

Axiom of probability

18

1. ให A เปนเหตการณใด ๆ ใน S แลว P(A) ≥ 02. P(S) =13. ให A1 , A2 , ... , kA เปนเหตการณใด ๆ ใน S และเกดขนไมพรอมกนแลว จะได

วา

จาก Axiom ดงกลาว จะไดทฤษฎความนาจะเปนทส าคญดงตอไปน

ทฤษฎทเกยวของ

19

ทฤษฎทเกยวของ

20

ตวอยาง 2.2

21

ทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง

ให A แทน เหตการณทลกเตาขนแตมคให B แทน เหตการณทลกเตาขนแตม 2 หรอ 5ให C แทน เหตการณทลกเตาขนแตม 3 และ 4

จงหาความนาจะเปนของเหตการณ A, B, C, A B, A

ตวอยาง 2.3

22

โยนเหรยญ 1 เหรยญ 3 ครงให A แทน เหตการณทเหรยญขนหว 2 ครงให B แทน เหตการณทเหรยญขนหวในการโยนครงแรกให C แทน เหตการณทขนหวอยางนอย 1 ครงจงหา

**** ฝกปฏบต

ตวอยาง 2.4

23

หยบไพจากส ารบมาอยางสม 1 ใบจงหา 1. P(ไดไพแตม K)

2. P(ไดไพโพด า)3. P(ไดไพ K โพด า)4. P(ไดไพแตม K หรอ โพด า)

**** ฝกปฏบต

ตวอยาง 2.5

24

โยนเหรยญ 1 เหรยญ 5 ครง จงหาความนาจะเปนท1. เหรยญขนหว 2 ครง2. เหรยญขนหวอยางนอย 1 ครง3. เหรยญขนหวอยางมาก 1 ครง4. เหรยญขนหว 2 หรอ 3 ครง

ความนาจะเปนแบบมเงอนไข (Conditional Probability)

25

ความนาจะเปนของเหตการณ B เมอก าหนดวาเหตการณ A เกดขนแลว(Probability of event B given that event A had occurred.) แทนดวยP(B | A) ซง

Definition

ตวอยาง 2.6

26

ในมหาวทยาลยแหงหนง ทราบวา 25% ของนกศกษาชนปท 1 สอบตกวชาณตศาสตร 15% ของนกศกษาชนปท 1 สอบตกวชาสถตและ 10% ของนกศกษาชนปท 1 สอบตกทงสองวชา ถาสมนกศกษามา 1 คน1. ถาทราบวานกศกษาคนนนสอบตกวชาคณตศาสตรจงหาความนาจะเปนทเขาสอบ

ตกวชาสถต2. ถาทราบวานกศกษาคนนนสอบตกวชาสถตจงหาความนาจะเปนทเขาสอบวชา

คณตศาสตร3. จงหาความนาจะเปนทเขาสอบตกอยางนอย 1 วชา

ตวอยาง 2.7

27

ครอบครวหนงมลก 3 คน จงหาความนาจะเปนท1. ครอบครวนมลกสองคนแรกเปนชาย2. ครอบครวนมลกเปนชายสองคน3. ถาทราบวาครอบครวนมลกสองคนแรกเปนชาย จงหาความนาทครอบครวนมลก

เปนชายสองคน4. ถาทราบวาครอบครวนมลกเปนหญงสองคน จงหาความนาจะเปนทครอบครวน

มลกคนแรกเปนหญง

ตวอยาง 2.8

28

กลองใบหนงบรรจหลอดไฟ 100 หลอด ซงเปนหลอดด 80 หลอดและหลอดเสย20 หลอด หยบหลอดไฟจากกลองนมาอยางสม 2 หลอด โดยหยบมาทละหลอดแบบไมใสคน จงหาความนาจะเปนทหยบไดหลอดเสยทงสองหลอด

ตวอยาง 2.9

29

หยบไพจากส ารบมาอยางสม 3 ใบ โดยหยบทละใบแบบไมใสคน1. จงหาความนาจะเปนทหยบได K ทงสามใบ2. จงหาความนาจะเปนทหยบ J, Q, K ตามล าดบ

กรณ n เหตการณ

ตวอยาง 2.10

30

โยนลกเตา 1 ลก 2 ครงให A แทน เหตการณทครงแรกลก เตาขน แตม 5 หรอ 6ให B แทน เหตการณทครงทสองลกเตาขนแตมค

จงหา

เหตการณทอสระกน (Independent Events)

31

เหตการณ A และ B อสระกน ถา

เหตการณสองเหตการณอสระกน เมอความนาจะเปนของการเกดเหตการณหนงไมมผลกระทบตอความนาจะเปนของการเกดขนของอกเหตการณหนง

เหตการณทอสระกน (Independent Events)

