Chapter 11 B-treeChapter 11 B-tree

11.1 m-way 11.1 m-way 搜尋樹搜尋樹 11.2 B-tree11.2 B-tree

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B-treeB-tree B-tree 的功能非常強大，有許多資料庫

系統皆採用 B-tree 來儲存與刪除其資料。

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11.1 m-way11.1 m-way 搜尋樹搜尋樹 何謂 m-waw 搜尋樹 (m-way search tree) ？

一棵 m-way 搜尋樹，所有節點的分支度（ dgree ）均小於或等於 m 。若 T 為空樹，則 T亦稱為 m-way 搜尋樹，倘若 T 不是空樹，則必須具備下列的性質： 節點的型態是 n, A0, (K1, A1), (K2, A2),...,(Kn, An)

其中 Ai 是子樹的指標 0 ≤ i ≤ n < m; n 為節點上的鍵值數， Ki 是鍵值 1 ≤ i ≤ n 及 1 ≤ n < m 。

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11.1 m-way11.1 m-way 搜尋樹搜尋樹

節點中的鍵值是由小至大排列的，因此 Ki <

Ki+1 ， 1 ≤ i< n 。 子樹 Ai 的所有鍵值均小於鍵值 Ki+1 但大於 Ki ，

0 < i < n 。 子樹 An 的所有鍵值均大於 Kn ，而且子樹 A0

的所有鍵值小於 K1 。 Ai 指到的子樹， 0 ≤ i ≤ n 亦是 m-way 搜尋樹。

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11.1 m-way11.1 m-way 搜尋樹搜尋樹 例如有一 3-way 的搜

尋樹，其中有 12 個鍵值分別為 12, 17, 23, 25, 28, 32, 38, 45, 48, 55, 60, 70 。

表為圖 11-1 中每個節點之 3-way 的搜尋樹表示法。

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11.1 m-way11.1 m-way 搜尋樹搜尋樹 由於 3-way 搜尋榼，每個節點的型態是

n, A0, (K1, A1), (K2, A2),...,(Kn, An) ，因此a 節點的格式為

2, b, (23, c), (48, d) 表示 a 節點有 2 個鍵值，在 b 節點中的

所有鍵值均小於 23 ，在 c 節點中的每個鍵值大小介於 23 與 48 之間，最後 d 節點的所有鍵值均大於 48 。

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11.1 m-way11.1 m-way 搜尋樹搜尋樹 11.1.1 m-way 搜尋樹的加入

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11.1 m-way11.1 m-way 搜尋樹搜尋樹

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11.1 m-way11.1 m-way 搜尋樹搜尋樹

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11.1 m-way11.1 m-way 搜尋樹搜尋樹

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11.1 m-way11.1 m-way 搜尋樹搜尋樹11.1.2 m-way 搜尋樹的刪除 而在刪除方法上則與二元搜尋樹極為相

同，若刪除非樹葉節點上的鍵值，則以左子樹中最大的鍵值或右子樹中的最小鍵值取代之。

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11.1 m-way11.1 m-way 搜尋樹搜尋樹 刪除 3 則直接刪除之：

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11.1 m-way11.1 m-way 搜尋樹搜尋樹 刪除 8 ：

刪除 12 ：

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11.1 m-way11.1 m-way 搜尋樹搜尋樹 刪除 7 ：

刪除 10 ：

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11.2 B-tree11.2 B-tree 一棵 order 為 m 的 B-tree 是一 m-way 搜

尋樹。若是空樹，也算 B-tree ，假若高度 > 1 必須滿足以下的特性： 樹根至少有二個子節點（ children ），亦即

節點內至少有一鍵值（ key value ）。 除了樹根外，所有節點至少有個子節點，至

多有 m 個子節點。此表示至少應有 - 1 個鍵值，至多有 m-1 個鍵值（表示大於 m/2 的最小正整數）。

所有的樹葉節點皆在同一階層。

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11.2 B-tree11.2 B-tree

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11.2 B-tree11.2 B-tree 在圖 11-2 中 (a) 不屬於 B-tree of order 3 ，

因為樹葉節點不在同一階層上，而 (b) 是屬於 B-tree of order 3 ，因為所有的樹葉節點皆在同一階層。

B-tree of order 3 表示除了樹葉節點外每一節點的分支度（ degree ）不是等於 2就是等於 3 ，因此 B-tree of order 3 就是著名的 2-3 tree 。假使 m=4 ，則是 2-3-4 tree 。

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11.2 B-tree11.2 B-tree11.2.1 B-tree 的加入 假設加入 P 節點，若

該節點少於 m-1 個鍵值。 該節點的鍵值已等於 m-1 ，則將此節點分為

二，因為一棵 order 為 m 的 B-tree ，最多只能有 m-1 個鍵值。

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11.2 B-tree11.2 B-tree 請看下例之說明（此處的 B-tree 為 order

5 ）

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11.2 B-tree11.2 B-tree 加入 88 於圖 11-3

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11.2 B-tree11.2 B-tree 承 (1) 加入 98

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11.2 B-tree11.2 B-tree 承 (2) 加入 91

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11.2 B-tree11.2 B-tree 承 (3) 加入 93

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11.2 B-tree11.2 B-tree 承 (4) 加入 99

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11.2 B-tree11.2 B-tree11.2.2 B-tree 的刪除 B-tree 的刪除與 2-3 tree 和 2-3-4 tree 的

刪除基本上原理是相同的，此處也分成兩部份： 刪除的節點是樹葉節點（ leaf node ）， 刪除的節點為非樹葉節點（ non-leaf nod

e ）。

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11.2 B-tree11.2 B-tree 以 B-tree of order 5 如圖 11-4 來說明。

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11.2 B-tree11.2 B-tree

若刪除的節點是樹葉節點若刪除的節點是樹葉節點 如將圖 11-4 刪除 70

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11.2 B-tree11.2 B-tree

如欲將圖 11-4 中的鍵值 26 刪除

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11.2 B-tree11.2 B-tree

若欲刪除 85

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11.2 B-tree11.2 B-tree

有一棵 B-tree of order 5 如圖 11-5 所示

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11.2 B-tree11.2 B-tree 先從圖 11-5 刪除 59

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11.2 B-tree11.2 B-tree 由於合併後 c 節點僅存放一個鍵值，不

符合 B-tree 的定義

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11.2 B-tree11.2 B-tree

若刪除的節點為非樹葉節點若刪除的節點為非樹葉節點

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11.2 B-tree11.2 B-tree 若刪除圖 11-6 的鍵值 50 ，找到 p' 節點

為 g ，從中取出最小值 52 ，並代替 50 。

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11.2 B-tree11.2 B-tree 若再刪除 52

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11.2 B-tree11.2 B-tree 承上圖，若繼續刪除 55

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11.2 B-tree11.2 B-tree 由於 g 節點其鍵值數少於 個鍵值，且其

兄弟節點 h 也沒有大於 個鍵值，故將 g 、h 、與 c 的鍵值 65 合併於 g 節點，結果如下圖：

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11.2 B-tree11.2 B-tree 此時 c 節點的鍵值數也少於 ，且其兄弟

節點的鍵值數不大於 ，故將 b 、 c 與 a節點合併，結果如下：