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Chapitre 3. Mouvements dans un champ uniforme 3.1. Mouvement d’un projectile dans le champ de pesanteur uniforme Problème : on étudie le mouvement d’un point matériel M de masse m dans le champ de pesanteur !. On s’intéresse au cas du vol balistique pour lequel le point matériel est initialement lancé avec une vitesse initiale !! faisant un angle ∝ avec l’horizontale.
• Conditions initiales : o M placé en origine : x(0)=0, y(0)=0, z(0)=0 o M a une vitesse initiale !! faisant un angle ∝ avec Ox : v0x=v0 cos α , v0y=v0 sin α, v0z=0
On écrit aussi !! = !! cos ∝ ! + !!!"# ∝ ! • Bilan des forces : le mouvement se fait sans frottement (dans le vide) sous la seule action du poids
! = !! Px=0, Py= -‐mg, Pz=0
La 2e loi de Newton :
m! = !
Cette relation projetée sur les axes Ox, Oy et Oz donne : m ax = 0 m ay = -‐mg m az = 0
donc : ax = 0 = dvx/dt ay = -‐g = dvy/dt az = 0 = dvz/dt
d’où : vx(t) = C1 vy(t) = C2 vz(t) = C3
où : C1, C2, C3 sont des constantes à déterminer des conditions initiales
vx(0)=v0 cos α = C1 vy(0)=v0 sin α = C2 vz(0) = 0 = C3
Les équations des vitesses :
vx(t) = v0 cos α vy(t) = -‐gt + v0 sin α
vz(t) = 0
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Les équations horaires :
vx(t)=dx/dt= v0 cos α vy(t)= dy/dt = -‐gt + v0 sin α
vz(t)=dz/dt=0 d’où :
x(t)=( v0 cos α)t +C4 y(t)= -‐gt2/2 + (v0 sin α) t + C5
z(t) =C6 C4, C5 et C6 sont des constantes à déterminer des conditions initiales :
x(0)=0= C4 y(0)=0 = C5 z(0)= 0=C6
on obtient : x(t)= ( v0 cos α)t
y(t)= -‐gt2/2 + (v0 sin α) t z(t)=0
Le mouvement se fait donc dans le plan xOy, le plan dans lequel a été lancé initialement le projectile. L’équation de la trajectoire : On obtient l’équation de la trajectoire y=y(x) en exprimant le temps t en fonction de x et en l’introduisant dans l’équation horaire de y. t= x/(( v0 cos α) et donc
! = −!2
!!! cos ∝
!+ (!! sin ∝)
!!! sin ∝
! = −!!
!!! !"# ∝
!+ (!"# ∝)!
La trajectoire est une fonction de la forme y= ax2 + bx +c. Il s’agit donc d’une parabole. Hauteur maximale du tir Lorsque M arrive au sommet de la trajectoire, sa vitesse verticale s’annule vy(tmax)=0 (la vitesse étant tangente à la trajectoire à chaque instant, au sommet elle aura une direction horizontale ; ceci correspond à vx(tmax)=v et vy(tmax)=0) Soit tmax l’instant où M arrive au sommet.
vy(tmax)=-‐g tmax + v0 sin α
Le temps d’ascension est donc égal à tmax= (v0 sin α)/g. Pendant ce temps le projectile monte à la hauteur maximale H :
! !!"# = ! = −!!!"#!
2+ !!!"# ∝ !!"#
! = −!2!!!"# ∝
!
!+ !!!"# ∝
!!!"# ∝!
=!! !
!"(!"# ∝)!
! =!! !
!"(!"# ∝)!
La portée du tir (D) correspond à l’endroit où le point matériel retombe sur le sol (y=0) De l’équation de la trajectoire on obtient :
−!2
!!! cos ∝
!+ (tan ∝)! = 0
!(−
!2×
!!!!(cos ∝)!
+ (tan ∝)) = 0
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L’égalité est satisfaite pour : x=0
−!2×
!!!!(cos ∝)!
+ tan ∝ = 0
La première solution correspond à l’origine du système des coordonnées. Elle n’est donc pas intéressante. La deuxième relation donne :
!2×
!!!!(cos ∝)!
= tan ∝
d’où :
! = ! =!!! !"# ! ∝
!
3.2. Mouvement d’une particule chargée dans un champ électrostatique uniforme a) Champ et force Deux charges électriques exercent une sur l’autre des forces attractives ( si elles sont de même signe) ou répulsives ( si elles sont de signes opposés). L’expression de ces forces est donnée par la loi de Coulomb :
!!! = −!! = !!.!′!!
! où : k = 9.109 N.m2/C2 est une constante, Q, q’ sont les charges électrique ( en C)
d représente la distance entre les charges ( en m) ! est le vecteur unitaire dirigée de la charge Q vers la charge q’
On peut écrire cette expression sous la forme :
!!! = !! !!!!! = !!!
On interprète cette relation de manière suivante : sur la charge q’ s’exerce la force !!! . Cette force est due au champ électrique ! créé par la charge Q :
! = !!!!!
