Chapter 2. 도함수

Chapter 2. 도함수

이문배

건국대학교 수학과

Chapter 2. 도함수

Contents

2.1 도함수와 변화율

2.2 함수로서의 도함수

2.3 미분공식

2.4 삼각함수의 도함수

2.5 연쇄법칙

2.6 음함수의 미분

2.9 일차 근사식과 미분

Chapter 2. 도함수

2.1 도함수와 변화율

Definition

극한값 limh→0

f(a+ h)− f(a)

h가 존재하면 이 극한값을 a에서 함수 f의

도함수라 하고,

f ′(a) = limh→0

f(a+ h)− f(a)

h

(= lim

x→a

f(x)− f(a)

x− a

)로 나타낸다.

Remark점 (a, f(a))에서 y = f(x)의 접선은 (a, f(a))를 지나고, a에서의 도함수 f ′(a)를 기울기로 갖는 직선이다.

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2.1 도함수와 변화율

Example

x = 2에서 f(x) = x3의 도함수를 구하시오.

Remark도함수 f ′(x1)는 x = x1일 때, y = f(x)의 x에 관한 순간변화율이다.

순간변화율 = lim△x→0

△y

△x= lim

x2→x1

f(x2)− f(x1)

x2 − x1

▶ 속도, 반응률(화학), 한계생산성(경제학)

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2.2 함수로서의 도함수

Definition

극한값 limh→0

f(x+ h)− f(x)

h가 존재하는 x가 주어지면 이 주어진 x에 대해

수 f ′(x)를 지정한다. 따라서 f ′을 f의 도함수라 부르는 새로운 함수로생각할 수 있다. f ′의 정의역은 {x|f ′(x) 가 존재한다. }이고, f의 정의역보다더 작을 수 있다.

다른기호f ′(x) = y′ =

dy

dx=

df

dx=

d

dxf(x) = Df(x) = Dxf(x)

기호 D와 ddx는 미분법의 연산을 나타내므로, 미분연산자라 부른다. 여기서

미분법은 도함수를 계산하는 과정을 의미하는데, 간단히 미분한다고말하기도 한다.

f ′(a) =dy

dx

∣∣∣x=a

=dy

dx

]x=a

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2.2 함수로서의 도함수

Definitionf ′(c)가 존재하면 함수 f는 c에서 미분가능하다고 말한다. 이함수가 개구간(a, b) [또는 (a,∞), (−∞, b) ,(−∞,∞)]안의 모든 점에서 미분가능하면, 함수f는 그 구간에서 미분가능하다고 한다.

Theoremf가 a에서 미분가능하면 f는 a에서 연속이다.

Remark위 정리의 역은 성립하지 않는다.

Example

f(x) = |x|

미분가능하지 않은 경우

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2.2 함수로서의 도함수

고계도함수

일반적으로 n계 도함수는 f (n)으로 나타내고, 이것은 y = f(x)를 n번미분함으로써 얻어진다. y = f(x) 일 때 n계 도함수를 다음과 같이 표시한다 :

y(n) = f (n)(x) =dny

dxn= Dnf(x)

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2.3 미분공식

Theorem만약 n이 양의 정수이면

dxn

dx= nxn−1

이다.

증명.

▶ n = 0, n = 1

▶ n ∈ N

Example

▶ f(x) = x100, y = t4,d

drr3, Duu

6

Chapter 2. 도함수

2.3 미분공식

Theorem (미분공식표)

dc

dx= 0

dxn

dx= nxn−1(n ∈ N) (cf)′ = cf ′

(f + g)′ = f ′ + g′ (fg)′ = f ′g + fg′(fg

)′=

f ′g − fg′

g2

Theorem만약 n이 양의 정수이면

dx−n

dx= −nx−n−1

이다.

Theorem (6장에서 로그함수를 이용하여 증명)

n을 임의의 실수라 하면dxn

dx= nxn−1

이다.

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2.4 삼각함수의 도함수

Example

limθ→0

sin θ

θ= 1

Theorem (삼각함수의 도함수)

d

dx(sinx) = cosx

d

dx(cscx) = − cscx cotx

d

dx(cosx) = − sinx

d

dx(secx) = secx tanx

d

dx(tanx) = sec2x

d

dx(cotx) = −csc2x

Chapter 2. 도함수

2.5 연쇄법칙

Theoremf와 g가 모두 미분가능하고 F = f ◦ g는 F (x) = f(g(x))로 정의된합성함수라면, F는 미분가능하고 F ′은 곱

F ′(x) = f ′(g(x))g′(x)

에 의해 주어진다. 이를 Leibniz의 기호로 나타내면 y = f(u)와 u = g(x)가모두 미분가능한 함수일 때

dy

dx=

dy

du

du

dx

이다.