32

เหตการณ A และ B อสระกน กตอเมอ

นยาม

ตวอยาง 2.7 ขอมลจากตาราง

33

สมนกเรยนมา 1 คน จงหาความนาจะเปนท1. ไดผทใสแวนตา2. ไดผทใสแวนตา โดยก าหนดวาเปนเพศชาย3. ไดผทใสแวนตา และ เปนเพศชาย

**** ฝกปฏบต

ตวอยาง 2.12

34

หยบไพมา 5 ใบอยางสมจากส ารบ โดยหยบทละใบแบบใสคน จงหาความนาจะเปนท1. ได K ทง 5 ใบ2. ได K 3 ใบ และ Q 2 ใบ

**** ฝกปฏบต

กรณ n เหตการณ

ตวอยาง 2.13

35

นาย ก. นาย ข. และนาย ค. ท าขอสอบขอหนง ซงโอกาสทนาย ก. นาย ข. และ นาย ค.

จะท าขอสอบถกตองเทากบ 0.4 , 0.5 , และ 0.6 ตามล าดบ จงหาความนาจะเปนท1. ทงสามคนท าขอสอบถกตอง2. ท าขอสอบถก 2 คน เทานน3. ท าขอสอบถกอยางนอย 1 คน

**** ฝกปฏบต

Partitioned of Sample pace

36

นยาม

Law of Total Probability

37

ตวอยาง 2.14

38

กลองใบหนงบรรจหลอดไฟ 100 หลอด ซงเปนหลอดด 80 หลอดและหลอดเสย 20 หลอด หยบหลอดไฟจากกลองนมาอยางสม 2 หลอด โดยหยบมาทละหลอดแบบไมใสคน จงหาความนาจะเปนทหลอดทสองทหยบไดเปนหลอดเสย

ตวอยาง 2.15

39

มกลอง 3 ใบ กลองแตละใบบรรจบอลดงภาพตอไปน

หยบบอลมาอยางสม 1 ลกจงหาความนาจะเปนทบอลทหยบไดเปนสขาว

Bayes’ Theorem

40

ตวอยาง 2.16

41

มกลอง 3 ใบ กลองแตละใบบรรจบอลดงภาพตอไปน

หยบบอลมาอยางสม 1 ลก ถาทราบวาบอลทหยบไดเปนสขาว จงหาความนาจะเปนทบอลนนมาจากกลองใบทหนง

ตวแปรสม (Random Variable)

42

เปนการเปลยนสมาชกในสเปซตวอยางใหเปนเลขจ านวนจรงหรอถากลาวในเชงคณตศาสตรตวแปรสม คอ ฟงกชนท map สมาชกแตละตวใน Sample space ไปยง

Real number เชน โยนเหรยญ 1 เหรยญ 2 ครงS = {HH,HT,TH,TT}

ให X เปนตวแปรสมแทนจ านวนครงทเหรยญขนหวจากการโยนเหรยญดงกลาว

ตวแปรสม แบงเปน 2 ลกษณะ คอ

43

1. ตวแปรสมชนดไมตอเนอง (Discrete random variable)2. ตวแปรสมชนดตอเนอง (Continuous random variable)

ตวแปรสมชนด ไมตอเนอง (Discrete random variable)

44

เปนตวแปรสมทคาทเปนไปไดมจ านวนจ ากดหรอไมจ ากดแตนบไดเชนตวแปรสม X มคาทเปนไปได = 0, 1, 2ตวแปรสม Y มคาทเปนไปได = 0, 1, 2,……

ตวแปรสมชนดตอเนอง (Continuous random variable)

เปนตวแปรสมทคาทเปนไปไดมจ านวนไมจ ากดและนบไดไมถวน มคาตางๆ อยในชวงใดชวงหนง เชน ตวแปรสม X มคาอยระหวาง 0-1 หรอเขยนไดวา 0<X<1 เปนตน

การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสม

45

การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสมชนดไมตอเนอง ทจะกลาวในบทนคอ- การแจกแจงทวนาม (Binomial Distribution)- การแจกแจงปวสซอง (Poisson Distribution)

การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสมชนดตอเนอง ทจะกลาวในบทนคอ- การแจกแจงปกต (Normal Distribution)

46

การแจกแจงทวนาม(Binomial Distribution)

Bernoulli Trial

47

เปนลกษณะการทดลองเชงสมครงหนงๆ ซงจะมผลลพธทเปนไปไดเพยงสองอยางเทานน หรอมผลลพธทเปนไปไดหลายอยางแตแบงเปนสองพวก คอ พวกทสนใจ (Success) และพวกทไมสนใจ (Failure) เชน