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Autrement dit, la charge Q modifie l’espace autour d’elle. Elle crée un champ autour d’elle qui va exercer une force sur toute autre charge électrique qui se trouve dans sa proximité (comme par exemple, la charge q’). Le champ électrique est décrit en chaque point par le vecteur !. De l’expression du champ électrique on déduit que :
• Le vecteur ! a la même direction et le même sens que le vecteur unitaire ! si Q >0 et sens opposé si Q<0
• ! a la même norme à une distance d de la charge, quoi qu’elle soit la direction • plus d augmente (plus on s’éloigne de la charge), plus la norme de ! diminue. Le champ électrique est
de plus en plus faible au fur et à mesure que l’on s’éloigne de la charge qui l’a créé.
• Plusieurs charges électriques vont créer un champ électrique qui sera la superposition (c’est-‐à-‐dire la
somme vectorielle) des champs créés par chacune des charges :
• Lorsque l’on applique une tension électrique U entre deux grilles métalliques planes et parallèles,
distantes de d, le champ électrique obtenu a la même norme et le même sens en tout point. Il s’agit d’un champ électrique uniforme, de norme :
E = U/d
où : U -‐ est la tension électrique appliquée entre les plaque ( en V) d -‐ c’est la distance entre le plaques ( en m)
E -‐ le champ électrique ( en V.m-‐1)
et orienté de la plaque chargée positivement vers la plaque chargée négativement ( voir figure).
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b) Etude du mouvement d’une charge dans un champ électrique uniforme Expérience: dans un tube ou règne un vide poussé, un faisceau d’électrons émis par un filament métallique chauffé, est accéléré par un champ électrostatique créé par des anodes de collimation. A la sortie, ils forment un faisceau très étroit. Celui-‐ci passe ensuite entre deux plaques métalliques portant des charges opposées. Les électrons y sont soumis à un champ électrostatique perpendiculaire à leur vitesse d’entrée, ce qui dévie leur trajectoire.
Cette expérience à été faite par J.J.Thomson (physicien Anglais) et a permis de déterminer le rapport e/m (charge/masse) pour l’électron. Une étude similaire a été faite ensuite par l’Américain R. Millikan (mouvement d’un électron en camps électrique et magnétique) et a permis de déterminer seulement la charge de l’électron e. Problème : on étudie le mouvement d’une particule chargée dans un champ électrique uniforme ! . L’étude est faite par rapport au référentiel du laboratoire considéré comme galiléen. La particule est assimilée à un point matériel M de masse m et charge q (la charge peut être positive q>0 ou négative q<0 !). Le champ électrique est dirigé le long de l’axe Oy
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• Bilan des forces : o La force électrique ! = !! (Fx=0, Fy=qE) o Le poids ! = !! (Px=0, Py=-‐mg)
• Conditions initiales : au moment initial la particule est placée dans l’origine des axes et a une vitesse initiale !! qui fait un angle α avec l’axe Ox :
o x(0)=0, y(0)=0 o v0x= v0 cos α, v0y=v0 sin α
• La 2e loi de Newton ( le Principe fondamental de la dynamique) : !! = ! + !
Le poids est négligeable par rapport à la force électrique :
-‐ la masse de l’électron me = 9,1 . 1031 kg -‐ le champ électrique utilisé E=105 V.m-‐1 -‐ la charge électrique de l’électron e=-‐1,6 . 10-‐19 C
!!=!"! !
= 5,6×10!!" ≪ 1
La 2e loi de Newton s’écrit donc : !! = !
d’où :
! =!!=!!!
Cette relation projetée sur les axes Ox et Oy donne : ax=0
ay = qE/m • Les équations des vitesses :
ax= dvx/dt = 0 ay=dvy/dt=qE/m
Les primitives des accélérations représentent les vitesses : vx(t)=C1
vy(t)= (qE/m)t+ C2 C1 et C2 sont des constantes qui peuvent être déterminées des conditions initiales :
vx(0)=C1= v0 cos α vy(0)=C2= v0 sin α
on obtient pour les vitesses : vx(t)= v0 cos α
vy(t)= (qE/m)t + v0 sin α
• Les équations horaires :
vx(t)=dx/dt= v0 cos α vy(t)= dy/dt = (qE/m)t + v0 sin α
d’où : x(t)=( v0 cos α)t +C3
y(t)= (qE/2m)t2 + (v0 sin α) t + C4 C3 et C4 sont des constantes à déterminer des conditions initiales :
x(0)=0= C3 y(0)=0 = C4
on obtient : x(t)= ( v0 cos α)t
y(t)= (qE/2m)t2 + (v0 sin α) t L’équation de la trajectoire : Comme pour le mouvement d’une particule en champ gravitationnel, on obtient l’équation de la trajectoire y=y(x) en exprimant le temps t en fonction de x et en l’introduisant dans l’équation horaire de y.
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t= x/(( v0 cos α) et donc
! =!"2!
!!! cos ∝
!+ (!! sin ∝)
!!! sin ∝
! =!"
!!!!!(!"# ∝)!!
!! !"# ∝
!+ (!"# ∝)!
La trajectoire est donc une parabole : • Si la particule est une charge négative (un électron par exemple) , q<0 et la trajectoire est de type
y = -‐ ax2 +bx
• Si la particule est une charge positive, q>0 et la trajectoire est de type y = a x2 + bx