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2.5 연쇄법칙

Remark

d

dxf︸︷︷︸

외부함수

(g(x))︸ ︷︷ ︸내부함수에서계산됨

= f ′︸︷︷︸외부함수의 도함수

(g(x))︸ ︷︷ ︸내부함수에서계산됨

g′(x)︸ ︷︷ ︸내부함수의 도함수

Example

다음을 미분하여라.

(a) sin(x2) (b) sin2 x

풀이.

Example

다음을 미분하여라.y = (2x+ 1)5(x3 − x+ 1)4

풀이.

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2.5 연쇄법칙

▶ 연쇄법칙의 증명방법▶ 함수 y = f(x) 가 a에서 미분가능하면, 도함수의 정의에 의해

f ′(a) = lim△x→0

△y

△x

가 성립한다. 따라서 다음식을 얻을 수 있다.

△y = f ′(a)△x+ ε△x (△x → 0일 때 ε → 0이다.)

▶ u = g(x)가 a에서 미분가능하고 y = f(x)가 b = g(a)에서 미분가능하면

△u = g′(a)△x+ ε1△x (△x → 0일 때 ε1 → 0이다.)

와

△y = f ′(b)△u+ ε2△u (△u → 0일 때 ε2 → 0이다.)

가 성립한다. 따라서

△y = (f ′(b) + ε2)(g′(a) + ε1)△x ⇒ △y

△x= (f ′(b) + ε2)(g

′(a) + ε1)

이 된다. △x → 0 ⇒ ε1 → 0 & ε2 → 0이므로

dy

dx= lim

△x→0

△y

△x= lim

△x→0(f ′(b) + ε2)(g

′(a) + ε1)

= f ′(b)g′(a) = f ′(g(a))g′(a)

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2.6 음함수의 미분

▶ 함수 f가 식 x2 + y2 = 25에 의하여 정의된 음함수라 하는 것은 f 의정의역 안에 있는 모든 x에 대하여

x2 + (f(x))2 = 25

가 성립함을 뜻한다.

Example (음함수 미분법)

x2 + y2 = 25일 때dy

dx와

dy

dx

∣∣∣(x,y)=(3,4)

를 구하여라.

Chapter 2. 도함수

2.6 음함수의 미분

Example (음함수 미분법)

(a) x3 + y3 = 6xy일 때dy

dx를 구하여라.

(b) x3 + y3 = 6xy위의 점 (3, 3)에서의 접선의 방정식을 구하여라.

(c) 1사분면에서 곡선 위의 어떤 점에서 접선이 수평인가?

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2.6 음함수의 미분

Example

sin(x+ y) = y2 cosx일 때 y′을 구하여라.

Example

x4 + y4 = 16일 때 y′′을 구하여라.

Chapter 2. 도함수

2.9 일차 근사식과 미분

x가 a에 가까이 있을 때 y = f(x) 에 대한 근사로서 점 (a, f(a)) 에서의 f의접선을 이용하자.

Definition근사식

f(x) ≈ f(a) + f ′(a)(x–a)

를 f의 a에서의 일차 근사식(또는 선형근사식) 또는 접선 근사식이라 부른다이 접선을 그래프로 갖는 일차 함수

L(x) = f(a) + f ′(a)(x–a)

를 f 의 a에서의 선형화(또는 일차화)라고 부른다.

Chapter 2. 도함수

2.9 일차 근사식과 미분

Example

a = 1 에서 f(x) =√x+ 3의 선형화를 구하고, 이것을 이용하여

√3.98의

근사값을 구하여라.

풀이.

Definitionf 는 미분가능한 함수이고 y = f(x)라 하자.

▶ dx := △x (x의 미분)

▶ dy := f ′(x)dx (y의 미분)

Chapter 2. 도함수

2.9 일차 근사식과 미분

Example√3.98의 근사값을 구하여라.

Example

구의 반지름을 측정한 결과 21cm이었다. 그리고 측정할 때 최대오차가0.05cm이다. 반지름의 값으로 이것을 사용한다면 부피를 계산할 때최대오차는 얼마인가?