- การตรวจหา group เลอด ม group A, B, AB, Oถาขณะนนตองการเลอด group Bดงนน group B จะเปน group ทสนใจ

group อนๆ เปนผลลพธทเราไมสนใจ- การทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง ผลลพธทเปนไปได 1, 2, 3, 4, 5, 6 เราสนใจแตม 3

ผลลพธปรากฏแตม 3 ถอวา เกดเหตการณทเราสนใจ (Success)ผลลพธปรากฏแตมอน ๆ ทไมใชแตม 3 ถอวา เกดเหตการณทเราไมสนใจ (Failure)

Binomial Experiment

48

1. ท าการทดลองแบบ Bernoulli ซ าๆ กน n ครง2. การทดลองแตละครงอสระกน3. ความนาจะเปนของการเกดเหตการณทเราสนใจในแตละครงคงท เทากบ p

นนคอ P(Success) = p (ในแตละครงคงท)และ P(Failure) = q หรอ 1 p ซง p+q = 1

49

ถาก าหนดตวแปรสม X โดยใหX แทน จ านวนครงของการเกดเหตการณทเราสนใจ (Success) จากการท า

การทดลอง n ครงX มคาทเปนไปไดคอ 0 , 1, 2, 3, …. , nเรยก X วาเปนตวแปรสมทวนาม (Binomial Random Variable) และการแจกแจง

ของตวแปรสม X จะเรยกวา การแจกแจงทวนาม (Binomial Distribution)

Definition

50

เมอ X เปนตวแปรสมทวนาม ฟงกชนความนาจะเปนของตวแปรสม Xถกก าหนดดงน

ซง n เปนจ านวนครงของการทดลองp และ q เปนความนาจะเปนของการเกดเหตการณทสนใจ (Success)

และไมสนใจ(Failure)ของการทดลองแตละครงตามล าดบและ p+q = 1เขยนแทนสน ๆ ไดวา X ~ B(n, p)

ตวอยาง 2.17

51

โยนเหรยญเทยงตรง 1 เหรยญ 4 ครงให X แทนจ านวนครงของการเกดหวจากการโยนเหรยญ 4 ครงจงหาความนาจะเปน

ก. เหรยญขนหว 2 ครงข. เหรยญขนหว 2 ถง 4 ครงค. เหรยญขนหวอยางมาก 2 ครงง. เหรยญขนหวอยางนอย 2 ครง

ตวอยาง 2.18

52

ถา 3 ใน 5 ของคนในเมองหนงม I.Q สงกวา 85 จงหาความนาจะเปนทคน 5คน

ทเลอกมาอยางสมนนก. ม I.Q สงกวา 85 จ านวน 2 คนข. ม I.Q สงกวา 85 อยางนอย 1 คนค. ม I.Q นอยกวาหรอเทากบ 85 ทกคน

**** ฝกปฏบต

Expected Value and Variance of the Binomial Distribution

53

ตวอยาง 2.19

54

1. ทราบวา 3 ใน 5 ของคนในเมองหนงม I.Q สงกวา 85 ถาในเมองนมคน 200 คน

อยากทราบวาก. เฉลยแลวในเมองนจะมคนท I.Q สงกวา 85 คนกคนข. คาความเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดนเปนเทาใด

55

2. ฝายตรวจสอบคณภาพสนคาของบรษทหนงใชวธการสมตวอยางสนคามาตรวจสอบกลองละ 20 ชน ถาในกลองนนมสนคาช ารด 20%

จงหาคาเฉลยและคาความเบยงเบนมาตรฐานของสนคาทช ารด

**** ฝกปฏบต

56

การแจกแจงปวสซอง(Poisson Distribution)

Poisson Distribution

57

การแจกแจงนประยกตกบการทดลองทตวแปรสมแสดงถงจ านวนครงของเหตการณทเกดขนในชวงเวลาใดเวลาหนง พนทใดพนทหนง หรอ อาณา - บรเวณใดบรเวณหนงทก าหนดให เชน

- จ านวนครงของโทรศพททเรยกเขามายงส านกงานแหงหนงในชวงเวลา 1 นาท- จ านวนตกแตนตอพนทปลกขาว 10 ไร- จ านวนอบตเหตบนถนนสายหนงในชวง 1 สปดาห- จ านวนรอยต าหนบนพรมทมความยาว 1200 ฟต

58

ถาให X แทนจ านวนครงของการเกดเหตการณทสนใจในชวงเวลาทก าหนดใหX มคาทเปนไปไดคอ 0, 1, 2, ……X จะเปนตวแปรสมปวสซอง (Poisson Random Variable)

ถา X เปนตวแปรสมปวสซองฟงกชนความนาจะเปนของตวแปรสม X ถกก าหนด

ดงน

Definition

ตวอยาง 2.20

59

พนทปลกขาวแหงหนง พบวามตกแตนโดยเฉลย 5 ตวตอไรจงหาความนาจะเปนทก. จะพบตกแตน 10 ตวตอไรข. จะพบตกแตน 3-5 ตวตอไรค. จะพบตกแตนอยางมาก 2 ตวตอไรง. จะพบตกแตนอยางนอย 2 ตวตอไร

Expected Value and Variance of the Poisson Distribution

60

61

ตวอยาง 2.21

62

ถาความนาจะเปนทแตละคนจะบอดสเทากบ 0.001 จงหาความนาจะเปนทสมคนมา 1000 คน แลวพบคนทตาบอดสอยางมาก 2 คน

ตวอยาง 2.22

สมมตวาเครองจกรผลตหลอดไฟเครองหนงจะผลตหลอดไฟทบกพรอง 0.1%ถาสมหลอดไฟมา 3,000 หลอด มาตรวจสอบ จงหาความนาจะเปนทจะหลอดไฟทตรวจสอบ

ก. ไมบกพรองเลยข. บกพรอง 2 หลอด หรอนอยกวา

**** ฝกปฏบต

63

การแจกแจงปกต(Normal Distribution)

Normal Distribution or Gaussian Distribution

64

Definition

65

จากฟงกชนความนาจะเปน ถาทราบคา และ เราสามารถเขยนโคงของการแจกแจงได โดยเสนโคง ทไดนจะเรยกวา เสนโคงปกต (Normal Curve) ซงจะม

ลกษณะเปนโคงระฆงคว า (Bell shape) สมมาตรท x =

2

66

จากถา และ จะเขยนแทนไดวา

จะเรยก วามการแจกแจงแบบปกตมาตรฐาน (Standard Normal Distribution)ปกตมกจะใชตวแปรสม Z แทน คามาตรฐาน

),(N~X 2

0 12 ),(N~X 10

67

การหาพนทภายใตโคงปกตมาตรฐาน ระหวางคา z ทตองการจะหาไดโดย

อาศยการอนทเกรต หรออาจหาไดงายโดยอาศยตารางส าเรจ ทปรากฏในทายเลมของหนงสอสถตทว ๆ ไป

Theorem

68

ตวอยาง 2.23

69

ขอมล I.Q. ของนกเรยนกลมหนงทราบวามการแจกแจง N(100,100) สมนกเรยนมา 1 คน จงหาความนาจะเปนทนกเรยนคนนนจะม I.Q. อยระหวาง 110 - 120

ตวอยาง 2.24

70

1. น าหนกของคนกลมหนงมการแจกแจงปกตมคาเฉลย 100 ปอนดและมคาความเบยงเบนมาตรฐาน 25 ปอนด สมคนมา 1 คน จงหาความนาจะเปนทจะไดคนทมน าหนก 100 - 170 ปอนด

2. ถาคะแนนสอบวชาหลกสถตมการแจกแจงปกตโดยมคะแนนเฉลย 55 คะแนนสวนเบยงเบนมาตรฐาน 18 คะแนน ในการสอบอาจารยผสอนใหเกรด A แกนสตทไดคะแนนสงสด 13.35% ของหอง นสตจะตองไดคะแนนอยางนอย กคะแนนจงจะไดเกรด A

**** ฝกปฏบต

การประมาณคาความนาจะเปนของการแจกแจงแบบทวนามดวยการแจกแจงแบบปกต(Normal Approximation to the Binomial Distribution)

71

Central Limit Theorem : CLT)

Theorem

72

ตวอยาง 2.25

73

จากการบนทกเปนเวลานานของเจาหนาทโรงพยาบาลแหงหนง สรปไดวา ในฤดรอนของแตละปจะมผมาเขารบการรกษาดวยโรคอหวาต 30% ของผปวยทมารบการรกษาทงหมด ในชวงฤดรอนนมผมารบการรกษา 50 คน จงหาความนาจะเปนทคนทมารบการรกษาจะเปนโรคอหวาต

ก. ไมเกน 10 คนข. มากกวา 10 คนค. 15 ถง 20 คนง. มากกวา 8 คน แตไมถง 10 คน

74

Theorem

75

ตวอยาง 2.26

76

จากการจดบนทกของเจาหนาทโรงพยาบาลแหงหนง สรปวา ในชวงเทศกาลโดยเฉลยแลวจะมผมารบการรกษาทแผนกฉกเฉน 25 คน/คน

ก. จงหาความนาจะเปนทในชวงเทศกาลคนหนงจะมผมารบการรกษาทแผนกฉกเฉนไมเกน 20 คน

ข. ในชวงเทศกาลลอยกระทงมงาน 2 คน จงหาความนาจะเปนทใน 2 คนจะมผมารบการรกษาทแผนกฉกเฉนมากกวา 40 คน